高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第八节函数的模型及其综合应用课件理
高考数学一轮总复习 第二章 函数概念与基本初等函数Ⅰ
考点一 函数零点所在区间的判定
【训练 1】 (1)(2018·太原一模)函数 f(x)＝12ln x＋x－x1－2 的零点所在的区间
是(
) A.1e，1 B．(1，2) C．(2，e) D．(e，3)
解析 (1)易知 f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数， 且 f(2)＝21ln 2－21<0，f(e)＝21＋e－1e－2>0. ∴f(2)f(e)<0， 故 f(x)的零点在区间(2，e)内 答案 (1)C
考点二 确定函数零点的个数
[例 2] (1)(一题多解)函数 f(x)＝x－2＋1＋x－ln2x，，xx≤>00，的零点个数为(
)
A．3 B．2 C．1 D．0
直接求零点或利用图象交点个数
解析 (1)法一 由 f(x)＝0 得 xx≤2＋0x，－2＝0或x－>10＋，ln x＝0， 解得 x＝－2 或 x＝e. 因此函数 f(x)共有 2 个零点． 法二 函数 f(x)的图象如图所示， 由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
考点一 函数零点所在区间的判定
[例 1] (1)已知函数 f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含 f(x)零点的区间是(
)
A．(0，1) B．(1，2) C．(2，4) D．(4，＋∞)
首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的
图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0
解析 (1)因为 f(2)＝62－log22＝2>0，
考点二 确定函数零点的个数
函数零点个数的判断方法： (1)直接求零点，令 f(x)＝0，有几个解就有几个零点； (2)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线， 且 f(a)·f(b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数； (3)利用图象交点个数，作出两函数图象，观察其交点个数即得零 点个数．
高考数学一轮复习考点与题型总结：第二章 函数的概念与基本初等函数
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发．(2)如果函数y＝f(x)是用表格给出，则表格中x的集合即为定义域．(3)如果函数y＝f(x)是用图象给出，则图象在x轴上的投影所覆盖的x的集合即为定义域．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法．3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．(3)各段函数的定义域不可以相交．考点一函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，② ①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x . 即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________.解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)． 答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x(x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2，∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3. 答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f (x )单调递减，g (x )单调递减，则f (x )＋g (x )是减函数； (3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反；(7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝ax x －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1， f (x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x －1，则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2. 当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52 (3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x 的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________．解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减，所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3，又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23 B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a －3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，0)∪(0,1]B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． (3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－x C ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．[答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．(2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)， 可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14.答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x 1－x＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.2．(2019·南昌联考)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象( )A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称解析：选B 因为f (x )＝9x ＋13x ＝3x ＋3－x ，易知f (x )为偶函数，所以函数f (x )的图象关于y轴对称．3．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，则f (－7)＝( )A ．3B ．－3C ．2D ．－2解析：选B 因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2(x ＋1)，x ≥0，g (x )，x ＜0，所以f (－7)＝－f (7)＝－log 2(7＋1)＝－3.4．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x B.12(e x ＋e －x )C.12(e －x －e x ) D.12(e x －e －x )解析：选D 因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ， 所以g (x )＝12(e x －e －x )．。
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程课件
解法二：(图象法)函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
2．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)
＝2|x|－1，则函数g(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( B )
A．9
B．10
C．11
D．18
[解析] 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再
考向 2 函数零点个数的确定——师生共研
x2＋x－2，x≤0， 1.函数 f(x)＝－1＋ln x，x>0 的零点个数为( B )
A．3
B．2
C．7
D．0
[解析] 解法一：(直接法)由 f(x)＝0 得
x≤0，
x>0，
x2＋x－2＝0 或－1＋ln x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x_轴__有交点⇔函数y＝ f(x)有__零__点____.
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有___f_(_a_)f_(_b_)＜__0_____，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存 在c∈(a，b)，使得___f_(c_)_＝__0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
点所在的大致区间是( C )
1
A．e，1
C．(2，e)
B．(1,2) D．(e，＋∞)
2 [解析] y＝f(x)＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，因为 y＝ln x 与 y＝
2
2
－x在(0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)＝ln x－x在(0，＋∞)上单调递增，
2019-2020年新人教版高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数2.8函数模型及函数的综合应用课件理新
1 8
5 2
故函数v=
2, 0 x 4,
1 8
x
5 2
,
4
x
20.
(2)设年生长量为f(x)千克/立方米,依题意并由(1)可得
2x, 0 x 4,
f(x)=
当0<x≤184x时2 ,
5 x,4 x 20,
f2(x)为增函数,故f(x)max=f(4)=4×2=8;
当4<x≤20时, f(x)=- 1 x2+5 x=1 - (x2-20x1)=- (x-11 00 )0 2+ , f(x)max=f(10)=12.5.
所以当0<x≤20时, f(8 x)的最2 大值8 为12.5. 8
8
即当养殖密度为10尾/立方米时,鱼的年生长量可以达到最大,最大值为12.5千克/立方米. 1-1 (2016四川德阳四校联考,19,12分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状 况.在一般情况下,大桥上的车流速度v(单位:千米/小时)是车流密度x(单位:辆/千米)的函数.当桥 上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0;当车流密度不超过20辆/千米时, 车流速度为60千米/小时.研究表明:当20≤x≤200时,车流速度v是车流密度x的一次函数. (1)当0≤x≤200时,求函数v(x)的表达式; (2)当车流密度x为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时)f(x)=x·v (x)可以达到最大?并求出最大值.(精确到1辆/小时) 解析 (1)由题意知:当0≤x≤20时,v(x)=60; 当20<x≤200时,设v(x)=ax+b.
高考理数
高考数学一轮复习 第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 2.8 函数模型及其应用课件
解：(1)根据题意，2005x＋1－3x≥3 000，
得 5x－14－3x≥0，即(5x＋1)(x－3)≥0. 又 1≤x≤10，可解得 3≤x≤10.
(2)设利润为 y 元，则 y＝90x0·1005x＋1－3x＝ 9×104－31x－162＋6112.
