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年高考数学(理)总复习：平面向量(原卷版)

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专题13 平面向量-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(原卷版)

专题13 平面向量-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅲ专版)(原卷版)

【母题原题1】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0，若2=c a ，则cos ,=a c ___________． 【答案】23【解析】因为2=c a ，0⋅=a b ，所以22⋅=⋅a c a b 2=，222||4||5||9=-⋅+=c a b b ，所以||3=c ，所以cos ,=a c22133⋅==⨯⋅a c a c ．故答案为：23． 【名师点睛】本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．【母题原题2】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】已知向量()=1,2a ，()=2,2-b ，()=1,λc ．若()2∥c a +b ，则λ=___________．【答案】12【解析】由题可得()24,2+=a b ，()2Q ∥c a +b ，()=1,λc ，420λ∴-=，即12λ=，故答案为：12． 【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，以及两向量共线的坐标关系，属于基础题．解题时，由两向量共线的坐标关系计算即可．【母题原题3】【2017年高考全国Ⅲ卷理数】在矩形ABCD 中，AB =1，AD =2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则λμ+的最大值为A ．3B ．专题13 平面向量CD ．2【答案】A【解析】如图所示，建立平面直角坐标系．设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ，易得圆的半径r =，即圆C 的方程是()22425x y -+=，()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=u u u r u u u r u u u r ，若满足AP AB AD λμ=+u u u r u u u r u u u r，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x z y =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(20),到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤， 所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A ．【名师点睛】（1）应用平面向量基本定理表示向量是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．（2）用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【命题意图】主要考查考生的直观想象能力、数学运算能力和方程思想、数形结合思想的运用．【命题规律】在高考中的命题重点有平面向量的线性运算、共线向量定理、平面向量基本定理及向量的坐标运算，主要以选择题和填空题的形式呈现，难度不大． 【答题模板】1．向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标．2．解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则，通过列方程（组）来进行求解． 3．两平面向量共线的充要条件有两种形式：（1）若a ＝（x 1，y 1），b ＝（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0； （2）若a ∥b （a ≠0），则b ＝λa ，应视题目条件灵活选择． 【知识总结】 1．向量的有关概念向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫作向量．以A 为起点、B 为终点的向量记作 AB u u u r，也可用黑体的单个小写字母a ，b ，c ，…来表示向量．向量的长度（模）：向量AB u u u r 的大小即向量AB u u u r 的长度（模），记为|AB u u u r|．（1）向量不同于数量，向量不仅有大小，而且还有方向． （2）任意向量a 的模都是非负实数，即|a |≥0．（3）向量不能比较大小，但|a |是实数（正数或0），所以向量的模可以比较大小． 2．几种特殊向量 特殊向量 定义备注零向量 长度为0的向量 零向量记作0，其方向是任意的． 单位向量长度等于1个单位的向量 单位向量记作a 0，a 0=||aa ． 平行向量方向相同或相反的非零向量（也叫共线向量）0与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量． 相反向量长度相等且方向相反的两个向量若a ，b 为相反向量，则a =–b ．说明：（1）要注意0与0的区别，0是一个实数，0是一个向量，且|0|=0；（2）单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；（3）任一组平行向量都可以平移到同一直线上，因此平行向量也叫作共线向量； （4）与向量a 平行的单位向量有两个，即向量||a a 和–||a a ． 3．平面向量运算的坐标表示运算坐标表示和（差） 已知a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a +b =（x 1+x 2，y 1+y 2），a –b =（x 1–x 2，y 1–y 2）． 数乘 已知a =（x 1，y 1），则λa =（λx 1，λy 1），其中λ是实数．任一向量的坐标已知A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则 AB u u u r=（x 2–x 1，y 2–y 1）．说明：（1）相等的向量坐标相同；（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关． 4．平面向量共线的坐标表示（1）如果a =（x 1，y 1），b =（x 2，y 2），则a ∥b 的充要条件为x 1y 2–x 2y 1=0．（2）A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）三点共线的充要条件为（x 2–x 1）（y 3–y 1）–（x 3–x 1）（y 2–y 1）=0，或（x 2–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 2–y 1），或（x 3–x 1）（y 3–y 2）=（x 3–x 2）（y 3–y 1）． 5．向量的数量积（1）平面向量数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫作a 与b 的数量积，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |cos θ．规定：零向量与任一向量的数量积为零． （2）向量数量积的性质设a ，b 为非零向量，它们的夹角为θ，则①设e 是单位向量，且e 与a 的夹角为θ，则e ·a =a ·e =|a |cos θ； ②a ⊥b ⇔a ·b =0；③当a 与b 同向时，a ·b =|a ||b |；当a ，b 反向时，a ·b =–|a ||b |．特别地，a ·a =a 2=|a |2或|a ④|a ·b |≤|a ||b |，当且仅当a 与b 共线，即a ∥b 时等号成立；⑤cos θ=·||||a ba b ． （3）向量数量积的运算律 ①交换律：a ·b =b ·a ；②数乘结合律：（λa ）·b =λ（a ·b ）=a ·（λb ）； ③分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c ． （4）平面向量数量积的几何意义 ①一个向量在另一个向量方向上的投影设θ是a ，b 的夹角，则|b |cos θ叫作向量b 在向量a 的方向上的投影，|a |cos θ叫作向量a 在向量b 的方向上的投影． ②a ·b 的几何意义数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 注意：投影和两向量的数量积都是数量，不是向量． 设两个非零向量a 与b 的夹角为θ，则 ①θ为锐角⇔a ·b >0且向量a ，b 不共线； ②θ为钝角⇔a ·b <0且向量a ，b 不共线；③当a ·b >0时，cos θ>0，则θ是锐角或θ=0°（此时cos θ=1）； ④当a ·b <0时，cos θ<0，则θ是钝角或θ=180°（此时cos θ=–1）． 【方法总结】1．只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． （1）基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底； （2）基底给定，同一向量的分解形式唯一；（3）如果对于一组基底e 1，e 2，有a =λ1e 1+λ2e 2=μ1e 1+μ2e 2，则可以得到1122,.λμλμ=⎧⎨=⎩2．平面向量的线性运算的求解策略：（1）进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解．（2）除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解．3．向量的线性运算（1）向量的线性运算集中体现在三角形中，可构造三角形，利用向量加减法的三角形法则表示相关的向量，利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，得出含相关向量的关系式． （2）向量线性运算的常用结论：①在△AB C 中，若D 是BC 的中点，则AD u u u r =12（AC u u u r +AB u u u r）；②O 为△ABC 的重心的充要条件是OA u u u r +OB uuu r +OC u u u r=0；③四边形ABCD 中，若E 为AD 的中点，F 为BC 的中点，则AB u u u r +DC u u u r =2EF u u u r．4．利用共线向量定理解题的策略（1）a ∥b ⇔a =λb （b ≠0）是判断两个向量共线的主要依据．注意待定系数法和方程思想的运用． （2）证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．即A ，B ，C 三点共线⇔,AB AC u u u r u u u r共线．（3）若a 与b 不共线且λa =μb ，则λ=μ=0．（4）OA u u u r =λOB uuu r +μOC u u u r（λ，μ为实数），若A ，B ，C 三点共线，则λ+μ=1．5．利用平面向量基本定理解题的策略（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．注意：（1）若a ，b 为非零向量，且a ∥b ，则a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．（2）零向量和共线向量不能作基底，基底通常选取确定整个几何图形的从同一结点出发的两边所对应的向量．6．向量坐标运算问题的一般思路（1）向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来，通过建立平面直角坐标系，使几何问题转化为数量运算． （2）巧借方程思想求坐标：向量的坐标运算主要是利用加法、减法、数乘运算法则进行，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，求解过程中要注意方程思想的运用．（3）妙用待定系数法求系数：利用坐标运算求向量的基底表示，一般先求出基底和被表示向量的坐标，再用待定系数法求出系数．7．求向量模长利用数量积求模是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法：（1）a2=a·a=|a|2或|a（2）|a±b；（3）若a=（x，y），则|a8．求向量模的最值（范围）的方法（1）代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；（2）几何法（数形结合法），弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解；（3）利用绝对值三角不等式||a|–|b||≤|a±b|≤|a|+|b|求模的取值范围．9．求向量夹角问题的方法（1）定义法：当a，b是非坐标形式，求a与b的夹角θ时，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系，由cos θ=·||||a ba b求得；（2）坐标法：若已知a=（x1，y1）与b=（x2，y2），则cos<a，b，<a，b>∈[0，π]．10．用向量法解决平面（解析）几何问题的两种方法：（1）几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质计算；（2）坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算．一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目适合用坐标法．11．平面向量常与几何问题、三角函数、解三角形等问题综合起来考查，解题关键是把向量关系转化为向量的有关运算，进一步转化为实数运算，进而利用相关知识求解．1．【广西南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，()1,2=-b ，则·(2)-=a a b A ．5 B ．6 C ．7D ．82．【广西壮族自治区南宁、梧州等八市2019届高三4月联合调研考试数学】若向量()2,3=a ，(),2x =b 且·(2)3-=a a b ，则实数x 的值为A ．12-B ．12C ．3-D ．33．【广西钦州市2019届高三4月综合能力测试（三模）数学】已知平面向量,AB AC u u u r u u u r的模都为2，,90AB AC =ouu u r uuu r ，若()0BM MC λλ=≠u u u u v u u u u v ，则()AM AB AC +=uuu r uu u r uuu r gA ．4B ．2C D ．04．【广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学】已知菱形ABCD 的边长为2，E 为AB 的中点，120ABC =o ∠，则DE AC ⋅u u u v u u u v的值为 A ．4 B ．–3C D ．5．【四川省百校2019届高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ= A ．2 B ．-2 C ．12 D ．1-26．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第四次模拟考试数学】已知向量(2,1),(1,7)=-=a b ，则下列结论正确的是 A ．⊥a b B ．∥a b C ．()⊥-a a bD ．()⊥+a a b7．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷三》数学】已知ABC △是边长为a 的正三角形，且AM AB λ=u u u u r u u u r ，(1)()AN AC R λλ=-∈u u ur u u u r ，设()f BN CM λ=⋅u u u r u u u u r ，当函数()f λ的最大值为–2时，a =A ．3 B ．C D ．8．【贵州省凯里市第一中学2019届高三下学期模拟考试《黄金卷二》数学】已知向量()1,2=a ，()2,m =b ，且⊥a b ，则m = A ．4 B ．1 C ．1-D ．4-9．【贵州省遵义航天高级中学2019届高三第七次模拟考试数学】已知向量=a b ,a b 间的夹角为34π，则2-=a bA BC D 10．【西藏拉萨市2019届高三第三次模拟考试数学】已知向量,a b 的夹角为2π，且()2,1=-a ，2=b ，则2+=a bA ．B ．3C D11．【云南省2019届高三第一次高中毕业生复习统一检测数学】设向量(1,)x x =-a ，(1,2)=-b ，若∥a b ，则x =A ．32- B ．–1 C ．23 D ．3212．【云南省保山市2019年普通高中毕业生市级统一检测数学】已知向量,a b 满足()+=⊥+a a b a a b ，则a 与b 的夹角是A ．56π B ．23π C ．π3D ．6π13．【云南省红河州2018届高三复习统一检测数学】在ABC △中，2CM MB =u u u u r u u u r ，AN CN =+0u u u r u u u r，则A ．2136MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rB ．2376MN AB AC =+u u u u r u u u r u u u rC ．1263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u rD ．7263MN AC AB =-u u u u r u u u r u u u r14．【四川省高2019届高三第一次诊断性测试数学】已知向量()1,1=-a ，()8,k =b ，若∥a b ，则实数k =__________．15．【广西柳州高级中学2017–2018学年高三5月模拟考试数学】已知向量()2,3=a ，(),6m =-b ，若⊥a b ，则|2|+=a b __________．16．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学】已知向量=a ，(,6)m =-b ，若⊥a b ，则m =__________．17．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学】已知向量()1,5=a ，()2,1=-b ，(),3m =c ．若()⊥+b a c ，则m =__________．18．【四川省内江市2019届高三第三次模拟考试数学】设向量(,1),(4,2)x ==a b ，且∥a b ，则实数x 的值是__________．19．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】在正方形ABCD 中，E 为线段AD 的中点，若EC AD AB λμ=+u u u v u u u v u u u v，则λμ+=__________．20．【广西桂林市、贺州市、崇左市2019届高三下学期3月联合调研考试数学】已知1=b ，2⋅=a b ，则向量(2)-⋅=a b b __________．21．【四川省棠湖中学2019届高三高考适应性考试数学】在直角坐标系xOy 中，已知点(1,1),(2,3),(3,2)A B C ，若点P 满足PA PB PC ++=0u u u v u u u v u u u v ，则||OP uuu v ＝__________．22．【四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学】已知向量a =（sin2α，1），b =（cos α，1），若∥a b ，π02α<<，则=α__________． 23．【四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学】如图，已知AB 为圆C 的一条弦，且2AB AC ⋅=u u u r u u u r，则AB u u u r =______．24．【四川省百校2019年高三模拟冲刺卷数学】已知向量()()2,1,1,λ=-=a b ，若()()22+-∥a b a b ，则实数λ=__________．25．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】在ABC △中，4AB =，O 为三角形的外接圆的圆心，若AO x AB y AC =+u u u r u u u r u u u r (),x y ∈R ，且21x y +=，则ABC △的面积的最大值为_____．26．【四川省乐山市高中2019届高三第三次调查研究考试数学】已知O 为原点，点()2,3A ，()1,5B ，(),3C m ，若AB OC ⊥u u u r u u u r ，则实数m =__________．27．【贵州省贵阳市2019届高三5月适应性考试（二）数学】直线230x y +-=与圆22220x y x y +--=相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，则||OA OB +=u u u r u u u r__________．28．【贵州省遵义市绥阳中学2019届高三模拟卷（二）数学】已知向量()()1,1,,2m =-=a b ，若5-=a b ，则实数m =__________． 29．【云南省昆明市2019届高三1月复习诊断测试数学】已知向量()1,3=-a ，()1,t =b ，若()2-⊥a b a ，则t =__________．30．【云南省昆明市2019届高三高考模拟（第四次统测）数学】在边长为6的等边三角形ABC 中，23BD BC =u u u r u u u r ．则AB AD ⋅=u u u r u u u r __________． 31．【西藏山南市第二高级中学2019届高三下学期第一次模拟考试数学】已知向量()(),1,3,2x ==-a b ，a b，则x __________．若∥。

全国卷历年高考平面向量真题归类分析

全国卷历年高考平面向量真题归类分析

全国卷历年高考平面向量真题归类分析（2015年-2019年共14套）一、代数运算（3题）1.(2015全国2卷13)设向量a,b 不平行,向量λa+b 与a+2b 平行,则实数λ= . 解：因为向量λa+b 与a+2b 平行,所以λa+b=k(a+2b),则所以．答案:2.（2017全国1卷13）已知向量，的夹角为，， ，则.解解，所以3.（2018全国2卷4）已知向量，满足，，则A. 4B. 3C. 2D. 0 解：因为所以选B.4.（2019全国1卷7）已知非零向量a ，b 满足a =2b ，且（a –b ）⊥b ，则a 与b 的夹角为A.π6B.π3 C. 2π3 D. 5π6解：因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．解决问题的关键是熟悉公式及运算法则，求夹角公式为：121222221122cos x x y y a b a bx y x y θ+⋅==++，注意向量夹角范围为[0,]π．求模长则利用公式22a a a a ⋅==转化为向量数量积运算，注意运算结果开平方才是模长．这类题基本解题思路如下： 12,k k λ=⎧⎨=⎩，12λ=12a b 602=a 1=b 2+=a b ()22222(2)22cos602+=+=+⋅⋅⋅+a b a b a a b b 221222222=+⨯⨯⨯+=444++=122+=a b 所有相关向量统一用同一个基底表示22a a a a ⋅==求模，模长记得开平方二、几何运算（3题） 1.（2018全国1卷6）在解中，为边上的中线，为的中点，则A.B.C.D.解：根据向量的运算法则，可得，所以，故选A.2.（2015全国1卷7）设D 为解ABC 所在平面内一点,BC →=3CD →,则 ( )A. B. C. D. 解：选A.由题知3.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.A. B. C. D. 解：方法一：如图所示，取的中点，联结，取的中点，由， 则()()()22PA PB PC PD PA PE ED PE EA ⋅+=⋅=+⋅+=，当且仅当，即点与点重合时，取得最小值为，故选B.（方法二见模块三第8题）AC AB AD 3431+-=AC AB AD 3431-=AC AB AD 3134+=AC AB AD 3134-=11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-=1433AB AC -+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-BC D AD AD E 2PB PC PD +=()222PE ED-=2221132422PE AD AD ⎛⎫--=- ⎪⎝⎭20PE =P E 32-【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的线性运算，解题时尽量画出符合要求的图形.平面向量基本定理是解决向量问题的出发点，通过线性运算可将平面内相关向量用同一基底表示.题目如果没有选定基底，则如何选取基底是关键，一般是选已知模长及夹角的两个不共线向量为基底，且其它向量便于用该基底表示.三、坐标运算（7题）1.（2016全国2卷3）已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m= ( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 解：a+b=(4,m-2),因为(a+b)⊥b,所以(a+b)·b=12-2(m-2)=0,解得m=8.选D.2.（2016全国3卷3）已知向量1BA 2=⎛ ⎝⎭,31BC ,2=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,则∠ABC= ( )A.30°B.45°C.60°D.120°解：选A.因为BA BC ⋅=12×12=,BA =BC =1,所以cos ∠ABC=BA BC 3=2BA BC⋅,即∠ABC=30°3.（2019全国2卷3）已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，||BC =1，则AB BC ⋅= A. -3B. -2C. 2D. 3解：由(1,3)BC AC AB t =-=-，211BC ==，得3t =，则(1,0)BC =，(2,3)(1,0)21302AB BC ==⨯+⨯=．故选C ．4.（2016全国1卷13）(2016·全国卷Ⅰ高考理科·T13)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m= .解：由已知得:a+b=(m+1,3),所以|a+b|2=|a|2+|b|2⇔(m+1)2+32=m 2+12+12+22,解得m=-2.答案:-25.（2018全国3卷13）已知向量，，．若，则________． 解：由题可得 ，即，故答案为6.（2019全国3卷13）已知,a b 为单位向量，且a b ⋅=0，若25c a b =- ，则cos ,a c <>=___________. 解：因为25c a b =-，0a b ⋅=，所以225a c a a b ⋅=-⋅2=，222||4||455||9c a a b b =-⋅+=，所以||3c =，所以cos ,a c <>=22133a c a c ⋅==⨯⋅．7.（2017全国3卷12）在矩形中，，，动点在以点为圆心且与相切的圆上．若，则的最大值为（ ）. A ．3B ．C.D ．2解：由题意，作出图像，如图所示．设与切于点，联结．以点为坐标原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立直角坐标系，则点坐标为 ．因为，．所以．因为切于点． 所以⊥．所以是斜边上的高．， 即的半径为．因为点在上．所以点的轨迹方程为．设点的坐标为，可以设出点坐标满足的参数方程，而，，． 因为， 所以，． 两式相加得2sin()3θϕ++≤ (其中)， 当且仅当，时，取得最大值为3．故选A.8.（2017全国2卷12）已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（ ）.A. B.C. D. 方法二：如图所示建立直角坐标系，则()3,0A ，()0,1-B ,()0,1C ，设()y x P ,， 则()y x PA --=3,，()y x PB ---=,1，()y x PC --=,1，ABCD 1AB =2AD =P C BD AP AB AD λμ=+λμ+BD C E CE A AD x AB y C (2,1)||1CD =||2BC =BD =BD C E CE BD CE Rt BCD △BD 1222BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅==△C P C P 224(2)(1)5x y -+-=P 00(,)x y P 0021x y θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩00(,)AP x y =(0,1)AB =(2,0)AD =(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+=0112x μθ==01y λθ==+(22255112sin 55λμθθθϕ⎛⎫⎛⎫+=++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin ϕcos ϕπ2π2k θϕ=+-k ∈Z λμ+ABC △P ABC ()PA PB PC ⋅+2-32-43-1-()()()23232232222,23,2222-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-+=----=+⋅y x y y x y x y x PC PB PA所以，当23,0==y x ，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,0P 时，取得最小值为，故选B. 【归类分析】这类题主要考查利用平面向量的坐标运算，渗透了数学运算、直观想象素养．对于向量坐标运算，一定要弄清楚坐标运算的本质.由于选取了平面上两个互相垂直的单位向量作为基底（单位正交基底），这大大的降低了解题的难度.因此，遇到平面向量难题时要想到建立直角坐标系，用坐标法．32-相关点尽量在坐标轴上或成对称关系，向量坐标零越多越好 (1x AB =，写出所有相关向量的坐标。

