基于最近发展区理论的教学设计实践——《椭圆及其标准方程》教学设计

（ ２ ） ０＋６ ＝１ ０ ， ｃ ＝２ √ ５
２
２
，
例２ 若方程了 二 ＋
一
）
ｊ 一
＝一 １ 表示椭圆， 求 的取值
范 围．
２ ２
，
变式 １ ： 方 程 ＋
口一
口 十
＝１ 表 示 焦 点 在 轴 上 的 椭 圆 ，
求 的取 值 范 围． 变式 ２ ： “ ｍ ＞ｎ＞ ０ ” 是方 程 ｍ ＋ｎ ｙ ＝１表 示 焦 点 在 ｙ 轴上的椭圆 的 条件． 变式 ３ ： 方程 Ａ ＋Ｂ ， ， ：１什 么 时候 表 示 椭 圆？ 什 么 时
●

案 例 剖 析
．
．
岿
０－ － Ｉ ， ｒ ．
●
基 李 最遂 展 匿罐谂 般学设 赫寮践
《 椭 圆及其标 准方程 》 教 学 设计
◎赵 冉 （ 广 东省 韶 关 市 曲 江 一 中 中学 ５ １ ２ １ ０ ０ ）
最 近 发 展 区 理 论 在 现 在 的 教 学 过 程 中 应 用 得 越 来 越 多， 这一理论要求 教师在教学设计 时， 应 以 学 生 的最 近 发 展 区为 契 机 和 平 台 ， 激发学生的思维 操作 ， 进 而 提 升 学 生 的 数 学认知水平和能力． 在教学过程 中 ， 把 数 学 教 学 的 侧 重 点 从 学 生 已经 完 成 的发 展 过 程转 移 到 正 在 形 成 或 成 熟 的 发 展 过 程， 了解 学 生 某 一 知 识 和 能 力 形 成 的 最 佳 期 限 ， 抓 住 数 学 认 知 发 展 的关 键 期 ， 并 在 该 知 识 和 能 力 形 成 时 对 学 生 施 以 最 大影 响， 从而促进学生数学能力提 升． 现 以 椭 圆及 其 标 准 方 程为例 ， 谈 谈 我 在 教 学 过 程 中对 这 一 理 论 的 实践 ． 创 设 情 境 引 入 新 课 问题 １ ： 将一 根没有弹性 的细绳 对折 ， 把 重 合 的 两 个 端 点 固定 在 黑 板 上 的 一 点 ， 用笔尖套 人另一端 将绳 拉紧 ， 使 笔 尖 在 黑 板 上 移 动 一 周会 生 成 怎 样 的轨 迹 呢 ？ 学生 ： 轨迹是圆． 问题 ２ ： 把 刚 才 重 合 的 两 个 端 点 分 开 固 定 在 黑 板 上 的 Ｆ ， Ｆ 两点 上 ， 当绳 长 大 于 Ｆ ， 两 点 的距 离 时 ， 用 笔 尖 把 绳 子拉 紧 ， 使 笔尖 在 图板 上移 动一 周 ， 又 会 生成 怎样 的轨 迹 呢？ 教师引导 学 生 ， 通 过 动 手 实 验 画 图， 得 出 结论 ： 当 常 数 ＝Ｉ Ｆ Ｆ ： ｌ 时， 与两个 定点 Ｆ ， Ｆ 的 距 离 之 和 等 于 常 数 的 点的轨迹是线段 Ｆ 。 Ｆ ； 当常 数 ＜ｌ ， ， Ｉ 时， 与两 个定点 Ｆ ， Ｆ ，的距 离 之 和等 于常 数 的 点 的 轨 迹 不 存 在 ． 二、 深 入 探 索 推 导 方 程 问题 ３ ： 求 曲线 方 程 的基 本 步骤 是什 么 ？ 学生 回顾 ： 建（ 系） 一设 （ 点） 一限 （ 约束 条件 ） 一 代 （ 人） 一化 （ 简） ． 问题 ４ ： 观察椭 圆的几何 特征 ， 如 何 建 系 能 使 方 程 更 简 单 ？ 如 何 求 椭 圆 的方 程 ？ 教 师 引导 学 生 增设 台 阶 ： （ １ ） 利用对 称性建立坐标 系； （ ２ ） 设 置常数 ２ ｏ ， ２ ｃ ； （ ３ ） 化简方程 ， 两次平方 ； （ ４ ） 引 出 师生共 同活动 ： 利 用 椭 圆 的对 称 性 特 征 ① 以直 线 Ｆ 。 ， 为 轴 ， 以线 段 Ｆ ， Ｆ 的垂 直 平 分 线 为 ｙ 轴， 建立平面直角坐标系． ②设焦距 为 ２ ｃ （ ｃ ＞ ０ ） ， 则 Ｆ ， （一ｃ ， ０ ） ， Ｆ （ ｃ ， ０ ） ． 设Ｐ （ ， ｙ ） 为椭圆上 任 意 一点 ， 点 Ｐ与 点 Ｆ ， ， Ｆ 的 距 离 之 和 为 ２ ｎ （ ２ ａ＞２ ｃ ） ．
一
０ ） ． 这样表示 的椭圆方程体现了对称美 、 简 洁 美． 问题 ５ ： 如何 求 焦 点 在 轴 上 的椭 圆 的标 准 方 程 ７
２
，
２
学生 ： 按上 述方 法 ， 可 求 出方程 为 ＋ ＝ １ （ 。 ＞６ ＞ ｏ ） ．
口 ｂ一
设计意 图 ： 学生 的现 实发 展水 平是 ： 掌握 椭 圆的定 义 ， 会求 曲线方程的一般步骤 ， 会 化简含一个 根式 的方程． 需 要 跨越 的发展区是 ： 根 据 椭 圆定 义 推 导 椭 圆 方 程 ； 根 据 求 曲线
