【同济高数】第九章多元函数微分法及其应用单元测试题

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第9章多元函数微分法及其应用(题库)答案

C ）.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
第 9 章多元函数微分法及其应用（题库）答案
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C.
x 1 y 1 z 1 1 2 3
D.
x 1 y 2 z 3 1 1 1
C ）.
28.（8-6）曲面 xyz 6 在点 1, 2,3 处的切平面方程是（ A. 6 x 3 y 2 y 1 0 C. 6 x 3 y 2 z 18 0
t
22.（8-4）设 z uv sin t ，而 u e ， v cos t ，求解：
dz z du z dv z vet u sin t cos t et cos t sin t cos t . dt u dt v dt t
2 2
B.
x 2 y 1 ＝＝ 4 2
z4 －1
D. 2 x y 4 z 6 0 C ）.
31.（8-6）旋转抛物面 z x y 1 在点 2,1, 4 处法线方程为（ A. 4 x 2 2 y 1 z 4 0 C. B.
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dz . dt
第 9 章多元函数微分法及其应用（题库）答案
23.（8-5）已知方程 x y 1 0 在点 0,1 的某邻域内能唯一确定一个单值可导且 x 0
2 2
时
y 1 的隐函数 y f x ，求这函数的一阶导数在 x 0 的值
z . x
z 2x 3y x
2

z x
2
x 1 y 2
2 1 3 2 8 .
z . y

第9章多元函数微分法及其应用近年试题

0809 B一、填空题（每小题3分，共18分）2、设)ln(xy z =，则其全微分dz = ． 11dx dy x y+ 3、函数xy x y u 2222-+=的所有间断点是 .2{(,)|2,,}x y y x x R y R =∈∈二、选择题（每小题3分，共15分）1、22),(y x xyy x f +=，则极限=→→),(lim 00y x f y x （Ａ）（A ）不存在（B ）1 （C ）2 （D ）0A当点(,)P x y 沿曲线y kx =趋向(0,0)时，222200lim (,)lim x x y kxk x f x y x k x →→==+21kk =+显然，当k 取值不同是，极限也不相同。

所以22(,)(0,0)limx y xyx y →+不存在．2、在曲线32,,t z t y t x =-==所有切线中，与平面433=++z y x 平行的切线（Ａ）（A ）只有一条；（B ）只有两条；（C ）至少有3条；（D ）不存在曲线的切向量2((),(),())=(12,3)T t t t t t ϕψω'''=-，,平面的法向量(1,3,3)n = 22(12,3)(1,3,3)1690t t t t -⋅=-+=，,2(31)0t -=,1.3t =得所以只有一条切线满足条件.3、点()0,0是函数xy z =的（Ｂ）（A ）极值点；（B ）.驻点但不是极值点；（C ）是极值点但不是驻点；（D ）以上都不对分析: 令0,0x y z y z x ====,得(0,0)是驻点,但点(0,0)是xy z =的鞍点,不是极值点.四、计算题（每小题8分，共32分）1、设, , ,sin y x v xy u v e z u+===求xz∂∂和y z ∂∂ 解z f f u f vx x u x v x∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅∂∂∂∂∂∂e sin e cos e [sin()cos()]u u x y v y v y x y x y =⋅+=⋅+++e sin e cos u u zf f u f v v x v y y u y v y∂∂∂∂∂∂=+⋅+⋅=⋅+∂∂∂∂∂∂e [sin()cos()]x y x x y x y =⋅+++ 五、解答题（每小题分10，共20分）1、要造一个容积为定数a 的长方形无盖容器，如何设计它的尺寸才能使它的表面积最小？此时最小表面积为多少？解：设长方体的长宽高分别为,,,z y x 则问题就是在条件(,,)0x y z xyz a ϕ=-=下求函数 22S xy xz yz =++ )0,0,0(>>>z y x的最小值. 作拉格朗日函数(,,)22(),L x y z xy xz yz xyz a λ=++++-求其对,,,x y z λ的偏导数，并使之为零，得到 20,20,2()0,0.y z yz x z xz x y xy xyz a λλλ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪-=⎩因为z y x ,,都不等于零，得 11,22z x y ==代入0xyz a -=,得x y z ===这是唯一可能的极值点. 由问题本身可知最小值一定存在，所以最小值就在这个可能的极值点处取得.时, 最小表面积S =0910B一、填空题（每小题2分，共10分）2、设函数),(y x f z =是由方程z z y x 4222=++给出，则全微分=dz ．2d 224x x ydy zdz dz ++=,2xdx ydydz z+=-.3、曲面14222=++z y x 在点)3,2,1(P 处的切平面方程为 .切平面得法向量(1,2,3)(1,2,3)(2,2,2)n x y z =(2,4,6),=切平面方程为2(1)+4(2)6(3)0,23140.x y z x y z --+-=++-=或二、选择题（每小题2分，共10分）1、二元函数),(y x f 在点),(00y x 处可微是两个偏导数),(',),('0000y x f y x f y x 都存在的（Ａ）（A ）充分条件（B ）必要条件（C ）充分必要条件（D ）既非充分又非必要条件.四、计算题（每小题10分，共40分） 1、设v u z ln 2=，而y x u =、y x v 23-=，求:xz∂∂、y z ∂∂．解：()()22223323ln 2y y x x y x y x x z -+-=∂∂，()()223223223ln 2y y x x y x yx y z ----=∂∂1011B一、填空题（每小题3分，共15分）(1) 设二元函数)1ln()1(y x xez yx +++=+，则=)0,1(|dz .(1,0)(1,0)(1,0)1|(ln(1))|()|1x y x y x y x dz e xe y dx xe dy y++++=++++++ (1,0)d 2ed (e 2)d zx y ∴=++(2) 旋转抛物面122-+=y x z 在点)4,1,2(处的法线方程是 . 法线的方向向量(2,1,4)(2,1,4)(2,2,1)s x y =-(4,2,1),=-法线方程是214421x y z ---==-. 二、单项选择题（每小题3分，共15分）(4) 设),(y x f z =的全微分为ydy xdx dz += 则点 )0,0( ( C ) .A 不是),(y x f 的连续点；.B 不是),(y x f 的极值点；.C 是),(y x f 的极小值点；.D 是),(y x f 的极大值点.分析:z ,x y x z y ==,得z 1,1,0xx yy xy z z ===,由210,10AC B A -=>=>,则点 )0,0(是),(y x f 的极小值点.三、求偏导数（每小题10分，共20分）（1）设),(3xyxy f x z =，其中f 具有二阶连续偏导数.求 y z ∂∂；22y z ∂∂；y x z ∂∂∂2.解:231223(())z yx f x yf f x x∂''=++-∂23123x f x yf xyf ''=+-3121(())z x xf f y x∂''=+∂ 4212x f x f ''=+ 242122()z x f x f y y ∂∂''=+∂∂421112212211(())(())x f x f x f x f x x ''''''''=⋅++⋅+ 531112222x f x x f xf ''''''=⋅++ y x z ∂∂∂22z y x ∂=∂∂4212()x f x f x∂''=+∂ 3421111222122224(())2(())y y x f x f y f xf x f y f x x ''''''=+⋅+⋅-+++- 3412112242.x f xf x yf yf ''''=++- (2)设),(y x z z =是方程)arc tan(z y x xyz ++=在)1,1,0(-点确定的隐函数，求xz∂∂及)1,1,0(-∂∂yz解:令)arctan(),,(z y x xyz z y x F ++-= …1分则 2)(11z y x xy F z +++-= 2)(11z y x yz F x +++-=2)(11z y x xz F y+++-= …6分 1])(1[1])(1[22-+++-+++-=-=∂∂z y x xy z y x yz F F x z z x ； …8分 11])(1[1])(1[22)1,1,0(-=-+++-+++-=-=∂∂-z y x xy z y x xz F F yz z y…10分六、应用题（本题满分10分）从斜边长为l 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形，并求出最大周长.解：设另两边长分别为y x ,，则 222l y x =+，周长 l y x C ++= …2分设拉格朗日函数 )(),,(222l y x l y x y x F -++++=λλ …4分令 ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+==+=0021021222l y x F y F x F y x λλλ …6分解方程组得l y x 22==为唯一驻点，且最大周长一定存在 …8分故当l y x 22==时，最大周长为l C )21(+= …10分1112B一、填空题（每小题2分，共10分）1. y x z 2=在点)1,1(处的._______________=dz22,dz xydx x dy =+112.x y dzdx dy ===+2. 设函数y xy ax x y x f 22),(22+++=在点)1,1(-取得极值，则常数_____=a .211(1,1)(4)0x x y f x a y ==--=++=,11(1,1)220y x y f xy ==--=+=,所以 5.a =-例36 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型．分析这是二元函数求极值的反问题，即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题．解因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点，则有 2(1,1)(1,1)(1,1)(1,1)40220fx a y x f xy y ----⎧∂=++=⎪∂⎪⎨∂⎪=+=⎪∂⎩，因此有410a ++=，即5a =-．因为22(1,1)4f A x-∂==∂，2(1,1)(1,1)22fB y x y--∂===-∂∂， 22(1,1)(1,1)22fC x y--∂===∂，2242(2)40AC B ∆=-=⨯--=>，40A =>，所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值．二、选择题（每小题2分，共10分）3. 在点P 处函数),(y x f 的全微分df 存在的充分条件为（Ｃ） (A) y x f f ,均存在 (B) f 连续(C) f 的全部一阶偏导数均连续 (D) f 连续且y x f f ,均存在三、计算题（每小题8分，共40分）1. 设),(y x z z =是由方程z z y x 2222=++所确定的隐函数，计算22,x z x z ∂∂∂∂的值. 解:设 222(,,)2F x y z x y z z =++-，则2x F x =，2y F y = ，22,z F z '=-2,221z x x x z z ∂=-=∂--22()1z xx x z∂∂=∂∂-21(1)x z xz z -+=-22231(1)1(1)(1)xz xz x z z z -+-+-==-- 4. 求函数zx yz xy u ++=在点)3,1,2(沿着从该点到点)15,5,5(的方向导数.解方向(3,4,12)l = 03412{,,}.13133l =1312cos ,134cos ,133cos ===γβα3)3,1,2(,5)3,1,2(,4)3,1,2(===z y x u u u ,1368cos cos cos =++=∂∂γβαz y x u u u l z . 五、证明题（每小题7分，共7分）证明(,)(0,0)(,)0(,)(0,0)x y f x y x y ≠==⎩在)0,0(点偏导数存在，但不可微.证: (,0)0,(0,)0f x f y ==,0(0,0)(0,0)(0,0)limlim00.x x x f x f f x∆→→+∆-===∆ 00(0,0)(0,0)(0,0)limlim 00.y y y f y f f y∆→∆→+∆-===∆ (,)(0,0)f x y 所以函数在处可导....................3分2202200lim ),(lim )0,0()0,0(limy x y x yx y x f y f x f z y x ∆∆∆∆∆∆∆∆ρ∆∆∆ρρρ+=+=--→→→当点(,)P x y ∆∆沿曲线y kx =趋向(0,0)时，22222222000()lim lim lim ()()()()x x y k xx y x y k x x y x y x k x ρ→∆→→∆=∆∆∆∆∆∆==∆+∆∆+∆∆+∆21kk =+. 显然，当k 取值不同是，极限也不相同。