故 x＝6 时，ymax＝457 500 元．
(2)由(1)可知，该商品每日的销售量
y＝x－2 3＋10(x－6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润
f(x)＝(x－3)x－2 3＋10（x－6）2
＝2＋10(x－3)(x－6)2，3<x<6. 从而，f′(x)＝30(x－4)(x－6)． 于是，当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(3，4)
4
(4，6)
f′(x)
＋
0
－
f(x)
极大值 42
由上表可得，x＝4 是函数 f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点．
所以，当 x＝4 时，函数 f(x)取得最大值，且最大值等于 42. 即当销售价格为 4 元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．
类型二 指数型函数模型
点拨： ①列函数关系式时，要根据实际问题确定自变量的取值
范围；②求最值时，本题将“1x”看作 Nhomakorabea个整体“t”，则 y 是
关于 t 的二次函数，即可求解．通常，不等式法、换元法、 导数法也是解这类题较常用的方法，要注意取等条件．
某商场销售某种商品的经验表明，该商品每 日的销售量 y(单位：千克)与销售价格 x(单位：元/千克)满
第二章
函数的概念、基本初等函数(Ⅰ) 及函数的应用
高考数学一轮复习 第二章 函数的概念、基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用 2.7 函数的图象课件 文
有的点向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度．故选
C.
(2015·北京)如图，函数 f(x)的图象为折线 ACB，则不等式 f(x)≥log2(x＋1)的解集是( )
A．{x|－1＜x≤0} C．{x|－1＜x≤1}
f(x)－a＝0 有不相等的两个实根，则实数 a 的取值范围是________．
解：要使方程 f(x)－a＝0 有两个不相等的实根，只要 y＝f(x)与 y＝a
的图象有两个交点．
当 x≤0 时，0＜2x≤1.作出函数图象如图，由图象可知 0＜a≤1.故填 0＜a≤1.
类型一 作图
作出下列函数的图象：
称的图象对应的函数为 g(x)，则 g(x)的表达式为 g(x)＝________.
解：设 g(x)上的任意一点 A(x，y)，则该点关于直线 x＝1 的对称
点为 B(2－x，y)，而该点在 f(x)的图象上．∴y＝312－x＝3x－2，即 g(x)
＝3x－2.故填 3x－2.
(2015·浙江模拟)已知函数 f(x)＝l2oxg，2xx，≤x0＞，0，且关于 x 的方程
第二章
函数的概念、基本初等函数(Ⅰ) 及函数的应用
• 2.7 函数的图象
1．作函数的图象有两种基本方法： (1)利用描点法作图，其一般步骤为： ①确定函数定义域；
②化简函数解析式；
③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)； ④描点并作出函数图象． (2)图象变换法． 2．图象变换的四种形式 (1)平移变换 ①水平平移：y＝f(x)的图象向左平移 a(a＞0)个单位长度，得到________的图象； y＝f(x－a)(a＞0)的图象可由 y＝f(x)的图象向________平移 a 个单位长度而得到． ②竖直平移：y＝f(x)的图象向上平移 b(b＞0)个单位长度，得到________的图象； y＝f(x)－b(b＞0)的图象可由 y＝f(x)的图象向________平移 b 个单位长度而得到． 总之，对于平移变换，记忆口诀为“左加右减，上加下减”．
2022高考数学一轮总复习第二章函数概念与基本初等函数第8讲对数函数学案文(含答案)
高考数学一轮总复习学案：第8讲 对数函数1．对数函数的图象与性质a >1 0<a <1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R过定点(1，0)当x >1时，y >0； 当0<x <1时，y <0 当x >1时，y <0； 当0<x <1时，y >0 在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数2.反函数指数函数y ＝a x与对数函数y ＝log a x 互为反函数，它们的图象关于直线y ＝x 对称． 常用结论对数函数图象的特点1．当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势；当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．2．对数函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，⎝⎛⎭⎪⎫1a，－1，函数图象只在第一、四象限．3．在直线x ＝1的右侧：当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝log 2x 及y ＝log 133x 都是对数函数．( )(2)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)在(0，＋∞)上是增函数．( ) (3)函数y ＝ln 1＋x1－x与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( )(4)对数函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a ，1)，函数图象只经过第一、四象限．( )答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ 二、易错纠偏常见误区| (1)忽略真数大于零致误； (2)忽视对底数的讨论致误．1．函数f (x )＝log 2x 2的单调递增区间为____________．解析：设t ＝x 2，因为y ＝log 2t 在定义域上是增函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2的单调递增区间，所以所求区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)2．函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)在[2，4]上的最大值与最小值的差是1，则a ＝________． 解析：分两种情况讨论：①当a >1时，有log a 4－log a 2＝1，解得a ＝2；②当0<a <1时，有log a 2－log a 4＝1，解得a ＝12，所以a ＝2或12.答案：2或12对数函数的图象及应用(典例迁移)(1)若函数y ＝a |x |(a >0，且a ≠1)的值域为{y |y ≥1}，则函数y ＝log a |x |的图象大致是( )(2)若方程4x＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则实数a 的取值范围为____________．【解析】 (1)由于y ＝a |x |的值域为{y |y ≥1}，所以a >1，则y ＝log a |x |在(0，＋∞)上是增函数，又函数y ＝log a |x |的图象关于y 轴对称．因此y ＝log a |x |的图象应大致为选项B ．(2)构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ， 当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象， 可知，只需两图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点即可， 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2≥log a 12，则a ≤22， 所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤0，22. 