多元函数微分法及其应用
多元函数微分法及其应用总结
多元函数微分法及其应用总结多元函数微分法及其应用是高等数学中一个重要的内容。
多元函数是指自变量有两个或者多个的函数，如z=f(x,y)。
而微分法是研究函数的变化率的一种方法。
本文将对多元函数微分法及其应用进行总结。
1. 多元函数微分法的基本概念多元函数的微分可以分为偏导数和全微分两种形式。
对于多元函数z=f(x,y)，其偏导数表示函数在某一自变量上的变化率，可以记作∂z/∂x，∂z/∂y。
全微分表示函数在所有自变量上的变化率，可以记作dz。
多元函数的微分法有很多性质和定理，如链式法则、高阶偏导数、隐函数定理等。
2. 多元函数的极值与最值利用多元函数微分法，我们可以求多元函数的极值与最值。
对于多元函数z=f(x,y)，其极值、最值的求解步骤大致如下：（1）求函数的偏导数，得到所有的偏导数；（2）令所有的偏导数等于零，求解出关于x和y的方程；（3）求解方程组，得到x和y的解；（4）将解代回原函数，求得z的值；（5）比较求得的z值，得到最大值或最小值。
3. 多元函数的泰勒展开多元函数的泰勒展开是利用多元函数在某一点附近进行近似求解的一种方法。
对于多元函数z=f(x,y)，其泰勒展开公式为：f(x+Δx,y+Δy) = f(x,y) + (∂f/∂x)Δx + (∂f/∂y)Δy + 1/2(∂²f/∂x²)(Δx)² + 1/2(∂²f/∂y²)(Δy)² + (∂²f/∂x∂y)ΔxΔy + O(Δx²,Δy²)这里的O(Δx²,Δy²)表示高阶无穷小，Δx和Δy表示自变量的增量。
4. 多元函数微分法的应用多元函数微分法广泛应用于物理学、工程学和经济学等领域。
具体应用如下：（1）在物理学中，多元函数微分法可以用于描述粒子在空间中的运动轨迹，求解最优路径等问题。
（2）在工程学中，多元函数微分法可以用于建模和优化设计，如求解最优结构、最优控制等问题。
多元函数微分法及其应用
第九章多元函数微分法及其应用一、基本要求及重点、难点1. 基本要求(1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。
(2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。
(3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件和充分条件。
(4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。
(5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。
(6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。
(7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。
(8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。
了解求条件极值的拉格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。
2. 重点及难点（1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。
（2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。
二、内容概述多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。
1.多元函数的极限和连续(1)基本概念1)点集和区域。
2)多元函数的定义、定义域。
3)二元函数的极限、连续。
(2)基本定理1)多元初等函数在其定义域内是连续的。
2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值M和最小值m之间的任何值。
2.多元函数微分法(1)基本概念偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。
(2) 计算方法1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数x x xz =∂∂，就是一元函数),(0y x f z =在0x x =处的导数；对y 的偏导数x x xz =∂∂（同理）。
2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy yzdx x z dz ∂∂+∂∂=3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。
多元函数微分法及其应用
第九章 多元函数微分法及其应用§8 1 多元函数的基本概念一、平面点集n 维空间1．平面点集二元的序实数组x y 的全体 即R 2RR {x y |x y R }就表示坐标平面坐标平面上具有某种性质P 的点的集合 称为平面点集 记作E {x y | x y 具有性质P } 例如 平面上以原点为中心、r 为半径的圆内所有点的集合是C {x y | x 2y 2r 2} 如果我们以点P 表示x y 以|OP |表示点P 到原点O 的距离 那么集合C 可表成C {P | |OP |r }邻域设P 0x 0 y 0是xOy 平面上的一个点 是某一正数 与点P 0x 0 y 0距离小于的点P x y 的全体 称为点P 0的邻域 记为U P 0 即}|| |{),(00δδ<=PP P P U 或} )()( |) ,{(),(20200δδ<-+-=y y x x y x P U 邻域的几何意义 U P 0 表示xOy 平面上以点P 0x 0 y 0为中心、 >0为半径的圆的内部的点P x y 的全体 点P 0的去心邻域 记作) ,(0δP U即}||0 |{) ,(00δδ<<=P P P P U注 如果不需要强调邻域的半径 则用U P 0表示点P 0的某个邻域 点P 0的去心邻域记作)(0P U点与点集之间的关系任意一点P R 2与任意一个点集E R 2之间必有以下三种关系中的一种1内点 如果存在点P 的某一邻域UP 使得UPE 则称P 为E 的内点2外点 如果存在点P 的某个邻域UP 使得UPE 则称P 为E 的外点3边界点 如果点P 的任一邻域内既有属于E 的点 也有不属于E 的点 则称P 点为E 的边点E 的边界点的全体 称为E 的边界 记作EE 的内点必属于E E 的外点必定不属于E 而E 的边界点可能属于E 也可能不属于E 聚点如果对于任意给定的0 点P 的去心邻域),( P U内总有E 中的点 则称P 是E 的聚点由聚点的定义可知 点集E 的聚点P 本身 可以属于E 也可能不属于E例如 设平面点集E {x y |1x 2y 22}满足1x 2y 22的一切点x y 都是E 的内点 满足x 2y 21的一切点x y 都是E 的边界点 它们都不属于E 满足x 2y 22的一切点x y 也是E 的边界点 它们都属于E 点集E 以及它的界边E 上的一切点都是E 的聚点开集 如果点集E 的点都是内点 则称E 为开集闭集 如果点集的余集E c为开集 则称E 为闭集开集的例子 E {x y |1<x 2y 2<2}闭集的例子 E {x y |1x 2y 22}集合{x y |1x 2y 22}既非开集 也非闭集连通性 如果点集E 内任何两点 都可用折线连结起来 且该折线上的点都属于E 则称E 为连通集区域或开区域 连通的开集称为区域或开区域 例如E {x y |1x 2y 22}闭区域 开区域连同它的边界一起所构成的点集称为闭区域 例如E {x y |1x 2y 22}有界集 对于平面点集E 如果存在某一正数r 使得 EUO r其中O 是坐标原点 则称E 为有界点集无界集 一个集合如果不是有界集 就称这集合为无界集例如 集合{x y |1x 2y 22}是有界闭区域 集合{x y | xy 1}是无界开区域集合{x y | xy 1}是无界闭区域 2 n 维空间设n 为取定的一个自然数 我们用R n表示n 元有序数组x 1 x 2 x n 的全体所构成的集合 即R nRRR {x 1 x 2 x n | x i R i 1 2 n } R n中的元素x 1 x 2 x n 有时也用单个字母x 来表示 即x x 1 x 2 x n 当所有的x i i 1 2 n 都为零时 称这样的元素为R n 中的零元 记为0或O 在解析几何中 通过直角坐标 R 2或R 3中的元素分别与平面或空间中的点或向量建立一一对应 因而R n中的元素x x 1 x 2 x n 也称为R n 中的一个点或一个n 维向量 x i称为点x 的第i 个坐标或n 维向量x 的第i 个分量 特别地 Rn中的零元0称为R n中的坐标原点或n 维零向量为了在集合R n 中的元素之间建立联系 在R n中定义线性运算如下 设x x 1 x 2 x n y y 1 y 2 y n 为R n 中任意两个元素 R 规定xy x 1 y 1 x 2 y 2 x n y n x x 1 x 2 x n这样定义了线性运算的集合R n称为n 维空间R n中点x x 1 x 2 x n 和点 y y 1 y 2 y n 间的距离 记作x y 规定2222211)( )()(),(n n y x y x y x -+⋅⋅⋅+-+-=y x ρ显然 n 1 2 3时 上术规定与数轴上、直角坐标系下平面及空间中两点间的距离一至R n中元素x x 1 x 2 x n 与零元0之间的距离x 0记作||x ||在R 1、R 2、R 3中 通常将||x ||记作|x | 即22221 ||||n x x x ⋅⋅⋅++=x采用这一记号 结合向量的线性运算 便得),()( )()(||||2222211y x y x ρ=-+⋅⋅⋅+-+-=-n n y x y x y x 在n 维空间R n 中定义了距离以后 就可以定义R n中变元的极限设x x 1 x 2 x n a a 1 a 2 a n R n如果||xa ||0则称变元x 在R n中趋于固定元a 记作xa 显然xa x 1a 1 x 2a 2 x n a n在R n中线性运算和距离的引入 使得前面讨论过的有关平面点集的一系列概念 可以方便地引入到nn 3维空间中来 例如设a a 1 a 2 a n R n是某一正数 则n 维空间内的点集U a {x | x R nx a }就定义为R n中点a 的邻域 以邻域为基础 可以定义点集的内点、外点、边界点和聚点 以及开集、闭集、区域等一系列概念二 多元函数概念例１ 圆柱体的体积V 和它的底半径r 、高h 之间具有关系V r 2h这里 当r 、h 在集合{r h | r >0 h >0}内取定一对值r h 时 V 对应的值就随之确定例2 一定量的理想气体的压强p 、体积V 和绝对温度T 之间具有关系V RTp =其中R 为常数 这里 当V 、T 在集合{V T | V >0 T >0}内取定一对值V T 时 p 的对应值就随之确定 例3 设R 是电阻R 1、R 2并联后的总电阻 由电学知道 它们之间具有关系2121R R R R R +=这里 当R 1、R 2在集合{ R 1 R 2 | R 1>0 R 2>0}内取定一对值 R 1 R 2时 R 的对应值就随之确定定义1 设D 是R 2的一个非空子集 称映射f D R 为定义在D上的二元函数通常记为zfx y x yD或zfP PD其中点集D称为该函数的定义域x y称为自变量z称为因变量上述定义中与自变量x、y的一对值x y相对应的因变量z的值也称为f在点x y处的函数值记作fx y即zfx y 值域fD{z| zfx y x yD}函数的其它符号zzx y zgx y等类似地可定义三元函数ufx y z x y zD以及三元以上的函数一般地把定义1中的平面点集D换成n维空间R n内的点集D映射f D R就称为定义在D上的n元函数通常记为ufx1x2x n x1x2x n D或简记为uf x x x1x2x n D也可记为ufP Px1x2x n D函数定义域的约定在一般地讨论用算式表达的多元函数uf x时就以使这个算式有意义的变元x的值所组成的点集为这个多元函数的自然定义域因而对这类函数它的定义域不再特别标出例如函数z ln xy的定义域为{x y|xy>0}无界开区域函数z arcsin x2y2的定义域为{x y|x2y21}有界闭区域二元函数的图形点集{x y z|zfx y x yD}称为二元函数zfx y的图形二元函数的图形是一张曲面例如zaxbyc是一张平面而函数z=x2+y2的图形是旋转抛物面三多元函数的极限与一元函数的极限概念类似如果在Px yP0x0y0的过程中对应的函数值fx y无限接近于一个确定的常数A则称A 是函数fx y当x yx0y0时的极限定义2设二元函数fPfx y 的定义域为D P 0x 0 y 0是D 的聚点 如果存在常数A 对于任意给定的正数总存在正数 使得当),(),(0δP U D y x P⋂∈时 都有|fPA ||fx yA |成立 则称常数A 为函数fx y 当x yx 0 y 0时的极限 记为 Ay x f y x y x =→),(lim ),(),(0或fx yA x yx 0 y 0也记作AP f P P =→)(lim 0或fPAPP 0上述定义的极限也称为二重极限例4. 设22221sin)(),(y x y x y x f ++= 求证0),(lim )0,0(),(=→y x f y x证 因为2222222222 |1sin ||| |01sin)(||0),(|y x y x y x y x y x y x f +≤+⋅+=-++=-可见 >0 取εδ=则当δ<-+-<22)0()0(0y x即),(),(δO U D y x P⋂∈时 总有|fx y 0|因此0),(lim )0,0(),(=→y x f y x 必须注意1二重极限存在 是指P 以任何方式趋于P 0时 函数都无限接近于A2如果当P 以两种不同方式趋于P 0时 函数趋于不同的值 则函数的极限不存在 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点0 0有无极限 提示 当点Px y 沿x 轴趋于点0 0时0lim )0 ,(lim ),(lim00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f 当点Px y 沿y 轴趋于点0 0时0lim ) ,0(lim ),(lim 0)0,0(),(===→→→y y y x y f y x f当点P x y 沿直线ykx 有22222022 )0,0(),(1lim lim kk x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→ 因此 函数fx y 在0 0处无极限极限概念的推广 多元函数的极限多元函数的极限运算法则 与一元函数的情况类似 例5 求x xy y x )sin(lim)2,0(),(→解 y xy xy xxy y x y x ⋅=→→)sin(lim )sin(lim)2,0(),()2,0(),(y xy xy y x y x )2,0(),()2,0(),(lim )sin(lim→→⋅=122 四 多元函数的连续性定义3 设二元函数fPf x y 的定义域为D P 0x 0 y 0为D的聚点 且P 0D 如果),(),(lim00),(),(00y x f y x f y x y x =→ 则称函数f x y 在点P 0x 0 y 0连续如果函数f x y 在D 的每一点都连续 那么就称函数f x y 在D 上连续 或者称f x y 是D 上的连续函数二元函数的连续性概念可相应地推广到n 元函数fP 上去例6设fx ,y sin x 证明fx y 是R 2上的连续函数证 设P 0x 0 y 0 R 20 由于sin x 在x 0处连续 故0 当|xx 0|时 有|sin x sin x 0|以上述作P 0的邻域UP 0 则当Px yUP 0 时 显然 |fx yfx 0 y 0||sin x sin x 0|即fx y sin x 在点P 0x 0 y 0 连续 由P 0的任意性知 sin x 作为x y 的二元函数在R 2上连续证 对于任意的P 0x 0 y 0R 2因为),(sin sin lim),(lim 000),(),(),(),(0000y x f x x y x f y x y x y x y x ===→→ 所以函数fx ,y sin x 在点P 0x 0 y 0连续 由P 0的任意性知 sin x作为x y 的二元函数在R 