数学提高班10.20讲义

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著名机构七年级数学秋季提升班讲义期末复习之知识点归纳-教师版

教师姓名冯娜娜学生姓名年级初一上课时间2018/1/1学科数学课题名称期末复习之知识点归纳整理期末复习之知识点归纳整理【习题1】下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A 、253(5)3x x x x -+=-+；B 、2(2)(5)310x x x x -+=+-；C 、22(23)4129x x x +=++；D 、243(1)(3)x x x x -+=--．【答案】D【习题2】化简ab b a b a b a --++----1111的结果是（） A 、0 B 、224b a a - C 、224b a b - D 、222b a a - 【答案】B【习题3】下列说法中正确的是（）① 中心对称图形肯定是旋转对称图形② 关于某一直线对称的两个图形叫做轴对称图形③ 圆有无数条对称轴，它的每一条直径都是它的对称轴④ 平行四边形是中心对称图形，它只有一个对称中心，就是两条对角线的交点 ⑤ 等边三角形既是中心对称，又是轴对称A 、①②④B 、③④C 、①③⑤D 、①④【答案】D【习题4】在俄罗斯方块游戏中，所有出现的方格体自由下落，如果一行中九个方格齐全，那么这一行会自动消失.已拼好的图案如图所示，现又出现一小方格体，必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（ C ）A 、顺时针旋转90°，向下平移；B 、逆时针旋转90°，向下平移；C 、顺时针旋转90°，向右平移；D 、逆时针旋转90°，向右平移．【答案】【答案】解：原式()()()()3322-+-+-=a a a a【习题10】因式分解xy y x 844122+--【答案】解：原式()()y x y x 221221+--+=【习题11】如图是某设计师设计的图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：（1）画出四边形OACB 关于直线l 的轴对称图形OA 1C 1B 1；（2）将四边形OACB 绕点O 顺时针．．．旋转ο120，画出旋转后的图形OA 2C 2B 2.【习题12】如图，已知R t △ABC 中，△C=90°，BC=4，AC=4，现将△ABC 沿CB 方向平移到'''C B A ∆的位置，若平移距离为3.（1）求△ABC 与'''C B A ∆的重叠部分的面积；（2）若平移距离为x （0≤x ≤4），求△ABC 与△A’B’C’的重叠部分的面积y ，则y 与x 有怎样关系式.【答案】解：（1）211121=⨯⨯=S（2）()842142122+-=-=x x x y【习题13】如图，已知等腰直角∆ACB 的边AC=BC=a ，等腰直角∆BED 的边BE=DE=b ，且b a <，点C 、B 、E 在一条直线上，联结AD ．（1）求ABD ∆的面积；（2）如果点P 是线段CE 的中点，联结AP 、DP 得到APD ∆，求APD ∆的面积． (以上结果先用含a 、b 代数式表示，后化简）【答案】解：（1）ab b a b a S ABD =--+=∆2222121)(21 （2）221221)(212b a b b a a b a S APD +⋅-+⋅-+=∆ =22111424a ab b ++【习题14】如图，在长方形ABCD 中，AB=8cm ，BC =10cm ，现将长方形ABCD 向右平移x cm ,再向下平移)1(+x cm 后到长方形A'B'C'D' 的位置，（1）用x 的代数式表示长方形ABCD 与长方形A'B'C'D' 的重叠部分的面积，这时x 应满足怎样的条件？（2）用x的代数式表示六边形ABB'C'D'D（阴影部分）的面积．【答案】解：（1）()7-=x-xx（S）x=x+1770)18(≤102≤--重（2）90+++=xxSxxx-)1()118+8=)((+10阴。

五年级数学提高班讲义1-10

五年级数学提高班讲义0011.如果○×○=16 （○+○）×△=40.那么（△+△+△）×○= .2.一个梯形的装饰板，上底6分米，下底10分米，高1米，两面都要涂油漆，涂油漆的面积是（）平方分米。

3.一个梯形的面积是550平方厘米，它的上底是37厘米，下底是13厘米，则它的高是（）厘米。

4.右图是一个平行四边形，图中未知的高是（）分米。

5.在三角形ABC 中，BD 的长度相当于CD 长度的3倍，那么三角形ABD 的面积是三角形ACD 面积的（）倍。

6.一个梯形的上底与下底的平均长度是40厘米，高是12厘米，这个梯形的面积是（）平方厘米。

7.一个三角形和一个平行四边形的面积相等，底也相等。

如果三C8dm18dm?dm9dm角形的高是8厘米，那么平行四边形的高是（）厘米；如果平行四边形的高是8厘米，那么三角形的高是（）厘米。

8.在一个长8厘米，周长是22厘米的长方形内画一个最大的三角形，这个三角形的面积是（）平方厘米。

五年级数学提高班讲义002计算下图的面积。

1已知直角梯形高30厘米，∠1＝∠2＝45°。

求梯形ABCD 的面积。

2. 在三角形ABC中，EC =2BE，CD =2AD，三角形BDE的面积是14平方厘米，求三角形ABC的面积。

3.下图中正方形的边长是10厘米，三角形甲的面积比三角形乙的面积少20平方厘米，求线段AB的长。

五年级数学提高班讲义0031、用一张长108厘米，宽80厘米的红纸，做一些直角边分别是27厘米和16厘米的三角形小旗，最多能做多少面？5.2、一个三角形的底是48分米，高是底的一半，这个三角形的面积是多少平方分米？3、一张正方形彩纸边长66厘米，要用它做成底是33厘米、高是22厘米的三角形彩旗，最多可以做多少面？五年级数学提高班讲义0041、一堆钢管，最上层12根，最下层23根，从上到下每层多1根，共堆了12层。

这样的两堆钢管一共有多少根？2、已知梯形的上底是20厘米，下底是34厘米，其中阴影部分的面积是442平方厘米，求这个梯形的面积。

数学提高班教本课程材料

B 数学提高班教本课程材料（一）班级：_________姓名：_________空间中的线面关系一、基本知识点：（一）线面平行的判定与性质定理1、线面平行的判定定理如果的一条直线和平面内的一条直线，那么这条直线和这个平面。

2、线面平行的性质定理如果一条直线和一个平面，这条直线的和这个平面相交，那么这条直线就和两平面的。

（二）平面与平面平行的判定1、定理：如果一个平面内有两条平行于另一个平面，那么这两个平面平行。

2、推论：如果一个平面内有两条分别平行于另一个平面内的，则这两个平面平行。

（三）平面与平面平行的性质定期理如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线，（简言之：面面平行⇒线线平行）（四）线面垂直1. 定义：直线和一个平面相交，并且和这个平面内的_______________________直线都垂直, 记作：a ⊥α.直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面, 交点叫做垂足提问：若直线与平面内的无数条直线垂直，则直线垂直与平面吗？2 判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条___________直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面若l ⊥m ，l ⊥n ，m ∩n ＝B ，m ⊂α，n ⊂α，则l ⊥α推论1.如果两条平行线中,有一条垂直于平面,那么另一条推论2.如果两条直线那么这两条直线平行（五）面面垂直1.面面垂直的定义：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿2.面面垂直的判定定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿3.面面垂直的性质定理：＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿二、典例探究：例1、如图所示，已知正方体ABCD — A 1B 1C 1D 1，求证：平面AB 1D 1//平面B DC 1。

学×思面授班初三数学秋季提高班讲义第3讲.第二轮复习之代数综合.提高班.学生版

在北京中考试卷中，代数综合题出现在第23题左右，分值为7分，主要以方程、函数这两部分为考查重点，会涉及到四大数学思想：转化（化归）思想、分类讨论思想、方程（函数）思想、数形结合思想．也会考查代数式的恒等变形，比如代入法、待定系数法、降次法、配方法等．【例1】 ⑴ 已知：24510x x +-=，则代数式()()()()221122x x x x x +--++- ．⑵ 已知223n m =-和223m n =-，且m n ≠，则代数式33222m mn n -+的值．⑶ 已知1mn =-，23320m m ++=，则22332015n n ++= ． ⑷ 已知4a b +=，226210a b b +-+=，则ab = ．【例2】抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ．⑴ 求这条抛物线的解析式；⑵ 若点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ=n .① 求2124263x x n n -++的值；② 将抛物线在PQ 下方的部分沿PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x 轴恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是 .（2013海淀期末）典题精练3第二轮复习之代数综合【例3】已知：关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=（m 为实数）. ⑴ 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围； ⑵ 求证：抛物线()()2121y m x m x =-+--总过轴上的一个定点；⑶ 若m 是整数，且关于x 的一元二次方程()()21210m x m x -+--=有两个不相等的整数根时，把抛物线()()2121y m x m x =-+--向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．(2013东城二模)【例4】已知点A （a ，）、B （2a ，y ）、C （3a ，y ）都在抛物线21122y x x =-上.⑴ 求抛物线与x 轴的交点坐标； ⑵ 当a =1时，求△ABC 的面积；⑶ 是否存在含有、y 、y ，且与a 无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以证明；如果不存在，请说明理由.（2013昌平二模）x 1y 231y 23【例5】二次函数，其顶点坐标为M (1，4-)．⑴ 求二次函数的解析式；⑵ 将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线与这个新图象有两个公共点时，求的取值范围．(2013丰台一模)【例6】已知关于m 的一元二次方程221x mx +-=0. ⑴ 判定方程根的情况；⑵ 设m 为整数，方程的两个根都大于1-且小于32，当方程的两个根均为有理数时，求m 的值．(2013平谷一模)2y x bx c =++x x y x n =+n【例7】已知二次函数在和时的函数值相等。