【答案】 (1)B (2)⎝⎛⎦⎥⎤0，22 【迁移探究】 (变条件)若本例(2)的条件变为：当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围为________．解析：构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，当a >1时不满足条件，当0<a <1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2<log a 12，则a >22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.答案：⎝⎛⎭⎪⎫22，1对于较复杂的不等式恒成立问题，可借助函数图象解决，具体做法如下： (1)对不等式变形，使不等号两边分别对应两函数f (x )，g (x )； (2)在同一平面直角坐标系下作出两个函数f (x )与g (x )的图象； (3)比较当x 在某一范围内取值时图象的上下位置来确定参数的取值．1．函数y ＝2log 4(1－x )的图象大致是( )解析：选C ．函数y ＝2log 4(1－x )的定义域为(－∞，1)，排除A ，B ；函数y ＝2log 4(1－x )在定义域上单调递减，排除D ．选C ．2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．解析：如图，在同一平面直角坐标系中分别作出y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象，其中a 表示直线在y 轴上的截距．由图可知，当a >1时，直线y ＝－x ＋a 与y ＝log 2x 只有一个交点． 答案：(1，＋∞)对数函数的性质及应用(多维探究) 角度一 解对数方程、不等式(1)方程log 2(x －1)＝2－log 2(x ＋1)的解为________．(2)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12（－x ），x <0，则方程f (a )＝f (－a )的解集为________．【解析】 (1)原方程变形为log 2(x －1)＋log 2(x ＋1)＝log 2(x 2－1)＝2，即x 2－1＝4，解得x ＝±5，又x >1，所以x ＝ 5.(2)当a >0时，由f (a )＝log 2a ＝log 12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝f (－a )＝log 12a ，得a ＝1；当a <0时，由f (a )＝log 12(－a )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1a ＝f (－a )＝log 2(－a )，得a ＝－1. 所以方程f (a )＝f (－a )的解集为{1，－1}． 【答案】 (1)x ＝ 5 (2){－1，1}【迁移探究】 (变问法)本例(2)中，f (a )>f (－a )的解集为________．解析：由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a >0，log 2a >log 12a 或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，log 12（－a ）>log 2（－a ），解得a >1或－1<a <0. 答案：(－1，0)∪(1，＋∞)解对数方程、不等式的方法(1)形如log a x ≥log a b 的不等式，借助y ＝log a x 的单调性求解，如果a 的取值不确定，需分a >1与0<a <1两种情况讨论．(2)形如log a x ≥b 的不等式，需先将b 化为以a 为底的对数式的形式． 角度二 对数型函数的综合问题已知函数f (x )＝log 4(ax 2＋2x ＋3)．(1)若f (1)＝1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )的最小值为0，求a 的值．【解】 (1)因为f (1)＝1，所以log 4(a ＋5)＝1，因此a ＋5＝4，即a ＝－1， 所以f (x )＝log 4(－x 2＋2x ＋3)．由－x 2＋2x ＋3>0得－1<x <3，即函数f (x )的定义域为(－1，3)． 令g (x )＝－x 2＋2x ＋3.则g (x )在(－1，1)上单调递增，在[1，3)上单调递减． 又y ＝log 4x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )的单调递增区间是(－1，1)，单调递减区间是[1，3)． (2)若f (x )的最小值为0，则h (x )＝ax 2＋2x ＋3应有最小值1，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，3a －1a＝1，解得a ＝12.故实数a 的值为12.解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1，2]B ．[0，2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D ．当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1；当x >1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x >1.综上可知x ≥0.2．若f (x )＝lg(x 2－2ax ＋1＋a )在区间(－∞，1]上单调递减，则a 的取值范围为( ) A ．[1，2) B ．[1，2] C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A ．令函数g (x )＝x 2－2ax ＋1＋a ＝(x －a )2＋1＋a －a 2，对称轴为x ＝a ，要使函数在(－∞，1]上递减，则有⎩⎪⎨⎪⎧g （1）>0，a ≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧2－a >0，a ≥1， 解得1≤a <2，即a ∈[1，2)．比较指数式、对数式的大小(师生共研)(1)(2020·高考全国卷Ⅲ)设a ＝log 32，b ＝log 53，c ＝23，则( )A ．a <c <bB ．a <b <cC ．b <c <aD ．c <a <b(2)已知奇函数f (x )在R 上是增函数．若a ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 215，b ＝f (log 24.1)，c ＝f (20.8)，则a ，b ，c 的大小有关系为( )A ．a <b <cB ．b <a <cC ．c <b <aD ．c <a <b【解析】 (1)因为23<32，所以2<323，所以log 32<log 3323＝23，所以a <c .因为33>52，所以3>523，所以log 53>log 5523＝23，所以b >c ，所以a <c <b ，故选A ．(2)因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，所以a ＝－f (－log 25)＝f (log 25)， 而log 25>log 24.1>2>20.8，且y ＝f (x )在R 上为增函数， 所以f (log 25)>f (log 24.1)>f (20.8)， 即a >b >c ，故选C ． 【答案】 (1)A (2)C(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性，引入中间量；有时也可用数形结合的方法．