高等数学第九章多元函数微分学试题及答案

第九章多元函数微分学§9.1 多元函数的概念、极限与连续性一、多元函数的概念1．二元函数的定义及其几何意义设D 是平面上的一个点集，如果对每个点()D y x P ∈,，按照某一对应规则f ，变量z 都有一个值与之对应，则称z 是变量x ，y 的二元函数，记以()y x f z ,=，D 称为定义域。

二元函数()y x f z ,=的图形为空间一卦曲面，它在xy 平面上的投影区域就是定义域D 。

例如 221y x z --=，1:22≤+y x D ，此二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域D 就是 xy 平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。

2．三元函数与n 元函数()z y x f u ,,= ()Ω∈z y x ,,空间一个点集称为三元函数()n x x x f u ,,21 = 称为n 元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。

条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。

二、二元函数的极限设函数),(y x f 在区域D 内有定义，),(000y x P 是D 的聚点，如果存在常数A ，对于任意给定的0>ε，总存在0>δ，当),(y x P 满足δ<-+-=<20200)()(0y y x x PP 时，恒有ε<-A y x f ),(成立。

则记以()A y x f y y x x =→→,lim 0或()()()A y x f y x y x =→,lim00,,。

称当()y x ,趋于()00,y x 时，()y x f ,的极限存在，极限值A ，否则称为极限不存在。

值得注意：这里()y x ,趋于()00,y x 是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于()00,y x ，所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但考试大纲只要求知道基本概念和简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。

高等数学题库第09章(多元函数积分学)

第9章多元函数积分学习题一一、填空题1. 当函数),(y x f 在有界闭区域D 上_________时，),(y x f 在D 上的二重积分必存在；2. D 为圆形闭区域422≤+y x ，则⎰⎰=Dd _;__________σ3. 改变积分次序（1）_______,____________________),(202=⎰⎰xx dy y x f dx （2）_______,____________________),(401232=⎰⎰xx dy y x f dx（3）+⎰⎰12),(x dy y x f dx ___;____________________),(2120=⎰⎰-xdy y x f dx二、利用二重积分的性质估计二重积分⎰⎰++=Dd y x I σ)1(的值，其中D 是矩形闭区域：20,10≤≤≤≤y x 。

