高考数学专题练习十三一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用理

合集下载

史上最全最好题集：一元二次不等式、基本不等式线性规划(含详解答案)

一元二次不等式、基本不等式、线性规划好题集一、单选题1．（2012•湖南）设 a＞b＞1，C＜0，给出下列三个结论：①＞；②a c＜b c；③log b（a﹣c）＞log a（b﹣c）．其中所有的正确结论的序号（）A．① B．①② C．②③ D．①②③2．已知，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．．3．不等式的解集为，则不等式的解集为（）A．B．C．D．4．(附加题)设函数若对于，恒成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，0]B．C．D．5．若，，则一定有A．B．C．D．6．若角α，β满足－＜2α＜β＜，则2α－β的取值范围是（）A．（－π，0）B．（－π，π）C．（－，）D．（－，）7．下列说法正确的是（）A．的最小值为 2 B．的最小值为4，C．的最小值为D．的最大值为18．设，，都是正数，则三个数，，（）A．都大于2B．至少有一个大于2C．至少有一个不小于2D．至少有一个不大于29．已知点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a=0的两侧，则a的取值范围是A．a＜-1或a＞24 B．a=7或a=24 C．-7＜a＜24 D．-24＜a＜7 10．若实数，满足，则的最小值为（）A．B．C．D．11．已知变量，满足条件则目标函数的最大值为（）A．B．C．D．12．若不等式组101210x yyx y-+≥⎧⎪⎪+≥⎨⎪+-≤⎪⎩表示的区域为Ω，不等式221124x y⎛⎫-+≤⎪⎝⎭表示的区域为τ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域τ中芝麻数约为（）A.114 B.10C.150D.5013．在平面直角坐标系中，点是由不等式组所确定的平面区域内的动点，是直线上任意一点，为坐标原点，则的最小值为（）A．B．C．D．14．已知，满足，则的取值范围是（）A．B．C．D．15．已知a＞0，b＞0，给出下列三个不等式：①；②；.其中正确的个数是（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 16.设0b a >>，且222222,,,,111122a b a b P Q M ab N R a b a b ++=====++，则它们的大小关系是（）A ． P Q M N R <<<，则22x yx y x y+++的最大值为（） A ．22- B ．22+ C ．422+ D ．422-二、填空题19．已知正实数a ，b 满足，则的最小值是_______．20．实系数一元二次方程有两实根，一根在区间内，另一根在区间内.若，则的取值范围为__________.21．若满足不等式组，则目标函数的取值范围是_____．22．设实数x 、y 满足22428x xy y -+=，则2x y +的最大值为__________， 224x y+的最小值________．23．已知实数,x y 满足不等式组02100x x y x y ≥⎧⎪-+≥⎨⎪-≤⎩，且目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为2，则21a b+的最小值为______________．。

一元二次不等式与基本不等式常见题型及讲解

一、引言一元二次不等式是高中数学中的重要知识点，也是考试中常见的题型之一。

掌握一元二次不等式的解法及基本不等式的运用，对于提高学生的数学水平和解题能力有着重要的作用。

本文将重点讲解一元二次不等式及基本不等式的常见题型及解题方法，希望能够帮助读者更好地理解和掌握这一知识点。

二、一元二次不等式的基本概念1. 一元二次不等式的定义一元二次不等式是形如ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0）的不等式，其中a、b、c为常数，x为未知数，且a≠0。

一元二次不等式的解就是使不等式成立的x的取值范围。

2. 一元二次不等式的常见形式一元二次不等式的常见形式包括ax^2+bx+c>0、ax^2+bx+c≥0、ax^2+bx+c<0和ax^2+bx+c≤0等，需要根据具体情况选择合适的解题方法来解决。

三、一元二次不等式的解法及常见题型1. 一元二次不等式的解法解一元二次不等式的常用方法有：利用一元二次函数的图像法、利用一元二次函数的根式关系法、利用配方法、利用因式分解法等。

需要根据具体不等式的形式和题目的要求选择合适的解题方法。

2. 一元二次不等式的常见题型及讲解(1) 一元二次不等式的根的情况讨论当一元二次不等式的根的情况为实数时，解法与一元二次方程类似，可以利用一元二次函数的图像法或根式关系法求解。

