2020届浙江省温州市龙湾中学2017级高三下学期3月月考数学试卷及解析
浙江省部分重点中学高三下学期3月联考数学(理)试题.pdf
第6 物态变化 考纲要求备考指津1.能说出生活环境中的常见温度值。
了解体温计的工作原理。
会测量温度。
2．能区别六种物态变化，能描述六种物态变化的基本特征和条件，并能用这些知识解释生活中的相关现象。
3．能设计实验探究物态变化过程，能从实验数据和现象归纳科学结论。
由于中考注重对实验操作能力和应用知识能力的考查，因而液体温度计的使用、物态变化的实验及现象、对各种物态变化现象的解释等是中考的热点。
预计在今后的中考中涉及的内容会更加注意联系与人们生产和生活关系密切的自然现象。
题目形式活泼、新颖，数理结合，会逐渐从物态变化知识解释自然现象过渡到利用物态变化知识解决实际问题，考查学以致用的能力。
考点1 温度计 (1)温度 ①定义：温度表示物体的冷热程度。
②摄氏温度：用符号t表示，单位是摄氏度，单位符号为℃。
摄氏温度是这样规定的：在标准大气压下，把冰水混合物的温度规定为0 ℃，把沸水的温度规定为100 ℃，在0 ℃和100 ℃之间分成100等份，每一等份是摄氏温度的一个单位，叫做1摄氏度。
(2)温度计 ①原理：常用温度计是利用液体的热胀冷缩的性质制成的。
②构造：常用温度计的基本构造有：玻璃管、玻璃泡、测温液体、刻度、温标等。
③使用：估：测量前，先估计被测物体的温度；选：根据估计选择合适量程的温度计；认清温度计的量程和分度值，被测温度不能超过温度计的量程；放：测量时要将温度计的玻璃泡浸没入被测液体，不要碰到容器壁和容器底；读：待温度计的示数稳定后读数，读数时，玻璃泡要停留在被测液体中，视线必须与温度计液柱的上表面相平；记：记录测量结果后，取出温度计，测量结果包括数值和单位。
④体温计的测量范围是35～42_℃，分度值是0.1_℃；可以离开人体读数，使用前要甩几下。
⑤实验室温度计、体温计、寒暑表的异同： 实验室温度计体温计寒暑表原理液体的热胀冷缩测温液体煤油、 水银、酒精等水银煤油、酒精量程－20～110℃35～42 ℃－30～50 ℃分度值1_℃0.1_℃1_℃构造玻璃泡上部是均匀细管金属泡与毛细管间有一段细而弯的“缩口”玻璃泡上部是均匀细管使用方法不能离开被测物体读数，不能甩使用前要甩几下，可离开人体读数放在被测环境中直接读数，不能甩考点2 熔化和凝固 (1)熔化和凝固是两个互逆的物态变化过程：物质从固态变成液态的过程叫熔化，物质从液态变成固态的过程叫凝固。
2024届浙江省温州市普通高中高三第三次适应性考试(温州三模)数学试卷(含答案详解)
温州市2024届普通高中高三第三次适应性考试高三数学试题卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC 中，三个内角,,A B C 成等差数列，则()sin A C +=（）A ．12B．2CD ．12．平面向量()(),2,2,4a m b ==-，若()a ab - ∥，则m =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．23．设,A B 为同一试验中的两个随机事件，则“()()1P A P B +=”是“事件,A B 互为对立事件”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知*m ∈N ，()21mx +和()211m x ++的展开式中二项式系数的最大值分别为a 和b ，则（）A ．a b <B ．a b=C ．a b>D ．,a b 的大小关系与m 有关5．已知5πsin 4⎛⎫β+=-⎪⎝⎭()()sin 2cos cos 2sin αβαβαα---=（）A ．2425-B ．2425C ．35-D ．356．已知函数()223,02,0xx x x f x x ⎧-+>=⎨≤⎩，则关于x 方程()2f x ax =+的根个数不可能是（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右焦点，C 上两点,A B 满足：222AF F B = ，14cos 5AF B ∠=，则椭圆C 的离心率是（）A ．34BC ．23D8．数列{}n a 的前n 项和为()*1,n n n n S S a n a +=∈N ，则5622111i i i i a a -==-∑∑可以是（）A ．18B ．12C ．9D ．6二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
浙江省温州市高一下学期3月月考数学试题
浙江省温州市高一下学期3月月考数学试题姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共4题；共8分)1. （2分） (2016高一下·兰陵期中) 与角﹣终边相同的角是（）A .B .C .D .2. （2分） (2017高一下·新余期末) 等于（）A . 1B . ﹣1C .D .3. （2分） (2016高二上·宾阳期中) 在△ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．asinBcosC+csinBcosA= b，且a＞b，则∠B=（）A .B .C .D .4. （2分） (2017高一下·珠海期末) 在如图中，O为圆心，A，B为圆周上二点，AB弧长为4，扇形AOB面积为4，则圆心角∠AOB的弧度数为（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共10题；共14分)5. （1分） (2017高一上·黑龙江期末) 已知扇形的周长是6，中心角是1弧度，则该扇形的面积为________．6. （1分） (2016高一下·榆社期中) 已知0＜α＜π，﹣sinα=2cosα，则2sin2α﹣sinαcosα+cos2α的值为________．7. （1分） (2017高一上·新疆期末) 设角α、β是锐角，若（1+tanα）（1+tanβ）=2，则α+β=________．8. （1分） (2018高三上·昭通期末) 已知函数，则函数的零点个数是________9. （1分） (2016高一上·和平期中) 若函数f（x）是二次函数，且满足f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2（x ﹣1），则f（x）的解析式为________10. （1分） (2016高三上·焦作期中) 在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，若b=1，c= ，∠C= ，则a=________．11. （1分）(2018高一上·山西月考) 已知奇函数在上为增函数，对任意的恒成立，则的取值范围是________.12. （1分）已知sinx+2cosx=0，则sin2x+1=________．13. （1分） (2016高二上·宁县期中) 一船以每小时15km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔B在北偏东60°处；行驶4h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°处．这时船与灯塔的距离为________ km．14. （5分） (2019高三上·广东月考) 已知的内角的对边分别为，，，若，则 ________.三、解答题 (共6题；共65分)15. （10分）(2019高一上·吉林月考) 已知（1）化简；（2）若，求的值.16. （10分） (2017高一下·郴州期中) 已知tanα=﹣3，且α是第二象限的角，求sinα和cosα．17. （10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA=a•cosB．（1）求角B的大小；（2）若b=3，sinC=2sinA，分别求a和c的值．18. （10分） (2018高一上·华安期末) 已知函数（1）判断函数的单调性并给出证明；（2）若存在实数使函数是奇函数，求；（3）对于(2)中的，若，当时恒成立，求的最大值．19. （10分） (2016高一下·成都期中) △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA•cosC﹣cos（A+C）=sin2B．（Ⅰ）证明：a，b，c成等比数列；（Ⅱ）若角B的平分线BD交AC于点D，且b=6，S△BAD=2S△BCD ，求BD．20. （15分） (2018高一下·汕头期末) 已知函数，．（1）若函数是奇函数，求实数的值；（2）在在（1）的条件下，判断函数与函数的图像公共点个数，并说明理由；（3）当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．参考答案一、单选题 (共4题；共8分)1-1、2-1、3-1、4-1、二、填空题 (共10题；共14分)5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共6题；共65分) 15-1、15-2、16-1、17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、20-3、。
浙江省温州市高三数学3月学业水平模拟考试试题
2016年3月温州市普通高中学业水平模拟考试数学（测试卷）考生须知：1．本试题卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分100分，考试时间80分钟。
2．考生答题前，务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上。
3．选择题的答案须用2B 铅笔将答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如要改动，须将原填涂处用橡皮擦净。
4．非选择题的答案须用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上相应区域内，作图时可先使用2B 铅笔，确定后须用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑，答案写在本试题卷上无效。
选择题部分 一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分） 1．函数3()log (1)f x x =-的定义域是A ．(1,)+∞B ．[1,)+∞C ．{|1}x x ∈≠RD ．R2．下列式子恒成立的是A ．sin()sin sin αβαβ+=+B ．cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+C ．sin()cos cos sin sin αβαβαβ-=-D ．cos()cos sin sin cos αβαβαβ+=-3．已知数列{}n a 是等比数列，若22a =，34a =-，则5a 等于 A ．8B ．8-C ．16D ．16-4．已知1cos 2α=-，且α是钝角，则tan α等于AB C ． D ． 5．下列四条直线，倾斜角最大的是 A ．1y x =-+B ．1y x =+C ．21y x =+D ．1x =6．若正方形ABCD 的边长为1，则BD BC ⋅等于A B ．1 CD ．27．已知sin 0θ>且cos 0θ<，则角θ的终边所在的象限是 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限8．双曲线2213y x -=的离心率是 ABCD ．29．在空间中，设m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列命题正确的是 A ．若//m α且//αβ，则//m β B ．若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n ⊥ C ．若m α⊥且//αβ，则m β⊥ D ．若m 不垂直于α，且n α⊂，则m 必不垂直于n 10．“0a <”是“函数22y x ax =-在区间[1,)+∞上递增”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 11．已知a ，b ∈R ，则使不等式||||||a b a b +<+一定成立的条件是A ．0a b +>B ．0a b +<C ．0ab >D ．0ab < 12．在正三棱锥S ABC -中，异面直线SA 与BC 所成角的大小为 A ．30 B ．60 C ．90 D ．120 13．直线cos sin 1x y θθ+=与圆221x y +=的位置关系是A ．相切B ．相交C ．相离D ．以上都有可能14．若将函数sin(2)3y x π=+的图像向左平移m 个单位可以得到一个偶函数的图像，则m 可以是A ．2πB ．3πC ．6πD ．12π1545，则该正四棱锥的体积是A ．23B ．43CD16．已知实数x ，y 满足22300x y x y x y +⎧⎪+⎪⎨⎪⎪⎩≥，≥，≥，≥，则3x y +的最小值是A ．2B ．3C ．4D ．517．设函数210()00210.x x f x x x x +>⎧⎪==⎨⎪-<⎩，，，，，若不等式(1)()0m f x f x -+>对任意0x >恒成立，则实数m 的取值范围是A ．11(,)44-B ．1(0,)4C ．1(,)4+∞D ．(1,)+∞18．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB =，BC =M 在棱1CC 上，且1MD MA ⊥，则当1MAD ∆的面积最小时，棱1CC 的长为 AC ．2 D非选择题部分二、填空题（本大题共4小题，每空3分，共15分） 19．设集合{|12}A x x =-<<，{|0}B x x =>，则AB = ▲ ，()B A =R ð ▲ ．20．已知向量(1,2)=a ，(2,)t =-b ，若//a b ，则实数t 的值是 ▲ ．21．已知数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，若12a =且数列{}n n a b 的前n 项和是 (21)31n n +⋅-，则数列{}n a 的通项公式是 ▲ ．22．已知ABC ∆中的内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c , 若1a =，2C B π-=，则c b -的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共3小题，共31分）23．（本题10分）已知函数()sin cos f x x x =+，x ∈R ． （Ⅰ）求()2f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期； （Ⅲ）求函数3()()()44g x f x f x ππ=+++的最小值．24．（本题10分）已知椭圆C 的中心在原点，焦点在xC 上一点(2,1)P 作x 轴的垂线，垂足为Q ．（第18题图）MD 1C 1A 1B 1DCBAy（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）过点Q 的直线l 交椭圆C 于点A ,B , 且30QA QB +=，求直线l 的方程．25．（本题11分）设a ∈R ，函数2()||f x x ax =+． （Ⅰ）若()f x 在[0,1]上单调递增，求a 的取值范围；（Ⅱ）记()M a 为()f x 在[0,1]上的最大值，求()M a 的最小值．（第24题图）2016年3月温州市普通高中学业水平模拟考试数学（测试卷）参考答案及评分标准一、选择题（本大题共18小题，每小题3分，共54分。
2020届浙江省温州市2017级高三下学期4月二模考试数学试卷及解析
2020届浙江省温州市2017级高三下学期4月二模考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页.满分150分,考试时间120分钟.参考公式：如果事件,A B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+如果事件,A B 相互独立,那么()()()·P A B P A P B = 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,,)k k n k m n P k C p p k n -=-=台体的体积公式121()3v h S S =,其中12,S S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式v Sh =,其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式13V Sh =,其中S 表示锥体的底面积,h h 表示锥体的高 球的表面积公式4s R π=,球的体积公式343V R π=,其中R 表示球的半径 选择题部分(共40分)一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}13,1|{|}A x R x B x R x =∈≤≤=∈≥,则()R AC B =（ ） A. (]1,3-B. []1,3-C. ()–,3∞D. (]3,-∞ 【答案】D【解析】 计算{}1R C B x R x =∈<,再计算并集得到答案.【详解】{}13,1|{|}A x R x B x R x =∈≤≤=∈≥,则{}1R C B x R x =∈<,故()(],3R AC B =-∞.故选：D2.已知复数()()1i a i ++纯虚数(i 为虚数单位),则实数a =（ ） A. -1B. 1C. 0D. 2【答案】B【解析】化简得到()11z a a i =-++,根据纯虚数概念计算得到答案.【详解】()()()111i a a i i z a ==-++++为纯虚数,故10a -=且10a +≠,即1a =. 故选：B . 3.设实数,x y 满足条件202300x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩则1x y ++的最大值为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】画出可行域和目标函数,根据目标函数的几何意义平移得到答案.【详解】如图所示：画出可行域和目标函数,1z x y =++,即1y x z =-+-,z 表示直线在y 轴的截距加上1,根据图像知,当2x y +=时,且1,13x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时,1z x y =++有最大值为3. 故选：C .。
浙江省温州中学2020届高三下学期3月高考模拟测试数学试题含答案.pdf
y＝________.