第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题(原卷版)

第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题(原卷版)

第6讲 平面向量等和线定理求系数和问题【考点分析】考点一：平面向量等和线问题①平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。

①平面向量等和线问题平面内一组基底,OA OB 及任一向量OP ，(,)OP OA OB R λμλμ=+∈，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB的直线上，则k λμ+=（定值），反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线。

注意：1.当等和线恰为直线AB 时，1k =；2.当等和线在O 点和直线AB 之间时，(0,1)k ∈；3.当直线AB 在点O 和等和线之间时，(1,)k ∈+∞；4.当等和线过O 点时，0k =；5.若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；【典型例题】题型一： 平面向量等和线求系数和问题【例1】如图，在矩形ABCD 中，1AB =，2AD =，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上，若满足AP mAB nAD =+，则n m +的最大值为（ ）A ．3B ．22C ．5D ．2O【例2】如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB y AC =+，则22x y +的最大值为（ ）A ．83B ．2C ．43D ．1【例3】在ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN AB AC λμ=+（λ，μ∈R ），则λμ+的取值范围是（ ）A ．10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0,1]D ．[1,2]【例4】如图，已知点P 在由射线OD 、线段OA ，线段BA 的延长线所围成的平面区域内（包括边界），且OD 与BA 平行，若OP xOB yOA =+，当12x =-时，y 的取值范围是（ ）A ．[]0,1B ．1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦【例5】在扇形OAB 中，60AOB ∠=，C 为弧AB 上的一动点，若OC xOA yOB =+，则3x y +的取值范围是_________．【题型专练】1.在直角ABC 中，AB AC ⊥，2AB AC ==，以BC 为直径的半圆上有一点M （包括端点），若AM AB AC λμ=+，则λμ+的最大值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．22.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3B ．22C ．5D ．23.如图，在边长为2的正六边形ABCDEF 中，动圆Q 的半径为1，圆心Q 在线段CD （含端点）上运动，P 是圆Q 上及其内部的动点，设向量AP mAB nAF =+（m ，n 为实数），则m ＋n 的最大值为______．4.已知ABC 的外接圆圆心为O ，120A ∠=，若AO x AB y AC =+(x ，yR )，则x y +的最小值为（ ） A ．12 B ．23 C ．32 D ．25.给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π，如图所示点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中x ，y R ∈，则x y +的取值范围为（ ）A ．(1，2]B ．[1，2]C ．[1，2)D ．[2-，2]6.已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的取值范围是A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭7.在直角ABC 中，A ∠为直角，1,2AB AC ==，M 是ABC 内一点，且12AM =，若AM AB AC λμ=+，则23λμ+的最大值为_________．8.扇形的半径为1，且0OA OB ⋅=，点C 在弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，则2x y +的最大值是__________。

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量的概念及线性运算

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》平面向量的概念及线性运算

2024年高考数学总复习第五章《平面向量与复数》§5.1平面向量的概念及线性运算最新考纲1.通过力和力的分析等实例，了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示.2.通过实例，掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义.3.通过实例，掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义.4.了解向量线性运算的性质及其几何意义．1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：a ＋b ＝b ＋a ；结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算|λa |＝|λ||a |，当λ>0时，λa与a 的方向相同；当λ<0时，λa 与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb3.向量共线定理向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b ＝λa .概念方法微思考1．若b 与a 共线，则存在实数λ使得b ＝λa ，对吗？提示不对，因为当a ＝0，b ≠0时，不存在λ满足b ＝λa .2．如何理解数乘向量？提示λa 的大小为|λa |＝|λ||a |，方向要分类讨论：当λ>0时，λa 与a 同方向；当λ<0时，λa 与a 反方向；当λ＝0或a 为零向量时，λa 为零向量，方向不确定．3．如何理解共线向量定理？提示如果a ＝λb ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且b ≠0，则一定存在唯一一个实数λ，使得a ＝λb .题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．(√)(2)|a |与|b |是否相等与a ，b 的方向无关．(√)(3)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .(×)(4)若向量AB →与向量CD →是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．(×)(5)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．(√)(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反．(×)题组二教材改编2．已知▱ABCD 的对角线AC 和BD 相交于点O ，且OA →＝a ，OB →＝b ，则DC →＝________，BC →＝________.(用a ，b 表示)答案b －a－a －b解析如图，DC →＝AB →＝OB →－OA →＝b －a ，BC →＝OC →－OB →＝－OA →－OB →＝－a －b .3．在平行四边形ABCD 中，若|AB →＋AD →|＝|AB →－AD →|，则四边形ABCD 的形状为________．答案矩形解析如图，因为AB →＋AD →＝AC →，AB →－AD →＝DB →，所以|AC →|＝|DB →|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形ABCD 是矩形．题组三易错自纠4．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．5．设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.答案12解析∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.6．设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．答案12解析DE →＝DB →＋BE →＝12AB →＋23BC→＝12AB →＋23(BA →＋AC →)＝－16AB →＋23AC →，∴λ1＝－16，λ2＝23，即λ1＋λ2＝12.题型一平面向量的概念1．给出下列命题：①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 也共线；③若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，且AB →＝DC →，则ABCD 为平行四边形；④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；⑤已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线．其中真命题的序号是________．答案③解析①错误，两个向量起点相同，终点相同，则两个向量相等；但两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b ＝0，则a 与c 不一定共线；③正确，因为AB →＝DC →，所以|AB →|＝|DC →|且AB →∥DC →；又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，所以四边形ABCD 为平行四边形；④错误，当a ∥b 且方向相反时，即使|a |＝|b |，也不能得到a ＝b ，所以|a |＝|b |且a ∥b 不是a ＝b 的充要条件，而是必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0时，a 与b 可以为任意向量，满足λa ＝μb ，但a 与b 不一定共线．故填③.2．判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |.其中正确的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4答案A解析只有④正确．思维升华向量有关概念的关键点(1)向量定义的关键是方向和长度．(2)非零共线向量的关键是方向相同或相反，长度没有限制．(3)相等向量的关键是方向相同且长度相等．(4)单位向量的关键是长度都是一个单位长度．(5)零向量的关键是长度是0，规定零向量与任何向量共线．题型二平面向量的线性运算命题点1向量加、减法的几何意义例1(2017·全国Ⅱ)设非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则()A ．a ⊥bB ．|a |＝|b |C ．a ∥bD ．|a |>|b |答案A 解析方法一∵|a ＋b |＝|a －b |，∴|a ＋b |2＝|a －b |2.∴a 2＋b 2＋2a·b ＝a 2＋b 2－2a·b .∴a·b ＝0.∴a ⊥b .故选A.方法二利用向量加法的平行四边形法则．在▱ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，由|a ＋b |＝|a －b |知，|AC →|＝|DB →|，从而四边形ABCD 为矩形，即AB ⊥AD ，故a ⊥b .故选A.命题点2向量的线性运算例2(1)在平行四边形ABCD 中，点E 为CD 的中点，BE 与AC 的交点为F ，设AB →＝a ，AD →＝b ，则向量BF →等于()A.13a ＋23b B ．－13a －23bC ．－13a ＋23bD.13a －23b 答案C解析BF →＝23BE →＝23(BC →＋CE →)－12a ＝－13a ＋23b ，故选C.(2)(2018·全国Ⅰ)在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →等于()A.34AB →－14AC →B.14AB →－34AC →C.34AB →＋14AC →D.14AB →＋34AC →答案A解析作出示意图如图所示．EB →＝ED →＋DB →＝12AD →＋12CB→＝12×12(AB →＋AC →)＋12(AB →－AC →)＝34AB →－14AC →.故选A.命题点3根据向量线性运算求参数例3在锐角△ABC 中，CM →＝3MB →，AM →＝xAB →＋yAC →，则xy ＝________.答案3解析由题意得CA →＋AM →＝3(AB →－AM →)，即4AM →＝3AB →＋AC →，亦即AM →＝34AB →＋14AC →，则x ＝34，y ＝14.故x y＝3.思维升华平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．(2)求已知向量的和．共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较，求参数的值．跟踪训练1(1)在△ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且BD →＝2DC →，CE →＝3EA →，若AB →＝a ，AC →＝b ，则DE →等于()A.13a ＋512bB.13a －1312b C ．－13a －512bD ．－13a ＋1312b答案C解析DE →＝DC →＋CE →＝13BC →＋34CA→＝13(AC →－AB →)－34AC →＝－13AB →－512AC →＝－13a －512b ，故选C.(2)(2018·威海模拟)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边BC ，CD 的中点，若AB →＝xAE →＋yAF →(x ，y ∈R )，则x －y ＝________.答案2解析由题意得AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋12AD →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12AB →，因为AB →＝xAE →＋yAF →，所以AB →→，＋y2＝1，y ＝0，＝43，＝－23，所以x －y ＝2.题型三共线定理的应用例4设两个非零向量a 与b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A ，B ，D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．(1)证明∵AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，∴BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋8b ＋3(a －b )＝2a ＋8b ＋3a －3b ＝5(a ＋b )＝5AB →，∴AB →，BD →共线．又∵它们有公共点B ，∴A ，B ，D 三点共线．(2)解假设k a ＋b 与a ＋k b 共线，则存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )，即(k －λ)a ＝(λk －1)b .又a ，b 是两个不共线的非零向量，∴k －λ＝λk －1＝0.消去λ，得k 2－1＝0，∴k ＝±1.引申探究1．若将本例(1)中“BC →＝2a ＋8b ”改为“BC →＝a ＋m b ”，则m 为何值时，A ，B ，D 三点共线？解BC →＋CD →＝(a ＋m b )＋3(a －b )＝4a ＋(m －3)b ，即BD →＝4a ＋(m －3)b .若A ，B ，D 三点共线，则存在实数λ，使BD →＝λAB →.即4a ＋(m －3)b ＝λ(a ＋b )．＝λ，－3＝λ，解得m ＝7.故当m ＝7时，A ，B ，D 三点共线．2．若将本例(2)中的“共线”改为“反向共线”，则k 为何值？解因为k a ＋b 与a ＋k b 反向共线，所以存在实数λ，使k a ＋b ＝λ(a ＋k b )(λ<0)．＝λ，＝1，所以k ＝±1.又λ<0，k ＝λ，所以k ＝－1.故当k ＝－1时两向量反向共线．思维升华(1)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．(2)向量a ，b 共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a ＋λ2b ＝0成立；若λ1a ＋λ2b ＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a ，b 不共线．跟踪训练2已知O ，A ，B 是不共线的三点，且OP →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )．(1)若m ＋n ＝1，求证：A ，P ，B 三点共线；(2)若A ，P ，B 三点共线，求证：m ＋n ＝1.证明(1)若m ＋n ＝1，则OP →＝mOA →＋(1－m )OB →＝OB →＋m (OA →－OB →)，∴OP →－OB →＝m (OA →－OB →)，即BP →＝mBA →，∴BP →与BA →共线．又∵BP →与BA →有公共点B ，则A ，P ，B 三点共线．(2)若A ，P ，B 三点共线，则存在实数λ，使BP →＝λBA →，∴OP →－OB →＝λ(OA →－OB →)．又OP →＝mOA →＋nOB →.故有mOA →＋(n －1)OB →＝λOA →－λOB →，即(m －λ)OA →＋(n ＋λ－1)OB →＝0.∵O ，A ，B 不共线，∴OA →，OB →不共线，－λ＝0，＋λ－1＝0，∴m ＋n ＝1.1．对于非零向量a ，b ，“a ＋2b ＝0”是“a ∥b ”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案A解析若a ＋2b ＝0，则a ＝－2b ，所以a ∥b .若a ∥b ，则a ＋2b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．2．已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →＝－3a ＋3b ，则()A ．A ，B ，C 三点共线B ．A ，B ，D 三点共线C ．A ，C ，D 三点共线D ．B ，C ，D 三点共线答案B解析∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2AB →，∴BD →与AB →共线，由于BD →与AB →有公共点B ，因此A ，B ，D 三点共线，故选B.3.如图，在正方形ABCD 中，点E 是DC 的中点，点F 是BC 上的一个靠近点B 的三等分点，那么EF →等于()A.12AB →－13AD →B.14AB →＋12AD →C.13AB →＋12DA →D.12AB →－23AD →答案D解析在△CEF 中，有EF →＝EC →＋CF →.因为点E 为DC 的中点，所以EC →＝12DC →.因为点F 为BC 上的一个靠近点B 的三等分点，所以CF →＝23CB →.所以EF →＝12DC →＋23CB →＝12AB →＋23DA →＝12AB →－23AD →，故选D.4．(2018·唐山模拟)在△ABC 中，点G 满足GA →＋GB →＋GC →＝0.若存在点O ，使得OG →＝16BC →，且OA →＝mOB →＋nOC →，则m －n 等于()A ．2B ．－2C ．1D ．－1答案D 解析∵GA →＋GB →＋GC →＝0，∴OA →－OG →＋OB →－OG →＋OC →－OG →＝0，∴OG →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝16BC →＝16(OC →－OB →)，可得OA →＝－12OC →－32OB →，∴m ＝－32，n ＝－12，m －n ＝－1，故选D.5.如图，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD→等于()A ．a －12b B.12a －b C ．a ＋12b D.12a ＋b 答案D 解析连接OC ，OD ，CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，可得∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且△OAC 和△OCD 均为边长等于圆O 半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝12a ＋b ，故选D.6.如图，在△ABC 中，AN →＝13AC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为()A.911B.511C.311D.211答案B解析注意到N ，P ，B 三点共线，因此AP →＝mAB →＋211AC →＝mAB →＋611AN →，从而m ＋611＝1，所以m ＝511.7．若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，则|AB →＋AC →|＝________.答案23解析因为|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC →|＝2，所以△ABC 是边长为2的正三角形，所以|AB →＋AC →|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，所以|AB →＋AC →|＝23.8．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA →|，则△ABC 的形状为________．答案直角三角形解析因为OB →＋OC →－2OA →＝OB →－OA →＋OC →－OA→＝AB →＋AC →，OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →，所以|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，即AB →·AC →＝0，故AB →⊥AC →，△ABC 为直角三角形．9．若M 是△ABC 的边BC 上的一点，且CM →＝3MB →，设AM →＝λAB →＋μAC →，则λ的值为________．答案34解析由题设知CM MB＝3，过M 作MN ∥AC 交AB 于N ，则MN AC ＝BN BA ＝BM BC ＝14，从而AN AB ＝34，又AM →＝λAB →＋μAC →＝AN →＋NM →＝34AB →＋14AC →，所以λ＝34.10．(2019·钦州质检)已知e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，MN →＝2e 1－3e 2，NP →＝λe 1＋6e 2，若M ，N ，P 三点共线，则λ＝________.答案－4解析因为M ，N ，P 三点共线，所以存在实数k 使得MN →＝kNP →，所以2e 1－3e 2＝k (λe 1＋6e 2)，又e 1，e 2为平面内两个不共线的向量，＝kλ，3＝6k ，解得λ＝－4.11．如图所示，设O 是△ABC 内部一点，且OA →＋OC →＝－2OB →，求△ABC 与△AOC 的面积之比．解取AC 的中点D ，连接OD ，则OA →＋OC →＝2OD →，∴OB →＝－OD →，∴O 是AC 边上的中线BD 的中点，∴S △ABC ＝2S △OAC ，∴△ABC 与△AOC 面积之比为2∶1.12.如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是AB ，AC 的中点，BF 与CD 交于点O ，设AB →＝a ，AC →＝b ，试用a ，b 表示向量AO →.解方法一由D ，O ，C 三点共线，可设DO →＝k 1DC →＝k 1(AC →－AD →)＝k－12a＝－12k 1a ＋k 1b (k 1为实数)，同理，可设BO →＝k 2BF →＝k 2(AF →－AB →)＝k－k 2a ＋12k 2b (k 2为实数)，①又BO →＝BD →＋DO →＝－12a －12k 1a ＋k 1＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，②所以由①②，得－k 2a ＋12k 2b ＝－12(1＋k 1)a ＋k 1b ，即12(1＋k 1－2k 2)a2－k＝0.又a ，b 不共线，1＋k 1－2k 2)＝0，2－k 1＝0，1＝13，2＝23.所以BO →＝－23a ＋13b .所以AO →＝AB →＋BO →＝a －23a ＋13b ＝13(a ＋b )．方法二延长AO 交BC 于点E ，O 为△ABC 的重心，则E 为BC 的中点，所以AO →＝23AE →＝23×12(AB →＋AC →)＝13(a ＋b )．13．如图所示，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，E 为AO 的中点，若DE →＝λAB →＋μAD →(λ，μ为实数)，则λ2＋μ2等于()A.58B.14C ．1 D.516答案A 解析DE →＝12DA →＋12DO →＝12DA →＋14DB →＝12DA →＋14(DA →＋AB →)＝14AB →－34AD →，所以λ＝14，μ＝－34，故λ2＋μ2＝58，故选A.14．A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是()A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1，2]D ．(－1,0)答案B 解析设OC →＝mOD →，则m >1，因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以mOD →＝λOA →＋μOB →，即OD →＝λm OA →＋μmOB →，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μm＝1，即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B.15．已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP →＝OA →＋12OB →＋12OC P 一定为△ABC 的()A ．BC 边中线的中点B ．BC 边中线的三等分点(非重心)C ．重心D ．BC 边的中点答案B 解析设BC 的中点为M ，则12OC →＋12OB →＝OM →，∴OP →＝13(OM →＋2OA →)＝13OM →＋23OA →，即3OP →＝OM →＋2OA →，也就是MP →＝2PA →，∴P ，M ，A 三点共线，且P 是AM 上靠近A 点的一个三等分点．16．设W 是由一平面内的n (n ≥3)个向量组成的集合．若a ∈W ，且a 的模不小于W 中除a 外的所有向量和的模．则称a 是W 的极大向量．有下列命题：①若W 中每个向量的方向都相同，则W 中必存在一个极大向量；②给定平面内两个不共线向量a ，b ，在该平面内总存在唯一的平面向量c ＝－a －b ，使得W ＝{a ，b ，c }中的每个元素都是极大向量；③若W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量，且W 1，W 2中无公共元素，则W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量．其中真命题的序号是________．答案②③解析①若有几个方向相同，模相等的向量，则无极大向量，故不正确；②由题意得a ，b ，c 围成闭合三角形，则任意向量的模等于除它本身外所有向量和的模，故正确；③3个向量都是极大向量，等价于3个向量之和为0，故W 1＝{a 1，a 2，a 3}，W 2＝{b 1，b 2，b 3}中的每个元素都是极大向量时，W 1∪W 2中的每一个元素也都是极大向量，故正确．。