2上连续类似的讨论可知 一元基本初等函数看成二元函数或二元以上的多元函数时 它们在各自的定义域内都是连续的 定义4设函数fx y 的定义域为D P 0x 0 y 0是D 的聚点 如果函数fx y 在点P 0x 0 y 0不连续 则称P 0x 0 y 0为函数fx y 的间断点 例如 函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f其定义域D R 2O 0 0是D 的聚点 fx y 当x y 0 0时的极限不存在 所以点O 0 0是该函数的一个间断点又如 函数11sin22-+=y x z 其定义域为D {x y |x 2y 21} 圆周C {x y |x 2y 21}上的点都是D 的聚点 而fx y 在C 上没有定义 当然fx y 在C 上各点都不连续 所以圆周C 上各点都是该函数的间断点注 间断点可能是孤立点也可能是曲线上的点可以证明 多元连续函数的和、差、积仍为连续函数 连续函数的商在分母不为零处仍连续 多元连续函数的复合函数也是连续函数多元初等函数 与一元初等函数类似 多元初等函数是指可用一个式子所表示的多元函数 这个式子是由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得到的例如2221y y x x +-+ sin xy 222z y xe ++都是多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的 所谓定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域由多元连续函数的连续性 如果要求多元连续函数fP 在点P 0处的极限 而该点又在此函数的定义区域内 则 )()(lim 00P f P f p p =→例7 求xy y x y x +→)2,1(),(lim解 函数xy yx y x f +=),(是初等函数 它的定义域为D {x y |x 0 y 0}P 01 2为D 的内点 故存在P 0的某一邻域UP 0D 而任何邻域都是区域 所以UP 0是fx y 的一个定义区域 因此23)2,1(),(lim)2,1(),(==→f y x f y x 一般地 求)(lim 0P f P P →时 如果fP 是初等函数 且P 0是fP 的定义域的内点 则fP 在点P 0处连续 于是)()(lim 00P f P f P P =→例8 求xy xy y x 11lim)0 ,0(),(-+→解)11()11)(11(lim11lim)0 ,0(),()0 ,0(),(++++-+=-+→→xy xy xy xy xy xy y x y x 21111lim )0 ,0(),(=++=→xy y x多元连续函数的性质性质1 有界性与最大值最小值定理在有界闭区域D 上的多元连续函数 必定在D 上有界 且能取得它的最大值和最小值性质1就是说 若fP 在有界闭区域D 上连续 则必定存在常数M 0 使得对一切PD 有|fP |M 且存在P 1、P 2D 使得 fP 1max{fP |PD } fP 2min{fP |PD }性质2 介值定理 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值§8 2 偏导数一、偏导数的定义及其计算法对于二元函数zfx y 如果只有自变量x 变化 而自变量y 固定 这时它就是x 的一元函数 这函数对x 的导数 就称为二元函数zfx y 对于x 的偏导数定义 设函数zfx y 在点x 0 y 0的某一邻域内有定义 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量x 时 相应地函数有增量fx 0x y 0fx 0 y 0如果极限x y x f y x x f x ∆-∆+→∆),(),(lim00000存在 则称此极限为函数zfx y 在点x 0 y 0处对x 的偏导数 记作0y y x x x z==∂∂ 00y y x x x f ==∂∂0y y x x xz == 或),(00y x f x例如x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0000000类似地 函数zfx y 在点x 0 y 0处对y 的偏导数定义为y y x f y y x f y ∆-∆+→∆),(),(lim00000记作y y x x y z==∂∂y y x x y f==∂∂y y x x yz == 或f y x 0 y 0偏导函数 如果函数zfx y 在区域D 内每一点x y 处对x 的偏导数都存在 那么这个偏导数就是x 、y 的函数 它就称为函数zfx y 对自变量x 的偏导函数 记作x z ∂∂ xf ∂∂ x z 或),(y x f x偏导函数的定义式x y x f y x x f y x f x x ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0类似地 可定义函数zfx y 对y 的偏导函数 记为y z ∂∂ yf∂∂ z y 或),(y x f y偏导函数的定义式y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0求xf∂∂时 只要把y 暂时看作常量而对x求导数 求yf∂∂时只要把x 暂时看作常量而对y 求导数讨论 下列求偏导数的方法是否正确),(),(00y y x x x x y x f y x f ===),(),(00y y x x y y y x f y x f ===0]),([),(000x x x y x f dx d y x f == 0]),([),(000y y y y x f dy dy x f ==偏导数的概念还可推广到二元以上的函数例如三元函数ufx y z 在点x y z 处对x 的偏导数定义为x z y x f z y x x f z y x f x x ∆-∆+=→∆),,(),,(lim),,(0其中x y z 是函数ufx y z 的定义域的内点 它们的求法也仍旧是一元函数的微分法问题例1 求zx 23xyy 2在点1 2处的偏导数解 y x x z 32+=∂∂ yx y z 23+=∂∂ 8231221=⋅+⋅=∂∂==y x xz7221321=⋅+⋅=∂∂==y x yz例2 求zx 2sin 2y 的偏导数解 y x x z 2sin 2=∂∂ yx y z 2cos 22=∂∂例3 设)1,0(≠>=x x xz y求证zy z x x z y x 2ln 1=∂∂+∂∂证 1-=∂∂y yx x z xx y z y ln =∂∂zx x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=∂∂+∂∂-例4 求222z y x r ++=的偏导数解 r x z y x x x r =++=∂∂222 r y z y x y y r =++=∂∂222例5 已知理想气体的状态方程为pV =RTR 为常数求证 1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂p T T V V p证 因为V RTp = 2V RT V p-=∂∂p RT V = p RT V =∂∂RpV T =R Vp T =∂∂所以12-=-=⋅⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂pV RT R V p R V RT p T T V V p例 5 说明的问题 偏导数的记号是一个整体记号 不能看作分子分母之商二元函数zfx y 在点x 0 y 0的偏导数的几何意义f x x 0 y 0fx y 0x 是截线zfx y 0在点M 0处切线T x 对x 轴的斜率f y x 0 y 0 fx 0 y y 是截线zfx 0 y 在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率偏导数与连续性 对于多元函数来说 即使各偏导数在某点都存在 也不能保证函数在该点连续 例如⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00),(222222y x y x y x xy y x f在点0 0有 f x 0 00 f y 0 00 但函数在点0 0并不连续提示0)0 ,(=x f 0) ,0(=y f0)]0 ,([)0 ,0(==x f dx d f x 0)] ,0([)0 ,0(==y f dy df y当点Px y 沿x 轴趋于点0 0时 有0lim )0 ,(lim ),(lim00)0,0(),(===→→→x x y x x f y x f当点Px y 沿直线ykx 趋于点0 0时 有22222022 )0,0(),(1lim lim kk x k x kx y x xy x kx y y x +=+=+→=→因此),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在 故函数fx y 在0 0处不连续类似地 可定义函数zfx y 对y 的偏导函数 记为y z ∂∂ yf∂∂ z y 或),(y x f y偏导函数的定义式y y x f y y x f y x f y y ∆-∆+=→∆),(),(lim),(0二 高阶偏导数设函数zfx y 在区域D 内具有偏导数),(y x f x z x =∂∂ ),(y x f y z y=∂∂那么在D 内f x x y 、f y x y 都是x y 的函数 如果这两个函数的偏导数也存在 则称它们是函数zfx y 的二偏导数 按照对变量求导次序的为同有下列四个二阶偏导数如果函数zfx y 在区域D 内的偏导数f x x y 、f y x y 也具有偏导数则它们的偏导数称为函数zfx y 的二阶偏导数 按照对变量求导次序的不同有下列四个二阶偏导数),()(22y x f x z x z x xx =∂∂=∂∂∂∂ ),()(2y x f y x z x z y xy=∂∂∂=∂∂∂∂),()(2y x f x y z y z x yx =∂∂∂=∂∂∂∂ ),()(22y x f y z y z y yy =∂∂=∂∂∂∂其中),()(2y x f y x z x z y xy =∂∂∂=∂∂∂∂ ),()(2y x f x y z y z x yx=∂∂∂=∂∂∂∂称为混合偏导数22)(x z x z x ∂∂=∂∂∂∂ yx z x z y ∂∂∂=∂∂∂∂2)( x y z y z x ∂∂∂=∂∂∂∂2)( 22)(y zy z y ∂∂=∂∂∂∂同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数例6 设zx 3y 23xy 3xy 1 求22x z ∂∂、33x z∂∂、x y z ∂∂∂2和y x z∂∂∂2解 y y y x x z --=∂∂32233 xxy y x y z --=∂∂23922226xy x z =∂∂ 2336y x z =∂∂196222--=∂∂∂y y x y x z 196222--=∂∂∂y y x x y z由例6观察到的问题 y x zx y z ∂∂∂=∂∂∂22定理 如果函数zfx y 的两个二阶混合偏导数x y z ∂∂∂2及yx z∂∂∂2在区域D 内连续 那么在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等类似地可定义二元以上函数的高阶偏导数例7 验证函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z证 因为)ln(21ln 2222y x y x z +=+= 所以22y x xx z +=∂∂22y x y y z +=∂∂222222222222)()(2)(y x x y y x x x y x xz +-=+⋅-+=∂∂222222222222)()(2)(y x y x y x y y y x yz +-=+⋅-+=∂∂因此 0)()(22222222222222=+-++-=∂∂+∂∂y x x y y x y x y z x z例8．证明函数r u 1=满足方程0222222=∂∂+∂∂+∂∂z u y u x u其中222z y x r ++=证 32211r xr x r x r r x u -=⋅-=∂∂⋅-=∂∂52343223131r x r x r r x r x u +-=∂∂⋅+-=∂∂同理5232231r y r y u +-=∂∂ 5232231r z r z u +-=∂∂因此)31()31()31(523523523222222r z r r y r r x r zu y u x u +-++-++-=∂∂+∂∂+∂∂33)(3352352223=+-=+++-=r r r r z y x r提示 6236333223)()(r x rr x r r r x x r rx x x u ∂∂⋅--=∂∂⋅--=-∂∂=∂∂§8 3全微分及其应用 一、全微分的定义根据一元函数微分学中增量与微分的关系有 偏增量与偏微分fxx yfx yf x x yxfxx yfx y 为函数对x 的偏增量 f x x yx 为函数对x 的偏微分fx yyfx yf y x yyfx yyfx y 为函数对y 的偏增量 f y x yy 为函数对y 的偏微分全增量 z fxx yyfx y计算全增量比较复杂 我们希望用x 、y 的线性函数来近似代替之定义 如果函数zfx y 在点x y 的全增量 z fxx yyfx y 可表示为) )()(( )(22y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ 其中A 、B 不依赖于x 、y 而仅与x 、y 有关 则称函数zfx y 在点x y 可微分 而称AxBy 为函数zfx y 在点x y 的全微分 记作dz 即dzAxBy如果函数在区域D 内各点处都可微分 那么称这函数在D 内可微分可微与连续 可微必连续 但偏导数存在不一定连续 这是因为 如果zfx y 在点x y 可微则 z fxx yyfx yAxByo 于是 0lim 0=∆→z ρ从而),(]),([lim ),(lim)0,0(),(y x f z y x f y y x x f y x =∆+=∆+∆+→→∆∆ρ因此函数zfx y 在点x y 处连续 可微条件定理1必要条件如果函数zfx y 在点x y 可微分 则函数在该点的偏导数x z∂∂、y z ∂∂必定存在 且函数zfx y 在点x y 的全微分为yy z x xz dz ∆∂∂+∆∂∂= 证 设函数zfx y 在点Px y 可微分 于是 对于点P 的某个邻域内的任意一点P xx yy 有zAxByo 特别当y 0时有f xx yfx yAxo |x |上式两边各除以x 再令x 0而取极限 就得Ax y x f y x x f x =∆-∆+→∆),(),(lim从而偏导数x z ∂∂存在 且Ax z =∂∂同理可证偏导数y z ∂∂存在 且B y z =∂∂所以yy z x xz dz ∆∂∂+∆∂∂= 简要证明设函数zfx y 在点x y 可微分 于是有zAxByo 特别当y 0时有f xx yfx yAxo |x |上式两边各除以x 再令x 0而取极限 就得Ax x o A x y x f y x x f x x =∆∆+=∆-∆+→∆→∆]|)(|[lim ),(),(lim00从而x z ∂∂存在 且A x z =∂∂同理y z ∂∂存在 且B y z =∂∂ 所以yy z x xz dz ∆∂∂+∆∂∂= 偏导数x z∂∂、y z ∂∂存在是可微分的必要条件 但不是充分条件例如函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 00 ),(222222y x y x y x xy y x f 在点00处虽然有f x 0 00及f y 0 00但函数在00不可微分即zf x 0 0xf y 0 0y 不是较高阶的无穷小这是因为当x y 沿直线yx 趋于0 0时ρ])0 ,0()0 ,0([y f x f z y x ∆⋅+∆⋅-∆021)()()()(2222≠=∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=x x x x y x y x定理2充分条件 如果函数zfx y 的偏导数x z∂∂、y z ∂∂在点x y 连续 则函数在该点可微分定理1和定理2的结论可推广到三元及三元以上函数 按着习惯x 、y 分别记作dx 、dy 并分别称为自变量的微分则函数zfx y 的全微分可写作dyy z dx x z dz ∂∂+∂∂=二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理 叠加原理也适用于二元以上的函数 例如函数uf x y z 的全微分为dzz u dy y u dx x u du ∂∂+∂∂+∂∂= 例1 计算函数zx 2y y 2的全微分解 因为xy x z 2=∂∂ yx y z 22+=∂∂所以dz 2xydxx 22ydy例2 计算函数ze xy在点2 1处的全微分解 因为xy ye x z =∂∂ xyxe y z =∂∂ 212e x z y x =∂∂== 2122ey z y x =∂∂==所以 dze 2dx 2e 2dy 例3 计算函数yze yx u ++=2sin 的全微分解 因为1=∂∂x u yz ze y y u +=∂∂2cos 21 yzye z u =∂∂ 所以 dzye dy ze ydx du yz yz +++=)2cos 21(二、全微分在近似计算中的应用当二元函数zf x y 在点P x y 的两个偏导数f x x y fyx y 连续 并且|x | |y |都较小时 有近似等式z dz f x x yxf y x yy即 f xx yy fx yf x x yxf y x yy我们可以利用上述近似等式对二元函数作近似计算 例4 有一圆柱体 受压后发生形变 它的半径由20cm 增大到20 05cm 高度由100cu 减少到99cm 求此圆柱体体积变化的近似值解 设圆柱体的半径、高和体积依次为r 、h 和V 则有V r 2h已知r 20 h 100 r 0 05 h 1 根据近似公式 有VdVV r rV h h 2rhrr 2h2201000 052021200 cm 3即此圆柱体在受压后体积约减少了200 cm 3例5 计算1 04202的近似值解 设函数f x yx y显然 要计算的值就是函数在x 104y 202时的函数值f 104 202 取x 1 y 2 x 004 y 002 由于f xx yy fx yf x x yxf y x yyx y yx y 1xx yln x y所以10420212212100412ln1002108例6 利用单摆摆动测定重力加速度g 的公式是224T lg π=现测得单摆摆长l 与振动周期T 分别为l =100±、T =2±.