C. 5＋ 1
D. 5＋ 1 2
5． “α≠β”是 “ coαs≠ coβs”的 ( )
A ．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
6．函数 f(x)＝ ln|x|的图象大致为 (
)
x
7．本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲 评顺序表， 若化学排在生物前面， 数学与物理不相邻且都不排在最后， 则不同的排表方法共 有( )
下列两个命题 ( )
①数列 { an} 的任意一项都是正整数； ②数列 { an} 存在某一项是 5 的倍数．
A ．①正确，②错误
B．①错误，②正确
C ．①②都正确
D ．①②都错误
第 Ⅱ 卷（非选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 7 小题 , 多空题每小题 6 分，单空题每小题 4 分 , 共 36 分．
x y＋1
16．已知 F1， F 2 为椭圆 C：x2＋ y2＝1 的左、右焦点，点 43
内心 I 的轨迹方程为 ____________________________ ．
P 在椭圆 C 上移动时，△ PF 1F2 的
17．如图，在△ ABC 中，已知 AB＝ AC＝ 1，∠ A＝ 120 ，°E， F 分别是边 AB，AC 上的点， 且A→E＝ λ→AB， A→F＝ μ→AC，其中 λ， μ∈ (0,1) ，且 λ＋ 4μ＝ 1，若线段 EF ， BC 的中点分别为 M ， N，则 |M→N|的最小值为 ________．
2020届浙江省温州中学2017级高三下学期3月模拟考试数学试卷及解析
2020届浙江省温州中学2017级高三下学期3月模拟考试数学试卷★祝考试顺利★(解析版)参考公式：如果事件A ,B 互斥,那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A ,B 相互独立,那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()C 1n k kk n n P k p p -=-（0k =,1,2,…,n ）台体的体积公式()1213V h S S =+ 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 椎体的体积公式13V Sh = 其中S 表示椎体的底面积,h 表示椎体的高球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径第I 卷（选择题,共40分）一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =<,集合{}2log 0B x x =<,则A B 等于（ ） A. 0,1B. 1,0C. ()1,1-D. (),1-∞-【答案】A【解析】 先化简集合,A B ,再求其交集. 【详解】根据题意可得集合{}11A x x =-<<,集合{}01B x x =<<,()0,1A B ∴=,故选:A.2.在平面直角坐标系中,经过点P ,渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ） A. 22142x y -= B. 221714x y -= C. 22136x y -= D. 221147y x -= 【答案】B【解析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =,可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入,求得 k 的值,可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上,则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-= 故选B。
浙江省温州市普通高中2017届高三2月高考模拟考试数学试题含答案
机密 ★ 考试结束前2017年2月温州市普通高中高考模拟考试数学（测试卷）本试卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分3至4页。
满分150分，考试时间120分钟. 参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1),(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 )(312211S S S S h V ++=24S R π= 其中S 1，S 2分别表示棱台的上、下底面积,球的体积公式 h表示棱台的高334R V π=其中R 表示球的半径选择题部分（共40分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
） 1．设集合{}|2|1A x x =-≤，{}|01B x x =<≤，则A B =（ ▲ ）A ．(]0,3B ．(]0,1C ．(],3-∞D ．{}12．设复数112i z =-+，22i z =+，其中i 为虚数单位，则=⋅21z z （ ▲ ）A ．4-B ．3iC ．34i -+D ．43i -+3．已知空间两不同直线m 、n ，两不同平面α、β，下列命题正确的是（ ▲ )A ．若//m α且α//n ，则//m nB ．若m β⊥且n m ⊥，则//n βC ．若m α⊥且//m β，则αβ⊥D ．若m 不垂直于α，且n α⊂，则m 不垂直于n 4．若直线y x b =+与圆221x y +=有公共点,则实数b 的取值范围是（ ▲ )A ．[1,1]-B ．[0,1]C ．[0,2]D ．[2,2]- 5．设离散型随机变量X 的分布列为X 123P1p2p3p则2EX =的充要条件是( ▲ ） A ．12p p = B ．23p p = C ．13pp = D ．123pp p ==6．若二项式1()nx x+的展开式中各项的系数和为32,则该展开式中含x项的系数为（ ▲ )A ．1B ．5C ．10D ．20 7．要得到函数sin(3)4y x π=-的图像，只需将函数cos3y x =的图像（ ▲ )A ．向右平移4π个单位 B ．向左平移4π个单位 C ．向右平移34π个单位 D ．向左平移34π个单位8．如图，在三棱锥A BCD -中，平面ABC ⊥平面BCD ，△BAC 与△BCD 均为等腰直角三角形,且90BAC BCD ∠=∠=,2BC =．点P 是线段AB 上的动点,若线段CD 上存在点Q ，使得异面直线PQ 与AC 成30的角,则线段PA 长的取值范围是（ ▲ ）A ．2(0,)2B ．6(0,)3 C ．2(,2)2D ．6(,2)39．记,,max{,},a a b a b b a b ⎧=⎨<⎩≥.已知向量a ，b ,c 满足||1=a ,||2=b ，0=⋅a b ， （第8题图）(0λμλμ=+，≥c a b 且+=1)λμ，则当max{}⋅⋅，c a c b 取最小值时，||=c （▲ )A ．255B ．223C ．1D ．5210．已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足21(1)()()2f x f x f x +=+-，则(0)(2017)f f +的最大值为( ▲ ）A ．212-B ．21+2C ．12D ．32非选择题部分（共110分）二、填空题（本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分。
2020届浙江省温州中学高三下学期3月检测数学试题(解析版)
2020届浙江省温州中学高三下学期3月检测数学试题一、单选题1．已知集合{}{}|1,2,3A a a =⊆，则A 的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8C ．255D ．256【答案】C【解析】求出集合A 的元素，再求出A 真子集的个数． 【详解】因为集合{|{1,A a a =⊆2，3}}，所以集合A 的元素是集合{1,2，3}的子集，共有8个， 所以集合A 的真子集个数为821255-=个， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了集合与元素，集合与集合的关系，属于中档题． 2．“若p 则非q ”的否命题是（ ） A ．若p 则q B ．若非p 则qC ．若非q 则pD ．若非p 则非q【答案】B【解析】直接利用已知条件求出否命题，要区别否命题和命题的否定之间的关系． 【详解】根据否命题的定义可知：“若p ，则非q ”的否命题为：“若p ⌝，则q ”． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查了四个命题的应用，主要考查学生对基础知识的理解和应用，属于基础题型．3．“直线()1330m x y +-+=与直线220x my -+=平行”的充要条件是m =（ ） A ．-3 B ．2C ．-3或2D ．3或2【答案】A【解析】根据直线的平行条件，得到关于m 的方程，解出检验即可． 【详解】当0m =或1m =-时，显然直线不平行， 由132m m+=，解得：3m =-或2m =， 3m =-时，直线分别为：2330x y --+=和2320x y ++=，平行， 2m =时，直线分别为：3330x y -+=和2220x y -+=，重合，故3m =-， 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了直线平行问题，考查充分必要条件，是一道基础题． 4．函数()sin 2sin3f x x x =+的最小正周期为（ ） A ．π B ．2πC ．3πD ．6π【答案】B【解析】求出2y sin x =与3y sin x =的周期，然后求解最小公倍数即可． 【详解】2y sin x =的最小正周期为：π；函数3y sin x =的最小正周期为：23π， π与23π的最小公倍数为：2π， 所以函数()23f x sin x sin x =+的最小正周期为：2π． 故选：B ． 【点睛】本题考查三角函数的最小正周期的求法，是基本知识的考查，基础题． 5．若,a b ∈R ，下列等式不可能成立有（ ）个.（1）1a b b a+=（21a b =+-（3）32a b a+=A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C【解析】分类讨论结合基本不等式判断()1；特殊值判断()2；基本不等式以及函数的最值判断()3． 【详解】对于()1：当a ，b 异号时，01a b b a+<≠，当a ，b 同号时，2a bb a +≥，故()1不可能成立．对于()2：若0a =，0b =01=≠-， 当0ab ≠1a b =+-1=，看作是点()1,1到直线10a x b y +-=的距离为1，可能成立；对于()3：32||211||3a a a a a+=++≥，y b =，令2b cos θ=，224y sin cos πθθθ⎛⎫⎡=+=+∈- ⎪⎣⎝⎭，所以3||2a b a+=，不可能成立． 故选：C ． 【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用，考查函数的最值以及基本不等式的应用，是中档题． 6．随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-，则()D ξ的最大值为（ ） A ．89B ．1716C ．2625D ．1【答案】D【解析】求出()2P ξ=的值，求出期望，得到方差的表达式，然后求解最值即可． 【详解】随机变量ξ的可能值有1，2，3，且()131P p ξ==-，()31P p ξ==-， 可得：()212P p ξ==-，由03110110121ppp≤-≤⎧⎪≤-≤⎨⎪≤-≤⎩，可得11,32p⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以()()()()1312123144E p p p pξ=-+-+-=-．()()()222(144)31(244)12(344)1D P P P P P Pξ=-+⨯-+-+⨯-+-+⨯-（）216184P P=-+-，11,32p⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦当12p=时，()Dξ的最大值为1．故选：D．【点睛】本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，考查转化思想以及方差思想的应用，是中档题．7．单位正方体内部或边界上不共面的四个点构成的四面体体积的最大值为（）A．16B．14C．13D．12【答案】C【解析】四面体的四个顶点应该在正方体的表面上的四面体称为正方体的内接四面体，记正方体的外接球为球O，由题意知正方体的内接四面体体积的最大值不大于球O的内接四面体的体积的最大值，球O的内接四面体以正四面体的体积最大，此时正四面体恰好是正方体的内接四面体，由此能求出结果．【详解】要使四面体的体积最大，则四面体的四个顶点应该在正方体的表面上，了叙述方便，把此时的四面体称为正方体的内接四面体，记正方体的外接球为球O，由题意知正方体的内接四面体体积的最大值不大于球O的内接四面体的体积的最大值，球O的内接四面体以正四面体的体积最大，此时正四面体恰好是正方体的内接四面体，正方体为1时，内接正四面体的体积为13．故选：C ． 【点睛】本题考查四面体体积的最大值的求法，考查正方体的内接四面体，外接球、球的内接四面体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．8．设实数列{}n a 满足10a a =>，则下面说法正确的是（ ） A ．若()*10n n a a n N +⋅=∈，则{}n a 前2019项中至少有1010个值相等B ．若()2020*1n n na a a n N -+=+∈，则当a 确定时，一定存在实数M 使naM <恒成立C ．若()2*21n n n a a a n N ++⋅=∈，{}na 一定为等比数列D ．若()*nn a e n N =∈，则当a 确定时，一定存在实数M 使2nnn aM C <⋅恒成立【答案】D【解析】对于A ，由抽屉原理可知前2019项中至少有1009个值相等，即其中的偶数项都为0；对于B ，由不动点理论知，()2020*1n n na a a n N -+=+∈所对应的特征函数()2020f x x x x -=+>，当a 确定时，数列{}n a 单调递增无上界；对于C ，若()2*21n n n a a a n N++⋅=∈，不排除数列的项可以为0，所以{}n a 不为等比数列；对于D ，由数学归纳法能证明：若()*nn a en N =∈，则当a 确定时，一定存在实数M 使2n n n a M C <⋅恒成立．【详解】对于A ，()*10n n a a n N+⋅=∈Q ，10aa =>，∴由抽屉原理可知前2019项中至少有1009个值相等，即其中的偶数项都为0，故A 错误；对于B ，由不动点理论知，()2020*1n n na a a n N -+=+∈所对应的特征函数()2020f x x x x -=+>，∴当a 确定时，数列{}n a 单调递增无上界，故B 错误；对于C ，若()2*21n n n a a a n N ++⋅=∈，则数列的项可以为0，所以{}na 不为等比数列，故C 错误；对于D ，由数学归纳法知，当1n =时，1a a =，12a M >+，使得2nn n a M C <⋅成立；假设n k =，2k kk e MC <成立，则1n k =+，12k k k k e e e eMC +=⋅<，()()2111222212124(1)1kk k k k eMC M MM k k +++<=⋅<++Q ， ∴对应的1M 存在，∴若()*n n a e n N =∈，则当a 确定时，一定存在实数M 使2nn n a M C <⋅恒成立，故D正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查抽屉原理、不动点原理、等比数列、数学归纳法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．9．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nxx y +>恒成立的n 有（ ）个.A ．1B ．2C ．3D ．2021【答案】B【解析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nxx y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nxx y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1rx rx +>+，1r >，1x >-， 取1r y =，y a x=， 则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+， 同理xy y x y>+，故1ny nxx y +>成立； 当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验 1124211111()()()()1222224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ．【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．10．过点()2,1P 斜率为正的直线交椭圆221245x y +=于A ，B 两点.C ，D 是椭圆上相异的两点，满足CP ，DP 分别平分ACB ∠，ADB ∠.则PCD ∆外接圆半径的最小值为（ ） A ．2155B ．655C ．2413D ．1913【答案】D【解析】分析可知，P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，设其半径为r ，且111r AP BP=-，分直线AB 斜率存在及不存在两种情况分别讨论得解． 【详解】 如图，先固定直线AB ，设()BM f M AM =，则()()()f C f D f P ==，其中()BPf P AP=为定值，故点P ，C ，D 在一个阿波罗尼斯圆上，且PCD V 外接圆就是这个阿波罗尼斯圆，设其半径为r ，阿波罗尼斯圆会把点A ，B 其一包含进去，这取决于BP 与AP 谁更大，不妨先考虑BP AP >的阿波罗尼斯圆的情况，BA 的延长线与圆交于点Q ，PQ 即为该圆的直径，如图：接下来寻求半径的表达式，由()2,2AP BP r BP BQ r AP AQ AP AP AQ BP ⋅+==+=+，解得111r AP BP=-， 同理，当BP AP <时有，111r BP AP=-， 综上，111r AP BP=-； 当直线AB无斜率时，与椭圆交点纵坐标为1,1AP BP =-=+，则1912r =； 当直线AB 斜率存在时，设直线AB 的方程为()12y k x -=-，即21y kx k =-+， 与椭圆方程联立可得()()()22224548129610k x k k x k k ++-+--=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则由根与系数的关系有，()()12221224821245961245k k x x k k k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎨--⎪=⎪+⎩，211112r AP BP x ∴=-=-，注意到12x -与22x -异号，故1119r ===，设125t k =+，则11121226131919192419r ==≤⋅=，，当15169t =，即1695t =，此时125k =，故1913r ≥，又19191213>，综上外接圆半径的最小值为1913. 故选：D ． 【点睛】本题以阿波罗尼斯圆为背景，考查直线与椭圆的位置关系以及外接圆半径最小值的求解，考查运算求解能力以及数形结合思想，函数思想等，属于难题．二、填空题11．平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为______，一条直线可能经过______个象限. 【答案】[)0,p 0，2，3【解析】根据直线倾斜角的定义得出倾斜角的取值范围，考虑直线的各种不同情况可得出所过象限的个数. 【详解】平面直角坐标系中，直线倾斜角的范围为[)0,π，一条直线可能经过2个象限，如过原点，或平行于坐标轴； 也可能经过3个象限，如与坐标轴不平行且不过原点时； 也可能不经过任何象限，如坐标轴； 所以一条直线可能经过0或2或3个象限． 故答案为：[)0,π，0或2或3． 【点睛】本题考查了直线的倾斜角与直线方程过象限问题，是基础题．12．设平面直角坐标系中有线段AB ，其对应的直观图上的线段为''A B ，若''AB A B =，则AB 的斜率为______.【答案】0或3【解析】根据斜二侧画法，“平行于x 轴的线段长度不变，平行于y 的线段长度减半”，由此得出若直线AB 与x 轴平行满足条件，当直线与x 轴不平行时，设倾斜角为θ，||AB x =计算即可求解．【详解】根据斜二侧画法知，线段AB 对应直观图上的线段''A B ， 若直线AB 与x 轴平行时，''AB A B =，此时AB 的斜率为0； 若直线AB 不与x 轴平行时，设AB 倾斜角为θ，||AB x =, 则在直观图中，据斜二侧画法及余弦定理可得：22211||(cos )(sin )cos sin cos()224A B x x x x πθθθθπ''=+-⋅⋅-，因为''AB A B =，所以22211(cos )(sin )cos sin cos()224x x x x x πθθθθπ=+-⋅⋅-，化简得3sin θθ=，即tan 3k θ==，故答案为：0或3． 【点睛】本题考查了斜二侧画法中线段长度的变化情况，余弦定理，属于中档题． 13．若抛物线24y x =与圆222x y ax +=只有一个交点，则抛物线焦点的坐标为______，a 的取值范围为______. 【答案】()1,0 ()(],00,2-∞U【解析】由抛物线的性质可得焦点的坐标，联立抛物线方程和圆方程，解方程，结合抛物线的性质和圆的性质，可得所求范围． 【详解】抛物线24y x =的焦点为()1,0，联立抛物线方程24y x =与圆222x y ax +=，可得()2420x a x +-=，即有0x =或24x a =-， 由抛物线的范围可得[)0,x ∈+∞，且抛物线24y x =与圆222x y ax +=只有一个交点，可得交点为原点，则240a -≤，且0a ≠，解得2a ≤且0a ≠． 故答案为：()1,0，2a ≤且0a ≠． 【点睛】本题考查抛物线和圆的方程和性质，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于基础题．