(2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数，利用函数单调性进行比较，如果指数相同，而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.1．已知a ＝log 20.2，b ＝20.2，c ＝0.20.3，则( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．b <c <a解析：选B ．因为y ＝log 2x 和y ＝2x是其定义域上的增函数，而y ＝0.2x是减函数，所以a ＝log 20.2<log 21＝0，b ＝20.2>20＝1，c ＝0.20.3∈(0，0.20)，即c ∈(0，1)．所以a <c <b .故选B ．2．(2021·江西五校联考)若0<a <b <1，则a b，b a，log 1ab ，log b a 的大小关系为( )A ．a b>b a>log b a >log 1abB ．b a >a b>log 1ab >log b aC ．log b a >a b>b a>log 1abD ．log b a >b a>a b>log 1ab解析：选D ．因为0<a <b <1，所以0<a b<b b<b a<1，log b a >log b b ＝1，log 1ab <0，所以log b a >b a>a b>log 1ab ，故选D ．思想方法系列5 分类讨论思想研究指数、对数函数的性质已知函数f (x )＝log a (2x －a )(a >0且a ≠1)在区间[12，23]上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是( )A ．(13，1)B ．[13，1)C ．(23，1)D ．[23，1)【解析】 当0<a <1时，函数f (x )在区间[12，23]上是减函数，所以log a (43－a )>0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间[12，23]上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值范围是(13，1)．【答案】 A本题利用了分类讨论思想，在研究指数、对数函数的性质时，常对底数a 的值进行分类讨论，实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．已知函数y ＝a 2x＋2a x－1(a >0，且a ≠1)，当x ≥0时，求函数的值域．解：y ＝a 2x＋2a x －1，令t ＝a x， 则y ＝g (t )＝t 2＋2t －1＝(t ＋1)2－2.当a >1时，因为x ≥0，所以t ≥1，所以当a >1时，y ≥2. 当0<a <1时，因为x ≥0，所以0<t ≤1.因为g (0)＝－1，g (1)＝2，所以当0<a <1时，－1<y ≤2. 综上所述，当a >1时，函数的值域是[2，＋∞)； 当0<a <1时，函数的值域是(－1，2]．。
高考数学一轮复习第二章函数的概念及基本初等函数ⅰ第八节函数与方程课件
零点存在性定理只能 判断零点存在，不能 确定零点的个数．若 函数在某区间上是单 调函数，则该函数在 该区间上至多有一个 零点．
12/11/2021
第四页，共三十六页。
4．二次函数图象与零点的关系
Δ＝b2－4ac
Δ＞0
二次函数y＝ax2＋ bx＋c(a＞0)的图象
与x轴的交点 零点个数❹
(x1,0)，(x2,0) 2
12/11/2021
第十六页，共三十六页。
[名师微点]
确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点的存在性定理：首先看函数 y＝f(x)在区 间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有 f(a)·f(b)＜0.若有，则 函数 y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．
(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给
第二十八页，共三十六页。
(2)令 h(x)＝－x－a，则 g(x)＝f(x)－ h(x)．在同一坐标系中画出 y＝f(x)，y＝h(x) 的示意图，如图所示．若 g(x)存在 2 个零 点，则 y＝f(x)的图象与 y＝h(x)的图象有 2 个交点，平移 y＝ h(x)的图象，可知当直线 y＝－x－a 过点(0,1)时，有 2 个交点， 此时 1＝－0－a，a＝－1.当 y＝－x－a 在 y＝－x＋1 上方，即 a＜－1 时，仅有 1 个交点，不符合题意．当 y＝－x－a 在 y ＝－x＋1 下方，即 a＞－1 时，有 2 个交点，符合题意．综上， a 1的2/11/取2021值范围为[－1，＋∞)．故选 C.
A．(1,2)
B．(2,3)
C.1e，1和(3,4)
D．(4，＋∞)
解析：易知f(x)为增函数，由f(2)＝ln 2－1＜0，
高考数学一轮复习专题三函数的概念性质与基本初等函数8函数模型及函数的综合应用综合篇课件新人教A版
5 730年之间.
答案
1
2 ;4 223
方法总结 应用指数函数模型的关注点: (1)指数函数模型的应用类型.常与增长率相结合进行考查,在实际问题中 有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以利用指数函数模型 来解决. (2)应用指数函数模型的关键是对模型的判断,先设定模型,再将已知有关 数据代入验证,确定参数,从而确定函数模型. (3)y=a(1+x)n通常利用指数运算与对数函数的性质求解.
解析 (1)当x≤6时,y=50x-115.令50x-115>0,解得x>2.3. ∵x∈N*,∴3≤x≤6,x∈N*. 当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115. 令-3x2+68x-115>0,有3x2-68x+115<0. 解不等式得2≤x≤20(x∈N*),∴6<x≤20(x∈N*),
少”这一规律.已知样本中碳14的质量N随时间t(单位:年)的衰变规律满
足N=N0·2
5
t 730
(N0表示碳14原有的质量),则经过5
730年后,碳14的质量变为
原来的
;经过测定,良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来
的 1 至 3 ,据此推测良渚古城存在的时期距今约在
25
间.(参考数据:log23≈1.585,log25≈2.322)
(2)当0<x<50时,L(x)=-10(x-30)2+4 000,当x=30时,L(x)max=L(30)=4 000;当x≥
50时,L(x)=-
x
10
000 x
+4
000,∵x+10
000 x
高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第8节函数的模型及其综合应用高考AB卷理