八年级(上)数学提高班讲义(一)

D C B AE D FC B A 八年级（上）《数学》提高班讲义（一）班级姓名一、倍长中线（线段）造全等（遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”）例1、已知，如图△ABC 中，AB=5，AC=3，则中线AD 的取值范围是_________.例2、如图，△ABC 中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DE ⊥DF ，D 是BC 中点，试比较BE+CF 与EF 的大小.练习1．将直角三角形（∠ACB 为直角）沿线段CD 折叠使B 落在B ’处，若∠ACB ’=60°，则∠ACD 度数为______．2．如图，△ABE 和△ACD 是△ABC 分别沿着AB 、AC 边翻折180°形成的，若∠BAC=150°，则∠EFC 的度数为_________．3．已知△ABC 中，∠ABC=45°，AC=4，H 是高AD 和BE 的交点，则线段BH 的长度为_______．4.如图，△ABC 中，BD=DC=AC ，E 是DC 的中点，求证：AD 平分∠BAE.题图第2题图第1CCB AB A 二、截长补短(长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目)例1、如图，ABC ∆中，AB=2AC ，AD 平分BAC ∠，且AD=BD ，求证：CD ⊥AC例2、如图，已知在ABC 内，060BAC ∠=，040C ∠=，P ，Q 分别在BC ，CA 上，并且AP ，BQ 分别是BAC ∠，ABC ∠的角平分线。

求证：BQ+AQ=AB+BP例3、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，∠1＝∠2，P 为AD 上任意一点，求证;AB-AC ＞PB-PC练习：1、如图，在四边形ABCD 中，BC ＞BA,AD ＝CD ，BD 平分ABC ∠，求证： 0180=∠+∠C AC B A 2、如图，AC∥BD ，AE, BE 分别平分∠CAB,∠DBA ，CD 过点E ，求证;AB ＝AC+BD三、借助角平分线造全等（遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理）例1、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F.（1）说明BE=CF 的理由；（2）如果AB=a ，AC=b ，求AE 、BE 的长.例2、如图所示，已知∠1=∠2，EF ⊥AD 于P ，交BC 延长线于M ，求证：2∠M=（∠ACB-∠B ）练习1．如图，已知在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD,CE 相交于点O ，求证：OE=ODEDG F CB AF E D C B A B C四、旋转例1 正方形ABCD 中，E 为BC 上的一点，F 为CD 上的一点，BE+DF=EF ，求∠EAF 的度数.例2、如图，ABC ∆是边长为3的等边三角形，BDC ∆是等腰三角形，且0120BDC ∠=，以D 为顶点做一个060角，使其两边分别交AB 于点M ，交AC 于点N ，连接MN ，则AMN ∆的周长为；练习1、 D 为等腰Rt ABC ∆斜边AB 的中点，DM ⊥DN,DM,DN 分别交BC,CA 于点E,F 。

七年级数学秋季同步提高班

七年级数学秋季同步提高班
讲次
核心知识模块
第1~2讲
了解一些常见的几何图形、几何体；几何体的展开与折叠、截几何体；
第3~4讲
从各个方向看几何体的射影，或通过射影来判断几何体形状；
第5~6讲
有理数的意义及相关知识，正、负数，数轴；
第7~8讲
数轴，绝对值；
第9~10讲
有理数的加、减、乘、除、乘方等综合运算；
第11~12讲
有理数的巧算，整体思想求值，找规律、程序运算和定义新运算；
第13~14讲
代数式、单项式、同类项、整式的概念及运算，代数式求值以及巧算；
第15~16讲
整式的运算，代数式规律的探索；
第Hale Waihona Puke 7~18讲期中考试复习第19~20讲
直线、射线和线段
第21~22讲
角的计算与证明
第23~24讲
了解并掌握一元一次方程的概念以及解法，深入了解一元一次方程的变形；
第25~26讲
一元一次方程延伸过来的绝对值方程，一元一次方程的应用——水箱变高了；
第27~28讲
一元一次方程的应用——打折销售、“希望工程”，追赶小明；
第29~30讲
一元一次方程复习，数据收集与整理、分析；
第31~32讲
综合题专题
第33~34讲
期末考试复习

初二数学同步讲义提高班教师版(人教版)

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【解析】⑴ x1 = 3 ，x2 = − 3 ；⑵=x1 1= ，x2 7 ；
⑶ 当 n ≥ 0 时， x1 = m + n ，x2 = m − n ；当 n < 0 时，无实数根．
⑷ 当 b + 4c ≥ 0 时， 2x −1 =±
b + 4c ，∴ x1 = 1 +
b + 4c 2
，
x2
= 1−
因式分解法解一元二次方程
对应题目例 1；例 2；练 1；例 3；例 4；练 2；例 5；例 6；练 3；练 4；例 7；练 5．
编写思路
本讲内容的思路非常简单，主要学习一元二次方程的概念及三种解法，公式法则放到了下一讲，因为学完公式法就可以和判别式联系在一起学习。这一讲共分为四个模块，模块一主要讲解一元二次方程的基本概念，首先要先会判断一个方程是不是一元二次方程以及一元二次方程的项数组成，所以例 1 给出了这样的练习，这里面有一些易错点，希望老师给同学们强调到位。接下来例 2 是针对一元二次方程的概念经常遇到的几种出题的形式，继续加强概念的理解。
⑶
2(2x − 5)=
3(3x −1) 或 2(2x − 5) =−3(3x −1) ，解得 x1
=
−7 5
， x2
=1．
【点评】如果方程能化成 x2 = p 或 (mx + n)2 = p ( p ≥ 0) 的形式，那么可得 x = ± p 或
mx + n =± p .
模块三配方法解一元二次方程
( x+1)2 =0
x1 =x2 = −1
总结：用配方法解一元二次方程的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化 1 ”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1 ； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为 (x + m)2 = n 的形式；

高等数学强化班讲义

高等数学（强化班）讲义第一章函数、极限、连续一、重、难点内容归纳1. 函数概念、性质1）会讨论分段函数在“接头点”处极限、连续、导数、积分。

2）会求分段函数的复合函数。

3）熟悉函数的性态——单调性，奇偶性，周期性，有界性。

2. 极限1）熟悉应用“保号性定理”。

2）熟练求极限的方法（特别要注意运用方法的条件、技巧。

易出错的地方）。

3. 会讨论函数的连续性与间断性1）分段函数在“接头点”处的连续性的讨论。

2）明确函数间断性的讨论是指：① 求出全部间断点； ② 指出间断点的类型。

4. 熟悉连续函数在闭区间上的性质1）熟练应用“零点定理，介值定理，最值定理”。

2）会讨论方程的根（① 根的存在性，唯一性； ② 根的个数的确定）。

二、方法、技巧、题型例1 分段函数的复合<例1.1> 设⎩⎨⎧>≤-=⎩⎨⎧>≤=1||21||2)(,1||1||)(22x x x x g x x x x x f ，求))((x g f . （答：⎩⎨⎧>≤-=⎪⎩⎪⎨⎧>≤>--≤≤--=1||21||21||21||,1|2|21||,1|2|)2())((222222x x x x x x x x x x x g f 且且）<例1.2> 设⎩⎨⎧>≤-=⎩⎨⎧>≤=2||22||2)(,1||01||1)(2x x x x g x x x f ，求))(()),((x f g x g f . （答：⎪⎩⎪⎨⎧><≤≤=2||01||03||11))((x x x x g f 或2||3≤<x ，⎩⎨⎧>≤=1||21||1))((x x x f g ）例2 函数性态单调性 <例2.1> 求⎰-=πd 2sin 1x x I （答：22）.<例2.2> 设)(x f 连续且单调增.求证：0)(d )(0≤-⎰x xf t t f x . <例2.3> 设),0[,0)0(+∞∈∀=x f 有xx f x g x f )()(,)(=↑'，证明： )(x g 单调增.奇偶性 <例2.4> 设)(x f 连续，⎰-=xt t f t x x F 0d )()2()(时，那么1）若)(x f 为奇函数，证明)(x F 为奇函数。