6.1 平面向量的概念 (精讲)(原卷版)

6.1 平面向量的概念 (精讲)(原卷版)

6.1平面向量的概念 (精讲）6.1.1向量的实际背景与概念6.1.2向量的几何表示6.1.3相等向量与共线向量目录一、必备知识分层透析二、重点题型分类研究题型1：向量的有关概念题型2：向量的几何表示角度1：向量的模角度2：零向量与单位向量题型3：相等向量与共线向量角度1：相等向量角度2：平行向量（共线向量）一、必备知识分层透析知识点1：向量的概念（1）向量在数学中,我们把既有大小又有方向的量叫做向量.①我们所学的向量是自由向量,即只有大小和方向,而无特定的位置,这样的向量可以作任意平移.②向量与向量之间不能比较大小.（2）数量只有大小没有方向的量称为数量,如年龄、身高、长度、面积体积、质量等（3）向量与数量的区别①向量与数量的区别:向量有方向,而数量没有方向；数量与数量之间可以比较大小,而向量与向量之间不能比较大小②向量与矢量:数学中的向量是从物理中的矢量(如位移、力、加速度、速度等)中抽象出来的,但在这里我们仅考虑它的大小及方向；而物理中的这些量,既同时具备大小和方向这两个属性,还具有其他属性(如“力”就是由大小方向、作用点所决定的).知识点2：向量的几何表示(1)有向线段具有方向的线段叫做有向线段①有向线段:具有方向的线段叫做有向线段,其方向是由起点指向终点.以A为起点、B为终AB. 表点的有向线段记作AB(如图所示),线段AB的长度也叫做有向线段的长度,记作||示有向线段时,起点一定要写在终点的前面,上面标上箭头.②有向线段的三个要素:起点、方向、长度.知道了有向线段的起点、方向、长度,它的终点就唯一确定了.（2）向量的表示①几何表示:向量可以用有向线段表示,有向线段的长度表示向量的大小,有向线段的方向表示向量的方向.②字母表示:向量可以用字母a,b,c,…表示（3）向量的模AB.向量AB的大小称为向量AB的长度(或称模),记作||（4）两种特殊的向量零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0.单位向量:长度等于1个单位长度的向量,叫做单位向量①若用有向线段表示零向量,则其终点与起点重合.与0的区别与联系,0是一个向量|0|；书写时0表示零向量方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.向量a 与b 平行,记作a b .规定:零向量与任意即对于任意向量a ,都有0a .长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.向量a 与b 相等,记作a b =.两个向量相等必须具备的条件是长度相等,方向相同因为向量完全由它的方向和模确定,故任意两个相等的非零向量与有向线段的起点无关.）共线向量任一组平行向量都可以平移到同一条直线上共线向量所在直线平行或重合,如果两个向量所在的直线平行或重合·高一课时练习）下列四个命题正确的是（ ）．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量．两个相等的向量起点、方向、长度必须都．（2022·全国·高一专题练习）下列命题中，正确的是||||a b =，则a b =．若a b =，则||||a b = ||||a b >，则a b > ||0a =，则0a = ．（2022·全国·高一假期作业）有下列命题：①两个相等向量，若它们的起点相同，则终点也相同；②若||a b |=|，则a b =； ③若AB DC =，则四边形ABCD 是平行四边形；m n =，n k =，则m k =；⑤若//a b ，//b c ，则//a c ； ⑥有向线段就是向．（2022·高一课时练习）下列说法正确的是（．向量AB与向量BA的长度相等例题2．（BD=________.例题3．（·全国·高一专题练习）若在一个边长为的正三角形所对应的有向线段为AD（其中则向量AD的模的最小值为高一专题练习）如果一架飞机向东飞行200 km，再向南飞行机飞行的路程为s，位移为a，那么（a aa a不能比大小2022·高一课时练习）已知在边长为ABCD中，∠，则BD=2022·高一课时练习）已知圆O的周长是，AB是圆O的直径，是圆周上一点，π=⊥CD=___________.,CD角度2：零向量与单位向量典型例题．向量就是有向线段>，则a b||||a b>．（2022秋·新疆巴音郭楞·高一校考阶段练习）下列说法正确的是（e=．单位向量均相等．单位向量1．零向量与任意向量平行．若向量a，b满足||||a b=，则a b=±．（2022秋·广东东莞·高一校联考期中）下列说法错误的是（．若0a =，则0a =．零向量是没有方向的 ．（多选）（2022春·广东佛山向量的说法正确的是（ ）．单位向量：模为1的向量例题1．（2022春·广东揭阳·中，AB DC =，则下列向量相等的是（．AD 与CB．OC 与OA ．AC 与DB D ．DO OB =例题2．（2022·全国·高三专题练习）“a b =”是“||||a b =”的（ ．充分非必要条件B ．必要非充分条件 ．充分必要条件 D ．既非充分又非必要条件例题3．（多选）（2022·高一课时练习）下列说法中错误的是（ ）||||a b =，则a b = B ．若a b ≠，则||||a b ≠||||a b =，则a 与b 可能共线||||a b ≠，则a 一定不与b 共线(1)分别写出与AO 、BO 相等的向量；写出与AO 共线的向量；写出与AO 的模相等的向量；写出与AO 的夹角为90︒的向量；向量AO 与CO 是否相等？（多选）（2022秋·浙江嘉兴若非零向量a ，b ，下列命题正确的是．若a b =，则a b =．若a b =，则a b = ．若//a b ，则a b = ．若a b =，则//a b．（多选）（2022秋·山东菏泽高一统考期中）设点O 是平行四边形ABCD 点，则下列结论正确的是（ ）．AO OC = B ．AO BO = ．AO BO = D ．AB 与CD 共线 ．（2022·高一课时练习）如图所示，在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD ，AB 中点.(1)写出与向量FC 共线的向量；(2)求证：BE FD =.4．（2022·全国·高三专题练习）在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD 、BC 的中点，如图．(1)写出与向量FC 共线的向量；(2)求证：BE FD =．角度2：平行向量（共线向量）典型例题例题1．（2022春·河南·高三校联考阶段练习）已知,,,A B C D 为平面上四点，则“向量AB CD ∥”是“直线AB CD ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件例题2．（2022秋·上海杨浦·高一复旦附中校考期中）①加速度是向量；②若//a b 且//b c ，则//a c ；③若AB CD =，则直线AB 与直线CD 平行．上面说法中正确的有（ ）个．A ．0B ．1C ．2D ．3同类题型演练1．（2022秋·湖北·高一校联考期中）“//b a ”是“a b =”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2022秋·上海浦东新·高一校考期末）命题：若//,//a b b c ，则//a c ，则命题为_______（填写：真命题或假命题）3．（2022·高一课时练习）已知命题“若//a b ，//b c ，则//a c ”是假命题，则b =__________.。

2023届高考二轮总复习试题(适用于老高考旧教材) 数学(理)复数、平面向量(含解析)

2023届高考二轮总复习试题(适用于老高考旧教材) 数学(理)复数、平面向量(含解析)

2.复数、平面向量考向1 复数的概念、运算及几何意义1.(2022·河南开封一模)设(1+i 4n+3)z=i,n ∈Z ,则在复平面内,复数z 对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.(2022·全国甲·理1)若z=-1+√3i,则zz -1=( )A.-1+√3iB.-1-√3iC.-13+√33iD.-13−√33i3.(2022·全国乙·理2)已知z=1-2i,且z+a z +b=0,其中a ,b 为实数,则( ) A.a=1,b=-2 B.a=-1,b=2 C.a=1,b=2 D.a=-1,b=-24.(2022·山东潍坊一模)已知复数z 满足z+3=4z +5i,则在复平面内复数z 对应的点在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 5.(2022·新高考Ⅰ·2)若i(1-z )=1,则z+z =( ) A.-2B.-1C.1D.2考向2 平面向量的概念及线性运算6. (2022·河南名校联盟一模)如图,在△ABC 中,点M 是AB 上的点且满足AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =3MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,P 是CM 上的点,且MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,则AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =( )A.12a +14b B.35a +15b C.14a +12bD.310a +35b7.(2022·河南名校联盟一模)下列关于平面向量的说法正确的是( ) A.若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则点A ,B ,C ,D 必在同一直线上 B.若a ∥b 且b ∥c ,则a ∥cC.若G 为△ABC 的外心,则GA ⃗⃗⃗⃗⃗ +GB⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0 D.若O 为△ABC 的垂心,则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 8.(2022·新高考Ⅰ·3)在△ABC 中,点D 在边AB 上,BD=2DA.记CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,则CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A.3m -2nB.-2m +3nC.3m +2nD.2m +3n9.(2022·河南许昌质检)正方形ABCD 中,P ,Q 分别是边BC ,CD 的中点,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则x=( ) A.1113B.65C.56D.3210.(2022·河南名校联盟一模)如图,在同一个平面内,向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α,且tan α=7,向量OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为45°,且|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1,|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2.若OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R ,n ∈R ),则n-m= . 考向3 平面向量的数量积11.(2022·新高考Ⅱ·4)已知向量a =(3,4),b =(1,0),c =a +t b ,若<a ,c >=<b ,c >,则实数t=( ) A.-6 B.-5C.5D.612. (2022·新高考八省第二次T8联考)如图,在同一平面内沿平行四边形ABCD 两边AB ,AD 向外分别作正方形ABEF ,正方形ADMN ,其中AB=2,AD=1,∠BAD=π4,则AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗=( )A.-2√2B.2√2C.0D.-1 13.(2022·山东威海期末)已知向量a ,b 满足|a |=|b |=2,且a -b 在a 上的投影为2+√3,则<a ,b >=( )A.π6 B.π3C.2π3D.5π614.(2022·山东潍坊期末)已知正方形ABCD 的边长为2,MN 是它的内切圆的一条弦,点P 为正方形四条边上的动点,当弦MN 的长度最大时,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是( ) A.[0,1]B.[0,√2]C.[1,2]D.[-1,1]15.(2022·山东济宁一模)等边三角形ABC 的外接圆的半径为2,点P 是该圆上的动点,则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( ) A.4 B.7C.8D.111 3,且|a|=1,|b|=3,则(2a+b)·b=.16.(2022·全国甲·理13)设向量a,b的夹角的余弦值为2.复数、平面向量1.B 解析: ∵i 4n+3=i 4n ·i 3=-i, ∴(1+i 4n+3)z=(1-i)z=i, ∴z=i1-i =i (1+i )(1-i )(1+i )=-12+12i,∴复数z 在复平面内对应的点为-12,12位于第二象限. 故选B . 2.C 解析: zz -1=√3i(-1+√3i )(-1-√3i )-1=√3i(-1)2+(√3)2-1=-13+√33i,故选C .3.A 解析: ∵z=1-2i, ∴z =1+2i,∴z+a z +b=1-2i +a (1+2i)+b=a+b+1+(2a-2)i =0, ∴{a +b +1=0,2a -2=0, 解得{a =1,b =-2.故选A .4.A 解析: 设z=x+y i,x ,y ∈R ,则z =x-y i,由z+3=4z +5i 得(x+y i)+3=4(x-y i)+5i,即(x+3)+y i =4x+(5-4y )i,于是得{x +3=4x ,y =5-4y ,解得x=y=1,则有z=1+i 对应的点为(1,1),所以在复平面内复数z 对应的点在第一象限. 故选A .5.D 解析: ∵i(1-z )=1, ∴z=i -1i=1+i, ∴z =1-i . ∴z+z =2. 故选D .6.B 解析: AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +MP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15MC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=45AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =45×34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +15AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =35a +15b .7.D 解析: 若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,则直线AB 与CD 平行或重合,∴点A ,B ,C ,D 不一定在同一直线上,A 错;当b =0时,满足a ∥b 且b ∥c ,不能得出a ∥c ,B 错; 当G 为△ABC 的重心,则GA⃗⃗⃗⃗⃗ +GB ⃗⃗⃗⃗⃗ +GC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,C 错; 若O 为△ABC 的垂心,则OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0, 即OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,同理OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴D 正确,故选D . 8.B解析: 如图.∵BD=2DA ,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3(CD ⃗⃗⃗⃗⃗ −CA ⃗⃗⃗⃗⃗ )=-2CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . 又CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =m ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =n ,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-2m +3n . 故选B .9.C 解析: ∵P ,Q 分别是正方形边BC ,CD 的中点,∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =-12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +y BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =x (AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+y -12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =x-12y AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(x+y )AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴{x -12y =1,x +y =12,∴{x =56,y =-13,故选C . 10.12解析: 由题意在题图中以O 为原点,OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向为x 轴非负半轴,过O 与OA 垂直向上为y 轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则A (1,0),∵向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为α, tan α=7,∴cos α=√210,sin α=7√210, 又|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√2,∴C15,75,cos(α+45°)=-35,sin(α+45°)=45,∴B -35,45, ∵OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +n OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴15,75=m (1,0)+n -35,45,∴{m -35n =15,45n =75,解得{m =54,n =74,∴n-m=12. 11.C 解析: 由题意得c =(3+t ,4),cos <a ,c >=cos <b ,c >,故9+3t+16|c |×5=3+t|c |×1,解得t=5.故选C .12.C 解析: AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FN ⃗⃗⃗⃗⃗ =(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )·(FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·FA ⃗⃗⃗⃗⃗ +A A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0+|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||FA ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos π4+|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos 3π4+0=√2−√2=0.选C . 13.D 解析: (a -b )·a =|a -b ||a |cos <a -b ,a >=(2+√3)·2, 即a 2-a ·b =4+2√3,a ·b =-2√3.所以|a ||b |cos <a ,b >=-2√3,cos <a ,b >=-√32,<a ,b >=5π6.14.A 解析: 由题当弦MN 长度最大时,即MN 为直径,设弦MN 的中点为O ,由题意,PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·(PO ⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−14MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2=PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2-1=|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ 2|-1,由1≤|PO ⃗⃗⃗⃗⃗ |≤√2,得PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·PN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的取值范围是[0,1]. 15.C解析: 如图所示,建立平面直角坐标系,设△ABC 的边长为a ,则asinA =2R=4(R 为△ABC 外接圆半径),所以a=2√3,A (0,3),B (-√3,0),C (√3,0),△ABC 的外接圆的方程为x 2+(y-1)2=4,设P 点坐标为(2cos θ,1+2sin θ),θ∈R ,PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ (PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4+2√3cos θ+2sin θ=4+4cos θ-π6≤8,当cos θ-π6=1时,等号成立.故选C .。

平面向量的极化恒等式(原卷版)

平面向量的极化恒等式(原卷版)