问由于测定l 与T 的误差而引起g 的绝对误差和相对误差各为多少解 如果把测量l 与T 所产生的误差当作|Δl |与|ΔT |,则利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数224T lg π=的全增量的绝对值|Δg |.由于|Δl ||ΔT |都很小因此我们可以用dg 来近似地代替Δg 这样就得到g 的误差为||||||T T g l l g dg g ∆∂∂+∆∂∂=≈∆T l T g l g δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||)21(4322Tl T l T δδπ+=其中l 与T 为l 与T 的绝对误差 把l =100 T =2, l =, δT =代入上式 得g 的绝对误差约为)004.02100221.0(4322⨯⨯+=πδg)/(93.45.022s cm ==π.02225.0210045.0=⨯=ππδg g从上面的例子可以看到对于一般的二元函数z =fx, y , 如果自变量x 、y 的绝对误差分别为x 、y , 即|Δx |x , |Δy |y , 则z 的误差||||||y y z x x z dz z ∆∂∂+∆∂∂=≈∆ ||||||||y y z x x z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤ y x y z x z δδ⋅∂∂+⋅∂∂≤||||从而得到z 的绝对误差约为yx z yz xz δδδ⋅∂∂+⋅∂∂=||||z 的相对误差约为yx z z y z z x zz δδδ∂∂+∂∂=||§8 4 多元复合函数的求导法则 设zfu v 而ut vt 如何求dt dz设zfu v 而ux y vx y 如何求x z∂∂和y z ∂∂1 复合函数的中间变量均为一元函数的情形定理1 如果函数ut 及vt 都在点t 可导 函数zfu v 在对应点u v 具有连续偏导数 则复合函数zft t 在点t 可导 且有dt dv v z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=简要证明1 因为zfu v 具有连续的偏导数 所以它是可微的 即有dvv z du uz dz ∂∂+∂∂=又因为ut 及vt 都可导 因而可微 即有dt dt du du = dtdt dv dv = 代入上式得dt dtdv v z dt dt du u z dz ⋅∂∂+⋅∂∂=dtdt dv v z dt du u z )(⋅∂∂+⋅∂∂= 从而 dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=简要证明2 当t 取得增量t 时 u 、v 及z 相应地也取得增量u 、v 及z 由zfu v 、ut 及vt 的可微性 有)(ρo v v z u u z z +∆∂∂+∆∂∂=∆)()]([)]([ρo t o t dt dv v z t o t dt du u z +∆+∆∂∂+∆+∆∂∂=)()()()(ρo t o v z u z t dt dv v z dt du u z +∆∂∂+∂∂+∆⋅∂∂+⋅∂∂= t o t t o v z u z dt dv v z dt du u z t z ∆+∆∆∂∂+∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=∆∆)()()(ρ令t 0 上式两边取极限 即得dt dvv z dt du u z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=注0)()(0)()()(lim )(lim 222200=+⋅=∆∆+∆⋅=∆→∆→∆dt dv dt du t v u o t o t t ρρρ推广 设zf u v w u t vt wt 则zf t t t 对t 的导数为dt dww z dt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+∂∂+∂∂=上述dt dz称为全导数2 复合函数的中间变量均为多元函数的情形定理2 如果函数ux y vx y 都在点x y 具有对x 及y 的偏导数 函数zfu v 在对应点u v 具有连续偏导数 则复合函数zf x y x y 在点x y 的两个偏导数存在 且有x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ y vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂推广 设zfu v w ux y vx y wx y 则x w w z x v v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ y ww z y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂讨论 1设zfu v ux y vy 则=∂∂x z =∂∂y z提示 x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂ dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2设zfu x y 且ux y 则=∂∂x z =∂∂y z提示 x f x u u f x z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ y fy u u f y z ∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 这里x z∂∂与xf ∂∂是不同的 x z∂∂是把复合函数zfx y x y 中的y 看作不变而对x 的偏导数 xf∂∂是把fu x y 中的u 及y 看作不变而 对x 的偏导数 y z∂∂与yf ∂∂也有类似的区别3．复合函数的中间变量既有一元函数 又有多元函数的情形定理3 如果函数ux y 在点x y 具有对x 及对y 的偏导数 函数vy 在点y 可导 函数zfu v 在对应点u v 具有连续偏导数 则复合函数zfx y y 在点x y 的两个偏导数存在 且有x u u z x z ∂∂⋅∂∂=∂∂ dy dvv z y u u z y z ⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂例1 设ze u sin v uxy vxy 求x z∂∂和y z ∂∂解 x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂e u sin vye ucos v 1 e x yy sin xy cos xyy vv z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂e u sin vxe ucos v 1 e xyx sin xy cos xy 例2 设222),,(z y x ez y x f u ++== 而y x z sin 2= 求x u∂∂和y u ∂∂解 x zz f x f x u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze xez y xz y xsin 222222222⋅+=++++yx y xey x x 2422sin 22)sin 21(2++++=y zz f y f y u ∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂y x ze yez y xz y xcos 222222222⋅+=++++yx y xey y x y 2422sin 4)cos sin (2+++=例3 设zuv sin t 而uetv cos t 求全导数dt dz解 t zdt dv v z dt du u z dt dz ∂∂+⋅∂∂+⋅∂∂=ve tu sin t cos t e tcos te tsin t cos t e t cos t sin t cos t 例4 设wfxyz xyz f具有二阶连续偏导数 求x w∂∂及z x w ∂∂∂2解 令uxyz vxyz 则wfu v 引入记号u v u f f ∂∂='),(1 v u v u f f ∂∂∂='),(12同理有2f '11f ''22f ''等 21f yz f x v v f x u u f x w '+'=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂z f yz f y z f f yz f z z x w ∂'∂+'+∂'∂='+'∂∂=∂∂∂221212)(2222121211f z xy f yz f y f xy f ''+''+'+''+''= 22221211)(f z xy f y f z x y f ''+'+''++''= 注 1211111f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂ 2221222f xy f z v v f z u u f z f ''+''=∂∂⋅∂'∂+∂∂⋅∂'∂=∂'∂例5 设ufx y 的所有二阶偏导数连续 把下列表达式转换成极坐标系中的形式122)()(y u xu ∂∂+∂∂ 22222y u x u ∂∂+∂∂ 解 由直角坐标与极坐标间的关系式得 ufx yf cos θ sin θF θ 其中x cos θ y sin θ 22yx +=ρx yarctan=θ应用复合函数求导法则 得x u x u x u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρy u x u ∂∂-∂∂=ρθθθρsin cos y u u ∂∂-∂∂=y u y u y u ∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂θθρρ2ρθρρx u y u ∂∂+∂∂=ρθθθρcos sin ∂∂+∂∂=u u两式平方后相加 得22222)(1)()()(θρρ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂u u yu x u 再求二阶偏导数 得x x u x x u x u ∂∂⋅∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂=∂∂θθρρ)()(22θρθθθρρcos )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂=u u ρθρθθθρθsin )sin cos (⋅∂∂-∂∂∂∂-u u 22222222sin cos sin 2cos ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂-∂∂=u u u ρθρρθθθ22sin cos sin 2∂∂+∂∂+u u同理可得2222222222cos cos sin 2sin ρθθρθθθρθρ∂∂+∂∂∂+∂∂=∂∂u u u y u ρθρρθθθ22cos cos sin 2∂∂+∂∂-u u两式相加 得22222222211θρρρρ∂∂++∂∂=∂∂+∂∂u u y u x u])([1222θρρρρρ∂∂+∂∂∂∂=u u全微分形式不变性 设zfu v 具有连续偏导数 则有全微分dvv z du uz dz ∂∂+∂∂= 如果zfu v 具有连续偏导数 而ux y vx y 也具有连续偏导数 则dyy z dx x z dz ∂∂+∂∂=dyy v v z y u u z dx x v v z x u u z )()(∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂=)()(dy y v dx x v v z dy y u dx x u u z ∂∂+∂∂∂∂+∂∂+∂∂∂∂= dv v z du uz ∂∂+∂∂= 由此可见 无论z 是自变量u 、v 的函数或中间变量u 、v 的函数 它的全微分形式是一样的 这个性质叫做全微分形式不变性例6 设ze usin v ux y vxy 利用全微分形式不变性求全微分解 dv v z du uz dz ∂∂+∂∂= e u sin vdu e ucos v dv e u sin vy dxx dy e u cos vdxdy ye u sin v e u cos vdxxe u sin v e ucos v dye xy y sin xy cos xydx e xyx sin xy cos xydy§8 5 隐函数的求导法则一、一个方程的情形 隐函数存在定理1设函数Fx y 在点Px 0 y 0的某一邻域内具有连续偏导数Fx 0 y 00 F y x 0 y 00 则方程Fx y 0在点x 0 y 0的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续导数的函数yfx 它满足条件y 0fx 0 并有yx F F dx dy-= 求导公式证明 将yfx 代入Fx y 0 得恒等式 Fx fx 0 等式两边对x 求导得=⋅∂∂+∂∂dx dy y F x F由于F y 连续 且F y x 0 y 00 所以存在x 0 y 0的一个邻域 在这个邻域同F y 0 于是得yx F F dx dy-=例1 验证方程x 2y 210在点0 1的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x 0时y 1的隐函数yfx 并求这函数的一阶与二阶导数在x 0的值解 设Fx yx 2y 21 则F x 2x F y 2y F 0 10 F y 0 120 因此由定理1可知 方程x 2y 210在点0 1的某一邻域内能唯一确定一个有连续导数、当x 0时y 1的隐函数yfx yx F F dx dyy x -=-= 00==x dx dy332222221)(y y x y y y x x y y y x y dx y d -=+-=---='--=1022-==x dx yd隐函数存在定理还可以推广到多元函数 一个二元方程Fx y 0可以确定一个一元隐函数 一个三元方程Fx y z 0可以确定一个二元隐函数 隐函数存在定理2设函数Fx y z 在点Px 0 y 0 z 0的某一邻域内具有连续的偏导数 且Fx 0 y 0 z 00 F z x 0 y 0 z 00 则方程Fx y z 0在点x 0 y 0z 0的某一邻域内恒能唯一确定一个连续且具有连续偏导数的函数zfx y 它满足条件z 0fx 0 y 0 并有zxF F x z -=∂∂ zyF F y z -=∂∂公式的证明 将zfx y 代入Fx y z 0 得Fx y fx y 0 将上式两端分别对x 和y 求导 得0=∂∂⋅+x z F F z x 0=∂∂⋅+y zF F z y因为F z 连续且F z x 0 y 0 z 00 所以存在点x 0 y 0 z 0的一个邻域 使F z 0 于是得zx F F x z -=∂∂ zy F F y z -=∂∂例2. 