初二数学同步提高上学期课程(人教版) 讲义册子

初二数学同步提高上学期人教版目录第1讲三角形的基础知识.......................................................................................................................- 1 - 第2讲三角形的角度计算.......................................................................................................................- 1 - 第3讲多边形及其角度计算...................................................................................................................- 2 - 第4讲角度计算综合...............................................................................................................................- 3 - 第5讲全等三角形...................................................................................................................................- 4 - 第6讲全等三角形的判定.......................................................................................................................- 5 - 第7讲全等三角形的多次判定...............................................................................................................- 7 - 第8讲角平分线的性质和判定...............................................................................................................- 7 - 第9讲角分线的一号模型—作垂线.......................................................................................................- 8 - 第10讲角分线的二号模型—对折.........................................................................................................- 9 - 第11讲角分线的三号模型—角分线的垂线 .........................................................................................- 9 - 第12讲角分线的四号模型—知二推一...............................................................................................- 10 - 第13讲轴对称....................................................................................................................................... - 11 - 第14讲垂直平分线...............................................................................................................................- 12 - 第15讲尺规作图—角分线和中垂线...................................................................................................- 13 - 第16讲等腰三角形...............................................................................................................................- 14 - 第17讲等边三角形...............................................................................................................................- 14 - 第18讲轴对称综合...............................................................................................................................- 15 - 第19讲等比法求三角形面积...............................................................................................................- 16 - 第20讲等积法求三角形面积...............................................................................................................- 17 - 第21讲倍长中线...................................................................................................................................- 17 - 第22讲中垂线.......................................................................................................................................- 18 - 第23讲截长补短...................................................................................................................................- 19 - 第24讲运动中的全等...........................................................................................................................- 20 - 第25讲幂的运算...................................................................................................................................- 21 - 第26讲整式乘法...................................................................................................................................- 22 - 第27讲平方差公式...............................................................................................................................- 22 - 第28讲完全平方公式...........................................................................................................................- 23 - 第29讲因式分解...................................................................................................................................- 24 - 第30讲整式乘法与因式分解综合.......................................................................................................- 25 - 第31讲整式除法...................................................................................................................................- 25 - 第32讲分式...........................................................................................................................................- 26 - 第33讲分式的基本性质.......................................................................................................................- 27 - 第34讲分式的运算...............................................................................................................................- 28 - 第35讲分式计算的拓展.......................................................................................................................- 29 - 第36讲分式方程...................................................................................................................................- 30 - 第37讲分式计算综合...........................................................................................................................- 30 - 第38讲分式方程应用(一) ....................................................................................................................- 31 - 第39讲分式方程应用(二) ....................................................................................................................- 32 - 第40讲期中期末串讲－－三角形.......................................................................................................- 32 -第41讲期中期末串讲－－全等三角形...............................................................................................- 33 - 第42讲期中期末串讲－－轴对称.......................................................................................................- 34 - 第43讲期中期末串讲－－几何综合...................................................................................................- 35 - 第44讲期中期末串讲－－整式乘除...................................................................................................- 36 - 第45讲期中期末串讲－－因式分解...................................................................................................- 37 - 第46讲期中期末串讲－－分式...........................................................................................................- 37 - 讲义参考答案...........................................................................................................................................- 39 -千难万阻简单应对，人生必定不简单第1讲三角形的基础知识重难点易错点辨析a 、b 、c 为三角形三条边：a +b >c a －b <c两条较短边的和大于第三边即可题一：现有3cm ，4cm ，7cm ，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是 .高：三条高所在的直线交于一点中线：三条中线交于一点，这一点叫做三角形的重心角平分线：三条角平分线交于一点题二：下列说法错误的是( )A ．三角形的三条中线都相交于一点B ．钝角三角形只能画一条高C ．直角三角形三条高交于三角形的一个顶点D ．三角形的三条角平分线相交于一点，且这点一定在三角形的内部三角形面积公式：12S ah = 三角形的面积比：111222S a h S a h = 题三：如图，在△ABC 中，E 、F 分别为BC 、AB 的中点，AE 、CF 交于点G ，AD ⊥BC 于D ，以下结论：①S △ABE ＞S △ACE ；②S △AFG =S △CEG ；③ABD ACD SBD S CD =.其中正确的是 .B 金题精讲题一：如图，AD ⊥BC 于D ，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥AB于F ，GA ⊥AC 于A ，则△ABC 中，AC 边上的高为 .