14．已知23i i z z +-=，i z C ∈，1,2i =，122z z -=，则12z z +的最大值为______.【答案】4【解析】本题先将1z ，2z 分别代入23i i z z +-=，然后相加，再运用复数模的三角不等式可计算出12z z +的最大值． 【详解】由题意，可知1123z z +-=，2223z z +-=，则12121212126222z z z z z z z z z z =++-+-≥++-=++，当12z -与22z -对应的向量反向共线时，等号成立.124z z ∴+≤．故12z z +的最大值为4． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查复数的模的计算，以及复数模的三角不等式的运用，不等式的计算能力．本题属基础题．15．已知正实数,,0x y z >，则12max ,max ,A x y y x ⎧⎫⎧⎫=+⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭的最小值为______；123max ,max ,max ,B x y z y z x ⎧⎫⎧⎫⎧⎫=++⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭的最小值为______.【答案】 【解析】分类讨论，结合均值不等式，注意取等验证是否满足即可． 【详解】（1）若12,x y y x ≥≥时，即12xy ≤≤时，2A x x=+≥1x y ==时可取等号，若12,x y y x>>时，即2xy >时，A x y =+≥>， 若12,x y y x >>时，即01xy <<时，由01xy <<知22xy>，所以12A y x =+≥>综上可知A 的最小值为；()2当3z x≥时，25B x z z zz≥++≥+≥，当55z x y ===时可取等号；当3z x ≤时，32325333x x B x x x z x x≥++≥++=+≥55z x y ===时可取等号；综上所述，B ≥55z x y ===时可取等号；故答案为：【点睛】本题考查代数式的最值求法，考涉及均值不等式及分类讨论思想，属于中档题． 16．海面上漂浮着A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 七个岛屿，岛与岛之间都没有桥连接，小昊住在A 岛，小皓住在B 岛.现政府计划在这七个岛之间建造n 座桥（每两个岛之间至多建造一座桥）.若1n =，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为______；若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为______. 【答案】12130133【解析】利用古典概型、排列组合直接求解． 【详解】七个岛之间两两连接共可以有27=21C 条线路，在这21条线路中若1n =，若只建一座桥，则有21种建法，则桥建完后，小吴和小皓可以往来的概率为271121C =， 若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来可以的情况有： 若A 岛和B 岛连接，其余任选2条线路建桥，共有220C 种方法，若A 岛和B 岛不连接，再选一个岛，与A 岛和B 岛都连接，再在其他18条线路种选一条建桥，则有58111C C 种方法，若A 岛和B 岛不连接，再选两个岛，与A 岛和B 岛连接，共建3座桥，共有522C 种方法，∴若3n =，则桥建完后，小昊和小皓可以往来的概率为2211201853521++133230C C C C C =． 故答案为：121，30133． 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．17．已知平面向量a r ，b r满足4a =r ，33b =+r ，0a b ⋅=r r .记()(),1f x b xa b x a =++-r r r r，则()()11f x f x ++-的最大值为______.【答案】3π 【解析】先表示出()()11x f x ++-，不妨设()6,0A -，()()4,0,0,33AB a b ===--u u u r rr ，点(),P x y 在直线l ：33y =+上移动，由此所求()()11f x f x ++-即为APB CPD APD BPC ∠+∠=∠-∠，进一步转化为通过求正切值来比较角度大小，进而求得最值． 【详解】()()()()()111,21,f x f x b x a b x a b x a b xa -++=+-+-++++r r r r r r r r，如图，在平面直角坐标系中，不妨设()6,0A -，()(4,0,0,33AB a b ===-u u u r rr ，点P 在直线l ：33y =+设点(),P x y ，由于33y =+b 代替计算， 则所求()()11f x f x ++-即为APB CPD APD BPC ∠+∠=∠-∠且AB BC CD ==，这里可求正切来判断角度大小，则122212116612tan 11663611x x k k b b b APD x x b x k k b b-+--∠===-++-+⋅+⋅，224tan 4bBPC b x ∠=+-，()()()()222222222222222314812364tan 313641441364b b b x b x b x APD BPC b x b x b b x b x ⎛⎫- ⎪+++-+-⎝⎭∠-∠==+-+-++⋅+-+-，不妨设2212b x t ++=，则()()2283+3tan 3768489+38316864b APD BPC b b t t∠-∠=≤==+-+-+-， 即3APD BPC π∠-∠≤，即()()11f x f x ++-的最大值为3π． 故答案为：3π． 【点睛】本题考查平面向量数量积的综合运用，考查运算求解能力以及数形结合思想，属于难题．三、解答题18．如图，在ABC ∆中，AH 为BC 边上的高线.P 为三角形内一点，由P 向三角形三边作垂线，垂足分别为D ，E ，F ，已知AH ，AC ，BC ，AB 依次构成公差为1的等差数列.（1）求ABC ∆的面积；（2）求222T PD PE PF =++的最小值. 【答案】（1）84；（2）14112295. 【解析】()1由题意，可设出1AH x =-，AC x =，1BC x =+，2AB x =+，由等面积法可求出x ，进而求得面积；()2由等面积可知141315168PD PE PF++=，再利用柯西不等式即可得到结果．【详解】()1设1AHx =-，AC x =，1BC x =+，2AB x =+，则213331122222x x x x x -+++-=⨯⨯⨯，解得13x =， ABC V ∴的面积为11412842⨯⨯=；()2141315284168PD PE PF++=⨯=Q ，()22222222168(141315)141315(||||)PD PE PF PD PE PF ∴=++≤++++， 22214112||||295T PD PE PF ∴=++≥， T ∴的最小值为14112295． 【点睛】本题巧妙地把等差数列，柯西不等式以及解三角形结合起来考查，还考查了等面积法的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19．如图，正四面体A BCD -底面的中心为O ，ACD ∆的重心为G .P 是ACD ∆内部一动点（包括边界），满足A ，P ，G 不共线且点P 到点A 的距离与到平面BCD 的距离相等.（1）证明：//AB 平面OPG ；（2）若2AB =，求四面体B OPG -体积的最大值.【答案】（1）证明见解析；（2）43227.【解析】(1)延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点，由于O 是BCD V 的重心，从而//OG AB ，由此能证明//AB 平面OPG ．(2)作PQ AM ⊥于Q 点，可证得PQ ⊥平面ABM ，则122327P OBG BOG V S PQ -=⋅=V ，作P 到底面上的投影H ，则'HH CD ⊥于'H ，由三垂线定理得'PH CD ⊥，从而22'3PH PA =，由椭圆的第二定义得P 点的轨迹是以A 为右焦点，直线CD 为右准线的椭圆，由椭圆的对称性得当P 与'P 重合时，PQ 最大，由此能求出四面体B OPG -体积的最大值． 【详解】（1）证明：如图，延长AG 交BC 于M ，则M 为BC 的中点， 由于O 是BCD V 的重心，则B 、O 、M 共线， 且13MG MO MA MB ==， //OG AB ∴，又A ，P ，G 三点不共线，则P 不在平面ABOG 内部， 则//AB 平面OPG ．(2)作PQ AM ⊥于Q 点，由BM CD ⊥，AM CD ⊥，得CD ⊥平面ABM ， 又//PQ CD ，则PQ ⊥平面ABM ，则122327P OBG BOG V S PQ -=⋅=V ， 下面求PQ 的最大值， 作P 到底面上的投影H ，则'HH CD ⊥于'H ， 由三垂线定理得'PH CD ⊥， 则22sin 'sin3AO PHH AMO AM ∠=∠==， 由PA PH =，得22'PH PA =， 接下来，分析在平面ACD 中PQ 的最小值，由于22'PH PA =， 由椭圆的第二定义得P 点的轨迹是以A 为右焦点，直线CD 为右准线的椭圆，由椭圆的对称性得当P 与'P 重合时，PQ 最大， 此时，设''P Q x =，则'22P A x =-，)'31P K x ∴=-，22'PH PA =， )2612x x -=，解得62x =， ∴四面体B OPG -体积4322222''272727P OBGVQ -=≤=．∴四面体B OPG -体积的最大值为43227．【点睛】本题考查线面平衡地的证明，考查四面体的体积的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．如图，(),0P a 为x 正半轴上一点.第一象限内两点(),A B A B x x <在抛物线24y x =上，满足3APB π∠=，记PB k PA=.（1）若3A x =，2k =，求a 的值；（2）若存在PAB ∆，使得1k =，求a 的取值范围. 【答案】（1）231a =；（2）83a >. 【解析】()1推导出(3,23A ，200,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，2PAB π∠=，6PBA π∠=，从而03AB AP AB ⎧⋅=⎪⎨=⎪⎩u u u v u u u v u u uv ，由此能求出a ． (2)设点(),0P a ，()11,A x y ，()22,B x y ，且120y y <<，点1212,22x x y y C ++⎛⎫⎪⎝⎭，AB l ：x my n =+，根据120y y <<，得0n <，联立24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，由此利用韦达定理、直线垂直、抛物线性质，结合题设条件能求出a 的取值范围． 【详解】()()1,0P a Q 为x 正半轴上一点．第一象限内两点A ，()A B B x x <在抛物线24y x =上，满足3APB π∠=，记,3A PB k x PA==，2k =，(3,23A ∴，200,4y B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2PAB π∴∠=，6PBA π∠=，0AB AP AB ⎧⋅=⎪∴⎨=⎪⎩u u u v u u u v u u u v，(022*******4(3)(3[(3)4a y y a ⎧-=⎪⎪⎪-∴⎨⎪⎪⎤-+-=-+⎦⎪⎩， 解得06y =，1a =．(2)设点(),0P a ，()11,A x y ，()22,B x y ，且120y y <<，点1212,22x x y y C ++⎛⎫⎪⎝⎭，AB l ：x my n =+， 根据120y y <<，得0n <，取立24y x x my n⎧=⎨=+⎩，得2440y my n --=，124y y m ∴+=，124y y n =-，(0)n <，点1212,22x x y y C ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()22,2C m n m +，3APB π∠=Q ，1PB PA=，PAB ∴V 是等边三角形，PC AB ∴⊥，220112m m n a m-∴⋅=-+-， 222a m n ∴=++，PC =Q ，12y y =-= 213n m ∴=-+，且0n <，213m ∴>，22221782222333a m n m m m ∴=++=-++=+>．a ∴的取值范围是8,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查实数值、实数取值范围的求法，考查韦达定理、直线垂直、抛物线性质等基础知识，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 21．对于正整数n 与实数0a ，1a ，…，n a ，记()()()()10sin sin sin 22n n nx a x a f x a x ++=++++L .（1）若00a =，13a π=求，()1f x 的取值范围；（2）当2020n =时，判断:是否存在实数0a ，1a ，…，2020a ，使得()()20202020012f f ==成立.若存在，请求出任意一组0a ，1a ，…，2020a 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）,22⎡-⎢⎣⎦；（2）不存在.证明见解析. 【解析】()1推导出()()115sin 23442f x sinx x sinx cosx x πϕ⎛⎫=++=+=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，其中5tan ϕ=，由此能求出()1f x 的取值范围． ()2不存在满足条件的实数0a ，1a ，⋯，2020a ，使得()()20202020120f f ==成立，利用反证法能进行证明． 【详解】()1Q 对于正整数n 与实数0a ，1a ，⋯，n a ，记()()()()10sin sin sin 22n n nx a x a f x x a ++=+++⋯+，00a =，13a π=，()()115sin 234f x sinx x sinx x πϕ⎛⎫∴=++==+ ⎪⎝⎭，x R ∈，其中tan ϕ=()1f x ∴的取值范围是.22⎡-⎢⎣⎦()2不存在满足条件的实数0a ，1a ，⋯，2020a ，使得()()20202020120f f ==成立．证明如下：假设存在实数0a ，1a ，⋯，2020a ，使得()()20202020120f f ==成立，①先证明002n f a π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，001020221111111111221sin sin sin 11012222222222212n n n n n nf a a a a a a a ππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=+-++-++⋯+-+≥---⋯-=-=> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-，②由()202020f =，即：()()()012020202011sin 11sin 11sin 11022a a a ⎡⎤⎤⎡⎡⎤++++++⋯+++=⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎦⎣⎣⎦， 用两角和正弦公式展开整理，得：()()()][()()()0120200120202020202011111cos 1cos 1cos 11sin 1sin 1sin 12222sin a a a cos a a a ⎡⎤⨯++++⋯+++⨯++++⋯++⎢⎥⎣⎦，即()()()()01202020202020111cos 1cos 1111022sin a a a cos f ⎡⎤⨯++++⋯+++⨯=⎢⎥⎣⎦， ()202010f =Q ，从而()()()012020202011cos 1cos 1cos 1022a a a ++++⋯++=，下面说明()20200f x =对所有x 都成立，()()()()2020012020202011sin sin 22f x x a x a x a =++++⋯++()()()012020202011sin 11sin 11sin 1122x a x a x a ⎡⎤⎤⎡⎡⎤=-+++-+++⋯+-+⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎦⎣⎣⎦()()()()012020202011sin 1cos 1cos 1cos 122x a a a ⎡⎤=-++++⋯++⎢⎥⎣⎦()()()()012020202011cos 1sin 1sin 1sin 1022x a a a ⎡⎤+-++++⋯++=⎢⎥⎣⎦，这与002n f a π⎛⎫->⎪⎝⎭矛盾． ∴假设不成立，∴不存在满足条件的实数0a ，1a ，⋯，2020a ，使得()()20202020120f f ==成立．【点睛】本题考查函数的取值范围的求法，考查满足条件的是否存在的判断与证明，考查两角和正弦公式、三角函数恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，属于难题． 22．已知函数()()()ln ,,01ax x b f x x b a b a +-=>>+.（1）求()f x 的最小值()g a ； （2）若数列{}n x满足：11ln 2n n x x +⎛⎫=-⎪⎝⎭且对任意正整数n ，12nx ≠.证明：1220211010x x x +++≥L . 【答案】（1）()()1,0111ln ,11a b a a g a ab a a a ⎧+<≤⎪⎪+=⎨++⎪>⎪+⎩；（2）证明见解析.【解析】(1) 去掉绝对值号可得分段函数，当1x b ≥+时，()f x ()1ln 11a x xb a a =+-++单调递增，当1x b <+时，利用导数研究函数的单调性及极值，由此能求出()f x 的最小值()g a ．（21ln 2n n x ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎭从而()()111,111a b ab lna ab lnag a min a a a ⎧⎫+++++≥=⎨⎬+++⎩⎭，进而12≥+=+，迭代即可证明结论．【详解】(1()()ln )(,,0).1ax x b f x x b a b a +-=>>+Q()f x ∴()()1ln ,1111ln ,111a x x b x b a a a x x b x b a a ⎧+-≥+⎪⎪++=⎨⎪--<+⎪++⎩，当1x b ≥+时，()()1ln 11a f x x x b a a =+-++单调递增， 当1x b <+时，()()1ln 11a f x x xb a a =--++， ()f x '1111a a a x b=-⋅++-，令()f x '0>，得1x b a>+， 若1a >时，11b b a +<+，即()f x 在1,b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，1,b a ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭单调递增，此时()11()1min ab lnag a f x f b a a ++⎛⎫==+=⎪+⎝⎭， 若01a <≤时，11b b a+>+，即()f x 在(),1b b +上单调递减，()1,b ++∞单调递增， 此时，()()()1()11min a b g a f x f b a +==+=+．综上所述，()f x 的最小值()g a ()1,0111,11a b a a ab lna a a ⎧+<≤⎪⎪+=⎨++⎪>⎪+⎩．(2)证明：数列{}n x满足：11ln 2n n x x +⎛⎫=- ⎪⎝⎭1ln 2n n x ⎛⎫⎛⎫=-+⎪ ⎪⎝⎭⎭， 由(1)知，()()111,111a b ab lna ab lna g a min a a a ⎧⎫+++++≥=⎨⎬+++⎩⎭， ()f x∴1ln 2x ⎛⎫⎛⎫=-+≥⎪ ⎪⎝⎭⎭12≥=+∴对任意正整数n ，12n x ≠，1220211010x x x ++⋯+≥+ 【点睛】本题考查函数的最小值的求法，考查不等式的证明，考查函数的单调性、导数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于难题．。
2020届浙江省温州中学高三下学期3月高考模拟测试数学试题