【2019最新】精选高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数第8节函数的模型及其综合应用高考AB卷理函数的综合应用1.(2012·全国，12)设点P在曲线y＝ex上，点Q在曲线y＝ln(2x)上，则|PQ|的最小值为( )A.1－ln 2B.(1－ln 2)C.1＋ln 2D.(1＋ln 2)解析由题意知函数y＝ex与y＝ln(2x)互为反函数，其图象关于直线y＝x对称，两曲线上点之间的最小距离就是y＝x与y＝ex最小距离的2倍，设y＝ex上点(x0，y0)处的切线与y＝x平行，有ex0＝1，x0＝ln 2，y0＝1，∴切点到直线y＝x的距离d＝，所以|PQ|的最小值为(1－ln 2)×2＝(1－ln 2).答案B2.(2013·全国Ⅰ，21)设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d).若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x＋2.(1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围.解(1)由已知得f(0)＝2，g(0)＝2，f′(0)＝4，g′(0)＝4.而f′(x)＝2x＋a，g′(x)＝ex(cx＋d＋c)，故b＝2，d＝2，a＝4，d＋c＝4.从而a＝4，b＝2，c＝2，d＝2.(2)由(1)知，f(x)＝x2＋4x＋2，g(x)＝2ex(x＋1).设函数F(x)＝kg(x)－f(x)＝2kex(x＋1)－x2－4x－2，则F′(x)＝2kex(x＋2)－2x－4＝2(x＋2)(kex－1).由题设可得F(0)≥0，即k≥1.令F′(x)＝0，得x1＝－ln k，x2＝－2.(ⅰ)若1≤k<e2，则－2<x1≤0.从而当x∈(－2，x1)时，F′(x)<0；当x∈(x1，＋∞)时，F′(x)>0.即F(x)在(－2，x1)上单调递减，在(x1，＋∞)上单调递增.故F(x)在[－2，＋∞)上的最小值为F(x1).而F(x1)＝2x1＋2－x－4x1－2＝－x1(x1＋2)≥0.故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立.(ⅱ)若k＝e2，则F′(x)＝2e2(x＋2)(ex－e－2).从而当x>－2时，F′(x)>0，即F(x)在(－2，＋∞)上单调递增.而F(－2)＝0，故当x≥－2时，F(x)≥0，即f(x)≤kg(x)恒成立.(ⅲ)若k>e2，则F(－2)＝－2ke－2＋2＝－2e－2(k－e2)<0.从而当x≥－2时，f(x)≤kg(x)不可能恒成立.综上，k的取值范围是[1，e2].函数的实际应用1.(2016·四川，5)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)( )A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年解析设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x＝200，解得x＝log1.12＝≈3.80，因资金需超过200万，则x取4，即2019年.选B.答案B2.(2015·北京，8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油，乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时，消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油解析汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”，由此理解A显然不对；B应是甲车耗油最少；C甲车以80千米/小时的速度行驶10 km，消耗1升汽油.故D正确.答案D3.(2014·湖南，8)某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A. B.（p＋1）（q＋1）－12C. D.－1解析设年平均增长率为x，原生产总值为a，则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)2，解得x＝－1，故选D.答案D4.(2013·陕西，9)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( )A.[15，20]B.[12，25]C.[10，30]D.[20，30]解析设矩形另一边长为y，＝，则x＝40－y，y＝40－x.由xy≥300，即x(40－x)≥300，解得10≤x≤30，故选C.答案C5.(2015·四川，13)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝ekx＋b(e＝2.718…为自然对数的底数，k，b为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时.解析由题意∴e22k＝＝，∴e11k＝，∴x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝·eb＝×192＝24.答案246.(2015·江苏，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到l1，l2的距离分别为5千米和40千米，点N到l1，l2的距离分别为20千米和2.5千米，以l2，l1所在的直线分别为x，y 轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数y＝(其中a，b为常数)模型.(1)求a ，b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t.①请写出公路l 长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度.解 (1)由题意知，点M ，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5). 将其分别代入y ＝，得解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0. (2)①由(1)知，y ＝(5≤x≤20)，则点P 的坐标为，设在点P 处的切线l 交x ，y 轴分别于A ，B 点，y′＝－，则l 的方程为y －＝－(x －t)，由此得A ，B.故f(t)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t22＝，t∈[5，20].②设g(t)＝t2＋，则g′(t)＝2t －.令g′(t)＝0，解得t ＝10.当t∈(5，10)时，g′(t)＜0，g(t)是减函数；当t∈(10，20)时，g′(t)＞0，g(t)是增函数.从而，当t ＝10时，函数g(t)有极小值，也是最小值， 所以g(t)min ＝300，此时f(t)min ＝15.答：当t ＝10时，公路l 的长度最短，最短长度为15千米.函数的综合应用7.(2016·山东，10)若函数y ＝f(x)的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y＝f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是( )A.y＝sin xB.y＝ln xC.y＝exD.y＝x3解析对函数y＝sin x求导，得y′＝cos x，当x＝0时，该点处切线l1的斜率k1＝1，当x＝π时，该点处切线l2的斜率k2＝－1，∴k1·k2＝－1，∴l1⊥l2；对函数y＝ln x求导，得y′＝恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝ex求导，得y′＝ex恒大于0，斜率之积不可能为－1；对函数y＝x3，得y′＝2x2恒大于等于0，斜率之积不可能为－1.故选A.答案A8.(2014·辽宁，12)已知定义在[0，1]上的函数f(x)满足：①f(0)＝f(1)＝0；②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f(x)－f(y)|<|x－y|.若对所有x，y∈[0，1]，|f(x)－f(y)|<k恒成立，则k的最小值为( )A. B. C. D.18解析不妨令0≤y<x≤1，当0<x－y≤时，|f(x)－f(y)|<|x－y|≤；当<x－y≤1时，|f(x)－f(y)|＝|[f(x)－f(1)]－[f(y)－f(0)]|≤|f(x)－f(1)|＋|f(y)－f(0)|<|x－1|＋|y－0|＝(1－x)＋y＝＋(y－x)<.综上，|f(x)－f(y)|<，所以k≥.答案B9.(2013·天津，8)已知函数f(x)＝x(1＋a|x|).设关于x的不等式f(x＋a)<f(x)的解集为A.若⊆A，则实数a的取值范围是( ) A.B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，0 C.