高考数学中利用空间向量解决立体几何的向量方法(三)——空间向量求距离

空间向量之应用3 空间向量之应用 利用空间向量有向线段所在直线
垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面 r α，记作 a ⊥α. r r 如果 a ⊥α，那么向量 a 叫做平面α的 法向量.
l a
α
课本P 课本P33
uuu r r r 已知向量 AB = a 和轴 l， e 是 l 上与 l
P
N D M A B C
： 如 图 ,以 D 为 原 点 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D－ xyz
2 a ,0 ,0),B( 2 a ,a ,0),C( 0,a ,0),P(0,0,a ) 2 2 1 1 a ,0,0) N ( a , a, a ) N PB ∵ M、 分 别 是 AD 、 的 中 点 , ∴ M ( 2 2 2 2
G
x D F A E B
C
y
例1 如 图 ， 已 知 正 方 形 A B C D 的 边 长 为 4 ， E 、 F 分 别 是 :
A B 、 A D 的 中 点 ， G C ⊥ 平 面 A B C D ， 且 G C ＝ 2， 求 点 z B 到 平 面 EF G 的 距 离 . G 如图， 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． － ． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， ， ， ， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． ， ， ． uuur uuu ， r EF = (2, −2, 0), EG = ( −2, −4, 2), D C r
MA ⋅ n a uuur r a = 即点 A 到平面 MNC 的距离为 . ∴ MA 在 n 上的射影长 d = r 2 2 n
二、求直线与平面间距离
例2、已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD， CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面 z GEF的距离。
G
r uuur | n ⋅ BE| 2 11 ∴d = = . r 11 n
如图 A∈ α , 空间一点 P 到平面 α 的距离为 d,已知平面 α 的 , r uuu r r uuu r r 不共线, 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
如何用向量法求点到平面的距离： 如何用向量法求点到平面的距离：
分析:过 P 作 PO⊥ α 于 O,连结 OA. 过 ⊥ 连结
解 如 r 立 标 r − xyz,则 (0,0,0), E(110), A(2,0,0), B (0,2,4). ： 图 建 坐 系 C C ,, 1 z ∴CE = (110), AB = (2,2,4), ,, 1 C r r r 设 E, AB的 垂 的 向 量 n = (x, y, z).则 C 1 公 线 方 向 为 A B r r x+ y = 0 n⋅ CE = 0 即 r r −2x + 2y + 4z = 0 n⋅ AB = 0 1 C
x 的一个法向量为 设平面 EFG 的一个法向量为 n = ( x, y, z)
r uuu r uuu 2 x − 2 y = 0 r r n ⊥ EF， ⊥ EG ∴ n
− r 2 x − 4 y + 2 = 0 uuu
Q
F A E B
r 1 1 ∴ n = ( , ,1) ,BE = (2, 0, 0) 3 3 r uuur | n ⋅ BE| 2 11 . ∴d = = r 11 n
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 这个结论说明 平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点 常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 上的任一点 常选择一个特殊点 的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值. 绝对值
的边长为4， 例1、已知正方形 、已知正方形ABCD的边长为 ， 的边长为 CG⊥平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、 ABCD， AB、 ⊥平面ABCD CG=2,E、 分别是AB AD的中点 求点B到平面GEF的距离。 的中点， GEF的距离 AD的中点，求点B到平面GEF的距离。 z
uuu r r AB ⋅ n d= r n
α
a M n N B b
评述： 评述：
此题用找公垂线的方法比较难下手，用向量代数 此题用找公垂线的方法比较难下手， 的方法则简捷，高效， 的方法则简捷，高效，显示了向量代数方法在解 决立体几何问题的优越性 平行平面间的距离可转化为直线到平面的距离或 再转化为点到平面的距离
x D F A E B
C
y