设x 2y 2z 24z 0 求22x z∂∂解 设Fx y z x 2y 2z 24z 则F x 2x F y 2z 4 z x z x F F x z z x -=--=-=∂∂24223222222)2()2()2()2()2()2()2(z x x z z x x x z x z x x x z -+-=--+-=-∂∂+-=∂∂二、方程组的情形在一定条件下 由个方程组Fx y u v 0 Gx y u v 0可以确定一对二元函数uux y vvx y 例如方程xuyv 0和yuxv 1可以确定两个二元函数22y x y u +=22y x x v +=事实上 xuyv 0 u yx v =1=⋅+u y x x yu 22y x yu += 2222yx x y x yy x v +=+⋅=如何根据原方程组求u v 的偏导数 隐函数存在定理3 隐函数存在定理3设Fx y u v 、Gx y u v 在点Px 0 y 0 u 0 v 0的某一邻域内具有对各个变量的连续偏导数 又Fx 0 y 0 u 0 v 00 Gx 0 y 0 u 0 v 00 且偏导数所组成的函数行列式v G u Gv Fu Fv u G F J ∂∂∂∂∂∂∂∂=∂∂=),(),(在点Px 0 y 0 u 0 v 0不等于零 则方程组Fx y u v 0 Gx y u v 0在点Px 0 y 0 u 0 v 0的某一邻域内恒能唯一确定一组连续且具有连续偏导数的函数uux y vvx y 它们满足条件u 0ux 0 y 0 v 0vx 0y 0 并有v uv uv x v xG G F F G G F F v x G F J x u -=∂∂-=∂∂),(),(1vuv ux u x uG G F F G G F F x u G F J x v -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu vy v y G G F F G G F F v y G F J y u -=∂∂-=∂∂),(),(1vu vu yu y u G G F F G G F F y u G F J y v -=∂∂-=∂∂),(),(1隐函数的偏导数:设方程组Fx y u v 0 Gx y u v 0确定一对具有连续偏导数的二元函数uux y vvx y 则偏导数x u ∂∂ x v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0x v G x u G G x v F x u F F v u x v u x 确定偏导数y u ∂∂ y v ∂∂由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂+∂∂+.0,0y v G y u G G y v F y u F F v u y v u y 确定例3 设xuyv 0 yuxv 1 求x u ∂∂ x v ∂∂ y u∂∂和y v ∂∂解 两个方程两边分别对x 求偏导 得x u ∂∂和x v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂++∂∂=∂∂-∂∂+00x v x v x u y x v y x u x u当x 2y 2时 解之得22y x yv xu x u ++-=∂∂ 22y x xvyu x v +-=∂∂两个方程两边分别对x 求偏导 得y u∂∂和y v∂∂的方程组⎪⎩⎪⎨⎧=∂∂+∂∂+=∂∂--∂∂00y v x y u y u y v y v y u x 当x 2y 2时 解之得22y x yu xv y u +-=∂∂ 22y x yvxu y v ++-=∂∂另解 将两个方程的两边微分得⎩⎨⎧=+++=--+00xdv vdx ydu udy ydv vdy xdu udx 即⎩⎨⎧--=+-=-vdx udy xdv ydu udxvdy ydv xdu解之得dy y x yuxv dx y x yv xu du 2222+-+++-=dy y x yvxu dx y x xv yu dv 2222++-+-=于是 22y x yv xu x u ++-=∂∂ 22yx yu xv y u +-=∂∂22y x xv yu x v +-=∂∂ 22y x yv xu y v ++-=∂∂例 设函数xxu v yyu v 在点u v 的某一领域内连续且有连续偏导数 又0),(),(≠∂∂v u y x1证明方程组⎩⎨⎧==),(),(v u y y v u x x在点x y u v 的某一领域内唯一确定一组单值连续且有连续偏导数的反函数uux y vvx y2求反函数uux y vvx y 对x y 的偏导数 解 1将方程组改写成下面的形式⎩⎨⎧=-≡=-≡0),(),,,(0),(),,,(v u y y v u y x G v u x x v u y x F则按假设.0),(),(),(),(≠∂∂=∂∂=v u y x v u G F J由隐函数存在定理3 即得所要证的结论2将方程组7所确定的反函数uux yvvx y 代入7 即得⎩⎨⎧≡≡)],(),,([)],(),,([y x v y x u y y y x v y x u x x将上述恒等式两边分别对x 求偏导数得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=x v v y x u u y x vv x x u u x 01由于J 0 故可解得v y J x u ∂∂=∂∂1 u yJ x v ∂∂-=∂∂1同理 可得v x J y u ∂∂-=∂∂1 u xJ y v ∂∂=∂∂1§8 6多元函数微分学的几何应用一 空间曲线的切线与法平面 设空间曲线的参数方程为 xt yt zt 这里假定t t t 都在 上可导在曲线上取对应于tt 0的一点M 0x 0 y 0 z 0及对应于tt 0t 的邻近一点Mx 0+x y 0+y z 0+z 作曲线的割线MM 0 其方程为z z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-000当点M 沿着趋于点M 0时割线MM 0的极限位置就是曲线在点M 0处的切线 考虑t z z z ty y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-000 当MM 0 即t 0时 得曲线在点M 0处的切线方程为)()()(000000t z z t y y t x x ωψϕ'-='-='- 曲线的切向量 切线的方向向量称为曲线的切向量 向量T t 0 t 0 t 0就是曲线在点M 0处的一个切向量法平面 通过点M 0而与切线垂直的平面称为曲线在点M 0 处的法平面 其法平面方程为 t 0xx 0t 0yy 0t 0zz 00例1 求曲线xt yt 2zt 3在点1 1 1处的切线及法平面方程解 因为x t 1 y t 2t z t 3t 2而点1 1 1所对应的参数t 1 所以T 1 2 3 于是 切线方程为 312111-=-=-z y x法平面方程为x 12y 13z 10 即x 2y 3z 6讨论1 若曲线的方程为 yx zx问其切线和法平面方程是什么形式提示 曲线方程可看作参数方程 xx yx zx 切向量为T 1 x x2 若曲线的方程为Fx y z 0 Gx y z 0 问其切线和法平面方程又是什么形式提示 两方程确定了两个隐函数 yx zx 曲线的参数方程为xx yx zx由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++00dx dz G dx dy G G dxdz F dx dy F F z y x z y x 可解得dx dy 和dx dz 切向量为) ,,1(dx dz dx dy =T例2 求曲线x 2y 2z 26 xyz 0在点1 2 1处的切线及法平面方程解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dydxdz z dx dy y x解方程组得z y xz dx dy --= z y yx dx dz --=在点1 2 1处 0=dx dy 1-=dx dz从而T 1 0 1 所求切线方程为 110211--=+=-z y x法平面方程为x 10y 2z 10 即xz 0解 为求切向量 将所给方程的两边对x 求导数 得⎪⎩⎪⎨⎧=++=++010222dx dz dx dydx dz z dx dy y x方程组在点1 2 1处化为⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-112dx dz dx dydx dz dx dy 解方程组得0=dx dy 1-=dx dz从而T 1 0 1 所求切线方程为 110211--=+=-z y x法平面方程为x 10y 2z 10 即xz 0。
(整理)多元函数微分法及其应用.
第八章 多元函数微分法及其应用Chapter8 Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application 8.1多元函数的基本概念（The Basic Concepts of Functions of Several Variables ）定义1 设D 是2R 的一个非空子集，称映射:f D R →为定义在D 上的二元函数，通常记为()(),,,z f x y x y D =∈或(),z f P P D =∈。
其中点集D 称为该函数的定义域，x 、y 称为自变量，z 称为因变量。
Definition 1 Let D be a nonempty subset of 2R ,we call the mapping :f D R → the function of two variables defined on ,usually denoted by ()(),,,z f x y x y D =∈,or (),z f P P D =∈.The set D is called the domain of the function .We call x and y the independent variables and z the dependent variable.定义2 设二元函数()(),f P f x y =的定义域为D ，()000,P x y 是D 的聚点。
如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当点()()00,,P x y D U P δ∈⋂，都有 ()(),f P A f x y A ε-=-<成立，那么就称常数A 为函数(),f x y 当()()00,,x y x y →时的极限，记作()()()00,,lim,x y x y f x y A →=或()()()()00,,,f x y A x y x y →→，也记作()0lim P P f P A →=或()()0f P A P P →→。
多元函数微分学及其应用归纳总结
多元函数微分学及其应用归纳总结一、多元函数的微分与偏导数1. 多元函数的微分定义为函数在其中一点上的线性逼近。
对于二元函数，微分为 dz=f_x*dx+f_y*dy，其中 f_x 和 f_y 分别为函数的偏导数。
对于一般的 n 元函数也可类似定义。
2.多元函数的偏导数表示函数沿着其中一个变量的变化率。
对于二元函数f(x,y)，其偏导数f_x表示x方向上的变化率，f_y表示y方向上的变化率。
一般而言，当存在偏导数且连续时，函数在该点可微分。
3.偏导数的计算方法与一元函数相似，利用极限的定义求出偏导数表达式，对于高阶偏导数，可以反复求导。
4.混合偏导数表示函数在二个或二个以上变量上求偏导数后再对另外一个或另外几个变量求偏导数，其次序不影响结果。
二、多元函数的求导法则1. 多元函数的和、差、常数倍法则：设函数 f 和 g 在其中一点连续可导，则(f±g)'=f'±g'，(kf)'=kf'。
2.多元函数的乘积法则：设函数f和g在其中一点连续可导，则(f·g)'=f'·g+g'·f。
3.多元函数的商法则：设函数f和g在其中一点连续可导且g不为零，则(f/g)'=(f'·g-g'·f)/g^24. 复合函数求导法则：设函数 y=f(u) 和 u=g(x) 在其中一点可导，则复合函数 y=f(g(x)) 的导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)，其中 x 和 u 为中间变量。
三、多元函数的极值与梯度1.多元函数的极值包括极大值和极小值。
在二元函数中，极值的必要条件为偏导数为零，充分条件为偏导数存在且满足一定条件。
2.多元函数的梯度是一个向量，其方向与函数在其中一点上变化最快的方向一致，大小表示变化率的大小。
梯度为零的点可能为极值点。
第二章 多元函数微分法及其应用 第四节 多元函数微分法在几何上的应用
Fz ( x0 , y0 , z0 ) ( t0 ) 0
- 15 -
第四节
多元函数微分在几何上的应用
令 T { ( t0 ) , ( t0 ) , ( t0 )}
第 八 章 切向量 T n 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
n { Fx ( x0 , y0 , z0 ) , Fy ( x0 , y0 , z0 ) , Fz ( x0 , y0 , z0 )}
第四节
多元函数微分在几何上的应用
切平面方程
第 八 章
Fx ( x0 , y0 , z0 ) ( x x0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) ( y y0 )
Fz ( x0 , y0 , z0 )( z z0 ) 0
多 元 通过点 M ( x 0 , y 0 , z 0 ) 而垂直于切平面的直线称为曲 函 数 面在该点的法线.法线方程 微 分 x x0 y y0 z z0 法 Fx ( x0 , y0 , z0 ) Fz ( x0 , y0 , z0 ) Fy ( x0 , y0 , z0 ) 及 其 应 用
第 八 章
在
解: 由于
M 0 (0 , R , k ) 2 z
多 对应的切向量为 T ( R , 0 , k ) , 故 元 函 yR zk x 2 切线方程 数 微 0 R k 分 法 k x Rz R k 0 2 即 及 其 yR0 应 用 法平面方程 R x k ( z k ) 0 2
- 17 -
第四节
多元函数微分在几何上的应用
垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量. 曲面在M 处的法向量即
第 八 章 多 元 函 数 微 分 法 及 其 应 用
第二章 多元函数微分法及其应用 第三节 多元函数微分法
多元函数的微分法
第三节
第 八 章 多 元 函 数 的 微 分 法
多元函数微分法
一
复合函数微分法
二
隐函数微分法
-1-
第三节
多元函数的微分法
一
复合函数微分法
1 链式法则 定理 如果函数 u ( t ) 及 v ( t ) 都在点 t 在对应点 ( u , v ) 具有连续偏
第 八可导， 函数 z f ( u , v ) 章
yf 2 yz ( f 21 xyf
2
)
f 11 y ( x z ) f 12 xy zf 22 yf 2 .