浙江省温州中学2020年3月高考模拟测试高三数学试卷参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()C 1n kk k n n P k p p -=-（0k =，1，2，…，n ）台体的体积公式()1213V h S S =+其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高椎体的体积公式13V Sh = 其中S 表示椎体的底面积，h 表示椎体的高 球的表面积公式24S R π=球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径第I 卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =<，集合{}2log 0B x x =<，则A B I 等于（ ）A. ()0,1B. ()1,0-C. ()1,1-D. (),1-∞-2.在平面直角坐标系中，经过点P，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A. 22142x y -=B. 221714x y -=C. 22136x y -=D. 221147y x -=3.设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A. 7B. 5C. 3D. 24.若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( )1B.121D.125.“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件6.函数ln ()xf x x=的图象大致为（ ） A. B.C. D.7.本次模拟考试结束后，班级要排一张语文、数学、英语、物理、化学、生物六科试卷讲评顺序表，若化学排在生物前面，数学与物理不相邻且都不排在最后，则不同的排表方法共有（ ） A. 72种B. 144种C. 288种D. 360种8.已知随机变量X 分布列如下表：其中a ，b ，0c >.若X 方差()13D X ≤对所有()0,1ab ∈-都成立，则（ ） A. 13b ≤B. 23b ≤C. 13b ≥D. 23b ≥9.的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将体积为43π的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋（球体）离蛋巢底面的最短距离为（ ）A.12 B.12C.12D.1210.设α，β是方程210x x --=的两个不等实数根，记n nn a αβ=+（n *∈N ）.下列两个命题（ ）①数列{}n a 任意一项都是正整数；②数列{}n a 存在某一项是5的倍数. A. ①正确，②错误 B. ①错误，②正确 C. ①②都正确D. ①②都错误第II 卷（非选择题共110分）的的二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题4分，共36分.11.《九章算术》中记载了“今有共买豕，人出一百，盈一百；人出九十，适足．问人数、豕价各几何？”.其意思是“若干个人合买一头猪，若每人出100，则会剩下100；若每人出90，则不多也不少．问人数、猪价各多少？”.设,x y 分别为人数、猪价，则x =___，y =___.12.某几何体的三视图如图所示（单位：cm ），则该几何体的表面积是______2cm ，体积是_____3cm .13.已知多项式(2)(1)m nx x ++=2012m n m n a a x a x a xL ++++++满足01416a a ==，，则m n +=_________，012m n a a a a +++++=L __________．14.在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，S 为ABC ∆的面积，若2cos c a B =，221124S a c =-，则ABC ∆的形状为__________，C 的大小为__________．15.已知0x >，1y >-，且1x y +=，则2231x y x y +++最小值为__________． 16.已知12,F F 为椭圆22:143x y C +=的左、右焦点、点P 在椭圆C 上移动时、12PF F ∆的内心I 的轨迹方程为__________．17.如图，在等腰三角形ABC 中，已知1AB AC ==，120A ∠=︒，E F 、分别是边AB AC 、上的点，且,AE AB AF AC λμ==u u u v u u u v u u u v u u u v,其中(),0,1λμ∈且41λμ+=，若线段EF BC 、的中点分别为M N 、，则MN u u u u v的最小值是_____.三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.18.已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.19.如图，四棱锥P ﹣ABCD 的底面是梯形．BC ∥AD ，AB ＝BC ＝CD ＝1，AD ＝2，PB =，PA PC == （Ⅰ）证明；AC ⊥BP ；（Ⅱ）求直线AD 与平面APC 所成角的正弦值．20.已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，n a =*n N ∈，且2n ≥）（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：当2n ≥时，12311113232n a a a na ++++<L 21.已知直线:l y kx m =+与椭圆22221(0)x y a b a b +=>>恰有一个公共点P ，l 与圆222x y a +=相交于,A B 两点.（I ）求k 与m 的关系式；（II ）点Q 与点P 关于坐标原点O 对称.若当12k =-时，QAB ∆的面积取到最大值2a ，求椭圆的离心率.的22.已知2()2ln(2)(1)()(1)f x x x g x k x =+-+=+，.（1）求()f x 的单调区间；（2）当2k =时，求证：对于1x ∀>-，()()f x g x <恒成立；（3）若存在01x >-，使得当0(1,)x x ∈-时，恒有()()f x g x >成立，试求k 的取值范围.。
【精准解析】浙江省温州中学2020届高三下学期3月模拟测试数学试题
浙江省温州中学2020年3月高考模拟测试高三数学试卷参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+ 如果事件A ，B 相互独立，那么()()()P A B P A P B +=+如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()C 1n kk k n n P k p p -=-（0k =，1，2，…，n ）台体的体积公式()112213V h S S S S =+ 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 柱体的体积公式V Sh =其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 椎体的体积公式13V Sh =其中S 表示椎体的底面积，h 表示椎体的高 球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径第I 卷（选择题，共40分）一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}21A x x =<，集合{}2log 0B x x =<，则A B 等于（ ）A. 0,1B.1,0C. ()1,1-D.(),1-∞-【答案】A 【解析】 【分析】先化简集合,A B ,再求其交集.【详解】根据题意可得集合{}11A x x =-<<,集合{}01B x x =<<,()0,1A B ∴=,故选:A.【点睛】本题考查交集运算,考查解不等式,属于简单题.2.在平面直角坐标系中，经过点P ，渐近线方程为y =的双曲线的标准方程为（ ）A. 22142x y -=B. 221714x y -=C. 22136x y -=D.221147y x -= 【答案】B 【解析】 【分析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =，可设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．再把点(代入，求得 k 的值，可得要求的双曲线的方程．【详解】∵双曲线的渐近线方程为y =∴设所求双曲线的标准方程为222x y -=k ．又(在双曲线上，则k=16-2=14,即双曲线的方程为222x y 14-=，∴双曲线的标准方程为22x y 1714-=故选B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3.设变量,x y 满足约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值是（ ）A. 7B. 5C. 3D. 2【答案】B 【解析】 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】画出约束条件22390x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，表示的可行域，如图，由20 2390x y x y +-=⎧⎨--=⎩可得31x y =⎧⎨=-⎩，将2z x y =+变形为2y x z =-+， 平移直线2y x z =-+，由图可知当直2y x z =-+经过点()3,1-时， 直线在y 轴上的截距最大，z 最大值为2315z =⨯-=，故选B.【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.4.若复数12z i =+，2cos isin ()z ααα=+∈R ，其中i 是虚数单位，则12||z z -的最大值为( )1 1【答案】C 【解析】 【分析】由复数的几何意义可得12z z -表示复数12z i =+，2cos sin z i αα=+对应的两点间的距离，由两点间距离公式即可求解.【详解】由复数的几何意义可得，复数12z i =+对应的点为()2,1，复数2cos sin z i αα=+对应的点为()cos ,sin αα，所以121z z -=，其中tan φ2=， 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义，由复数的几何意义，将12z z -转化为两复数所对应点的距离求值即可，属于基础题型. 5.“”αβ≠是”cos cos αβ≠的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】分别判断充分性和必要性得到答案.【详解】cos cos αβαβ=⇒=所以cos cos αβαβ≠⇒≠ （逆否命题）必要性成立当cos cos αβαβ=-⇒=，不充分 故是必要不充分条件，答案选B【点睛】本题考查了充分必要条件，属于简单题. 6.函数ln ()xf x x=的图象大致为（ ） A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】抓住这几个选项的相同点和不同点，比如()0,1x ∈时()f x 的正负性和单调性等进行判断。
2016-2017年浙江省温州市龙湾艺术学校高三(下)3月月考数学试卷(理科)(解析版)
2016-2017学年浙江省温州市龙湾艺术学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}，则A∩B＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）2．（5分）若复数z＝（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数（i为虚数单位），则tan（θ﹣）的值为（）A．7B．C．﹣7D．﹣7或3．（5分）下列命题中，是真命题的是（）A．∃x0∈R，e x0≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a+b＝0的充要条件是＝﹣1D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件4．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1＝2且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5＝（）A．32B．62C．27D．815．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）＝cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称6．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）A．1B．C．D．7．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+1）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（31）＝（）A．0B．1C．﹣1D．28．（5分）若如图框图所给的程序运行结果为S＝41，则图中的判断框（1）中应填入的是（）A．i＞6？B．i≤6？C．i＞5？D．i＜5？9．（5分）设F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知变量x，y满足，若目标函数z＝ax+y（a＞0）取到最大值6，则a的值为（）A．2B．C．或2D．﹣211．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．πC．12πD．π12．（5分）定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（）A．8＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜3二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知m＝3sin xdx，则二项式（a+2b﹣3c）m的展开式中ab2c m﹣3的系数为．14．（5分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足，则＝．15．（5分）双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+y2﹣6x+5＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为．16．（5分）函数f（x）＝|cos x|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则＝．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（12分）已知A、B、C、D为同一平面上的四个点，且满足AB＝2，BC＝CD＝DA＝1，∠BAD＝θ，△ABD的面积为S，△BCD的面积为T．（1）当θ＝时，求T的值；（2）当S＝T时，求cosθ的值．18．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（2）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下．（i）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．19．（12分）如图几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝，且EC⊥BD，（Ⅰ）设AC，BD相交于点O，求证：直线EO⊥平面ABCD；（Ⅱ）设M是棱AE的中点，求二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点，当AB⊥x轴时，△ABF的周长最大值为8．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点M（﹣4，0），求当△ABF面积最大时直线AB的方程．21．（12分）已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|P A|•|PB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．2016-2017学年浙江省温州市龙湾艺术学校高三（下）3月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}，则A∩B＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[﹣1，2）D．（﹣1，2）【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}＝{x|﹣1≤x≤3}＝[﹣1，3]，B＝{x|y＝ln（2﹣x）}＝{x|2﹣x＞0}＝{x|x＜2}＝（﹣∞，2）；∴A∩B＝[﹣1，2）．故选：C．2．（5分）若复数z＝（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数（i为虚数单位），则tan（θ﹣）的值为（）A．7B．C．﹣7D．﹣7或【解答】解：∵复数z＝（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数，∴cosθ﹣＝0，sinθ﹣≠0，∴sinθ＝﹣，∴tanθ＝﹣．则tan（θ﹣）＝＝＝﹣7．故选：C．3．（5分）下列命题中，是真命题的是（）A．∃x0∈R，e x0≤0B．∀x∈R，2x＞x2C．已知a，b为实数，则a+b＝0的充要条件是＝﹣1D．已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件【解答】解：A．∵∀x∈R，e x＞0，∴∃x0∈R，e x0≤0为假命题，B．当x＝2时，2x＝x2，则∀x∈R，2x＞x2不成立，故B为假命题．C．当a＝b＝0时，满足a+b＝0但＝﹣1不成立，故C为假命题，D．当a＞1，b＞1时，ab＞1成立，即a＞1，b＞1是ab＞1的充分条件，故D为真命题，故选：D．4．（5分）在各项均为正数的等比数列{a n}中，a1＝2且a2，a4+2，a5成等差数列，记S n是数列{a n}的前n项和，则S5＝（）A．32B．62C．27D．81【解答】解：设各项均为正数的等比数列{a n}的公比为q，又a1＝2，则a2＝2q，a4+2＝2q3+2，a5＝2q4，∵a2，a4+2，a5成等差数列，∴4q3+4＝2q+2q4，∴2（q3+1）＝q（q3+1），由q＞0，解得q＝2，∴．故选：B．5．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，且其图象向左平移个单位后得到函数g（x）＝cosωx的图象，则函数f（x）的图象（）A．关于直线x＝对称B．关于直线x＝对称C．关于点（，0）对称D．关于点（，0）对称【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为π，∴＝π，∴ω＝2．把其图象向左平移个单位后得到函数g（x）＝cosωx＝sin（2x++φ）的图象，∴+φ＝kπ+，k∈Z，∴φ＝﹣，∴f（x）＝sin（2x﹣）．由于当x＝时，函数f（x）＝0，故A不满足条件，而C满足条件；令x＝，求得函数f（x）＝sin＝，故B、D不满足条件，故选：C．6．（5分）甲、乙、丙、丁、戊五位同学站成一排照相留念，则在甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为（）A．1B．C．D．【解答】解：甲乙相邻的排队顺序共有＝48种，其中甲乙相邻，甲丙相邻的排队顺序共有＝12种，∴甲乙相邻的条件下，甲丙也相邻的概率为．故选：B．7．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+1）＝f（1﹣x），且当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），则f（31）＝（）A．0B．1C．﹣1D．2【解答】解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足f（﹣x）＝﹣f（x），f（x+1）＝f（1﹣x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝﹣f（﹣x）＝f（x），∵当x∈[0，1]时，f（x）＝log2（x+1），∴f（31）＝f（32﹣1）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣log22＝﹣1．故选：C．8．（5分）若如图框图所给的程序运行结果为S＝41，则图中的判断框（1）中应填入的是（）A．i＞6？B．i≤6？C．i＞5？D．i＜5？【解答】解：模拟执行程序，可得i＝10，S＝1满足条件，执行循环体，第1次循环，S＝11，K＝9，满足条件，执行循环体，第2次循环，S＝20，K＝8，满足条件，执行循环体，第3次循环，S＝28，K＝7，满足条件，执行循环体，第4次循环，S＝35，K＝6，满足条件，执行循环体，第5次循环，S＝41，K＝5，此时S不满足输出结果，退出循环，所以判断框中的条件为k＞5．故选：C．9．（5分）设F1，F2为椭圆＝1的两个焦点，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则的值为（）A．B．C．D．【解答】解：椭圆＝1的a＝3，b＝，c＝＝2，由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|＝2a＝6，由中位线定理可得PF2⊥x轴，令x＝2，可得y＝±•＝±，即有|PF2|＝，|PF1|＝6﹣＝，则＝．故选：C．10．（5分）已知变量x，y满足，若目标函数z＝ax+y（a＞0）取到最大值6，则a的值为（）A．2B．C．或2D．﹣2【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：由，解得：，由z＝ax+y得：y＝﹣ax+z，当直线y＝﹣ax+z过A（1，4）时，B（4，1），z最大，此时，6＝a+4，或6＝4a+1，解得：a＝2或a＝，当a＝2时，z可在（4，1）取到最大值9，不符合题意故选：B．11．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体外接球的表面积为（）A．8πB．πC．12πD．π【解答】解：根据三视图得出：该几何体是镶嵌在正方体中的四棱锥O﹣ABCD，正方体的棱长为2，A，D为棱的中点根据几何体可以判断：球心应该在过A，D的平行于底面的中截面上，设球心到截面BCO的距离为x，则到AD的距离为：2﹣x，∴R2＝x2+（）2，R2＝12+（2﹣x）2，解得出：x＝，R＝，该多面体外接球的表面积为：4πR2＝π，故选：D．12．（5分）定义在区间（0，+∞）上的函数f（x）使不等式2f（x）＜xf′（x）＜3f（x）恒成立，其中f′（x）为f（x）的导数，则（）A．8＜＜16B．4＜＜8C．3＜＜4D．2＜＜3【解答】解：令g（x）＝，则g′（x）＝＝，∵xf′（x）＜3f（x），即xf′（x）﹣3f（x）＜0，∴g′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，即有g（x）在（0，+∞）递减，可得g（2）＜g（1），即＜，由2f（x）＜3f（x），可得f（x）＞0，则＜8；令h（x）＝，h′（x）＝＝，∵xf′（x）＞2f（x），即xf′（x）﹣2f（x）＞0，∴h′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，即有h（x）在（0，+∞）递增，可得h（2）＞h（1），即＞f（1），则＞4．即有4＜＜8．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．（5分）已知m＝3sin xdx，则二项式（a+2b﹣3c）m的展开式中ab2c m﹣3的系数为﹣6480．