九年级数学上册第一章特殊平行四边形1-2矩形的性质与判定第1课时矩形的概念及其性质同步练习新版北师大版[0
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定《矩形》知识讲解及例题演练 (新版)北师大版
矩形【学习目标】1. 理解矩形的概念.2. 掌握矩形的性质定理与判定定理.【要点梳理】要点一、矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.要点诠释：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.要点二、矩形的性质矩形的性质包括四个方面：1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.要点诠释：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分.（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.要点三、矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.要点诠释：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形.要点四、直角三角形斜边上的中线的性质直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.推论：如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.要点诠释：（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使用.（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；③直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的一半.（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题.【典型例题】类型一、矩形的性质1、如图所示，已知四边形ABCD是矩形，△PBC和△QCD都是等边三角形，且点P在矩形上方，点Q在矩形内．求证：(1)∠PBA＝∠PCQ＝30°；(2)PA＝PQ．【思路点拨】(1)矩形的四个内角都等于90°，利用条件△PBC 和△QCD 都是等边三角形，容易求得∠PBA 和∠PCQ 度数；(2)利用(1)的结论以及矩形的性质进一步证明△PAB≌△PQC(SAS)，从而证得PA ＝PQ ．【答案与解析】证明：(1)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠ABC＝∠BCD＝90°．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ ∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°，∴ ∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝∠BCD－∠PCB＝30°．∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°，故∠PBA＝∠PCQ＝30°(2)∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ AB＝DC ．∵ △PBC 和△QCD 是等边三角形，∴ PB＝PC ，QC ＝DC ＝AB ．∵ AB＝QC ，∠PBA＝∠PCQ，PB ＝PC ．∴ △PAB≌△PQC，∴ PA＝PQ ．【总结升华】利用矩形的性质，可以得到许多的结论，在解题时，针对问题列出有用的结论作论据即可．举一反三：【变式】如图所示，把矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点B 落在边AD 上的点B '处，点A 落在点A '处．(1)求证：B E BF '=；(2)设AE ＝a ，AB ＝b ，BF ＝c ，试猜想a b c 、、之间有何等量关系，并给予证明．【答案】证明：(1)由折叠可得B FE BFE '∠=∠．∵ AD∥BC， ∴ B EF BFE B FE ''∠=∠=∠，∴ B E B F ''=，∴ B E BF '=．(2)猜想222a b c +=．理由：由题意，得A E AE a '==，A B AB b ''==．由(1)知B E BF c '==．在A B E ''△中，∵ 90A '∠=°，A E a '=，A B b ''=，B E c '=，∴ 222a b c +=．2、如图所示，矩形ABCD 中，AC 、BD 相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE＝15°，求∠BOE 的度数．【思路点拨】∠BOE 在△BOE 中，易知∠OBE＝30°，直接求∠BOE 有困难，转为考虑证BO ＝BE ．由AE 平分∠B AD 可求∠BAE＝45°得到AB ＝BE ，进一步可得等边△AOB．有AB ＝OB ．证得BO ＝BE ．【答案与解析】解：∵ 四边形ABCD 是矩形，∴ ∠DAB＝∠ABC＝90°，AO ＝12AC ，BO ＝12BD ，AC ＝BD ． ∴ AO＝BO ．∵ AE 平分∠BAD，∴ ∠BAE＝45°．∴ ∠AEB＝90°－45°＝45°＝∠BAE．∴ BE＝AB ．∵ ∠CAE＝15°，∴ ∠BAO＝60°．∴ △ABO 是等边三角形．∴ BO＝AB ，∠ABO＝60°．∴ BE＝BO ，∠OBE＝30°．∴ ∠BOE＝18030752-=°°°． 【总结升华】矩形被每条对角线分成两个直角三角形，被两条对角线分成四个等腰三角形，因此矩形中的计算问题可以转化到直角三角形和等腰三角形中去解决．类型二、矩形的判定3、如图，在▱ABCD 中，∠ABD 的平分线BE 交AD 于点E ，∠CDB 的平分线DF 交BC 于点F ，连接BD ．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）若AB=DB ，求证：四边形DFBE 是矩形．【思路点拨】（1）根据平行四边形性质得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根据ASA推出全等即可；（2）根据全等得出AE=CF，根据平行四边形性质得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四边形DFBE是平行四边形，根据等腰三角形性质得出∠DEB=90°，根据矩形的判定推出即可．【答案与解析】证明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．∵AB∥CD，∴∠ABD=∠CDB．∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．∴∠ABE=∠CDF．∵在△ABE和△CDF中，∴△ABE≌△CDF（ASA）．（2）∵△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，∴DE∥BF，DE=BF，∴四边形DFBE是平行四边形，∵AB=DB，BE平分∠ABD，∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．∴平行四边形DFBE是矩形．【总结升华】本题考查了平行线的性质，平行四边形的性质和判定，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定义等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力．举一反三：【变式】如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AO=CO，BO=DO中，且∠ABC+∠ADC=180°．（1）求证：四边形ABCD是矩形．（2）若∠ADF：∠FDC=3：2，DF⊥AC，则∠BDF的度数是多少？【答案】（1）证明：∵A0=C0，B0=D0∴四边形ABCD 是平行四边形，∴∠ABC=∠ADC，∵∠ABC+∠ADC=180°，∴∠ABC=∠ADC=90°，∴四边形ABCD 是矩形；（2）解：∵∠ADC=90°，∠ADF：∠FDC=3：2，∴∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠DCO=90°﹣36°=54°，∵四边形ABCD 是矩形，∴OC=OD，∴∠ODC=54°∴∠BDF=∠ODC﹣∠FDC=18°．