- 18 -
例9
设
第 八 其中 f ( u ) 二阶可导。 章 y z f y f f x ( ) f 解 2 多 x x x 元 2 2 函 z y y y y y 数 ( 2 ) f 2 f ( 2 ) f 3 f 2 的 x x x x x x 微 2 z 1 z 1 分 f f f x 2 法 x y x y
多 在对应点( x , 元 函 z 数 的 x 微 分 z 法 y
y ) 的两个偏导数存在， 且可用下列公式计算
z u u x z u u y z v v x z v v y z w w x z w w y
u
z
xyv wFra bibliotek2t
f 23 )
f3
2 ln t t 2
t
( f 31
f 11
f 12
t 4 ln t
t
- 17 -
f 32
f 13
2 ln t t 1
第十二讲(2多元函数微分法)
( 西交大 1989 )
u 证: 3 x x y 3 z 3 3x y z
利用轮换对称性可得
u u u 3( x y z
y zx x 3 y 3 z 3 3x y z
2
)
( x y z )( x 2 y 2 z 2 y z z x x y )
例 4. 设 u f ( x, y, z ) ,
y sin x ,
求
( P272 题 16 )
其中
都具有一阶连续偏导数 , 且
2 x 1 d x e y 2 d y 3dz 0
解 : 利用全微分法 , 有
u
x y z x x y x
du 1 e y cos x 2 ) f 3 f1 f 2 cos x ( 2 x1 dx 3
例如 , 设
4. 隐函数微分法
全微分法; 直接方法 ; 代公式法 . 例如 : 设函数 z = z (x,y) 是由方程 F ( x - z , y + z ) = 0
z z , . 所确定 , 其中 F 具有一阶连续偏导数 , 求 x y
方法 1: 全微分法 . 对方程两边求微分
F1 (d x d z ) F2 (d y d z) 0
阶混合偏导数 :
2
(P247 例 5)
z 2y f ( 2) y x
2y y f (1 ) f 2 2 x x x
2y
2
2y f x
y2 (3) z f ( x , ) x
2y 2y z 2 f 2 ( x x x y
2
1) 建立目标函数( 同时注意简化 ),并确定约束条件 ;
多元函数微分法及其应用
1、多元函数存在的条件存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数接近某一确定值，我们还不能由此断定函数存在。
反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的不存在。
例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠02、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。
性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。
性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D 上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。
这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。
4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。
5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。
6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。
定理(充分条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，则f(x，y)在点(x0，y0)处是否取得极值的条件如下：(1)AC-B2>0时具有极值，且当A0时有极小值;(2)AC-B27、多元函数极值存在的解法(1)解方程组fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切实数解，即可求得一切驻点。
多元函数微分法及其应用(全例题)
162 多元函数微分法及其应用（全例题）一、内容提要多元函数微分法是一元函数微分法的推广,有许多相似之处,学习时应注意对比,搞清异同. 1．基本概念与定理设函数)(P f U =，点P 可以是n ,,3,2,1 维的.当2≥n 时,称此函数为多元函数. ① 二元函数),(y x f z =在几何上表示空间一张曲面.② 二元函数),(y x f z =在点),(000y x P 处的极限、连续、偏导数、全微分的定义及关系. 极限 A y x f yy x x =→→),(l i m 0：当,0,0>∃>∀δε 成立时，有 |),(| )()(02020εδρ<-<-+-=<A y x f y y x x注意 定义中的),(y x 是以任意方式趋于点),(00y x .连续 ),(),(lim 0000y x f y x f y y x x =→→偏导数);(,),(),(lim),(000000000y y xy x f y x x f y x f xzx x P =∆-∆+==∂∂→∆固定)(,),(),(lim),(000000000x x yy x f y y x f y x f yzy y P =∆-∆+==∂∂→∆固定高阶偏导数 一阶偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数,称为函数),(y x f 的二阶偏导数.⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂x z x y x f x zxx ),(22,⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂x z y y x f y x z xy),(2, ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂y z y y x f y zyy ),(22,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂==∂∂∂y z x y x f x y z yx ),(2. 类似,可定义三阶以上的偏导数.可微 若全增量),(),(0000y x f y y x x f z -∆+∆+=∆可表示为)(ρo y B x A z +∆+∆=∆，其中22)()(y x ∆+∆=ρ，则称),(y x f z =在点),(000y x P 可微.而y B x A ∆+∆为函数),(y x f z =在点),(000y x P 的全微分,记作y B x A z d y x∆+∆=),(00定理1 若函数),(y x f z =的二阶混合偏导数),(y x f xy 及),(y x f yx 在区域D 内连续，则在该区域内),(y x f xy ),(y x f yx =.定理2 若函数),(y x f z =在点),(y x 可微, 则必在该点连续.定理3 若函数),(y x f z =在点),(y x 可微,则该函数在点),(y x 的两个一阶偏导数存在.定理4 若函数),(y x f z =在点),(y x 有一阶连续偏导数,则函数在该点可微. 且dy y x f dx y x f dz y x ),(+),(=2．多元函数的求导运算 多元复合函数求导① ).,(),,(),,(y x v y x u v u f z ψϕ===若则偏导数为:;xvv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂.y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂163② ).(),(),,(t y t x y x f z ψϕ===若则全导数为:.dtdy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂= ③ ).,(),,(),,,,(y x v y x u v u y x f z ψϕ===若则偏导数为 x v v f x u u f x f x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂; .yvv f y u u f y f y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂ 注意,x f x z ∂∂∂∂与yfy z ∂∂∂∂与的区别. )],(),,(,,[ y x y x y x f z x zψϕ=∂∂是在复合函数中视 y 为常量，对x 求导. ),,,( v u y x f z x f=∂∂是在四元函数中视y,u,v 为常量，对x 求导. )],(),,(,,[ y x y x y x f z y zψϕ=∂∂是在复合函数中视 x 为常量，对y 求导. ),,,( v u y x f z yf=∂∂是在四元函数中视x,u,v 为常量，对y 求导. 隐函数求导① ),(0),,(y x z z z y x F ==确定的隐函数由方程满足隐函数定理的条件,则;z x F F x z -=∂∂ .zy F F y z-=∂∂ ② ),(),( 0),,(0),,(x y y x z z z y x G z y x F ==⎩⎨⎧==确定的隐函数由方程组则方程两边分别对x 求导,得到关于dxdzdx dy ,的方程组,解出即可. 3．应用 (1) 几何应用①空间曲线处的点在对应),,( )()()(:0000z y x M t t z t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧===Γωψϕ的切线与法平面方程. 切向量为 )}(),(),({000t t t ωψϕ'''= 切线方程)(00t x x ϕ'-)(00t y y ψ'-=)(00t z z ω'-= 法平面方程 0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t y y t x x t ωψϕ ②空间曲面处上点),,(0),,(:000z y x M z y x F =∑的切平面与法线方程. 法向量为 ),,({000z y x F x =),,(,000z y x F y )},,(,000z y x F z切平面方程 0))(,,())(,,())(,,(000000000000=-+-+-z z z y x F y y z y x F x x z y x F z y x 法线方程),,(0000z y x F x x x -),,(0000z y x F y y y -=),,(0000z y x F z z z -=对于曲面0),(),,( ),,(=-==z y x f z y x F y x f z 可表示为. (2) 函数极值定理6 (必要条件) 设函数),(),(00y x M y x f z 在点=有偏导数并取得极值，则164 ,0),(00=y x f x .0),(00=y x f y定理7（充分条件）设函数),(),(00y x M y x f z 在点=某邻域内连续并有一阶及二阶连续偏导数，且,0),(00=y x f x .0),(,00=y x f y 记,),(00A y x f xx =,),(00B y x f xy =,),(00C y x f yy = 则当02>-B AC 时，有极值，且⎩⎨⎧><有极小值有极大值,0,0A A ；当02<-B AC 时，无极值；当02=-B AC 时，情况不定. 多元函数的条件极值求函数),,(z y x f u =在满足条件:0),,(,0),,(==z y x z y x ψϕ下的条件极值. 构造拉格朗日函数),,(),,(),,(),,(z y x z y x z y x f z y x F μψλϕ++= 解方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====0),,(0),,(0),,(0),,(0),,(z y x z y x z y x F z y x F z y x F z y x ψϕ 得可能极值点(x,y,z ).再进一步讨论极值点的充分性.许多情况下可借助于问题的实际意义来判定.二、例题解析1. 多元函数的基本概念例8.1求下列各函数的定义域 （1） z=y x -; （2） z=ln )(x y -+221yx x --;（3） 22arccosyx z u +=分析 二元函数的定义域一般是平面区域，三元函数的定义域一般是空间区域.这些点集可用使函数有定义的自变量所应满足的不等式或不等式组表示.解 (1) 0≥y 且 0≥-y x ,即 y x ≥，得 D=(){}y x y y x ≥≥,0|,（2）⎪⎩⎪⎨⎧>--≥>-010,022y x x x y得 {}1,,0|),(22<+>≥=y x x y x y x D .（3） 022≠+y x 且22yx z +1≤得 {}0,|),,(22222≠++≤=y x y x z z y x D例8.2 设⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x f ,=22y x -,求),(y x f .解（方法 一）令,u y x =+xy =v ,则有 x =v u +1,v uv y +=1165由原式 f⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x ,=22y x - 知 ()v u f ,=21⎪⎭⎫ ⎝⎛+v u 21⎪⎭⎫ ⎝⎛+-v uv =v v u +-1)1(2 故 ),(y x f =yy x +-1)1(2 (y 1-≠)（方法二）因⎪⎭⎫ ⎝⎛+x y y x f ,=22y x -=))((y x y x -+=yx yx y x +-+.)(2=()x y x y y x +-+112故 ),(y x f =yyx +-⋅112. (1-≠y ) 例8.3 求下列各极限:（1） 10lim→→y x 221y x xy +- ； （2） xyxy y x 42lim0+-→→ ； （3） yxy y x sin lim 02→→ ； （4） 22)()cos(1lim 222200y x y x ey x y x ++-→→.分析 求多元函数的极限可利用多元函数的连续性及一元函数求极限的一些方法.解 （1） 用函数的连续性.10lim →→y x 221y x xy +-=1001+-=1 . （2）用一元函数求极限的方法(分子有理化).xyxy y x 42lim+-→→=)42()4(4lim0+++-→→xy xy xy y x =421lim0++-→→xy y x =41-. (3) 用一元函数的重要极限.yxy y x sin lim 02→→=221sin lim 02=⋅=⋅→→x xy xyy x .(4)()()=++-→→22222200cos 1limyxy x e y xy x 22422sin2lim 2222222200y x y x e y x y x y x +⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++→→.0021=⋅= 例8.4 证明极限 ()222220limy x y x y x y x -+→→不存在.分析 因为二重极限A y x f y y x x =→→),(lim 00存在，是指),(y x P 以任意方式趋于),(000y x P 时，函数都无限接近某常数A .所以，证明极限不存在，只要P 以某一特殊方式趋于0P 时，函数不趋于某一确定值;或以两种不同方式趋于0P 时，函数趋于不同的值，便可断定函数的极限不存在.证（方法一） 若点),(y x P 沿直线x y =趋于()0,0，则()1limlim440222220==-+→=→xx y x y x y x x xy x ；若点),(y x P 沿直线x y 2=趋于)0,0(，则.044lim)(lim24402222220=+=-+→=→xx x y x y x y x x xy x 所以极限不存在.166 （方法二） 若点),(y x P 沿直线kx y =趋于()0,0，则22424222220)1(lim)(lim2x k x k x k y x y x y x x kxy x -+=-+→=→22220)1(lim2k x k x k x -+=→⎩⎨⎧≠==1,01,1k k 所以极限不存在. 例8.5 设=),(y x f ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++0,00,222222y x y x y x xy证明),(y x f 在)0,0( 处不连续，但两个一阶偏导数存在.证 0)0,0(=f ， 当()y x ,沿直线kx y =趋于)0,0(时2222201lim),(lim kk xk x kx y x f x kxy x +=+=→=→当k 取不同值时，极限值不同.故),(lim 00y x f y x →→不存在.所以),(y x f 在)0,0(处不连续.但根据偏导数的定义知000lim )0,0()0,0(lim )0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆x xf x f f x x x ；000lim )0,0()0,0(lim)0,0(00=∆-=∆-∆+=→∆→∆y yf y f f y y y . 所以),(y x f 在)0,0(处两个一阶偏导数存在.本例说明，对于多元函数，偏导数存在未必连续.例8.6 证明：函数22y x z +=在)0,0(处连续，但两个一阶偏导数不存在.证 因)0,0(在),(y x f 的定义域内，所以),(y x f 在)0,0(处连续. 又因||)0,(2x x x f ==在0=x 处不可导，所以)0,0('x f 不存在； 同样||),0(2y y y f ==在0=y 处不可导，所以)0,0('y f 不存在.例8.7 设||),(xy y x f z ==,证明),(y x f 在)0,0(处一阶偏导数存在，但不可微. 分析 要证函数),(y x f 在)0,0(处是否可微,只须检验极限:[]ρρyf x f z y x ∆+∆-∆→)0,0()0,0(lim''0是否为0， 其中22)()(y x ∆+∆=ρ. 若极限为0,则函数),(y x f 在)0,0(处可微,否则不可微.