题二：如图，已知D 是△ABC 的边AC 上的一点，且CD =2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BC =13，△BDC 的面积是26，求AE 的长． B C 题三：在具备下列条件的线段a 、b 、c 中，一定能组成三角形的是( ) A ．a +b ＞c B ．a －b ＜c C ．a ：b ：c =1：2：3 D ．a =b =2c 题四：已知：如图△ABC 中，点D 、E 、F 分别在三边上，E 是AC 的中点，AD 、BE 、CF 交于一点G ，BD =2DC ，S △BGD =8，S △AGE =3，则△ABC 的面积是. B 思维拓展题一：如图，将△ABC 的三边AB ，BC ，CA 分别延长至B ′、C ′、A ′，且使BB ′=AB ，CC ′=2BC ，AA ′=3AC ．若S △ABC =1，那么S △A 'B 'C '是( )A ．15B ．16 C．17 D ．18第2讲三角形的角度计算重难点易错点辨析三角形内角和=180° 题一：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B =20°，∠C =30°，求∠CAD 的度数． B点燃 · 陪伴 · 自生长三角形外角的性质：三角形一个外角，等于不相邻的两内角和题二：如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，∠1=∠2，∠3=∠4，∠B =48°，求∠BAC 的度数．B金题精讲题一：将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图中∠AOB 的度数为. B题二：如图，已知点P 是射线ON 上一动点，∠AON =30°，(1)当∠A = 时，△AOP 为直角三角形；(2)当∠A 满足时，△AOP 为钝角三角形．题三：锐角三角形中，∠A ＞∠B ＞∠C ，则下列结论中错误的是( )A.∠A ＞60° B ．∠B ＞45°C ．∠C ＜60°D ．∠B +∠C ＜90°题四：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，P为线段AD 上的一个点．PE ⊥AD 交直线BC 于点E ．DB(1)若∠B =30°，∠ACB =70°，则∠ADC = 度，∠E = 度； (2)若∠B =58°，∠ACB =102°，则∠ADC = 度，∠E = 度； (3)若∠B =m °，∠ACB =n °，且n ＞m ，请用含m 、n 的式子表示∠ADC 、∠E 的度数．思维拓展题一：如图，已知∠BAD =∠CBE =∠ACF ，∠FDE =48°，∠DEF =64°，求△ABC 各内角的度数．B第3讲多边形及其角度计算重难点易错点辨析 n 边形：内角和=180°(n －2) 外角和=360°每一个顶点出发的对角线=n －3对角线总条数=()32n n -正多边形：边长相等、内角相等题一：已知，一个凸多边形的每一个内角都是140°，那么这个多边形的边数是多少？内角和是多少？外角和是多少？每一个顶点出发有多少条对角线？共有多少条对角线？金题精讲题一：现有边长相同的正三角形、正方形和正六边形纸片若干张，下列拼法中不能镶嵌成一个平面图案的是( ) A ．正方形和正六边形 B ．正三角形和正方形千难万阻简单应对，人生必定不简单C ．正三角形和正六边形D ．正三角形、正方形和正六边形题二：下图是为某机器人编制的一段程序，如果机器人在平地上按图所示的步骤行走，那么该机器人所走的总路程为 m.题三：(1)一个多边形对角线的条数等于边数的5倍，则这个多边形的内角和是 .(2)一个多边形的每一个内角都等于150°，那么这个多边形的对角线数目是 .(3)过m 边形的一个顶点有4条对角线，n 边形没有对角线，p 边形有p 条对角线，则边数为(m +n －p )的正多边形每一个内角的度数是 .题四：如图，在四边形ABCD 中，∠B =∠D =90°，AE 、CF 分别平分∠BAD 和∠BCD ，那么AE 和CF 的位置关系是什么？并说明. F E A D思维拓展题一：在凸十边形的所有内角中，锐角的个数最多是 . 第4讲角度计算综合重难点易错点辨析对顶角相等三角形内角和180°三角形一个外角等于不相邻两外角和直角三角形两锐角互余题一：(1)如图，线段AB 、CD 交于点O ，则 ∠A +∠C 和∠B +∠D 的关系如何？请证明. OA CD(2)如图，∠BOC 、∠A 、∠B 、∠C 有什么数量关系？请证明.B O (3)如图，在∠AOB 中有一点P ，从点P 向OA 、OB 引线段，交点分别为M 、N ，则∠AMP 、 ∠BNP 、∠O 、∠P 之间有什么数量关系？请证明. P M NAB(4)如图，延长△ABC 的边AB 、AC 分别至M 、N ，则∠MBC 、∠NCB 和∠A 之间有什么数量关系？请证明. M B C点燃·陪伴·自生长金题精讲题一：(1)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= ．(2)如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= ．题二：如图，已知△ABC中，BD、CE分别是∠ABC、∠ACB的平分线，BD、CE交于点O，∠A=70°．(1)若∠ACB=40°，求∠BOC的度数；(2)当∠ACB的大小改变时，∠BOC的大小是否发生变化？为什么？请写出证明过程．B题三：如图，∠ABD、∠ACD的角平分线交于点P，若∠A=50°，∠D=10°，请计算∠P的度数．题四：如图，将六边形ABCDEF沿直线GH折叠，使A、B落在六边形CDEFGH内部，若∠C+∠D+∠E+∠F=510°，则∠1+∠2等于多少度？AD思维拓展题一：如图，将△ABC沿DE、FG、HI折叠，使三个顶点A、B、C分别落在三角形内部点A′、B′、C′处，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的和是多少？B G H第5讲全等三角形重难点易错点辨析全等的定义与形成两个能够完全重合的图形叫做全等形我们可以通过平移、翻折、旋转得到全等图形题一：下列说法中：①能够完全重合的两个三角形是全等三角形；②通过旋转得到的两个图形全等，全等的两个图形旋转后一定能重合；③大小相同的两个图形是全等图形；④一个图形经过平移、翻折、旋转后.得到的图形一定与原图形全等.其中正确的个数有().A．0个B．1个C．2个D．3个千难万阻简单应对，人生必定不简单全等的性质全等图形对应边相等，对应角相等题二：(1)已知△ABC≌△ABD，AB=6，AC=7，BC=8，则AD=()A．5 B．6 C．7 D．8(2)已知△ABC≌△ADC，∠BAC=60°，∠ACD=23°，那么∠D=()A．87° B．97° C．83° D．37°金题精讲题一：(1)如图，△ABC≌△DCB，若∠A=80°，∠ACB=40°，则∠ACD等于()A．80° B．60°C．40°D．20°(2)如图所示，△ACE≌△DBF，AD=9cm，BC=5cm，则AB的长是()cmA．5 B．4 C．2 D．1题二：如果△ABC的三边长分别为5，12，13，△DEF的三边长分别为5，5－2x，x2－4，若这两个三角形全等，则x为.题三：(1)在平面直角坐标系中有不同的三点A、B、C，其中A(4，0)、B(0，2)，当△COB≌△AOB时，点C的坐标为.(2)在平面直角坐标系中有不同的三点A、B、C，其中A(4，0)、B(0，2)，当点B、O、C组成的三角形与△AOB全等时，点C的坐标为. 题四：如图，A、D、E三点在同一直线上，且△BAD≌△ACE，试说明：B C (1)BD=DE+CE；(2)△ABD满足什么条件时，BD∥CE？思维拓展题一：如图已知△ABC中，AB=AC=10厘米，∠B=∠C，BC=6厘米，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过秒后，△BPD 与△CQP全等．第6讲全等三角形的判定重难点易错点辨析全等三角形判定的条件：SSS、SAS、ASA、AAS、HL注意：SSA条件分类直接条件：边相等、角相等、公共边、……间接条件：平行、部分公共边、……题一：(1)已知：如图，E、C两点在线段BF上，BE=CF，AB∥DE，请你添加一个条件，使得△ABC≌△DEF，并证明.点燃 · 陪伴 · 自生长(2)如图，OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，垂足为B 、C ，请你再添加一个条件，使AO 平分∠BAC ，并证明.C B A O金题精讲题一：如图，D 在AB 上，E 在AC 上，且∠B =∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是( )A ．AD =AEB ．∠AEB =∠ADCC ．BE =CD D ．AB =ACE B A CD题二：如图，已知CA =CD ，∠1=∠2．(1)请你添加一个条件使△ABC ≌△DEC .(2)添加条件后请证明△ABC ≌△DEC ．21D EB C A题三：如图，∠A =∠D =90°，请你再添加一个条件，使△ABC ≌△DCB ，并证明．你有多少种添加条件的方法呢？ DC BA题四：如图，∠B =∠C ，在不增加辅助线的情况下， (1)添加一个适当的条件，使△ABD ≌△A CE ， (2)在(1)的条件下，△BOE 和△COD 全等吗？如果全等，请证明. D OA E思维拓展题一：如图，有两个三角锥ABCD 、EFGH ，其中甲、乙、丙、丁分别表示△ABC ，△ACD ，△EFG ，△EGH ．若∠ACB =∠CAD =∠EFG =∠EGH =70°，∠BAC =∠ACD =∠EGF =∠EHG =50°，则下列叙述何者正确( ) A ．甲、乙全等，丙、丁全等 B ．甲、乙全等，丙、丁不全等 C ．甲、乙不全等，丙、丁全等 D ．甲、乙不全等，丙、丁不全等第7讲全等三角形的多次判定重难点易错点辨析全等的多次判定题一：如图，AB=CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，CE=BF，求证：AC=BD．B金题精讲题一：如图，AC=BD，∠CAB=∠DBA．求证：OC=OD．A题二：如图，已知AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE．C思维拓展题一：△ABC中，AB=9，AC=5，AD为BC边上中线，则AD的取值范围是．第8讲角平分线的性质和判定重难点易错点辨析角平分线的性质与判定题一：(1)如图，△ABC中，PB、PC分别平分∠ABC、∠ACB，求证：点P在∠A的角平分线上．B(2)求证：三角形两外角平分线所在直线的交点，在第三个角内角平分线所在直线上．金题精讲题一：如图，已知△ABC的周长是21，OB、OC 分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=4，△ABC的面积是多少？B题二：如图：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且∠EDF+∠EAF=180°．求证：DE=DF．B题三：四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB 于E ，∠ADC +∠B =180°，求证：2AE =AB +AD ．CE BDA思维拓展题一：在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．请证明：AB ：AC =BD ：CD ．BCA第9讲角分线的一号模型—作垂线重难点易错点辨析过角分线上一点作垂线——最常用的辅助线题一：如图，在△ABC 中，(1)PB 、PC 分别是△ABC 的外角的平分线，求证：∠1=∠2 ；(2)PB 、P A 为平分线，证明PC 也是平分线；(3)PC 、P A 为平分线，证明PB 也是平分线 .金题精讲题一：△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，连接AP 、CP ，若∠BPC =40°，求∠CAP 的度数．题二：如图，△ABC 中，∠ABC 、∠EAC 的角平分线PB 、 P A 交于点P ，下列结论： ①PC 平分∠ACF ； ②∠ABC +∠APC =180°；③若PM ⊥BE ，PN ⊥BC ，则AM +CN =AC ； ④∠BAC =2∠BPC . 其中正确的是( )A.只有①②③B.只有①③④C.只有②③④D.只有①③思维拓展在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为( )A.157B.125C.207D.215第10讲角分线的二号模型—对折重难点易错点辨析沿着角平分线对折——用翻折构造全等题一：已知△ABC中，AB=AC，∠A=108°，BD平分∠ABC. 求证：BC=AB＋CD.金题精讲题一：已知：如图，四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AC平分∠BAD.求证：BC=CD.题二：在四边形ABCD中，AB+BC=CD＋DA，∠ABC的外角角平分线与∠CDA的外角平分线交于点P，求证：∠APB=∠CPD .第11讲角分线的三号模型—角分线的垂线重难点易错点辨析作角分线的垂线——构造等腰三角形题一：如图，AD平分∠EAB，且AD⊥BD，点D为CE的中点，求证：AB=AE+BC.金题精讲题一：如图，△AOB中，OA=OB，∠AOB=90°，BD平分∠ABO交OA于D，AE⊥BD于E，求证：BD=2AE.题二：已知在三角形中，连接任意两边中点的线段叫做三角形的中位线，中位线的长度是第三边长度的一半，请结合中位线知识完成下列问题.(1)如图，BD、CE分别是△ABC的外角平分线，过点A作AD⊥BD、AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE，求证：DE=1()2AB BC AC++；(2)如图，BD、CE分别是△ABC的内角平分线，其他条件不变，(3)如图，BD是△ABC的内角平分线，CE是△ABC的外角平分线，其他条件不变，它与△ABC三边又有怎样的数量关系？请写出你的猜测，并对其中的一种情况进行证明.思维拓展在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥AD于E，求证：BE=1()2AC AB-.第12讲角分线的四号模型—知二推一重难点易错点辨析知二推一——平行角分等腰题一：在△ABC中，BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，求△PDE的周长.金题精讲题一：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∠ADC与∠BAD的角平分线分别交BC于E、F .(1)探究△ADG的形状并说明理由；(2)若AB=8，BC=12，问CF的长是多少？题二：已知，如图1，△ABC中，AB=AC，∠B、∠C的平分线相交于点O，过O 点作EF∥BC交AB、AC于点E、F .①图中有几个等腰三角形，请说明EF与BE、CF间有怎样的关系？②若AB≠AC，其他条件不变，如图2，图中还有等腰三角形吗？如果有，请分别指出它们，另第①问中EF与BE、CF的关系还存在吗？③若△ABC中，∠B的平分线与三角形外角∠ACD的平分线CO交于O，过O点作OE∥BC交AB于E，交AC于F，如图3，这时图中还有哪几个等腰三角形？EF与BE、CF间的关系如何？为什么？思维拓展如图，正方形ABCD中，F为BC的中点，E为AB上的一点，且DF平分∠CDE，求证：DE=BC+EB .第13讲轴对称重难点易错点辨析轴对称vs. 成轴对称两个成轴对称的图形对应点到对称轴的距离相等几类典型问题：坐标系中的轴对称、将军饮马、折叠问题、设计图案题一：下列选项正确的是( )A.轴对称图形和两个图形成轴对称的含义是一样的B.若两个图形全等，则它们一定关于某条直线对称C.两个成轴对称的图形对应点到对称轴的距离相等D.等腰三角形只有一条对称轴金题精讲题一：已知A(－4，1)，那么A点关于x轴的对称点的坐标是，关于y轴的对称点的坐标是，关于直线y=－1的对称点的坐标是，关于直线x=1的对称点的坐标是.