∪D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1－52 解析 a ＝0时，A ＝∅，不满足条件.a>0时，易知f(0)＝0，x>0时，f(x)＝x(1＋a|x|)>0，于是f(0＋a)>0＝f(0)，而由已知⊆A 可得0∈A，即f(0＋a)<f(0)，所以a>0也不满足条件，故a<0.易知f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1a （x≥0），－ax ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a （x<0）， 在坐标系中画出y ＝f(x)与y ＝f(x ＋a)的图象如图所示，由图可知满足不等式f(x ＋a)<f(x)的解集A ＝(xA ，xB).由x(1－ax)＝(x ＋a)[1－a(x ＋a)]可得xA ＝；由x(1＋ax)＝(x ＋a)[1＋a(x ＋a)]，可得xB ＝－.∴A ＝(a<0).由⊆A 得⎩⎪⎨⎪⎧1－a22a <－12，－1＋a22a >12，a<0，解得<a<0.故选A.答案 A10.(2014·湖北，14)设f(x)是定义在(0，＋∞)上的函数，且f(x)>0，对任意a>0，b>0，若经过点(a ，f(a))，(b ，－f(b))的直线与x 轴的交点为(c ，0)，则称c 为a ，b 关于函数f(x)的平均数，记为Mf(a ，b).例如，当f(x)＝1(x>0)时，可得Mf(a ，b)＝c ＝，即Mf(a ，b)为a ，b 的算术平均数.(1)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a ，b)为a ，b 的几何平均数.(2)当f(x)＝________(x>0)时，Mf(a，b)为a，b的调和平均数. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)解析过点(a，f(a))，(b，－f(b))的直线的方程为y－f(a)＝(x－a)，令y＝0得c＝.(1)令几何平均数＝⇒f(a)＋f(b)＝bf(a)＋af(b)，可取f(x)＝(x>0)；(2)令调和平均数＝⇒＝，可取f(x)＝x(x>0).答案(1) (2)x。
高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数章末总结分层演练文
【2019最新】精选高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数章末总结分层演练文章末总结一、点在纲上，源在本里二、根置教材，考在变中一、选择题1．(必修1 P58练习T2(1)改编)函数f(x)＝3的定义域为A，值域为B，则A∩B ＝( )A．(0，2] B．[1，2]C．[0，1] D．(1，2)解析：选B.因为A＝{x|x≤2}，B＝{y|y≥1}，所以A∩B＝[1，2]，故选B.2．(必修1 P74A组T2(2)(3)(4)改编)设a＝log87，b＝log43，c＝log73，则a，b，c的大小关系为( )A．a>b>c B．a>c>bC．b>a>c D．b>c>a解析：选A.由a＝log87得8a＝7，即23a＝7，2a＝7，即a＝log27.由b＝log43得4b＝3，即22b＝3，2b＝3，即b＝log23.又＝49，＝27.所以7>3，则a>b.由于1<4<7，所以log43>log73，即b>c，所以a>b>c.3．(必修1 P44A组T7改编)已知f(x)＝，且f＝－f(b)对于b≠－1时恒成立，则a的值为( )A．0 B．1C．2 D．－1解析：选B.因为f(x)＝，由f＝－f(b)，得＝，化简得(a－1)(b＋1)＝0.要使上式对于b≠－1恒成立，则a－1＝0，所以a＝1.4．(必修1 P45B组T6改编)定义在R上的偶函数f(x)满足：f(4)＝f(－2)＝0，在区间(－∞，－3)与[－3，0]上分别单调递增和单调递减，则不等式xf(x)>0的解集为( )A．(－∞，－4)∪(4，＋∞)B．(－4，－2)∪(2，4)C．(－∞，－4)∪(－2，0)D．(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)解析：选D.因为f(x)是偶函数，所以f(4)＝f(－4)＝f(2)＝f(－2)＝0，又f(x)在(－∞，－3)，[－3，0]上分别单调递增与单调递减，所以xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(－2，0)∪(2，4)，故选D.5．(必修1 P36练习T1(2)改编)函数y＝(x3－x)2|x|的图象大致是( )解析：选B.易判断函数为奇函数．由y＝0得x＝±1或x＝0.且当0<x<1时，y<0；当x>1时，y>0，故选B.6．(必修1 P88例1改编)已知e是自然对数的底数，函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x＋x－2的零点为b，则下列不等式中成立的是( ) A．f(a)<f(1)<f(b) B．f(a)<f(b)<f(1)C．f(1)<f(a)<f(b) D．f(b)<f(1)<f(a)解析：选A.由题意，知f′(x)＝ex＋1>0恒成立，所以函数f(x)在R上是单调递增的，而f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，所以函数f(x)的零点a∈(0，1)；由题意，知g′(x)＝＋1>0，所以函数g(x)在(0，＋∞)上是单调递增的，又g(1)＝ln 1＋1－2＝－1<0，g(2)＝ln 2＋2－2＝ln 2>0，所以函数g(x)的零点b∈(1，2)．综上，可得0<a<1<b<2.因为f(x)在R上是单调递增的，所以f(a)<f(1)<f(b)．故选A.7．(必修1 P24A组T1(1)改编)已知函数f(x)＝的图象与直线x＋my－3m－4＝0有两个交点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则等于( )A．B．34C．－D．－34解析：选B.因为f(x)＝＝＝3＋，其图象是由y＝向右平移4个单位后，再向上平移3个单位得到，所以函数f(x)＝的图象关于点(4，3)对称，又直线x＋my－3m－4＝0，即为(x－4)＋m(y－3)＝0，从而恒过定点(4，3)．所以A(x1，y1)与B(x2，y2)关于点(4，3)对称，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝6，所以＝＝.8．(必修 1 P23练习T3改编)已知函数f(x)＝|2x－1|，a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，则下列结论中，一定成立的是( )A．a<0，b<0，c<0 B．a<0，b≥0，c>0C．2－a<2c D．2a＋2c<2解析：选 D.作出函数f(x)＝|2x－1|的图象如图中实线所示，又a<b<c，且f(a)>f(c)>f(b)，结合图象知f(a)<1，a<0，c>0，所以0<2a<1，所以f(a)＝|2a－1|＝1－2a，所以f(c)<1，所以0<c<1，所以1<2c<2，所以f(c)＝|2c－1|＝2c－1.又f(a)>f(c)，即1－2a>2c－1，所以2a＋2c<2，故选D.二、填空题9．(必修1 P75B组T2改编)若loga2<1(a>0且a≠1)，则a的范围为________．解析：当0<a<1时，loga2<0，所以loga2<1成立．当a>1时，loga2<1即为loga2<logaa.所以a>2，综上所述a的范围为(0，1)∪(2，＋∞)．答案：(0，1)∪(2，＋∞)10．(必修1 P23练习T3改编)函数y＝|x＋a|的图象与直线y＝1围成的三角形的面积为__________．解析：作出其图象如图所示，由得A(－1－a，1)，B(1－a，1)，所以|AB|＝2，所以S△ABC＝×2×1＝1.