专题八 平面向量的极化恒等式利用向量的极化恒等式可以快速对共起点(终点)的两向量的数量积问题数量积进行转化，体现了向量的几何属性，让“秒杀”向量数量积问题成为一种可能，此恒等式的精妙之处在于建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数的巧妙结合．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积问题，从而用极化恒等式解决．1．极化恒等式：a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．2．平行四边形模式：如图(1)，平行四边形ABCD ，O 是对角线交点．则：(1)AB →·AD →＝14[|AC |2－|BD |2]．3．三角形模式：如图(2)，在△ABC 中，设D 为BC 的中点，则AB →·AC →＝|AD |2－|BD |2． 三角形模式是平面向量极化恒等式的终极模式，几乎所有的问题都是用它解决． 记忆：向量的数量积等于第三边的中线长与第三边长的一半的平方差． 考点一 平面向量数量积的定值问题 【方法总结】利用极化恒等式求数量积的定值问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线及第三边的长度，从而求出数量积的值．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积，对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线及第三边的长度，通常用平面几何方法或用正余弦定理求解，从而得到数量的值．【例题选讲】[例1] (1)(2014·全国Ⅱ)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A 解析 通法 由条件可得，(a ＋b )2＝10，(a －b )2＝6，两式相减得4a·b ＝4，所以a ·b ＝1．极化恒等式 a ·b ＝14[(a ＋b )2－(a －b )2]＝14(10－6)＝1．(2) (2012·浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________．AABC图(2)答案 －16 解析 因为M 是BC 的中点，由极化恒等式得：AB →·AC →＝|AM |2－14|BC |2＝9－14×100＝－16．(3)如图所示，AB 是圆O 的直径，P 是AB 上的点，M ，N 是直径AB 上关于点O 对称的两点，且AB ＝6，MN ＝4，则PM →·PN →＝( )A ．13B ．7C ．5D ．3答案 C 解析 连接AP ，BP ，则PM →＝P A →＋AM →，PN →＝PB →＋BN →＝PB →－AM →，所以PM →·PN →＝(P A →＋AM →)·(PB →－AM →)＝P A →·PB →－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝－P A →·AM →＋AM →·PB →－|AM →|2＝AM →·AB →－|AM →|2＝1×6－1＝5．(4)如图，在平行四边形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，点E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，AD 边上的中点，则EF →·FG →＋GH →·HE →＝________．答案 32 解析 连结EG ，FH ，交于点O ，则EF →·FG →＝EF →·EH →＝EO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，GH →·HE →＝GH →·GF →＝GO →2－OH →2＝1－⎝⎛⎭⎫122＝34，因此EF →·FG →＋GH →·HE →＝32．(5) (2016·江苏)如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点．BA →·CA →＝4，BF →·CF →＝－1，则BE →·CE →的值为________．答案 78 解析 极化恒等式法 设BD ＝DC ＝m ，AE ＝EF ＝FD ＝n ，则AD ＝3n ．根据向量的极化恒等式，有AB →·AC →＝AD →2－DB →2＝9n 2－m 2＝4， FB →·FC →＝FD →2－DB →2＝n 2－m 2＝－1．联立解得n 2＝58，m 2＝138．因此EB →·EC →＝ED →2－DB →2＝4n 2－m 2＝78．即BE →·CE →＝78．坐标法 以直线BC 为x 轴，过点D 且垂直于BC 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xoy ，如图：设A (3a ，3b )，B (－c ，0)，C (－c ，0)，则有E (2a ，2b )，F (a ，b ) BA →·CA →＝(3a ＋c ，3b )·(3a －c ，3b )＝9a 2－c 2＋9b 2＝4 BF →·CF →＝(a ＋c ，b )·(a －c ，b )＝a 2－c 2＋b 2＝－1，则a 2＋b 2＝58，c 2＝138BE →·CE →＝()2a －c ，2b ·()2a －c ，2b ＝4a 2－c 2＋4b 2＝78．基向量 BA →·CA →＝(DA →－DB →)(DA →－DC →)＝4AD →2－BC →24＝36FD →2－BC →24＝4，BF →·CF →＝(DF →－DB →)(DF →－DC →)＝4FD →2－BC →24＝－1，因此FD →2＝58，BC →＝132，BE →·CE →＝(DE →－DB →)(DE →－DC →)＝4ED →2－BC →24＝16FD →2－BC →24＝78．(6)在梯形ABCD 中，满足AD ∥BC ，AD ＝1，BC ＝3，AB →·DC →＝2，则AC →·BD →的值为________．BC答案 4 解析 过A 点作AE 平行于DC ，交BC 于E ，取BE 中点F ，连接AF ，过D 点作DH 平行于AC ，交BC 延长线于H ，E 为BH 中点，连接DE ，22212AB DC AB AE AF BF AF ⋅=⋅=-=-=，AC ⋅ 2224BD DB DH BE DE DE =-⋅=-=-，又1FE BE BF =-=，AD ∥BC ，则四边形ADEF 为平行四边形，AF DE =，1AC BD ∴⋅=．B【对点训练】1．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·DA →的值为________．2．如图，△AOB 为直角三角形，OA ＝1，OB ＝2，C 为斜边AB 的中点，P 为线段OC 的中点，则AP →·OP →＝ ( )A ．1B ．116 C ．14 D ．－123．如图，在平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5，若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →的值 是________．4．已知点A ，B 分别在直线x ＝3，x ＝1上，|OA →－OB →|＝4，当|OA →＋OB →|取最小值时，OA →·OB →的值是_____． A ．0 B ．2 C ．3 D ．65．在边长为1的正三角形ABC 中，D ，E 是边BC 的两个三等分点(D 靠近点B )，则AD →·AE →等于( ) A ．16 B ．29 C ．1318 D ．136．在△ABC 中，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 的三等分点，则AE →·AF →等于( )A ．89B ．109C ．259D ．2697．如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是( )A ．44B ．22C ．24D ．728．如图，在△ABC 中，已知AB ＝4，AC ＝6，∠A ＝60°，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AB →＝2AD →，AC →＝2AE →，若F 为DE 的中点，则BF →·DE →的值为________．A BD CE F9．如图，在△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，D 为边BC 的中点，若CD ⊥AD ，垂足为E ， 则EB →·EC →＝________．10．在平面四边形ABCD 中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB ＝1，EF ＝2，CD ＝5，若AD →·BC →＝15．则AC →·BD →的值为________． 考点二 平面向量数量积的最值(范围)问题 【方法总结】利用极化恒等式求数量积的最值(范围)问题的步骤(1)取第三边的中点，连接向量的起点与中点；(2)利用积化恒等式将数量积转化为中线长与第三边长的一半的平方差； (3)求中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．积化恒等式适用于求对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，利用极化恒等式将多变量转变为单变量，再用数形结合等方法求出单变量的范围．对于不共起点和不共终点的问题可通过平移转化法等价转化为对共起点(终点)的两向量的数量积的最值(范围)问题，从而用极化恒等式解决．在运用极化恒等式求数量积的最值(范围)时，关键在于取第三边的中点，找到三角形的中线，再写出极化恒等式，难点在于求中线长的最值(范围)，通过观察或用点到直线的距离最小或用三角形两边之和大于等于第三边，两边之差小于第三边或用基本不等式等求得中线长的最值(范围)，从而得到数量的最值(范围)．【例题选讲】[例1](1)若平面向量a ，b 满足|2a －b |≤3，则a ·b 的最小值为________．答案 －98 解析 a ·b ＝18[(2a ＋b )2－(2a －b )2]＝18[|2a ＋b |2－|2a －b |2]≥02－328＝－98．当且仅当|2a ＋b |＝0，|2a －b |＝3，即|a |＝34，|b |＝32，< a ，b >＝π时，a ·b 取最小值－98．(2)如图，在同一平面内，点A 位于两平行直线m ，n 的同侧，且A 到m ，n 的距离分别为1，3，点B ，C 分别在m ，n 上，|AB →＋AC →|＝5，则AB →·AC →的最大值是________．答案214解析 坐标法 以直线n 为x 轴，过点A 且垂直于n 的直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy ，如图：则A ()0，3，C ()c ，0，B ()b ，2，则AB →＝()b ，－1，AC →＝()c ，－3，从而()b ＋c 2＋()－42＝52，即()b ＋c 2＝9，又AC →·AB →＝bc ＋3≤()b ＋c 24＋3＝214，当且仅当b ＝c 时，等号成立．极化恒等式 连接BC ，取BC 的中点D ，AB →·AC →＝AD 2－BD 2，又AD ＝12||AB →＋AC →＝52，故AB →·AC →＝254－BD 2＝254－14BC 2，又因为BC min ＝3－1＝2，所以(AB →·AC →) max ＝214．(3)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB →＋PC →)的最小值是( )A ．－2B ．－32C ．－43D ．－1答案 B 解析 方法一 (解析法) 建立坐标系如图①所示，则A ，B ，C 三点的坐标分别为A (0，3)，B (－1，0)，C (1，0)．设P 点的坐标为(x ，y )，图①则P A →＝(－x ，3－y )，PB →＝(－1－x ，－y )，PC →＝(1－x ，－y )，∴P A →·(PB →＋PC →)＝(－x ，3－y )·(－2x ，－2y )＝2(x 2＋y 2－3y )＝2⎣⎡⎦⎤x 2＋⎝⎛⎭⎫y －322－34≥2×⎝⎛⎭⎫－34＝－32．当且仅当x ＝0，y ＝32时，P A →·(PB →＋PC →)取得最小值，最小值为－32．故选B ．方法二 (几何法) 如图②所示，PB →＋PC →＝2PD →(D 为BC 的中点)，则P A →·(PB →＋PC →)＝2P A →·PD →．图②要使P A →·PD →最小，则P A →与PD →方向相反，即点P 在线段AD 上，则(2P A →·PD →)min ＝－2|P A →||PD →|，问题转化为求|P A →||PD →|的最大值．又当点P 在线段AD 上时，|P A →|＋|PD →|＝|AD →|＝2×32＝3，∴|P A →||PD →|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|P A →|＋|PD →|22＝⎝⎛⎭⎫322＝34，∴[P A →·(PB →＋PC →)]min ＝(2P A →·PD →)min ＝－2×34＝－32．故选B ．极化恒等式法 设BC 的中点为D ，AD 的中点为M ，连接DP ，PM ，∴P A →·(PB →＋PC →)＝2PD →·P A →＝2|PM→|2－12|AD →|2＝2|PM →|2－32≥－32．当且仅当M 与P 重合时取等号．BC(4)已知正三角形ABC 内接于半径为2的圆O ，点P 是圆O 上的一个动点，则P A →·PB →的取值范围是________．答案 [－2，6] 解析 取AB 的中点D ，连接CD ，因为三角形ABC 为正三角形，所以O 为三角形ABC 的重心，O 在CD 上，且OC ＝2OD ＝2，所以CD ＝3，AB ＝23．又由极化恒等式得：P A →·PB →＝|PD |2－14|AB |2＝|PD |2－3，因为P 在圆O 上，所以当P 在点C 处时，|PD |max ＝3，当P 在CO 的延长线与圆O 的交点处时，|PD |min＝1，所以P A →·PB →∈[－2，6]．(5)如图，已知P 是半径为2，圆心角为π3的一段圆弧AB 上的一点，若AB →＝2BC →，则PC →·P A →的最小值为_____．答案 5－213 解析 通法 以圆心为坐标原点，平行于AB 的直径所在直线为x 轴，AB 的垂直平分线所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系(图略)，则A (－1，3)，C (2，3)，设P (2cos θ，2sin θ)⎝⎛⎭⎫π3≤θ≤2π3，则PC →·P A →＝(2－2cos θ，3－2sin θ)·(－1－2cos θ，3－2sin θ)＝5－2cos θ－43sin θ＝5－213sin(θ＋φ)，其中0<tan φ＝36<33，所以0<φ<π6，当θ＝π2－φ时，PC →·P A →取得最小值，为5－213． 极化恒等式法 设圆心为O ，由题得AB ＝2，∴AC ＝3．取AC 的中点M ，由极化恒等式得PC →·P A →＝PM →2－AM →2＝PM →2－94，要使PC →·P A →取最小值，则需PM 最小，当圆弧AB ︵的圆心与点P ，M 共线时，PM 最小．易知DM ＝12，∴OM ＝⎝⎛⎭⎫122＋(3)2＝132，所以PM 有最小值为2－132，代入求得PC →·P A →的最小值为5－213．(6)在面积为2的△ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则PC →·PB →＋BC →2的最小值是________．答案 23 解析 取BC 的中点为D ，连接PD ，则由极化恒等式得PC →·PB →＋BC →2＝PD →2－BC →24＋BC→2＝PD →2＋3BC →24≥AD →24＋3BC →24，此时当且仅当AD →⊥BC →时取等号，PC →·PB →＋BC →2≥AD →24＋3BC →24≥2AD →24·3BC →24＝23．另解 取BC 边的中点M ，连接PM ，设点P 到BC 边的距离为h ．则S △ABC ＝12·||BC →·2h ＝2⇒||BC→＝2h，PM ≥h ，所以PB →·PC →＋BC →2＝⎝⎛⎭⎫PM →2－14BC →2＋BC →2＝PM →2＋34BC →2＝PM →2＋3h 2≥h 2＋3h2≥23(当且仅当||PM →＝h ，h 2＝3时，等号成立)【对点训练】1．已知AB 是圆O 的直径，AB 长为2，C 是圆O 上异于A ，B 的一点，P 是圆O 所在平面上任意一点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为( )A ．－14B ．－13C ．－12D ．－12．如图，设A ，B 是半径为2的圆O 上的两个动点，点C 为AO 中点，则CO →·CB →的取值范围是( )A ．[－1，3]B ．[1，3]C ．[－3，－1]D ．[－3，1]3．如图，在半径为1的扇形AOB 中，∠AOB ＝π3，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP →·BP →的最小值为________．4．(2020·天津)如图，在四边形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，BC ＝6，且AD →＝λBC →，AD →·AB →＝－32，则实数λ的值为________，若M ，N 是线段BC 上的动点，且|MN →|＝1，则DM →·DN →的最小值为________．5．在△ABC 中，AC ＝2BC ＝4，∠ACB 为钝角，M ，N 是边AB 上的两个动点，且MN ＝1，若CM CN 的 最小值为34，则cos ∠ACB ＝________．6．已知AB 为圆O 的直径，M 为圆O 的弦CD 上一动点，AB ＝8，CD ＝6，则MA →·MB →的取值范围是________． 7．如图，设正方形ABCD 的边长为4，动点P 在以AB 为直径的弧APB 上，则PC →·PD →的取值范围为______． 8．已知正△ABC 内接于半径为2的圆O ，E 为线段BC 上的一个动点，延长AE 交圆O 于点F ，则F A →·FB → 的取值范围是________．9．已知AB 是半径为4的圆O 的一条弦，圆心O 到弦AB 的距离为1，P 是圆O 上的动点，则P A →·PB →的取 值范围为_________．10．矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，且MN ＝2，则AM →·AN →的最小值为________．11．在△ABC 中，已知AB ＝3，C ＝π3，则CA →·CB →的最大值为________．12．已知在△ABC 中，P 0是边AB 上一定点，满足P 0B ＝14AB ，且对于边AB 上任一点P ，恒有PB →·PC →≥P 0B →·P 0C →，则( )A ．∠ABC ＝90°B ．∠BAC ＝90° C ．AB ＝ACD ．AC ＝BC13．在正方形ABCD 中，AB ＝1，A ，D 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OC →·OB →的最大值为______．14．在三角形ABC 中，D 为AB 中点，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，E ，F 分别为BC ，AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →最小值为________．15．在Rt ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，AB ＝5，若点A ，B 分别在x ，y 轴的非负半轴上滑动，则OA →·OC →的最大值为________．16．已知正方形ABCD 的边长为2，点F 为AB 的中点，以A 为圆心，AF 为半径作弧交AD 于E ，若P 为劣弧EF 上的动点，则PC →·PD →的最小值为______．17．如图，已知B ，D 是直角C 两边上的动点，AD ⊥BD ，|AD →|＝3，∠BAD ＝π6，CM →＝12(CA →＋CB →)，CN →＝12(CD →＋CA →)，则CM →·CN →的最大值为________． ABC DMN18．如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BCD ＝60°，CB ＝CD ＝23．若点M 为边BC上的动点，则AM →·DM →的最小值为________．B19．(2018·天津)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则AE →·BE →的最小值为________．20．如图，圆O 为Rt △ABC 的内切圆，已知AC ＝3，BC ＝4，C ＝π2，过圆心O 的直线l 交圆于P ，Q 两点，则BP →·CQ →的取值范围为________．21．在三棱锥S －ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA ＝SB ＝SC ＝2，点M 为三棱锥S －ABC 的外接球面上任意一点，则MA →·MB →的最大值为________．22．如图所示，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为2，MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM →·PN →的取值范围是________．23．已知线段AB 的长为2，动点C 满足CA →·CB →＝λ（λ为常数），且点C 总不在以点B 为圆心，12为半径的圆内，则负数λ的最大值为________．24．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8。

平面向量的基本定理及坐标表示(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(原卷版)

平面向量的基本定理及坐标表示(重点)-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题(原卷版)

