数值分析 Cht3 函数逼近与曲线拟合

∞ ρ ( x )为[a , b]上的权函数 , 若多项式序列 { pn ( x )}0 , 满足
正交性 (2.2)，则称{ pn ( x )} 为以 ρ ( x )为权函数的 [a , b]
∞ 0
上的正交多项式序列 . 称 pn ( x )为以 ρ ( x )为权函数的 [a , b]上的 n次正交多项式 .
例1 考察R n与Cn的内积和范数 .
设x = ( x1 ,L, xn )T , y = ( y1 ,L, yn )T ∈ R n，则定义
内积 ( x, y) = ∑ xi yi
i =1
n
2 范数 || x ||2 = ∑ xi . i =1
n
n 1/2
1/2
若给定 ω i > 0(Fra biblioteki = 1,L, n)为权系数 , 则定义
a b
(2.1)
则称 f ( x )与 g ( x )在[a , b]上 带权 ρ ( x )正交 .
设在[a , b]给定函数族 ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ), L , ϕ n ( x ), L , 且满足 0, i ≠ k , (ϕ i ( x ), ϕ k ( x )) = ( i , k = 0,1,2, L) (2.2) Ak , i = k , 则称函数族 {ϕ n ( x )}为[a , b]上带权 ρ ( x )的正交函数族 . 特别地 , 当Ak ≡ 1时, 则称该函数系为 标准正交函数族 .
称为内积空间. (v , u)为( u,v )的共轭，当 K = R时 (v , u) = ( u,v ). 的共轭，
为一个内积空间， 定理 2 设X为一个内积空间，对 ∀u, v ∈ X , 有 | ( u, v ) |2 ≤ ( u, u)(v , v ). 称为Cauchy − Schwarz不等式.
例：
H n = span {1, x , x 2 L , x n }.
定理 1( 维尔斯特拉斯 ) 如果 f ( x ) ∈ C [a , b ]，那么 ∀ ε > 0， ∃ 代数多项式 p( x )，使得 | f ( x ) − p( x ) |< ε , 对于一切 a ≤ x ≤ b . 或 || f ( x ) − p( x ) ||∞ < ε， 其中 || f ( x ) − p( x ) ||∞ = max | f ( x ) − p( x ) | .
1≤ i ≤ n
n
|| x ||1 = ∑ | x i | ，
i =1
称为1 − 范数,
n 2 || x ||2 = ∑ xi ， 称为2 − 范数 . i =1 类似地， 类似地，对 C [ a , b ]上的 f ( x )，可定义三种常用范数 ： || f ||∞ = max | f ( x ) | ， 称为 ∞ − 范数， 范数， || f ||1 = || f ||2 =
则称 || ⋅ || 为线性空间 S上的范数，S与 || ⋅ || 一起称为 赋范线性空间 ，记为 X .
例如， 三种常用范数： 例如，对 R n上的向量 x = ( x1 ,L, xn )T ，有 三种常用范数： || x ||∞ = max | xi | ， 称为∞ − 范数或最大范数， 范数或最大范数，
第3章 函数逼近与曲线拟合
§1 函数逼近的基本概念
一、函数逼近与函数空间
用简单函数逼近已知复 杂函数 . 函数逼近问题 : 对于函数类 A中给定的函数 f ( x ), 要求 在另一类较简单的便于 计算的函数类 B ⊂ A中找一个函 数p( x ), 使p( x )与 f ( x )的误差在某种度量意义 下达到最小 .
2 内积 ( x, y) = ∑ωi xi yi 范数 || x ||2 = ∑ωi xi . i =1 i =1 n n 若x , y ∈ C ，则定义加权内积 ( x , y ) = ∑ ω i xi y i .
n
i =1
定义4 定义4
设 ρ ( x )是区间 [a , b ]上的非负函数 , 如果
a≤ x≤b
对 f ( x ) ∈ C [a , b ]的 函数逼近问题 : 对 f ( x ) ∈ C [a , b ], 求 ϕ * ( x ) ∈ Φ = span {ϕ 0 , L , ϕ n }, 使得误差 f ( x ) − ϕ * ( x )在某种度量意义下最小 . 其中
ϕ 0 , L , ϕ n ⊂ C [a , b ]线性无关 .