答案：111．(必修1 P75A组T12改编)研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼逆流游速可以表示为函数v＝alog3，其中v的单位为m/s，Q表示鲑鱼的耗氧量的单位数，a为正常数．已知一条鲑鱼游速为 m/s时，其耗氧量为2 700个单位数，则当它的游速为2 m/s时，它的耗氧量是静止时耗氧量的________倍．解析：当Q＝2 700时，v＝ m/s.所以＝alog3，所以a＝.即v＝log3.所以当v ＝2时，2＝log3，此时Q＝8 100，当v＝0时，0＝log3，此时Q＝100.所以游速2 m/s 时的耗氧量是静止时耗氧量的＝81倍．答案：8112．(必修1 P83B组T4改编)已知函数f(x)＝ex＋ke－x为奇函数，函数g(x)是f(x)的导函数，有下列4个结论：①[f(x)]2－[g(x)]2为定值；②曲线f(x)在任何一点(x0，f(x0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角；③函数f(x)与g(x)的图象有且只有1个交点；④f(2x)＝2f(x)g(x)恒成立．则正确的结论为________(将正确结论的序号都填上)．解析：因为f(x)＝ex＋ke－x为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，即e－x＋kex ＝－ex－ke－x，(k＋1)(e－x＋ex)＝0.所以k＝－1.即f(x)＝ex－e－x.则g(x)＝f′(x)＝ex＋e－x，所以[f(x)]2－[g(x)]2＝(ex－e－x)2－(ex＋e－x)2＝－4为定值，故①正确．又f′(x)＝ex＋e－x≥2＝2.所以f′(x0)≥2>.即曲线f(x)在任意一点(x0，f(x0))处的切线的倾斜角α是大于60°的锐角，故②正确．③由f(x)＝g(x)，即ex－e－x＝ex＋e－x得e－x＝0，无解．即函数f(x)与g(x)的图象无交点，故③错误．④f(2x)＝e2x－e－2x，f(x)g(x)＝(ex－e－x)(ex＋e－x)＝e2x －e－2x，所以f(2x)＝f(x)g(x)，所以f(2x)＝2f(x)g(x)恒成立错误，故④错误．答案：①②。
近年高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第8讲函数的图象演练文(2021年整理)
2019高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第8讲函数的图象分层演练文编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2019高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第8讲函数的图象分层演练文）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2019高考数学一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数第8讲函数的图象分层演练文的全部内容。
第8讲 函数的图象一、选择题1．函数y ＝x sin x 在[－π，π］上的图象是( ）解析：选A.容易判断函数y ＝x sin x 为偶函数，排除D.当0<x <错误!时，y ＝x sin x 〉0，当x ＝π时，y ＝0,排除B 、C ，故选A.2．定义一种运算：g ⊗h ＝⎩⎨⎧g （g ≥h ），h （g ＜h ），已知函数f (x )＝2x ⊗1,那么函数f （x －1）的大致图象是（ )解析：选B 。
由定义知,当x ≥0时,2x ≥1，所以f （x ）＝2x,当x ＜0时，2x ＜1,所以f （x ）＝1，所以f （x )＝错误!其图象易作，f （x －1）的图象可由f （x )的图象向右平移1个单位长度得到，故选B.3．已知函数y ＝f （x )的图象如图所示,则函数y ＝log 错误!f (x ）的图象大致是（ )解析：选C。
法一:由函数y＝f(x）的图象知，当x∈(0,2)时，f（x)≥1，所以log错误!f（x）≤0，结合选项知，选C.法二：由函数f(x）的图象知，函数f(x)在(0，1）上是减函数，在(1,2)上是增函数，所以y＝log错误!f(x）在（0,1）上是增函数，在(1,2）上是减函数．结合各选项知，选C.4．图中阴影部分的面积S是关于h的函数（0≤h≤H），则该函数的大致图象是（)解析：选B.由题图知，随着h的增大,阴影部分的面积S逐渐减小，且减小得越来越慢，结合选项可知选B。
2017版高考数学一轮总复习课件：第2章 函数的概念与基本初等函数 第八节
当 c>92时，建造费用最小时 r＝ 3
20 c－2.
第二十六页，编辑于星期六：十九点 五十二分。
[答题模板] 解函数应用题的一般程序 第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立 相应的数学模型； 第三步：解模——求解数学模型，得到数学结论；
第八节 函数模型及其综合应用
第一页，编辑于星期六：十九点 五十二分。
第二页，编辑于星期六：十九点 五十二分。
知识点一 常见函数模型 1.几种常见的函数模型
函数型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
第三页，编辑于星期六：十九点 五十二分。
元)与 x 的近似关系是 q(x)＝160 x
（x∈N*，且7≤x≤12）.
(1)写出2015年第x个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x的函数关系式
；
(2)试问2015年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费
总额为多少元？
第十八页，编辑于星期六：十九点 五十二分。
解 (1)当 x＝1 时，f(1)＝p(1)＝37， 当 2≤x≤12，且 x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x－1) ＝12x(x＋1)(39－2x)－12(x－1)x(41－2x) ＝－3x2＋40x，验证 x＝1 也满足此式， 所以 f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且 1≤x≤12).
①当 0<m<2 即 c>92时，当 r＝m 时，y′＝0；当 r∈(0，m)时，y′ <0；当 r∈(m，2)时，y′>0.所以 r＝m 是函数 y 的极小值点，也 是最小值点.
高考数学一轮复习 第二章 函数的概念、基本初等函数(ⅰ)及函数的应用 2.8 函数的图象课件 文
2021/12/11
第四页，共三十九页。
自 查 自 纠：
2．(1)①y＝f(x＋a) 右 ②y＝f(x)＋b 下
(2)①y 轴 x 轴 原点 ②x＝m
(3)①A 倍 ②1a倍
2021/12/11
第五页，共三十九页。
函数 y＝5x 与函数 y＝－51x的图象关于(
)
A．x 轴对称
点的横坐标伸(a<1 时)或缩(a>1 时)到原来的_____________．
(4)翻折变换 ①y＝|f(x)|的图象作法：作出 y＝f(x)的图象，将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上方，上方的部 分不变； ②y＝f(|x|)的图象作法：作出 y＝f(x)在 y 轴右边的图象， 以 y 轴为对称轴将其翻折到左边得 y＝f(|x|)在 y 轴左边的图
的图象如图所示，那么不等式f（coxs）x <0 的解集为________．
2021/12/11
第九页，共三十九页。
解：在0，π2上 y＝cosx>0，在π2，4上 y＝cosx<0. 由 f(x)的图象知在1，π2上f（coxs）x ＜0，
因为 f(x)为偶函数，y＝cosx 也是偶函数， 所以 y＝f（coxs）x 为偶函数，
x∈(x0，2)时，f(x)为增函数．故选 D.