练习3: 练习 正方体AC 棱长为 ， 与平面GB 正方体 1棱长为1，求BD与平面 1D1的 与平面 距离 DD1 ⋅ n Z C1 d = D1 n B
A1
1
G A X
D B
C Y
三、求平面与平面间距离 例3、正方体 1棱长为 ，求平面 1C 、正方体AC 棱长为1，求平面AD 与平面A 与平面 1BC1的距离 AD ⋅ n Z D1 C1 d = n B
β
α
uuu r r uuuu r AB ⋅ n A1B1 = r n
一、求点到平面的距离
P M
uur r PA ⋅ n d= r n
α
O n N A
方法指导：若点 为平面 外一点， 为平面α外一点 为平面α内任 方法指导：若点P为平面 外一点，点A为平面 内任 为平面 一点，平面的法向量为n，则点P到平面 到平面α的距离公式 一点，平面的法向量为 ，则点 到平面 的距离公式 为
1 1 1
r , ,) 取x=1,z则y=-1,z=1,所以 n = (1 −11
u r uur uuu uuuu r r | n⋅ CA| 2 3 . ∴CE AB的 离 = 与 1 距 d r = | n| 3
r 在 直 上 取 C, A,QCA = (1 0,0). 两 线 各 点 ,
A
B
x
E
y
练习5 练习
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 ，求异面 的棱长为1， 已知正方体 直线DA 的距离。 直线 1与AC的距离。 的距离 z
D1 C1 A1
B1 C y
D A B
x
练习6:如图, 练习 如图, 如图 ABCD 正 形 SB ⊥ 面 ABCD 且 与 是 方 ， ， SA ABCD 成 角 45° 点 到 ABCD 面 所 的 为 ° ， S 面 的 SD 距 。 距 为， AC与 的 离 离 1 求
S z B C D y
A
x
结论1
点 P 到平面α的距离可以通过， uur 在平面α内任取一点 A，求向量 PA在 r 平面α的法向量 n 上的投影来解决.
P
uur r PA ⋅ n d= r n
M
α
O n N A
结论2
异面直线间的距离可以通过， 在两条直线上任意各取一点 A、B， uuu r r 求向量 AB 在公共法向量 n 上的投影 来解决. A
方法指导:①作直线a、b的方向向量a、b，求a、 b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方 向向量；②在直线a、b上各取一点A、B，作向 量AB；③求向量AB在n上的射影d，则异面直线 a、b间的距离为
B n A
b a
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC─ABC1 的 侧 棱 AA = 4 , 底 面 1 1 1
A1
1
D A X B
C Y
练习4、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中， M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、 C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。
z
d=
AB ⋅ n
A1
N
D1
F E
C1
n
A
M B1 D B
C
y
x
四、求异面直线的距离
a M
A
n
α
N
B
b
uuu r r AB ⋅ n d= r n
同方向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A1，作点 B 在 l 上的射影 B1，则 A1B1 叫 uuu r r 做向量 AB 在轴上或在 e 方向上的正射影， 简称射影.
l B1 B n A1 A
uuu r r r 已知向量 AB = a 和轴 l， e 是 l 上与 l
同方向的单位向量. 作点 A 在 l 上的射影 A1，作点 B 在 l 上的射影 B1，则 A1B1 叫 uuu r r 做向量 AB 在轴上或在 e 方向上的正射影， 简称射影.
y
2 11 的距离为 . 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 点 11
练习1: 练习 SA⊥ 平 ABCD ∠DAB= ∠ABC = 90° 面 ， ， SA= AB = BC = a， = 2a, AD z A 平 SCD 距 。 求 到 面 的 离
S
A B x C
D y
练习2: 练习
练 习 (用 向 量 法 求 距 离 ): D C ⊥ 如 图 , ABCD 是 矩 形 , PD⊥平 面 ABCD , P =D =a, AD = 2a , M 、N 分 别 是 AD 、PB 的 中 点 , 求 点 A 到 平 面 MNC 的 距 离 .
例4
△ABC 中 , AC = BC = 2, ∠BCA = 90 , E 是 AB 的 中 点 , 求 异 面 直 线 CE 与 AB1 的 距 离 .
o
C1 A1
z
B1
C A B
x
E
y
例4
. 已 知 直 三 棱 柱 ABC ─A1 B1C1 的 侧 棱 AA1 = 4 , 底 面
△ABC 中 , AC = BC = 2 , ∠BCA = 90o , E 是 AB 的 中 点 , 求 异 面 直 线 CE 与 AB1 的 距 离 .