当根的情况为虚数时，需要利用配方法或因式分解法进行求解。

(2) 一元二次不等式的恒成立条件讨论对于一元二次不等式ax^2+bx+c>0（或<0、≥0、≤0），当a>0时，条件为Δ<0；当a<0时，条件为Δ>0。

根据恒成立条件的讨论，可以快速判断一元二次不等式的解的范围。

(3) 一元二次不等式的应用题针对一元二次不等式的应用题，需要根据具体问题建立相应的不等式模型，再利用所学的解题方法进行求解，并得出相应的结论。

四、基本不等式的概念及应用1. 基本不等式的定义基本不等式是指在一定条件下成立的不等式，常见的基本不等式有算术平均-几何平均不等式、柯西-施瓦兹不等式等。

高中数学必考知识点二元一次不等式（组）及简单的线性规划问题

⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式（组）及简单的线性规划问题⾼中数学必考知识点:⼆元⼀次不等式(组)及简单的线性规划问题|附习题对于⾼考来临，同学和家长⾮常关⼼数学如何去复习，⾼考数学考的知识点⾮常多，需要考⽣需要考⽣运⽤⼤量⽅法技巧进⾏解决问题，等等这些都增加⾼考数学的难度。

为了能帮助考⽣各个击破⾼考数学知识点，今天肖⽼师就来讲讲如何利⽤⼆元⼀次不等式(组)及简单的线性规划问题相关知识内容。

⼀、⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域(1)不等式组表⽰的平⾯区域的⾯积为________．(2)若不等式组表⽰的平⾯区域是⼀个三⾓形，则a的取值范围是________．规律⽅法：⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域的确定⽅法(1)确定⼆元⼀次不等式(组)表⽰的平⾯区域的⽅法是：“直线定界，特殊点定域”，即先作直线，再取特殊点并代⼊不等式(组)．若满⾜不等式(组)，则不等式(组)表⽰的平⾯区域为直线与特殊点同侧的那部分区域；否则就对应与特殊点异侧的平⾯区域；(2)当不等式中带等号时，边界为实线，不带等号时，边界应画为虚线，特殊点常取原点．　⼆、求线性⽬标函数的最值(范围)线性⽬标函数的最值(范围)问题是每年⾼考的热点，题型多为选择题和填空题，难度为中档题．⾼考对线性⽬标函数最值(范围)问题的考查有以下三个命题⾓度：(1)求线性⽬标函数的最值(范围)；(2)已知线性⽬标函数的最值(范围)求参数值(范围)；(3)求⾮线性⽬标函数的最值(范围)．(1)(2017·⾼考浙江卷)若x，y满⾜约束条件则z＝x＋2y的取值范围是( )A．[0，6] B．[0，4]C．[6，＋∞) D．[4，＋∞)(2015·⾼考⼭东卷)已知x，y满⾜约束条件若z＝ax＋y的最⼤值为4，则a＝( )A．3 B．2C．－2 D．－3规律⽅法：利⽤线性规划求⽬标函数最值的步骤(1)画出约束条件对应的可⾏域；(2)将⽬标函数视为动直线，并将其平移经过可⾏域，找到最优解对应的点；(3)将最优解代⼊⽬标函数，求出最⼤值或最⼩值．[注意]　对于已知⽬标函数的最值，求参数问题，把参数当作已知数，找出最优解代⼊⽬标函数．　⾓度⼀　求线性⽬标函数的最值(范围)(2017·贵阳市监测考试)已知O是坐标原点，若点M(x，y)为平⾯区域上的⼀个动点，则⽬标函数z＝－x＋2y的最⼤值是( )A．0 B．1C．3 D．4⾓度⼆　已知线性⽬标函数的最值(范围)求参数值(范围)(2017·海⼝市调研测试)若x，y满⾜且z＝y－x的最⼩值为－12，则k的值为( )A. B．－C. D．－三、线性规划的实际应⽤(2016·⾼考全国卷⼄)某⾼科技企业⽣产产品A和产品B需要甲、⼄两种新型材料．⽣产⼀件产品A需要甲材料1.5 kg，⼄材料1 kg，⽤5个⼯时；⽣产⼀件产品B需要甲材料0.5 kg，⼄材料0.3 kg，⽤3个⼯时．⽣产⼀件产品A的利润为2 100元，⽣产⼀件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150 kg，⼄材料90 kg，则在不超过600个⼯时的条件下，⽣产产品A、产品B的利润之和的最⼤值为________元．四、数形结合思想求解⾮线性规划问题(2015·⾼考全国卷Ⅰ)若x，y满⾜约束条件则的最⼤值为________．好了，今天⽼师就分享到这⾥了，同学们对于⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式(组)都掌握了吗？本⽂章是根据⾼中数学必考知识点⼆元⼀次不等式(组)解题讲解，或者需要解题技巧⽅法可以给⽼师留⾔，同时⽼师以后继续给⼤家分享关于章节知识点技巧和⼲货习题和视频。