2021/12/11
第二十一页，共三十九页。
(3)(2015·安徽)函数 f(x)＝（axx＋＋cb）2的图象如图所示，则下列
结论成立的是
()
A．a>0，b>0，c<0 C．a<0，b>0，c＜0
B．a<0，b>0，c>0 D．a＜0，b＜0，c＜0
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解 (1)每吨平均成本为yx(万元). 则yx＝5x＋8 0x00－48≥2 5x·8 0x00－48＝32， 当且仅当5x＝8 0x00，即 x＝200 时取等号. ∴年产量为 200 吨时，每吨平均成本最低，最低为 32 万元. (2)设可获得总利润为 R(x)万元，
[点评] 二次函数是常用的函数模型，建立二次函数模型可以 求出函数的值域或最值.解决实际中的优化问题时，一定要分 析自变量的取值范围.利用配方法求最值时，一定要注意对称 轴与给定区间的关系：若对称轴在给定的区间内，可在对称 轴处取最值，在离对称轴较远的端点处取另一最值；若对称 轴不在给定的区间内，最值都在区间的端点处取得.
知识点二 函数模型的应用 1.函数的实际应用问题
解答函数应用题的一般步骤： (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步 选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符 号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义. 以上过程用框图表示如下：
解析 设增长率为 x，则有4400%0 ×(1＋x)2＝1 690，解得 1＋x ＝1130，因此 2015 年预计经营总收入为4400%0 ×130＝1 300(万元).
答案 1 300
一次函数，二次函数模型求解方法
在现实生活中，有很多问题的两变量之间的关系是一次 函数关系，对这类问题，可以构建一次函数模型，其增 长特点是直线上升(自变量的系数大于0)或直线下降(自变 量的系数小于0).有些问题的两变量之间是二次函数关系， 如面积问题、利润问题、产量问题等.对这类问题，可以 构建二次函数模型，利用二次函数图象与单调性解决.
第八节 函数的模型及其综合应用
知识点一 常见函数模型 1.几种常见的函数模型
函数模型
函数解析式
一次函数模型
f(x)＝ax＋b(a、b为常数，a≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1， 指数函数模型
b≠0) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，
b≠0) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0，n≠0)
2.三种函数模型的性质比较
y＝ax(a>1)
y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)
在(0，＋∞) 单调 递增 函数 单调 递增 函数 单调 递增函数
上的单调性
增长速度 越来越 快 越来越 慢
相对平稳
随x值增大，图象 随x值增大，图象 随n值变化而不
则 R(x)＝40x－y＝40x－x52＋48x－8 000 ＝－x52＋88x－8 000＝－15(x－220)2＋1 680(0≤x≤210). ∵R(x)在[0，210]上是增函数， ∴x＝210 时，
R(x)有最大值为－15(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年产量为 210 吨时，可获得最大利润 1 660 万元.
2.函数的综合应用问题 函数可与方程、不等式、数列、三角函数、解析几何等数学 知识相结合，根据不同知识板块的特点和特殊的对应法则建 立不同变量之间的关系，利用函数的单调性、最值等性质， 结合函数思想及方法，达到解决其他问题的目的，这也正体 现了函数的工具性作用.
►一个重要函数模型：指数函数模型. (3)[在实际问题中，有关人口增长、银行利率，细胞分裂等 增长率问题常用指数函数模型y＝N(1＋p)x表示，其中N为基 础数，p为增长率，x为时间.]某电脑公司2014年的各项经营 收入中，经营电脑配件的收入为400万元，占全年经营总收 入的40%.该公司预计2016年经营总收入要达到1 690万元，且 计划从2014年到2016年，每年经营总收入的年增长率相同， 2015年预计经营总收入为________万元.
图象的变化 与 y 轴接近平行 与x轴接近 平行
Байду номын сангаас
同
►一个易错点：函数定义域. (1)[要特别关注实际问题的自变量的取值范围，合理确定函数 的定义域]若一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，则 燃 烧 剩下的 高 度 h(cm) 与 燃烧 时间 t( 小 时 ) 的 函数 关系式为 ________. 解析 由题意得关系式为h＝20－5t(0≤t≤4). 答案 h＝20－5t(0≤t≤4)
【例 1】 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品， 其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可 以近似地表示为 y＝x52－48x＋8 000，已知此生产线年产量 最大为 210 吨.
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，
并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少
和 p(x)(单位：万人)与 x 的关系近似地满足 p(x)＝12x(x＋1)(39－
2x)(x∈N*，且 x≤12).已知第 x 个月的人均消费额 q(x)(单位：元)
分段函数模型应用求解方略
(1)很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出， 这时就需要构建分段函数模型，如出租车的票价与路程的函 数就是分段函数.(2)求函数最值常利用基本不等式法、导数法、 函数的单调性等方法.在求分段函数的最值时，应先求每一段 上的最值，然后比较得最大值、最小值.
【例 2】 某旅游景点预计 2015 年 1 月份起前 x 个月的旅游人数的
(2)[三种函数模型：体会指数爆炸与对数增长]设函数f(x)＝x2， g(x) ＝ 2x ， h(x) ＝ log2x ， 若 x0 ∈ (4 ， ＋ ∞ ) ， 则 f′(x0) ， g ′ (x0) ， h′(x0)的大小关系为________. 解析 三个函数中g(x)增长最快，h(x)增长最慢，由在某点处 导数的几何意义知g′(x0)＞f′(x0)＞h′(x0). 答案 g′(x0)＞f′(x0)＞h′(x0)