【解答】解：∵m＝3sin xdx＝﹣3cos x＝6，∴二项式（a+2b﹣3c）6 ＝[（2b﹣3c）+a]6展开式中含ab2c3的项为•a•（2b﹣3c）5；对于（2b﹣3c）5，含b2c3的项为•（2b）2•（﹣3c）3，故含ab2c3的项的系数为•22••（﹣3）3＝﹣6480．故答案为：﹣6480．14．（5分）在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝2，点D为AC中点，点E满足，则＝﹣2．【解答】解：如图，∵，∴＝，又D为AC中点，∴，则＝＝＝．故答案为：﹣2．15．（5分）双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线被圆x2+y2﹣6x+5＝0截得的弦长为2，则双曲线的离心率为．【解答】解：双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，圆x2+y2﹣6x+5＝0即为（x﹣3）2+y2＝4，圆心为（3，0），半径为2，圆心到渐近线的距离为d＝，由弦长公式可得2＝2，化简可得a2＝2b2，即有c2＝a2+b2＝a2，则e＝＝．故答案为：．16．（5分）函数f（x）＝|cos x|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，设四个交点中横坐标最大值为θ，则＝﹣2．【解答】解：∵函数f（x）＝|cos x|（x≥0）的图象与过原点的直线恰有四个交点，∴直线与函数y＝|cos x|（x≥0）在区间（，2π）内的图象相切，在区间（，2π）上，y的解析式为y＝cos x，故由题意切点坐标为（θ，cosθ），∴切线斜率k＝y′＝﹣sin x|x＝θ＝﹣sinθ，∴由点斜式得切线方程为：y﹣cosθ＝﹣sinθ（x﹣θ），∴y＝﹣sinθx+θsinθ+cosθ，∵直线过原点，∴θsinθ+cosθ＝0，得θ＝﹣，∴＝＝﹣（tanθ+）sin2θ＝﹣（+）•2sinθcosθ＝﹣2（sin2θ+cos2θ）＝﹣2．故答案为：﹣2．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．17．（12分）已知A、B、C、D为同一平面上的四个点，且满足AB＝2，BC＝CD＝DA＝1，∠BAD＝θ，△ABD的面积为S，△BCD的面积为T．（1）当θ＝时，求T的值；（2）当S＝T时，求cosθ的值．【解答】解：（1）在△ABD中，由余弦定理得BD2＝AB2+AD2﹣2AB•AD cosθ＝3，∴BD＝，在△BCD中，由余弦定理得cos∠BCD＝＝＝﹣，∴∠BCD＝120°，∴T＝＝＝．（2）S＝，BD2＝AD2+AB2﹣2AD•AB cosθ＝5﹣4cosθ，cos∠BCD＝＝，T＝＝，∵S＝T，∴sinθ＝，∴4sin2θ＝sin2∠BCD＝1﹣cos2∠BCD＝1﹣（）2，解得cosθ＝．18．（12分）生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于82为正品，小于82为次品．现随机抽取这两种元件各100件进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计元件A，元件B为正品的概率；（2）生产一件元件A，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件元件B，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元，在（1）的前提下．（i）记X为生产1件元件A和1件元件B所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；（ii）求生产5件元件B所获得的利润不少于140元的概率．【解答】解：（1）元件A为正品的概率约为．元件B为正品的概率约为．（2）（ⅰ）∵生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B正，A正B次，A次B次．∴随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15．∵P（X＝90）＝＝；P（X＝45）＝＝；P（X＝30）＝＝；P（X＝﹣15）＝＝．∴随机变量X的分布列为：EX＝．（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5﹣n件．依题意得50n﹣10（5﹣n）≥140，解得．所以n＝4或n＝5．设“生产5件元件B所获得的利润不少于140元”为事件A，则P（A）＝＝．19．（12分）如图几何体E﹣ABCD是四棱锥，△ABD为正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CE＝1，AB＝AD＝AE＝，且EC⊥BD，（Ⅰ）设AC，BD相交于点O，求证：直线EO⊥平面ABCD；（Ⅱ）设M是棱AE的中点，求二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值．【解答】证明：（1）∵△ABD为正三角形，∠BCD＝120°，CB＝CD＝CE＝1，∴AC⊥BD，且CO＝，AO＝，连接EO，则，∴EO⊥AC，又∵O是BD中点，故EO⊥BD，∵AC∩BD＝O，∴直线EO⊥平面ABCD．解：（2）如图，以O为原点，OA为x轴，OB为y轴，OE为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，，0），D（0，﹣，0），C（﹣，0，0），M（，0，），＝（），，设DBM的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得（﹣，0，1），＝（），＝（），同理得平面CBM的法向量，设二面角D﹣BM﹣C的平面角为θ，则cosθ＝＝．故二面角D﹣BM﹣C的平面角的余弦值为．20．（12分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，直线与椭圆相交于A，B两点，当AB⊥x轴时，△ABF的周长最大值为8．（1）求椭圆的方程；（2）若直线过点M（﹣4，0），求当△ABF面积最大时直线AB的方程．【解答】解：（1）由题意可知：设椭圆的右焦点F2，由椭圆的定义可知：丨AF丨+丨AF2丨＝2a，丨BF丨+丨BF2丨＝2a，△ABF的周长丨AF丨+丨BF丨+丨AB丨≤丨AF丨+丨AF2丨+丨BF丨+丨BF2丨＝4a，当且仅当AB过F2，等号成立，∴4a＝8，a＝2，离心率e＝＝，则c＝1，b2＝a2﹣c2＝3，∴椭圆方程为：；（2）设直线AB的方程为：x＝my﹣4，设A（x1，y1）B（x2，y2），∴，整理得：（4+3m2）y2﹣24my+36＝0，则△＝576m2﹣4×36×（4+3m2）＝144（m2﹣4）＞0，由韦达定理可知：y1+y2＝，y1•y2＝，丨AB丨＝•，F到AB的距离d＝＝，∴S△ABF＝•d•丨AB丨＝•••，＝，令t＝（t＞0），S△ABF＝＝≤＝，当且仅当3t＝，即m＝±时，等号成立，∴直线AB的方程为：3x﹣2y+12＝0或3x+2y+12＝0．21．（12分）已知函数f（x）＝a x+x2﹣xlna（a＞0且a≠1）（1）求函数f（x）单调递增区间；（2）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）的定义域为R，f'（x）＝a x lna+2x﹣lna＝2x+（a x﹣1）lna．令h（x）＝f'（x）＝2x+（a x﹣1）lna，h'（x）＝2+a x ln2a，当a＞0，a≠1时，h'（x）＞0，所以h（x）在R上是增函数，…（2分）又h（0）＝f'（0）＝0，所以，f'（x）＞0的解集为（0，+∞），f'（x）＜0的解集为（﹣∞，0），故函数f（x）的单调增区间为（0，+∞），单调减区间为（﹣∞，0）…（4分）（2）因为存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1成立，而当x∈[﹣1，1]时|f（x1）﹣f（x2）|≤f（x）max﹣f（x）min，所以只要f（x）max﹣f（x）min≥e﹣1…（6分）又因为x，f'（x），f（x）的变化情况如下表所示：所以f（x）在[﹣1，0]上是减函数，在[0，1]上是增函数，所以当x∈[﹣1，1]时，f（x）的最小值f（x）min＝f（0）＝1，f（x）的最大值f（x）max为f（﹣1）和f（1）中的最大值．…（8分）因为f（1）﹣f（﹣1）＝a﹣﹣2lna，令g（a）＝a﹣﹣2lna（a＞0），因为g′（a）＝＞0，所以g（a）＝a﹣﹣2lna在a∈（0，+∞）上是增函数．而g（1）＝0，故当a＞1时，g（a）＞0，即f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，g（a）＜0，即f（1）＜f（﹣1）…（10分）所以，当a＞1时，f（1）﹣f（0）≥e﹣1，即a﹣lna≥e﹣1，而函数y＝a﹣lna在a∈（1，+∞）上是增函数，解得a≥e；当0＜a＜1时，f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1，即+lna≥e﹣1，函数y＝+lna在a∈（0，1）上是减函数，解得0＜a≤．综上可知，所求a的取值范围为（0，]∪[e，+∞）．…（12分）请考生在第（22）、（23）二题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P 的直角坐标为（1，2），点M的极坐标为，若直线l过点P，且倾斜角为，圆C以M为圆心，3为半径．（Ⅰ）求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|P A|•|PB|．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），（答案不唯一，可酌情给分）圆的极坐标方程为ρ＝6sinθ．（5分）（Ⅱ）把代入x2+（y﹣3）2＝9，得，设点A，B对应的参数分别为t1，t2，∴t1t2＝﹣7，则|P A|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴|P A|•|PB|＝7．（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数的定义域为R．（Ⅰ）求实数m的范围；（Ⅱ）若m的最大值为n，当正数a，b满足时，求4a+7b的最小值．【解答】解：（Ⅰ）∵函数的定义域为R，|x+2|+|x﹣4|≥|（x+2）﹣（x﹣4）|＝6，∴m≤6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知n＝6，由柯西不等式知，4a+7b＝＝，当且仅当时取等号，∴4a+7b的最小值为．。
浙江省温州中学高三数学3月月考试题 理 新人教A版
高三理科数学试卷本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页.满分150分，考试时间120分钟.请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.参考公式：如果事件,A B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件,A B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 棱锥的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 13V Sh =n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()(1),(0,1,2,,)k kn k n n P k C p p k n -=-= 棱台的体积公式球的表面积公式 )(312211S S S S h V++=24S R π= 其中S 1、S 2分别表示棱台的上、下底面积，球的体积公式 h 表示棱台的高334R V π= 其中R 表示球的半径选择题部分（共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知集合{2}x A x y ==，{|B y y ==，则A B =( )A ．{0}x x >B ．{0}x x ≥C ．{24}x x x ≤≥或D ．{024}x x x <≤≥或2．已知函数()222,02,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-≥⎩.若()()0f a f a -+≤，则a 的取值范围是( )A ．[]1,1-B ．[2,0]-C ．[]0,2D ．[]2,2-3．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是( )A ．13cmB ．33cmC ．53cmD ．73cm4．已知条件p ：34k =，条件q ：直线()21y k x =++与圆224x y +=相切，则p 是q 的（ ）侧视图俯视图A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件5．将函数)(x f y =的图像向左平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为22cos y x =，则函数)(x f 的表达式可以是（ ）A ．x sin 2B ．x cos 2C ．x 2sinD ．x 2cos6．如图所示的程序框图，若执行运算111112345⨯⨯⨯⨯，则在空白的执行框中，应该填入（ ）A ．(1)T T i =⋅+B ．T T i =⋅7．从6名教师中选4名开发A 、B 、C 、D 四门课程，要求每门课程有一名教师开发，每名教师只开发一门课程，且这6名中甲、乙两人不开发A 课程，则不同的选择方案共有（ ） A ．300种 B ．240种 C ．144种 D ．96种8．在△ABC 中，(3)AB AC CB -⊥，则角A 的最大值为（ ）A ．6π B．4π C ．3π D ．2π9．已知点(0,0),(1,1)O A -，若F 为双曲线122=-y x 的右焦点，P 是该双曲线上且在第一象限的动点，则OA FP⋅的取值范围为（ ） A ．1,1)B ．C ．D ．)+∞10．如图，矩形ABCD 中，E 为边AD 上的动点，将△ABE沿直线BE 翻转成△A 1BE ，使平面A 1BE ⊥平面ABCD ，则点A 1的轨迹是（ ）A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．以上答案都不是非选择题部分（共100分）二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．二项式281(x x-的展开式中，含x 的项的系数是________.12．已知,x y 是实数,且2(2i-2)1i 0x x y ++-=(其中i 是虚数单位),则|i |x y +=_____. 13．甲、乙两人将参加某项测试，他们能达标的概率都是0.8，设随机变量ξ为两人中能达第10题图1A E DCBA标的人数，则ξ的数学期望E ξ为 ． 14．数列{}n a 满足*12211131,333n n a a a n n N +++=+∈,则=n a . 15．已知函数()'()sin cos ,6f x f x x π=+则()6f π的值为 .16．已知实数,x y 满足1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2x y 的最小值是 .17．设m 为不小于2的正整数，对任意n ∈Z ，若n qm r =+（其中q ，r ∈Z ，且0r m <≤），则记()m f n r =，如2(3)1f =，3(8)2f =.下列关于该映射:m f →Z Z 的命题中，正确的是 .①若a ，b ∈Z ，则()()()m m m f a b f a f b +=+②若a ，b ，k ∈Z ，且()()m m f a f b =，则()()m m f ka f kb =③若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f a c f b d +=+ ④若a ，b ，c ，d ∈Z ，且()()m m f a f b =，()()m m f c f d =，则()()m m f ac f bd = 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 18．（本题满分14分）在ABC ∆中，A C AC BC sin 2sin ,3,5===（Ⅰ）求AB 的值； （Ⅱ）求ABC ∆的面积.19．（本题满分14分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且213,21,2a a 成等差数列，632,31,a a a 成等比数列.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）已知nn a b 1log 3=，记12n n S b b b =+++，111111111111133636n nT S =+++++++++++,求证：20141013.T <20．（本题满分14分）四棱锥P ABCD -底面是菱形，PA ABCD 平面⊥，60ABC ︒∠=,,E F 分别是,BC PC 的中点.（Ⅰ）求证: 平面AEF ⊥平面PAD ；（Ⅱ）H 是PD 上的动点，EH 与平面PAD所成的最大角为45︒，求二面角E AF C --的正切值.21.（本题满分15分）抛物线2:4C x y =，直线AB 过抛物线C 的焦点F ，交x 轴于点P .（Ⅰ）求证：2PF PA PB =⋅；（Ⅱ）过P 作抛物线C 的切线，切点为D （异于原点）， （i ）,,DA DF DB k k k 是否恒成等差数列，请说明理由； （ii ）ABD ∆重心的轨迹是什么图形，请说明理由.22．（本题满分15分）已知32()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈） （Ⅰ）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由．理科数学参考答案2014.3 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分.11．-56 12．1.6 14．112,13,2nnn+=⎧⎨≥⎩15．-1 16．4 17．②③④三、解答题：18（本小题满分14分）解：（Ⅰ）319．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）13n na=20.四棱锥P-ABCD底面是菱形，PA⊥面ABCD，∠ABC=060,E,F分别是BC,PC的中点.（1）求证: 面AEF⊥面PAD（2）H是PD上的动点，EH与面PAD所成的最大角为045，求二面角E-AF-C的正切值.(1)设菱形ABCD的边长为2a，则22202(2)22cos603,AE a a a a a=+-⋅=222BE AE AB+=,∴AE⊥BC,又AD||BC, ∴AE⊥AD.∵PA⊥面ABCD, ∴PA⊥AE,AE⊥面PAD, ∴面AEF⊥面PAD.（2）过E作EQ⊥AC，垂足为Q，过作QG⊥AF，垂足为G，连GE，∵PA⊥面ABCD，∴PA⊥EQ,EQ ⊥面PAC，则∠EGQ是二面角E－AF－C的平面角.过点A作AH⊥PD，连接EH，∵ AE⊥面PAD，∴∠AHE是EH与面PAD所成的最大角.∵∠AHE＝045，∴AH＝AE＝，AH﹒PD＝PA﹒AD，2a﹒PA=﹒,CQ=12a,tan∠EGQ=23EQGQ=.21.(1) 即证121y y= (2) 能抛物线24(2)3x y=-22．（本题满分15分）已知32()()ln(1)f x x ax x a =-+-（a R ∈） （Ⅰ）若方程()0f x =有3个不同的根，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，是否存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =，若存在，求实数a 的值，若不存在，说明理由． （Ⅰ）解：由()0f x =得：30x ax -=或2ln(1)0x a +-= 可得0x =或2x a =且210x a +-> ∵方程()0f x =有3个不同的根，∴方程2x a =有两个不同的根 ∴0a >又∵210x a +->，且要保证x 能取到0∴10a -> 即1a < ∴01a <<．（Ⅱ）解：∵222222()()(3)ln(1)1x x a f x x a x a x a -'=-+-++-令2x t =，设2()()(3)ln(1)()1t t a g t t a t a f x t a-'=-+-+=+-∴(0)ln(1)0g a a =-->2(1)(1)(3)ln(2)2a g a a a-=--+- ∵01a << ∴21a -> ∴(1)0g >()0g a =2()2()ln(1)ln(1)22222212a a a a a a a a g a a ⋅-=-+=---- ∵01a << ∴11122a <-<，20a -> ∴()02ag <∴存在1(0,)2a t ∈，使得1()0g t =，另外有(,1)2aa ∈，使得()0g a =假设存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x =则存在1x ∈，使得1()0f x '=，另外有0f '=，即2x =∴1x =，∴0f '=，即3()324ln(1)034414a a a a a ⋅---+=- 即333(1)ln(1)0442a a a --+= （*）设333()(1)ln(1)442h a a a a =--+∴3333333()ln(1)ln(1)4442444h a a a '=---+=--+∵01a << ∴3ln(1)04a -<∴()0h a '> ∴()h a 在(0,1)上是增函数 ∴()(0)0h a h >=∴方程（*）无解，即不存在实数a ，使得()f x 在(0,1)上恰有两个极值点12,x x ，且满足212x x。
浙江省温州市高三数学3月模拟试题-人教版高三全册数学试题