三、计算下列积分的值1.⎰⎰+Dd y x σ)23(，其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域。

2. 已知⎰⎰-+=Dd x y x I σ)(22，先写出该二重积分的两个二次积分，然后求其值，其中D 是由直线x y y ==,2及x y 2=所围成的闭区域。

3.}.1),{(,≤+=⎰⎰+y x y x D d e Dyx σ 4.*D d y y D,sin ⎰⎰σ由ππ====y y x x y ,2,0,围成。

四*、利用极坐标计算下列各题1.;1:,sin 2222≤++⎰⎰y x D d y x Dσ 2. ;,0,41:,arctan22x y y y x D d xyD≤≥≤+≤⎰⎰σ 3. }.3),{(,22222≤+=-+⎰⎰y x y x D dxdy y x D。

习题二1. 把一元定积分的数学模型推广到二维空间，可以得到一个式子()()ini iDf y x f σ∆ηξσσ∆∑⎰⎰=→=1i,lim d ,，你对这个式子要说些什么？回顾一元定积分的定义，可以对推广来的这个式子描述出一个完整的数学模型，被称为二重积分的定义，你将获得一次创造思维的锻炼，对微元法模型的理解会更深刻，不妨一试.答：在式()ini if σ∆ηξσ∆∑=→1i,lim中，i σ∆表示将平面区域D 任意分割成n 份后所得第i 个小区域的面积, ),(i i ηξ是取自于第i 个小区域内的任何一点的坐标, ),(i i f ηξ是二元函数),(y x f z =在点),(i i ηξ处的函数值,σ∆表示所有n 个小区域的直径中的最大值.上式即表示, 当函数),(y x f z =在平面区域D 内有定义时, 可将平面区域D 任意分割成n 个小区域, 记i σ∆为第i 个小区域的面积, 然后在第i 个小区域中任取一点),(i i ηξ, 作乘积),(i i f ηξi σ∆的和()ini if σ∆ηξ∑=1i,, 若此和式的极限()ini if σ∆ηξσ∆∑=→1i,lim存在,则称二元函数),(y x f z =在区域D 上可积, 并称上述极限值为二元函数),(y x f z =在区域D 上的二重积分.2. 试述二重积分的几何意义.答：当()y x f ,在区域D 上满足()0,≥y x f 时，()σd ,⎰⎰Dy x f 代表以xOy 面内的区域D为底，以曲面()y x f z ,=为顶的曲顶柱体的体积. 若()0,<y x f , 则表示体积的负值.3. 直角坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？答：主要步骤包括：①画出积分区域D 的图形, ②选择积分次序并确定积分限，③计算累次积分求得结果. 其关键点是恰当选择积分次序，正确确定积分限.4. 在极坐标系下，计算二重积分的主要步骤有哪些，其关键点是什么？答：主要步骤包括：①画出积分区域D 的图形，并用极坐标描述D, ②确定积分限, ③ 计算累次积分求得结果.其关键点是用极坐标正确描述积分区域D .5. 就二重积分的积分域而言，当积分域具有什么样的特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分.答：当积分域为圆形域，扇形域或形域时，选择极坐标系下计算该二重积分，其它型的积分域，一般均选择直角坐标系下计算该二重积分.6. 当被积函数具有何种特征时，选择在直角坐标系（或极坐标系）下计算该二重积分方便.答：当被积函数中含有22y x +的项时，选择极坐标系下计算二重积分方便，其他情形，一般选择直角坐标系下计算二重积分.7．计算()σd 100⎰⎰++Dy x , 其中(){}11,10,≤≤-≤≤=y x y x D .解：如图，先对x 后对y 积分，则()()x y x y y x Dd 100d d 1001011++=++⎰⎰⎰⎰-σ =()12112100d ⎥⎦⎤⎢⎣⎡++⎰-x x y y =⎰-+11)d 2201(y y =()2012010112201d 11=+=+⨯+⎰-y y .8．计算⎰⎰+Dyx σd e 6，其中D 由xOy 面上的直线2,1==y y 及2,1=-=x x 所围成.解：如图, D ：⎩⎨⎧≤≤-≤≤,21,21x y 先对x 后对y 积分，得 ⎰⎰+Dyx σd e6=⎰⎰-21216d e d e x y xy=)6e )(e (21621-xy=)e e e e (61541314--+--.9。

多元函数微分法及其应用同步测试

练习一多元函数微分法及其应用同步测试测试1一、填空题（3分×4=12分）1、设22,y x x y y x f -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+，则=),(y x f 。

2、=+→222)0,0(),(sin lim y x yx y x 。

3、设xyze z y xf =),,(，则=∂∂∂∂zy x f 3 。

4、曲线⎪⎩⎪⎨⎧==zx x y 22在点)1,1,1(0P 处的切线方程为。

二、选择题（4分×3=12分）1、设有二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=),0,0(),(,0),0,0(),(,),(242y x y x y x yx y x f 则 [ ]。

A 、),(lim)0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； B 、),(lim )0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处不连续； C 、),(lim)0,0(),(y x f y x →存在， ),(y x f 在(0,0)处连续； D 、),(lim)0,0(),(y x f y x →不存在， ),(y x f 在(0,0)处连续。

2、函数),(y x f 在),(000y x P 连续是),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数存在的[ ]。

A 、必要条件；B 、充分条件；C 、充要条件；D 、既非必要也非充分条件。

3、点)0,0(O 的函数xyz=的[ ]。

A 、极小值点；B 、驻点但非极值点；C 、极大值点；D 、最大值点。

三、计算题（6分×5=30分）1、设⎩⎨⎧=+≠++=.00,0),ln(),(222222y x y x y x x y x f 求),(y x f 各一阶偏导数。

2、设⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=y x x y x f ln ),(，求此函数在点)1,1(0P 处的全微分。

3、设),(y x f z =由方程0=-++++yx z e y x z 所确定，求dz 。

第九章--多元微分学--单元自测答案(1)