数 学 学 习与 研 究
ｏ 一ｃ 都表 示椭 圆中的特殊 线段 ， 不妨 令 ｏ 一ｃ ：６ ， 得
２
２
＾ ，
到焦点在 轴上的椭 圆的标 准 方程 为 ＋ ÷ ＝１ （ 口＞６＞
２ ０ １ ５ ． １ １
方 程的一般步骤 ， 结合椭 圆特点 ， 将 椭 圆 放 在 恰 当 的 坐 标 系
中， 设 点 的坐 标 ； 根据 化简 根式 的一 般方 法化 简两 个根 式． 椭 圆标 准 方 程 的 推 导 是 教 学 的 难 点 ， 直 接 讲 授 学 生 可 能 难 以 理解 和 掌 握 ． 教 师 应 在 现有 水 平 和 目标 水 平 之 间增 设 “ 台 阶” ， 即构建若 干个最 近 发展 区 ， 不 断把 学 生 的“ 最 近 发 展 区” 转化成现有水 平 ， 逐层 递进 ， 把 学 生 的 能 力 提 高 到 目标
法） 先移项 （ ＋ ｃ ） ＋） ， ＝２ ａ一￣ ／ （ — ｃ ） ｙ ．
再方程两边平方 （ ＋ ｃ ） ＋ ｙ ２ ＝ ４ ａ 一 ４ ａ （ — ｃ ） ＋ｙ ２ ＋
（ — ｃ ） ＋ ｙ ．
整理得 Ⅱ 一ｃ ＝口 （ —ｃ ） ＋ ｙ 再两 边平方 Ⅱ 一
２ ． 知识小结 ， 提 炼 升华 椭 圆 的定 义 及 其 标 准 方 程 的 推 导 过 程 ， 处 处 体 现 了 数
与 形 之 间 的对 照 和 相 互 转 化 ， 通 过本节课 的学 习 ， 说 说 你 在 知 识 与方 法 上分 别 有 哪 些 收 获 ？ 设计 意 图 ： 学 生 学 习 完 例 １会 求 椭 圆 标 准 方 程 之 后 ， “ 最 近发展区” 应 该 有 所 突破 ， 通 过 设 计 例 ２及 其 变 式 ， 给 学 生 造 成 新 的 困难 ， 向着 下 一 个 “ 最近发展 区” 发展． 从 而 达 到 学 生对 概念 的 深 层 理 解 ． 总之 ， 我们在利用最近发展 区理论来 设计教 学 时 ， 应 尽 量 利用 学 生 已 有 的 知 识 ， 在 原 有 的知 识 框 架 的基 础 上 ， 设 定 合适 的难度传授新知识． 笔者 在教学 的过程 中， 牢 牢 把 握 住 学 生的潜在水平 ， 取 得 了 良好 的 效果 ．
、
水平． 每 一 步 的 跨 越 学 生 既 可 及 又 使 力 的新 知 生 成 方 式 是 运 用 最 近 发 展 区理 论 的较 好 策 略． （ １ ） 利 用 对 称性 建 立 坐 标 系 ； （ ２ ） 设 置常数 ２ ０ ， ２ ｃ ； （ ３ ） 化简方程 ， 两次平方 ； （ ４ ） 引 出
候 表 示 焦 点 在 轴 上 的 椭 圆 ？什 么 时 候 表 示 焦 点 在 ｙ轴 上 的 椭 圆？
③动点 Ｐ 满足的几何约束条件：ｌ Ｐ Ｆ 。 ｌ ＋ｌ Ｐ Ｆ Ｉ ＝ ２ ａ ．
④坐标化 ： （ ＋ｃ ） ＋ ， ， ＋ （ —ｃ ） ｙ ＝ ２ ａ ． ⑤化简 ： 引导学 生 思考 如 何去 根 号 （ 移 项 后 两 次 平 方
三、 知识运用 。 深 化 理 解 １ ． 运用新知 ， 解 决 例 题 例 １ 写 出适 合 下 列 条 件 的椭 圆标 准 方 程 ： （ １ ） 两 个 焦 点 的坐 标 分 别 是 （一 ４， ０ ） ， （ ４， Ｏ ） ， 椭 圆上 一 点 Ｐ到两焦点距离和等于 １ ０ ．
＝１ ，
由定 义 ２ ａ＞ ２ ｃ ， ． ‘ ． ８ 一Ｃ ＞ ０ ， 椭 圆具有对 称性 ， 表 示 它 的方程也该有对 称性 ， 教 师 引 导 学 生 观 察 椭 圆 图 形 和 推 导 出的椭 圆方 程 的 系 数 ， 学 生容 易发现三 个基本 量 ａ ， ｃ ，
【 参考文献 】
［ １ ］ 祝要辉． 比较、 发现 、 领悟 、 教“ 椭 圆标 准 方 程 后 ”想 到的． 中 学 数 学教 学 参 考 ， ２ ０ １ ４， １ ２ ［ ２ ］ 何建东． 圆 锥 曲线 引 课 之 众 “ 设 ” 纷 纭． 中 学 数 学 教 学参考 ， ２ ０ １ １ ， ９ ．
２ａ 蹦 十ｃ ＝ａ ２ 。一２ａ 。 ＋。 ｃ ＋０ ｙ
．
化简 ， 得（ ｒ 上 一ｃ ） ＋ 口 ｙ ＝ ｔ ／ ， （ 口 一ｃ ） ，
２ ２
，
两边同除 ｎ （ 。 一ｃ ） ， 得
ｏ一
＋ —
０
一 Ｃ