（第4题）浙江省温州市2017届高三数学3月模拟试题考试时间：120分钟 试题分值：满分150分选择题部分（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.当213m <<时，复数(32)(1)z m m i =-+-在平面上对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2. 函数22()lg(352)1f x x x x=+-++-的定义域是 A.),31(+∞- B.)1,31(- C.)31,31(- D.)31,(--∞3.在△ABC 中，“3sin A >”是“3A >π”的 A.充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C.充要条件D ．既不充分也不必要条件4. 已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象如右图所示，将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为A ．()sin 2g x x =B ．()cos 2g x x =C ．()sin(2)6g x x π=+D ．2()sin(2)3g x x π=+5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，134+30,120,a a S ==设31log n n b a =+，那么数列{}n b 的前15项和为A.152B.135C.80D.16B第8题图6.已知,a b 为单位向量，||2||a b a b +=-，则a 在a b +的投影为A．13B ．3-C ．D ．3 7.已知函数1,0()ln ,0kx x f x x x +≤⎧=⎨>⎩，则函数(())1y f f x =+的零点个数的判断正确的是A.当0k >时，有4个零点；当0k <时，有1个零点B.无论k 为何值，均有2个零点C.当0k >时，有3个零点；当0k <时，有2个零点D.无论k 为何值，均有4个零点8.如图，扇形AOB 中，1,90OA AOB =∠=，M 是OB 中点，P 是弧AB 上的动点，N 是线段OA 上的动点，则PM PN ⋅的最小值为A ．0B ．12-CD ．1非选择题部分（共110分）二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分. 9. 已知集合{}22x x y x A -==，{}R x y y B x ∈==,2，则A = ▲ ；=B A C R )( ▲ ．10.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若141,20,2a S ==则d = ▲ ，6=S ▲ . 11.函数2()2cos cos(2)13f x x x π=++-，则函数的最小正周期为 ▲ ，在[0,]π内的一条对称轴方程是 ▲ .12.设1232,2,()=log (1),2,x e x f x x x -⎧<⎪⎨-≥⎪⎩则((1))f f = ▲ ，不等式()2f x >的解集为 ▲ .13. 由5个元素构成的集合{4,3,1,0,1}M =-，记M 的所有非空子集为1231......,M M M 、 每一个(1,2,...,31)i M i =中所有元素的积为i m ，则1231...m m m +++= ▲ . 14. 平面向量,,a b e 满足1,1,2,2e a e b e a b =⋅=⋅=-=，则a b ⋅的最小值为 ▲ ． 15.设n S 为数列{}n a 的前n 项和，1(1),,2nn n nS a n N +=--∈则123100...S S S S ++++=▲ 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本题满分14分）已知命题:p 方程012=++mx x 有两个不等的负实根，命题:q 方程01)2(442=+-+x m x 无实根，（1）若命题p 为真，求实数m 的取值范围；（2）若命题p 和命题q 一真一假，求实数m 的取值范围。
浙江省温州市龙湾中学2020届高三数学下学期3月月考试题含解析
浙江省温州市龙湾中学2020届高三数学下学期3月月考试题（含解析）参考公式：柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高锥体的体积公式：13V Sh =其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高台体的体积公式：()1213V S S h =+ 其中1S ，2S 分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高球的表面积公式：24V R π= 球的体积公式：343V R π=，其中R 表示球的半径一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合1,2,3,4S ，{}1,4M =，{}2,4N =，那么()()s sM N =（ ）A. {}3B. {}1,2C. {}1,2,3D. ∅【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的补集运算可求出s s M N ,，再根据并集运算即可求出结果. 【详解】由题意可知，{}2,3s M =，{}1,3s N =，所以()(){}1,2,3ssM N =.故选：C.【点睛】本题主要考查了集合的补集运算和并集运算，属于基础题. 2.已知动点P4=，则点P 的轨迹是（ ）A 双曲线B. 椭圆C. 抛物线D. 圆【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义即可求出结果.【详解】由双曲线的定义可知点P 的轨迹是以()()5,05,0-，为焦点，实轴长为4的双曲线. 故选：A.【点睛】本题主要考查了双曲线的定义，属于基础题. 3.复数132iz i-+=-的虚部为（ ） A.3 B. 3-C. 12i -D. 12-【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算，即可求出312z i =--，进而求出复数z 的虚部. 【详解】因为1331222i z i i -+==---，所以复数z 的虚部为12-.故选：D.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算和概念，属于基础题. 4.已知函数()y f x =的图象如图所示，其解析式可能是（ ）A. ()1sin ,,0y x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭B. ()1sin ,,0y x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠⎪⎝⎭C. ()1sin ,,0y x x x x x ππ⎛⎫=+-≤≤≠ ⎪⎝⎭D. ()1sin ,,0y x x x x x ππ⎛⎫=-+-≤≤≠ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由图像可知函数()y f x =的定义域为[)(],00,ππ-，是偶函数，且()0f x ≥，再结合选项即可求出结果.【详解】由图像可知函数()y f x =的定义域为[)(],00,ππ-，是偶函数，且()0f x ≥，当()0,1x ∈时，1sin 0y x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故选项A 错误； 当()1,x π∈时，1sin 0y x x x ⎛⎫=-<⎪⎝⎭，故选项B 错误； 当()0,x π∈时，1sin 0y x x x ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭，故选项D 错误； 综上可知，选项C 正确. 故选：C.【点睛】本题主要考查了函数图像，考查了学生的数形结合能力，属于基础题. 5.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A. 43B. 123C. 12 43【答案】B 【解析】【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体是底面边长为23的等边三角形，高为22的三棱锥，其中SO ⊥平面ABC ，SD BC ⊥，且D 是BC 的中点，SB SC =，22SO =，23BC =，2AO =，1DO =，根据勾股定理，以及三角形面积公式即可求出结果．【详解】根据几何体的三视图，可知该几何体是底面边长为23的等边三角形，高为22的三棱锥，如下图所示的S ABC -：其中SO ⊥平面ABC ，SD BC ⊥，且D 是BC 的中点，SB SC =，22SO =23BC =2AO =，1DO =，由勾股定理可知，23SA SB SC === 该几何体表面积为1112332233233123222⨯+⨯⨯+⨯=. 故选：B.【点睛】本题考查了运用空间思维能力解决空间几何体的方法，运用三视图得出空间几何体的结构特征是解题的关键．6.ABC ∆中，“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【详解】在三角形中，2222cos 2cos 212sin 12sin sin sin B A B A B A >⇔->-⇔<在ABC ∆中，22sin sin 0sin sin B A B A B A <⇔<<⇔<，所以“A B >”是“cos 2cos 2B A >”的充要条件． 故选：C ．【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的应用，利用正弦定理确定边角关系，注意三角形中大边对大角的关系的应用． 7.随机变量X 的分布列是若()336E X +=，则()D X =（ ） A. 0 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】由于分布列的概率之和为1，以及()336E X +=，列出关于,a b 的方程，再根据方差公式即可求出()D X ．详解】由题意可知，()111621321363a a b a b b ⎧⎧=⎪++=⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪-+++==⎩⎪⎩，又()()33336E X E X +=+=，所以()1E X =；所以()()()()2221112111212632D X =--⨯+-⨯+-⨯=.故选：B.【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列的性质、期望公式和方差公式的应用，考查计算能力，属于基础题．8.在正四面体A BCD -中，P 是AB 的中点，Q 是直线BD 上的动点，则直线PQ 与AC 所成角可能为（ ）A.12πB.4π C.512π D.2π 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与AC 所成角，在利用余弦定理可得242MQ x x =+-，易知PQ MQ =，所以在等腰三角形PMQ 中()2cos 0442QPM x x x ∠=≤≤+-，，即可求出33cos QPM ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦，，进而求出结果.【详解】取BC 的中点M ，连接MQ ，则//AC MQ ，所以QPM ∠为异面直线PQ 与AC 所成角，如下图所示：设正四面体A BCD -的棱长为4，()04BQ x x =≤≤，，在BMQ ∆中，22222cos6042MQ BM BQ BM BQ x x =+-⋅︒=+-， 在正四面体A BCD -中，易知PQ MQ =， 所以在等腰三角形PMQ 中，()2cos 0442QPM x x x∠=≤≤+-所以33cos QPM ∠∈⎣⎦，，所以异面直线PQ 与AC 所成角可能为512π. 故选：C.【点睛】本题主要考查了异面直线成角，余弦定理的应用，考查了空间几何中的动态问题，考查学生的应用能力和空间想象能力，属于中档题.9.已知平面向量,,a b c 满足()()2,21a b a b a c b c ==⋅=-⋅-=，则b c -的最小值为（ ）A.2B.2C.32D.12【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，易知a 与b 的夹角为60︒，设()=13a ，，()20b =，，(),c x y =，由()()21a c b c -⋅-=，可得221202x y x +-+=，所以原问题等价于，圆221202x y x +--+=上一动点与点()20，之间距离的最小值， 利用圆心和点()20，的距离与半径的差，即可求出结果.【详解】因为2a b a b ==⋅=，所以a 与b 的夹角为60︒，设()=13a ，，()20b =，，(),c x y =，因为()()21a c b c -⋅-=，所以221202x y x +-+=， 又(2b c x -=-所以原问题等价于，圆221202x y x +-+=上一动点与点()20，之间距离的最小值，又圆221202x y x +-+=的圆心坐标为1⎛ ⎝⎭，所以点()20，与圆221202x y x +--+==. 故选：A.【点睛】本题考查向量的模的最值的求法，考查向量的数量积的坐标表示，考查学生的转换思想和运算能力，属于中档题．10.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足()111n p p a n n +=+，则下列说法正确的是（ ）A. 当1p =-时，则2019S π<B. 当0p =时，则2019S π>C. 当12p =时，则20191S > D. 当1p =时，则20191S >【答案】B 【解析】 【分析】利用不等式放缩和裂项相消法对各选项进行分析和计算，即可求出结果. 【详解】对于选项A ，当1p =-时，()1111*11121n n a n N n n n===-≥∈+++， 所以20192019112019201922nn S aπ==≥⨯=>∑，故选项A 错误； 对于选项B ，当0p =时，()1*2n a n N n=∈， 又11ln 1n n ⎛⎫+< ⎪⎝⎭，所以()1ln 1ln 1ln 1122n n n a n ⎛⎫+=+-⎡⎤ ⎪⎣⎝⎭>⎦ 所以()()()()201920191ln 2ln1ln 3ln 2...ln 2019ln 2018ln 2020ln 202119n n S a =-+-++-+-⎡⎦>⎤⎣=∑1ln 20202π=>，故选项B 正确； 对于选项C ，当12p =时，()()31122211111=*111n a n N n n n n n n n n n ==≤-∈++⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以201920191111111111...1122320182019201920202020n n S a =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=≤-+-++-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故选项C 错误；对于选项D ，当12p =时，()()()21111=*111n a n N n n n n n n =<-∈+++， 所以201920191111111111...1122320182019201920202020n n S a =⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=<-+-++-+-=-< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑，故选项D 错误； 故选：B.【点睛】本题考查了不等式放缩和数列裂项相消法求和，考查了学生的综合分析能力，属于难题.二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.11.我国古代数学名著《算术书》中有如下问题：“分钱人二而多三，人三而少二，问几何人、钱几何？”.其大意是：已知人数及钱数各若干，若每人分得二钱，那么多了三钱；若每人分得三钱，则少两钱，那么一共有______人，______钱. 【答案】 (1). 5 (2). 13 【解析】 【分析】根据题意，设一共有x 人，列出方程()3232x x -+=，即可求出结果. 【详解】设一共有x 人，由题意可知，()3232x x -+=，解得5x =， 所以一共有5人，一共有25313⨯+=钱. 故答案为：(1). 5；(2). 13.【点睛】本题考查了对文字意思的理解和关系式的建立．属于基础题．12.若x ，y 满足约束条件1y xy ⎧≥⎨≤⎩，则2z x y =+的最小值是______；最大值是______.【答案】 (1). 1- (2). 3 【解析】 【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最小和最大值． 【详解】根据题意，作出可行域，如下图所示：在点()1,1A -处，2z x y =+取到最小值，最小值为-1； 在点()1,1B 处，2z x y =+取到最大值，最大值为3. 故答案为：(1)1-；(2) 3.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．13.在ABC ∆中，D 是BC 中点，4AB =，10BC =，7AD =，则ABC S ∆=______，sin 2sin BC=______. 【答案】 (1). 8633【解析】 【分析】在ABD △中，由余弦定理可得1cos 5B =-，进而求出sin B ，再利用1sin 2ABC S AB BC B ∆=⋅⋅，即可求出ABC S ∆； 在ABC 中，由余弦定理，可求出AC ，根据二倍角公式和正弦定理化简可得sin 22cos sin B AC BC AB=，由此即可求出结果. 【详解】在ABD △中，由余弦定理可知1625491cos 2455B +-==-⨯⨯，所以226sin =1cos B B -=， 所以1sin 862ABC S AB BC B ∆=⋅⋅= 在ABC 中，由余弦定理可知2222cos AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅，可得233AC =又sin 22sin cos 2cos sin s 3in 35B B B AC B C C AB =-==.故答案为：(1).86 (2) 33. 【点睛】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题.14.已知()()676524316701236722x y x y a x a x y a x y a x y a x y a y -+=++++++，则2a =______；0246a a a a +++=______.【答案】 (1). -144 (2). -363 【解析】 【分析】由二项式定理的通项公式，即可求出2a 的值；令1x y ==，则012367729a a a a a a ++++++=-……①；令1,1x y ==-，则0123673a a a a a a -+-++-=……②；两式相加即可求出结果.【详解】由二项式定理的通项公式可知4221566222144C C a =⨯-⨯=-； 令1x y ==，则()()60123677291221a a a a a a +++++++==--……①； 令1,1x y ==-，则()()601236712213a a a a a a -+-++-=+-=……②；①+②，可得()02462726a a a a +++=-，所以0246363a a a a +++-=.故答案：(1) -144； (2)-363. 【点睛】本题主要考查了二项式定理的通项公式以及性质的应用，属于基础题.15.设函数()3,,x x x af x x x a ⎧-≤=⎨->⎩，若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围为______.【答案】23 a <【详解】由题意可知，函数3y x x =-的导数为231y x '=-， 令0y '=，则33x =±， 所以3y x x =-在区间33+33⎛⎫⎛⎫-∞-∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，上单调递增；在区间3333⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减；作出函数3y x x =-和y x =-在同一坐标系中的的草图，如下图所示：又当33x =-3y x x =-取极大值为239-，由图像可知， 当23a <时，23y x =->()f x 无最大值，故23a <满足题意． 故答案为：23a <． 【点睛】本题考查了分段函数的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．16.设有编号分别为1，2，3，4，5，6，7，8的八个小球和编号为1，2，3，4，5，6，7，8的八个盒子.现将这八个小球随机放入八个盒子内，要求每个盒子内放一个球，要求编号为偶数的小球在编号为偶数的盒子内，且至少有四个小球在相同编号的盒子内，则一共有______种投放方法. 【答案】83 【解析】根据题意可知，原问题可分为：有8个小球在相同编号的盒子内；有6个小球在相同编号的盒子内；有5个小球在相同编号的盒子内；有4个小球在相同编号的盒子内；共四类情况，利用特殊位置优先考虑原则，求出每类情况的种数，再根据分类计数原理，即可求出结果. 【详解】由题意可知，要求每个盒子内放一个球，要求编号为偶数的小球在编号为偶数的盒子内，且至少有四个小球在相同编号的盒子内； 若有8个小球在相同编号的盒子内，共有1种；若有6个小球在相同编号的盒子内，即有2个小球在编号不同的盒子内，则有24212C =种； 若有5个小球在相同编号的盒子内，即有3个小球在编号不同的盒子内，则342216C ⨯=种； 若有4个小球在相同编号的盒子内，即有4个小球在编号不同的盒子内，则11223344254C C C C ⨯+=种；综上，满足题意的投放方法一共有112165483+++=种. 故答案为：83.【点睛】本题考查计数原理的运用，考查了分类讨论思想，同时考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17.在梯形ABCD 中，//BC AD ，4AD BC =，12BD AB =，椭圆E 以A ，B 为焦点且过C ，D 两点，则该椭圆的离心率为______.【解析】 【分析】设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，()()(),0,,0,,A c B c C m n -，利用相似比可得()45,4D m c n -，根据BD c =，2AD a c =-，利用两点之间的距离公式化简可得2254c mc a ac -+=-，再根据C ，D 在椭圆E 上，代入坐标，列出方程组，化简可得22853mc c a =+，将上述两式联立，化简可得25210e e --=，解方程，即可求出结果.