第九章单元练习题答案一、填空1.22{(,)0,1}x y y x y x ->+≤;2. 1 ;3.32; 4. ()()()0162812=-++--z y x ; 5. 4π; 6. 12二、计算题1.解：221()()()11()(()())()()()(()())z yf xy f xy yf x y x x x z f xy f xy xyf xy f x y yf x y x y x xf x y y f xy f x y ∂''=-+++∂∂'''''''=-++++++∂∂'''''=++++2.解：利用隐函数的求导公式令 (,,)(,)z zG x y z F x y y x=++ 那么 3.解：两边分别对x 求偏导有：xzf x z z∂∂+=∂∂'212, 故 '221f z x z -=∂∂ 同理由：y z f f y z z ∂∂++=∂∂'2'112，得： '2'121f z f y z -+=∂∂ 对方程'221f z x z -=∂∂两边同时求y 的偏导有：()2'2''22''21222f z y z f f y z y x z -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂--∂∂-=∂∂∂将'2'121f z f y z -+=∂∂代入上式有： 4.解: 两个隐函数方程两边对 x 求导, 得解得,yy x'=-()1sin()x e x z z x z -'=--因此[]123d ()1d sin()x u y e x z f f f x x x z -'''=-+--5.解: 由题设(1)(1,(1,1))f f ϕ=(1,1)1f ==[3=1(,(,))f x f x x '()212(,(,))(,)(,)f x f x x f x x f x x '''++]1x ==3[2+3(2+3)]=516.提示：平法球法切向＝ηηη→→→⨯,切线方程：1191161--=-=-z y x 法平面方程：024916=--+z y x7.解：函数z 在闭区域1≤+y x 上连续，故存在最大值，最小值令⎪⎩⎪⎨⎧=-==-=0202''x y z y x z y x ⇒ 0==y x 此时 0=z 显然()0.0是函数在区域内的唯一驻点，且所以函数在驻点()0.0取得最小值，而函数的最大值只可能在区域的边界上取得设()y x f z ,=，显然()()y x f y x f ,,=--，故只需讨论以下边界的函数值 1〕1=+y x 10≤≤x 10≤≤y 2〕1=-y x 10≤≤x 01≤≤-y 对于情形1〕()()4121311222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 z 取最大值 1max =z对于情形2〕()()432111222+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+--=x x x x x z∴ 当 0=x 或 1=x 时 1max =z综上()00,0min ==z z ()()()()10,11,00,11,0max =====--z z z z z 三、证明题 1.证: 1)因sin xy xy ≤,所以00lim (,)0x y f x y →→=(0,0)f =故函数在点 (0,0) 连续 ; 2)(,0)0,f x ≡(0,0)0;x f ∴= 同理(0,0)0.y f =3)(,)(0,0),x y ≠当时(,)x f x y y=2极限不存在 ,(,)x f x y ∴ 在点(0,0)不连续 ; 同理 ,(,)y f x y 在点(0,0)也不连续.4) 下面证明(,)(0,0)f x y 点可微.在令ρ=那么(0,0)(0,0)x y f f x f yρ∆-∆-∆1sinx yρρ∆⋅∆=x≤∆0ρ→−−−→,(,)(0,0).f x y ∴点在可微2.证：曲面上任一点的法向量(n =1,F '12()(),F m F n ''⋅-+⋅-2)F ' 取定直线的方向向量为(,1,)l m n =为定向量，那么0,l n ⋅=故结论成立 .。

【同济高数】第九章多元函数微分法及其应用单元测试题

题号-一--二二三四五六七八九总分得分阅卷人7.二元函数在z f x, y 在点P o (x o ,y o )处的两个偏导数存在是该函数在点F 0(x o ,y o )处可：A. dx dy B.6.函数z In(x 3y 3)在点(1，1)处的全微分dz =(). A. yx y 1dx x y ln xdy B . yx y 1dx x ydy C . x ydx x ylnxdy D . yx y 1dx x yln ydy5.设函数z x y，则dz =().! A.连续 B .可微 C ■不可微 D.以上都不对k 若丄x(x o , y o )o ,o 则在点(x o , y o )处函数f (x, y)是(y(x o , y o ))D.若 f x (x o , y o ) = o , f y (x o , y o )不存在，则 f (x, y)在(x °, y o )达到极C.若 f x (X o , y o ) = o ， f y (x o ,yo )= o ，则 f (x, y)在(X o , y o )达到极值.i B.可微函数f (x, y)在(x o , y o )达到极值，则必有 f x (x o , y o ) = o ， f y (X o ,y °) = o.i A .函数 f(x,y)在(x o , y o )达到极值，则必有 f x (X o ,y o ) = o ， f y (X o , y o ) = o. [A .连续 B .极限不存在 C .极限不存在，但不连续D .无定义3.以下结论正确的是( ).2. f(x,y)i A . o1B.—2C . gD . 1\1xym oH X y一 •填空题(每空2分，共20分)sin xy 小------ 2 y oy(1 x ) ，则函数在(o,o)点( ).o y o32(dx dy) C. 3(dx dy) D. 2(dx dy)C. B. 0 2分，共14分） A.1•填空题（每小题 D. a.函数 2, 2方向的.设u（5, 1 , 2）处的方向导数的最大值为.函数U xyz 在点 Psi nxy / 、/ c 、 .lim ---- =( ) (a 0) x 0x y a .f(x,y,z)、.3 x 2 y 2 z 2在（1, - 1, 2）处的梯度是（ )1y)siX2 1u In x - y 2 z 2在点A 1, 0, 1处沿点A 指向点B 3,)A • (1,1)B • ( 1,1)C • (1, 1)D • ( 1,1) A.充分条件； B •必要条件； C •充要条件； D •既非充分也非必要条件.求解下列冋题（每小题 6分，共36分）(1,2,1)设函数u （xy ）z，则du 2 2.函数z 3x 4y 在点0,0处有极_ __值.z 2 x 22y 的极大值点（沧，）是------------------------------------------------.2 2•函数f (x, y) 2(x y) x y 的驻点为( )• A • (1, 1,2) 3 3 3 B • 2(1, 1,2) 3 3 3 D • 2(1 , 1,2)9 9 92y … uxy 一，贝U ----- = .x x yxe 2y 在点P 1,0沿着从点P 1,0到点Q 2, 1的方向的方向导数.xy 2z 在点P(1,-1,2)处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值。