一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用

一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用
contents
目录
• 一元二次不等式 • 线性规划 • 基本不等式 • 一元二次不等式、线性规划、基本不等
式的综合应用
01 一元二次不等式
一元二次不等式的定义与性质
定义
形如ax^2+bx+c>0或 ax^2+bx+c<0的不等式，其中 a≠0。
性质
与一元二次方程具有相同的根的判别式Δ=b^2-4ac，并且不等式的解集与方程的根有密切关系。
一元二次不等式的解法
判别式法
根据Δ的大小，判断不等式的解集。当Δ>0时，不等式有两个实根；当 Δ=0时，不等式有一个重根；当Δ<0 时，不等式无实根。
因式分解法
配方法
将不等式左边进行配方处理，然后根据配方的结果判断不等式的解集。
基本不等式的定义与性质
定义
基本不等式是数学中一个重要的不等式，它反映了两个正数的平方和与它们的平均数的平方之间的关系。
性质
基本不等式具有传递性、加法性质、乘法性质等。
基本不等式的证明
证明方法
利用数学归纳法、反证法、放缩法等证明方法来证明基本不等式。
证明过程
通过对不等式的变形、化简等操作，逐步推导出基本不等式的证明过程。
将不等式左边进行因式分解，然后根据因式的正负判断不等式的解集。
一元二次不等式的应用
解决实际问题
一元二次不等式在解决实际问题中有着广泛的应用，如经济问题、工程问题等。
在数学领域中的应用
一元二次不等式是数学中的基础知识点，对于后续学习其他数学分支有着重要的铺垫作用。
02 线性规划
线性规划的基本概念