考向24 平面向量的基本定理及坐标表示【2022·全国·高考真题（文）】已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【2021·全国·高考真题（理）】已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．1．应用平面向量基本定理的关键点（1）平面向量基本定理中的基底必须是两个不共线的向量．（2）选定基底后，通过向量的加、减、数乘以及向量平行的充要条件，把相关向量用这一组基底表示出来．（3）强调几何性质在向量运算中的作用，用基底表示未知向量，常借助图形的几何性质，如平行、相似等．2．用平面向量基本定理解决问题的一般思路（1）先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成该基底的线性组合，再进行向量的运算．（2）在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，另外，要熟练运用线段中点的向量表达式．3．向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系． 4．两个相等的向量，无论起点在什么位置，它们的坐标都是相同的．向量共线（平行）的坐标表示1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为a λ（λ∈R ），然后结合其他条件列出关于λ的方程，求出λ的值后代入a λ即可得到所求的向量．2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若11(),a x y =，22(),b x y =，则a b ∥的充要条件是1221x y x y =”解题比较方便．3．三点共线问题．A ，B ，C 三点共线等价于AB 与AC 共线．4．利用向量共线的坐标运算求三角函数值：利用向量共线的坐标运算转化为三角方程，再利用三角恒等变换求解．1．平面向量基本定理和性质 （1）共线向量基本定理如果()a b R λλ=∈，则//a b ；反之，如果//a b 且0b ≠，则一定存在唯一的实数λ，使a b λ=．（口诀：数乘即得平行，平行必有数乘）．（2）平面向量基本定理如果1e 和2e 是同一个平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内的任一向量a ，都存在唯一的一对实数12,λλ，使得1122a e e λλ=+，我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为{}12,e e ，1122e e λλ+叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式．注意：由平面向量基本定理可知：只要向量1e 与2e 不共线，平面内的任一向量a 都可以分解成形如1122a e e λλ=+的形式，并且这样的分解是唯一的．1122e e λλ+叫做1e ，2e 的一个线性组合．平面向量基本定理又叫平面向量分解定理，是平面向量正交分解的理论依据，也是向量的坐标表示的基础．推论1：若11223142a e e e e λλλλ=+=+，则1324,λλλλ==． 推论2：若11220a e e λλ=+=，则120λλ==． （3）线段定比分点的向量表达式如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 上的点，且BD DC λ=（1λ≠-），则向量1AB ACAD λλ+=+．在向量线性表示（运算）有关的问题中，若能熟练利用此结论，往往能有“化腐朽为神奇”之功效，建议熟练掌握．（4）三点共线定理平面内三点A ，B ，C 共线的充要条件是：存在实数,λμ，使OC OA OB λμ=+，其中1λμ+=，O 为平面内一点．此定理在向量问题中经常用到，应熟练掌握．A 、B 、C 三点共线⇔存在唯一的实数λ，使得AC AB λ=； ⇔存在唯一的实数λ，使得OC OA AB λ=+； ⇔存在唯一的实数λ，使得(1)OC OA OB λλ=-+； ⇔存在1λμ+=，使得OC OA OB λμ=+．（5）中线向量定理如图所示，在ABC △中，若点D 是边BC 的中点，则中线向量1(2AD AB =+)AC ，反之亦正确．2．平面向量的坐标表示及坐标运算 （1）平面向量的坐标表示．在平面直角坐标中，分别取与x 轴，y 轴正半轴方向相同的两个单位向量,i j 作为基底，那么由平面向量基本定理可知，对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数,x y 使a xi yj =+，我们把有序实数对(,)x y 叫做向量a 的坐标，记作(,)a x y =．（2）向量的坐标表示和以坐标原点为起点的向量是一一对应的，即有 向量(,)x y 一一对应向量OA一一对应点(,)A x y ．（3）设11(,)a x y =，22(,)b x y =，则1212(,)a b x x y y +=++，1212(,)a b x x y y -=--，即两个向量的和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差．若(,)a x y =，λ为实数，则(,)a x y λλλ=，即实数与向量的积的坐标，等于用该实数乘原来向量的相应坐标．（4）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则AB OB OA =-=12(,x x -12)y y -，即一个向量的坐标等于该向量的有向线段的终点的坐标减去始点坐标．DACBDACB3．平面向量的直角坐标运算①已知点11()A x y ，，22()B x y ，，则2121()AB x x y y =--，，222121||()()AB x x y y =-+- ②已知11(,)a x y =，22(,)b x y =，则a b ±1212()x x y y =±±，，11(,)a x y λλλ=， =a b ⋅1212x x y y +，2211||a x y =+．a b ∥⇔12210x y x y -=，a b ⊥⇔12120x x y y +=1．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在ABC 中， 3AD BD =-，CD CE λ=，23AE AB AC μ=+，则μ=（ ） A ．14B ．12C ．34D ．12．（2022·上海静安·二模）设(,)a x y =，(,)b m n =，且a ，b 均为非零向量，则“x ym n=”是“a b ∥”的（ ）条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要3．（2022·上海闵行·二模）已知、、A B C 是平面内不共线的三点，点O 满足20,OA OB OC λλ++=为实常数，现有下述两个命题：（1）当3λ≠-时，满足条件的点O 存在且是唯一的；（2）当3λ=-时，满足条件的点O 不存在．则说法正确的一项是（ ） A ．命题（1）和（2）均为真命题B ．命题（1）为真命题，命题（2）为假命题C ．命题（1）和（2）均为假命题D ．命题（1）为假命题，命题（2）为真命题4．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==，，则CB =（ ） A ．32m n -B ．23m n -+C ．32m n +D ．23m n +5．（2022·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，设CB a =，CD b =，E 为AD 的中点，CE 与BD 交于F ，则AF =（ ）A ．23a b+-B ．23a b+-C ．23a b--D ．23a b--6．（2022·河南·平顶山市第一高级中学模拟预测（文））如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，且2EO AE =，则EB （ ）A ．1566AB AD -B ．1566AB AD +C ．5166AB AD -D ．5166AB AD +1．（2022·云南师大附中模拟预测（理））已知向量()2,2a t =，()2,5b t =---，若向量a 与向量a b +的夹角为钝角，则t 的取值范围为（ ） A ．()3,1- B ．()()3,11,1--- C ．()1,3-D ．111,,322⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2．（2022·江西·上饶市第一中学模拟预测（文））已知向量()1,2a =，(),1=-b m ，若a b ∥，则⋅=a b （ ）A ．32-B ．32C ．52-D ．523．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP xAB y AC =+，则22x y +的最大值为（ ）A ．83B ．2C ．43D ．14．（2022·全国·高三专题练习）△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量()()p a c b q b a c a =+=--，，，，若p q ∥，则角C 的大小为（ ） A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π35．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））已知O 为坐标原点，122PP PP =-，若()11,2P 、()22,1P -，则与OP 共线的单位向量为（ ）A ．()3,4-B ．()3,4-或()3,4-C ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭或34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭6．（2022·浙江省江山中学模拟预测）在ABC 中，E ，F 分别为,AC BC 的中点，点D 是线段AF （不含端点）内的任意一点，AD mAB nAE =+，则（ ） A ．(0,1)m ∈B ．(0,2)n ∈C ．2n m =D ．1m n +=7．（2022·吉林长春·模拟预测（理））互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”．如图，在斜坐标系中，过点P 作两坐标轴的平行线，其在x 轴和y 轴上的截距a ，b 分别作为点P 的x 坐标和y 坐标，记(),P a b ，则在x 轴正方向和y 轴正方向的夹角为θ的斜坐标系中，下列选项错误的是（ ）A ．当60θ=︒时()1,2A 与()3,4B 距离为23B ．点()1,2A 关于原点的对称点为()1,2A '--C ．向量11,ax y 与22,bx y 平行的充要条件是1221y x y x =D ．点()1,2A 到直线10x y +-=28．（2022·河南郑州·三模（理））在ABC 中，D 是BC 上一点，2BD DC =，M 是线段AD上一点，14BM tBA BC =+，则t =（ ）A ．12B ．23C ．34D ．589．（多选题）（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）在ABC 中，D 为BC 中点，且2AE ED =，则（ ）A ．2136CE CA CB =+B ．1133CE CA CB =+C ．CE ∥()CA CB +D ．CE ⊥()CA CB -10．（多选题）（2022·湖南·长沙一中模拟预测）已知(cos ,sin )a αα=,(cos ,sin )b ββ=,其中,[0,2π)αβ∈，则以下结论正确的是（ ）A ．若//a b ，则αβ=B ．若a b ⊥，则π||2αβ-=或3π2 C ．若12a b ⋅=-，则||1a b +=D ．若a b a -=，则3()2a ab ⋅+=11．（多选题）（2022·江苏·模拟预测）已知向量(3,2)a =-，(2,1)b =，(,1)c λ=-，R λ∈，则（ ）A ．若(2)a b c +⊥，则4λ=B ．若a tb c =+，则6t λ+=-C ．a b μ+的最小值为75D ．若向量a b +与向量2b c +的夹角为锐角，则λ的取值范围是(,1)-∞-12．（多选题）（2022·全国·模拟预测）已知向量()2,3a m →=-，(),1b m →=，则下列说法正确的是（ ） A ．若a b →→∥，则12m =B ．若a b →→⊥，则3m =C ．2a b →→+的最小值为7D ．若13m -<<，则a →与b →的夹角为钝角13．（多选题）（2022·全国·模拟预测）在边长为2正六边形ABCDEF 中，G 是线段AB 上一点，AG AB λ=，则下列说法正确的有（ ）A ．若12λ=，则122EG AB AF =--B ．若向量CD 在向量AB 上的投影向量是AB μ，则12μ=C ．若P 为正六边形ABCDEF 内一点（包含端点），则AP AB ⋅的取值范围是[]2,6-D ．若1CG CE ⋅=，则λ的值为2314．（2022·全国·模拟预测（文））在ABC 中，M 为AB 的中点，N 为线段CM 上一点（异于端点），AN xAB yAC =+，则11x y+的最小值为______．15．（2022·湖南·模拟预测）在三角形ABC 中，点D 在边BC 上，若2BD DC =，AD AB AC λμ=+(),λμ∈R ，则λμ-=______．16．（2022·浙江·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，12,cos 2AB BAD =∠=，E 、F 是边BC ，CD 上的点，12BE BC =，23CF CD =，若8AE BF ⋅=，则平行四边形的面积为_________．17．（2022·江西·模拟预测（理））在ABC 中，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，P 是ABC 的外接圆上的一点，若AP mAB =+nAC ，则m n +的最小值是________18．（2022·湖南岳阳·三模）设点P 在以A 为圆心，半径为1的圆弧BC 上运动(包含B ，C 两个端点)，∠BAC ＝23π，且AP xAB y AC =+，x ＋y 的取值范围为________．19．（2022·上海徐汇·二模）在ABC 中，已知1AB =，2AC =，120A ∠=︒，若点P 是ABC 所在平面上一点，且满足AP AB AC λ=+，1BP CP ⋅=-，则实数λ的值为______________．20．（2022·江苏·阜宁县东沟中学模拟预测）已知0θπ<<，向量2sin ,2cos 2a θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1,sin θ=b ，且a b ∥，则θ＝______________．1．（2022·全国·高考真题（文））已知向量(2,1)(2,4)a b ==-，，则a b -（ ）A ．2B ．3C ．4D ．52．（2020·全国·高考真题（文））已知单位向量a ，b 的夹角为60°，则在下列向量中，与b 垂直的是（ ） A ．2a b +B ．2a b +C ．2a b -D ．2a b -3．（2019·全国·高考真题（文））已知向量()()2332a b ==，，，，则|–|a b = A ．2 B ．2 C ．52D ．504．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()3,1,1,0,a b c a kb ===+．若a c ⊥，则k =________．5．（2021·全国·高考真题（文））已知向量()()2,5,,4a b λ==，若//a b ，则λ=_________． 6．（2021·全国·高考真题（文））若向量,a b 满足3,5,1a a b a b =-=⋅=，则b =_________. 7．（2021·全国·高考真题（理））已知向量()()1,3,3,4a b ==，若()a b b λ-⊥，则λ=__________．8．（2020·江苏·高考真题）在△ABC 中，43=90AB AC BAC ==︒，，∠，D 在边BC 上，延长AD 到P ，使得AP =9，若3()2PA mPB m PC =+-（m 为常数），则CD 的长度是________．9．（2020·全国·高考真题（理））设,a b 为单位向量，且||1a b +=，则||a b -=______________. 10．（2020·全国·高考真题（文））设向量(1,1),(1,24)a b m m =-=+-，若a b ⊥，则m =______________.11．（2020·全国·高考真题（理））已知单位向量a →,b →的夹角为45°，k a b →→-与a →垂直，则k =__________.12．（2019·北京·高考真题（文））已知向量a =（－4，3），b =（6，m ），且a b ⊥，则m =__________.。

三年高考(2019-2021)数学(文)真题分类汇编——平面向量(原卷版)

三年高考(2019-2021)数学(文)真题分类汇编——平面向量(原卷版)

!!!" AC
×
!B!C!"=1，则
点 C 的轨迹为
A．圆
B．椭圆
C．抛物线
D．直线
!!!" !!!" 6．【2020 年新高考全国Ⅰ卷】已知 P 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点，则 AP × AB
的取值范围是
A． (-2, 6)
B． (-6, 2)
C． (-2, 4)
D． (-4, 6)
AE
=
BE
，则
!!!" BD
×
!!!" AE
= _____________．
23．【2019 年高考江苏卷】如图，在 △ABC 中，D 是 BC 的中点，E 在边 AB 上，BE=2EA，
21．【2019 年高考全国 III 卷文数】已知向量 a = (2, 2), b = (-8, 6)，则
cos a, b =___________.
22．【2019 年高考天津卷文数】在四边形 ABCD中，
AD ∥ BC, AB = 2 3, AD = 5, ÐA = 30° ，点 E 在线段 CB的延长线上，且
P2 (cos b , - sin b )， P3 (cos (a + b ),sin (a + b ))， A(1, 0)，则（ ）
!!!" !!!" A． OP1 = OP2
!!!" !!!" B． AP1 = AP2
!!!" !!!" !!!" !!!" C． OA × OP3 = OP1 × OP2
2
|
!!!" PD
|=
_________；

平面向量的模(原卷版)

平面向量的模(原卷版)

专题五 平面向量的模平面向量的模长公式(1)平面向量模长公式的非坐标形式：|a |＝a 2．(2)平面向量模长公式的坐标形式：若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2．考点一 平面向量模的定值问题【方法总结】求向量模的常用方法(1)若向量a ，b 是以非坐标形式出现的，求向量a 的模可应用公式|a |＝a 2．将模长问题转化为数量积问题，通过(a ±b )2＝a 2±2a ·b ＋b 2从而能够与条件中的已知向量(已知模长，夹角的基向量)找到联系．(2)若向量a 是以坐标形式出现的，求向量a 的模可直接利用公式|a |＝x 2＋y 2．某些题目如果能把几何图形放入坐标系中，则只要确定所求向量的坐标，即可求出(或表示)出模长．(3)数形结合法，利用模的几何意义．【例题选讲】[例1] (1)(2017·全国Ⅰ)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________．答案 23 解析 解法1 |a ＋2b |＝(a ＋2b )2＝a 2＋4a·b ＋4b 2＝22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝23．解法2 (数形结合法)由|a |＝|2b |＝2，知以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|．又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝23．(2) (2012·全国)已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________．答案 32 解析 依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)． (3)若向量a ，b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( )A ．2B ．2C ．1D ．22答案 B 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ (a ＋b )·a ＝0，(2a ＋b )·b ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b ·a ＝0， ①2a ·b ＋b 2＝0，②将①×2－②得，2a 2－b 2＝0，∴b 2＝|b |2＝2a 2＝2|a |2＝2，故|b |＝2．(4)已知向量a ＝(x ，3)，b ＝(x ，－3)，若(2a ＋b )⊥b ，则|a |＝( )A ．1B ．2C ．3D ．2答案 D 解析 因为(2a ＋b )⊥b ，所以(2a ＋b )·b ＝0，即(3x ，3)·(x ，－3)＝3x 2－3＝0，解得x ＝±1，所以a ＝(±1，3)，|a |＝(±1)2＋(3)2＝2．(5)若|AB |＝|AC |＝|AB －AC |＝2，则|AB ＋AC |＝________．答案 23 解析 ∵|AB |＝|AC |＝|AB －AC |＝2，∴△ABC 是边长为2的正三角形，∴|AB ＋AC|为△ABC 的边BC 上的高的2倍，∴|AB ＋AC |＝2×2sin π3＝23． (6) (2013·天津)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC ·BE ＝1，则AB 的长为________．答案 12 解析 在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1．∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12． 【对点训练】1．已知向量a ，b 均为单位向量，若它们的夹角为60˚，则|a ＋3b |等于( )A ．7B ．10C ．13D ．42．(2012·全国)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A ．13＋62 B ．25 C ．30 D ．343．已知|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3，那么|4a －b |＝( ) A ．2 B ．6 C ．23 D ．124．已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( )A ．12B ．1C ．2D ．2 5．已知e 1，e 2是平面单位向量，且e 1·e 2＝12．若平面向量b 满足b ·e 1＝b ·e 2＝1，则|b |＝________． 6．已知a ，b 为单位向量，且a ⊥(a ＋2b )，则|a －2b |＝________．7．设向量a ，b 满足|a |＝1，|a －b |＝3，a ·(a －b )＝0，则|2a ＋b |＝( )A ．2B ．23C ．4D ．438．已知平面向量a ，b ，满足a ＝(1，3)，|b |＝3，a ⊥(a －2b )，则|a －b |＝( )A ．2B ．3C ．4D ．69．设x ∈R ，向量a ＝(x ，1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( )A ．5B ．10C ．25D ．1010．已知A (1，0)，B (4，0)，C (3，4)，O 为坐标原点，且OD →＝12(OA →＋OB →－CB →)，则|BD →|＝________． 11．已知平面向量a ＝(2，4)，b ＝(1，－2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，则|c |＝________．12．在△ABC 中，O 为BC 的中点，若AB ＝1，AC ＝4，<AB →，AC →>＝60°，则|OA →|＝________．13．在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AB ＝5，AC ＝6，D 是AB 上一点，且AB →·CD →＝－5，则|BD →|等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4考点二 平面向量模的最值(范围)问题【方法总结】求向量模的最值(范围)的2种方法(1)代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．(2)几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．【例题选讲】[例1] (1)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(0，t 2＋1)，则当t ∈[－3，2]时，⎪⎪⎪⎪a －t b |b |的取值范围是____． 答案 [1，13] 解析 由题意可得b |b |＝(0，1)，∴⎪⎪⎪⎪a －t b |b |＝|(1，3)－t (0，1)|＝(t －3)2＋1，∵t ∈[－3，2]，∴当t ＝3时，⎪⎪⎪⎪a －t b |b |取得最小值1，当t ＝－3时，⎪⎪⎪⎪a －t b |b |取得最大值13，即⎪⎪⎪⎪a －t b |b |的取值范围是[1，13]．(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA ＋3PB |的最小值为________．答案 5 解析 方法一 以D 为原点，分别以DA 、DC 所在直线为x 、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝x ．∴D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，x )，P A →＝(2，－x )，PB →＝(1，a －x )，∴P A →＋3PB →＝(5,3a －4x )，|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4x )2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5．方法二 设DP →＝xDC →(0<x <1)．∴PC →＝(1－x )DC →，P A →＝DA →－DP →＝DA →－xDC →，PB →＝PC →＋CB →＝(1－x )DC→＋12DA →．∴P A →＋3PB →＝52DA →＋(3－4x )DC →，|P A →＋3PB →|2＝254DA →2＋2×52×(3－4x )DA →·DC →＋(3－4x )2·DC →2＝25＋(3－4x )2DC →2≥25，∴|P A →＋3PB →|的最小值为5．(3)已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且c·a ＝1，c·b ＝1，|c|＝2，则对任意的正实数t ，⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 的最小值是( )A ．2B ．22C ．4D ．42答案 B 解析 ⎪⎪⎪⎪c ＋t a ＋1t b 2＝c 2＋t 2a 2＋1t 2b 2＋2t a ·c ＋2t c·b ＋2a·b ＝2＋t 2＋1t 2＋2t ＋2t≥2＋2t 2·1t 2＋22t ·2t ＝8(t ＞0)，当且仅当t 2＝1t 2，2t ＝2t ，即t ＝1时等号成立，∴|c ＋t a ＋1t b |的最小值为22．(4)已知P 是边长为3的等边三角形ABC 外接圆上的动点，则||P A →＋PB →＋2PC →的最大值为( )A ．23B ．33C ．43D ．53答案 D 解析 设△ABC 的外接圆的圆心为O ，则圆的半径为332×12＝3， OA →＋OB →＋OC →＝0，故P A →＋PB →＋2PC →＝4PO →＋OC →．又||4PO →＋OC →2＝51＋8PO →·OC →≤51＋24＝75，故||P A →＋PB →＋2PC →≤53，当PO →，OC →同向共线时取最大值．(5)已知平面向量a ，b 满足|b |＝1，且a 与b －a 的夹角为120°，则|a |的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎦⎤0，233 解析 在△ABC 中，设AB →＝a ，AC →＝b ，则b －a ＝AC →－AB →＝BC →，∵a 与b －a 的夹角为120°，∴∠B ＝60°，由正弦定理得1sin 60°＝|a |sin C ，∴|a |＝sin C sin 60°＝233sin C ，∵0°＜C ＜120°，∴sin C ∈(0，1]，∴|a |∈⎝⎛⎦⎤0，233． (6)已知|AB →|＝1，|BC →|＝2，若AB →·BC →＝0，AD →·DC →＝0，则|BD →|的最大值为( )A ．255B ．2C ．5D ．25 答案 233 解析 C 由题意可知，AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，故四边形ABCD 为圆内接四边形，且圆的直径为AC ，由勾股定理可得AC ＝AB 2＋BC 2＝5，因为BD 为上述圆的弦，而圆的最长的弦为其直径，故|BD →|的最大值为5．故选C ．【对点训练】1．已知向量OA →＝(3，1)，OB →＝(－1，3)，OC →＝mOA →－nOB →(m ＞0，n ＞0)，若m ＋n ＝1，则|OC →|的最小值为( )A ．52B ．102C ．5D ．10 2．已知在直角梯形ABCD 中，AB ＝AD ＝2CD ＝2，∠ADC ＝90°，若点M 在线段AC 上，则|MB →＋MD →|的取值范围为________________．3．已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，∠ADC ＝45°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰CD 上的动点，则|3P A →＋BP →|的最小值为________．4．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足(a －c )·(b －c )＝0，则|c |的最大值是( )A ．1B ．2C ．2D ．225．在△ABC 中，若A ＝120°，AB ·AC ＝－1，则|BC |的最小值是( )A ．2B ．2C ．6D ．66．已知非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|a －b|，<c －a ，c －b >＝2π3，则|c||a|的最大值为________． 7．已知向量a ，b 的夹角为π3，|b |＝2，对任意x ∈R ，有|b ＋x a |≥|a －b |，则|t b －a |＋⎪⎪⎪⎪t b －a 2(t ∈R )的最小值 为________．8．已知单位向量e 1，e 2，且e 1·e 2＝－12，若向量a 满足(a －e 1)·(a －e 2)＝54，则|a |的取值范围为( ) A ．⎣⎡⎦⎤2－32，2＋32 B ．⎣⎡⎦⎤2－12，2＋12 C ．⎝⎛⎦⎤0，2＋12D ．⎝⎛⎦⎤0，2＋32。