【详解】设椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>，如图所示：设()()(),0,,0,,A c B c C m n -，则椭圆E 的离心率为c e a=； 因为//BC AD ，4AD BC =，则()45,4D m c n -； 又12BD AB =，所以BD c =， 即()()2224540m c c n c --+-=，整理可得222163548160m c mc n +-+=……①；由椭圆的定义可知，22AD a BD a c =-=-， 即()()()22245402m c c n a c -++-=-，整理可得22221615321644m c mc n a ac +-+=- ……②； ②-①可得：2254c mc a ac -+=-……③;又C ，D 在椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>上；所以()22222222145161m n ab mc na b ⎧+=⎪⎪⎨-⎪+=⎪⎩，化简整理可得，22853mc c a =+……④； 将④代入③可得，22250a ac c +-=，两边同时除以2a ，可得25210e e --=，解得615e =（负值舍去）. 故答案为：615.【点睛】本题主要考查了椭圆离心率的求法，考查了学生的运算能力，属于中档题. 三、解答题：本大题共5小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18.如图，单位圆上有一点022,22P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，点P 以点0P为起点按逆时针方向以每秒ω弧度作圆周运动，点P 的纵坐标y 是关于时间x 的函数，记作()y f x =.（1）当6π=ω时，求()2f ； （2）若将函数()y f x =向左平移12π个单位长度后，得到的曲线关于y 轴对称，求ω的最小正值，并求此时()24y f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的值域. 【答案】（126+（2）ω最小正值为3；值域为2⎡-⎢⎣⎦.【解析】 【分析】（1）由题意利用任意角的三角函数的定义求得初相ϕ，再根据正弦函数的周期性，可得()sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，代入6π=ω，即可求出结果；（2）根据图像平移可知sin 12124f x x πππωω⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，所以1242k πππωπ+=+，k Z ∈，由此可得ω最小值为3，可得()24y f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭cos 34x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据三角函数性质，即可求出结果.【详解】（1）点P 是单位圆上一点，它从初始位置022,P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭开始，按逆时针方向以每秒ω弧度作圆周运动，设初相为ϕ，∴22cos ,sin 22ϕϕ==，∴4πϕ=． 所以()sin 4f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，当6π=ω时，()26sin 3442f ππ+⎛⎫=+= ⎪⎝⎭. （2）sin sin 12124124f x x x πππππωωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦图像关于y 轴对称，则12f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭是偶函数，则1242k πππωπ+=+，k Z ∈，得312k ωπ=+，k Z ∈，ω最小值为3.此时()()2sin 32sin 344f x x y x f x πππ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=2222sin 3cos32sin 3cos3sin 32222x x x x x =+-=-cos 34x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，73,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴21,2y ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，函数()sin y A ωx φ=+的图象变换规律，三角函数的图象的对称性等知识，属于基础题．19.已知ABC ∆是边长为2的正三角形，ACD ∆是等腰直角三角形.把ACD ∆沿其斜边AC 翻折到'D ，使'2BD =，设E 为'BD 的中点.（1）求证：平面'AD C ⊥平面ABC ； （2）求二面角'A CE D --的余弦值. 【答案】（1）证明见详解；（27【解析】 【分析】（1）取AC 中点O ，由勾股定理可得'D O OB ⊥，又ACD ∆是等腰直角三角形，可证'D O AC ⊥，再根据面面垂直的判定定理即可证明结果；（2）方法一：由（1）知，'OD 、OA 、OB 两两垂直，分别以OA 、OB 、'OD 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角，即可求出结果；解法二：等积法在ABE ∆和'AED ∆中，分别用余弦定理得：中线CE 长2CE =，2AE =，又勾股定理可证AE EC ⊥①；在'Rt ACD ∆中解得'2CD =，在平面'BCD 内过'D 作'D H CE ⊥②，由等积法得14'4D H =，于是24HE =.由①②得'HD 、AE 所成的角（或其补角）就是二面角'A CE D --的平面角，再根据余弦定理即可求出结果.【详解】（1）证明：取AC 中点O ，连BO 、'D O ，由已知易得3BO =，'1D O =，于是222''D B D O OB =+，从而'D O OB ⊥，另一方面，ACD ∆是等腰直角三角形，故'D O AC ⊥，且AC 、OB 相交，所以'D O ⊥平面ABC ，于是平面'AD C ⊥平面ABC ；（2）由（1）知，'OD 、OA 、OB 两两垂直，分别以OA 、OB 、'OD 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，由已知得()1,0,0A ，()3,0B，()1,0,0C -，()'0,0,1D ，312E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.于是，()2,0,0CA =，311,2CE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()'1,0,1D C =--，设平面ACE 的法向量是()1,,n x y z =，则11203102n CA x n CE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩解得03x z y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以()10,1,3n =-，同理平面'D CE的法向量()23,1,3n =--，设二面角'A CE D --为θ，则12127sin 27n n n n θ===. （2）解法二：等积法由于E 为'BD 的中点，且设AEB α∠=，在ABE ∆和'AED ∆中，分别用余弦定理得：中线CE 长2CE =，同理2AE =，从而ACE ∆是直角三角形，且AE EC ⊥①.另一方面在'Rt ACD ∆中解得'2CD =，在平面'BCD 内过'D 作'D H CE ⊥②，由等积法得14'D H =，于是2HE =.由①②得'HD 、AE 所成的角（或其补角）就是二面角'A CE D --的平面角.由''AD AE EH HD =++，得2222''2'AD AE EH HD AE HD =+++⋅，设二面角'A CE D --的度数为θ，于是1722788cos 77222θ++-==⋅.【点睛】本题主要考查了面面垂直的判定定理的应用和二面角的求法，属于基础题. 20.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，公比0q >，且22642S a =-，3442S a =-，数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭满足()*1212113n n n b b b n n N a a a ++++=-∈. （1）求n a ，n b ； （2）若1nn b c a =，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）3nn a =，()*21n b n n N =-∈；（2）31189n n T ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）由题意可得3426a a a =-，利用等比数列的通项公式，求得3q =和3nn a =；利用数列的通项公式和前n 项和公式之间的关系可得()*213n n n b n n N a -=∈，进而求出n b ； （2）由（1）知2113n n c -=，利用等比数列前n 项和公式，即可求胡结果.【详解】（1）由()()22346421422S a S a ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，（2）-（1）得3426a a a =-，即260q q --=，又0q >，∴3q =.把3q =代入（1）得13a =，∴3nn a =，又∵()*1212113n n n b b b n n N a a a ++++=-∈，当1n =时，1113b a =， 当2n ≥时，112111333n n n n n b n n n a -+-⎛⎫=---= ⎪⎝⎭，因1n =时，1113b a =也符合上式，∴()*213n n n b n n N a -=∈，又3n n a =，∴()*21n b n n N =-∈. （2）由（1）知21113n n n b c a -==， ∴1231352111113333n n n T c c c c -=++++=++++1113139118919n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==- ⎪⎝⎭-.【点睛】本题主要考查了等比数列的通项公式和前n 项和公式的应用，同时考查了数列的通项公式和前n 项和公式之间的关系，属于基础题.21.设经过点()(),00M a a <的直线1l 与抛物线24y x =相交于P 、Q 两点，经过点M 的直线2l 与抛物线24y x =相切于点H . （1）当1a =-时，求11PM QM+的取值范围；（2）问是否存在直线1l ，2l使得MH MP MQ =⋅成立，若存在，求出a 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）⎫⎪⎪⎝⎭；（2）10a -<<. 【解析】 【分析】（1）设()11,P x y ，()22,Q x y ，因为直线l 经过定点()1,0M -，所以可设直线l 的方程为1x my =-，则由214x my y x=-⎧⎨=⎩得2440y my -+=，利用韦达定理和弦长公式，化简可得11PM QM+=，再根据函数的性质即可求出结果； （2）假设存在直线1l ，2l使得MH MP MQ =⋅成立，不妨设1l ：1x m y a =+，2l ：2x m y a =+，则由124x m y a y x =+⎧⎨=⎩得21440y m y a --=， 利用韦达定理和弦长公式可得()()221121114MP MQ MP MQ m y y m a ⋅=⋅=+=+-；又224x m y a y x=+⎧⎨=⎩得()222,2H m m ，所以4H a M =；由MH MP MQ =⋅得到()()()211414m a a a =+->--，由此即可求出结果.【详解】（1）设()11,P x y ，()22,Q x y ，因为直线l 经过定点()1,0M -，所以可设直线l 的方程为1x my =-，则由214x my y x =-⎧⎨=⎩得2440y my -+=，()21610m ∆=->得21m >，∴124y y m +=，124yy ，∴11P M M Q +=+122111y y y ⎛⎫=+=⎪⎪⎭2⎛⎫==== ⎪ ⎪⎝⎭. （2）假设存在直线1l ，2l 使得MH MP MQ =⋅成立，不妨设1l ：1x m y a =+，2l ：2x m y a =+，则由124x m y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y m y a --=，()21160m a ∆=+>得210m a +>， ∴1214y y m +=，124y y a =-，∴()()221121114MP MQ MP MQ m y y m a ⋅=⋅=+=+-，由224x m y a y x=+⎧⎨=⎩得22440y m y a --=，()22160m a ∆=+=得22m a =-，得()222,2H m m ，∴(M mH ==由MH MP MQ =⋅得到()()()211414m a a a =+->--，两边平方得()()22284444a a a a->-，即2448a a -<，得10a -<<.【点睛】本题主要考查了直线与抛物线的位置关系，考查了弦长公式，属于中档题. 22.设函数()2ln f x ax x =+.（1）求函数()y f x =的单调递减区间；（2）若1a =，对于给定实数0m ，总存在实数i k ，使得关于x 的方程()()01,2,3,4i f x k x m i =+=恰有3个不同的实数根.（i ）求实数0m 的取值范围；（ii ）记()()'1,2,3,4i i f x k i ==，求证：1234x x x x +++>【答案】（1）单调递减区间是⎫+∞⎪⎭，⎛⎫ ⎪⎝⎭；（2）（i ）031ln 222m <--；（ii ）证明见详解. 【解析】 【分析】（1）当0x >，()21'212ax ax x xf x +=+=，当0a ≥时，可知()'0f x ≥，此时()f x 无单调递减区间；当0a <时，令()'0f x ≤，可得x ≥，再根据()y f x =为偶函数，即可求出函数 ()f x 的单调递减区间；（2）（i ）()20ln i f x x x k x m =+=+20ln i x x m k x+-⇔=，令()()00ln ,0ln ,0m xx x x x g x x m x x x x ⎧-+>⎪⎪=⎨-⎪-+<⎪⎩，则()2021ln 'm x xg x x ++-=，令()201ln m x x x ϕ=++-，利用导数可得()min 22x ϕϕϕ⎛⎛==-⎝⎭⎝⎭；再分别对()min 0x ϕ≥和()min 0x ϕ<，两种情况分类讨论，根据函数的单调性和奇偶性以及对称性进行分析，即可求出结果； （ii ）由()1'2i i i i if x k x k x =⇒+=的四个根为1x ，2x ，3x ，4x ，不妨设1234x x x x <<<，由于()f x 为偶函数，则()1234342x x x x x x +++=+，3334442330332440441212ln ln x k x x k x k x m x x k x m x x ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪+=+⎪+=+⎩化简整理可得()442333443ln11x x x x x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪⎝⎭+=-，令()()()1ln 11t t h t t t +=>-，()()212ln '1t t t h t t --=-，令()()12ln 1t t t t tϕ=-->，根据导数在函数单调性和最值的应用，即可求证结果.【详解】（1）当0x >，()21'212ax ax x xf x +=+=，当0a ≥，()'0f x ≥；当0a <，()212220'a x a a x x x f x x ⎛⎫+ ⎪⎛⎛⎝⎭==⋅⋅-≤ ⎝⎝，∴x ≥. 又()y f x =为偶函数，∴当0a <时，()f x的单调递减区间是⎫+∞⎪⎭，⎛⎫ ⎪⎝⎭，当0a ≥时，()f x 无单调递减区间.（2）（i ）()20ln i f x x x k x m =+=+()0200ln ,0ln ln ,0i m x x x x x m x x k x x m x x x x ⎧-+>⎪+-⎪⇔==⎨-⎪-+<⎪⎩，令()()00ln ,0ln ,0m xx x x x g x x m x x x x ⎧-+>⎪⎪=⎨-⎪-+<⎪⎩，则()()202202221ln ,01ln '1ln ,0m x xx m x x xg x x m x x x x ⎧++->⎪++-⎪==⎨++--⎪<⎪⎩， 令()201ln m x x x ϕ=++-，()1'20x x x x ϕ=-=⇒= ∴()x ϕ在,⎛-∞ ⎝⎭递减，⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭递增，⎛ ⎝⎭递减，⎫+∞⎪⎪⎝⎭递增. ()min22x ϕϕϕ⎛⎫⎛==- ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭.①当()min 022x ϕϕϕ⎛⎛==-≥⎝⎭⎝⎭时，可得031ln 222m ≥--，此时()'0g x ≥，所以()g x 在(),0-∞递减，在()0,∞+递增，则()i k g x =至多2个零点，不符合题意.②当()min 022x ϕϕϕ⎛⎛==-<⎝⎭⎝⎭，则()0x ϕ=有4个不同实根，即0x >时，201ln 0m x x ++-=有2个不同实根，此时031ln 222m <--.其中()2ln 1A x x x =--，()1'202A x x x x =-=⇒=，31ln 2222A ⎛=-- ⎝⎭，设201ln 0m x x ++-=的4个实根为()12341234,,,0t t t t t t t t <<<<，则1x t =极大，2x t =极小，3x t =极大，4x t =极小，由于()g x 为奇函数，所以极值关于原点对称，220440441ln 0ln 1m t t m t t ++-=⇒=--，()04444444ln 120m t g t t t t t t =-+=+>，∴()()()()34120g t g t g t g t >>>>，当()i i k g t =时()g x 有3个零点.（ii ）由()1'2i i i i if x k x k x =⇒+=的四个根为1x ，2x ，3x ，4x ，不妨设1234x x x x <<<，由于()f x 为偶函数，则()1234342x x x x x x +++=+，33322303344224404423303324404412121ln 221ln ln ln x k x x m x x x k x x m x x k x m x x k x m x x ⎧+=⎪⎪⎪⎧++=++=⇒⎨⎨++=+⎩⎪⎪+=+⎪+=+⎩224343ln ln x x x x ⇒-=-， ∴()()442334334434433ln 1ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⋅+ ⎪-⎝⎭+=⋅+=--， 令()()()1ln 11t t h t t t +=>-，()()212ln '1t tt h t t --=-，令()()12ln 1t t t t t ϕ=-->，()2221221'10t t t t t tϕ-+=+-=≥，所以()t ϕ单调递增， ()()10t ϕϕ>=，所以()'0h t >，()h t 单调递增，则()()()11ln 1lim21t t t h t h t →+>==-，所以()2342x x +>，()1234342x x x x x x +++=+>【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性、最值、零点和不等式证明中的应用，属于难题.。
2019-2020学年浙江省温州市高三(下)3月月考数学(理科)试题Word版含解析