类型三、直角三角形斜边上的中线的性质4、如图所示，BD 、CE 是△ABC 两边上的高，G 、F 分别是BC 、DE 的中点．求证：FG⊥DE．【答案与解析】证明：连接EG 、DG ，∵ CE 是高，∴ CE⊥AB．∵ 在Rt△CEB 中，G 是BC 的中点，∴ EG＝12BC ，同理DG ＝12BC ． ∴ EG＝DG ．又∵ F 是ED 的中点，∴ FG⊥DE．【总结升华】直角三角形斜边中线的性质是依据矩形的对角线互相平分且相等推出来的．根据这个性质．又可以推出直角三角形的斜边上的中线把直角三角形分成了两个等腰三角形．温馨提示：若题目中给出直角三角形斜边上的中点，常设法用此性质解决问题． 举一反三：【变式】如图，∠MON＝90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝2，BC ＝1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）15 D.52【答案】A ；解：如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，∵OD≤OE＋DE ，∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大， 此时，∵AB＝2，BC ＝1，∴OE＝AE ＝12AB ＝1，DE ==∴OD 1.。
北师大版九年级上册数学第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质和判定(无答案)
1.2矩形的性质与判定一、矩形的定义1、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
二、矩形的性质1、矩形的四个角都是直角。
2、矩形的对角线相等。
三、矩形的对称性矩形是轴对称图形，有两条对称轴。
也是中心对称图形，对称中心是两条对角线的交点。
四、直角三角形斜边中线的性质1、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半2、如果一个三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
五、矩形的判定1、有一个角是直角的平行四边形是矩形。
2、对角线相等的平行四边形是矩形。
3、有三个角是直角的四边形是矩形。
☆对应训练知识点一、矩形的定义1、四个角相等的四边形________矩形（填“是”或“不是”）。
2、一组对边平行，且有两个角是直角的四边形________矩形（填“是”或“不是”）知识点二、矩形的性质1、矩形具有而菱形不具有的性质是（）A.两条对角线垂直B.两条对角线相等C.两组对边分别平行且相等D.两组对角分别相等2、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O。
已知∠AOD=60°，AC=6，则图中长度为3的线段有（ ）A.2条B.4条C.5条D.6条3、如图所示，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于O ，过点A 作BD 的垂线，垂足为E ，已知∠EDA=3∠BAE ，∠EAO 的度数（ ）A.22.5°B.67.5°C.45°D.60°4、矩形的边长是4cm ，一条对角线的长是34cm ，则矩形的面积是________cm ²。
A.232B.216C.32D.385、一个矩形的长边是短边的2倍，对角线的长是5，那么这个矩形的长边等于（ ）A.52B.5C.1D.26、如图所示，将长方形ABCD 分成15个大小相等的小正方形，E 、F 、G 、H 分别在AD ，AB ，BC ，CD 边上，且是某个小正方形的顶点。
若四边形EFGH 的面积为3，则长方形ABCD 的面积为（ ）A.5B.6C.7D.87、如图所示，矩形ABCD 中（AD>AB ），点E 是BC 上一点，且DE=DA ，AF ⊥DE于点F ，下列结论不一定正确的是（ ）A.△AFD ≌△DCEB.AD=2AFC.AB=AFD.BE=AD -DF8、如图所示，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分∠BAD 交BC 与E ，若∠EAO=15°，则∠BOE 的度数为（ ）A.85°B.80°C.75°D.70°9、如图所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且AB=6，BC=8，则△ABO的周长为（）A.16B.18 C .20 D.2210、在矩形ABCD中，周长为32，AE平分∠BAD交于E，若CE=6，则矩形ABCD的面积为________。
北师版九年级数学上册精品授课课件 第1章 特殊平行四边形1.2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质
结论 矩形是轴对称图形，有2条对称 轴．
探究3:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
在一张矩形纸片上画出两条对角线，沿着对角线AC剪去
一半． A
D
A
O O
B
C
B
C
问
Rt△题ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与斜边
AC有什么关系？
猜想 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
证一
证
如图, 在Rt△ABC中,∠ABC=90°,
BO是AC上的中线.O至D，使OD=BO，连接AD、DAC．
2
D
∵AO=OC，BO=OD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
O
∵∠ABC=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形，
B
C
∴AC=BD，
∴BO= BD=
11
22
∴BD=2AB=2×2.5=5(c2m) .
解？
例 已知：如图，矩形ABCD中，E是BC上一点， 2 DF⊥AE于F，若AE＝BC．求证：CE＝EF．
证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝90°，
且AD∥BC.∴∠1＝∠2.
∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°.
∴∠B＝∠AFD.
又∵ AE＝BC，∴ AE＝AD
∵点G是BC的中点，
∴EG＝1 BC，DG1＝ BC.
2
2
点拨 在直角三角形中，遇到斜边中点常作斜边中线，进
而可将问题转化为等腰三角形的问题，然后利用等腰三
角形“三线合一”的性质解题．
应用举例
例1 如图, 在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，
∠AOD=120°， AB=2.5，求这个矩形对角线的长？
北师版九上数学1.2矩形的性质与判定(第1课时) 教学课件
新课导入
归纳总结 直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型
随堂训练
随堂训练
在矩形ABCD中，找出相等的线段与相等的角.
A
D
相等的线段：
AB=CD AD=BC
O
B
C
AC=BD OA=OC=OB=OD
11 = 2 AC= 2 BD
相等的角：
∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°
∠AOB=∠DOC ∠AOD=∠BOC
矩形的特殊性质
边： 角： 猜想1：矩形的四个角都是直角． 对角线： 猜想2：矩形的对角线相等．
知识讲解
矩形的四个角都是直角 已知：四边形ABCD是矩形， 求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠C=90°, ∴∠A=∠C=90° ∠B+∠C=180 °, ∴∠B=180－∠C=90°, ∴∠D=∠B=90°, 即∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
2.下列说法错误的是（ C ） A. 矩形的对角线互相平分。 B. 矩形的对角线相等。 C. 有一个角是直角的四边形是矩形。 D. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
课堂小结
矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形.
