第五章 频域响应法

第五章 频域响应法5-1 频率特性一． 频率特性的基本概念1. 所谓频率特性，即在零初始条件下，系统输入在正弦信号的控制下，其稳态输出C(t) 的被控制量信号的幅值A(ω)和相角ψ（ω）随r(t)信号的角频率ω变化的规律，记为G(j ω)。

G(j ω)=G(S)| s=j ω C(j ω) C(s)G(j ω)== R(j ω) R(s)| s=j ωb 0(j ω) m +b 1(j ω) 1+m +……+b 1-m (j ω)+b m G(j ω)=( j ω) n +a 1(j ω) 1-n +……a 1-n (j ω)+a n2、G(j ω)的数模表达式有两种标准式: （1）Nyquist 标准式：G(j ω)=︱G(j ω)︱e)(jw G j ∠=u(ω)+jv(ω)其中A(j ω)= ︱G(j ω)︱称为幅频特性，是ω的偶函数。

ψ(ω)= ∠G(j ω) 称为相频特性，是ω的奇函数。

u(ω)=Re [G(j ω)]为实部； v(ω)=Im [G(j ω)]为虚部。

（2）Bode 表达式：L (ω)=20lg [A(j ω) ] 称为对数幅频，ψ(ω)= ∠G(j ω) 称为对数相频。

二． 频率特性的图解表示法在工程分析和设计中，通常把频率特性画成曲线，从这些频率特性曲线出发研究。

现以RC 网络为例。

如图5-2。

其频率特性为G(j ω)=)(11jw T +（T=RC ）。

A(ω)= G(j ω)=2)(11TW +；ψ(ω)=-arctg(T ω)1.极坐标图----Nyquist图当ω=0→∞变化时,A(ω)和φ(ω)随ω而变,以A(ω)作幅值,φ(ω)作相角的端点在s平面上形成的轨迹,称Nyquist曲线（幅相频率特性曲线）简称幅相曲线即Nyquist图，是频率响应法中常用的一种曲线。

2、对数坐标图----Bode图对数频率特性曲线又称Bode曲线，包括对数幅频和对数相频两条曲线。

横坐标是ω的对数分度,单位是（rad/s）。

对数幅频的纵坐标是L(ω)=20lg︱G(jω)︱的线性分度，单位是（dB）；对数相频特性曲线的纵坐标表示相频特性的函数值线性分度，单位是（o）。

一倍频程（Oct）---->对2而言2m（…20,21,22,23,…）十倍频程（dec）---->对10而言10n(…101 ,100,101,102…)1Oct=0.301个单位长度，1 dec=3.32 Oct3、对数幅相曲线（又称尼柯尔斯曲线）5-2 对数坐标图（伯德图）一、Bode 图及其特点1． Bode 图的构成对数幅频 L(ω)=L|G(j ω)|=20lgG(ω) 对数相频 φ(ω)=∠ G(j ω) 采用半对数坐标纸绘制。

2．Bode 图的优点： P157二、典型环节的伯德图1. 比例环节 (K)G(j ω)=K ， L(ω)=20lgK (db) φ(ω)=0 02. 积分环节 (s1)L(ω)=20lg|ωj 1|= -20lg ω φ(ω)= ∠ωj 1= -900 3. 微分环节 (s)L(ω)=20lg|j ω|= 20lg ω φ(ω)= ∠j ω= 900其曲线见图5-14和图5-154. 一阶滞后环节(惯性环节) (11+Ts ) L(ω)=20lg|11+T j ω|= -20lg 221T ω+= -10lg(221T ω+)φ(ω)= -arctg ωT 讨论:(1) 对数幅频特性1) 低频段 ωT<<1：L(ω)= -10lg(221T ω+)≈0 db2) 高频段 ωT>>1： L(ω)= -10lg(221T ω+)≈ -20lg ωT db 。

频率很高时，对数幅频曲线可用一条直线近似，直线斜率为-20dB/dec 3) 交接频率处 ωT=1,ω=T1；零分贝交于ωT=1（或ω=1/T ）, 频率1/T 称为惯性环节的交接频率。

实际上，在交接频率处，误差最大，约-3 dB 。

令-20lg ωT=0, 得ω=T1， L(ω)= -10lg(221T ω+)≈ -10lg2=-3.01 db渐近曲线与精确特性间有误差。

修正用P159图5-9(2) 对数相频特性φ(ω) 当ω=0时，ψ(ω)=0 o。

当ω=1/T 时，ψ(ω)=-45 o当ω→∞时 ψ(ω) →-90 o 其曲线见图5-175. 一阶微分环节 (Ts+1)L(ω)= 20lg 221T ω+= 10lg(221T ω+)φ(ω)= arctg ωT其曲线的画法同惯性环节，见图5-176. 二阶振荡环节 (12122++Ts s T ξ) L(ω)=20lg|1)(2)(122++ωξωj T j T | = -20lg 2222)2()1(T T ξωω+- φ(ω)= -arctg(2212T Tωξω-)讨论:(1)对数幅频特性1)低频段 ωT<<1： L(ω)≈ -20lg1=0 db2)高频段 ωT>>1： L(ω)≈ -20lg(22T ω)≈ -40lg ωT db3)交接频率处 ωT=1,ω=T 1：令-40lg ωT=0, 得ω=T1 误差修正曲线如P163图5-14,与ξ有关 (2)对数相频特性 ω=T1时,φ(ω)= -90o 7. 二阶微分环节(1222++Ts s T ξ)L(ω)= 20lg 2222)2()1(T T ξωω+- φ(ω)= arctg(2212T Tωξω-)8. 延迟环节 (seτ-)L(ω)= 20lg1=0φ(ω)= ∠ωτj e -= -ωτ三． 开环对数频率特性曲线的绘制1． 开环对数频率特性曲线又称Bode 图，画图步骤：（1）将传递函数分解成典型环节并按转角频率从小到大排序，计算斜率累加值。