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第九章多元函数微分法及其应用一、填空题1.若 f ( x, y) x 2 y 2 xy tan x,则 f (tx , ty ) t 2 x 2 t 2 y 2 t 2xy tanxt 2 f ( x, y) .y y 2.若 f ( x)x 2 y 21 u2.y( y 0) ,则 f (x)y3.函数 z arcsin y的定义域为 {( x, y) || y| 1且x0} .xx14. lim(1 xy) sin xy e .xy5.若 ze xyyx 2,则zxe xy x 2 .y6.若 f ( x, y) 5x 2 y 3 ,则 f x (0,1) 10xy 3 |(0,1) 0 .7.若 u ln(1 x 2y 22) ,则 du22 ( xdx ydy zdz) .zx 2y 2zyyy8.设 z e x ,则 dzy e x dx 1e x dy .x 2 x9.已知 z sin( y e x) ,而 y x 3,则dz(3x 2 e x )cos( x 3 e x ) .dx10. 已知 ze x 2 y,而 x sin t , y t 3,则 dzsin t 2 t 3(cost 6t 2).dte11. 设 zln(1 x2y 2) , 则 dz x 11dx2dy .y 23312. 设 zu 2v , 而 u x cos y, v x sin y , 则 z 3x 2 cos 2 ysin y ,xz 32y 2sin 2y) .yx cos y(cos13.若 z f (x, y) 在区域 D 上的两个混合偏导数2z,2z 连续，则在 D 上x yy x2z2z.x yy x14.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处可微的必要条件是 z f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处的偏导数存在 .(填“充分”、“必要”或“充分必要” )15.函数 z f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 可微是 zf (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 处连续的充分条件 . (填“充分”、“必要”或“充分必要” )16．设 f ( x, y, z) xy 2 z 3 ，其中 z z( x, y) 是由方程 x 2 y 2 z 2 3xyz 0所确定的隐函数，则 f x (1,1,1) 2 . 二、选择题1.二元函数 zlnx 2 4arcsin x 21的定义域是 ( A ) y 2y 2（ A ）{( x, y) |1 x 2y 24};（） {( x, y) |1 x 2 y 24} ;B （C ）{( x, y) |1 x 2y 24}; （） {( x, y) |1 x 2 y 24} .D2. 设函数 z ln( xy) , 则z( C )x（A ）1;（B ） x;（C ） 1;（ D ） y.yyxx3. 设函数 z sin( xy 2) , 则z( D )x（ A ）2; （） xy cos(xy 2（） 22) ; （） 2 2xy cos(xy ) B ) ;Cy cos(xy D y cos( xy ) .4. 设函数 z 3xy, 则z( D )x（ A ） 3xy（） xy ; （C ） xy 1 ; （D ） 3xyln 3y ; 3 ln3 xy3 y .B5. 设函数 z1 , 则 z( C )xyy（ A ）1 ; （） 1 ; （C ） 12 ; （） 1 2 .2Bx 2yxyDxyx y6. 设函数 z sin xy , 则2z( A )x2（ A ）y 2sin xy ;2sin xy ;（） 2 sin xy ; （ D ） x 2sin xy .（ B ） yCx 7. 设二元函数 zx y, 则 dz ( B )x y（ A ）2( xdx ydy) ; （B ）2( xdy ydx) ;（ C ）2( ydyxdx) ; （D ）2( ydx xdy) .(x y)2( x y) 2( x y)2( x y)28. 设函数 y f ( x) 是由方程 y xeyx 0 确定 , 则dy(B )dx（ A ） e y y;（B ） ey1y ;（C ） ey1y ;（D ） e yy.1 xe 1 xe1 xe1 xe9. 设函数 zf (x, y) 是由方程 x2y3xyz20 确定 , 则z( B)x（ A ）2x yz 2 ; （ B ）2x yz 2; （C ）3y 2xz 2; （ D ） 3y 2xz 2 .2xyz2xyz2xyz2xyz 10. 若函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处不连续，则 ( C)（ A ） lim f (x, y) 必不存在；（B ）0 , y 0 ) 必不存在；xx 0 yy 0（ C ） f (x, y) 在点 (x 0 , y 0 ) 必不可微；（ D ） f x ( x 0 , y 0 ), f y (x 0, y 0 ) 必不存在 .f(x11.考虑二元函数 f (x, y) 的下面 4 条性质：①函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处连续；②函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数连续；③函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处可微；④函数 f ( x, y) 在点 ( x 0 , y 0 ) 处两个偏导数存在 .则下面结论正确的是（A ）（A ）②③ ①；（ B ）③ ②①；（C ）③ ④ ①；D ）③ ① ④。

第九章多元函数微分法及其应用习题

．
练习 9—2 1．计算下列各题：（1） u = arctan( x − y ) ，求 u y ， u z ；
z
偏导数
（2）设
f ( x, y) = ∫
x2 + y 2 x
et dt ，求 f x (1， 2) ；
（3）设 z = sin y + f (sin x − sin y ) ，其中 f (u ) 可微，求 z y ；
2
（B） a
∂z ∂z + b =1． ∂x ∂y
（C） b
（D） a
∂z ∂z −b =1． ∂x ∂y ∂2 z = ∂x 2
（5）设 z = z ( x, y ) 由方程 x + y + z − 4 z = 0 确定，
2 2
2 2 (A) x + (2 − 3z ) ． (2 − z )
(B)
： 2．求下列函数的偏导数（其中 f 具有一阶连续偏导数）（1） u = f ( ， ) ；
x y y z
（2） u = f ( x, xy , xy sin z ) ．
2
3．设 z = xy + yF (u ) ，而 u =
x ∂z ∂z + y −z．， F (u ) 为可导函数，计算： x y ∂x ∂y
＝0.005x2y，已知甲，乙两种原料的单价分别为 1 元，2 元，现用 150 元购料，问购进两
种原料各多少，使产量 f ( x, y ) 最大?最大产量是多少?
总习题九 1．填空题： ⑴ 设z =
1 ∂2z = f ( xy ) + yϕ ( x + y )，f，ϕ 具有二阶连续导数，则 ∂x∂y x

第九章多元函数微分法及其应用+单元自测题答案(1)