具有平行四边形的一切特征.
矩形的性质： 四个角都是直角.
对角线相等且平分. 直角三角形的一个性质：
两组对边 四边形 分别平行
平行四 一个角 边形 是直角
矩形
四边形 平行四边形
矩形
知识讲解
矩形有什么性质？
平行四边形 有一个角是直角
矩形
有平行四边形 的所有性质
还有其它特 殊的性质
知识讲解
矩形的一般性质
A
第1章1.2 矩形的性质与判定课件(1)九年级数学北师大版上册
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊Biblioteka 行四边形第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
11．如图，矩形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O，CE∥BD， DE∥AC.
(1)求证：四边形 CODE 为菱形；
MN.若 AB＝2 2，BC＝2 3，则图中阴影部分的面积为 2 6 .
9．如图，点 O 是矩形 ABCD 对角线 AC 的中点，点 M 是 AD
的中点，若 AB＝5，AD＝12，则四边形 ABOM 的周长为 20 .
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
3．直角三角形斜边上的中线等于斜边的 一半 .
1．如图，在矩形 ABCD 中(AD＞AB)，点 E 是 BC 上一点，且 DE
＝DA，AF⊥DE，垂足为点 F.在下列结论中，不一定正确的是( B )
A.△AFD≌△DCE
B.AF＝12AD
C.AB＝AF
D.BE＝AD－DF
2．如图，在矩形 ABCD 中，AC，BD 相交于点交 O，AE 平分
A. 3 第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
B.2
C. 5
D. 6
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
第一章 特殊平行四边形
14．如图，在平面直角坐标系中，O 为原点，四边形 OABC
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定(教案)
一、教学内容
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定：
1.矩形的定义及特征
-矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形
-矩形的性质：对边平行且相等，对角相等且都是直角，对角线互相平分且相等
2.矩形的判定方法
-有一个角是直角的平行四边形是矩形
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解矩形的基本概念。矩形是有一个角是直角的平行四边形，它在生活中有广泛的应用，比如建筑、设计等领域。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。通过分析一个矩形的实物模型，展示矩形在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调矩形的性质和判定方法这两个重点。对于难点部分，比如矩形判定方法的选择，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
课堂上，我尝试通过引入日常生活中的例子来激发学生的兴趣，效果还不错。大多数学生能够积极参与讨论，提出自己的看法。但在讲授矩形判定方法时，我发现部分学生对于何时使用哪种方法还不够明确。这可能是因为我在讲解时没有提供足够的具体案例，导致学生难以将理论知识与实际应用结合起来。
在实践活动环节，学生们分组讨论和实验操作的表现让我感到欣慰。他们能够相互协作，共同解决问题。但在小组讨论中，我也注意到个别学生参与度不高，可能是因为他们对主题不够感兴趣，或者是对矩形知识掌握不够扎实。为此，我计划在接下来的课程中，针对这部分学生提供更多的支持和鼓励，帮助他们更好地融入课堂。
-难点解析：通过对比不同判定方法的使用场景，提供多种图形案例，指导学生如何选择合适的判定方法。
-实际问题的解决：将矩形知识应用于解决实际问题时，学生可能会感到困惑。
九年级数学 第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质
第十八页，共三十页。
D O
C
例2 矩形(jǔxíng) ABCD，AD长8 cm ，对角线比AB边长4 cm.求AB的长及点A到BD的距离AE的长.
第十九页，共三十页。
解：设AB=xcm，则对角线长（x+4）cm，在
Rt△ABD中，由勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)：
对角相等
角 都
邻角不相等
邻角相等 相
等
第三页，共三十页。
矩形
有一个角是直角(zhíjiǎo)的平行四边形叫做矩形（通 常也叫长方形）.
即：∠A=90° ABCD
ABCD是矩形.
矩形(jǔxíng)是特殊的平行四边形.
第四页，共三十页。
生活 中的 (shēnghuó)
第五页，共三十页。
矩形与四边形、平行四边形的关系
练习
已知：矩形ABCD中，E是BC上一点(yī ， diǎn) DF⊥AE于F，若AE=BC.
求证：CE＝EF.