第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）（原卷版）

第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）（原卷版）

第二章平面向量及其应用（讲义+典型例题）一．平面向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±a|a|平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为0例1：（1）．如图，在矩形ABCD中，可以用同一条有向线段表示的向量是（）A．DA和BC B．DC和ABC．DC和BC D．DC和DA（2）．如图，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA a=，OB b=，OC c=．在以A，B，C，D，E，F，O这七个点中任意两点为起点和终点的向量中，问：（1）与a相等的向量有哪些？（2）b的相反向量有哪些？（3）与c共线的向量有哪些？.举一反三1．下列说法正确的是（）A ．若a b =，则a b =±B ．零向量的长度是0C ．长度相等的向量叫相等向量D ．共线向量是在同一条直线上的向量2．（多选）如图，在四边形ABCD 中，若AB DC =，则图中相等的向量是（ ）A ．AD 与BCB ．OB 与ODC ．AC 与BDD ．AO 与OC3．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝2AB ＝2，M ，N 分别为AD 和BC 的中点，以A ，B ，C ，D ，M ，N 为起点和终点作向量，回答下列问题：(1)在模为1的向量中，相等的向量有多少对？ (2)2二.平面向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：a ＋b ＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ).减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa )＝(λμ)a ； (λ＋μ)a ＝λa ＋μa ； λ(a ＋b )＝λa ＋λb例2：①．如图，已知平行四边形ABCD 的对角线AC 和BD 相交于O ，且OA a = ，OB b = ，则BC 可以表示为（ ）A ．a b +B ．a b -C ．b a -D ．a b --②．如图，已知下列各组向量a ，b ，求作a b +．③．在ABC 中，已知AB b =，AC c =，求作： (1)2b ； (2)()2b c -；(3)32b c -．④．化简： (1)AB BC DC +-；(2)AB BC DC DE EA +-++； (3)()OA O BC B --． 举一反三1．5()3(2)a b a b ---= ___________.2．如图，已知M ，N 分别是四边形ABCD 的边AB ，CD 的中点，求证：()12MN AD BC =+．3．如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB ＝a ，DA ＝b ，OC ＝c ．证明：b c a +-＝OA ．4．（1）设O 是正五边形ABCDE 的中心，求OA OB OC OD OE ++++； （2）设O 是正n 边形12n A A A 的中心，求12n OA OA OA +++．5．如图，已知a ，b 为两个非零向量．(1)求作向量a b +及a b -；(2)向量a ，b 成什么位置关系时，a b a b +=-？（不要求证明）三.共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b ＝λa .例3（1）如图，OA ，OB 不共线，且()AP t AB t =∈R ，用OA ，OB 表示OP ．(2)已知任意两个非零向量a ，b ，若23OA a b =+，22OB a b =+，25OC a b =+，你能判断A ，B ，C 三点之间的位置关系吗？为什么？ 举一反三1．在ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若13CD CA CB λ=+，则λ等于（ ）A ．13B ．23C ．12D ．342．设1e 与2e 是不共线的非零向量，若12ke e +与12e ke +共线且方向相反，则k 的值是（ ） A ．1- B ．1C ．±1D ．任意不为零的实数3．已知1e 与2e 不共线，12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-．求证：A ，B ，D 三点共线．四．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．例4（1）．等腰直角三角形ABC 中，90A ︒=，,AB AC D =是斜边BC 上一点，且3BD DC =，则AD =（ ）A ．3544AC AB +B ．3144AC AB +C ．5144AC AB +D ．3144AC AB -（2）（多选）．在ABC 中，边BC 上的中线与边AC 上的中线的交点为E ，若CE AB AC λμ=+，则2λμ+=______．举一反三1．在平面四边形ABCD 中，已知ABC 的面积是ACD △的面积的2倍.若存在正实数,x y 使得1141AC AB AD x y ⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭成立，则2x y +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．（多选）如图，在等腰梯形ABCD 中，222AB AD CD BC ===，E 是BC 的中点，连接AE ，BD 相交于点F ，连接CF ，则下列说法正确的是（ ）A ．3142AE AB AD →→→=+ B ．3255AF AB AD →→→=+ C ．1255BF AB AD →→→=-+D ．13105CF AB AD →→→=-五．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 6．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.例5（1）已知向量(1,4)a =-，(2,3)b =，则2a b -的坐标为（ ） A ．(－3，－10) B ．(－3，－2) C ．(－3，2)D ．(3，－10)（2）．已知向量1(1,)2a =-，(2,)b m =-，若a 与b 共线，则||b =（ ）A ．3B ．5C ．6D ．22（3）．已知向量a ，b 满足()1,2a λ=+，()1,b λ=，//a b ，则实数λ的值为______． 举一反三1．已知向量()3,4a =-，2AB a =，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为______． 2．若(1,1),(1,2)a b ==-，则与a b +同方向的单位向量是_______. 3．已知点A （1，2），B （4，5），O （0，0）及OP mOA AB =+． (1)当m 为何值时，P 在x 轴上？P 在y 轴上？P 在第四象限？(2)四边形OABP 能否成为平行四边形？若能，求出相应的m 的值；若不能，说明为什么．六．平面向量的数量积1，概念：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是 a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是 a·b ＝±|a||b|.2．平面向量数量积的几何意义数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质(1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ； (2)非零向量a ，b ，a ⊥b ⇔a·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝|a |2，|a |＝a·a ； (4)cos θ＝a·b |a||b|； (5)|a·b |__≤__|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b ＝b·a (交换律)； (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c . 5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.例6：（1）．如图，在平行四边形ABCD 中，已知8AB =，5AD =，3CP PD =，2AP BP ⋅=，则AB AD ⋅的值是（ ）A ．18B ．22C ．18-D ．22-（2）．已知,a b 是非零向量，且,a b 不共线，3,4a b ==，若向量a kb +与a kb -互相垂直，则实数k 的值为（ ） A ．2± B ．12±C ．43±D ．34±3．已知平面向量a ，b 满足()1,2a =，10b =，522a b ⋅=，则cos a b ⋅=______.举一反三1．设两向量12,e e 满足12122,1,,e e e e ==的夹角为60︒，12122,2=+=+a e e b e e ，则a 在b 上的投影为（ ） A 53B 521C 57D 522．（多选）已知在△ABC 中，2AB =，2AB AM =，2CM CN =，若0AN BC ⋅=，则（ ）A ．23AB AC AN += B ．()2AB ACCM -C ．AB AC ⊥D ．45ACM ∠=︒3．已知向量()3,2a =-，()1,0b =，向量()()2a b a b λ+⊥-，则向量()()a b a kb λ-+时实数k的值为______.4．已知向量()2,3a =，()3,1b =，若()a ab λ⊥+，则λ的值为___________.七．向量在平面几何中的应用 用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) 垂直问题 数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中a ，b 为非零向量夹角问题 数量积的定义 cos θ＝a ·b|a |·|b |(θ为向量a ，b 的夹角)长度问题 数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )例7：①．已知2a =，4b =，a 与b 的夹角为60︒.（1）计算()a ab ⋅+的值；（2）若()0a a kb ⋅-=，求实数k 的值.②．已知非零向量a ，b 满足2a b =，且()a b b -⊥. （1）求a 与b 的夹角；（2）若14a b +=，求b .③．已知2a =，3b =，在下列情况下，求()2()a b a b +-的值： （1）//a b ；（2）a b ⊥；（3）a 与b 的夹角为120°.举一反三1．已知向量(5,12)a =-，(3,4)b =-.（1）求a 与b 夹角θ的余弦值；（2）若向量a tb +与a b -垂直，求实数t 的值. 2．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线．若()2,4AB =，()1,3AC =.（1）求cos DAB ∠的值；（2）求BD AD ⋅的值．3．已知向量2,1(),1,),3,1(b m a b n b a a k -==+=-=-. (1)若mn ，求k 的值；(2)当=2k 时，求m 与n 夹角的余弦值．八、正弦定理和余弦定理解三角形正弦定理： 1.正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，并且都等于外接圆的直径，即 R C cB b A a 2sin sin sin ===（其中R 是三角形外接圆的半径） 2.变形：1）sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C ++===A +B +A B ．2）化边为角：C B A c b a sin :sin :sin ::=；;sin sin B A b a = ;sin sin C B c b = ;sin sin C A c a =3）化边为角：C R c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2=== 4）化角为边： ;sin sin b a B A =;sin sin c b C B =;sin sin c aC A = 5）化角为边： RcC R b B R a A 2sin ,2sin ,2sin ===二.三角形面积1.B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆三.余弦定理1.余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的2倍，即A bc c b a cos 2222-+= B ac c a b cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2.变形：bc a c b A 2cos 222-+=ac b c a B 2cos 222-+=ab c b a C 2cos 222-+= 注意整体代入，如：21cos 222=⇒=-+B ac b c a利用余弦定理判断三角形形状：设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若，，所以为锐角②若为直角A a b c ⇔=+222 ③若， 所以为钝角，则是钝角三角形三角形中常见的结论三角形三角关系：A+B+C=180°；C=180°—(A+B)；三角形三边关系：两边之和大于第三边：，，； 两边之差小于第三边：，，； 在同一个三角形中大边对大角：B A b a B A sin sin >⇔>⇔>4) 三角形内的诱导公式：sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-)2sin()2cos()22cos()22sin()22tan(2tan C C C C C B A =--=-=+πππ7) 三角形的五心：垂心——三角形的三边上的高相交于一点重心——三角形三条中线的相交于一点外心——三角形三边垂直平分线相交于一点内心——三角形三内角的平分线相交于一点旁心——三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点例9：1．在ABC 中，角,,A B C 分别对应边,,a b c ，已知2a =，3b =．角60B =，求角C ．2．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，2AB AD ==，60A ∠=︒，5BC =，求CD 的长3．△ABC 中，a ＝7，c ＝3，且sin sin C B ＝35． （1）求b ；（2）求∠A ．4．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.5．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.举一反三1．若ABC 的面积为22,1,6b c ==，且A ∠为锐角. (1) 求cos A 的值；(2) 求sin 2sin A C的值. 2．在ABC ∆中，32b =，6cos 3A =，2B A π=+． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）求cos 2C 的值．3．在ABC 中，a 、b 、c 分别是角A．B．C 的对边，且()2cos cos a c B b C -=. （1）求角B 的大小；（2）若7b =，8a c +=，求ABC 的面积.4．在ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且22(2)(2)a b c b c b c =-+-． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2cos b c A =，试判断ABC 的形状5．在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足1cos 2a b c B +=⋅. （1）求角C ;（2）若2,3a b ==，求ABC 外接圆的半径.6．在ABC中，已知12 tan5A .（1）若ABC外接圆的直径长为132，求BC的值；（2）若ABC为锐角三角形，其面积为6，求BC的取值范围．。

6.3.1 平面向量基本定理(精练)(原卷版)

6.3.1 平面向量基本定理(精练)(原卷版)

统考一模）如图，在ABC 中，4BD DC =，则AD =（1455AB AC +B ．4155AB AC +1566AB AC +5166AB AC +．（2022秋·上海普陀高一曹杨二中校考期末）在四边形ABCD 中，(,AC AB AD λμλμ=+∈||||CD AB =（ ） A ．13C ．123．（2022春·福建福州·高二福建省福州高级中学校考阶段练习）如图，在ABCD 中，为BC 的中点，AC mAM nBD =+，则m ＝（ ）B ．45江苏盐城·高一江苏省响水中学校考阶段练习）在中，2BD DC =，E上一点．若12λ=+CE CA CB ，则λB ．12安徽·高三校联考阶段练习）如图，为直径的半圆圆周上的两个三等分点，E 为线段CD 的中点，F 为线段设AB a =，AC b =，则AF =（5182a b +5142a b +131164a b + 13184a b + 6．（2022春·广东·高三校联考阶段练习）在平行四边形ABCD 中，设AC a =，BD b =，12AP AD =，23AQ AB =，则PQ ＝（ A ．711212a b - B ．171212a b - C 71212a b + D ．711212a b -+ 7．（2022春·福建泉州·高三泉州五中校考期中）已知在△ABC 中，3AB =，4AC =，BAC ∠2AD DB =，P 在CD 上，12AP AC AD λ=+，则AP BC ⋅的值为（ A ．116-72C ．4 8．（2022·全国·高三专题练习）已知点A ，B ，C ，P 在同一平面内，13PQ PA =，13QR QB =，13RP RC =，则:ABCPBCSS等于（ ）A ．14∶3B ．19∶4C ．24∶5D ．29∶6高二校联考阶段练习）已知菱形OACB 上运动（包含端点），其中OP xOA yOB =+，,x y C ．2高一江苏省天一中学校考期中）对于给定的ABC ，其外心为，则下列结论正确的是（ ）于E ､F ，若AE AB λ=，AF AC μ=，则11λμ+=．AH 与||cos ||cos AB ACAB B AC C+共线．OA OB OA OC OB OC ⋅=⋅=⋅ ．OH OA OB OC =++ 三、填空题．（2022春·安徽合肥·高二校考学业考试）在ABC 中，且2BD DC =，若AD AC AB λμ=+，则λμ=12．（2022春·广东肇庆·高三统考阶段练习）在ABC 中，点足2DC BD =，2EC AE =，点F 且满足2AF FD =.若B ∠BC y =，则3x y +的最大值为四、解答题．（2022·高一课时练习）如图所示，ABC 的一条中线，点满足2AO OD =，过O 的直线分别与射线AB ，射线N 两点.(1)若AO AB AC λμ=+，求λμ，的值；设AM mAB =，AN nAC =，m >14．（2022秋·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）在AOB 中，21,52OC OA OD OB ==，AD ，,OA a OB b ==．(1)试用a b 、表示向量OM ；在线段AC 上取一点E ，在线段设,OE OA OF OB λμ==，3μ的值．．设,AB a A b D →==．{}→→，表示,AE EF ； 内部一点，且3243AG a b →=+．求证：在ABC 中，上，且2OC OB =.过点O 的直线分别交射线于不同的两点M AB mAM =，AC nAN =.(1)求2m n +的值:若向量(2cos23a =，(cos68b =︒)a b ⋅恒成立，求的最小整数值图象上的一点，M ，N 是函数，使得PT PM PN =+，且四边形的解析式;π2，π(0,)2A ∈，求A ；已知13PH PT =，过点H 的直线交，PQ PM λ=，PK PN μ=，1μ是否是定值？若是，求出定值，若不是，说明理由高一上海市建平中学校考阶段练习）设ABC 是边长为(1)求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值； 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+，求实数在边BC 的何处时，PA PC ⋅取得最小值，并求出此最小值。

2023年数学高考复习真题演练(全国卷)18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题(含详解)

2023年数学高考复习真题演练(全国卷)18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题(含详解)

专题18 最全归纳平面向量中的范围与最值问题【考点预测】一．平面向量范围与最值问题常用方法： （1）定义法第一步:利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系 第二步：运用基木不等式求其最值问题 第三步:得出结论 （2）坐标法第一步 : 根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标 第二步: 将平面向量的运算坐标化第三步:运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解 （3）基底法第一步：利用其底转化向量 第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论 （4）几何意义法第一步: 先确定向量所表达的点的轨迹 第二步: 根据直线与曲线位置关系列式 第三步：解得结果 二．极化恒等式（1）平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：2222||||2(||||)a b a b a b ++-=+证明：不妨设,AB a AD b == ，则C A a b =+，DB a b =-()22222C 2AC A a b a a b b ==+=+⋅+ ① ()222222DB DB a ba ab b ==-=-⋅+ ②①②两式相加得： ()()22222222AC DB a bAB AD+=+=+（2）极化恒等式：上面两式相减，得：()()2214a b a b ⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦————极化恒等式①平行四边形模式：2214a b AC DB ⎡⎤⋅=-⎣⎦几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14. ②三角形模式：2214a b AM DB ⋅=-（M 为BD 的中点） 三.矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：2222OA OC OB OD +=+。

【证明】（坐标法）设,AB a AD b ==，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ， 则(,0),(0,),(,)B a D b C a b ，设(,)O x y ，则222222()[()()]OA OC x y x a y b +=++-+-222222[()][()]OB OD x a y x y b +=-+++-2222OA OC OB OD ∴+=+四.等和线（1）平面向量共线定理已知OA OB OC λμ=+，若1λμ+=，则,,A B C 三点共线；反之亦然。

十年高考真题(2013-2022)专题09平面向量(原卷版)

十年高考真题(2013-2022)专题09平面向量(原卷版)