第九章多元函数微分法及其应用1、填空题1) 设()xy y x z -+=22arcsin ，其定义域为(){}0,1,22≥>≤+x y y xy x2) 函数223z x xy y =++的偏导数x z =y x 32+，y z =y x 23+3) 函数xyz e =在点(2,1)处的全微分dz =dy e dx e 222+4) 设sin z uv t =+，而,cos t u e v t ==，则dzdt=t t u ve t cos sin +- 5) ()y x f z ,=在点()y x ,的偏导数x z ∂∂及yz ∂∂存在是()y x f ,在该点可微分的必要条件 6)()()xy xy y x 42lim0,0,+-→=41-7) 函数xy x y z 2222-+=在(){}02,2=-x y y x 间断8) 设2lnx y z +=，则在点()1,1,10M 的法线方程为111111--=-=-z y x9) 曲面1232222=++z y x 上点()1,2,1-处的切平面方程为()()()0162812=-++--z y x10) 设()222ln zy x u ++=在点()2,2,1-M 处的梯度=M gradu()2,2,192- 11) 设()xz y x z y x f ++=2,,，则()z y x f ,,在()1,0,1沿方向→→→→+-=k j i l 22的方向导数为35 2、求ln()z x x y =+的二阶偏导数解：y x x y x x z +++=∂∂)ln( yx xy z +=∂∂2222)(2)(1y x y x y x y y x x z ++=+++=∂∂ 222)()(1y x yy x x y x y x z +=+-+=∂∂∂ 22)(y x y x y z +=∂∂∂ 222)(y x xy z +-=∂∂ 3、 sin uz e v =，而,u xy v x y ==+，求z x ∂∂和z y∂∂ 解：)cos()sin(cos sin y x e y x ye v e v ye xv v z x u u z x z xy xy u u +++=+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ )cos()sin(cos sin y x e y x xe v e v xe yv v z y u u z y z xy xy u u +++=+=∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂ 4、已知20xyzez e --+=，求z x ∂∂，z y ∂∂，22xz∂∂解：令z xy e z e z y x F +-=-2),,( 则xy x ye F --= xyy xeF --= z z e F +-=2所以 2-=-=∂∂-z xy z x e ye F F x z 2-=-=∂∂-zxyz y e xe F F y z 322222222)2(])2[()2(2)2()2()2(-+--=-----=-∂∂---=∂∂-------z xy z z xy z z xyz xy z xy z zxyz xye e e e e y e e ye e ye e e y e x z eye e ey x z5、设0,1,xu yv yu xv -=⎧⎨+=⎩求,,,u u v vx y x y ∂∂∂∂∂∂∂∂ 解：将方程的两边对X 求导并移项，得⎪⎩⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂-=∂∂-∂∂vx v x xu y u x v y x ux 在条件下022≠+=-y x x y y x 则22y x yv xu xy y x x v yu x u ++-=----=∂∂22y x xvyu xy y x v y u x xv +-=---=∂∂将方程的两边对y 求导并移项，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=∂∂+∂∂=∂∂-∂∂u y v x yu y v yv y y ux 在条件下022≠+=-y x xy y x22y x yu xv x y y x x u y v y u +-=---=∂∂22y x yvxu xy y x u y vxyv++-=--=∂∂6、求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点()1,1,1处的切线及法平面方程.解：⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=+2532322dx dz dx dy x dx dz z dx dyy则z y z x z y z x dx dy 61041015532252223++-=---=z y xy z y xy dx dz 610694532223232+-+-=----=169)1,1,1(=dxdy 161)1,1,1(-=dxdz 故所求切线方程为：1)1(169)1(1611--=-=-z y x 所求法平面方程为：0)1()1(9)1(16=---+-z x x7、求旋转抛物面221z x y =+-在点(2,1,4)处的切平面及法线方程. 解：令1),,(22--+=z y x z y x F 则}1,2,2{},,{-==y x F F F n z y x}1,2,4{)4,1,2(-=n切平面方程：0)4()1(2)2(4=---+-z y x法线方程：142142--=-=-z y x 8、求函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿从点(1,0)P 到点)1,2(Q 的方向的方向导数.解：}1,1{=PQ 则与PQ 同向的单位向量是}22,22{1)0,1(2)0,1(==∂∂ye xz22)0,1(2)0,1(==∂∂yxe yz故方向导数为223)0,1(=∂∂lz9、问函数z xy u 2=在点()2,1,1-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.解：→→→+-=k j i g r a d u 42是方向导数取最大值的方向，此方向导数的最大值为21=gradu10、求函数y x y x y x f 44),(22+-+=的极值解：⎩⎨⎧=+==-=042042y f x f yx 得驻点（2，-2）2=xx f 0=xy f 2=yy f 在(2,-2)点002>>-A B AC 且函数在(2,-2)有极小值 -811、欲选一个无盖的长方形水池，已知底部造价为每平方米a 元，侧面造价为每平方米b 元，现用A 元造一个容积最大的水池，求它的尺寸. 解：设长为x 宽为y 高为z问题可看作xyz V =在条件byz bxz axy A 22++=下的最值令())22(,,,A byz bxz axy xyz z y x F -+++=λλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++==++==++==++=)(22)(022)(02)1(02４　３２ byz bxz axy A y b x b xy F z b x a xz F z b y a yz F z yx λλλλλλ 由（1）—（2）可得 y x =或)-y x (与实际意义矛盾，舍去可推出=-=λa z 将y x =代入（3）得 λb y x 4-==（5）将（5）代入（1）得到 λa z 2-= （6）将（5）（6）代入（4）可以得到 2248abA=λ,分别代入（5）（6）可得 a A y x 3＝＝宽长，aA b a z 32＝高 12、抛物面22y x z +=被平面1=++z y x 截成一椭圆，求原点到这个椭圆的最长与最短距离.解：问题可看作2222z y x d ++=在条件⎩⎨⎧=+++=122z y x y x z 下的最值，令()()()1,,,,22222-+++-++++=z y x u z y x z y x u z y x F λλ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+++==+-==++==++=)(01)()(02)(022)1(02222５　４３２ z y x y x z u z F u y y F u x x F z y x λλλ 由(1)(2)知 )1(2λμ+-==y x （6），由（3）得 2μλ-=z （7）由（4）（5）得x x 2122-= （8）将（6）（7）代入（8）得到)31)(1(±-+=λμ （9）将（9）代入（1）得到 231 -==y x （10）由（5）得到 3221±=-=x z （11）将（10）（11）代入 2222z y x d ++=求得最长距离为：359+，最短距离为：359-。

