补习2方程根的分布
二次方程根的分布问题
二次方程的实根分布问题一般地，对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0的实数x 就做函数y=f(x)的零点.一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在某个区间上有实根，求其中字母系数的问题称为实根分布问题。
实根分布问题一般考虑四个方面，即：①开口方向 ②端点函数值的正负 ③判别式 ④对称轴 设一元二次方程0=++2c bx ax 的两根为1x ，2x （12x x <）（1） 一个根大于k ，一个根小于k ，即12x k x <<（k 为常数，）{0<)(0>k f a（2)两根在区间[,]m n 内 （3）两根在区间[,]m n 外{n a b m n f m f <2<0>0>)(0>)(－∆ ()0()0f m f n ì<ïí<ïî 或 {n a b m a b n f m f >2<20>0>)(0>)(或－－∆(4)一内一外 ()()0f m f n <例1、已知二次方程0=4+)32(+2x m x －有且只有一个根在)1,0(内，求实数m 的取值范围.例2、 关于x 的方程()0142322=++++m x m x 有两个实根，（1）若一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围（2）有两实根在[]4,0内，求m 的取值范围例3、已知二次方程0=)2+5()12(+2m x m x －－的一个根小于1－,另一根大于1，求实数m 的取值范围.例4、已知二次方程2(21)2(1)0m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围.例5、已知方程2-++=有两个不等正实根，求实数m的取值范围.x m x m2(1)0例6、已知二次函数2=+-+++与x轴有两个交点，一个大y m x m x m(2)(24)(33)于1，一个小于1，求实数m的取值范围.例7、已知二次方程2(23)40mx m x+-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围.例8、函数2-上有零点，求a的取值范围。
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n < 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m ，由213m<<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -< 即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
二次方程根的分布情况归纳
二次方程根的分布情况归纳在数学的世界里，二次方程根的分布情况是一个非常重要的知识点。
它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际的科学研究和工程应用中发挥着巨大的作用。
接下来，咱们就详细地探讨一下二次方程根的分布情况。
先来说说二次方程的一般形式：＄ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$（其中$a ＼neq 0$）。
判别式$＼Delta ＝ b^2 4ac$决定了方程根的情况。
当$＼Delta ＞ 0$时，方程有两个不相等的实根；当$＼Delta ＝ 0$时，方程有两个相等的实根；当$＼Delta ＜ 0$时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
那根的分布情况又是什么意思呢？简单来说，就是给定一个区间，研究方程的根在这个区间内的个数、存在性等问题。
咱们先来看一种常见的情况：给定区间$（m,n)＄，方程$ax^2 ＋ bx ＋ c ＝ 0$的根在此区间内。
这时候，我们要考虑以下几个条件。
首先，函数$f(x) ＝ ax^2 ＋ bx＋ c$在区间$（m,n)＄端点处的函数值的符号。
如果$f(m) ＼times f(n)＜0$，那么根据零点存在定理，方程在区间$（m,n)＄内至少有一个根。
然后，还要考虑对称轴$x ＝＼frac{b}｛2a}＄的位置。
如果对称轴在区间$（m,n)＄内，那么还需要满足判别式$＼Delta ＼geq 0$，才能保证方程在区间内有根。
再说说当给定区间是$（＼infty, m)＄或者$（n, ＋＼infty)＄的情况。
对于区间$（＼infty, m)＄，如果$a ＞ 0$，且$f(m) ＜ 0$，或者$a＜ 0$，且$f(m) ＞ 0$，同时判别式$＼Delta ＞ 0$，那么方程在这个区间内有根。
对于区间$（n, ＋＼infty)＄，如果$a ＞ 0$，且$f(n) ＜ 0$，或者$a＜ 0$，且$f(n) ＞ 0$，同样在判别式$＼Delta ＞ 0$的条件下，方程在这个区间内有根。
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()n m ,两根有且仅有一根在()n m ,（图象有两种情况，只画了一种） 一根在()n m ,，另一根在()q p ,，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000fm f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f 根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,，从而可以求出参数的值。