题二：(1)已知平面内有两点A(－1，3)、B(3，1)，x轴上有一点P满足P A+PB的值最小，请求出点P的坐标.(2)如图，某次折返跑比赛要求：参赛者从A点出发，先到直线m，再到直线n，然后前往终点B.请你在直线m、n上分别找到点P、Q，使得折返跑总路程最短.mn题三：如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE 折叠，使C、D点分别落在点C1、D1处．若∠C1BA=50°，则∠ABE的度数为.C题四：某学校要在校园内一块正方形的园地上种植四种不同的植物，对该正方形的设计要求如下：(1)四种植物各自所占的图形必须全等；(2)最终图形必须为轴对称图形.某同学按照要求设计出了如下两种方案，请你再设计两种不同的种植方案.思维拓展题一：小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是从左至右第_____个.第14讲垂直平分线重难点易错点辨析垂直平分线的性质和判定题一：△ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点P，求证：点P也在BC的垂直平分线上.金题精讲题一：如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，则∠DAE等于()A．50°B．45°C．30°D．20°B C题二：在△AOB的内部有一点P，点P与P1关于OA对称，点P与P2关于BO对称，则△OP1P2是()A．等边三角形B．等腰三角形C．直角三角形D．钝角三角形题三：△ABC中，D为BC中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E，EF⊥AB于F，EG⊥AC于G．求证：BF=CG．B题四：如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且BD=CF，BE=CD，过点D作DG⊥EF于G．求证：EG=FG．B思维拓展题一：如图，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在()A．在AC，BC两边高线的交点处B．在AC，BC两边中线的交点处C ．在AC，BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A，∠B两内角平分线的交点处B CA第15讲尺规作图—角分线和中垂线重难点易错点辨析已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不写作法) .(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC 于点F .金题精讲题一：如图，已知△ABC(AB<BC)，用尺规在BC 上确定一点P，使P A+PC=BC，则下列四种不同方法的作图中准确的是( )题二：已知，∠AOB，点M、N.求作：点P，使点P到OA、OB的距离相等，且PM =PN．(要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法) 题三：某市规划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置.(要求：不写已知、求作、作法和结论，保留作图痕迹)思维拓展如图(1)所示，凸四边形ABCD，如果点P满足∠APD=∠APB=α，且∠BPC=∠CPD=β，则称点P为四边形ABCD的一个半等角点.(1)在图(2)正方形ABCD内画一个半等角点P，且满足α≠β.(2)在图(3)四边形ABCD中画出一个半等角点P，保留作图痕迹.(不需写出画法)第16讲等腰三角形重难点易错点辨析等腰三角形的定义：两边相等的三角形是等腰三角形等腰三角形的性质：等边对等角、三线合一等腰三角形的判定：等角对等边题一：下列说法正确的是( ) A.两腰相等的三角形是等腰三角形B.等腰三角形的中线、高、角分线三线合一C.“等边对等角”和“等角对等边”都是等腰三角形的性质D.等腰三角形的外角中一定有钝角金题精讲题一：已知如图，四边形ABCD 中，AB =BC ，∠A =∠C ，求证：AD =CD ．CB题二：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60°，求三角形三个内角的度数．题三：已知：如图，AB =AC ，CE ⊥BC ，BD ⊥BC .过点A 的直线DE 交BD 于D ，交CE 于E . 求证：AD =AE .B题四：如图，在△ABC 中，∠B =90°，M 是AC 上任意一点(M 与A 不重合)MD ⊥BC ，交∠BAC 的平分线于点D ，求证：MD =MA ． B思维拓展题一：如图，∠AOB 是一钢架，且∠AOB =15°，为了使钢架更加坚固，需要其内部添加一些钢管EF 、FG 、GH ，···，添加的钢管长度都与OE 相等，则最多能添加这样的钢管根．OB第17讲等边三角形重难点易错点辨析等边三角形的定义：三边相等的三角形是等边三角形等边三角形的性质：三边相等，3个60° 等边三角形的判定： 3边相等， 2个60°，含有1个60°的等腰三角形题一：如图，△ABC 为等边三角形， ∠BAD =∠CBE =∠ACF ． (1)求∠EDF 的度数；(2)求证：△DEF 为等边三角形．B30°的直角三角形：30°所对的直角边是斜边的一半题二：已知，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，请证明：AB=2BC.金题精讲题一：已知△ABC是等边三角形，D、E、F分别是各边上的一点.(1)若AD=BE=CF．试证明△DEF是等边三角形．(2)若△DEF是等边三角形，那么AD=BE=CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明原因.B题二：如图，等边△ABC与等边△DEC共顶点于C点．求证：AE=BD．题三：如图，△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，AB的垂直平分线与BC交于点D，交AB于E，DB=8，求AC的长．B题四：如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB=105°，∠BOC=α．以OC为边作等边△OCD，连接AD．(1)请证明：OB=AD．(2)△AOD能否成为等边三角形？如能，请求出α的值；如不能，请说明理由．B思维拓展题一：等腰三角形的底角为15°，腰长为2，则该等腰三角形的面积是.第18讲轴对称综合重难点易错点辨析折叠的作用：转移边、角用几何变换的思路来思考问题，用全等的步骤来说明问题题一：求证：三角形中，大边对大角.金题精讲题一：在△ABC 中，AB >AC ，AD 是∠BAC 的平分线．P 是AD 上任意一点．求证：AB －AC >PB －PC ．DBCA P题二：如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A 的平分线AE 交DC 于E ．求证：当BE 是∠ABC 的平分线时，有AD +BC =AB ．CEAD题三：(1)如图，在△ABC 中，AB +BD =AC ，∠BAC 的平分线AD 交BC 于D ．求证：∠B =2∠C ．BCA(2)如图所示，在△ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，∠B =2∠C ．求证：AB +BD =CD ．DBAC思维拓展题一：如图，已知∠ABD =∠ACD =60°，且∠ADB =90°－12∠BDC ．求证：△ABC 是等腰三角形．BAD第19讲等比法求三角形面积重难点易错点辨析等比法求三角形面积－－－－底相同，面积比为高之比；高相同，面积比为底之比题一：如图，平行四边形ABCD 中，E 在AC 上，AE =2EC ，F 在AB 上，BF =2AF ，如果△BEF 的面积为2cm 2，则平行四边形ABCD 的面积为( )cm 2.金题精讲题一：△ABC 中，已知点D 、E 、F 分别是BC 、AD 、CE 边上的中点，且S △ABC =4cm 2，则S △BEF 的值为( ).题二：如图所示，三角形ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠B 的平分线BP 于P ，则三角形PBC 的面积相等的长方形是( ).A. C.B. D .思维拓展如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF－S△BEF= .第20讲等积法求三角形面积重难点易错点辨析等积法求三角形面积－－－－找到平行线题一：如图，AB∥CD，AC与BD交于点O，则图中面积相等的三角形有( )A.1对B.2对C.3对D.4对金题精讲题一：如图，已知直线l1、l2、l3、l4及m1、m2、m3、m4分别互相平行，且S四边形ABCD =100，S四边形EFGH =20，则S四边形PQRS = .题二：在学习三角形中线的知识时，小明了解到：三角形的任意一条中线所在的直线可以把该三角形分为面积相等的两部分．进而，小明继续研究，过四边形的某一顶点的直线能否将该四边形平分为面积相等的两部分？他画出了如下示意图，得到了符合要求的直线AF．小明的作图步骤如下：第一步：连结AC；第二步：过点B作BE∥AC交DC的延长线于点E；第三步：取ED中点F，作直线AF.请你证明：直线AF即为所求．思维拓展三个正方形ABCD，BEFG，RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为( )A. 14B. 16C. 18D. 20第21讲倍长中线重难点易错点辨析倍长中线－－－－－－将中线延长一倍，构造全等题一：C是线段AB的中点，在CE上取两点D、E.(1)若AD = BE，求证：∠ADC=∠E；(2)若∠ADC =∠E，求证：AD = BE.已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC，延长BE交AC于F，求证：AF =EF.已知：如图，在△ABC中，AC≠AB，D、E在BC上，且DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC.求证：AE平分∠BAC .金题精讲题一：在四边形ABCD中，AB∥DC，E为BC 边的中点，∠BAE=∠EAF，AF与DC的延长线相交于点F，试探究线段AB与AF、CF之间的数量关系，并证明你的结论.思维拓展如图已知△ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，求证EF=2AD.第22讲中垂线重难点易错点辨析中垂线－－－－－－连接中垂线上的点和线段端点题一：如图，在四边形ABCD中，点E是BC的中点，点F是CD的中点，且AE⊥BC，AF⊥CD .(1)求证：AB=AD ；(2)请你探究∠EAF，∠BAE，∠DAF之间有什么数量关系？并证明你的结论.AD金题精讲题一：两个重叠的正多边形，其中的一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题，试验与论证：设旋转角∠A1A0B1=α(α<∠A1A0A2)，3θ、4θ、5θ、6θ所表示的角如图所示.(1)用含α的式子表示角的度数：3θ= ，4θ= ，5θ= ，6θ= ；(2)连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请选择其中的一个图证明；若不存在，请说明理由；归纳与猜想：设正n边形A0A1A2…A n－1与正n边形A0B1B2…B n－1重合(其中A1与B1重合)，现将正多边形A0B1B2…B n－1绕顶点A0逆时针旋转α(0°<α<°180n) ；(3)设nθ与上述“3θ、4θ… ”的意义一样，请直接写出nθ的度数；(4)试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，请将这条线段相应的顶点字母表示出来(不要求证明)；若不存在，请说明理由.思维拓展如图△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a，AC=b，求AE，BE的长.第23讲截长补短重难点易错点辨析截长补短－－－－－－a+b=c题一：点M，N在等边三角形ABC的AB、AC边上运动，BD=DC，∠BDC=120°，∠MDN=60°，求证MN=MB+NC ．金题精讲题一：问题背景：如图1：在四边形ABCD中，AB=AD，∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF=60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G．使DG=BE．连结AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是.探索延伸：如图2，若在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF=12∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由；思维拓展如图，已知：在△ABC内，∠BAC=60°，∠ACB=40°，P、Q分别在BC、CA上，并且A P、BQ分别是∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ+AQ=AB+BP .第24讲运动中的全等重难点易错点辨析运动中的全等——变化的是量，不变的是关系题一：(1)操作发现：如图1，在等边△ABC中，点M是BC上的任意一点(不含端点B、C)，连接AM，以AM为边作等边△AMN，连接CN，猜想∠ABC与∠ACN有何数量关系？并证明你的结论；(2)类比研究，如图2，在等边△ABC中，点M 是BC延长线上的任意一点(不含端点C)，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？并说明理由.金题精讲题一：如图1，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时(与点B不重合)，如图2，线段CF、BD所在直线的位置关系为，线段CF、BD的数量关系为；②当点D在线段BC的延长线上时，如图3，①中的结论是否仍然成立，并说明理由；(2)如果AB≠AC，∠BAC是锐角，点D在线段BC上，当∠ACB满足什么条件时，CF⊥BC(点C、F不重合)，并说明理由.思维拓展如图所示，等边三角形ABC的边长为2，点P 和Q分别从A和C两点同时出发，做匀速运动，且它们的速度相同．点P沿射线AB运动，点Q 沿边BC的延长线运动，设PQ与直线AC 相交于点D，作PE⊥AC于E，当P和Q运动时，线段DE的长是否改变？证明你的结论．第25讲幂的运算重难点易错点辨析幂的运算题一：下列运算正确的是()A．3a2 －a2=3 B．(a2)3=a5C．a3•a6=a9D．(2a2)2=4a2同底数幂相除题二：若5x=9，5y=3，则5x－2y的算术平方根是多少？金题精讲题一：若2×8n×16n=222，则n是多少？如果y m－n•y3n+1=y13，且x m－1•x4－n=x6，求2m+n的值．已知10m=2，10n=3，求103m+2n的值．题二：计算：(－2)2n+1+2•(－2)2n= ；－x2•(－x)3•(－x)2= ；x2•(－x)3•(－x)4= ．题三：利用幂的运算法则简便计算：33321(9)()()33-⨯-⨯23321[()](2)2⨯0.252013×42014×(－8)100×0.5300题四：人们以分贝为单位来表示声音的强弱．通常说话的声音是50分贝，它表示声音的强度是105；摩托车发出的声音是110分贝，它表示声音的强度是1011．摩托车的声音强度是说话声音强度的倍．根据里氏震级的定义，地震所释放的相对能量E 与地震级数n的关系为：E=10n，那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的倍数是．。