（2）过（1，20lgK ）点作低频渐进线，斜率为-20γdB/dec ，γ为积分因子的个数。

（3）根据斜率累加值，每遇转角频率即改变渐进线斜率，作出幅频特性。

斜率改变取决于典型环节种类。

例如：在G(S)=(Ts+1)±1的环节，在ω=1/T 处斜率减少±20dB/dec ，而在G(S)=(1222++Ts s T ξ)±1的环节，在ω=1/T 处斜率改变±40dB/dec 。

（4）用描点连线的方法绘制相频特性 注：低频渐进线斜率与系统类型的关系：P168例2 已知单位反馈系统的开环传递函数)120)(110)(1(12(100(++++=ss s s ss G ）），试画伯德图。

解 由题给传递函数知，系统的交接频率依次为1，2，10，20。

低频段渐近线斜率为-20，且过(1，40dB )点。

系统相频特性按下式计算20arctan10arctanarctan 2arctan90)(ωωωωωϕ---+︒-=作系统开环对数频率特性于图。

例3 最小相位系统对数幅频渐近特性如图所示，请确定系统的传递函数。

解：由图知在低频段渐近线斜率为0，故系统为0型系统。

渐近特性为分段线性函数，在各交接频率处，渐近特性斜率发生变化。

在ω = 0.1处，斜率从0 dB/dec 变为20dB/dec ，属于一阶微分环节。

在ω = ω1处，斜率从20 dB/dec 变为0 dB/dec ，属于惯性环节。

在ω = ω2处，斜率从0 dB/dec 变为-20 dB/dec ，属于惯性环节。

在ω = ω3处，斜率从-20 dB/dec 变为-40 dB/dec ，属于惯性环节。

在ω = ω4处，斜率从-40 dB/dec 变为-60 dB/dec ，属于惯性环节。

因此系统的传递函数具有下述形式)1/)(1/)(1/)(1/()11.0/((4321+++++=ωωωωs s s s s K s G ）式中K ，ω1，ω2，ω3，ω4待定。

由20lg K = 30得K = 31.62。

确定ω1： 1.0lg lg 3040201--=ω 所以 ω1 = 0.316确定ω4： 4lg 100lg 0560ω-+-=- 所以 ω4 =82.54确定ω3： 34lg lg 20540ωω--=- 所以 ω3=34.81100确定ω2： 23lg lg 402020ωω--=- 所以 ω2 =3.481于是，所求的传递函数为)154.82/)(181.34/)(1481.3/)(1316.0/()11.0/(62.31(+++++=s s s s s s G ）四． 最小相位系统和非最小相位系统1． 最小相位系统：系统的开环传递函数在右半s 平面没有极点和零点，该系统称为最小相位系统。

（一个稳定系统，若其传函在s 右半平面无零点）。

如)1)(1()1()()(321+++=s T s T s s T K s H s G2． 非最小相位系统：系统的开环传递函数在右半s 平面有零点或极点，或系统含e -Ts ，该系统称为非最小相位系统。

3． 如果二个系统有相同的幅频特性，那么对于大于零的任何频率，最小相角系统的相角终小于非最小相角系统的相角。

（具有相同幅值的两个系统，最小相位系统的相角最小） 如： s T s T H G 211111++=， sT sT H G 212211+-= （T 2>T 1>0） A 1(ω)=A 2(ω)=2221)(1)(1T T ωω++4. 最小相位系统, 当ω→∞时,相角为(n-m)(-900)5. 最小相位系统的幅值特性和相角特性有一一对应关系.5-3 极坐标图（N yquist 曲线）一、 典型环节的极坐标图频率特性表达式：G(j ω)=P(ω)+jQ(ω)=︱G(j ω)︱e)(jw G j ∠极坐标图（乃奎斯特曲线、乃氏图）：当输入信号的频率ω由0→∞时，向量G(j ω)的幅值和相位也随之变化，其端点在复平面上移动的轨迹即是极坐标图。

1、比例因子 G(j ω)=K乃氏图为G(j ω)平面实轴上一个点。

P1712、积分、微分因子积分因子频率特性：()211πωωωj e j j G -==微分因子频率特性：()2πωωωje j j G ==乃氏图：P171 3、一阶因子一阶惯性环节：()()ωϕωωωj e T T j j G 221111+=+=，()ωωϕT arctan -=。

其乃氏图是圆心为（0.5,j0）,半径为0.5位于第4象限的半圆见图。

一阶微分环节：()()ωϕωωωj e T T j j G 2211+=+=，()ωωϕT arctan =。

其乃氏图为：4、二阶因子：二阶振荡环节G(s)=2222n n n s s ωξωω++=12122++Ts s T ξ A(ω)=2222)2()1(1T T ξωω+-φ(ω)= -arctg(2212T Tωξω-) （如令ωn =1/T ，则为书上公式）则：()0001lim ∠=→ωωj G()01800lim -∠=∞→ωωj G 其乃氏图P172二阶微分环节G(s)=1222++Ts s T ξA(ω)=2222)2()1(T T ξωω+-φ(ω)= arctg(2212T Tωξω-) （如令ωn =1/T ，则为书上公式）则：()0001lim ∠=→ωωj G()∞=∞→ωωj G lim 其乃氏图P173二、 开环控制系统的极坐标图Nyquist 图线典型环节一般是（半） 圆或变形（半）圆，所以其方程常是圆方程。