多元函数微分学__考试重点

dz f x ( x, y) dx f y ( x, y)z y e x y , x
在点 (2,1) 处的全微分.
z xex y y
z 2 e2 y (2,1)
z e2 , x (2,1)
例6. 计算函数
的全微分.
1 y 解: du 1 dx ( cos z e y z )d y y e y z d z 2 2
x 时，相应地函数有增量 f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )， f ( x0 x , y0 ) f ( x0 , y0 ) 如果 lim 存在，则称 x 0 x 此极限为函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 x 的
偏导数，记为
例2 求函数 z x ( x 0, x 1) 的偏导数. 解
z yx y 1 , x
z x y ln x. y
2、高阶偏导数
函数 z f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z 2 f yy ( x , y ), 2 f xx ( x , y ), x x x y y y
z f ， ，z x x x x 0 x x x 0 y y y y
0 0
x x0 或 y y0
f x ( x 0 , y0 ) .
同理可定义函数 z f ( x , y )在点( x0 , y0 )处对 y 的偏导数， 为
f ( x 0 , y0 y ) f ( x 0 , y 0 ) lim y 0 y z f 记为 ， ， z y x x0 或 f y ( x 0 , y0 ) . y y0 y x x 0 y x x 0 y y y y
t
z
e t cos t e t sin t
u
t
v
t
e t (cos t sin t ).
定理 2
如果 u ( x , y ) 及 v ( x , y )都在点
( x , y )具有对 x和 y 的偏导数，且函数 z f ( u, v )
在对应点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
2z 2z 2z 2z 求 2, , , x yx xy y 2
z z 3 2 2 2 3 解 2 x y 9 xy x; 3 x y 3 y y, y x
z z 2 6 xy , 2 x 3 18 xy; x 2 y 2 2 z 2z 6 x 2 y 9 y 2 1, 6 x 2 y 9 y 2 1. xy yx
(3) z
(
ln( x y ) x y
(4) z
x y
x2 y2 , 则 f (2,3) _______. 2. 设 f ( x , y ) 2 xy
二、多元函数的极限
定义 设函数 z f ( x , y ) 的定义域为 D , P0 ( x0 , y0 ) D ， z 当点 P 无限趋近于点 P0 时， f ( x , y ) 无限地趋近于一
dz z du z dv ． dt u dt v dt
dz 以上公式中的导数 称为全导数. dt
z
u
t
v
t
dz 例 7 设 z uv ，而 u e ， v cos t ，求全导数 . dt
t
解
dz z du z dv dt u dt v dt
ve u sin t
z z 求 和 . x y
解
z z u z v x u x v x
e u sin v y e u cos v 1 e u ( y sinv cos v ),
z z u z v y u y v y u u e sin v x e cos v 1 e u ( x sinv cos v ).
其中 ( x ) ( y ) ，则称函数 z f ( x , y ) 在点( x , y )可微分。称 f x ( x, y) x f y ( x, y) y
2 2
为函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全微分，记为 dz，即 dz f x ( x, y) x f y ( x, y) y ， 或
0 0
例1 求 z x 3 xy y 在点 (1, 2) 处的偏导数.
2 2
解
z 2x 3 y ; x
x 1 y 2
z 3x 2 y . y
x 1 y 2
z x
z 2 1 3 2 8 , y
y
3 1 2 2 7 .
练
习
三
z z 2 z 2 z z e xy ( x y ), 求 , 2, , 1、设 x y y yx z z , dz (1,1) . , 2、已知 z x 3 y , 求 x y
3、 设 z
y ex,
z z , . 求 x x y
1 . 2
三、多元函数的连续性
定义3 . 设二元函数 f ( P )定义在 D 上, P0 ( x0 , y0 ) D, 如果存在
P P0
lim f ( P ) f ( P0 )
则称 二元函数 f ( P ) 在点 P0 连续, 否则称为不连续, 此时 称为间断点 . 如果函数在 D 上各点处都连续, 则称此函数在 D 上
z f [ ( x , y ), ( x , y )]在对应点( x , y )的两个偏
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ， x u x v x z z u z v . y u y v y
z
u v
x
y x
y
例8
设 z e u sin v ，而 u xy ， v x y ，
y 0
1 lim y sin 0 x0 x y0
无穷小乘有界量仍是无穷小
原式 0.
例2
xy 1 1 求 lim . x 0 xy y0
xy 1 1 1 解 原式 lim lim x 0 xy( xy 1 1) x 0 xy 1 1 y0 y0
2
2.
3.
du 设 u e ( y z ), 而 y a sin x, z cos x, 求 . dx
ax
七、隐函数的求导法则
(1) F ( x , y ) 0
隐函数存在定理 1 设函数 F ( x , y )在点 P ( x0 , y0 )的 某一邻域内具有连续的偏导数，且 F ( x0 , y0 ) 0， F y ( x0 , y0 ) 0 ，则方程 F ( x , y ) 0 在点 P ( x0 , y0 )的 某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续 导数的函数 y f ( x ) ，它满足条件 y0 f ( x0 )，并 有
纯偏导
z 2 z z 2 z f xy ( x , y ), f yx ( x , y ). y x xy x y yx
混合偏导
定义 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏 导数.
例3
设 z x 3 y 2 3 xy 3 xy 1
2
六、复合函数求导法则（链式法则）
定理 1 如果函数及 u ( t ), v ( t ) 都在点 t 可 导，函数 z f ( u, v )在对应点( u, v ) 具有连续偏导 数， 则复合函数 z f [ (t ), (t )] 在对应点 t 可导， 且其导数可用下列公式计算：
dz 例9. 设 z u v sin t , u e , v cos t , 求全导数 . dt
t
解:
d z z du d t u d t
z t
v et
t
cos t
z
u v t
e (cos t sin t ) cos t
t
t
练 习 四
1.
z z 设 z u sin v , 而 u xy , v x y , 求 和 . x y z z x 已知 z u ln v , 而 u , v 2 x 3 y , 求 和 . x y y
2
2
例4. 求函数 z e 解:
x2 y
的二阶偏导数.
z x2 y e x
z x2 y e 2 x
2
z x2 y 2e y
z x2 y 2e x y
2
z x2 y 2 e y x
2
z x2 y 4e 2 y
2
五、全微分概念 如果函数 z f ( x , y )在点( x , y )的全增量 z f ( x x , y y ) f ( x , y )可以表示为 z f x ( x, y) x f y ( x, y) y o( ) ，
个确定的常数 A ，则称 A 为函数 z f ( x , y ) 当 x x 0 ， y y0 时的极限，记为 （或 f ( x, y) A ( P P0 ) ）.
x x0 y y0
lim f ( x , y ) A
说明：
（1）定义中 P P0 的方式是任意的；
确定的值和它对应，则称 z 是变量 x, y 的二元函 数，记为 z f ( x , y ) （或记为 z f (P ) ）.
类似地可定义三元及三元以上函数．
n 当 n 2 时， 元函数统称为多元函数.