线性多步法2

§1 Euler’s Method
欧拉公式的改进： 欧拉公式的改进： 隐式欧拉法 /* implicit Euler method */ 向后差商近似导数
y′( x1 ) ≈
y ( x1 ) ≈ y0 + h f ( x1 , y ( x1 ))
y( x1 ) − y( x0 ) h
x0
x1
y i +1 = y i + h f ( x i +1 , y i +1 ) ( i = 0, ... , n − 1)
x n +1 xn
f ( x , y )dx ≈ h∑ c i f ( x n + λ i h, y ( x n + λ i h))
m i =1 i =1
y ( x n + 1 ) − y ( x n ) ≈ h∑ c i f ( x n + λ i h, y ( x n + λ i h)) y n + 1 = y n + h∑ c i f ( x n + λ i h, y ( x n + λ i h))
1 1 y i + 1 = y i + h[ 2 K 1 + 2 K 2 ] K 1 = f ( xi , yi ) K = f ( x + h , y + hK ) 2 i i 1
斜率 一定取K 一定取 1 K2 平均值吗 的平均值吗？
步长一定是一个h 步长一定是一个 吗？
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 y i +1 = y i + h f ( x i , y i ) 先用显式欧拉公式作预测 显式欧拉公式作预测， Step 2: 再将 yi +1 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到 代入隐式梯形公式的右边作校正 隐式梯形公式的右边作校正，
y i +1
h = yi + [ f ( x i , yi ) + f ( x i +1 , y i +1 )] 2
Ri = y( xi +1 ) − yi+1
h2 = − y′′(xi )+O(h3 ) 2
阶精度。 即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
梯形公式 /* trapezoid formula */
§1 Euler’s Method
— 显、隐式两种算法的平均 隐式两种算法的平均
h yi +1 = yi + [ f ( x i , yi ) + f ( x i +1 , yi +1 )] ( i = 0, ... , n − 1) 2
c1 + c 2 + c 3 = 1
K 2 = f ( x i + λ1 h, y i + hλ1 k1 )]
y 2 = y i + λ 2 h[c1 K 1 + c 2 K 2 ]
y 3 = y i + λ 3 h[c1 K 1 + c 2 K 2 + c 3 f ( x i + λ 2 h, y i + λ 2 h( c1 K 1 + c 2 K 2 )]
§1 Euler’s Method
方 法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式 中点公式
简单 稳定性最好 精度提高 精度提高, 精度提高 显式
精度低 精度低, 精度低 计算量大 计算量大 多一个初值, 多一个初值 可能影响精度
§1 Euler’s Method
改进欧拉法 /* modified Euler’s method */
同时出现在等式的两边，不能直接得到， 由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故 欧拉公式，而前者称为显式 称为隐式 称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。 欧拉公式。 一般先用显式计算一个初值， 迭代求解 求解。 一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。 隐式欧拉法的局部截断误差 欧拉法的局部截断误差： 隐式欧拉法的局部截断误差：
y′( x1 ) ≈
y ( x 2 ) ≈ y ( x 0 ) + 2 h f ( x1 , y ( x1 ))
y ( x 2 ) − y ( x0 ) 2h
x0 x1 x2
y i +1 = yi −1 + 2h f ( x i , y i ) i = 1, ... , n − 1
假设 yi −1 = y( xi −1 ), yi = y( xi ) ，则可以导出 Ri = y( xi+1 ) − yi +1 = O(h3 ) 阶精度。 即中点公式具有 2 阶精度。
dx 首先希望能确定系数 λ1、λ2、p，使得到的算法格式有 阶 ，使得到的算法格式有2阶 精度， 的前提假设下， ( x, y) 精度，即在 yi = y( x i ) 的前提假设下，使得 + f y ( x, y) dy = fx dx Ri = y ( x i +1 ) − y i +1 = O ( h 3 ) = f x ( x, y) + f y ( x, y) f ( x, y) Step 1: 将 K2 在 ( xi , yi ) 点作 Taylor 展开
K 1 = f ( xi , yi )
K 2 = f ( x i + λ1 h, y i + λ1 hk 1 )]
c1 + c 2 + c 3 = 1
0 < α1 ≤ 1
K 3 = f ( x i + λ 2 h, y i + h( µ 31 K 1 + µ 32 K 2 )]
λ 2 = µ 31 + µ 32 ,
K 2 = f ( xi + ph, yi + phK 1 ) = f ( xi , yi ) + phf x ( xi , yi ) + phK 1 f y ( xi , yi ) + O( h2 )
= y ′ ( x i ) + ph y ′′ ( x i ) + O ( h 2 )
Step 2: 将 K2 代入第 式，得到 代入第1式
c1 + c 2 = 1
0 < λ1 ≤ 1
称作过两个点的 Runge − Kutta 方法 .
c1 , c 2 , λ1待定系数 .
y 3 = y i + λ 3 h[c1 f ( x i , y i ) + c 2 f ( x i + λ1 h, y ( x i + λ1 hi ) + c 3 f ( x i + λ 2 h, y ( x i + λ 2 hi )]
i =1 m
§2 Runge-Kutta Method
如何确定下式中的系数？ 如何确定下式中的系数？
yi +1 K1 K2 = = = yi + h [λ1 K 1 + λ2 K 2 ] f ( x i , yi ) f ( x i + ph, yi + phK 1′) x) = d f ( x, y) y′ (
{
}
§2 Runge-Kutta Method
Step 3: 将 yi+1 与 y( xi+1 ) 在 xi 点的泰勒展开作比较 点的泰勒 泰勒展开作比较
y 1 = y i + λ 1 hf ( x i , y i ) = y i + λ 1 hK 1
K 1 = f ( xi , yi )
y
y( xi )
0 < λ1 ≤ 1 0 < λ2 ≤ 1
x i + λ1 h
c1 + c 2 = 1
o
xi
y 2 = y i + λ 2 h[c1 f ( x i , y i ) + c 2 f ( x i + λ1 h, y ( x i + λ1 hi )]
i = 2,3,L, m
i −1 j =1 m
K i = f ( x n + λ i h, y n + h ∑ ( µ ij K j )
λ i = ∑ µ ij µ ij > 0
j =1
x n +1
n
∑ λi = 1
i =1
m
m 级 Runge − Kutta 方法也可以这样解释 :
∫x
y ′( x )dx = ∫
y i + 1 = y i + h λ 1 y ′( x i ) + λ 2[ y ′( x i ) + ph y ′′( x i ) + O ( h 2 )] = y i + ( λ 1 + λ 2 ) h y ′( x i ) + λ 2 ph 2 y ′′( x i ) + O ( h 3 )
y 3 = y i + λ 3 h[c1 K 1 + c 2 K 2 + c 3 K 3 ]
y 3 = y i +1 = y i + h[c1 K 1 + c 2 K 2 + c 3 K 3 ]
K 1 = f ( xi , yi )
y i + 1 = y i + h[c1 K 1 + c 2 K 2 + c 3 K 3 ]
x i + hλ 2
xi +1
x
y 2 = y i + λ 2 h[c1 K 1 + c 2 f ( x i + λ 1 h, y 1 )]