二次方程根的分布
一根在 [ m, n] 内，另一 根在 [ n,
y
y
f ( m) 0 f ( n) 0 f ( p) 0
p ] 内，其中 mn p即
p om n x
p om n x
m x1 n x 2 p
f ( m) 0 f ( n) 0 f ( p) 0
m x1 n p x 2 q
f ( m) 0 f ( n) 0
x om n
f ( m) 0 f ( n) 0
y
y
x
f ( m) f ( n) 0
o m n
y
f ( m) 0 f ( n) 0
o m
0 b 0 的充要条件 （1） a 0 时， x1 x2 0 是 2 a f (0) 0
0 b （2） x1 x2 0 是 0 的充要条件。 2 a a f ( 0) 0
2.若 k 0 时表中 2 的情形就是 1 的情形，即表中 1 的情形是 2 情形的特例；表中 3 情形中 当 m n 时，便是表中 2 的情形，也即表中的 2 情形也可视为 3 情形的特例，以此类推， 表 中 3 情形又可视为表中 4 情形的特例（为什么？） 。 3.表中当 m x1 , n x2 时，是我们熟知的情形： f ( x) ax bx c 0( a 0) 有两根是 m, n ，所以，表中的各种情形均是该简单问题的推广讨论的结果。
f ( m) 0 f ( n) 0 f ( p) 0 f (q) 0
f ( m) f ( n) 0
y
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布
1、一元二次方程
02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()2
00ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的
根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较 即根的正负情况）
k k k
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是
（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()
0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩
根的分布练习题
例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
例2、已知方程()2210x m x m -++=有两个不等正实根，求实数m 的取值范围。
例3、已知二次函数()()()2
22433y m x m x m =+-+++与x 轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m
的取值范围。
例4、已知二次方程()2
2340mx m x +-+=只有一个正根且这个根小于1，求实数m 的取值范围。
二次函数在闭区间上的最值练习
例2、求函数()[]2
21,1,3f x x ax x =-+∈的最小值。
例3、求函数2
43y x x =-+在区间[],1t t +上的最小值。
二次方程根的分布
如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续
不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函
数y=f(x)在区间(a,b) 内有零点，即存在c∈(a,b)，
使得f(c)=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数
在指定区间内存在零点.
方程根的判别式符号、对称轴在区间内．
根的分布
图象
充要条件
y
y
＝0 的两根都大
r x x
1 2
r
于 rr＜x1＜x2
O
①二次方程 f (x)
②二次方程 f (x)
y
＝0 在区间(p，q)
内有两根p＜x1
＜x2＜q
x
x1 x2 x
y
x2
x1
p
O
2
Δ＝b
－4ac＞0
b
－2a＞r
a▪f (r)＞0
1
2
∴k的取值范围为(－2，－1)∪(3，4)．
–2 –1
O
–1
–2
–3
x
1
2
3
2．已知集合A＝{x|x2－3x＋2＜0}，B＝{x|x2－(a2＋1)x＋a＜0}，
若A∩B＝A，则实数a的取值范围为_______________________。
【解析】A＝(1,2)，记f(x)＝x2－(a2＋1)x＋a，
m＜x1＜n＜p＜x2＜q
m On
x2
x1
y
x
x1
m
O
x2
x
n
y
x1 n p x2 x
q m O
q
【经典例题】二次函数根的分布