高考专题练习：二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题

1．二元一次不等式(组)表示的平面区域满足二元一次不等式(组)的x和y的取值构成的有序数对(x，y)，叫做二元一次不等式(组)的解，所有这样的有序数对(x，y)构成的集合称为二元一次不等式(组)的解集．3．线性规划的有关概念1．画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0，1)或(1，0)来验证．2．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有(1)当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；(2)当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．3．平移规律当b >0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变大，向下平移z 变小；当b <0时，直线z ＝ax ＋by 向上平移z 变小，向下平移z 变大．一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不等式Ax ＋By ＋C >0表示的平面区域一定在直线Ax ＋By ＋C ＝0的上方．( )(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的．( )(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上．( ) (4)在目标函数z ＝ax ＋by (b ≠0)中，z 的几何意义是直线ax ＋by －z ＝0在y 轴上的截距．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区| (1)不会用代点法判断平面区域； (2)不明确目标函数的最值与等值线截距的关系； (3)不理解目标函数的几何意义； (4)对“最优解有无数个”理解有误．1．若点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是__________．解析：因为直线2x －3y ＋6＝0的上方区域可以用不等式2x －3y ＋6＜0表示，所以由点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方得－4－3t ＋6＜0，解得t ＞23.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞2．设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ＋2≥0，x －2≤0，2x －y ＋1≥0.则z ＝x ＋y 的最大值与最小值的比值为________．解析：不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，z ＝x ＋y 可化为y ＝－x ＋z ，当直线y ＝－x ＋z 经过A 点时，z 最大，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝0，2x －y ＋1＝0.得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝5，故A (2，5)，此时z ＝7；当直线y ＝－x ＋z 经过B 点时，z 最小，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2＝0，2x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝－32，y ＝－2，故B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－2，此时z ＝－72，故最大值与最小值的比值为－2.答案：－23．已知x ，y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则z ＝y －1x ＋3的最大值为________．解析：作出可行域如图中阴影部分所示，问题转化为区域上哪一点与点M (－3，1)连线斜率最大，观察知点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，52，使k MA 最大，z max ＝k MA ＝52－1－52＋3＝3.答案：34．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取得最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，所以－a ＝k AB ＝1，所以a ＝－1.答案：－1二元一次不等式(组)表示的平面区域(多维探究) 角度一平面区域的面积不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，3x ＋y ≤4所表示的平面区域的面积等于()A ．32B ．23C ．43D ．34【解析】由题意得不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，43，B (1，1)，C (0，4)，则△ABC 的面积为12×1×83＝43.故选C ．【答案】 C角度二平面区域的形状若不等式组⎩⎨⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是________．【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0表示的平面区域如图所示(阴影部分)．解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，2x ＋y ＝2得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，23；解⎩⎪⎨⎪⎧y ＝0，2x ＋y ＝2得B (1，0)．若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线x ＋y ＝a 中的a 的取值范围是0<a ≤1或a ≥43.【答案】 (0，1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫43，＋∞(1)求平面区域面积的方法①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和．(2)根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案．1．已知约束条件⎩⎨⎧x ≥1，x ＋y －4≤0，kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为( )A ．1B ．－1C ．0D ．－2解析：选A ．作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，当k ＝0时，此三角形的面积为12×3×3＝92≠1，所以不成立，所以k ＞0，则必有BC ⊥AB ，因为x ＋y －4＝0的斜率为－1，所以直线kx －y ＝0的斜率为1，即k ＝1，满足题意，故选A ．2．设不等式组⎩⎨⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域为M ，若直线y ＝kx －2上存在M内的点，则实数k 的取值范围是( )A ．[1，3]B ．(－∞，1]∪[3，＋∞)C ．[2，5]D ．(－∞，2]∪[5，＋∞)解析：选C ．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x －y ≤0，x ＋y ≤4表示的平面区域，如图中阴影部分所示，因为直线l ：y ＝kx －2的图象过定点A (0，－2)，且斜率为k ，由图知，当直线l 过点B (1，3)时，k 取最大值3＋21－0＝5，当直线l 过点C (2，2)时，k 取最小值2＋22－0＝2，故实数k 的取值范围是[2，5]．求目标函数的最值(多维探究) 角度一求线性目标函数的最值(2021·郑州第一次质量预测)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0，则y －2x 的最小值是( ) A ．－1 B ．－6 C ．－10D ．