专题3-函数的定义域与值域

专题03 函数的定义域和值域一、选择题（本大题共12小题，每小题5分。

）1．下列函数中，其定义域和值域与函数的定义域和值域相同的是（ ）A ．B ．C ．D ．2．函数的定义域为（ ） A ．B ．C ．D ．3．下列函数中是偶函数且值域为的函数是（ ） A ．B ．C ．D ．4．若函数y ＝f (x )的定义域是[0，2]，则函数g (x )＝的定义域是 ( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1) 5．函数的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数的值域是，则实数的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A ． B ．C ．或D ．或 8．已知，记表示不超过的最大整数，如，则的值域为（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数（，为自然对数的底数），若与的值域相同，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．或10．函数的定义域为，对给定的正数，若存在闭区间，使得函数满足：①在内是单调函数；②在上的值域为，则称区间为的级“理想区间”．下列结论错误的是（ ） A ．函数（）存在1级“理想区间” B ．函数（）不存在2级“理想区间” C ．函数（）存在3级“理想区间”D ．函数， 不存在4级“理想区间”函数的定义域分别为且，若对任意的，都有，则11．设称为在上的一个“延拓函数”．已知为自然对数的底数），若为在上的一个“延拓函数”， 则下列可作为的解析式的个数为（ ）①；②；③；④；⑤；⑥．（ ）A ．B ．C ．D ． 12．已知函数，其中表示不超过的最大整数．设，定义函数：，，，，则下列说法正确的有（ ）个 ①的定义域为； ②设，，则；③；④若集合，则中至少含有个元素．A ．个B ．个C ．个D ．个二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上．）13．函数的定义域为___________． 14．已知函数的定义域和值域都是，则__________． 15．定义区间的长度为，已知函数的定义域为，值域为，则区间的长度的最小值为__________．16．对于函数，若存在一个区间，使得，则称为的一个稳定区间，相应的函数的“局部稳定函数”，给出下列四个函数：①；②；③；④，所有“局部稳定函数”的序号是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分10分）已知函数．（）求函数的定义域．（）若为偶函数，求实数的值．18．已知函数．（1）求函数的定义域；（2）若实数，且，求的取值范围．19．（本小题满分12分）已知函数．（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）当且时，求函数的值域．20．（本小题满分12分）已知函数．（1）当时，求函数在上的值域；（2）是否存在实数，是函数的定义域为，值域为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍是，那么称是函数的一个等值域变换．（1）判断下列函数是不是函数的一个等值域变换？说明你的理由；①；②．（2）设的定义域为，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值．22．（本小题满分12分）已知幂函数满足．（1）求函数的解析式；（2）若函数，是否存在实数使得的最小值为0？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由．答案与解析1.【答案】C2.【答案】C【解析】要使函数有意义需满足，则函数的定义域为，故选C．3.【答案】D【解析】由题意得，A 选项，的值域为，故错误；B 选项，为奇函数，不为偶函数，故错误；C 选项，为奇函数，不为偶函数，故错误；D选项既为偶函数而且值域为，故选D．4.【答案】D【解析】∵f(x)的定义域为[0，2]，∴要使f(2x)有意义，必有0≤2x≤2，∴0≤x≤1，∴要使g(x)有意义，应有∴0<x<1，故选D．5.【答案】D【解析】由得，当时，函数为增函数，所以当时，由移项得两边平方整理得得从而且．由，得，由综上，所求函数的值域为．选D 6.【答案】C【解析】∴当时，由解得∴要使函数在的值域是则，故选C．7.【答案】B【解析】分析：先根据真数大于零得>0恒成立，再根据二次型系数是否为零讨论，最后结合二次函数图像得实数的取值范围．详解：因为函数的定义域为，所以>0恒成立，因为成立，所以若，则由得，因此，故选B．【名师点睛】研究形如恒成立问题，注意先讨论的情况，再研究时，开口方向，判别式正负，对称轴与定义区间位置关系，列不等式解得结果．8.【答案】B【解析】分析：易得，所以，为整数时，易得，不为整数，设其中，，代入即可得解．详解：由，可知．可得：．若为整数，则若不为整数，设其中，的值域为．故选B．【名师点睛】本题考查了函数的中心对称性，得到，从而可将函数的两个量转换为一个量的讨论，为整数时易得解，不为整数时，设为整数加小数部分的结构代入即可．9.【答案】A10.【答案】D【解析】A中，当x⩾0时，f(x)=x2在[0，1]上是单调增函数，且f(x)在[0，1]上的值域是[0，1]，∴存在1级“理想区间”，原命题正确；B中，当x∈R时，f(x)=e x在[a，b]上是单调增函数，且f(x)在[a，b]上的值域是[e a，e b]，∴不存在2级“理想区间”，原命题正确；C 中，因为在(0，1)上为增函数．假设存在[a，b]⊂(0，1)，使得f(x)∈[3a，3b]则有，所以命题正确；D中，不妨设a>1，则函数在定义域内为单调增函数，若存在“4级理想区间”[m，n]，则由m，n是方程tanx=4x，x ∈的两个根，由于该方程不存在两个不等的根，故不存在“4级理想区间”[m，n]，∴D结论错误，故本题选D．