第二十一页，共三十页。
证明(zhèngmíng)：∵ 四边形ABCD是矩形
∴ ∠B=90°，且AD∥BC
矩形的问题常
∴ ∠1=∠2
可以转化为直角
∵ DF⊥AE ∴∠AFD=90°∴∠B=∠AFD. 在△ABE和△DFA中
四边形
两组对边 分别平行
平行 一个角 四边形 是直角
四边形 平行四边形
矩形
第六页，共三十页。
矩形
矩形(jǔxíng)有什么 性质？
有平行四边形的 所有(suǒyǒu)性质
还有其它特 殊的性质
第七页，共三十页。
推进新课
矩形的一般性质（即平行四边形所有性质）
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 第2节 矩形的性质与判定(第1课时)教案 (新版)北师大版
第一章《特殊平行四边形》《矩形的性质与判定》(第1课时)【教学目标】1.知识与技能了解矩形的有关概念，理解并掌握矩形的有关性质．2.过程与方法经过探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理意识；掌握几何思维方法．3.情感态度和价值观培养严谨的推理能力，以及自主合作精神；体会逻辑推理的思维价值．【教学重点】掌握矩形的性质，并学会应用．【教学难点】理解矩形的特殊性．【教学方法】合作、探究【课前准备】多媒体课件【教学过程】一、导入新课导语：在我们现实生活中，平行四边形的形象无处不在，请同学们观察下列图片中的平行四边形.这些平行四边形中有一个角是直角，像这样的平行四边形叫矩形。
二、探究新知1.矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形在生活中随处可见，你能举出一些生活中菱形的例子吗？与同伴交流。
（1）矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质。
你能列举一些这样的性质吗？（矩形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分。
中心对称图形）（2）你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流。
2.活动内容1：请同学们用你手中的矩形纸片折一折，回答下列问题：（1）菱形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？对称轴之间有什么位置关系？矩形是轴对称图形，有两条对称轴，分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线.矩形是中对称图形，对称中心是两条对称轴的交点。
（2）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质．①边：对边平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直；②角：四个角是直角；③对角线：相等且互相平分．活动内容2：矩形性质定理的证明如何推理证明“矩形的四个角都是直角，对角线相等”这两个性质呢？已知:如图,四边形ABCD 是矩形，∠ABC=90°，对角线AC 与BD 相交于点O,求证：（1）∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°；（2）AC=BD.处理方式：分析:(1)由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证.(2)根据矩形的性质,可转化为全等三角形(SAS)来证明，教师引导学生互相交流、确定证明思路，最后找一名学生板书证明过程，教师规范解题过程的书写.证明：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等），∴∠ABC+∠BCD=180°，又∵∠ABC=90°，∴∠BCD=90°，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°，(2)∵四边形ABCD 是矩形，∴AB=DC(矩形的对边相等），在△ABC 和△DCB 中，∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=BC∴△ABC ≌△DCB∴AC=DB.设计意图：通过对性质的分析与证明，一方面让学生养成独立思考问题的习惯，对于不能独立解决的问题，引导学生发挥小组合作的作用，提高学生的交流能力；另一方面通过解题过程的板书提高学生的书写能力，养成规范书写的习惯.活动内容3：在Rt △ABC 中，斜边AB 上的中线是，它与斜边的关系是CD=21AB ． 推论：直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半.教师强调：矩形的性质定理1、对角线互相平分且相等；2、对边平行且相等；3、四个角都是直角；4、矩形既是轴对称图形,对称轴分别是两条长的中点的连线和两条宽的中点的连线，也是中心对称图形；5、矩形是特殊的平行四边形,它具备平行四边形的一切性质.三、例题讲解例1.如图矩形ABCD 的两条对角线相交于点O,若AC=4，则OD 的长是（ ）A.1B. 3C.2D.32解析：根据矩形的对角线相等得到BD=AC=4，再根据对角线互相平分得到OD=2，故选C.例2.如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使点D 落在BC 边上的点F 处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE 等于（ ）A.15°B.30°C.45°D.60°解析：根据矩形的四个角都是直角，得到∠BAD=90°，根据已知可以计算出∠FAD=30°，再由折叠的性质可以得到∠DAE=15°故选A.例3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝8，AD 是底边上的高，E 为AC 的中点，则DE ＝_____．解析：根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可得，DE 等于AC 的一半，所以DE=4.答案：4例4.已知:如图,AC,BD 是矩形ABCD 的两条对角线,AC,BD 相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形对角线的长.解:∵四边形ABCD 是矩形.∴AC=BD,AC OC OA 21==,BD OD OB 21== ∴OA=OD∵∠AOD=120°∴∠ODA=∠OAD=30°∵∠DAB=90°∴BD=2AB=2×2.5=5(cm)。
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定(第1课时)课件
斜边的一半 .
第三页，共十页。
1
2
3
4
5
6
1.在矩形(jǔxíng)ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则与∠OAB一定相等的角有
(不包括∠OAB)( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
关闭
C
第四页，共十页。
答à答案n)案(dá
1
2
3
4
5
6
2.如图,公路AC,BC互相垂直,公路AB的中点(zhōnɡ diǎn)M与点C被湖隔开.若测
三角形斜边上的中线等于
.。1.在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,则与∠OAB一定相等的
角有(不包括(bāokuò)∠OAB)( C.0.9 km D.1.2 km
No )。A.1个
B.2个
C.3个
D.4个。关闭。A.0.5 km B.0.6 km。
Image
12/12/2021
第十页，共十页。
2.矩形(jǔxíng)的性质与判定
12/12/2021
第一页，共十页。
第一(dìyī)课时
12/12/2021
第二页，共十页。
1.有一个角是直角的平行四边形叫做(jiàozuò)矩形.
2.定理:矩形的四个角都是 直角(;z矩híji形ǎo)的对角线
相.等(xiāngděng)
3.定理:直角三角形斜边上的中线等于
得AM的长为1.2 km,则M,C两点间的距离为( )
A.0.5 km B.0.6 km C.0.9 km D.1.2 km
D
第五页，共十页。
关闭
答à答案n)案(dá
1
2
3
4
5
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第1课时 矩形的性质课件1
请同学(tóng xué)们拿出准备好的矩形纸片，折一 折，观察并思考。
（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是，那 么对称中心是什么？
（2）矩形是不是轴对称图形?如果是，那么 对称轴有几条?
结论(jiélùn)：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。
第九页，共十八页。
请你总结(zǒngjié)一下矩形有哪些性质？
（2）在运动过程中四边形不变的是什么？ （3）在运动过程中四边形改变的是什么？ （4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的
平行四边形是什么图形?
矩形的定义：有一个内角(nèi jiǎo)是直角的平行 四边形是矩形
第三页，共十八页。
二、合作 探 (hézuò) 究
既然矩形是平行四边形,那么(nà me)它具有平行 四边形的哪些性质？
Image
12/12/2021
第十八页，共十八页。
∴BD=2AB=2×2.5=5.