二次函数根的分布一、知识点二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（0>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a表二：（两根与k 的大小比较）分布情况两根都小于k 即k x k x <<21, 两根都大于k 即k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a ）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk表三：（根在区间上的分布）二、经典例题分布情况两根都在()n m ,内两根有且仅有一根在()n m ,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()n m ,内，另一根在()q p ,内，q p n m <<<大致图象（>a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 大致图象（<a ）得出的结论()()0002f m f n b m na ∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅n f m f()()()()0000f m f n f p f q ⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()00f m f n f p f q <⎧⎪⎨<⎪⎩ 综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅n f m f()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<00q f p f n f m f例1：（实根与分布条件）已知βα, 是方程024)12(2=-+-+m x m x 的两个根，且βα<<2 ，求实数m 的取值范围。
二次函数根的分布
二次函数根的分布本文介绍了一元二次方程根的分布情况以及与二次函数在闭区间上的最值归纳。
设方程 $ax^2+bx+c$ 的不等两根为$x_1,x_2$，且 $x_1<x_2$，相应的二次函数为$f(x)=ax^2+bx+c$，方程的根即为二次函数图象与 $x$ 轴的交点。
根的分布情况可归纳为三种情况，每种情况对应的均是充要条件。
第一种情况是两个负根即两根都小于 $0$，或两个正根即两根都大于 $0$，或一个正根一负根即一个根小于 $0$，一个大于 $0$。
此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为$\frac{\Delta}{4a}$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为$\frac{\Delta}{4a}$。
第二种情况是两根与 $k$ 的大小比较，即两根都小于 $k$，或两根都大于$k$，或一个根小于$k$，一个大于$k$。
此时，当 $a>0$ 时，$f(k)$ 最小值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$，当 $a<0$ 时，$f(k)$ 最大值为 $a(k-x_1)(k-x_2)$。
第三种情况是根在区间上的分布，包括两根都在$(m,n)$ 内，一根在 $(m,n)$ 内，另一根在 $(p,q)$，或两根有且仅有一根在 $(m,n)$ 内。
此时，当 $a>0$ 时，$f(x)$ 最小值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$，当 $a<0$ 时，$f(x)$ 最大值为 $f\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)$。
经过观察得出，文章中存在大量格式错误和重复内容，需要进行整理和删减。
同时，需要对每段话进行简单的改写，以提高可读性。
根据图像，可以得出以下结论：1.当mf(n)且f(n)>b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)且f(n)<b，则有f(m)*f(n)<2a；若有f(m)<f(n)<b，则有f(m)*f(n)<f(p)*f(q)。
二次方程根的分布情况归纳
二次方程根的分布情况归纳二次方程的一般形式为ax² + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。
对于一个二次方程，可以通过求解其判别式来分析其根的分布情况。
判别式的公式为Δ = b² - 4ac，Δ可以通过求解来判断方程的根的类型和个数。
1.当Δ>0时，方程有两个不相等的实根。
当判别式Δ大于零时，可以得出两个不相等的实根。
这意味着方程图像与x轴有两个交点，也就是图像在x轴上的截距为两个不相等的实数。
这种情况下，方程有两个解，一个解对应于图像与x轴交点的左侧，另一个解对应于图像与x轴交点的右侧。
2.当Δ=0时，方程有两个相等的实根。
当判别式Δ等于零时，可以得出两个相等的实根。
这意味着方程图像与x轴只有一个交点，也就是图像在x轴上的截距相等。
这种情况下，方程有两个相等的解，对应于图像与x轴交点的位置。
3.当Δ<0时，方程没有实根，但有两个共轭复根。
当判别式Δ小于零时，可以得出方程没有实根。
这意味着方程图像与x轴没有交点，图像完全位于x轴的上方或下方。
但是，方程仍然有两个根，称为共轭复根，其中一个虚部为正，一个虚部为负。
这种情况下，方程的解无法在实数域内找到，需要在复数域中寻找。
在二次方程根的分布情况中，可以根据判别式Δ的正负来进行分类。
其中，Δ>0时有两个不相等的实根，Δ=0时有两个相等的实根，而Δ<0时没有实根但有两个共轭复根。
此外1.当a=0时，方程退化为一次方程。
当二次方程中a的系数为0时，方程退化为一次方程，形式为bx + c = 0。
这种情况下，方程只有一个解，即x = -c/b，对应于直线与x轴的交点。
2. 当b² - 4ac = 0时，方程有两个相等的实根。
当判别式Δ等于零时，有特殊情况。
此时，方程的两个根相等，即x₁=x₂=-b/2a。
此时方程图像在x轴上的截距相等，方程只有一个解。
