多元函数微分法

求全导数dz .
解:
dt
dz dt
z du u dt
z v
dv dt
z t
ve t
usin t
cos t
et cos t et sin t cos t
et (cost sin t) cost.
例 2 设z eu sin v ，而u xy ，v x y ，
求 z 和z .wk.baidu.com
解:
z y f1( xy, x2 y2 ) x f2( xy, x2 y2 ) (2 y)
x0 x
x0
x0 x
lim o() lim xu2 xv2
0
x0
x
0 o()
lim lim
0
x0
xu x
2
xv x
2
z z u z v x u x v x
从而 z f (u,v) u ( x, y) v ( x, y)
链式法则如图示
u
x
z
v
y
z x
z u
dt
上定理还可推广到中间变量不是一元函数
而是多元函数的情况：z f [( x, y), ( x, y)].
(3) 如果u ( x, y)及v ( x, y) 都在点
( x, y)具有对x 和y 的偏导数，且函数z f (u,v)在
对应点( u, v ) 具有连续偏导数，则复合函数
z f [ ( x, y), ( x, y)]在对应点( x, y)的两个偏
f2 v v z
f21 xyf22
于是
2w xz
f11
xyf12
yf2
yz(
f21
xyf22 )
f11 y( x z) f12 xy2zf22 yf2.
例5 设 z f (u, x, y), u xe y , 其中f具有二阶连续偏导数，求 2z xy
解
z x
fu
u x
f x
fu e y
x y
z z u z v eu sin v y eu cosv 1
x u x v x
eu( ysinv cosv),
z y
z u
u y
z v
v y
eu sin v
x eu cosv 1
eu( xsinv cosv).
例3. 设f，g为连续可微函数 z f ( x, xy), w g( x xy),
导数存在，且可用下列公式计算
z z u z v ， x u x v x
z y
z u
u y
z v
v y
.
证：给x一增量x,则u, v, z都有一偏增量
xu u( x x, y) u( x, y) xv v( x x, y) v( x, y)
z f (u xu,v xv) f (u,v)
求 z w x x
解 设 令 xy
z f y f
x x
f1( x, xy) yf2( x, xy)
w (1 y)g , x
z x
w x
(1
y)g (
f1
yf2 ).
例 4 设w f ( x y z, xyz)，f 具有二阶
连续偏导数，求w 和 2w . x xz
解 令 u x y z, v xyz;
记
f1
f
(u, v ) u
,
f12
2 f (u,v) ,
uv
同理有 f2, f11, f22 .
w x
f u f v
u x v x
f1 yzf2
2w xz
z
(
f1
yzf2)
f1 z
yf2
yz
f2 z
f1 f1 u f1 v z u z v z
f11 xyf12
f 2 z
f2 u u z
f x
2z xy
(
fuu
u y
fuy )e y
fu e y
f xu
u y
f xy
fuu xe2 y fuye y fu e y f xu xe y f xy
练习：求z f ( xy, x2 y2 )的偏导数。
解：zx f1( xy, x2 y2 ) y f2( xy, x2 y2 ) 2x
§8.3 多元函数的微分法
一、链式法则
定理 如果函数u (t ) 及v (t ) 都在点t 可
导，函数z f (u,v)在对应点(u,v) 具有连续偏导
数，则复合函数z f [ (t ), (t )]在对应点t 可导，
且其导数可用下列公式计算：
dz z du z dv ． dt u dt v dt
(1) dz z du z dv . dt u dt v dt
上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.
z z(u,v, w),u u(t),v v(t), w w(t)
(2) dz z du z dv z dw dt u dt v dt w dt
u
z
v
t
w
以上公式中的导数 dz 称为全导数.
又z f (u,v)可微，
z A xu B xv o( ) (
f u
xu
f v
xv
o(
)
由偏导定义可得：
xu2 xv2 )
z lim [f xu f xv o( )] x x0 u x v x x
f u f v lim o( )
u x v x x0 x
而 lim o() lim o() lim
z
z
u
z
v
z
w
,
x u x v x w x
z
z
z
u
z
v
z
w
.
u v w
x
y
y u y v y w y
特殊地 z f (u, x, y) 其中 u ( x, y) z
即 z f [( x, y), x, y], 令 v x, w y,
ux
x
yy
v 1, w 0,
x
x
z f u f , x u x x
v 0, w 1.
y
y
区
z f u f . y u y y
别 类 似
两者的区别
把 z f (u, x, y)
把 复 合函 数 z f [ ( x, y), x, y] 中的u 及 y 看作不
中的 y 看作不变而对x 的偏导数 变而对x 的偏导数
例 1 设z uv sin t ，而u et ，v cos t ，
u z v , x v x
z y
z u u y
z v
v y
(4) 类似地再推广，设u ( x, y)、v ( x, y)、
w w( x, y)都在点( x, y)具有对 x和 y 的偏导数，
复合函数z f [ ( x, y), ( x, y), w( x, y)]在对应点
( x, y)的两个偏导数存在，且可用下列公式计算