著名机构七年级数学秋季提升班讲义因式分解综合复习-教师版

教师姓名冯娜娜学生姓名年级初一上课时间 2018/1/1学科数学课题名称因式分解复习因式分解1. 提取公因式法利用提取公因式法进行因式分解的一般步骤可概括为“一找、二提、三去除”。

“一找”就是第一步要折过去找出多项式中各项的公因式；“二提”就是第二步将所找出的公因式提出来；“三去除”就是第三步当提出公因式后，此时可直接观察提出公因式后剩下的另一个因式，也可以用原多项式去除以公因式，所得的商即为提出公因式后剩下的一个因式。

例如分解因式：3222391218x y x y x y z -+，当确定公因式为23x y 后，则因式分解综合复习【答案】（2）2269103025x xy y x y -+-++222(69)10305x xy y x y =-+-++22(3)2(3)55x y x y =--⋅-⋅+ =2(35)x y -- （3）2222a a b ab a b b -+-+-【分析】此题还是六项式，但都不具备低（1）、（2）小题的特征，可将者六项式二项、二项、二项分成三组，各自提取公因式，再提取三组间的公因式。

【答案】（3）2222a a b ab a b b -+-+-2222()()()a b a b ab a b =-----()()()()a b a b ab a b a b =+----- ()(1)a b a b ab =-+-- ()[(1)(1)]a b b a b =---- ()(1)(1)a b b a =---【点评】此题分解到()(1)a b a b ab -+--时要用心观察提取公因式的剩余因式(1)a b ab +--是否能再分解因式，因为它又是四项式，不能应用公式法和提取公因式可，可再考虑分组分解法采用二项、二项分组法再提取公因式。

【习题1】若2425x kx ++是一个完全平方式，则k = ．【答案】20±【习题2】分解因式：2()_________________a b a b --+=．【答案】()(1)a b a b ---【习题3】分解因式：2()10()25______________b a a b ---+=．【答案】22(5)(5)a b b a ---+或。

六年级数学提高班讲义11

逸小六年级提高班讲义（10）班级______ 姓名_______1、兄弟三人，老大的比老二的年龄大20％，老二比老三的年龄大20％，问老大比老三的年龄大百分之几？2、某商店同时卖出两件商品，每件各卖得60元，但其中一件亏20％，另一件赚20％，问这两个商店卖出这两件商品是亏本还是赚钱？3、有一种商品，甲店进货价（成本）比乙店进货价便宜10％，甲店按20％得利润来定价，乙店按15％的利润率来定价，结果甲店定价比乙店定价便宜11.2元，甲店进货价是多少元？4、一种商品按50％的期望利润率定价，结果只买了70％的商品，为了尽快卖完剩下的商品，商店决定按定价打折出售，这样所获的全部利润是原来所期望获得利润的82％，问商品打了多少折扣？5、有一堆糖果，其中甲种糖块数占总数的45％，再放入16块乙种糖后，甲种糖只占现在总数的25％，问这堆糖果中有多少块甲种糖？6、兴趣学校四年级学生比三年级学生多25％，五年级学生比四年级学生少10％，六年级学生比五年级学生多10％，如果六年级学生比三年级学生多38人，那么三～六年级共有学生多少人？7、某校原有两个兴趣小组，现在要重新编为三个兴趣小组，将原一组的13与原二组的25％组成新一组，将原一组的25％与原二组的13组成新二组，余下的60人组成新三组，若新一组的人数比新二组的人数多10％，问原一组有多少人？8、有若干堆围棋子，每堆的棋子一样多，且每堆中的白子都占28％，小明从某堆中拿走一半棋子，而且拿走的都是黑子，剩下的棋子中，白子占总数的32％，问共有多少堆棋子？9、有甲乙两盒棋子，甲盒中有2700枚棋子，其中黑子占30％，乙盒中有棋子1200枚，其中黑子占90％；现从乙盒中取若干棋子放入甲盒中，此时甲盒中的黑子占40％，乙盒中的黑子仍占90％，问乙盒中拿了多少枚棋子放入了甲盒？。

提高班第10周讲义

八年级数学提高班讲义班级_______ 姓名_____________ 学号_______一次函数的综合应用1、一次函数2y x =+的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B ，（1）求A 、B 两点坐标；（2）若点C(，在直线AB 上是否存在一点P ，使△ACP 为等腰三角形？若存在，求P 点坐标；若不存在，说明理由.2、如图l ，y=-x+6与坐标轴交于A 、B 两点，点C 在x 轴负半轴上，AOB OBC S S ∆∆=31(1)求直线BC 的解析式；(2)直线EF ：y=kx-k 交AB 于E 点，与x 轴交于D 点，交BC 的延长线于点F ，且FBD BED S S ∆∆=求k 的值.3、在平面在角坐标系中，已知A(1，4)、B（3,1），P是坐标轴上一点，（1）当P的坐标为多少时，AP+BP取最小值，最小值是多少？（2）当P的坐标为多少时，AP-BP取最大值，最大值是多少？4、如图，平面直角坐标系中，点A、B分别在x、y轴上，点B的坐标为(0，1)，∠BAO=30°．（1）求AB的长度；（2）以AB为一边作等边△ABE，作OA的垂直平分线MN交AB的垂线AD于点D．求证：BD=OE．（3）在（2）的条件下，连结DE交AB于F．求证：F为DE的中点．5、如图，矩形OABC 在平面直角坐标系中，若OA 、OC 的长满足0)32(|2|2=-+-OC OA（1）求B 、C 两点的坐标；（2）把△ABC 沿AC 对折，点B 落在点B ′处，线段AB ′与x 轴交于点D ，求直线BB ′的解析式；（3）在直线BB ′上是否存在点P ，使△ADP 为直角三角形？若存在，请直接写出P 点坐标；若不存在，请说明理由．。

六年级湘教版必备数学提升讲义

六年级湘教版必备数学提升讲义第一章：整数练习1. 整数的概念及表示方法整数是由正整数、零和负整数构成的数集，用...表示。

整数从小到大依次排列，形成整数线。

2. 整数的加法和减法整数的加法和减法运算可以通过数线上的移动来理解。

同号两数相加（减），取同号并将数的绝对值相加（减）；异号两数相加（减），取两数差号，并将数的绝对值相减。

3. 整数的乘法和除法整数的乘法和除法运算可以通过数线上的移动和符号规律来理解。

同号两数相乘，取异号；异号两数相乘，取同号。

整数除数绝对值大于被除数绝对值时，商为负数；整数除数绝对值小于被除数绝对值时，商为正数。

4. 整数的混合运算整数的加法、减法、乘法和除法可以进行混合运算。

按照运算顺序依次计算，先乘除后加减。

第二章：分数的乘除练习1. 分数的概念及表示方法分数由分子和分母组成，分子表示被分的等份中的几份，分母表示被分的等分数。

分数可以表示有限小数或无限循环小数。

2. 分数的加法和减法分数的加法和减法可以通过通分后的分数计算。

通分时，将两个分数的分母改为相同数，然后分别进行加法或减法运算。

3. 分数的乘法分数的乘法可以通过分子相乘、分母相乘来计算，然后对所得分数进行化简。

4. 分数的除法分数的除法可以通过倒数相乘来计算，即将被除数的分子和分母互换，然后进行分数的乘法运算。

第三章：小数的加减练习1. 小数的概念及表示方法小数是由整数部分和小数部分组成的数，用小数点将整数部分和小数部分分开。

小数点左边的数是整数部分，右边的数是小数部分。

2. 小数的加法和减法小数的加法和减法运算时，将小数点对齐，然后依次按照个位、十分位、百分位等进行运算。

若小数位数不同，可在较短的小数后面补零。

第四章：图形的认识与练习1. 平行线、垂线和相交线的判断平行线是在同一平面内，永不相交的两条直线；垂线是与另一条直线相交，相交点与另一条直线的任意一点的连线垂直的直线；相交线是在同一平面内，相交形成的两条直线。