总结起来，二次方程根的分布情况主要根据判别式Δ的正负进行分类。
高一数学《二次方程根的分布情况》归纳(完整版)
1 若 f m 0 或 f n 0 ，则此时 f m f n 0 不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为 m 或 n ，可
以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间 m, n内，从而可以求出参数的值。如方程 mx2 m 相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程 x2 4mx 2m 6 0 有
且 一 根 在 区 间 3, 0 内 ， 求 m 的 取 值 范 围 。 分 析 ： ① 由 f 3 f 0 0 即 14m 15m 3 0 得 出
a
）
0
b 2a
0
f 0 0
0
b 0 2a
a f 0 0
f 0 0 a f 0 0
1
表二：（两根与 k 的大小比较）
分
两根都小于 k 即
布
情
况
x1 k, x2 k
大 致 图 象 （
k
）
a 0
两根都大于 k 即 x1 k, x2 k
f f
x max
x min
f f
3 2
3a b 2 5
2b 2
a 1 b 0 ；
（2）当 a
0 时，函数
f
x
在区间
2,
3
上是减函数，故
f f
x max
x min
f f
2 3
b2 3a b 2
5
2
a 1
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布情况归纳(完整版) 大家好，我今天要和大家聊聊二次方程根的分布情况。
在我们的生活和工作中，二次方程是一个非常常见的数学概念，它在很多领域都有着广泛的应用。
那么，二次方程的根到底有哪些分布情况呢？接下来，我将从三个方面来详细阐述这个问题。
我们来看一下二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。
在这个式子中，a、b、c 分别是二次项、一次项和常数项的系数。
我们需要求解这个方程的根，也就是找到x的值使得上述等式成立。
根据一元二次方程的求根公式，我们可以得到x1、x2是这个方程的两个根，它们满足以下关系：x1 + x2 = -b / ax1 * x2 = c / a接下来，我们来探讨一下二次方程根的具体分布情况。
我们来看一下当a > 0时的情况。
这时候，二次方程有两个实数根，分别为正根和负根。
具体来说，如果b^24ac >= 0,那么x1、x2都是正数；如果b^2 4ac < 0,那么x1、x2中有一个是正数，另一个是负数。
这种情况在现实生活中比较常见，例如我们在解决一些物理问题时，往往需要考虑到物体受到的力的方向和大小，这些因素都会影响到物体的运动轨迹。
我们来看一下当a < 0时的情况。
这时候，二次方程有两个共轭复数根，分别为正根和负根。
具体来说，如果b^2 4ac >= 0,那么x1、x2都是正数；如果b^2 4ac < 0,那么x1、x2中有一个是正数，另一个是负数。
这种情况在现实生活中也比较常见，例如我们在解决一些化学问题时，往往需要考虑到物质之间的反应条件和过程，这些因素都会影响到反应的结果。
我们来看一下当a = 0时的情况。
这时候，二次方程有两个相等的实数根或者一个实数根和一个虚数根。
具体来说，如果b^2 4ac = 0,那么x1 = x2;如果b^2 4ac > 0且a != 0,那么x1、x2中有一个是实数根，另一个是虚数根；如果b^2 4ac < 0且a != 0,那么x1、x2都是虚数根。
二次方程根的分布情况归纳(完整版)
二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳
1、一元二次方程ax2 bx c 0根的分布情况
设方程ax2bx c 0 a 0的不等两根为x i,x2且x1 x2,相应的二次函数为f x ax2bx c 0,方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）
表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）
分布情况两个负根即两根都小于0
x1 0, x20
两个正根即两根都大于0
X 0, x20
一正根一负根即一个根小于0,
一个大于0 X1 0 x2
得出的结论得出的结
论综合结论
{不讨论a
2a
2a
表二：（两根与k的大小比较）
分布情况两根都小于k即
x1 k, x2k
两根都大于k即
x1 k, x2k
得出的
结论
2a f k
得出的结论综合结论{不讨论a
b k
2a
f k 0
2a
a f k 0
表三：（根在区间上的分布）
分布情况
o o
n q
f f m p f f
或
o o o
o
o
n n
o b a
t 2 n 得出的结论
o o
n q
f f m p f f
或
o o o
o
o
n
n
o o
b
m n f f m
得出的结论
综合结论{不讨论
a
m,n 夕卜，即在区间两侧 x i m,X 2 n,（图形分别如下）需满
根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间
足的条件是。
二次方程根的分布情况归纳