多元函数的微分法及其应用试题

多元函数微分学练习题一、判断题（正确的在括号内打√，错误的在括号内打⨯）（）1.(,)lim2x y →=（）2.z =的定义域为221x y +≥（）3. 若函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处0000(,),(,)x y f x y f x y 存在，则(,)z f x y =在点00(,)x y 连续.（）4. 函数z =2x 2+4y 2在点(0, 0)处有极大值.（）5. 在有界闭区域D 上的多元连续函数, 必定在D 上有界, 且能取得它的最大值和最小值.（）6. 在有界闭区域D 上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之间的任何值.（）7. 函数2222222 0(,)0 0x y x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在(0,0)连续（）8. 设函数(,)z f x y =的全微分为2(1)dz x dx y dy =--，则(,)f x y 在(1,0)点处无极值（）9. 若二元函数z =f (x , y )在点(x , y ) 偏导数x z ∂∂、yz ∂∂连续，则函数在该点可微.（）10. 若二元函数z =f (x , y )的全微分dz xdx ydy =+，则(0,0)不是z =f (x , y )的连续点. （）11. 二元函数的驻点一定是极值点. （）12. 设44z x y =+，则(0,0)0dz=二、选择题（将最佳答案的序号填写在括号内）1. 函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 都存在是函数(),f x y 在该点可微的( )A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件2. 二元函数()222222,0,0,0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩在()0,0处( )A 、极限存在B 、连续C 、可微D 、关于,x y 得偏导数存在 3 设函数2x z x y y =+，则z x∂=∂( ) A 、2yxy x+B 、 2xy y +C 、 22x xy y -D 、12xy y +4. 曲面()2222321,0x y z z ++=>上某点的切平面平行于已知平面460x y z ++=则该点的坐标为( )A 、()1,2,2B 、 ()1,2,2---C 、()1,2,2±±±D 、()1,2,2-5. 点()2,2-为函数()()22,4f x y x y x y =---的（）A 、极大值点B 、极小值点C 、临界点但非极值点D 、无法确定6. 设(,)x yf x y x y+=-，则下列命题不正确的是( ) A 、00lim (,)x y f x y →→不存在 B 、0lim (,)1x f x y →=C 、0lim (,)1x f x y →=- D 、0lim (,)1y f x y →=7.设(,)f x y 在00(,)x y 点的充分小邻域内可微，且(,)f x y 在00(,)x y 点取得极值，则下列命题正确的是( )A 、(,)f x y 在00(,)x y 点不连续B 、(,)f x y 在00(,)x y 点可能连续，也可能不连续C 、00(,)0df x y =D 、0000(,)(,)f f x y x y x y∂∂≠∂∂ 8. 若Z=f(x,y)有连续的二阶偏导数，且(,)()xyx y Kf =''常数，则(,)y f x y '=（）A 、22kB 、K yC 、 )(x ky ϕ+D 、)(y kx ϕ+9. 下列结论不正确的是（） A、函数z =在点(0, 0)处有极小值.B 、函数(1)(1)z x y =--在点(1, 1)处既取不到极大值也取不极小值.C 、若二元函数z =f (x , y )在点(x , y ) 可微，则函数在该点的偏导数x z ∂∂、yz ∂∂存在且连续.D 、22z x y =-在(0,0)点处有极小值三、填空题（将最佳答案填写在横线中）1. ()101lim 1xx y xy →→+= .2. 设函数z=x 2+y 2,当x=1,y=1,时01.0,02.0=∆=∆y x ，全微分dz= . 3.()22(,)(0,0)1limsinx y xy y→+= 4. 函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)具有偏导数, 则在点(x 0, y 0)处有极值的必要条件是 5. 设ln(1)xz y =+，则11x y dz === 6. 若点1(,1)4是函数2ln ()()z y x x y a x y b =+++-的一个极值点，则a = 7. 设(,)f x y xy =，其中221x y +=，则(,)f x y 的极大值为 8. 设函数()y f x =由方程2cos()1x y e xy e +-=-确定，则曲线()y f x =在点(0,1)处的法线方程为9. 设ln cos z u v t =+，其中,cos tu e v t ==，则dzdt= 10. 若cos xz e y =，则zx∂=∂ ,z y ∂=∂11. 若22arctan()z x y =+，则zx∂=∂ ,z y ∂=∂12.若z =，则22z z x y ⎛⎫∂∂⎛⎫+= ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭ 13. 若sin xz y y =则2z x y∂∂∂在点(,2)π处的值为14. 若sin xz xye=，则22zx∂=∂15、设cos ,uz e v =而,,y x v xy u +==则zx∂=∂ ，z y ∂=∂16、设(,)z z x y =而cos ,sin x r y r θθ==，则zr∂=∂ zθ∂=∂ 17、设22ln()xyz x y e =-+，则zx∂=∂ ，z y ∂=∂18、设y z u xye -=，其中3sin ,,x t y t z t ===，则dudt= 四、证明题1. 若1111,f z x y x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭证明：222z z xy z x y ∂∂+=∂∂. 2. 设()()y x at x at ϕψ=++- （其中ϕ，ψ具有二阶连续导数）证明：22222y y a t x∂∂=∂∂ 3. 已知 (,)0(,),(,),(,)x yF z z x y F u v z x y z z==确定其中均有连续编导数，求证z yz y x z x=∂∂+∂∂ 4. 函数22ln y x z +=满足方程02222=∂∂+∂∂y z x z 五、计算题1. 设3xyz x y e =+，求 222,z zx x y∂∂∂∂∂. 2. 设()sin ln tz t =，求dz dt. 3. 设arctan 0x y y -+=，求22d ydx.4. 求曲线226,12y x z x ==在12x =处的切线方程及法平面方程. 5. 已知2sin(x+2y-3z)=x+2y-3z ,求zy∂∂6. 设23,sin ,u vzeu x v x -===，求全导数dzdx.7. 设函数(,())z f xy yg x =，其中函数f 具有二阶连续偏导数，函数()g x 可导且在1x =处取得极小值(1)1g =，求211x y zx y==∂∂∂.8.设2ln(zz y y x∂=+∂∂求9. 设()x y z x y z e-++++=确定(,)z z x y =，求全微分dz10 求曲线 2223023540x y z x x y z ++-=⎧⎨⎩-+-= 在点（1,1,1）处的切线与法平面方程11. 设 ),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足,12222=∂∂+∂∂v fu f2222221(,),(),2g g g x y f xy x y x y ∂∂⎡⎤=-+⎢⎥∂∂⎣⎦求 12. 求函数22442y xy x y x z ---+=的极值第十章重积分一、填空题1．交换⎰⎰--21222),(x x xdy y x f dx 得2．求曲线2,422ayx ax y ==所围成图形的面积为，（a >0） 3．设D 为0),0(222≥>≤+y a a y x 围成闭区域，则dxdy x D⎰⎰2化为化为极坐标下的二次积分的表达式为 4．设Ω：2222R z y x ≤++，则dxdydz z D⎰⎰⎰2= 二、选择题1．设积分区域D ：是圆环：,4122≤+≤y x 则二重积分⎰⎰+Ddxdy y x 22=（A ）dr r d ⎰⎰πθ2012（B ）dr d r⎰⎰πθ204（C ）dr r d ⎰⎰πθ20212（D ）dr r d ⎰⎰πθ20212.下列结果中正确的是（）A 、若D ：122≤+y x ，D 1：122≤+y x ，x,y ≥0，则⎰⎰--Ddxdy y x 221=4⎰⎰--1221D dxdy y xB 、若D ：122≤+y x ，D 1：122≤+y x ，x,y ≥0，则⎰⎰Dxydxdy =4⎰⎰1D xydxdyC 、二重积分⎰⎰D dxdy y x f ),(的几何意义是以Z=f(x,y)为曲顶，以O 为底的曲顶柱体的体积。

多元函数微分法及其应用习题

多元函数微分法及其应用习
• 多元函数微分法概述 • 多元函数极值问题 • 多元函数微分法的几何意义 • 多元函数微分法的应用实例 • 习题解析与解答
01
多元函数微分法概述
定义与性质
定义
多元函数微分法是研究多元函数在某点附近的变化的一种方法，包括偏导数、全微分、方向导数和梯度等概念。
性质
习题二解析与解答
总结词
抽象思维能力
详细描述
这道题目考察了学生的抽象思维能力，需要学生通过分析问题，将实际问题转化为数学模型，并运用多元函数微分法进行求解。通过解答这道题目，学生可以培养自己的抽象
思维能力，提高数学建模的能力。
习题二解析与解答
要点一
总结词
综合应用能力
要点二
详细描述
这道题目考察了学生对多元函数微分法的综合应用能力，需要学生将理论知识与实际问题相结合，通过解决实际问题来提高自己的应用能力。通过解答这道题目，学生可以加深对多元函数微分法的理解，提高自己的综合应用能力。
多元函数极值问题
无约束极值问题
无约束极值问题是指在定义域内，函数值不受任何限制的极值问题。求解无约束极值问题通常采用梯度法、牛顿法等。
梯度法的基本思想是通过不断迭代，沿着函数值下降最快的方向逼近极值点。在每一步迭代中，都需要计算函数的梯度，并根据梯度信息更新迭代点。
牛顿法的基本思想是通过不断迭代，逼近函数的零点，从而找到极值点。在每一步迭代中，需要计算函数的Hessian矩阵（二阶导数矩阵）和梯度向量，并根据这些信息更新迭代点。
多元函数的微分法具有一系列性质，如可加性、可乘性和可线性化等，这些性质在解决实际问题中具有重要应用。
偏导数与全微分

