多元函数微分法及其应用

多元函数微分法及其应用

本节涉及到的多元函数微分学的几何应用包括：空间曲线的切线与法平面

、曲面的切平面与法线。

以上这些几何应用的基础在于空间曲线的切线，而空间曲线切线的基础在于其切向量，进一步，切向量的基础在于一元向量值函数的导数（导向量）。

基于上述理由，本节的第一段专门介绍了一些关于一元向量值函数的知识：包括定义、极限、连续、与导数。想抓住这些知识的关键只需要记住一点：所有的概念都能归结到向量函数的三个分量函数上。而对于后续应用最有用的知识则是向量值函数的导数（导向量）：对向量值函数的三个分量函数分别求导得出的向量。

向量值函数的几何意义是终端曲线，也就是空间曲线。同时，其导向量的几何意义就是切向量。有了切向量，切线立刻可以写出；法平面也立刻可以写出。这就是向量方法的威力所在。

由参数方程表示的空间曲线，其上某点的切向量好记也好算。而由一般方程（两个由隐函数表示的曲面方程联立）表示的曲线，切向量的公式是无法记忆的，太复杂了。解决办法也不难，方程组两边对最终变量x 求导就行了（一般情况都是以x 作最终变量）。可点击参考《说说『隐函数与隐函数组求导』》。

曲面某点的切平面与法线的关键在于找到法向，法向的确定思路是：法向与所有在曲面上且过此点的曲线的切向都垂直。法向最后的结果

很好记忆，就是曲面方程的隐函数分别对三个变量求偏导数。有了法向，切平面和法线可立即写出。

这节的内容期末考试肯定会有，因为它的知识点非常清晰，解决方法也很程序化，并且也可以算同时考察了解析几何一章和微分学知识点。