大数据之十年高考真题（2013-2022）与优质模拟题（新高考卷与新课标理科卷）专题09平面向量1．【2022年全国乙卷理科03】已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|a ⃑|=1,|b ⃑⃑|=√3,|a ⃑−2b ⃑⃑|=3，则a ⃑⋅b⃑⃑=（ ） A ．−2B ．−1C ．1D ．22．【2022年新高考1卷03】在△ABC 中，点D 在边AB 上，BD =2DA ．记CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=m ⃑⃑ ，CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=n ⃑ ，则CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ） A ．3m ⃑⃑ −2n ⃑B ．−2m ⃑⃑ +3n ⃑C ．3m ⃑⃑ +2n ⃑D ．2m ⃑⃑ +3n ⃑3．【2022年新高考2卷04】已知向量a ⃑=(3,4),b ⃑⃑=(1,0),c ⃑=a ⃑+tb ⃑⃑，若<a ⃑,c ⃑>=<b ⃑⃑,c ⃑>，则t =（ ） A ．−6B ．−5C ．5D ．64．【2020年全国3卷理科06】已知向量a ，b 满足|a|=5，|b|=6，a ⋅b =−6，则cos ⟨a,a +b ⟩=（ ） A ．−3135 B ．−1935 C ．1735D ．19355．【2020年山东卷07】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范用是（ ） A ．(−2,6) B ．(−6,2) C ．(−2,4)D ．(−4,6)6．【2020年海南卷07】已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 的取值范用是（ ） A ．(−2,6) B ．(−6,2) C ．(−2,4)D ．(−4,6)7．【2019年全国新课标2理科03】已知AB →=（2，3），AC →=（3，t ），|BC →|＝1，则AB →•BC →=（ ） A ．﹣3 B ．﹣2 C ．2D ．38．【2019年新课标1理科07】已知非零向量a →，b →满足|a →|＝2|b →|，且（a →−b →）⊥b →，则a →与b →的夹角为（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π69．【2018年新课标1理科06】在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB →=（ ）真题汇总A ．34AB →−14AC →B ．14AB →−34AC →C ．34AB →+14AC →D ．14AB →+34AC →10．【2018年新课标2理科04】已知向量a →，b →满足|a →|＝1，a →⋅b →=−1，则a →•（2a →−b →）＝（ ） A ．4B ．3C ．2D ．011．【2017年新课标2理科12】已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则PA →•（PB →+PC →）的最小值是（ ） A ．﹣2 B ．−32 C ．−43D ．﹣112．【2017年新课标3理科12】在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP →=λAB →+μAD →，则λ+μ的最大值为（ ） A ．3B ．2√2C ．√5D ．213．【2016年新课标2理科03】已知向量a →=（1，m ），b →=（3，﹣2），且（a →+b →）⊥b →，则m ＝（ ）A ．﹣8B ．﹣6C ．6D ．814．【2016年新课标3理科03】已知向量BA →=（12，√32），BC →=（√32，12），则∠ABC ＝（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°15．【2015年新课标1理科07】设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →=3CD →，则（ ）A ．AD →=−13AB →+43AC →B ．AD →=13AB →−43AC →C ．AD →=43AB →+13AC →D ．AD →=43AB →−13AC →16．【2014年新课标2理科03】设向量a →，b →满足|a →+b →|=√10，|a →−b →|=√6，则a →•b →=（ ） A ．1B ．2C ．3D ．517．【2021年新高考1卷10】已知O 为坐标原点，点P 1(cosα,sinα)，P 2(cosβ,−sinβ)，P 3(cos(α+β),sin(α+β))，A(1,0)，则（ ） A ．|OP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|OP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ | B ．|AP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ |=|AP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ | C ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP ⃑⃑⃑⃑⃑ 3=OP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑D ．OA ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =OP 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅OP 3⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑18．【2022年全国甲卷理科13】设向量a ⃑，b ⃑⃑的夹角的余弦值为13，且|a ⃑|=1，|b ⃑⃑|=3，则(2a ⃑+b ⃑⃑)⋅b ⃑⃑=_________．19．【2021年全国甲卷理科14】已知向量a =(3,1),b ⃑ =(1,0),c =a +kb ⃑ ．若a ⊥c ，则k =________． 20．【2021年全国乙卷理科14】已知向量a =(1,3),b ⃑ =(3,4)，若(a −λb ⃑ )⊥b ⃑ ，则λ=__________． 21．【2021年新高考2卷15】已知向量a +b ⃑ +c =0⃑ ，|a |=1，|b ⃑ |=|c |=2，a ⋅b ⃑ +b ⃑ ⋅c +c ⋅a =_______．22．【2020年全国1卷理科14】设a,b 为单位向量，且|a +b|=1，则|a −b|=______________. 23．【2020年全国2卷理科13】已知单位向量a ，b 的夹角为45°，ka –b 与a 垂直，则k =__________. 24．【2019年新课标3理科13】已知a →，b →为单位向量，且a →•b →=0，若c →=2a →−√5b →，则cos ＜a →，c →＞= ．25．【2018年新课标3理科13】已知向量a →=（1，2），b →=（2，﹣2），c →=（1，λ）．若c →∥（2a →+b →），则λ＝ ．26．【2017年新课标1理科13】已知向量a →，b →的夹角为60°，|a →|＝2，|b →|＝1，则|a →+2b →|＝ ． 27．【2016年新课标1理科13】设向量a →=（m ，1），b →=（1，2），且|a →+b →|2＝|a →|2+|b →|2，则m ＝ ﹣2 ． 28．【2015年新课标2理科13】设向量a →，b →不平行，向量λa →+b →与a →+2b →平行，则实数λ＝ ． 29．【2014年新课标1理科15】已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →=12（AB →+AC →），则AB →与AC →的夹角为 ．30．【2013年新课标1理科13】已知两个单位向量a →，b →的夹角为60°，c →=t a →+（1﹣t ）b →．若b →•c →=0，则t ＝ ．31．【2013年新课标2理科13】已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →•BD →= ．1．已知向量a ⃑,b ⃑⃑满足|b ⃑⃑|=2，a ⃑与b ⃑⃑的夹角为60∘，则当实数λ变化时，|b ⃑⃑−λa ⃑|的最小值为（ ） A ．√3B ．2C ．√10D ．2√32．已知△ABC 为等边三角形，AB =2，设点P 、Q 满足AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑， AQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=(1−λ)AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，λ∈R ，若BQ ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−32，则λ=（ ） A ．18B ．14C ．12D ．343．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO⃑⃑⃑⃑⃑⃑=AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑,|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，则向量OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑在向量CA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑上的投影向量为模拟好题（ ）A ．12CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ B ．√32OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．−12CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D ．−√32OC⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 4．已知P 是等边三角形ABC 所在平面内一点，且AB =2√3，BP =1，则AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值是（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．25．已知单位向量a ⃑与向量b ⃑⃑=(0,2)垂直，若向量c ⃑满足|a ⃑+b ⃑⃑+c ⃑|=1，则|c ⃑|的取值范围为（ ） A ．[1,√5−1]B ．[√3−12,√3+12]C ．[√5−1,√5+1]D ．[√3+12,3]6．已知向量a ⃑，b ⃑⃑ 满足a ⃑=(√3,1)，a ⃑·b ⃑⃑＝4，则|b ⃑⃑|的最小值为（ ） A ．1B ．√2C ．√3D ．27．在平行四边形ABCD 中，E,F 分别是BC,CD 的中点，DE 交AF 于点G ，则AG⃑⃑⃑⃑⃑⃑=（ ）A ．25AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−45BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ B ．25AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+45BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ C ．−25AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+45BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D ．−25AB⃑⃑⃑⃑⃑⃑−BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 8．已知点O 为△ABC 所在平面内的一点，且OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2=OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑2，OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑= OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=OC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=−2，则△ABC 的面积为（ ） A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．5√349．在△ABC 中，AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=9，sin (A +C )=cosAsinC ，S △ABC =6，P 为线段AB 上的动点，且CP⃑⃑⃑⃑⃑⃑=x ⋅CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑|CA⃑⃑⃑⃑⃑⃑|+y ⋅CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|CB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|，则2x +1y 的最小值为（ ） A ．116+√63B ．116C ．1112+√63D ．111210．△ABC 中，AC =√2，AB =2，A =45°，P 是△ABC 外接圆上一点，AP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λAB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+μAC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则λ+μ的最大值是（ ） A ．√2+12B ．√2−12C ．√3−√22D ．√3+√2211．已知复数z 1对应的向量为OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，复数z 2对应的向量为OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则（ ） A ．若|z 1+z 2|=|z 1−z 2|，则OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⊥OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑ B ．若(OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑+OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⊥(OZ 1⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OZ 2⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑)，则|z 1|=|z 2|C ．若z 1与z 2在复平面上对应的点关于实轴对称，则z 1z 2=|z 1z 2|D ．若|z 1|=|z 2|，则z 12=z 22 12．已知△ABC 是半径为2的圆O 的内接三角形，则下列说法正确的是（ ） A ．若角C =π3，则AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AO ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=12 B ．若2OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=0⃑ ，则|BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=4 C ．若|OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑−OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，则OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的夹角为π3 D ．若(BC⃑⃑⃑⃑⃑⃑+BA ⃑⃑⃑⃑⃑⃑)⋅AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=|AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|2，则AB 为圆O 的一条直径 13．中华人民共和国的国旗图案是由五颗五角星组成，这些五角星的位置关系象征着中国共产党领导下的革命与人民大团结．如图，五角星是由五个全等且顶角为36°的等腰三角形和一个正五边形组成．已知当AB =2时，BD =√5−1，则下列结论正确的为（ ）A ．|DE⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|DH ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑| B ．AF⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BJ ⃑⃑⃑⃑⃑=0 C ．AH⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=√5+12AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ D ．CB⃑⃑⃑⃑⃑⃑+CD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=JC ⃑⃑⃑⃑⃑−JH ⃑⃑⃑⃑⃑ 14．已知△ABC 中，AB =3,AC =5,BC =7,O 为△ABC 外接圆的圆心，I 为△ABC 内切圆的圆心，则下列叙述正确的是（ ） A ．△ABC 外接圆半径为14√33B ．△ABC 内切圆半径为√32C ．AO ⃑⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =8D ．AI⃑⃑⃑⃑ ⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑ =1 15．定义平面向量的一种运算“Θ”如下：对任意的两个向量a ⃑=(x 1,y 1)，b ⃑⃑=(x 2,y 2)，令a ⃑Θb ⃑⃑=(x 1y 2−x 2y 1,x 1x 2+y 1y 2)，下面说法一定正确的是（ ） A ．对任意的λ∈R ，有(λa ⃑)Θb ⃑⃑=λ(a ⃑Θb⃑⃑) B ．存在唯一确定的向量e ⃑使得对于任意向量a ⃑，都有a ⃑Θe ⃑=e ⃑Θa ⃑=a ⃑成立 C ．若a ⃑与b ⃑⃑垂直，则(a ⃑Θb ⃑⃑)Θc ⃑与a ⃑Θ(b ⃑⃑Θc ⃑)共线 D ．若a ⃑与b ⃑⃑共线，则(a ⃑Θb ⃑⃑)Θc ⃑与a ⃑Θ(b ⃑⃑Θc ⃑)的模相等16．在平面直角坐标系xOy 中，r >0，⊙M ：(x −r )2+y 2=3r 24与抛物线C ：y 2=4x 有且仅有两个公共点，直线l 过圆心M 且交抛物线C 于A ，B 两点，则OA⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=______．17．已知△ABC 是等边三角形，E ，F 分别是AB 和AC 的中点，P 是△ABC 边上一动点，则满足PE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅PF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=BE⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅CF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的点P 的个数为______． 18．已知平面向量e 1⃑⃑⃑⃑,e 2⃑⃑⃑⃑满足|2e 2⃑⃑⃑⃑−e 1⃑⃑⃑⃑|=2，设a =e 1⃑⃑⃑⃑+4e 2⃑⃑⃑⃑,b ⃑ =e 1⃑⃑⃑⃑+e 2⃑⃑⃑⃑，若1≤a ⋅b ⃑ ≤2，则|a |的取值范围为________．19．已知△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，A =π3，c =3，asinB =√3,D,E 分别为线段AB,AC 上的动点，ADAB =CECA ，则DE 的最小值为__________.20．在平行四边形ABCD 中，|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑+AD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=|BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=3,|AB ⃑⃑⃑⃑⃑⃑|=1，则AC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BD ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑=___________. 21．已知非零向量a ⃑,b⃑⃑ 满足|a ⃑|=|b ⃑⃑| ，且(a ⃑+b ⃑⃑)⊥b ⃑⃑，则a ⃑ 与b ⃑⃑的夹角为_______． 22．已知半径为1的圆O 上有三个动点A ，B ，C ，且|AB |=√2，则AC⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅BC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值为______． 23．已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=λBC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑，DF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑=μDC ⃑⃑⃑⃑⃑⃑．若λ+μ=23，则AE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⋅AF ⃑⃑⃑⃑⃑⃑的最小值为___________． 24．设a ⃑,b ⃑⃑为不共线的向量，满足c ⃑=λa ⃑+μb ⃑⃑,3λ+4μ=2(λ,μ∈R )，且|c ⃑|=|a ⃑−c ⃑|=|b ⃑⃑−c ⃑|，若|a ⃑−b ⃑⃑|=3，则(|a ⃑|⋅|b ⃑⃑|)2−(a ⃑⋅b⃑⃑)2的最大值为________． 25．已知平面向量a ,b ⃑ ,c 满足|a |=1,|b ⃑ |=|c |=2√2，且(a −b ⃑ )⋅(a −c )=0，θ=⟨a,b ⃑ ⟩(0≤θ≤π4)，则b ⃑ ⋅(a ⃑ −c )|a⃑ −c |的取值范围是_____________．。

专题01 平面向量的概念(原卷版)

专题01 平面向量的概念(原卷版)

专题01 平面向量的概念一、单选题1．下列说法正确的是A ．单位向量都相等B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若a b ＝，则//a bD ．若a b ≠，则a b ≠2．给出下列四个说法：①若||0a =，则0a =；②若||||a b =，则a b =或a b =-；③若//a b ，则||||a b =；④若//a b ，//b c ，则//a c ．其中错误的说法有A ．1B ．2C ．3D ．43．下列关于向量的命题正确的是A ．若||||a b =，则a b =B ．若||||a b =，则//a bC ．若a b =，b c =，则a c =D ．若//a b ，//b c ，则//a c 4．下列命题正确的是A ．若||0a =，则0a =B ．若||||a b =，则a b =C ．若||||a b =，则//a bD ．若//a b ，则a b = 5．下列说法中，正确的个数是①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④向量a →与b →不共线，则a →与b →都是非零向量A ．1B ．2C ．3D ．4 6．下列说法中正确的是A ．平行向量就是向量所在的直线平行的向量B ．长度相等的向量叫相等向量C ．零向量的长度为零D ．共线向量是在一条直线上的向量7．下列命题正确的是A ．若,a b 都是单位向量，则a b =B ．两个向量相等的充要条件是它们的起点和终点都相同C ．向量AB 与BA 是两个平行向量D ．若AB DC =，则,,,A B C D 四点是平行四边形的四个顶点8．下列说法错误的是A ．向量OA 的长度与向量AO 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等9．有下列命题：①若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若m n =，n k =，则m k =；④零向量都相等．其中假命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．410．下列说法中正确的是A ．零向量没有方向B ．平行向量不一定是共线向量C ．若向量a 与b 同向且a b =，则a b =D ．若向量a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >11．以下说法正确的是 A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．零向量没有方向C ．共线向量又叫平行向量D ．若a 和b 都是单位向量，则a b =12．给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若,a b 都是单位向量，则a b =；③向量AB 与BA 相等．则所有正确命题的序号是A ．①B ．③C ．①③D ．①②13．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是（1）长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；（2）平行且模相等的两个向量是相等向量；（3）若a b ≠，则a b →→≠；（4）两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．3 14．下列命题中，正确命题的个数是①单位向量都共线；②长度相等的向量都相等；③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是||a a ． A ．0B ．1C ．2D ．3 15．有下列命题：①若a b →→=，则a b →→=；②若AB DC →→=，则四边形ABCD 是平行四边形；③若m n →→=，n k →→=，则m k →→=；④若//a b →→，//b c →→，则//a c →→．其中，假命题的个数是A ．1B ．2C ．3D ．4 16．下列说法不正确的是A ．平行向量也叫共线向量B ．两非零向量平行，则它们所在的直线平行或重合C ．若a 为非零向量，则a a是一个与a 同向的单位向量D ．两个有共同起点且模相等的向量，其终点必相同17．下列四个命题正确的是A ．两个单位向量一定相等B ．若a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同18．有下列说法：①若两个向量不相等，则它们一定不共线；②若四边形ABCD 是平行四边形，则AB CD =；③若//a b ，//b c ，则//a c ；④若AB CD =，则AB CD 且//AB CD ．其中正确说法的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3 19．下列说法正确的是A ．单位向量都相等B ．若//a b ，则a b =C ．若a b =，则a b =D ．若λa b ，（0b ≠），则a 与b 是平行向量 20．如图所示，在正ABC 中，D ，E ，F 均为所在边的中点，则以下向量中与ED 相等的是A ．EFB ．BEC ．FBD ．FC21．已知a 、b 是平面向量，下列命题正确的是A ．若||||1a b ==，则a b =B ．若||||a b <，则a b <C ．若0a b +=，则//a bD ．零向量与任何非零向量都不共线 22．下列命题中正确的是A ．若||a b |=|，则a b =B ．若a b ≠，则a b ≠C ．若||a b |=|，则a 与b 可能共线D ．若a b ≠，则a 一定不与b 共线 23．下列关于向量的概念叙述正确的是A ．方向相同或相反的向量是共线向量B ．若//a b ，//b c ，则//a cC ．若a 和b 都是单位向量，则a b =D ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合24．已知向量a 与b 共线，下列说法正确的是A ．a b =或a b =-B ．a 与b 平行C ．a 与b 方向相同或相反D ．存在实数λ，使得λa b25．下列关于平面向量的命题中，正确命题的个数是①任一向量与它的相反向量都不相等；②长度相等、方向相同的两个向量是相等向量；③平行且模相等的两个向量是相等向量；④若a b ≠，则||||a b ≠；⑤两个向量相等，则它们的起点与终点相同．A ．0B ．1C ．2D ．326．判断下列命题：①两个有共同起点而且相等的非零向量，其终点必相同；②若//a b ，则a 与b 的方向相同或相反；③若//a b 且//b c ，则//a c ；④若a b =，则2a b >．其中正确的命题个数为A ．0B ．1C ．2D ．327．设,a b 是非零向量，则“2a b =”是“a a b b=” 成立的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件28．若四边形ABCD 是矩形，则下列说法不正确的是A ．AB →与CD →共线 B ．AC →与BD →共线C ．AD →与CB →模相等，方向相反 D ．AB →与CD →模相等29．设,a b →→是两个平面向量，则“a b →→=”是“||||a b →→=”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件30．下列关于向量的结论：（1）若||||a b =，则a b =或a b =-；（2）向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反；（3）起点不同，但方向相同且模相等的向量是相等向量；（4）若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >．其中正确的序号为A ．（1）（2）B ．（2）（3）C ．（4）D ．（3）二、多选题1．下面的命题正确的有．A ．方向相反的两个非零向量一定共线B ．单位向量都相等C ．若a ，b 满足a b >且a 与b 同向，则a b >D ．“若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，且AB DC =”⇔“四边形ABCD 是平行四边形” 2．若四边形ABCD 是矩形，则下列命题中正确的是A ．,AD CB 共线B ．,AC BD 相等 C ．,AD CB 模相等，方向相反D ．,AC BD 模相等 3．在下列结论中，正确的有A ．若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合B ．平行向量又称为共线向量C ．两个相等向量的模相等D ．两个相反向量的模相等 4．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是A ．a b =B ．a b =C ．a 与b 的方向相反D ．a 与b 都是单位向量5．设0a 为单位向量，下列命题是假命题的为A ．若a 为平面内的某个向量，则0=a a aB ．若a 与0a 平行，则0=a a aC ．若a 与0a 平行且1=a ，则0=a aD ．若a 为单位向量，则0=a a三、填空题1．如图，设O 是边长为1的正六边形ABCDER 的中心，写出图中与向量AB 相等的向量__________．（写出两个即可）2．下列命题中正确的有__________．(填序号)①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同； ②若 =a b ，则a b =； ③若AB DC =，则,,,A B C D 四点构成平行四边形； ④在▱ABCD 中，一定有AB DC =；⑤若a b =，b c =，则a c =；⑥若//a b ，//b c ，则//a c ；3．给出以下结论：①平面任意两个共起点的向量是共面的；②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；③平面向量的加法满足结合律：()()a b c a b c ++=++；④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量． 请将正确的说法题号填在横线上：__________．4．下列说法中正确的是__________．（填序号）①温度含零上和零下温度，所以温度是向量；②向量的模是一个正实数；③若||||a b >，则a b >；④长度相等且方向相同的两个向量表示相等向量．5．给出下列几种说法：①若非零向量a 与b 共线，则a b =；②若向量a 与b 同向，且||||a b >，则a b >；③若两向量有相同的基线，则两向量相等；④若//a b ，//b c ，则//a c 其中错误说法的序号是__________．6．给出下列命题：①若//,//a b b c ，则//a c ；②若单位向量的起点相同，则终点相同； ③起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；④向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点必在同一直线上．其中正确命题的序号是__________．四、解答题1．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5点中任意一点为起点，另一点为终点的所有向量中，写出：（1）与BC相等的向量；（2）与OB长度相等的向量；（3）与DA共线的向量．2．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c．（1）与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？（2）与a共线的向量有哪些？（3）请一一列出与a，b，c．相等的向量．3．如图所示，4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)，在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中，试问：（1）与AB→相等的向量共有几个；（2）与AB→方向相同且模为.。

专题4 平面向量压轴小题(原卷版)

专题4 平面向量压轴小题(原卷版)