《高等数学》第九章多元函数微分法及其应用自测题

第九章多元函数微分法及其应用自测自检题第一部分:必做题一、选择填空题1. 设(0,1)y z x x x =>≠，则z x ∂=∂ , z y∂=∂ 。

2. 设22ln(1)z x y =++在点(1,2)处的全微分是。

3. 设221(,)()2f x y x y =+，则(1,1)grad f = . 4. (,)f x y 的偏导数f x ∂∂及f y ∂∂在点(,)x y 处存在且连续是(,)f x y 在该点可微分的 ( ). (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件(C) 充分且必要条件 (D) 既非充分又非必要条件5. (,)f x y 在点00(,)x y 处偏导数存在且0000(,)(,)0x y f x y f x y ==,则点00(,)x y ( ).(A) 不是极值点 (B) 是极大值点 (C) 是极小值点 (D) 是驻点6. 设54444440(,)=,00x xyx y f x y x yx y ⎧++≠⎪+⎨⎪+=⎩则()()0,0 x f =(A) 0 (B) 1 (C) ∞ (D) 不存在,但不是∞7. 设333143,x y z xyz ++-=求,z z x y∂∂∂∂在()1,2,1-处的值分别为( ) (A) 3, 5 (B) 5, 3 (C) 0, 5 (D) 3,0三、计算题1. 3sin ln 2,yz x x y e =+++求222,.z z x x y ∂∂∂∂∂ 2. ,32,23.u z u x y v x y v ==+=-求.z y ∂∂3. 2sin ,,xy z e x t y t ===求.dz dt 4. 设2,,xy z u e z x y +==求,.u u x y∂∂∂∂5. 设0.ze z xy +-=求.z x ∂∂ 6. 设(,),zf xy x y =+其中f 具有二阶连续偏导数，求2,.z z x x y ∂∂∂∂∂7．求函数2u xy z =在0(1,1,2)P -处变化最快的方向，并求沿这个方向的方向导数.8.求曲线23,,x t y t z t ==-=上一点的切线, 9若曲面224z x y =--上点P 处切平面平行使得与平面240x y z ++-=相平行. 于平面2210x y z ++-=，求P 的坐标.10.试求球面2221x y z ++=上一点, 使得该点到平面22100x y z -+-=距离最远.第二部分:选做题(考试不作要求)1.设222222221()sin 0(,)=,00x y x y x y f x y x y ⎧++≠⎪+⎨⎪+=⎩试讨论在(0,0)处的连续性、偏导存在性、可微性、偏导连续性.2.求椭球面2221345x y z ++=第一卦限上一点,使得过该点的切平面与三个坐标平面所围立体体积最小. 3.设函数()()0,,f u +∞在内具有二阶导数且z f =满足等式22220z z x y∂∂+=∂∂ (Ⅰ)验证()()0f u f u u'''+=. (Ⅱ)若()()()10,11,f f f u '==求函数的表达式.。

同济高等数学第九章学习指导及习题详解

F(x, y, u, v) 0 3.方程组 G(x, y, u, v) 0 ，在什么条件下可以确定二元隐函数
u u(x, y) ，v v(x, y) ？如何求它们的偏导数？仔细阅读本节第二
部分找出答案，通过阅读本节例 3，从中你会找到解题方法.
第六节多元函数微分学的几何应用
1.向量值函数的定义、极限、连续、导数等如何定义？与我们前面学习过的函数的定义、极限、连续、导数等有何区别与相似？阅读本节第一部分你会找到答案.
522
2.如何借助一元函数的求导方法求多元函数的偏导数？阅读本节例 1-例 5，从中你会找到方法.
3.阅读本节第二部分，列出多元函数高阶偏导数的定义、求法及与一元函数的相关内容的异同点.
第三节全微分
1.阅读本节第 72 页，仔细揣摩二元函数全微分的概念与一元函数微分概念有什么区别与联系.
2.一元函数中连续、可导、可微分之间的关系能类似地推广到二元函数中吗？若不能，那么二元函数在一点连续、偏导数存在、可微分之间又有怎样的关系？阅读本节定理 1 至定理 2，从中找出答案.
3.二元函数全微分有什么简单应用，与一元函数有什么异同？阅读本节第二部分，从中找出答案.
第四节多元复合函数的求导法则
1.在第二章中，我们学习了一元复合函数的求导法则（连锁法则），如何将这一法则推广到多元复合函数的情形？阅读本节第一部分你会知道一元函数与多元函数复合可以得到一个一元复合函数，如何求其全导数？阅读定理 1 找出答案.
2.在第一章中我们用“数轴上的非空点集到实数集的一个映射” 定义了一元函数，那么“平面上的非空点集到实数集的一个映射”是否也可以定义一个函数？如果可以，这样定义的函数与一元函数有什么异同？仔细阅读本节第二部分，从中找出答案.并解答下列问题：怎样确定二元函数的定义域？二元以上函数的定义域呢？一元函数的图形是平面上的一条曲线，二元函数的图形是什么样的？

多元函数微分法及其应用(习题和详细解答)

多元函数微分法及其应用（习题）(A)1．填空题(1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ∂∂∂2，x y z∂∂∂2 ，则在D 上，xy zy x z ∂∂∂=∂∂∂22。

(2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。

(3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的条件。

2．求下列函数的定义域(1)y x z -=；(2)22arccos yx z u +=3．求下列各极限(1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 00-+→→xy xyy x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→4．设()xy x z ln =，求y x z ∂∂∂23及23y x z∂∂∂。

5．求下列函数的偏导数 (1)xyarctgz =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。

6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数dt dz 。

7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dtdu。

8．曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程1222222=++cz b y a x 所确定的函数z 的偏导数。

10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。

11．设()y x f z ,=是由方程y z z x ln =确定的隐函数，求x z ∂∂，yz∂∂。

12．设x y e e xy =+，求dxdy。

13．设()y x f z ,=是由方程03=+-xy z e z确定的隐函数，求x z ∂∂，y z ∂∂，yx z∂∂∂2。

【同济高数】第九章多元函数微分法及其应用单元测试题

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