数字信号处理期中测试答案

1.线性时不变系统的单位脉冲响应用h(n)表示，输入x(n)是以N 为周期的周期序列，试证明输出y(n)亦是以N 为周期的周期序列。

证明：
()()()
()()()()()()()m m y n h m x n m x n N x n kN m x n m y n h m x n kN m y n kN ∞=-∞∞=-∞
=
-+-=-=
+-=+∑∑以为周期，所以
所以y(n)亦是以N 为周期的周期序列。

2.已知()()()()13122x n n n n δδδ=+-+-，()()()23x n u n u n =--，
试求信号x(n)，它满足()()()12*x n x n x n =。

解：()()()()233x n u n u n R n =--=
()()()()()()()
()()()123333*3122*3122x n x n x n n n n R n R n R n R n δδδ==+-+-⎡⎤⎣⎦=+-+-
(){}1,4,6,5,2x n =
3.时域离散线性时不变系统的系统函数H(z)为()()()1H z z a z b =
--，a 和b 为常数。

（1）要求系统稳定，确定a 和b 的取值域。

（2）要求系统因果稳定，确定a 和b 的取值域。

解：（1）极点为a 和b ，系统稳定的条件是包含单位圆。

所以，1,1a b ≠≠即可使系统稳定。

（2）因果稳定，要求极点全在单位圆内，所以01,01a b ≤<≤<。

4.已知(){}(){}1,2,2,1,3,2,1,1x n h n ==-，计算两序列5点循环卷积。

解：
1012234210122922101191
2210160122102⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
5. 已知一个有限长序列)5(2)()(-+=n n n x δδ 。

（1） 求它的10点离散傅里叶变换)(k X 。

（2） 已知序列)(n y 的10点离散傅立叶变换为)()(210k X W k Y k =，
求序列)(n y 。

（3） 已知序列)(n m 的10点离散傅立叶变换为)()()(k Y k X k M =，求序列
)(n m 。

解；（1）[]∑∑-==-+==1090
10)5(2)()()(N n n nk nk N W n n W
n x k X δδ =1+2k
W 510=1+2k j e 5102π-
=1+2k )1(-，9,...,1,0=k
（2）由)()(210k X W k Y k =可以知道，)(n y 是)(n x 向右循环移位2的结果，即
())7(2)2()2()(10-+-=-=n n n x n y δδ
（3）由)()()(k Y k X k M =可以知道，点循环卷积。

的与是10)()()(n y n x n m 一种方法是先计算的线性卷积与)()(n y n x
∑∞
-∞=-=
*=l l n y l x n y n x n u )()()()()( ={}4,0,0,0,0,4,0,0,0,0,1,0,0
然后由下式得到10点循环卷积
{})7(4)2(50,0,4,0,0,0,0,5,0,0)()10()(10-+-==⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-=∑∞-∞=n n n R l n u n m l δδ 另一种方法是先计算)(n y 的10点离散傅立叶变换
()()[]k k n nk N n nk N W W W n n W
n y k Y 7102109
010102722)()(+=-+-==∑∑=-=δδ 再计算乘积
()()
k k k W W W k Y k X k M 710210510221)()()(++== k
k k k W W W W 1210710710210422+++=
k k W W 710
21045+= 由上式得到 ()()7425)(-+-=n n n m δδ。