高一数学提高班讲义 Microsoft Word 文档

高一数学提高班讲义三、基础自测1. 用列举法表示不等式组10,221x x x +≥⎧⎨+>-⎩的整数解的集合__________________.2. 已知集合2{|560}p x x x =-+=，则p 的所有子集是_____________________.3. 一次函数3+=x y 与32+-=x y 的图象的交点组成的集合为 .4. 已知集合2{3,21,4},M a a a =---且M ∈-3，则实数a 的取值集合是__________.5. 设{}2|690M x ax x =-+=是含一个元素的集合，则a 的值为 .四、典例剖析例1 已知集合2{|60,}P x x x x R =+-=∈，{|10,}S x ax x R =+=∈,若P S ⊆,求实数a 的取值集合.【习题01】已知2{|320}A x x x =-+=,{|20}B x ax =-= ，且AB A =，求实数a 组成的集合C ．例 2.【延安市2018届高三高考模拟】全集{}2,1,0,1,2U =--， {}2,2A =-， 2{|10}B x x =-=，则图中阴影部分所表示的集合为（）A. {}1,0,1-B. {}1,0-C. {}1,1-D. {}0类型二：求集合交集、并集或补集中的元素例3.【2015新课标】已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )A. 5B.4C.3D.2【变式1】已知集合{32,},{|10}A x x n n N B x x ==+∈=≤，则集合A B 中的元素个数为_______.【变式2】已知集合{1,2,3}A =，{3,4,5}B =，则集合A B 中元素的个数为_______.2.已知集合{}{}2|31,|20A x x B x x x =-<<=-≤，则AB = 例4．设全集，，，则集合（）A.B. C. D.【例5】设全集{}()1,2,3,4,5,U U C AB =={}(){}1,A 3UC B =，则集合B =（） A ．{}1,2,4,5B ．{}2,4,5C ．{}2,3,4D ．{}3,4,5【标题01】数集和点集区分不清【习题01】已知集合2{|1,}M y y x x R ==+∈ ,{|1,}N y y x x R ==+∈，则M N =（）A ．(0,1),(1,2) B．{(0,1),(1,2)} C．1y ≥ D．{y |y 1}≥【习题01针对训练】已知集合{(,)|10}A x y x y =+-=，2{(,)|1}B x y y x ==-，则A B = .【标题02】对集合表示的函数的定义域和值域区分不清【习题02】集合{}22x y x M -==，{}12-==x y y N ，则=N M .【习题02针对训练】若集合{A x y ==，{}22B y y x ==+，则A B =（） A ．[)1,+∞ B ．()1,+∞ C ．[)2,+∞ D ．()2,+∞【标题03】集合运算的结果表示错误或者不规范【习题03】集合(){}(){}2,,22A x y y x B x y y x x ====-+，，A B = .【习题03针对训练】已知集合{|}A x y x Z ==∈，{y|y 2x 1x A}B ==-∈，则A B ＝_____类型三：已知集合关系求参数的值或范围进行集合的交、并、补运算时忽略了空集例6.已知{}{}26,23A x x B x a x a =≤≤=≤≤+若B A ⊆。

高三数学提高班讲义代数部分(绝对经典).总结

资优生专题讲座一：会合与命题一、会合与命题（ 5 分钟）1、知识点整理：会合的观点；2、会合间的包含关系 A B ：任取x A ，则 x B ；3、会合的运算（交、并和补集）；4、命题与条件；5、充足条件、必需条件和充要条件；6、子集与推出关系2、基本要求（15分钟）1、设常数a R ，会合 A { x | ( x 1)( x a) 0}, B { x | x a 1} ，若 A B R ，则 a 的取值范围为（）(A)(, 2) ；(B)( , 2] ；(C)(2,) ；(D) [2,)2、钱大姐常说“廉价没好货”，她这句话的意思是：“不廉价”是“好货”的（）(A)充足条件(B) 必需条件(C) 充足必需条件(D) 既非充足也非必需条件3、已知函数 f ( x ) x2ax b 会合 A x | f ( x ) x ,A 1 ，务实数 a ,b的值4、若会合A x | x 2n 1, n Z , B x | x 4n 1, n Z ,则会合A,B的关系6、已知会合A x 3cos 2 x 3x , B y y2 1，求A B7、命题“已知数列a n, b n是公比不相等的等比数列，则数列a n b n不可等比数列，”是真命题，你能获得什么结论？3、例题精讲（30分钟）例题1：假如某个数集中随意两个元素进行和、差、积、商（除数不为零）运算，所得结果一直在这个会合之中，我们称这个会合是“关闭集”，现给出以下会合：①有理数集；②无理数集；③实数集；④A x | x m n 2, m, n Z ，此中“关闭集”的是例题 2：已知会合ax 10}，且2 A ，3 A ，则实数a的取值范围是A { x |ax例题 3：设对于 x 的方程1 A ,若A R, 则实数 a 的取值范围2x a 的解集为x2是例题 4：设 f (x)x 2 ax b(a,bR), A x | f ( x) x, x R , B x | f ( f (x)) x,x R , 若A 2 或 A1,3 ，分别求会合 B4、练习：（ 20 分钟） +讲评（ 10 分钟）（ 1）、已知会合 Ax | x m1, m Z , B x | x n 1, nZ ,62 3p 1 , p Z ，试议论会合 A,B ,C 的关系Cx | x62（ 2）会合 AB a , a ,a 3 , 当 A B 时， A, B 与 B, A 视为不一样的对，这样A,B 对12的个数：设 A, B,C 是会合， A B C 1 , ，则三元有序对A, B,C 的个数那么 AB C 1,2 的个数呢？（ 3）已知非空会合 S N , 知足条件“假如 x S,那么 8 x S ”,知足题设的会合 S 共有几个？（ 4）已知会合 A1,2,3,4,5 , B,C 都是会合 A 的非空子集，要求B 中元素的最小数大于 C的最大数，这样的会合序对有对（5）定义闭会合 S , 若 a ,b S ，则 a b S ,a b S（ 1）举一例，真包含于R 的无穷闭会合（ 2）求证：对随意两个闭会合S 1 ,S 2 R, 存在 c R,cS 1 S 2资优生专题讲座二：不等式专题一、知识点整理（ 5 分钟）1、不等式性质；2、不等式解法；3、不等式证明；4、基本不等式二、基本要求（ 15 分钟） 1、若 a, b R ，且 ab 0 ，则以下不等式中，恒成立的是（）（ A ） a2 b22ab . （ B ） a b2 ab . （ C ） 1 12 .（ D ） ba 2 .[根源2a bab a b2、已知不等式mx 1 0 的解集为 xx|1或x 1 ，则实数 m 的值 =mx13、若实数 x 、 y 、 m 知足 xmy m ，则称 x 比 y 远离 m .（ 1）若 x 2 1 比 1 远离 0，求 x 的取值范围；（ 2）对随意两个不相等的正数a 、b ，证明： a 3 b 3 比 a 2 b ab 2 远离 2ab ab4、同学们都知道，在一次考试后，假如按次序去掉一些高分，那么班级的均匀分将降低；反之，假如按次序去掉一些低分，那么班级的均匀分将提升 . 这两个事实能够用数学语言描绘为：如有限数列 a, a , , an知足 a a2a ，121n则（结论用数学式子表示） .三、例题精讲（ 30 分钟）1、设 a 为实常数， yf ( x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x0 a 2 时， f (x) 9x7 ，若f (x) a 1 对全部 x 0 成立，则 a 的取值范围为 ________x2、已知 a 3, 求证： a a 1 a 2 a 33、已知 a,b0, a b 求证：abba4、x 1, y 1,1 1 1求证： x yxxyxy y5、若不等式x2 2 2xy ≤ a( x2y 2 ) 对于全部正数x 、y恒成立，则实数 a 的最小值为四、不等式综合练习：（ 20+10=30 分钟）3 a b c1、已知a,b,c为三角形的三边，求证：b c a c 22 a b2、能否存在实数a, b, c, 使函数f (x) ax2bx c 的图像过点M ( 1,0), 且知足条件：对一切 x R, 都有 x1 x2f ( x) ？证明你的结论。

高三数学提高班讲义代数部分(绝对经典)

高三数学提高班讲义代数部分（绝对经典）资优生专题讲座一：集合与命题一、集合和命题（5分钟）1、知识点的排列：集合的概念；2.集合之间的包含关系？A.b？：有x吗？a、然后是x？B3、集合的运算（交、并和补集）；4、命题与条件；5、充分条件、必要条件和充要条件；6、子集与推出关系2.基本要求（15分钟）1.设置常数a？r、设定一个目标？{x|（x？1）（x？a）？0}，b？{x | x？A？1}，如果A？BR则a的取值范围为（）(a)(??,2)；(b)(??,2]；(c)(2,??)；(d)[2,??)2.钱姐姐常说“便宜货不是好货”。