证 因,0),0(,0)0,(==y f x f 由定义知0)0,0(,0)0,0(''==y x f f 但 ()()[]()()2222''||||0,00,0y x y x yx y x yf x f z y x ∆+∆∆⋅∆=∆+∆∆⋅∆=∆+∆-∆ρ当())0,0(,→∆∆y x 时，上式极限不存在.(取路径x k y ∆=∆) 因此，),(y x f 在)0,0(处不可微. 2. 多元函数微分法例8.8 求下列函数的偏导数 （1）()y xy z +=1;（2） zy x u =;（3） z y x u )arctan(-=.分析 多元函数对其中一个变量求偏导时，只需将其余变量视为常量，利用一元函数的求导公式或求导法则求导即可.解 （1） .)1(.)1(121--+=+=∂∂y y xy y y xy y xz()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∂∂=∂∂++xy x y xy e e y y z xy y xy y 1.)1ln(1ln 1ln ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++=xy xy xy xy y 1)1ln()1(167（2） ,1-=∂∂z y x z y x u ,ln 11ln x x zz x x y u z yz y =⋅⋅=∂∂ .ln ln 22x x z y z y x x z u z yz y -=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅=∂∂(3) ()()z z y x y x z x u 211-+-=∂∂-; ()()zz y x y x z y u 211-+--=∂∂-; ()()()z zy x y x y x z u 21ln -+--=∂∂. 例8.9 设,arcsin)1(),(yxy x y x f -+=求).1,(x f x 分析 本题是求函数),(y x f 在点)1,(x 处关于x 的偏导数，由定义知,固定,1=y x x f =)1,(,再对x 求导即可.解 因x x f =)1,(，所以 .1)1,(=x f x例8.10 (1)设xy z =，求 22x z ∂∂；22yz∂∂；y x z∂∂∂2.(2)设ϕϕ,),()(1f y x y xy f xz ++=具有二阶连续导数,求y x z ∂∂∂2.(98年考研题)解 (1),ln y y xzx =∂∂ .1-⋅=∂∂x y x y z y y x z x x z x 222ln ⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂, ()2221--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂x y x x y z y y z ； ().1ln 1ln 112+=⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂--y x y y y y xy x z y y x z x x x (2) x z ∂∂),()()(12y x y xy f x y xy f x+'+'+-=ϕ⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂=∂∂∂x z y y x z 2 )()()()(1)(2y x y y x xy f x x y xy f x xy f xx +''++'+''+'+'-=ϕϕ).()()(y x y y x xy f y +''++'+''=ϕϕ例8.11 求下列函数的全微分: （1） ;22y x y z +=（2） yz x u =.解 (1) 因为()();22123222322yxxyyxxy x z +-=+⋅⋅-=∂∂168 ().2223222222222yxx y x y x y y y x yz+=++⋅-+=∂∂所以 ()()2322y x xdy ydx x dy y zdx x z dz ++-=∂∂+∂∂=. )2(因为 1-⋅=∂∂yz x yz x u ；z x x yu yz ⋅⋅=∂∂ln ；y x x z uyz ⋅⋅=∂∂ln 所以 dz zu dy yu dx xu du ∂∂+∂∂+∂∂=.ln ln 1xdz x y xdy x z dx x yz yz yz yz ⋅+⋅+⋅=-3 多元复合函数求导例8.12 求下列函数的偏导数或全导数.(1) ,ln 2v u z = ,yxu = ,23y x v -= 求 x z ∂∂；.y z ∂∂ (2) ),arcsin(y x z -= ,3t x = ,43t y =求 .dt dz分析 多元复合函数求导时，先画出复合线路图，再按图写出求导公式.这种方法对复杂的复合情形尤为有利.解（1）x vv z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂ 31ln 22⋅+⋅=v u y v u)23ln(22y x y x -=)2(ln 222-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂v u y x v u y vv z y u u z y z 3ln(232x y x --= ()2dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--=.)43(1)41(3232t t t ---=例8.13 设f 具有一阶连续偏导，),,(22xy e y x f u -=求xu∂∂；.y u ∂∂ 说明 抽象函数求偏导时一定要设中间变量.解 令.,22xy e t y x s =-=则),(t s f u =y e tf x s fx t t f x s s f x u xy ⋅⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2 .2'2'1f ye xf xy += x e tf y s f y t t f y s s f y u xy ⋅⋅∂∂+-⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2( .2'2'1f xe yf xy +-= 例8.14 设f 具有二阶连续偏导数，,,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=y x xy f z 求.,,22222y z y x z x z ∂∂∂∂∂∂∂分析 求多元函数的高阶偏导数，关键在于牢记多元复合函数的各阶偏导数仍是与原来函数同类型的函数，即以原中间变量为中间变量，原自变量为自变量的多元复合函数.高阶偏导数可采用简便记法，如'2'1,f f 分别表示f 对第一、第二中间变量的偏导数，"12f 表示f 先对第一、再对第二中间变量的二阶混合偏导数.当高阶偏导数连续时，应将混合偏导数并项.解 令 ,,yxv xy u ==则).,(v u f z =.1'2'1yf y f x v v f x u u f x z ⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂169.2'2'1⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂y x f x f yv v f y u u f y z x f y x f y f y f y x x z∂∂⋅+∂∂=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂'2'1'2'12211 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅=x v v f x u u f y x v v f x u u f y '2'2'1'11⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅⋅=y f y f y y f y f y 111"22"21"12"11 .12"222"12"112f y f f y ++= y f y f y y f y f f y f y y y x z ∂∂+-∂∂⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂∂'2'22'1'1'2'12111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂⋅∂∂+⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅+=y v v f y u u f y f y y v v f y u u f y f '2'2'22'1'1'111 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅+⋅-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅⋅+=2"22"21'222"12"11'111y x f x f y f y y x f x f y f .1"223"11'22'1f y x xyf f y f -+-= y f y x f y x y f x f y x f x y y z∂∂⋅-⋅+∂∂⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅∂∂=∂∂'22'23'1'22'1222 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂⋅=y v v f y u u f y x f y x y v v f y u u f x '2'22'23'1'12⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅="222"212'23"122"112f y x x f y x f y x f y x x f x .22'23"2242"1222"112f y x f y x f y x f x ⋅+⋅+⋅-⋅= 常见错解 ,01'2'122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂f y f y x x z.11'22'1'2'12f y f f y f y y y x z -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅∂∂=∂∂∂ .2'23'22'122f y x f y x f x y y z ⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅∂∂=∂∂ 错误的原因是把'2'1,f f 误认为常量. 例8.15 设,),,,(yxe u y x u f z ==其中f具有二阶连续偏导，求.2yx z∂∂∂ 分析 对抽象的多元复合函数求二阶偏导,首先要搞清楚函数的结构.解 '2'1f e f xf x u u f x z y +⋅=∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)('2'12f e f yy x z y +⋅∂∂=∂∂∂y f y f e f e y y ∂∂+∂∂⋅+⋅='2'1'1)()("23"21"13"11'1f xe f f xe f e f e y y y y +⋅++⋅⋅+⋅=."23"21"13"112'1f f xe f e f xe f e y y y y +⋅+⋅+⋅+⋅=4 隐函数求导对隐函数求导时，首先要根据题目中要求对哪些变量求导，确定哪些是自变量,哪些变量函数.例8.16 设),cos(2yz x x +=求.zy∂∂分析 由题目要求知，方程确定隐函数),(z x y y =，即y 是z x ,的函数. 解（方法一）(两边求导法) 方程两边对z 求偏导，得170 ⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+⋅+-=z y z y yz x )sin(02 所以 .zy z y -=∂∂ （方法二）(公式法) 设F 0)cos(),,(2=-+=x yz x z y x . .)sin( ,)sin(22y yz x F z yz x F z y ⋅+-=⋅+-= 所以.zyF F z y y z -=-=∂∂ 例8.17 设,ln y z z x =求.,yzx z ∂∂∂∂ 解（方法一） 设.ln ),,(yzz x z y x F -=则 ,1 ,12yy z z y F z F y x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-== .122z z x z z x F z +-=--=所以 .12z x z zz x z F F x z zx +=+--=-=∂∂ .)(122z x y z z z x y F F y z z y +=+--=-=∂∂ （方法二）等式两边对x 求偏导，得,2y x zz y z x z x z ∂∂⋅=∂∂⋅- 得 ,z x z x z +=∂∂等式两边对y 求偏导，得,22yzy yzz y y z z x -⋅∂∂⋅=∂∂⋅-得.)(2z x y z y z +=∂∂ （方法三） 原方程化为)ln (y nz z x -=，令 )ln (ln ),,(y z z x z y x F --=. 则.11ln 111ln 1z x zz x y z y z F F x zzx +=+=+=---=-=∂∂ .)(ln11ln 2z x y z y z y zy z y z F F y z z y +=+=---=-=∂∂注 用隐函数求导公式求x F 时，要视z y ,为常数，同样求z y F F ,时,要分别把z x ,及y x ,看成常数.而在等式两边对x 或y 求偏导时(方法二)，应视z 为y x ,的函数，不能把z 看成常数.例8.18 设333a xyz z =-，求yx z ∂∂∂2.分析 求隐函数的高阶偏数，一般都用隐函数求导公式求一阶偏导数，再用复合函数求导法求二阶及二阶以上的偏导数.解 设(),3,,33a xyz z z y x F --=则有 ,3yz F x -= xz F y 3-=， xy z F z 332-=.xy z yz xy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333 .2xy z xzF F y z zy -=-=∂∂171()22222)(2xy z x y z z yz xy z y z y z xy z yz y y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂ ()22222)(2xy z x xy z xz z yz xy z xy z xz y z -⎪⎪⎭⎫⎝⎛--⋅--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+= 322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 例8.19 设),(),,(),,(y x z z z x y y z y x x ===都是由方程0),,(=z y x F 所确定的具有连续偏导数的函数，证明：.1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂xz z y y x 证 因,x y F F y x -=∂∂ ,y z F F z y -=∂∂ .z x F F x z -=∂∂所以 1-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂z x y z x y F F F F F F x z z y y x 注 偏导数yxz y x z ∂∂∂∂∂∂,,均是一个整体记号，不能看作分子与分母之商.例8.20 设),(v u Φ具有连续偏导数，证明由方程0),(=--Φbz cy az cx 所确定的函数),(y x f z =满足方程.c yzb x z a=∂∂+∂∂ 分析 将Φ看成以z y x ,,为自变量的复合函数，中间变量为,,bz cy v az cx u -=-=由复合函数求导法则求出;,,z y x ΦΦΦ再由隐函数求导公式求出.,yzx z ∂∂∂∂解 . , ,0),(bz cy v az cx u v u -=-==Φ;;'2'1Φ⋅=∂∂⋅∂Φ∂=ΦΦ⋅=∂∂⋅∂Φ∂=Φc y v v c xu u y x'2'1Φ-Φ-=∂∂⋅∂Φ∂+∂∂⋅∂Φ∂=Φb a zv v z u u z'2'1'1'2'1'1Φ+ΦΦ=Φ-Φ-Φ-=ΦΦ-=∂∂b a c b a c x zz x .'2'1'2Φ+ΦΦ=ΦΦ-=∂∂b a c y zz y 所以 .'2'1'2'1c b a bc ac y z b x z a =Φ+ΦΦ+Φ=∂∂+∂∂ 例8.21 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数.(1) 设⎪⎩⎪⎨⎧=+++=203222222z y x yx z 求 .,dx dz dx dy(2) 设⎩⎨⎧=+=0),,()(z y x F y x xf z ,其中F f ,分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求 .dx dz（3）设⎪⎩⎪⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u 其中g f ,具有一阶连续偏导数，172 求.,xv x u ∂∂∂∂ 分析 由三个变量两个方程所构成的方程组,一般确定两个一元函数,即其中两个变量是第三个变量的一元函数,如(1)、（2）, dx dz dx dy ,可通过解关于dxdzdx dy ,的线性方程组完成. 由四个变量两个方程所构成的方程组,一般确定两个二元函数,即其中两个变量确定为另两个变量的二元函数,如(3), x v x u ∂∂∂∂,可通过解关于xvx u ∂∂∂∂,的线性方程组完成. 解（1）此方程组可确定两个一元隐函数),(x y y =)(x z z =.