【名师点睛】新定义型创新题是数学考题的一大亮点，通过定义新的概念，或约定新的运算，或给出新的性质等创设一种全新的问题情境，主要考查考生独立提取信息、加工信息的能力，要求考生在阅读理解的基础上，紧扣条件，抓住关键的信息，实现信息的转化，达到灵活解题的目的．求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出．其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点．11.【答案】A【解析】因为的定义域为[，值域为[1，由延拓函数定义可知，（1）延拓函数的定义域包含的定义域，①③的定义域都不包含0，所以不符合；（2）延拓函数的值域也包含的值域，故⑤⑥不符合，②④符合，所以选A．【名师点睛】本题属于新定义函数题型，难点不大，要领会新定义的意义．其中“对任意的，都有”，条件是解题的关键，首先注意到左边函数的变量是任意的，任意即为所以，故有“”在必须与之对于，故当时，两函数的解析式应该是相同的．常考的还有这样一种关系“，都有”，不同于本题，这种关系只是值域的一种包含关系而已．12.【答案】C【解析】①，当时，，所以；当时，成立，所以；当时，成立，所以；因此定义域为；②；；，因此；③因为，即，因此④由上可知为中元素，又，所以中至少含有个元素．综上共有3个正确说法，选C．【名师点睛】本题难点为分段、绝对值、取整三个要分类讨论的函数有机结合在一起．解题的关键就是按分类标准正确取值，按对应数值寻找周期变化规律．13.【答案】【解析】，定义域为14.【答案】【名师点睛】（1）本题主要考查指数函数的单调性和值域的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平．（2）对于指数函数，一般要分a＞1和0＜a＜1讨论．15.【答案】2【解析】函数的定义域为，值域为，，2和-2至少有一个属于区间，故区间的长度最小时为[-2，0]或[0，2]，即区间的长度最小值为2，故填2．16.【答案】①②【解析】“局部稳定函数”的定义可以转换为：函数与至少有两个不同的交点，在交点所构成的区间内具有连续性，在交点所确定的区间之内单调递增或单调递减，很明显①②满足题意，函数与相切，函数与没有交点，综上可得所有“局部稳定函数”的序号是①②．【名师点睛】学习能力型问题必将成为以后高考考核的重点，它题目新颖，考察全面，摆脱了以往只考察学生记忆、计算等方面知识．而这类题型是考察学生的阅读理解力、知识迁移能力和归纳概括能力等，是考察学生素质能力的典型题目，应引起广大师生的关注，学习有两个过程：一个是“从薄到厚”，一个是“从厚到薄”．前者是知识不段丰富、积累的过程，是“量”的积累；“从厚到薄”则是质的飞跃．在这里正是应用到了“从厚到薄”．而这类问题涉及知识面广、开放度高、灵活性强，能够很好地考核考生利用所学知识分析问题和解决问题的能力，需要平时结合所学的知识多联想和多类比，注意知识的活学活用，才能够处理好这类问题．17.【答案】（1）或；（2）．【解析】试题分析：（1）由即，讨论和-1的大小求解即可；（2）若是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（）知，，再检验即可．试题解析：（）因为即，当时，不等式的解为或，所以函数的定义域为或．当时，不等式的解为，所以函数的定义域为．当时，不等式的解为或，所以函数的定义域为或．（）如果是偶函数，则其定义域关于原点对称，由（）知，，检验：当时，定义域为或关于原点对称，，，因此当时，是偶函数．18.【答案】（1）；（2）．【解析】试题分析：（1）要使有意义，则即，要使有意义，则即求交集即可求函数的定义域；（2）实数，且，所以即可得出的取值范围．试题解析：（1）要使有意义，则即，要使有意义，则即，所以的定义域．（2）由（1）可得：即所以，故的取值范围是．19.【答案】（1）；（2）．【名师点睛】对勾函数的性质：它是奇函数，在上递减，在上递增，因此时，在时，取得最小值．20.【答案】（1）；（2）【解析】（1）∵函数，a=1，∴，∵在[0，1）上单调减，在（1，3]上单调增，∴最小值为，而，∴函数的值域为；（2）当时，由于f（x）在[-1，1]上是减函数，可得，不存在；当时，由，不存在；当时，由，不存在；当时，由，所以（舍去）综上所述．21.【答案】（1）①不是等值域变换，②是等值域变换；（2）．【解析】试题分析：（1）运用对数函数的值域和基本不等式，结合新定义即可判断①；运用二次函数的值域和指数函数的值域，结合新定义即可判断②；（2）利用f（x）的定义域，求得值域，根据x的表达式，和t值域建立不等式，利用存在t1，t2∈R使两个等号分别成立，求得m和n．试题解析：（1）①，x>0，值域为R ，，t>0，由g(t)⩾2可得y=f[g(t)]的值域为[1，+∞)．则x=g(t)不是函数y=f(x)的一个等值域变换；②，即的值域为，当时，，即的值域仍为，所以是的一个等值域变换，故①不是等值域变换，②是等值域变换；（2）定义域为，因为是的一个等值域变换，且函数的定义域为，的值域为，，恒有，解得．22.【答案】（1）；（2）存在使得的最小值为0；（3）．【解析】试题分析：（1）由为幂函数可得，解得或，经验证．（2）令，则，设，则将问题转化为函数在上的最小值是否为0的问题．根据对称轴与区间的关系求解，可得满足题意．（3）由题意得，且在定义域内为单调递减函数，若存在实数a，b满足题意，则可得，由②-①消去n 得，从而，将③代入②得，再令，由得，所以将问题转化为求在上的取值范围，根据二次函数的知识可得．试题解析：（1）∵是幂函数，∴，解得或，当时，，不满足，当时，，满足，∴∴．（3）由题意得，∴在定义域内为单调递减函数；若存在实数，使函数在上的值域为，则，由②-①，得，∴，将③代入②得，，令，∵，∴，又，故在区间上单调递减，∴．∴存在实数，使函数在上的值域为且实数的取值范围为．【名师点睛】本题以幂函数作为载体，考查了二次函数求值的问题和换元法的运用．对于求二次函数在给定区间上的最值问题，要根据抛物线的开口方向和对称轴与区间的关系求解，解题中要用到分类讨论的方法，分类时要做到不重不漏．同时解答本题时还要注意函数的单调性在求值中的应用．。