二次方程()200axbx c a ++=≠根的分布一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况【一元二次方程根的分布的类型：】 1、零分布（1）有两正根 （2）有两负根 （3）一正一负2、k 分布（1）有两个大于k 的根 （2）有两个小于k 的根 （3）一个大于k,一个小于k, （4）有一个根在区间（k 1,k 2）内 （5）区间（k 1,k 2）有两个根 【引例】设方程的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）分布情况两个负根即两根都小于0()120,0x x << 两个正根即两根都大于0()120,0x x >>一正根一负根即一个根小于0，一个大于0()120x x <<大致图象（>a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()00<f大致图象（<a ）得出的结论()00200b a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()00200b a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()00>f综合结论（不讨论a）()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00200b a a f ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()00<⋅f a分布情况两根都小于k 即 k x k x <<21, 两根都大于k 即 k x k x >>21, 一个根小于k ，一个大于k 即21x k x <<大致图象（>a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪>⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩ ()0<k f大致图象（<a ）得出的结论()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪<⎪⎩ ()020b k a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪<⎪⎩ ()0>k f综合结论（不讨论a）()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪-<⎨⎪⋅>⎪⎩ ()020b k a a f k ∆>⎧⎪⎪->⎨⎪⋅>⎪⎩ ()0<⋅k f akkk分布情况两根都在()nm,内两根有且仅有一根在()nm,内（图象有两种情况，只画了一种）一根在()nm,内，另一根在()qp,内，qpnm<<<大致图象（0 > a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪>⎪⎪>⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧>⎪<⎪⎨<⎪⎪>⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩大致图象（0 < a）得出的结论()()2f mf nbm na∆>⎧⎪<⎪⎪<⎨⎪⎪<-<⎪⎩()()0<⋅nfmf()()()()f mf nf pf q⎧<⎪>⎪⎨>⎪⎪<⎩或()()()()f m f nf p f q<⎧⎪⎨<⎪⎩综合结论（不讨论a ）——————()()0<⋅nfmf()()()()⎪⎩⎪⎨⎧<<qfpfnfmf根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩一元二次方程根的分布题型例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
二次方程根的分布口诀
二次方程根的分布口诀二次方程根的分布口诀，那可是数学学习中的一把“利器”！咱们先来说说啥是二次方程。
就比如说$ax^2 + bx + c = 0$（$a ≠ 0$）这样的式子就是二次方程。
那根的分布是啥呢？简单说，就是研究这个方程的根在某个区间内的情况。
这根的分布口诀啊，就像是一个神秘的魔法咒语，掌握了它，解决问题就能事半功倍。
比如说“左负右正中间零，左正右负两边零”，这口诀听起来是不是有点像绕口令？别着急，咱们慢慢解释。
“左负右正中间零”意思是，如果二次函数的图像与$x$轴的交点在左边是负数，右边是正数，那么对称轴就在中间，也就是对称轴对应的$x$值是零。
“左正右负两边零”呢，就是反过来，如果左边是正数，右边是负数，那根就在对称轴的两边，也就是对称轴对应的$x$值是零。
我记得有一次给学生讲这个知识点，有个小家伙一脸懵地看着我，嘴里嘟囔着：“老师，这也太难懂啦！”我就耐心地给他举了个例子。
假设咱们有个二次方程$x^2 - 3x + 2 = 0$，咱们先把它变成二次函数$y = x^2 - 3x + 2$，然后画出它的图像。
这图像就像一个弯弯的彩虹，对称轴是$x = \frac{3}{2}$。
当$x = 1$和$x = 2$的时候，函数值为零，这两个点就是方程的根。
这时候你看，左边的根$1$是负数，右边的根$2$是正数，这不就符合“左负右正中间零”嘛！还有啊，像“大于取两边，小于取中间”这个口诀也很有用。
比如说方程$(x - 1)(x - 2) > 0$，要找它的解集，就是$x < 1$或者$x > 2$，这就是“大于取两边”。
要是方程$(x - 1)(x - 2) < 0$，解集就是$1 <x < 2$，这就是“小于取中间”。
学习这根的分布口诀，可不能死记硬背，得结合实际例子多练习。
有一回，我布置了一道关于二次方程根的分布的作业题。
有个学生做得一塌糊涂，我把他叫到办公室，一点点给他分析。