她这句话的意思是“不便宜”是好货（a）充分条件（b）必要条件（c）充分必要条件（d）既不充分也不必要条件3、已知函数f(x)?x2?ax?b集合a??x|f(x)?x?,a??1?，求实数a,b的值4.如果设置a？？x | x？2n？1，n？ZBx | x？4n？1，n？Z然后是集合a和集合B之间的关系7、命题“已知数列?an?,?bn?是公比不相等的等比数列，则数列?an?bn?不成等比数列，”是真命题，你能得到什么结论？6.已知集合a？x3cos2？十、3，b？yy？1.问一个问题？B十、2.3.关于例子的精彩讲座（30分钟）例题1：如果某个数集中任意两个元素进行和、差、积、商（除数不为零）运算，所得结果始终在这个集合之中，我们称这个集合是“封闭集”，现给出下列集合：①有理数集；②无理数集；③实数集；④a?x|x?m?n2,m,n?z，其中“封闭集”的是例2：已知集合a？{x|1斧头？1.0}和2？a、 3号？a、那么实数a的取值范围是x？例3：设置关于X 的方程式1?2x?a的解集为a,若a?r,则实数a的取值范围x?2是例4：设f（x）？x2？斧头？b（a，b？r），a？？x | f（x）？x、 x？RBx | f（f （x））？x、 x？R如果a??2?或a1,3?，分别求集合b4.练习：（20分钟）+讲评（10分钟）1n1(1) . 已知集合a？？x | x？MMZBx | x？？，NZ623p1??c??x|x??,p?z?，试讨论集合a,b,c的关系26??（2）集合a?b??a1,a2,a3?,当a?b时，?a,b?与?b,a?视为不同的对，这样?a,b?对人数：设a,b,c是集合，a?b?c??1?,，则三元有序对?a,b,c?的个数那是一个？BC1,2? 有多少（3）已知非空集合s?n,满足条件“如果x?s,那么8?x?s”,满足题设的集合s共有几一（4）已知集合a??1,2,3,4,5?,b,c都是集合a的非空子集，要求b中元素的最小数大于c的最大数，这样的集合序对有对（5）定义闭集s，如果a，B？s、然后是a？Bs、 a？Bs（1）举一例，真包含于r的无限闭集合（2）验证：对于任何两个闭合集S1、S2？r、存在C吗？r、 c？s1？s22天才学生专题讲座2：不平等一、知识点整理（5分钟）1.不等式性质；2.不等式解；3.不等式证明；4.基本不平等二、基本要求（15分钟）1.如果a，B？r、 ab呢？0，那么（）（a）a？B2ab。

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（2）9.03万.精确到百位，有3个有效数字9、0、3；
（3）1.8亿.精确到千万位，有2个有效数字1、8；
（4）6.40×105.精确到千位，有3个有效数字6、4、0。
较大的数取近似值时，常用×万，×亿等等来表示，这里的“×”表示这个近似数的有效数字，而它精确到的位数不一定是“万”或“亿”。对于不熟练的学生，应当写出原数之后再判断精确到哪一位，例如9.03万＝90300，因为“3”在百位上，所以9.03万精确到百位。
(4)写出系数为-1，均只含有字母 , 所有五次单项式；
作业
1. 判断下列各代数式是否是单项式．如果不是，请简要说明理由；如果是，请指出它的系数与次数：
（1）x＋1；（2）五次单项式，则m=__________；
（2）若是五次单项式，则m=__________；
2.如果，那么的值是____________________.
3.去括号： =_________________________.
4.当时， =_________________.
5.代数式与的差是__________________________.
6.若使多项式与多项式相加后不含二次项，则m=_____________.
（1）1.5982要精确到0.01即百分位，只看它后面的一位即千分位的数字，是9＞5，应当进1，所以近似值为1.60。
（2）0.03049保留两个有效数字，3左边的0不算，从3开始，两个有效数字是3、0，再看第三个数字是4＜5，应当舍，所以近似值为0.030。
（3）、（4）同上。
解：（1）1.5982≈1.60 （2）0.03049≈0.030
(3)-2006是单项式；（）
(4)单项式的系数是 .（）
（5）0不是单项式。（）
（6）ab3是单项式，次数是4，没有系数。（）
（7）-6abc4的系数是-6，次数是6. （）
选作题：已知是关于 , 的单项式，且系数为，次数是4，求代数式的值.
多项式练习题
1.多项式是______次______项式，最高次项是____________________________________.
7.一个两位数，它的十位数字为a，个位数字为b，若把它的十位数字与个位数字对调，新数与原数的差为__________________________.
1.在代数式－2x2，ax，，，1＋a，－b，3＋2a，中单项式有________________________________，多项式有_____________________________________.
说明：求整数的近似数时，应注意以下两点：
（1）近似数的位数一般都与已知数的位数相同；
（2）当近似数不是精确到个位，或有效数字的个数小于整数的位数时，一般用科学记数法表示这个近似数。因为形如a×10n（，n为正整数）的数可以体现出整数的精确度。
4. 用四舍五入法取近似值，3.1415926精确到百分位的近似值是_________，精确到千分位近似值是________。
A. 6a＋8bB. 12a＋16bC. 3a＋8bD. 6a＋4b
1.指出下列各式中哪些是单项式，哪些是多项式，哪些是整式？
单项式：_____________________________
多项式：_____________________________
整式：________________________________
6.当b=________时，式子2a+ab-5的值与a无关.
7、化简下列各式
(1)(2x4―5x2―4x+1)―(3x3―5x2―3x)；
(2)―[―(―x+ )]―(x―1)；
(3)―3( x2―2xy+y2)+ (2x2―xy―2y2)。
(4)3a2+a2―(2a2―2a)+(3a―a2)；
8.求整式x2―7x―2与―2x2+4x―1的差，其中x=－2.
近似数40000与4×104有区别，40000表示精确到个位，有五个有效数字4、0、0、0、0，而4×104表示精确到万位，有1个有效数字4。
2..下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有几个有效数字？
（1）70万（2）9.03万（3）1.8亿（4）6.40×105
解：（1）70万. 精确到万位，有2个有效数字7、0；
9.已知A=x2－5x,B=x2－10x+5,求A+2B的值.
10.已知，求 .
11.已知x2－xy=60,xy－y2=40,求代数式x2－y2和x2－2xy+y2的值.
12.已知，求的值。
2.代数式－ mn，，，－ab2c3，0，a2＋3a－1中，单项式有__________个，多项式有__________个．
3.（－2a2b）－（－4ab2）－（－3a2b）－2ab2＝____________________．
4.若x2－6x－2的2倍减去一个多项式得4x2－7x－5，则这个多项式是__________．
3.减去等于的多项式为_______________________.
4.若，则的值为________________________.
5.三个连续偶数的和是120，则最大的偶数为_____________________.
6. ，则的值为_______________.
7.已知， ,则
5．ab减去等于 ( )。
6.将2(x+y)-3(x-y)-4(x+y)+5(x-y)-3(x-y)合并同类项得()
7．已知x+y=3，则7-2x-2y的值为；
8．一个多项式加上-3+x-2x2 得到x2-1，那么这个多项式为；
9．已知与是同类项，则5m+3n的值是．
10.若长方形的长为2a＋3b，宽为a＋b，则其周长是（）
3.用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值。
（1）1.5982（精确到0.01）（2）0.03049（保留两个有效数字）
（3）3.3074（精确到个位）（4）81.661（保留三个有效数字）
分析：四舍五入是指要精确到的那一位后面紧跟的一位，如果比5小则舍，如果比5大或等于5则进1，与再后面各位数字的大小无关。
（1）26074（精确到千位）（2）7049（保留2个有效数字）
（3）26074000000（精确到亿位）（4）704.9（保留3个有效数字）
分析：根据题目的要求：
（1）26074≈26000；
（2）7049≈7000
（3）26074000000≈26100000000
（4）704.9≈705
（1）、（2）、（3）题的近似值中看不出它们的精确度，所以必须用科学记数法表示。
（3）3.3074≈3 （4）81.661≈81.7
说明：1.60与0.030的最后一个0都不能随便去掉。1.60是表示精确到0.01，而1.6表示精确到0.1。对0.030，最后一个0也是表示精确度的，表示精确到千分位，而0.03只精确到百分位。
【典型例题分析】
例1.用四舍五入法，按括号里的要求对下列各数取近似值，并说出它的精确度（或有效数字）。
单项式练习题
当堂训练
1.下列代数式是单项式的有___________：
（1）a；（2）；（3）；（4）；（5）xy；（6）。
2.．填下列表格
单项式
系数
次数
3.说出下列单项式的系数与次数：
（1）；（2）−mn；（3）；（4）
4.分别写出一个符合下列条件的单项式：
（1）系数为3；（2）次数为2；（3）系数为-1，次数为3。
(1)A+B=__________________________;(2) 3A-4B=_______________________________.
1.将代数式中是单项式的是_____________________________，是多项式的是_____________________________.
2.多项式是关于的三次二项式，则m=_______，n=_________.
3.已知表示的数在数轴上如图，那么 =___________
4.若与的和是单项式，则 =________________.
5. =________________________________.
6.当时， =____________________.
（3）若是五次单项式，则 =__________。
（4）如果为四次单项式，则 =.
3.找朋友：适当画线连接：
系数单项式次数
1 3
9 6
30% 1
2
-1 5
4.判断下列说法是否正确,正确的在括号内打“√”,不正确的打“×”.
(1)单项式既没有系数,也没有次数；（）
(2)单项式的系数是5；（）
10.20数学提高班讲义
科学计数法
1.下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？各有哪几个有效数字？
（1）38200 （2）0.040 （3）20.05000 （4）4×104
对于一个四舍五入得到的近似数，如果是整数，如38200，就精确到个位；
如果有一位小数，就精确到十分位；两位小数，就精确到百分；
解：（1）26074＝2.6074×104≈2.6×104，精确到千位，有两个有效数字2、6。
（2）7049＝7.049×103≈7.0×103，精确到百位，有两个有效数字7、0。
（3）26074000000＝2.6074×1010≈2.61×1010，精确到亿位，有三个有效数字2、6、1。