方程两边对x 求导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⋅+⋅+⋅+=064222dx dz z dx dy y x dxdy y x dx dz 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+-=-x dx dz z dx dy y x dx dzdx dy y 3222 在0263212≠+=-=y yz zy y J 条件下，有()();132162663121++-=+--=---=z y z x y yz x xz z x x J dx dy .132622221+=+=--=z xy yz xy x y x y J dx dz （2）方程两边对x 求导,z y ,为x 的一元函数，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++'++=0)1(dx dz F dx dy F F f dxdy x f dx dzz y x 整理得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=+'+=+'-x z y F dxdzF dxdy F f x f dxdzf dx dy x解得 )0(,)(≠'+'+'-'+=z y z y x y F f x F Ff x F Ff x F f x f dx dz （3）此方程组确定两个二元函数：),,(y x u u = ).,(y x v v = 方程两边对x 求偏导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∂∂⋅⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-∂∂=∂∂∂∂⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂⋅+=∂∂.21'2'1'2'1x v vy g x u g x v x v f x u x u f x u 即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=∂∂-+∂∂⋅-=∂∂⋅+∂∂-'1'2'1'1'2'1)12()1(g x v vyg x u g uf xv f x u xf 在 0)12)(1(121'1'2'2'1'2'1'2'1≠⋅---=--=g f yvg xf yvg g f xf J 条件下， ;)12)(1()12(121'1'2'2'1'1'2'2'1'2'1'2'1g f yvg xf g f yvg uf yvg g f uf J x u ⋅---⋅---=--=∂∂ ()()()'1'2'2'1'1'1'1'1'1'1'1121111g f yvg xf uf xf g g g uf xf J x v ⋅----+=--=∂∂ 5 微分法的应用例8.22 求曲线2sin 4,cos 1,sin t z t y t t x =-=-=在点⎪⎭⎫⎝⎛-22,1,12π处的切线及法平面方程.173解 该点对应参数,20π=t切向量为 {}{}2,1,1)(),(),(0'0'0'==→t z t y t x T 所求切线方程为 22211112-=-=+-z y x π法平面方程为 0)22(2)1(12=-+-+⎪⎭⎫⎝⎛+-z y x π即 .422+=++πz y x 例8.23 求曲线32,,t z t y t x ===上的点，使在该点的切线平行于平面 .42=++z y x解 曲线的切向量为 {},3,2,12t t T =→平面42=++z y x 的法向量为 {}.1,2,1=→n 由题意知→→⊥n T ,即.0=⋅→→n T 亦即,03412=++t t 得 ,31,121-=-=t t 则所求点坐标为 )1,1,1(--和.271,91,31⎪⎭⎫⎝⎛--例8.24(1)求曲面2132222=++z y x 在点)2,2,1(-的法线方程； （2）求椭球面12222=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程.（1）解 设,02132),,(222=-++=z y x z y x F 则,2)2,2,1(=-x F ,8)2,2,1(-=-y F ,12)2,2,1(=-z F 故所求的法线方程为624211-=-+=-z y x （2）分析 根据已知条件，先求出切点坐标.解 设,012),,(222=-++=z y x z y x F 法向量为 {}z y x n 2,4,2=→已知平面的法向量为{},2,1,11-=→n 由已知条件知 221412zy x =-= 即z y z x 41,21-==，将其代入椭球面方程.01422222=-+⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛z z z 得,1122±=z 于是切点为 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1122,11221,1121M ，，，，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1122112211122M 切平面方程为 02112=-+-z y x 和.02112=++-z y x 例8.25 在曲面xy z =上求一点，使这点处的法线垂直于平面093=+++z y x ，并写出这法线的方程.解 令().0,,=-=z xy z y x F 法向量为{}.1,,-=→x y n 已知平面法向量为{},1,3,11=→n 由题意知，→n ∥→1n ，即 1131-==x y .3,1,3=-=-=∴z y x 即所求点为)3,1,3(--，法线方程为 .133113-=+=+z y x 例8.26 试证曲面 a z y x =++ (0>a )上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证 ,0),,(=-++=a z y x z y x F 则法向量为 .21,21,21⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=→z y x n曲面上任一点),,(000z y x M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x174 即a z y x z z y y x x =++=++0000,化为截距式得，10=++az z ay y ax x所以，截距之和为.000a a a az ay ax =⋅=++例8.27求函数xyz u =在点)2,1,5(处沿从点()2,1,5到点)14,4,9(的方向的方向导数. 解 {}{},12,3,4214,14,59=---=→l .131691234||222==++=→l1312cos ,133cos ,134cos ===γβα1312133134cos cos cos xy xz yz z u y u x u l u +⋅+⋅=∂∂+∂∂+∂∂=∂∂γβα 所以. ()1398513121013321342,1,5=⨯+⨯+⨯=∂∂l u . 例8.29 求函数())4)(6(,22y y x x y x f --=的极值.解 解方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--==--=0)24)(6(0)4)(26(2'2'y x x f y y x f yx ，得驻点(0,0),(6,0),(0,4),(6,4),(3,2). 又 )24)(26(),4(2""y x f B y y f A xy xx --==--==，),6(2"x x f C yy --==列表常见错解 求得驻点()()()()().2,3,4,6,4,0,0,6,0,0后直接断定在这些点处取得极值.实际上,驻点未必是极值点.例8.30 在xoy 面上求一点，使它到0,0==y x 及0162=-+y x 三直线的距离平方之和为最小.分析 本题是无条件极值问题.解 设所求点的坐标为),(y x ，则此点到0,0==y x 及0162=-+y x 的距离分别为 |||,|y x 及,21|162|2+-+y x而距离平方和为 5)162(222-+++=y x y x z由 ()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-++=∂∂=-++=∂∂01625420162522y x y yz y x x x z ， 即⎩⎨⎧=-+=-+03292083y x y x 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==51658y x ，得唯一驻点⎪⎭⎫ ⎝⎛516,58， 由由题意知，到三直线距离平方和最小的点一定存在，故⎪⎭⎫⎝⎛516,58即是.例8.31 抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.分析 本题是条件极值问题.175解 设椭圆上点的坐标为),,(z y x ，则原点到椭圆上这一点的距离平方为 ,2222z y x d ++=其中z y x ,,要同时满足.1,22=+++=z y x y x z 令拉格朗日函数： )1()(),,(2221222-+++--+++=z y x y x z z y x z y x F λλ由方程组 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=+=++==+-==+-=10202202222212121z y x zy x z F y y F x x F z y x λλλλλλ 解得 32,231 =±-==z y x由题意可知这种距离的最大值和最小值一定存在，而恰好找到两个可能极值点，所以距离最大值和最小值在这两点处取得.因 .359)32(2312222222 =+⎪⎪⎭⎫⎝⎛±-⋅=++=z y x d 所以 3591+=d 为最长距离，3592-=d 为最短距离.6 综合题例8.32 求 2222lim y x y x y x xy⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→解 因为x xy y x ,222≥+>0，y >0.所以 0<,2122≤+y x xy 0<22222122y x y x y x xy ⎪⎭⎫⎝⎛≤⎪⎪⎭⎫⎝⎛+又因 02122=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→+∞→y x y x lim ，所以 2222y x y x y x xy⎪⎪⎭⎫⎝⎛++∞→+∞→lim 0=.例8.33 设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，求).,(),,(y x f y x f y x解 当022≠+y x 时，()22222222222222223222222)()()(2)(,)(2)(2)(2),(y x y x x y x yy x y x x y x f y x xy y x xy x y x xy y x f y x +-=+⋅-+=+=+⋅-+=当022=+y x 时，0lim )0,0(),0(lim )0,0(00lim )0,0()0,(lim)0,0(0000=∆-=∆-∆==∆-=∆-∆=→∆→∆→∆→∆y y f y f f x xf x f f y y y x x x则 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,)(2),(22222223y x y x y x xy y x f x176 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0,00,)()(),(2222222222y x y x y x y x x y x f y例8.34 函数,)0,(,1)0,(,2),,('22x x f x f yf y x f z y ===∂∂=求).,(y x f解 ,222=∂∂y f两边对y 积分得+=∂∂y yf2).(x ϕ 由条件x x f y =)0,('得.)(x x =ϕ即 x y y x f y +=2),(' 两边再对y 积分，得 )(),(2x xy y y x f ψ++=. 由条件1)0,(=x f 知,1)(=x ψ所以.1),(2++=xy x y x f例8.35 设,⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=x y g x y x f y u 其中g f ,均有二阶连续导数，求 .222y x u y x u x ∂∂∂+∂∂ 分析 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x f 可视为由y xt t f =),(复合而成的复合函数， f 对t 的一阶、二阶导数可分别简记为.,"'f f 即 .1'''y f x t f f x ⋅=∂∂⋅=对⎪⎭⎫⎝⎛x y g 也类似. 解x g x g x f y x u ∂∂⋅++∂∂⋅=∂∂⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⋅++⋅⋅=2''1x y g x g y f y .''g x y g f ⋅-+= ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+∂∂=∂∂''22g x y g f x x u⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅''⋅-'⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅'+⋅''=2221x y g x y g x y x y g y f g x y f y''⋅+''⋅=321 x g x g x y g x y x f y x u 111'"'2"2⋅-⋅⋅-⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅=∂∂∂"2"2g x y f y x ⋅-⋅-= 所以 .01"2"2"32"222=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-⋅-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅=∂∂∂+∂∂g x yf y x yg x y f y x y x uy x ux 例8.36 设z 是由方程ze z y x =-+所确定的y x ,的函数，求.2yx z∂∂∂ 解 令z z y x z e F F F e z y x z y x F --===--+=1,1,1,),,(.)1()1(11.11,1111322z zz z z zz y zz z x e e e y z e e y y x z e F F y z e e F F x z +-=+∂∂⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∂∂=∂∂∂+=-=∂∂+=---=-=∂∂ 例8.37 设),(y x z z =由方程0,=⎪⎪⎭⎫⎝⎛++x z y y zx F 所确定，且()v F u,具有连续偏导数 ，则.yzy x z x xy z ∂∂⋅+∂∂⋅+=177证明 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=2'2'1x z F F F x ='1F -'22F xz⋅； .1111;'2'1'2'1'12'2'22'1F xF y x F y F F F y z F F y z F F z y ⋅+⋅=⋅+⋅=⋅-=+⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅= .11,11'2'1'22'1'2'1'12'2'2'1'1'2'2'1'22'1yxyF xF F y zF F xF y F y z F F F y z yF xF xyF F x yz F xF y F x z F F F x z z y z x ⋅+-=⋅+⋅⋅--=-=∂∂+-=⋅+⋅⋅--=-=∂∂ 所以 ''''''''2122121122yF xF F xy xzF yF xF yF x yzF xy y zy x z x xy +-++-+=∂∂+∂∂+()().'2'1'2'1'2'1z xy z xy yF xF yF xF xy yF xF z xy =-+=++-++=例8.38 设函数),(u f z =方程dt t p u u x y⎰+=)()(ϕ确定u 是y x ,的函数，其中)(),(u u f ϕ连续且可微，1)('≠u ϕ求.)()(yz x p x z y p ∂∂+∂∂ 解 yuu f y z x u u f x z u f z ∂∂⋅=∂∂∂∂⋅=∂∂=)( ,)(),(''， 方程两边对x 求偏导，得)()('x p x u u x u +∂∂=∂∂ϕ，即 .)(1)('u x p x u ϕ-=∂∂ 所以.)()()(''u x p u f x z ϕ-⋅=∂∂1 方程两边对y 求偏导，得)()('y p y u u y u -∂∂⋅=∂∂ϕ，即 .)(1)('u y p y u ϕ--=∂∂ 所以).()()(''u f u y p y z ⋅--=∂∂ϕ1 故 y z x p x z y p ∂∂+∂∂)()(.0)()(1)()()()(1)()(''''=⋅--⋅+⋅-⋅=u f u y p x p u f u x p y p ϕϕ 例8.39求抛物面22y x z +=的一个切平面，使切平面与直线⎩⎨⎧=+=+2212z y z x 垂直.解 已知直线方向向量 {}.1,2,2210201--==→→→→kj ia 抛物面在点()z y x ,,处切平面的法向量为: {}1,2,2-=→y x n .由题意知，→a ∥.→n 即 112222-=-=-y x 得211===z y x ,, 切点为 ).2,1,1( 所求切平面方程为 ,0)2()1(2)1(2=-+----z y x即 .0222=++--z y x例8.40 求球面6222=++z y x 与抛物面22y x z +=的交线在点()2,1,1处的切线方程.178 分析 本题主要是求切向量.因方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==++222226y x z z y x 确定了交线⎪⎩⎪⎨⎧===)()(x z x y x x ψϕ .所以可用方程两边对x 求导的方法，解含有dxdzdx dy ,的方程组.