第十五页，共十八页。
三、课堂(kètáng) 1.小本节结课你学到了什么(shén ？ me)
（1）矩形(jǔxíng)定义 （2）矩形的性质 （3）直角三角形的性质
（4）矩形的一条对线把矩形分成两个全等的直角
三角形；两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三 角形。因此，矩形的问题可化为直角三角形或等腰 三角形的问题来解决。
1.2 矩形的性质与判定(pàndìng)
第1课时 矩形的性质
第一页，共十八页。
一、情景 引 (qíngjǐng) 入
问题1:平行四边形具有哪些(nǎxiē)性质？
问题2：利用(lìyòng)一个活动的平行四边形教具 演示,使平行四边形的一个内角变化，请同 学们注意观察：
第二页，共十八页。
北师大版九年级上数学第一章特殊的平行四边形1.2矩形的性质与判定(1)(共17张PPT)
(9) OA=OC (10) OB=OD (11) AC⊥BD (12) AC=BD
答案：16 3cm2
A
你能在四边形的基础上, 从下列条件中选三个,得到矩 形吗?你找到了多少个答案？ B
D
O C
边
角
对角
线
(1) AB=CD
(2) AD=BC
(3) AB=BC (4) AB∥CD (5) AD ∥BC
(6) ∠BAD=∠BCD (7) ∠ABC=∠ADC (8) ∠BAD=90。
北师大版九年级上数学 第一章 特殊平行四边形
第2节 矩形的性质与判定(1）
回忆
四边形
两组对边 分别平行
平行 四边形
平行四边形的性质有： 边： 对边平行且相等
角：对角相等；邻角互补 对角线：对角线互相平分
平行四边形是中心对称图形.
四边形
两组对边 分别平行
平行 一个角 四边形 是直角
矩形
∟
矩形的定义：有形一叫个做角矩是形直. 角的平行四边
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年8月31日星期二2021/8/312021/8/312021/8/31 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年8月2021/8/312021/8/312021/8/318/31/2021 16、教学的目的是培养学生自己学习，自己研究，用自己的头脑来想，用自己的眼睛看，用自己的手来做这种精神。2021/8/312021/8/31August 31, 2021 17、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2021/8/312021/8/312021/8/312021/8/31
九年级数学上册 第一章 特殊平行四边形 2 矩形的性质与判定—如何判定一个四边形是矩形素材 (新版)
如何判定一个四边形是矩形矩形是一种特殊的平行四边形，如何判定一个四边形是矩形呢？同学们可以从以下几个方面进行思考.一、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．例1、已知：如图1，在□ABCD 中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG ∥DB交CB的延长线于G．若DE=BE，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并说明理由．分析：本题是一道结论探索题，根据已知条件可以得到AD//BG，根据已知AG//BD，可知四边形AGBD是平行四边形，然后根据DE=BE，可以得∠ADB=90°，这样可判断四边形AGBD 是矩形.解：当DE=BE时，四边形 AGBD是矩形．理由：因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD∥BC ．因为AG∥BD ，所以四边形 AGBD 是平行四边形．因为DE=BE，AE=BE ，所以AE=BE=DE ，所以∠1=∠2，∠3=∠4．因为∠1＋∠2＋∠3＋∠4=180°，所以2∠2＋2∠3=180°．所以∠2＋∠3=90°．即∠ADB=90°．所以四边形AGBD是矩形（有一个角是直角的平行四边形叫做矩形）．二、对角线相等的平行四边形是矩形．例2、已知：如图2，在△ABC中，D是AC的中点，E是线段BC延长线上一点，过点A 作BE的平行线与线段ED的延长线交于点F，连结AE、CF，若AC=EF，试判断四边形AFCE 是什么样的四边形，并说明理由.分析：由题设条件，易说明△DAF≌△DCE，进而得AF=CE，由AF∥CE，AF=CE，可得四边形AFCE是平行四边形，又AC=EF，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”可说明四边形AFCE是矩形.解：因为D是AC的中点，所以DA=DC，因为AF∥CE，所以∠AFD=∠CED。
在△DAF和△DCE中，图2BC图1∠AFD=∠CED ，∠CDE=∠FDE ，DA=DC ，所以△DAF ≌△DCE ，所以AF=CE ，所以四边形AFCE 是平行四边形，因为AC=EF ，所以四边形AFCE 是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
2024年北师大版九年级上册教学第一章 特殊平行四边形矩形的性质与判定
第1课时矩形的性质课时目标1.理解矩形的定义,体会矩形与平行四边形之间的联系,并能通过推理得到矩形的性质.2.理解直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,并能熟练运用矩形的性质.3.经历探索矩形的有关性质的过程,在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生的合情推理能力和主动探究习惯,逐步掌握说理的基本方法.学习重点矩形的定义及其性质的发现过程.学习难点矩形的性质在解决问题中的应用.课时活动设计情境导入如图,利用一个活动的平行四边形的教具进行演示,使平行四边形的一个内角变化,让学生注意观察,在演示过程中让学生思考.1.在运动过程中,四边形还是平行四边形吗?(是平行四边形)2.在运动过程中,四边形不变的是什么?(两组对边仍保持相等且平行)3.在运动过程中,四边形改变的是什么?(角的大小)4.在改变过程中,角的度数有特殊值吗?这时的平行四边形是什么图形?(有特殊值是90°,此时平行四边形是矩形)总结矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(如图).设计意图:从学生已掌握的知识出发,通过教具演示,让学生经历矩形概念的探究过程,自然而然地形成矩形的概念.探究一1.矩形既然是平行四边形,那么它具有平行四边形的哪些性质呢?类别性质边角对角线矩形对边平行且相等对角相等对角线互相平分2.请同学们拿出准备好的矩形纸片,折一折,观察并思考.(1)矩形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条?(是,2条)(2)矩形是不是中心对称图形?如果是,那么对称中心是什么?(是,两条对角线的交点)3.