专题4 平面向量压轴小题一、单选题1．（2022·湖北·宜城市第二高级中学高三开学考试）已知△ABC 中，AB AC ==()min2AB BCR λλ+=∈，2AM MB =，22sin cos AP AB AC αα=⋅+⋅，,63ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则MP 的最小值为（ ）A B ．23C D 2．（2022·浙江宁波·二模）已知平面向量a ，b ，c 满足1a =，2b =，3a c b c -=-=，c a b λμ=+（0λ>，0μ>）.当4λμ+=时，c =（ ）A B C D 3．（2022·全国·高三专题练习（理））设||=1a →，||b →=且a b →→⊥，若向量c →满足2c a b a b →→→→→--=-，则||c →的最大值是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．84．（2022·全国·高三专题练习（理））设正数1λ，2λ，3λ满足1233λλλ++=，1P ，2P ，3P 是以O 为圆心的单位圆上的3个点，且1122330OP OP OP λλλ++=.若M 是圆O 所在平面上任意一点，则112233MP MP MP λλλ++的最小值是A ．2B ．3C ．D ．5．（2022·全国·高三专题练习）已知C ，D 是以AB 为直径的圆O 上的动点，且4AB =，则AC BD ⋅的最大值是（ ） A ．2B ．C ．22D ．434-6．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量,,a b c ，满足||2,||1,b a b c a b λμ=+==+且21λμ+=，若对每一个确定的向量a ，记||c 的最小值为m ，则当a 变化时，m 的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．17．（2022·全国·高三专题练习）如图，在OAB ∆中，点P 是线段OB 及AB 、AO 的延长线所围成的阴影区域内（含边界）的任意一点，且OP xOA yOB =+，则在直角坐标平面上，实数对(),x y 所表示的区域在直线3y x -=的右下侧部分的面积是（ ）A ．72B ．92C ．4D ．不能求8．（2022·全国·高三专题练习）已知O 是ABC ∆内一点，且0OA OB OC ++=，点M 在OBC ∆内（不含边界），若AM AB AC λμ=+，则2λμ+的取值范围是 A ．51,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,2C ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭9．（2022·全国·高三专题练习）已知向量1e 与2e 的夹角为4π，11e =，22e =，若12e e λ+与123e e λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 A． B．5(3,-- C ．513(()2-+-∞+∞ D ．513((,3)(3,)2-+-∞+∞ 10．（2022·上海金山·一模）已知向量a 与b 的夹角为120︒，且2a b ⋅=-，向量c 满足()()101c a b λλλ=+-<<，且a c b c ⋅=⋅，记向量c 在向量a 与b 方向上的投影分别为x ､y .现有两个结论：△若13λ=，则2a b =；△22x y xy ++的最大值为34.则正确的判断是（ ）A ．△成立，△成立B ．△成立，△不成立C ．△不成立，△成立D ．△不成立，△不成立11．（2022·上海市建平中学高三开学考试）已知ABC 的外接圆圆心为O ，6A π∠=，若(),AO xAB yAC x yR =+∈，则x y +的最大值为（）A ．4+B ．4-C D 二、多选题12．（2022·全国·高三专题练习）已知点P 在ABC 所在的平面内，则下列命题正确的是（ ） A ．若P 为ABC 的垂心，2AB AC ⋅=，则2AP AB ⋅=B ．若ABC 为边长为2的正三角形，则()PA PB PC ⋅+的最小值为-1C ．若ABC 为锐角三角形且外心为P ，AP xAB y AC =+且21x y +=，则AB BC =D ．若111122cos cos AP AB AC AB B AC C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则动点P 的轨迹经过ABC 的外心 13．（2022·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOy 中，圆22:1O x y +=，若曲线12y k x =-+上存在四个点()1,2,3,4=i P i ，过动点i P 作圆O 的两条切线，A ，B 为切点，满足32i i P A PB ⋅=，则k 的值可能为（ ） A ．-7B ．-5C ．-2D ．–114．（2022·湖北·黄冈中学模拟预测）已知向量()AB m =，(,)BC n =(,0)m n >，且||1BM =，AM xAC =，其中412cos9x π=-，下列说法正确的是（ ） A ．AB 与AC 所成角的大小为3π B ．32310x x -+≠C ．当||AB ||||AB BC +取得最大值D ．||||AB BC +的最大值为3x -三、填空题15．（2022·上海·位育中学模拟预测）已知圆O 半径为 1P A B ，、、 是圆O 上不重合的点， 则PA PB ⋅的最小值为_____.16．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量x ，y ，z ，1||||||12x y z x y ===⋅=，则1122x z y z++-的取值范围是__________．17．（2022·全国·高三专题练习）已知非零平面向量,,a b c 满足()3,,1,30a b c a b c b b ==-=+⋅=，则a c -的最大值为__________．18．（2022·浙江·绍兴一中模拟预测）定义两个向量组()()123123,,,,,==X x x x Y y y y 的运算112233⋅=⋅+⋅+⋅X Y x y x y x y ，设123,,e e e 为单位向量，向量组()()123123,,,,,==X x x x Y y y y 分别为123,,e e e 的一个排列，则⋅X Y 的最小值为_______．19．（2022·全国·高三专题练习）已知平面内两单位向量1212π,,,3e e e e 〈〉=，若c 满足212121,2c e c e c c e c e ⋅-⋅=⋅+⋅≥，则2c 的最小值是___________.20．（2022·全国·高三专题练习）在ABC 中，6AB =，AC =M 满足1154AM AB AC =+．过点M 的直线l 分别与边,AB AC 交于点,D E 且1AD AB λ=，1AE AC μ=．已知点G 为ABC 的外心，AG AB AC λμ=+，则AG 为______．21．（2022·全国·高三专题练习）已知向量m ，若对于满足7m a m a +=⋅的任意向量a ，都存在R λ∈，使得m a m λ+≤恒成立，则向量m 的模m 的最大值为________.22．（2022·北京顺义·二模）向量集合(){},,,S a a x y x y R ==∈，对于任意a ，b S ∈，以及任意[]0,1λ∈，都有()1a b S λλ+-∈，则称集合S 是“凸集”，现有四个命题：△集合(){}2,,M a a x y y x ==≥是“凸集”；△ 若S 为“凸集”，则集合{}2N a a S =∈也是“凸集”； △若12,A A 都是“凸集”，则12A A ⋃也是“凸集”；△若12,A A 都是“凸集”，且交集非空，则12A A ⋂也是“凸集”．其中，所有正确的命题的序号是_____________________．23．（2022·浙江杭州·二模）对于二元函数(),f x y ，(){}{}min max ,x yf x y 表示(),f x y 先关于y 求最大值，再关于x 求最小值.已知平面内非零向量a ，b ，c ，满足：a b ⊥，2a cbc ab⋅⋅=，记(),mc b f m n mc na-=-（m ，R n ∈，且0m ≠，0n ≠），则(){}{}min max ,mnf m n =______.24．（2022·全国·高三专题练习）已知圆O 的半径为2，A 为圆内一点，12OA =，B ，C 为圆O 上任意两点，则AC BC ⋅的取值范围是_________．25．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量a ，b ，c 满足：a b a b ==+，22c a c =-=，则b c -的最小值是_________.26．（2022·全国·高三专题练习）如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M ，N 分别为边BC ，CD 上的动点，以MN 为边作等边PMN ，使得点A ，P 位于直线MN 的两侧，则PN PB ⋅的最小值为______．27．（2022·江苏南京·模拟预测）平面向量a ，b ，c 满足1a a b c =-==，()222b ac b c b a c +⋅+-=⋅+，1a b b a b b cb⋅+=+⋅，则()2b c-=______．28．（2022·全国·高三专题练习）已知平面向量,a b 的夹角为3π，满足1a b +=．平面向量c 在,a b 上的投影之和为2，则1123c a b --的最小值是___．29．（2022·浙江绍兴·高三期末）设向量OA a =，OB b =，OC c =，2a b a b ==⋅=，点C 在AOB ∠内，且向量c 与向量a c -的夹角为3π，则||||c c b -的取值范围是____________． 30．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量,a b 满足1a a b =+=，12a b ⋅=-，向量p 满足()2p a b λλ=-+，当p 与p a -的夹角余弦值取得最小值时，实数λ的值为____________.31．（2022·全国·高三专题练习）已知||||||1,0,||1OA OB OC OA OB OP ===⋅=≤，则AP BP BP CP CP AP ⋅+⋅+⋅的最大值为__________．32．（2022·天津西青·高三期末）在等腰直角三角形ABC 中，π2C ∠=，点P 在三角形内，满足2(222)0PA PB PC +++=，则APB ∠=______.33．（2022·全国·高三专题练习）已知1OB →=，,A C 是以O 为圆心，且满足0BA BC →→⋅=，设平面向量OA →与OB →的夹角为θ(π04θ≤≤)，则平面向量OA →在BC →方向上的投影的取值范围是_____.34．（2022·全国·高三专题练习（理））已知平面向量a ，b ，c 满足1a b，c a b a b --=-，则a c⋅的取值范围为__________．35．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面内不同的三点O ，A ，B 满足||||5OA AB ==，若[0,1]λ∈时，2||(1)5OB OA BO BA λλ-+--的最小值为||OB =___________. 四、双空题36．（2022·湖北·襄阳五中模拟预测）已知向量()11,1a =，1,0n b n ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()()*111n n n n n a a a b b n N +++-=⋅∈，则34a b ⋅=___________，13224231n n a b a b a b n +⋅⋅⋅+++=+___________. 37．（2022·广东佛山·高三期末）菱形ABCD 中，ππ1,,32AB A ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，点E ，F 分别是线段,AD CD 上的动点（包括端点），AE CF =，则()AE CF AC +⋅=___________，ED EB ⋅的最小值为___________. 38．（2022·浙江·模拟预测）在平面四边形ABCD 中，22AB BC CD ===，60,90ABC ADC ∠=∠=，若BE EF FG GC →→→→===，则2AE DC AE AF →→→→+=_____；若P 为边BC 上一动点，当PA PC →→取最小值时，则cos PDC ∠的值为_____．39．（2022·浙江·模拟预测）已知平面向量a ，b ，c 满足a 与b 的夹角为锐角，4a =，2b =，1c =，且b ta +的最小值为t 的值是_____，向量()12c a c b ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的取值范围是_____.40．（2022·浙江·高三专题练习）已知平面向量1a ，2a ，3a ，4a ，5a ，6a 满足1234561123456a a a a a a ======，1234560a a a a a a +++++=，则246a a a ++的最小值是________，15162526a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅的最大值是_______.。

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C．[2 3， 2 7]
D． [ 7－ 1， 7＋ 1]
题组训练四 数与形相辅相成求解向量问题
4
已知 |b|＝1，非零向量 a 满足〈 a， b－ a〉＝ 120°，则 |a|的取值范围是 ________．
【专题训练】 一、选择题
1．已知向量 a＝ (2 ，－ 4)， b＝ (－3， x)， c＝ (1，－ 1)，若 (2a＋ b)⊥ c，则 |b|＝ ( )
5
5．在梯形 ABCD 中， AD∥ BC，已知 AD＝ 4， BC＝ 6，若 C→D＝ mB→A＋ nB→C(m， n∈ R )，
则m＝ (
)
n
A ．－ 3
1 B．－ 3
1
C.3
D．3
6．如图，正方形 ABCD 中， M ， N 分别是 BC ，CD 的中点，若 A→C＝ λA→M＋μB→N，则 λ ＋μ＝ ( )
1．已知 △ ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 P→A·(P→B＋ P→C)的最 小是 ( )
A ．－ 2
3 B．－ 2
4 C．－ 3
D．－ 1
2．已知向量 |O→A|＝ 3，|O→B|＝ 2，O→C＝ mO→A＋ nO→B ，若 O→A与 OB 的夹角为 60°，且O→C⊥ A→B，
A．9
B．3
C. 109
D． 3 10
2．已知向量 a＝ (1 ，k)， b＝ (2,2)，且 a＋ b 与 a 共线，那么 a·b 的值为 ( )
A．1
B．2
C．3
D．4
3．设向量 a，b 满足 |a |＝ 1， |b|＝ 2，且 a⊥ (a＋ b)，则向量 a 在向量 a＋ 2b 方向上的投 影为 ( )
P
满足：
O→P
＝
1 3
1
1 OA 1 OB 2OC ，则 P 一定为 △ ABC 的 (
)
2
2
A ．重心 B．AB 边中线的三等分点 (非重心 ) C．AB 边中线的中点 D． AB 边的中点
3．设 P 是 △ ABC 所在平面内的一点，且 C→P＝ 2P→A，则 △PAB 与 △ PBC 的面积的比值是 ()
A．9B．3Fra bibliotekC. 109D． 3 10
【例 4】．已知 a＝ (3,2)， b＝ (2，－ 1) ，若 λa＋b 与 a＋ λb 平行，则 λ＝ ________.
2
题组训练二 平面向量的平行与垂直 1．设向量 a＝ (m,1)， b＝ (1,2)，且 |a＋ b|2＝ |a|2＋ |b|2，则 m＝________.
1 2
题组训练一 平面向量的概念及线性运算
1．在梯形 ABCD 中， A→B＝ 3D→C，则 B→C等于 (
)
A ．－ 13A→B＋ 23A→D
B．－ 23A→B ＋ 43A→D
2→ C.3AB
－A→D
D
．－
2→ 3AB
＋A→D
2．已知 A， B，C 是平面上不共线的三点，
O 是 △ABC 的重心，动点
A＝ 3， 5
则|E→F |＝(
)
A. 14
B．2 5
C．4 2
D． 2 11
【例 6】．已知 A，B 是圆 O：x2＋ y2＝ 4 上的两个动点， |A→B|＝ 2，O→C ＝53O→A－ 23O→B.若 M
3
是线段
AB 的中点，则
O→C
→ ·OM
的值为
(
)
A．3
C．2
B．2 3 D．－ 3
题组训练三 平面向量的数量积
上．若 A→P＝ λA→B＋ μA→D ，则 λ＋ μ的最大值为 (
)
A．3 C. 5
B．2 2 D．2
【例 2】．点 O 为 △ ABC 内一点，且满足 O→A＋ O→B＋ 4O→C＝ 0，设 △OBC 与 △ ABC 的面
积分别为
S1、 S2，则
S1＝ S2
(
)
1 A. 8
B.16
C.
1 4
D.
1
1
A. 3
B. 2
2
3
C.3
D.4
题型二 平面向量的平行与垂直
【题型要点】
(1)设 a＝ (x1， y1) ，b＝ (x2， y2)：
① a∥ b? a＝λb(b≠0；)
② a∥ b? x1y2－ x2y1＝ 0.至于使用哪种形式，应视题目的具体条件而定，一般情况涉及坐 标的应用② .
(2)设非零向量 a＝ (x1， y1)，b＝ (x2， y2 )： a⊥ b? a·b＝ 0? x1x 2＋ y1y2＝ 0. (3)利用向量平行或垂直的充要条件可建立方程或函数是求参数的取值． 【例 3】已知向量 a＝ (2，－ 4)，b＝ (－ 3，x)，c＝ (1，－ 1)，若 (2a＋ b)⊥c，则 |b|＝ ( )
8
A．2
B.3
6
8
C.5
D.5
7．如图所示，直线
x＝ 2 与双曲线
C
：
x2－ 4
y2＝
1
的渐近线交于
E1， E2 两点．记 O→E1＝
e1， O→E2＝ e2，任取双曲线 C 上的点 P，若 O→P＝ ae1＋ be2(a， b∈R )，则 ab 的值为 (
)
1
A. 4
B．1
1
1
C.2
D.8
8．在平面直角坐标系中， 向量 n＝ (2,0)，将向量 n 绕点 O 按逆时针方向旋转 π3后得向量 m，若向量 a 满足 |a－ m－ n|＝1，则 |a|的最大值是 ( )
2
6
的图象上运动，且满足 O→Q＝ m? O→P＋ n(其中 O 为坐标原点 ) ，则 y＝ f(x)在区间
, 上的
63
最大值是 ( )
A．4
B．2
C．2 2 二、填空题
D．2 3
12．如图，在平行四边形 ABCD 中， E 和 F 分别在边 CD 和 BC 上，且 D→C＝ 3 D→E ，B→C ＝3 B→F，若 A→C＝ mA→E＋ nA→F，其中 m， n∈R ，则 m＋n＝ ________.
A．2 3－1
B．2 3＋1
C．3
D. 6＋ 2＋ 1
6
9．已知锐角 △ABC 的外接圆的半径为 1，∠B＝6π，则 B→A·B→C的取值范围为 __________ ．
10．已知点
O，N，P 在 △ABC 所在的平面内，
且
→ |OA
|＝
→ |OB
|＝
→ |OC
|，N→A
＋
N→B＋
N→C
＝0，
P→A·P→B＝ P→B·P→C＝P→C·P→A，则点 O， N， P 依次是 △ABC 的 (
)
A ．重心、外心、垂心
B．重心、外心、内心
C．外心、重心、垂心
D ．外心、重心、内心
11．设向量 a＝ (a1，a2)，b＝ (b1，b2)，定义一种向量积： a? b＝ (a1，a2)? ( b1，b2 )＝ (a1b1，
a2b 2) ．已知向量
m＝
1 ,4
， n＝
,0 ，点 P 在 y＝ cos x 的图象上运动，点 Q 在 y＝ f( x)
13 A ．－ 13
1 C．－ 13
13 B. 13
1 D.13
4．已知 A，B，C 是圆 O 上的不同的三点，线段 CO 与线段 AB 交于点 D ，若 O→C＝ λO→A
＋μO→B(λ∈ R， μ∈ R) ，则 λ＋ μ的取值范围是 (
)
A ． (0,1)
B． (1，＋ ∞）
C．(1， 2]
D． (－ 1,0)
②建立坐标系，通过坐标运算求解．
(2) 在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量 进行计算．
求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．
【例 5】在平行四边形
ABCD
中，
|A→D|＝ 3， |A→B|＝ 5， A→E＝ 23A→D ， B→F＝ 13B→C， cos
2．已知向量 a＝ (3,1)， b＝ (1,3)， c＝ (k，－ 2)，若 (a－ c)∥ b，则向量 a 与向量 c 的夹角 的余弦值是 ( )
5
1
A. 5
B.5
5 C．－ 5
1 D．－ 5
题型三 平面向量的数量积
【题型要点】
(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路： ①直接利用数量积的定义；
则实数 m的值为 (
)
n
1
1
A. 6
B.4
C．6
D．4
题型四 数与形相辅相成求解向量问题
【例 7】 在平面直角坐标系中， O 为原点， A( － 1,0)， B(0， 3)， C(3,0) ，动点 D 满
足|C→D|＝ 1，则 |O→A＋ O→B＋O→D |的取值范围是 (
)
A ． [4,6]
B． [ 19－ 1， 19＋ 1]
2020 年高考数学（理）总复习：平面向量
题型一 平面向量的概念及线性运算
【题型要点】
对于利用向量的线性运算、 共线向量定理和平面向量基本定理解决 “用已知向量 (基向量 ) 来表示一些未知向量 ”的问题．解决的关键是：①结合图形，合理运用平行四边形法则或三 角形法则进行运算；②善于用待定系数法
【例 1】在矩形 ABCD 中， AB＝ 1， AD ＝2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆
|P→A|2＋ |P→B|2 则 |P→C|2 ＝________.
15.在△ ABC 中， AB⊥ AC，AB ＝1t ， AC＝ t， P 是△ ABC 所在平面内一点，
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