二次方程根的分布问题教学课件
介绍根的分布问题的重要性：说明 根的分布问题在解决实际问题中的 应用
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引出根的分布问题：通过实例，引 导学生思考二次方程的根的分布问 题
提出问题：引导学生思考如何பைடு நூலகம்决 根的分布问题，激发学生的学习兴 趣
基本概念：二次方程根的分布是指二次方程的解在数轴上的位置关系 判定方法：通过二次方程的系数和常数项来判断根的分布 实例分析：通过具体的二次方程实例，讲解如何判断根的分布 练习题：提供一些二次方程根的分布练习题，让学生进行练习和巩固
应用案例：引导学 生运用案例中的二 次方程根分布规律 解决实际问题
目的：提高学生自主学习能力和团队协作能力 步骤：将学生分为若干小组，每组分配一个二次方程根的分布问题 讨论内容：学生需要讨论问题的解决方法，并提出自己的见解 教师引导：教师需要适时引导和点评，帮助学生解决问题并提高讨论效果
教师提出问题，引导学生思考 学生回答问题，教师给予反馈 教师引导学生讨论，共同解决问题 教师总结，强调重点和难点
二次方程根的分布是 数学教学中的一个重 要内容，需要教师在 教学中给予足够的重 视和强调。
学生的学习态度：积极、主动、认 真
学生的学习效果：能够解决简单的 二次方程根的分布问题，但遇到复 杂问题时容易出错
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学生的学习方法：掌握基本概念， 理解公式推导，注重实践操作
改进意见和建议：加强基础知识的掌 握，提高解题能力，多进行实践操作， 培养独立思考和解决问题的能力。
二次方程根的分布应用实例
二次方程根的分布问题练习 题
二次方程根的分布问题总结 与反思
二次方程根的分布是 数学中的一个重要概 念，对于理解二次函 数的性质和图像具有 重要意义。
高考数学最全二次方程根的分布归纳 精品推荐
高考最全二次方程根的分布归纳1、一元二次方程02=++c bx ax 根的分布情况 设方程()200ax bx c a ++=≠的不等两根为12,x x 且12x x <，相应的二次函数为()20f x ax bx c =++=，方程的根即为二次函数图象与x 轴的交点，它们的分布情况见下面各表（每种情况对应的均是充要条件）表一：（两根与0的大小比较即根的正负情况）k k k根在区间上的分布还有一种情况：两根分别在区间()n m ,外，即在区间两侧12,x m x n <>，（图形分别如下）需满足的条件是（1）0a >时，()()00f m f n <⎧⎪⎨<⎪⎩； （2）0a <时，()()0f m f n >⎧⎪⎨>⎪⎩对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明： （1）两根有且仅有一根在()n m ,内有以下特殊情况：1︒ 若()0f m =或()0f n =，则此时()()0f m f n <不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m 或n ，可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间()n m ,内，从而可以求出参数的值。
如方程()2220mx m x -++=在区间()1,3上有一根，因为()10f =，所以()()()22212mx m x x mx -++=--，另一根为2m，由213m <<得223m <<即为所求； 2︒ 方程有且只有一根，且这个根在区间()n m ,内，即0∆=，此时由0∆=可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。
如方程24260x mx m -++=有且一根在区间()3,0-内，求m 的取值范围。
分析：①由()()300f f -<即()()141530m m ++<得出15314m -<<-；②由0∆=即()2164260m m -+=得出1m =-或32m =，当1m =-时，根()23,0x =-∈-，即1m =-满足题意；当32m =时，根()33,0x =∉-，故32m =不满足题意；综上分析，得出15314m -<<-或1m =-根的分布练习题例1、已知二次方程()()221210m x mx m +-+-=有一正根和一负根，求实数m 的取值范围。
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一元二次方程根的分布问题
一元二次方程02
=++c bx ax
(a ≠0)的根为抛物线
y=02
=++c bx ax (a ≠0)的图
像与x 轴交点的横坐标也即一元二次函数f(x)=
02=++c bx ax ( a ≠0)的零点。
表一（两根与0 的大小比较即根的正负情况）
表二（两根与k 的大小比较）
表三（根在区间上的分布）
练习：
1.已知一元二次方程0)1()1(22
=--++m x m x
①若方程有两个正根，求实数m 的范围。
②若方程有两个负根，求实数m 的范围。
③若方程有两一正根和一负根，求m 的范围。
④若方程有两个根都大于1，求实数m 的范围。
⑤若方程有两根都小于1，求m 的范围。
⑥若方程有两根一根大于1一根小于1，求m 的范围。
⑦若方程有两个根x1和x2,且-1<x1<1<x2，求实数m 的范围。
⑧若方程有两个根x1和x2,且-1<x1<x2<1，求实数m 的范围。
⑨若方程在[-1,1]上有解，实数m 的范围。
⑩若方程在[-1,1]上有且仅有一解，求m 的范围。