矩形是特殊的平行四边形,它还具有哪些特殊性质?学生小组内交流、讨论,教师在学生回答的基础上,引导学生得出结论.总结矩形的性质定理1:矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2:矩形的对角线相等.4.怎样证明你的结论?已知:如图,四边形ABCD是矩形,∠ABC=90°,对角线AC与DB相交于点O.求证:(1)∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°;(2)AC=DB.证明:(1)∵四边形ABCD是矩形,∴∠ABC=∠CDA,∠BCD=∠DAB(矩形的对角相等),AB∥DC(矩形的对边平行).∴∠ABC+∠BCD=180°.又∵∠ABC=90°,∴∠BCD=90°.∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴AB=DC(矩形的对边相等).在△ABC和△DCB中,∵AB=DC,∠ABC=∠DCB,BC=CB,∴△ABC≌△DCB.∴AC=DB.设计意图:在观察、测量、猜测的基础上,学生较易得出结论.但结论是否真的正确,必须经过严谨的证明.该环节旨在培养学生规范书写推理过程.巩固训练1.归纳概括矩形的性质.边角对角线对称性矩形对边平行且相等四个角都是直角对角线相等且互相平分既是轴对称图形,又是中心对称图形2.矩形具有而一般平行四边形不一定具有的性质是(C)A.对角相等B.对边相等C.对角线相等D.对角线互相平分设计意图:在前面学习了菱形的基础上学生已经知道怎么研究图形的对称性,在知道方法的条件下,学生可以通过自己的操作、观察、猜想得到矩形的对称特征,这对学生来说是有意义的活动,也会很感兴趣.探究二问题探究:如图,矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O,那么BO是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段?它与AC有什么大小关系?由此你能得到怎样的结论?学生小组交流、讨论,教师引导,共同得出结论.总结定理:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.教师板书定理内容,学生表述,教师引导并板书证明过程.做一做:如图,△ABC是直角三角形,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的中线.(1)若BD=3cm,则AC=6cm;(2)若∠C=30°,AB=5cm,则AC=10cm,BD=5cm.设计意图:先从矩形的对角线相关性质推出直角三角形的性质,达到“学数学,用数学”的目的,再通过“做一做”,让学生掌握“在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”这一性质,达到学以致用的目的,培养了学生的应用意识.典例精讲例如图,在矩形ABCD中,两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5,求这个矩形对角线的长.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),AC=BD(矩形的对角线相等),OA=OC12AC,OB=OD=12BD(矩形的对角线互相平分).∴OA=OD.∵∠AOD=120°,∴∠ODA=∠OAD12×(180°-120°)=30°.∴BD=2AB=2×2.5=5.设计意图:这个例题主要是运用矩形的角和对角线的性质来解决问题.如何熟练、灵活地运用矩形的性质解决实际问题是关键.课堂小结本节课你学到了什么?①矩形的定义.②矩形的性质.③直角三角形的性质.④矩形的一条对角线把矩形分成两个全等的直角三角形;矩形的两条对角线把矩形分成两对全等的等腰三角形.因此,有关矩形的问题往往可化为直角三角形或等腰三角形的问题来解决.设计意图:通过小结,让学生梳理学习内容,明确本节课的重点知识以及应该掌握的解题方法和技巧,使教师能够及时地了解学生对本节课的重点知识以及解题方法和技巧的掌握情况.课堂8分钟.1.教材第13页习题1.4第1,2,3题.2.七彩作业.第1课时矩形的性质1.矩形的定义:有一个角是直角的平行四边形.2.矩形的性质:四个角都是直角;对角线相等.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.教学反思第2课时矩形的判定课时目标1.熟练运用矩形的定义和判定定理判定四边形是矩形,体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法.2.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证的能力.3.通过学生独立完成证明的过程,让学生体会数学是严谨的科学,培养学生对待科学的严谨治学态度,从而养成良好的习惯.学习重点能够用综合法证明矩形的判定定理.学习难点灵活运用矩形的性质和判定定理及其相关结论解决问题.课时活动设计情境导入课前准备小木板和橡皮筋,制作一个如图所示的平行四边形的活动框架.在一个平行四边形活动框架上,用两根橡皮筋分别套在两个相对的顶点上,拉动一对不相邻的顶点时,平行四边形的形状会发生什么变化?设计意图:这个活动以比较有趣的形式激发学生对本节知识的学习兴趣.同时,使学生清楚地认识到平行四边形与特殊平行四边形之间的关系,为后面研究特殊的平行四边形提供有力的支持.探索新知问题:(1)上述情境中,随着∠α的变化,两条对角线的长度将发生怎样的变化?(2)上述情境中,当两条对角线相等时,平行四边形有什么特征?由此你能得到一个怎样的猜想?学生以小组为单位展开实践活动,根据实践的结果回答上面的问题.然后对比前面所学的平行四边形及菱形的判定定理的证明过程,小组合作完成矩形的判定定理的证明,并进行交流.总结定理1:对角线相等的平行四边形是矩形.学生小组内交流、讨论,教师引导并板书定理1的证明过程.已知:如图,在▱ABCD中,AC,DB是它的两条对角线,AC=DB.求证:▱ABCD是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC,AB∥DC.又∵BC=CB,AC=DB,∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵AB∥DC,∴∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=∠DCB12×180°=90°.∴▱ABCD是矩形(矩形的定义).想一想:我们知道,矩形的四个角都是直角.反过来,一个四边形至少有几个角是直角时,这个四边形就是矩形呢?学生先猜想,再小组讨论,将讨论的结果进行证明.总结定理2:有三个角是直角的四边形是矩形.已知:如图,在四边形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.求证:四边形ABCD是矩形.证明:∵∠A=∠B=∠C=90°,∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.