(
1/ 2 b 2 ∫a ρ ( x ) f ( x )dx . || f (x)|| = b f 2(x)dx1/2. 2 ∫a
)
(
)
设ϕ 0 ,L,ϕ n ∈ C [a , b], 则Gram矩阵为
G = G (ϕ 0 , L , ϕ n ) (ϕ 0 , ϕ 0 ) (ϕ , ϕ ) 1 0 = M (ϕ , ϕ ) n 0 (ϕ 0 , ϕ 1 ) (ϕ 1 , ϕ 1 ) M (ϕ n , ϕ 1 ) L L L L (ϕ 0 , ϕ n ) (ϕ 1 , ϕ n ) M (ϕ n , ϕ n )
j =1 n j =1
n
n
n
⇔ ( ∑ α j u j , uk ) = 0, k = 1,L, n.
j =1
反之亦然 . ∴ G非奇异 ⇒ u1 , u2 ,L, un线性无关 (反证法 )；
在内积空间 X上可以由内积导出一种 范数 , 即对 u ∈ X , 记 || u ||= ( u, u )， 由 Cauchy − Schwarz 不等式立得 . (1.10) 易证它满足范数定义的 正定性和齐次性 , 而三角不等式
定理3 为一个内积空间， 定理3 设 X为一个内积空间， u1 , u2 , L , un ∈ X , 矩阵 L ( un , u1 ) L ( un , u2 ) L M L ( un , un ) 矩阵， 称为 Gram 矩阵，则 G非奇异的充要条件是 u1 , u2 , L , un 线性无关 . ( u1 , u1 ) ( u2 , u1 ) (u , u ) ( u , u ) 2 2 1 2 G= M M ( u1 , un ) ( u2 , un )
可以为有限 或无限区间
满足条件 (1)
∫
b
a
x k ρ ( x )dx存在 , k = 0,1,2, L ;
(2) 对于[a , b ]上的非负连续函数 g ( x ), 若
∫
b
a
g ( x ) ρ ( x )dx = 0,
则在[a , b ]上 , g ( x ) ≡ 0； 就称 ρ ( x )为[a , b ]上的 权函数 .
性质： 由此得到的正交多项式 具有如下 性质： (1) pn ( x )的首项系数为 1. ( 2 )∀ Q n ( x ) ∈ H n 均可表为 p0 ( x ), p1 ( x ), L , pn ( x )的 线性组合 . ( 3 ) 当 k ≠ j时，p j , pk ) = 0, 且 pk ( x )与任一次数小于 ( k的多项式正交 .
只要给定[a , b]上的权函数 ρ ( x ), 均可由{1, x , L x n , L} 利用逐个正交化手续立 得正交多项式序列 : n−1 ( x n , p ) j n p0 ( x ) = 0, pn ( x ) = x − ∑ p j , n = 1,2,L. (2.3) j =0 ( p j , p j )
立，则称 x1 , L , x n线性无关 .
（1.1）
则称 x1 , L , x n线性相关 . 否则, 若(1.1)只对 α 1 = L = α n = 0成
若线性空间 S 是由 n 个线性无关元素 x1 , L , x n生成的 , L 即 ∀ x ∈ S , 都存在 α 1， , α n ∈ P , 使得 x = α 1 x1 + L + α n x n , 则称 x1 , L , x n为空间 S 的一组 基 ，记为 S = span { x1 , L , x n }. 并称 S 为 n维空间 .
C [a , b]：连续函数空间 C p [a , b] : 具有 p阶连续导数的函数空间
定义1 上的线性空间， 定义1 设集合 S是数域 P上的线性空间，元素 x1 , L , x n ∈ S , 如果存在不全为零的数 α 1 , L , α n ∈ P , 使得
α 1 x1 + L + α n x n = 0，
a≤ x≤b b ∫a | f ( x ) | d x，
1 2
称为 1 − 范数 , 称为 2 − 范数 .
(
b ∫a
f 2 ( x )d x ，
)
1 2
三、内积与内积空间
R n中向量 x及y定义内积 : ( x , y ) = x1 y1 + L, xn yn .
定义3 上的线性空间， 定义3 设X是数域K( R或C)上的线性空间，对∀u, v ∈ X， 中一个数与之对应， 并满足条件： 有K中一个数与之对应，记为( u, v )，并满足条件： (1) ( u,v ) = (v , u), ∀u,v ∈ X ; (2) (αu,v ) = α ( u,v ), α ∈ R; (3) ( u + v , w ) = ( u,w ) + (v,w), ∀u,v,w ∈ X ; (4) ( u, u) ≥ 0, 当且仅当u = 0时， , u) = 0. (u 则称( u, v )为X上的u与v的内积. 定义了内积的线性空间
为此 , 下面介绍代数和分析中 的一些基本概念 .
基本概念及预备知识 空间： 空间：数学上常把在各种集合中引入某些不同的确定 关系称为赋予集合以某种空间结构， 关系称为赋予集合以某种空间结构，并将这样的集合 称为空间. 称为空间 线性空间：在空间引入线性运算， 线性空间：在空间引入线性运算，称这样的集合为线 性空间. 性空间 例： R n：n维向量空间 H n：多项式空间