2019-2020学年浙江省温州市高三（下）3月月考数学（理科）试题一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知向量=（2m，1），向量=（1，﹣8），若⊥，则实数m的值是（）A．﹣4 B．4 C．D．2．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．603．（5分）直线y=x﹣1与抛物线y2=2x相交于P、Q两点，抛物线上一点M与P、Q构成△MPQ的面积为，这样的点M有且只有（）个．A．1 B．2 C．3 D．44．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．25．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．6．（5分）半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l） D．（﹣∞，+∞）8．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）满足f（x）≤f（a）对于x∈R恒成立，则函数（）A．f（x﹣a）一定是奇函数B．f（x﹣a）一定是偶函数C．f（x+a）一定是奇函数 D．f（x+a）一定是偶函数9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．1010．（5分）已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为（）A．[1，3] B．（1，3）C．D．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）可以是（）A．B．f（x）=2sin3x C．D．f（x）=2cos3x二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．（5分）函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是．14．（5分）以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a2），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19，④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为．15．（5分）已知++=，且与的夹角为60°，||=||，则cos＜，＞等于．16．（5分）某化工厂准备对某一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60～81℃，精确度要求±1℃．现在技术员准备用分数法进行优选，则最多需要经过次试验才能找到最佳温度．三、解答题（70分）17．（12分）设函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=2+log2x（x≤1）的值域为B．（Ⅰ）求A、B；（Ⅱ）求设A∪B=U，求∁U（A∩B）．18．（12分）直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．19．（8分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，c=．（Ⅰ）求角C的取值范围；（Ⅱ）求4sinCcos（C）的最小值．20．（12分）已知矩阵A=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求A的特征值及对应的特征向量．21．（12分）设p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足2＜x≤5（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．22．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．2019-2020学年浙江省温州市高三（下）3月月考数学（理科）试题参考答案一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）1．（5分）已知向量=（2m，1），向量=（1，﹣8），若⊥，则实数m的值是（）A．﹣4 B．4 C．D．【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可求得m．【解答】解：由向量=（2m，1），向量=（1，﹣8），若⊥，则•=0，即2m×1+1×（﹣8）=0，解得m=4，故选B．【点评】本题考查平面向量的运用，考查向量垂直的条件：数量积为0，考查运算能力，属于基础题．2．（5分）（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为（）A．10 B．20 C．30 D．60【分析】利用展开式的通项，即可得出结论．【解答】解：（x2+x+y）5的展开式的通项为T r+1=，令r=2，则（x2+x）3的通项为=，令6﹣k=5，则k=1，∴（x2+x+y）5的展开式中，x5y2的系数为=30．故选：C．【点评】本题考查二项式定理的运用，考查学生的计算能力，确定通项是关键．3．（5分）直线y=x﹣1与抛物线y2=2x相交于P、Q两点，抛物线上一点M与P、Q构成△MPQ的面积为，这样的点M有且只有（）个．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】M在抛物线上，设M（t，），直线与抛物线相交求出弦长PQ，利用点到直线的距离就是△MPQ 的高，即可求出满足题意的M的坐标．即可知道点M的个数．【解答】解：直线y=x﹣1与抛物线y2=2x相交于P、Q两点．联立：，解得：x2﹣4x+1=0，则Q（2，1﹣）P（2，1+）|PQ|==2．△MPQ的面积为=2×d×，解得：d=．M在抛物线上，设M（t，），d==解得：=3或=﹣3．令则有：=3…①或=﹣3…②由①△＞0，可知n有两个解．由②化简为（n﹣2）2=0，n有一个解．故M的坐标有3个．故选：C．【点评】本题查了抛物线与直线的关系的运用能力及计算能力．属于基础题．4．（5分）已知等比数列{a n}的公比为正数，且a3•a9=2a52，a2=1，则a1=（）A．B．C．D．2【分析】设等比数列的公比为q，根据等比数列的通项公式把a3•a9=2a25化简得到关于q的方程，由此数列的公比为正数求出q的值，然后根据等比数列的性质，由等比q的值和a2=1即可求出a1的值．【解答】解：设公比为q，由已知得a1q2•a1q8=2（a1q4）2，即q2=2，又因为等比数列{a n}的公比为正数，所以q=，故a1=．故选B．【点评】此题考查学生灵活运用等比数列的性质及等比数列的通项公式化简求值，是一道中档题．5．（5分）已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且，那么（）A．B．C．D．【分析】由向量的中点公式可得，代入已知式子化简即得．【解答】解：∵D为BC边中点，∴，代入已知可得，即，故可得故选D【点评】本题考查向量的基本运算，利用向量的中点公式是解决问题的关键，属中档题．6．（5分）半径为R的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，底面半径r=，求出圆锥的高后，代入圆锥体积公式可得答案．【解答】解：半径为R的半圆卷成一个圆锥，则圆锥的母线长为R，设圆锥的底面半径为r，则2πr=πR，即r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥的体积V==，故选：C【点评】本题考查旋转体，即圆锥的体积，考查了旋转体的侧面展开和锥体体积公式等知识．7．（5分）函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）=2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣l） D．（﹣∞，+∞）【分析】把所求的不等式的右边移项到左边后，设左边的式子为F（x）构成一个函数，把x=﹣1代入F（x）中，由f（﹣1）=2出F（﹣1）的值，然后求出F（x）的导函数，根据f′（x）＞2，得到导函数大于0即得到F（x）在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到F（x）大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】解：设F（x）=f（x）﹣（2x+4），则F（﹣1）=f（﹣1）﹣（﹣2+4）=2﹣2=0，又对任意x∈R，f′（x）＞2，所以F′（x）=f′（x）﹣2＞0，即F（x）在R上单调递增，则F（x）＞0的解集为（﹣1，+∞），即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞）．故选B【点评】此题考查学生灵活运用函数思想求其他不等式的解集，是一道中档题．8．（5分）已知函数f（x）=sin（2x+φ）满足f（x）≤f（a）对于x∈R恒成立，则函数（）A．f（x﹣a）一定是奇函数B．f（x﹣a）一定是偶函数C．f（x+a）一定是奇函数 D．f（x+a）一定是偶函数【分析】先确定f（a）的值，再由正弦函数的性质可得到a，φ的关系式，然后代入到f（x+a）根据诱导公式进行化简，对选项进行验证即可．【解答】解：由题意可知sin（2a+φ）=1∴2a+φ=2kπ+∴f（x+a）=sin（2x+2a+φ）=sin（2x+2kπ+）=cos2x．故选D【点评】本题主要考查三角函数的奇偶性．三角函数的基本性质要熟练掌握．9．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为﹣4时，则输入的S0的值为（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】根据程序框图，知当i=4时，输出S，写出前三次循环得到输出的S，列出方程求出S0的值．【解答】解：根据程序框图，知当i=4时，输出S，∵第一次循环得到：S=S0﹣2，i=2；第二次循环得到：S=S0﹣2﹣4，i=3；第三次循环得到：S=S0﹣2﹣4﹣8，i=4；∴S0﹣2﹣4﹣8=﹣4解得S0=10故选D．【点评】本题主要考查了直到型循环结构，循环结构有两种形式：当型循环结构和直到型循环结构，当型循环是先判断后循环，直到型循环是先循环后判断，属于基础题之列．10．（5分）已知函数f（x）=e x﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若存在f（a）=g（b），则实数b的取值范围为（）A．[1，3] B．（1，3）C．D．【分析】确定两个函数的值域，根据f（a）=g（b），可得g（b）∈（﹣1，1]，即可求得实数b的取值范围．【解答】解：由题可知f（x）=e x﹣1＞﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1≤1，若有f（a）=g（b），则g（b）∈（﹣1，1]，即﹣b2+4b﹣3＞﹣1，即 b2﹣4b+2＜0，解得．所以实数b的取值范围为故选D．【点评】本题考查函数的值域，考查解不等式，同时考查学生分析解决问题的能力．11．（5分）过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点作直线交抛物线于P，Q两点，若线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10，则抛物线方程是（）A．y2=4x B．y2=2x C．y2=8x D．y2=6x【分析】利用抛物线的定义可得，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +，把线段PQ中点的横坐标为3，|PQ|=10代入可得P值，然后求解抛物线方程．【解答】解：设抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，由抛物线的定义可知，|PQ|=|PF|+|QF|=x1++x2 +=（x1+x2）+p，线段PQ中点的横坐标为3，又|PQ|=10，∴10=6+p，可得p=4∴抛物线方程为y2=8x．故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，利用抛物线的定义是解题的关键．12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=﹣f（x），则f（x）可以是（）A．B．f（x）=2sin3x C．D．f（x）=2cos3x【分析】由，可得，故函数f（x）的周期等于2π，据f（﹣x）=﹣f（x），可知函数f（x）是奇函数，检验各个选项．【解答】解：函数f（x）满足，∴，故函数f（x）的周期等于2π．又 f（﹣x）=﹣f（x），故函数f（x）是奇函数，同时满足这两个条件的只有B，故选B．【点评】本题考查正弦函数的奇偶性和周期性的应用．二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分）13．（5分）函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是．【分析】可先利用导数判断函数的单调性，再利用单调性求最值．【解答】解：y′=1﹣2sinx=0，在区间[0，]上得x=故y=x+2cosx﹣在区间[0，]上是增函数，在区间[，]上是减函数，∴x=时，函数y=x+2cosx﹣在区间[0，]上的最大值是，故答案为：．【点评】本题考查利用函数的单调性求最值、导数的应用、三角函数求值等，难度一般．14．以下四个命题中：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样，②两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，③某项测量结果ξ服从正态分布N （1，a2），P（ξ≤5）=0.81，则P（ξ≤﹣3）=0.19，④对于两个分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握程度越大．以上命题中其中真命题的个数为 2 ．【分析】①根据抽样方法的定义和特点即可判断；②利用相关性系数r的意义去判断；③根据正态分布的特点和曲线表示的意义来判断．④根据随机变量k2的观测值k越大，“X与Y有关系”的把握程度越大，判断④是否为真命题．【解答】解：①从匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是系统抽样，故①错误，②根据线性相关系数r的意义可知，当两个随机变量线性相关性越强，r的绝对值越接近于1，故②正确；③某项测量结果ξ服从正态分布N（1，a2），则曲线关于直线x=1对称，P（ξ≤5）=P（1＜ξ＜5）+0.5=0.81，则P（1＜ξ＜5）=0.31，故P（﹣3＜ξ＜1）=0.31，即有P（ξ≤﹣3）=P（ξ＜1）﹣P（﹣3＜ξ＜1）=0.5﹣0.31=0.19，故③正确．④根据两个分类变量X与Y的随机变量k2的观测值k来说，k越大，判断“X与Y有关系”的把握程度越大，得④是假命题．故④错误，故正确的是②③，故答案为：2【点评】本题考查命题的真假判断，涉及抽样方法的概念、相关系数的意义以及正态分布的特点和曲线表示的意义，是一道基础题．15．（5分）已知++=，且与的夹角为60°，||=||，则cos＜，＞等于﹣．【分析】由++=，||=||，可得，从而可得，代入可求，进而可求cos=．【解答】解：∵++=，||=||，∴，∴==3，∴，∴•=•（﹣﹣）==﹣=﹣，∴cos＜，＞===﹣．故答案为：．【点评】本题考查两个向量的数量积的定义及向量的数量积的性质的应用，向量的夹角公式的应用，属于向量知识的简单应用．16．（5分）某化工厂准备对某一化工产品进行技术改良，现决定优选加工温度，试验范围定为60～81℃，精确度要求±1℃．现在技术员准备用分数法进行优选，则最多需要经过 6 次试验才能找到最佳温度．【分析】由题知试验范围为[60，81]，可得区间长度为21，将其等分21段，共有20个分点，由分数法的最优性定理可得结论．【解答】解：由已知试验范围为[60，81]，可得区间长度为21，将其等分21段，共有20个分点由分数法的最优性定理可知F7=20，即通过6次试验可从这20个分点中找出最佳点．故答案为：6．【点评】本题考查的是分数法的简单应用．一般地，用分数法安排试点时，可以分两种情况考虑：（1）可能的试点总数正好是某一个（F n﹣1）．（2）所有可能的试点总数大于某一（F n﹣1），而小于（F n+1﹣1）．用分数法安排试验，一旦确定第一个试点，后续的试点可以用“加两头，减中间”的方法来确定．三、解答题（70分）17．（12分）设函数f（x）=的定义域为A，函数g（x）=2+log2x（x≤1）的值域为B．（Ⅰ）求A、B；（Ⅱ）求设A∪B=U，求∁U（A∩B）．【分析】（Ⅰ）由log3（x﹣1）≥0，解得x≥2，可得A．由x≤1，求得log2x≤0，可得B={y|y≤2}．（Ⅱ）根据A、B以及U=A∪B=R，A∩B={2}，求得 C U（A∩B）．【解答】解：（Ⅰ）由log3（x﹣1）≥0，得x≥2，∴A={x|x≥2}．…（3分）又x≤1，∴log2x≤0，∴2+log2x≤2，∴B={y|y≤2}．…（6分）（Ⅱ）∵A={x|x≥2}，B={y|y≤2}，…（10分）∴U=A∪B=R，A∩B={2}，∴C U（A∩B）={x|x＜2，或x＞2}．…（12分）【点评】本题主要考查对数函数的定义域和最值，两个集合的交集、并集、补集的定义和求法，属于中档题．18．（12分）直线l经过两点（2，1），（6，3）．（1）求直线l的方程；（2）圆C的圆心在直线l上，并且与x轴相切于（2，0）点，求圆C的方程．【分析】（1）先求出直线l的斜率，再代入点斜式然后化为一般式方程；（2）由题意先确定圆心的位置，进而求出圆心坐标，再求出半径，即求出圆的标准方程．【解答】解：（1）∵直线l经过两点（2，1），（6，3），∴直线l的斜率k==，（2分）∴所求直线的方程为y﹣1=（x﹣2），即直线l的方程为x﹣2y=0．（5分）（2）由（1）知，∵圆C的圆心在直线l上，∴可设圆心坐标为（2a，a），（6分）∵圆C与x轴相切于（2，0）点，∴圆心在直线x=2上，∴a=1，（9分）∴圆心坐标为（2，1），半径r=1，（11分）∴圆C的方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．（12分）【点评】本题考查了求直线方程和圆的方程的基本题型，以及对基本公式的简单应用．19．（8分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=1，c=．（Ⅰ）求角C的取值范围；（Ⅱ）求4sinCcos（C）的最小值．【分析】（Ⅰ）根据正弦定理分别求出sinC的取值范围即可求角C的取值范围；（Ⅱ利用三角函数的公式进行化简，即可求4sinCcos（C）的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，得，．由0＜sinB≤1，得0＜sinC≤，又b＞c，故C为锐角，∴0．（Ⅱ）4sinCcos（C）=4sinC（cosC﹣）=，由0，得，故，∴4sinCcos（C）（当C=时取到等号）∴4sinCcos（C）的最小值是0．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质的应用，利用正弦定理求出C的取值范围是解决本题的关键，考查学生的计算能力．20．（12分）已知矩阵A=（1）求A的逆矩阵A﹣1；（2）求A的特征值及对应的特征向量．【分析】本题（1）根据矩阵A对应的行列多的值，知道矩阵A的逆矩阵存在，用逆矩阵公式，求出A﹣1；（2）先求出矩阵A的特征多项式，令特征多项式为0，求出特征值，再将特征值代入到方程组中，求出该特征值对应的一个特征向量，得到本题结论．【解答】解：（1）∵矩阵A=，∴矩阵A对应的行列式=1×3﹣2×4=﹣5≠0，∴矩阵A可逆，∴A﹣1=，∴A﹣1=．（2）A的特征多项式：f（λ）==（λ﹣1）（λ﹣3）﹣8=λ2﹣4λ﹣5，令f（λ）=0，得：λ=5或λ=﹣1；当λ=5时，由得特征向量，当λ=﹣1时，由得特征向量．【点评】本题考查了逆矩阵、矩阵的特征值和特征向量，本题也可以利用逆矩阵的定义求出逆矩阵，本题难度不大，属于基础题．21．（12分）设p：实数x满足x2﹣5ax+4a2＜0（其中a＞0），q：实数x满足2＜x≤5（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【分析】（1）将a=1代入，求出关于p的范围，从而求出p且q的范围；（2）由题意得不等式组，解出即可．【解答】解：（1）当a=1时，解得1＜x＜4，即p为真时实数x的范围是：1＜x＜4，若p∧q为真，则P真且q真，∴实数x的范围是（2，4）；（2）若¬q是¬p的必要不充分条件，即p是q的必要不充分条件，设A={x|p（x）}，B={x|q（x）}，则B⊂A，由x2﹣5ax+4a2＜0得（x﹣4a）（x﹣a）＜0，∵a＞0，∴A=（a，4a），又B=（2，5]，则a≤2且4a＞5，解得：＜a≤2．【点评】本题考查了复合命题的真假，考查了充分必要条件，是一道中档题．22．（14分）对于定义域为D的函数y=f（x），若同时满足下列条件：①f（x）在D内单调递增或单调递减；②存在区间[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫闭函数，且条件②中的区间[a，b]为f（x）的一个“好区间”．（1）求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，求m、n的值；（3）判断函数y=k+是否为闭函数？若是闭函数，求实数k的取值范围．【分析】（1）根据“好区间”的定义即可求闭函数y=﹣x3的“好区间”；（2）根据若[1，16]为闭函数f（x）=m x的“好区间”，建立方程组关系即可求m、n的值；（3）根据闭函数的定义，进行验证即可得到结论．【解答】解：（1）∵y=﹣x3是减函数，∴故闭函数y=﹣x3的“好区间”是[﹣1，1]．…（3分）（2）①若f（x）是[1，16]上的增函数，则∴此时是[1，16]上的增函数，故符合题意．②若f（x）是[1，16]上的减函数，则∴此时．因为，所以在区间[1，16]上不是减函数，故不符合题意．综上：…（8分）（3）若是闭函数，则存在区间[a，b]⊆[﹣1，+∞），满足；故方程f（x）=x在区间[﹣1，+∞）上有两不相等的实根．由得令则x=t2﹣1，方程可化为t2﹣t﹣k﹣1=0，且方程有两不相等的非负实根；令g（t）=t2﹣t﹣k﹣1，则…（14分）【点评】本题主要考查与函数有关的新定义问题，考查学生的理解和应用能力，综合性较强，难度较大．。
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2020届浙江省温州市龙湾中学2017级高三下学期3月月考
数学试卷
★祝考试顺利★
(解析版)
参考公式：
柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 锥体的体积公式：13
V Sh = 其中S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高
台体的体积公式：()
1213V S S h =++ 其中1S ,2S 分别表示台体的上、下底面积,h 表示台体的高
球的表面积公式：2
4V R π= 球的体积公式：343V R π=,其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合1,2,3,4S
,{}1,4M =,{}2,4N =,那么()()s s M N =（ ） A. {}3
B. {}1,2
C. {}1,2,3
D. ∅ 【答案】C
【解析】
根据集合的补集运算可求出s s M N ,,再根据并集运算即可求出结果.
【详解】由题意可知,{}2,3s M =,{}1,3s N =,所以()
(){}1,2,3s s M N =. 故选：C.
2.已知动点P
4=,则点P 的轨迹是（ ） A 双曲线
B. 椭圆
C. 抛物线
D. 圆 【答案】A
【解析】
根据双曲线的定义即可求出结果.
【详解】由双曲线的定义可知点P 的轨迹是以()()5,05,0-，为焦点,实轴长为4的双曲线. 故选：A.
3.复数13i z -+=的虚部为（ ） A. 3 B. 3- C. 12i - D. 12
- 【答案】D
【解析】
根据复数的除法运算,即可求出3122
z i =--,进而求出复数z 的虚部. 【详解】因为13312
i z i -+==--,所以复数z 的虚部为12-. 故选：D.
4.已知函数()y f x =的图象如图所示,其解析式可能是（ ）
A. ()1sin ,,0y x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭
B. ()1sin ,,0y x x x x x ππ⎛⎫=--≤≤≠ ⎪⎝⎭
C. ()1sin ,,0y x x x x x ππ⎛⎫=+-≤≤≠ ⎪⎝
⎭ D. ()1sin ,,0y x x x x x ππ⎛⎫=-+-≤≤≠ ⎪⎝
⎭ 【答案】C
【解析】。