∴四边形ABCD是平行四边形.∴四边形ABCD是矩形.设计意图:对于矩形的性质,学生已经非常熟悉,也容易得到矩形的判定定理.通过教师引导及学生自主思考,培养学生独立解决问题的良好习惯;通过思路分析,提高学生推理论证的能力.议一议你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形?如果仅有一根较长的绳子,你怎样检查?请说明检查方法的合理性,并与同伴交流.检查的方法:先用绳子测量门框的两组对边是否分别相等,若相等,则可判定其为平行四边形;再用绳子测量门框的对角线是否相等,若相等,则可肯定门框是矩形.理由是对角线相等的平行四边形是矩形.设计意图:通过“议一议”,让学生深入理解矩形的判定,且能够灵活运用判定去解决生活中的问题,提高学生分析问题和解决问题的能力.巩固训练1.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,△ABO是等边三角形,AB=4,求▱ABCD的面积.解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD.又∵△ABO是等边三角形,∴OA=OB=AB=4.∴OA=OB=OC=OD=4.∴AC=BD=2OA=2×4=8.∴四边形ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).∴∠ABC=90°(矩形的四个角都是直角).在Rt△ABC中,由勾股定理,得AB2+BC2=AC2,∴BC=B2-B2=82-42=43∴S▱=AB·BC=4×43=163.ABCD2.已知:如图,在▱ABCD中,M是AD边的中点,且MB=MC.求证:四边形ABCD是矩形.证明:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=DC.∵M为AD的中点,∴AM=DM.在△ABM和△DCM中,AM=DM,MB=MC,AB=DC.∴△ABM≌△DCM.∴∠A=∠D.∵AB∥CD,∴∠A+∠D=180°.∴∠A=90°.∴四边形ABCD是矩形.设计意图:通过练习题进一步巩固矩形的判定定理,提高学生的逻辑推理能力.课堂小结学生互相交流矩形的判定定理;如何选择判定定理;矩形与平行四边形的关系;遇到矩形实际题目时如何分析思路,以及遇到困难时如何克服等.设计意图:鼓励学生结合前面的准备活动畅所欲言自己的感受和收获,让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力.课堂8分钟.1.教材第16页习题1.5第1,2,3题.2.七彩作业.第2课时矩形的判定1.矩形的判定定理:对角线相等的平行四边形是矩形.有三个角是直角的四边形是矩形.2.例题.教学反思第3课时矩形的性质与判定的综合应用课时目标1.掌握矩形的性质及判定,理解证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法.2.综合运用矩形的性质定理和判定定理,进一步提升学生的应用能力与证明能力.3.在探究的过程中培养学生独立思考的习惯,在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法,在解决问题的过程中让学生深刻感受到数学的实用性.学习重点矩形的性质及判定的运用.学习难点综合运用矩形的性质及判定定理.课时教学活动复习导入1.已知:如图,矩形ABCD的两条对角线相交于点O,∠AOD=120°,AB=2.5cm,2.则∠DAO=30°,AC=5cm,S矩形ABCD第1题图第2题图2.如图,四边形ABCD是平行四边形,添加一个条件AC=BD(答案不唯一),可使它成为矩形.设计意图:通过两道题目来复习矩形的性质和判定,为本节课知识的学习做好铺垫.典例精讲例1如图,在矩形ABCD中,AD=6,对角线AC与BD相交于点O,AE⊥BD,垂足为E,ED=3BE.求AE的长.解:∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°(矩形的四个角都是直角),AC=BD(矩形的对角线相等).∴AO=CO12AC,BO=DO=12BD(矩形的对角线互相平分).∴AO=BO=DO12BD.∵ED=3BE,∴BE=OE.又∵AE⊥BD,∴AB=AO.∴AB=AO=BO,即△ABO是等边三角形.∴∠ABO=60°.∴∠ADB=90°-∠ABO=90°-60°=30°.∴AE12AD=12×6=3.例2如图,在△ABC中,AB=AC,AD是△ABC的一条角平分线,AN为△ABC的外角∠CAM的平分线,CE⊥AN,垂足为E.求证:四边形ADCE是矩形.证明:∵AD平分∠BAC,AN平分∠CAM,∴∠CAD12∠BAC,∠CAN=12∠CAM.∴∠DAE=∠CAD+∠CAN12(∠BAC+∠CAM)=12×180°=90°.在△ABC中,∵AB=AC,AD平分∠BAC,∴AD⊥BC.∴∠ADC=90°.又∵CE⊥AN,∴∠CEA=90°.∴四边形ADCE为矩形(有三个角是直角的四边形是矩形).设计意图:例题可以让学生对矩形的性质和判定有更深刻地认知,并通过教师引导和学生独立思考,逐步培养学生的推理论证能力,运用已有的知识解决问题和分析问题的能力.巩固训练1.在例2中,连接DE,交AC于点F(如图).(1)试判断四边形ABDE的形状,并证明你的结论.(2)线段DF与AB有怎样的关系?请证明你的结论.分析:该题的综合性比较强,对于不同层次的学生,解题方法也会有区别,教师都应该鼓励学生大胆尝试,用自己的方法去解决.解:(1)四边形ABDE是平行四边形.证明:由例2,知四边形ABDE为矩形,∴AE=CD,AC=DE.又∵AB=AC,BD=CD,∴AB=DE,AE=BD.∴四边形ABDE是平行四边形.(2)DF∥AB,且DF=12AB.证明:∵四边形ADCE为矩形,∴AF=CF.∵BD=CD,∴DF是△ABC的中位线.∴DF∥AB,且DF=12AB.2.已知:如图,四边形ABCD是由两个全等的等边三角形ABD和等边三角形CBD组成,M,N分别是BC和AD的中点.求证:四边形BMDN是矩形.证明:∵△ABD和△BCD是两个全等的等边三角形,∴AD=BD=AB=BC,∠ADB=∠DBC=60°.∴ND∥BM.∵M,N分别是BC和AD的中点,∴ND12AD,BM=12BC.∴ND=BM.∴四边形BMDN是平行四边形.∵△BCD是等边三角形,M是BC的中点,∴DM⊥BC.∴∠DMB=90°.∴四边形BMDN是矩形.注意事项:在证明过程中,对于重点步骤,应该要求学生写明理由,同时,还要关注学生的证明过程是否严谨清晰.设计意图:通过练习题进一步巩固矩形的判定定理和性质定理的综合应用,提高学生的逻辑推理能力.课堂小结1.矩形有哪些性质和判定定理?.2.如何选用矩形的性质,判定定理解决问题?设计意图:鼓励学生对于本节课的学习感受和收获畅所欲言,让学生在不知不觉中提高自己的推理论证能力.课堂8分钟.1.教材第18~19页习题1.6第1,2,3,4题.2.七彩作业.第3课时矩形的性质与判定的综合应用1.矩形的性质与判定.2.例题.教学反思。
北师大版九年级数学上册 (矩形的性质与判定)特殊平行四边形教育教学课件(第1课时)