－15【解析】不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －y ≥0，3x ＋y －4≤0表示的平面区域如图中阴影部分所示．令z ＝y －2x ，作出直线y ＝2x ，并平移，当直线z ＝y －2x 过点B (2，－2)时，z 的值最小，最小值为－6，故选B ．【答案】 B(1)求目标函数的最值形如z ＝ax ＋by (b ≠0)的目标函数，可变形为斜截式y ＝－a b x ＋zb (b ≠0)． ①若b >0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最大，在y 轴上截距最小时，z 值最小；②若b <0，当直线过可行域且在y 轴上的截距最大时，z 值最小，在y 轴上的截距最小时，z 值最大．(2)求目标函数最优解的常用方法如果可行域是一个多边形，那么一般在某顶点处使目标函数取得最优解，到底哪个顶点为最优解，可有两种方法判断：①将可行域各顶点的坐标代入目标函数，通过比较各顶点函数值大小即可求得最优解；②将目标函数的直线平移，最先通过或最后通过的顶点便是最优解．角度二求非线性目标函数的最值(范围)实数x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，则z 的取值范围为________；(2)若z ＝x 2＋y 2，则z 的最大值为________，最小值为________．【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2，作出可行域，如图中阴影部分所示．(1)z ＝yx 表示可行域内任一点与坐标原点连线的斜率，因此yx 的取值范围为直线OB 的斜率到直线OA 的斜率(直线OA 的斜率不存在，即z max 不存在)．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，y ＝2，得B (1，2)，所以k OB ＝21＝2，即z min ＝2，所以z 的取值范围是[2，＋∞)．(2)z ＝x 2＋y 2表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方．因此x 2＋y 2的最小值为OA 2，最大值为OB 2. 由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝0，x ＝0，得A (0，1)，所以OA 2＝(02＋12)2＝1，OB 2＝(12＋22)2＝5.【答案】 (1)[2，＋∞) (2)5 1【迁移探究1】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围．解：z ＝y －1x －1可以看作过点P (1，1)及(x ，y )两点的直线的斜率．所以z 的取值范围是(－∞，0]．【迁移探究2】 (变问法)本例条件不变，求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值．解：z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3 ＝(x －1)2＋(y －1)2＋1，而(x －1)2＋(y －1)2表示点P (1，1)与Q (x ，y )的距离的平方PQ 2，PQ 2max ＝(0－1)2＋(2－1)2＝2，PQ 2min ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫|1－1＋1|12＋（－1）22＝12，所以z max ＝2＋1＝3，z min ＝12＋1＝32.常见两类非线性目标函数的几何意义(1)x 2＋y 2表示点(x ，y )与原点(0，0)间的距离，（x －a ）2＋（y －b ）2表示点(x ，y )与点(a ，b )间的距离；(2)yx 表示点(x ，y )与原点(0，0)连线的斜率，y －b x －a 表示点(x ，y )与点(a ，b )连线的斜率．角度三求参数值或取值范围(2021·贵阳市第一学期监测考试)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋2≥y ，x ≤2，y －1≥0，若z＝x ＋ay (a >0)的最大值为10，则a ＝ ( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以A (2，4)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，所以B (2，1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y －1＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，所以C (－1，1)．若(2，4)是最优解，则2＋4a ＝10，a ＝2，经检验符合题意；若(2，1)是最优解，则2＋a ＝10，a ＝8，经检验不符合题意；若(－1，1)是最优解，则－1＋a ＝10，a ＝11，经检验不符合题意．综上所述，a ＝2，故选B ．【答案】 B求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数．1．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a ，目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值为2，则a ＝________．解析：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x ＋2y ≤2，x ≤a 表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋3y ＝0，平移直线2x ＋3y ＝0，显然过A (a ，1－a )时，z ＝2x ＋3y 取得最小值，则2a ＋3(1－a )＝2，解得a ＝1.答案：12．(2021·开封市第一次模拟考试)已知点A (0，2)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．解析：依题意，画出不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≤x 表示的平面区域，如图中阴影部分所示，结合图形可知，|P A |的最小值等于点A (0，2)到直线x －y ＝0的距离，即|0－2|2＝ 2.答案： 23．(2021·湖北八校第一次联考)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ＋3≥0，2x ＋y －5≤0，y ≥1，则z ＝|x－y |的取值范围为________．解析：画出可行域如图中阴影部分所示，z ＝|x －y |＝|x －y |2·2表示可行域内的点(x ，y )到直线x －y ＝0的距离的2倍．作出直线x －y ＝0，由图可得可行域内的点(x ，y )到直线x －y ＝0的距离的最小值为0，最大值为直线2x －y ＋3＝0与2x ＋y －5＝0的交点C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，4到直线x －y ＝0的距离，即724，所以z 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，72线性规划的实际应用(师生共研)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的限量如表所示．如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得的最大利润为( )甲乙原料限量 A /吨 3 2 12 B /吨128A ．16万元 C ．18万元D ．19万元【解析】设该企业每天生产x 吨甲产品，y 吨乙产品，可获得利润为z 万元，则z ＝3x ＋4y ，且x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线3x ＋4y ＝0并平移，可知当直线经过点(2，3)时，z 取得最大值，z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．故选C ．【答案】 C利用线性规划解决实际问题的五步曲某旅行社租用A ，B 两种型号的客车安排900名客人旅行，A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为________元．