从而得切向量 ()(){}.,,10'0'x x T ψϕ=→解 在方程22222,6y x z z y x +==++两边分别对x 求导，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==++dx dy y x dx dz dx dz z dx dy y x 220222 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+xdxdz dx dy y x dx dz z dx dy y 22 解得 ,0 ,22=--+=dx dz yz y xz x dx dy所以 ()().0 ,12,1,12,1,1=-=dxdzdx dy 切向量{}0,1,1-=→T ， 所求切线方程为⎪⎩⎪⎨⎧=---=-021111z y x , 即⎩⎨⎧==-+202z y x .三、自测试题(时间:120分钟,满分:100分)(一) 填空题(每小题3分,共15分) 1. 函数)1ln()arccos(22y x y x z --++= 的定义域是 .2. 设y xu arctan =, 则=du .3. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧+==4422y x z y 在点M )5,4,2(处的切线方程是 .4. =++→→2201)ln(lim y x e x y y x .5. 函数22324y xy x x z -+-=的驻点为 ；极值点为 . (二) 选择题(每小题3分,共15分)1.函数),(y x f 在点),(00y x 处可微,是),(y x f 在),(00y x 可导的() ()A 充要条件；()B 充分条件；()C 必要条件；()D 以上都不对.2. 函数22y xy x z +-=在点()1,1处沿⎭⎬⎫⎩⎨⎧=→41,41l 的方向导数().()A 最大；()B 最小；()C 1； ()D 0.3. 设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠++=)0,0(),(,0)0,0(),(,1sin )(,2222y x y x yx y x y x f 则()=0,0'y f()A 0 ；()B 1 ；()C 2；()D .1-4. 椭球面163222=++z y x 上点()3,2,1--处的切平面与平面1=z 的夹角为( ).()A 4π；()B 167arccos ;()C 227arccos ;()D 223arccos .1795. 设,23z xy u -=点M )1,2,1(-，则). (=M gradu()A {}2,4,2；()B {}3,4,2--；()C 62；()D 63.(三) 计算下列各题(每小题12分,共48分)1 设z y x u =，求.,,z uy u x u ∂∂∂∂∂∂2. 设)sin()arctan(z x e y x u xy z +⋅+-=求.du3.设方程1=++zx yz xy 确定隐函数),(y x z z =,求.22y z ∂∂4.设),(22xye y xf z -=，求.22xz ∂∂ (f 具有二阶连续偏导).(四) 求曲面3=+-xy z e z 在点()0,1,2处的切平面与法线方程.(10分)(五) 设一矩形的周长为2.现让它绕其一边旋转,求所得圆柱体体积为最大时矩形的面积及圆柱体体积.(12分)参考答案(一) }111|),.{(122<+≤+≤-y x y x y x 且;).0,0();2,2(),0,0.(5 ;2ln .4 ;403.3 ;.222⎩⎨⎧==+-+-y z x y x xdyydx (二) ..5 ;.4 ;.3 ;.2 ;.1B D A A B(三) ;.11-=∂∂z y z x y x u ;ln 1x z x y y uz y z -=∂∂.ln ln y x x y z u z y z =∂∂ dx z x e z x y e y x y x z du xyxy zz ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++++-+-=-）（cos )sin()(1)(.221 dy z x x e y x y x z xy z z ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+--+-)sin()(1)(21 .)cos()(1)ln()(2dz z x e y x y x y x xyzz ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-+--+ .)()(2.3222y x z x yz ++=∂∂.442.422221211222122f e y f xye f x f e y f xz xy xy xy ''+''+''+'+'=∂∂ (四) 切平面方程为:.04-2=+y x 法线方程为: ⎩⎨⎧==--0032z y x(五) 矩形面积为:;92=s 最大体积为:.274π=V。
多元函数微分法和应用
第8章多元函数微分及其应用第一卷研究一元函数的微分方法。
利用这些知识，我们可以求出直线上质点运动的速度和加速度，也可以求出曲线切线的斜率。
还不够，因为一元函数只研究由一个因素决定的事物。
一般来说，对自然现象的研究总是离不开时间和空间。
需要三个坐标来确定空间中的点。
因此，一般物理量往往取决于四个变量。
在某些问题中，需要考虑更多的变量。
这样，就有必要研究多元函数的微分。
多元函数微分是一元函数微积分的扩展，所以多元函数微积分与一元函数微积分有很多相似之处，但也有很多不同之处。
学生在学习这部分时要特别注意他们的差异。
地方。
一、教学目标和基本要求(1)了解多元函数的概念。
(2)了解两个变量的函数的极限和连续性的概念，与有界封闭区域上的连续函数的性质有关。
(3)了解偏导数和全微分的概念，了解全微分存在的充要条件，并在近似计算中应用全微分。
(4)了解方向导数和梯度的概念，掌握它们的计算方法。
(5)掌握复合函数一阶和二阶偏导数的计算方法。
(6)找到隐函数的偏导数，包括那些由方程组确定的函数。
(7)了解曲线的切面和法线以及曲面的切面和法线，掌握它们的方程。
(8)理解多元函数极值的概念，找出函数的极值。
了解条件极值的概念，利用拉格朗日乘子法求条件极值，解决一些比较简单的最大值和最小值的应用问题。
二、教学内容及课时分配：第 1 节多元函数的基本概念 2 小时第二部分偏导数 1 学分第三个全差1学分第 4 节多元复合函数的导数规则 2 小时练习课2小时第五节隐函数2小时的推导公式第六节多元函数微积分的几何应用2学分第七节方向导数和梯度 2 学分第 8 节多元函数的极值及其方法 2 小时练习课2小时三、教学内容的重点和难点：强调：1．多元函数的极限和连续性；2．偏导数的定义；总微分的定义3．多元复合函数的推导规则；隐函数的推导规则4．方向导数和梯度的定义5．如何找到多元函数的极值和最大值困难：1．多元函数微分的几个概念，即多元函数极限的存在性、多元函数的连续性、偏导数的存在性、全微分的存在性、连续性的关系偏导数；2．在多元复合函数的求导规则中，抽象函数的高阶导数；3．由方程组确定的隐函数的推导规则；4．梯度大小和方向的重要性；5．如何找到条件极值四、教学内容的深化与拓宽：1．多元函数微积分几个概念的深厚背景；2．多元复合函数求导法则的应用；3．由方程确定的隐函数，推广到由方程组确定的隐函数4．利用多元函数微积分的知识研究空间曲线和曲面的性质；5．将偏导数的概念推广到方向导数，从而得到梯田的概念6．利用多元函数微积分的知识研究无条件极值和条件极值。
多元函数微分学及其应用归纳总结
第八章 多元函数微分法及其应用一、多元函数的基本概念1平面点集，平面点集的内点、外点、边界点、聚点，多元函数的定义等概 念 2、多元函数的极限lim f(x, y)=A (或 lim f(x,y)=A )的；-' 定义(x,y)「(x °,y o)P「P )掌握判定多元函数极限不存在的方法：(1) 令P(x, y)沿y 二kx 趋向P(x o ,y o )，若极限值与k 有关，则可断言 函数极限不存在；(2) 找两种不同趋近方式，若 lim f (x, y)存在，但两者不相等，(x,y )Tx o ，y o )此时也可断言极限不存在。
多元函数的极限的运算法则(包括和差积商，连续函数的和差积商， 等价无穷小替换，夹逼法则等)与一元类似：例1•用…定义证明(侧0,0)(x 2+y 2)sin 击=02 + 2例2(03年期末考试三、15 分当X>0,y >0时，函数x2；(；2_y)2的极限是否存在？证明你的结论。
xy 2 2 2 2 , x y = 0x y ，讨论 lim f (x, y)是否存在?(x,y )T(0,0)3卫， x 2+ y 2=0(JiH ,。
)f (X,y )是否存在?例 3 设 f (x, y) =2 例4(07年期末考试 一、2，3分)设f(x, y)=Q2 xy2 .4x y2 2小,x y =0 ，讨论x 2y 2二 0x3、多元函数的连续性台(Jim )f (x, y)= f (X o ,y o )(x，y) --- (X 0，y 0 )一切多元初等函数在其定义区域内都是连续的，定义区域是指包含 在定义域内的区域或闭区域。
在定义区域内的连续点求极限可用“代入法”点(0,0)不连续，但存在一阶偏导数。
4、了解闭区域上商连续函数的性质：有界性，最值定理，介值定理二、多元函数的偏导数 1、二元函数z = f (x, y)关于x, y 的一阶偏导数的定义(二元以上类似定义)f(X0pX,y 0)— f(X 0,y 0)存在，则有y 看成常数！所以求偏导数本质是求一元函数的导数。
高等数学第八章 多元函数微分法及其应用
其中是曲面在M的法向量
n {Fx ( x0 , y0 , z0 ), Fy ( x0 , y0 , z0 ), Fz ( x0 , y0 , z0 )}
2、曲面方程：z=f(x，y)
它在点M( x0 , y0 , z0 )的切平面方程
z z0 f x ( x0 , y0 )( x x0 ) f y ( x0 , y0 )( y y0 )
第五节 隐函数的求导公式
存在定理1：设函数F(x，y)在点 P( x0 , y0 ) 的某一邻
域内具有连续的偏导数，且F ( x0 , y0 ) 0, Fy ( x0 , y0 ) 0，
则方程F(x，y)=0在点( x0 , y0 ) 的某一邻域内恒能确定
一个单值连续且具有连续导数的函数y=f(x)，它满足
性质:(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函 数，若在D上取得两个不同的函数值，则它在D 上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
一切多元初等函数在其定义区域内是连续的。
第二节 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 ：设函数z=f(x，y)在点(x0, y0 )的某一邻域内有定
义有存，增在当量，则yf固(称x定0此在极xy限,0而y0为x) 在函xf数(0处xz0=,有yf(0增x)，，量如y)果在x 时点lxi，m(0x相f0,(y应x00)处地x对函x,x数y的0 )
,
y
|x x0 , z y y y0
|x x0 y y0
或f y ( x0 ,
y0 )
类似导数，函数z=f(x，y)对自变量x的偏导函数为
z x
,
f x
,
z
x或f
x
(
x,
多元函数微分法极其应用
多元函数微分法极其应用1.前言多元函数微分法是微积分学重要的一部分，在实际应用中有着广泛的应用。
本文将从多元函数的概念，多元函数微分的定义及性质，多元函数的极值判定和应用等四个方面进行详细讲解。
2.多元函数的概念多元函数是指在正则区域内有定义的由两个或两个以上自变量构成的函数.对于函数y=f(x1,x2,...,xn)，其中x1,x2,...,xn是自变量，y是因变量，每个自变量xi都取正则区域Di内值，函数f称为定义在正则区域D上的n元函数，记作f(x1,x2,...,xn)。
3.多元函数微分的定义及性质3.1定义：对于多元函数y=f(x1,x2,...,xn)，如果存在一组数（Δx1,Δx2,…,Δxn）：使Δy=f(x1+Δx1,x2+Δx2,...,xn+Δxn) -f(x1,x2,...,xn)-(∂f/∂x1)(x1,x2,...,xn)Δx1-(∂f/∂x2)(x1,x2,...,xn)Δx2-...-(∂f/∂xn)(x1,x2,...,xn)Δxn满足lim[Δy/(√(Δx12+Δx22+…+Δx2n)]=0（其中n≥2）那么就称函数f(x1,x2,...,xn)在(x1_0,x2_0,...,xn_0)可微，并称Δy=(∂f/∂x1)(x1,x2,...,xn)Δx1+(∂f/∂x2)(x1,x2,...,xn)Δx2+...+(∂f/∂xn)(x1,x2,...,xn)Δxn为函数f(x1,x2,...,xn)在点(x1_0,x2_0,...,xn_0)的微分，通常记为dy.3.2性质：函数f(x1,x2,...,xn)在一点(x1_0,x2_0,...,xn_0)可微的充分必要条件是：只要(∂f/∂x1)、(∂f/∂x2)、...、(∂f/∂xn)等偏导数存在且连续，函数f(x1,x2,...,xn)就在该点可微。
4.多元函数的极值判定和应用4.1极值判定：求多元函数在定义域内的极值可先求其偏导数，若(1)∂f/∂xi=0(i=1,2,...,n)(2)(∂^2f)/(∂xi^2)<0(i=1,2,...,n)则f取得局部最大值；若(1)∂f/∂xi=0(i=1,2,...,n)(2)(∂^2f)/(∂xi^2)>0(i=1,2,...,n)则f取得局部最小值。
多元函数微分法及其应用
多元函数微分法及其应用设函数y = f(x)在x0的邻域内有定义，x0及x0 + Δx在此区间内。
如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) - f(x0)可表示为Δy = AΔx + o(Δx)（其中A是不依赖于Δx的常数），而o(Δx)是比Δx高阶的无穷小（注：o读作奥密克戎，希腊字母）那么称函数f(x)在点x0是可微的，且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即dy = AΔx。
如sinx的微分可写作为dsinx=cosxdx设有二元函数z=f(x,y)，点(x0,y0)是其定义域D内一点.把y固定在y0而让x在x0有增量△x，相应地偏导数函数z=f(x,y)有增量(称为对x的偏增量)△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。
如z=sinxy对x的偏导数为dz/dx=y*cosxy前者是微分，后者是偏微分。
求微分原则一样的，后者一般会出现在二元函数或者以上的函数求微分中1.偏导数不存在,全微分就不存在2.全微分若存在,偏导数必须存在3.有偏导数存在,全微分不一定存在微分是函数改变量的线性主要部分，导数是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数。
导数：一般指一元函数而言，对只有一个自变量x的函数y，则对函数y求导得到导数y'，称之为函数y的导数。
偏导数：一般是针对多元函数而言，例如对有两个自变量x,y的函数z，则求z对y的导数，即为z对y的偏导数，书写为：z'y。
微分：存在一元微分和偏微分两种类型，与导数和偏导数的区别，只是书写的不同。
例如，对一元函数而言，y的微分书写为：dy=y'dx；对有两个自变量x,y的函数z，则求z对y的导数，z对y的偏微分，书写为：のz=z'yのy。
二元函数的微分与导数区别是什么呢?_作业帮微分一般指全微分或者全导数,在这个方面就没有区别,如果是偏导数就有区别了.例如u=x^2y他的全微分或者全导数一般写成:du=2ydx+x^2dy但对x 的偏导数=2y,对y的偏导数=x^2.多元函数微积分里,那两个的区别,不懂,求大神指导定积分的几何意义是曲边梯形的面积.而情形2中阴影部分面积正好是两个曲边梯形面积之差,加上绝对值就是看哪条曲线在上面,总是用上面的曲边梯形减去下面的曲边梯形才能保证结果是面积.否则积分值可能为负.【二元函数与一元函数求微分的区别是多求一个变量的导数?】大概可以这样说,但表述不同,一元中,我们称为求微分,二元中,我们称为求偏微分而且一元中中微分存在,原函数就可以说明连续了,但二元中是不能这样说的,必须偏微分存在且连续.不知道我的表述你可不可以接受,而且,你的问题有点大,如果可以具体点,我也可以更具体的告诉你.高数,一元函数微分,这两个式子区别在哪? 意思是上面个求的极限在下面个式子的无穷小的位置,如果函数连续,两个式子的值是相等的【多元函数:偏导数存在、可微分、连续!请一定用通俗的话给我讲讲:1、多元函数可微分到底是什么意思?可微分代表什么?2.偏导数存在、可微分、连续他们的关系是什么?为什么什么是这样的】1.一元函数可微分与可求导比较接近二元函数的话,你想象一张平面,在上面任何一个方向都可以求导,就接近可微分了; 而偏导数存在仅仅是某几个方向可以求导2.可微分->偏导数存在可微分->连续偏导数存在(比如x、y方向可偏导)->x、y方向函数连续,其他方向不一定。
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多元函数微分法及其应用
本节涉及到的多元函数微分学的几何应用包括：空间曲线的切线与法平面
、曲面的切平面与法线。
以上这些几何应用的基础在于空间曲线的切线，而空间曲线切线的基础在于其切向量，进一步，切向量的基础在于一元向量值函数的导数（导向量）。
基于上述理由，本节的第一段专门介绍了一些关于一元向量值函数的知识：包括定义、极限、连续、与导数。
想抓住这些知识的关键只需要记住一点：所有的概念都能归结到向量函数的三个分量函数上。
而对于后续应用最有用的知识则是向量值函数的导数（导向量）：对向量值函数的三个分量函数分别求导得出的向量。
向量值函数的几何意义是终端曲线，也就是空间曲线。
同时，其导向量的几何意义就是切向量。
有了切向量，切线立刻可以写出；法平面也立刻可以写出。
这就是向量方法的威力所在。
由参数方程表示的空间曲线，其上某点的切向量好记也好算。
而由一般方程（两个由隐函数表示的曲面方程联立）表示的曲线，切向量的公式是无法记忆的，太复杂了。
解决办法也不难，方程组两边对最终变量x 求导就行了（一般情况都是以x 作最终变量）。
可点击参考《说说『隐函数与隐函数组求导』》。
曲面某点的切平面与法线的关键在于找到法向，法向的确定思路是：法向与所有在曲面上且过此点的曲线的切向都垂直。
法向最后的结果
很好记忆，就是曲面方程的隐函数分别对三个变量求偏导数。
有了法向，切平面和法线可立即写出。
这节的内容期末考试肯定会有，因为它的知识点非常清晰，解决方法也很程序化，并且也可以算同时考察了解析几何一章和微分学知识点。