知1－讲
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形. 请完成该定理的证明：
知1－讲
例知1 识如点图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
△ABO是等边三角形，AB＝4，求 ABCD是矩形.
（来自教材）
知1－讲
解：∵四知边识形点ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，OB＝OD. 又∵△ABO是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°. ∴OA＝OB＝OC＝OD＝4. ∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. ∴ ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．
平行四边形 对角线相等
1.必做: 完成教材P16T1-T3 2.补充: 请完成《典中点》剩余部分习题
分析：很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为 直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证．
解：四边形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2， ∴AD∥BC．∵l1∥l2， ∴四边形ABCD是平行四边形． 又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形．
总结
知1－讲
利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明 四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个 角是直角.
D．18
（来自《典中点》）
知4－练
2 如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的 中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF ＝4，则BF的长为( ) A．4 B．8 C．2 3 D．4 3
（来自《典中点》）
1．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩 形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行 四边形所有性质．
第一章 特殊平行四边形
1.2 矩形的性质与判定
第1课时
1 课堂讲解 矩形的定义
九年级数学 第一章 特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定(第一课时)
因此点B和点C关于直线EF对称，点A和点D关于 直线EF对称，从而在关于直线EF的轴反射下，矩形 ABCD的像与它自身重合，因此矩形ABCD是轴对称 图形，直线EF是矩形ABCD的一条对称轴.
12/11/2021
类似地，过点O作直线MN⊥AB，且分别与边 AB，DC相交于点M，N，则点M，N分别是边AB，
12/11/2021
动脑筋
如图，四边形ABCD为矩形，那么对角 线AC与DB相等吗？
12/11/2021
如图，四边形ABCD是矩形，
于是有 AB=DC， ∠CBA=∠BCD=90° ，
BC=CB.
因此 △CBA≌△BCD. (SAS)
从而
AC=DB.
即矩形的对角线相等.
12/11/2021
结论
12/11/2021
思考
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， 也称为长方形.
平行四边形 有一个角是直角 矩形
12/11/2021
∟
结论
可以知道： 矩形的四个角都是直角，对边相等，
对角线互相平分.
12/11/2021
结论
由于矩形是平行四边形，因此 矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的
对称中心.
由此得到矩形的性质： 矩形的对角线相等.
12/11/2021
例1 如图，矩形ABCD的两条对角线AC ，BD相交于 点O，AC = 4 cm， ∠AOB = 60°. 求BC的长.
12/11/2021
解
∵ □ABCD是矩形，
从而 O A =O B =1 2A C=2cm . 又∠AOB = 60°，
12/11/2021
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O.
F
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2 第1课时矩形的概念及其性质
知识点 1 矩形边、角的性质
1．若矩形ABCD的两邻边长分别是1，2，则其对角线BD的长是( )
A.3 B．3 C.5 D．2 5
2．如图1－2－1所示，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( ) A．2 B．3 C．4 D．5
1－2－1 1－2－2
3．如图1－2－2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC的度数是( ) A．30° B．22.5° C．15° D．10°
4．如图1－2－3，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO.
图1－2－3
知识点 2 矩形对角线的性质
5．如图1－2－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB的度数为( )
A ．30°
B ．60°
C ．90°
D ．120°
1－2－4 1－2－5
6．教材例1变式题如图1－2－5，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB ＝60°，AC ＝6 cm ，则AB 的长是( )
A ．3 cm
B ．6 cm
C ．10 cm
D ．12 cm
图1－2－6
7．如图1－2－6，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E ，F 分别是AO ，AD 的中点，若AB ＝6 cm ，BC ＝8 cm ，则EF ＝________ cm.
8．如图1－2－7，在矩形ABCD 中，过点B 作BE ∥AC 交DA 的延长线于点E .求证：BE ＝BD .
图1－2－7
知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质
9．若直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线的长是( )
A ．5
B ．10 C.245 D.125。