解析：设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧36x ＋60y ≥900，x ＋y ≤21，y －x ≤7，x ，y ∈N ，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点A (5，12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．答案：36 800[A 级基础练]1．不等式组⎩⎨⎧x －3y ＋6≤0，x －y ＋2>0表示的平面区域是( )解析：选C ．用特殊点代入，比如(0，0)，容易判断为C ． 2．设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax ＋y >4，x －ay ≤2}，则( ) A ．对任意实数a ，(2，1)∈A B ．对任意实数a ，(2，1)∉A C ．当且仅当a <0时，(2，1)∉A D ．当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A解析：选D ．若(2，1)∈A ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1>4，2－a ≤2，解得a >32，所以当且仅当a ≤32时，(2，1)∉A ，故选D ．3．(2020·高考浙江卷)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －3y ＋1≤0，x ＋y －3≥0，则z ＝x ＋2y的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．[4，＋∞)C ．[5，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选B ．画出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x ＋2y ＝0，平移该直线，易知当直线经过点A (2，1)时，z 取得最小值，z min ＝2＋2×1＝4，再数形结合可得z ＝x ＋2y 的取值范围是[4，＋∞)．故选B ．4．若M 为不等式组⎩⎨⎧x ≤0，y ≥0，y －x ≤2表示的平面区域，则当a 从－2 连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域的面积为( )A ．1B ．32C ．34D ．74解析：选D ．在平面直角坐标系中作出区域M 如图中阴影部分所示，当a 从－2连续变化到1时，动直线x ＋y ＝a 扫过M 中的那部分区域为图中的四边形AODE ，所以其面积S ＝S △AOC －S △DEC ＝12×2×2－12×1×12＝74，故选D ．5．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0，若z ＝2x －3y 的最大值为9，则正实数m 的值为( )A ．2B ．3C ．4D ．8解析：选A ．作出x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －m ≥0，x －3≤0表示的可行域如图中阴影部分所示，由图可知z ＝2x －3y 在点A 处取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －m ＝0，x ＝3解得A (3，m －3)，由z max ＝2×3－3(m －3)＝9，解得m ＝2. 故选A ．6．(2021·广州市阶段训练)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧1≤x ≤3，0≤x ＋y ≤2，则z ＝x －2y的最小值为________．解析：依题意，在平面直角坐标系内作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x －2y ＝0，并平移，当平移到经过该平面区域内的点(1，1)时，相应直线在x 轴上的截距最小，此时z ＝x －2y 取得最小值，最小值为－1.答案：－17．(2021·合肥第一次教学检测)已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥y ，x ≤2y ，x ＋y －6≤0，则z ＝2x＋y 取得最大值时的最优解为________．解析：方法一：作不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥y ，x ≤2y ，x ＋y －6≤0表示的平面区域，如图中阴影部分所示，作出直线2x ＋y ＝0，并平移，根据z 的几何意义，很容易看出当直线平移到点B 处时z 取得最大值，联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －6＝0，得B (4，2)．方法二：易知目标函数z ＝2x ＋y 的最大值在交点处取得，只需求出两两相交的三个交点的坐标，代入z ＝2x ＋y ，即可求得最大值．联立⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0为原点，代入可得z ＝0；联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y ，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3，将(3，3)代入可得z ＝9；联立⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋y －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝2，将(4，2)代入可得z ＝10.通过比较可知，z 的最大值为10，故最优解为(4，2)．答案：(4，2)8．(2021·四省八校第二次质量检测)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2≤0，x －2y ＋2≥0，x ＋y ＋1≥0，若－x ＋y ≥－m 2＋4m 恒成立，则实数m 的取值范围为________．解析：设z ＝－x ＋y ，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线－x ＋y ＝0，并平移可知当直线过点B (2，－3)时z 取得最小值，所以z min ＝－5，所以－m 2＋4m ≤－5，m 2－4m －5≥0⇒m ≤－1或m ≥5，所以m 的取值范围为(－∞，－1]∪[5，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[5，＋∞)9.如图所示，已知D 是以点A (4，1)，B (－1，－6)，C (－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．(1)写出表示区域D 的不等式组；(2)设点B (－1，－6)，C (－3，2)在直线4x －3y －a ＝0的异侧，求a 的取值范围．解：(1)直线AB ，AC ，BC 的方程分别为7x －5y －23＝0，x ＋7y －11＝0，4x ＋y ＋10＝0.原点(0，0)在区域D 内，故表示区域D 的不等式组为⎩⎪⎨⎪⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0.(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a ]·[4×(－3)－3×2－a ]<0，即(14－a )(－18－a )<0，解得－18<a <14.故a 的取值范围是(－18，14)．10．已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ＞0，x ＋y ＋1＜0，3x ＋y ＋9＞0，记点(x ，y )对应的平面区域为P .(1)设z ＝y ＋1x ＋3，求z 的取值范围； (2)过点(－5，1)的一束光线，射到x 轴被反射后经过区域P ，当反射光线所在直线l 经过区域P 内的整点(即横纵坐标均是整数的点)时，求直线l 的方程．解：平面区域如图所示(阴影部分)，易得A ，B ，C 三点坐标分别为A (－4，3)，B (－3，0)，C (－1，0)．(1)由z ＝y ＋1x ＋3知z 的值即是定点M (－3，－1)与区域内的点Q (x ，y )连接的直线的斜率，当直线过A (－4，3)时，z ＝－4；当直线过C (－1，0)时，z ＝12.故z 的取值范围是(－∞，－4)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞.(2)过点(－5，1)的光线被x 轴反射后的光线所在直线必经过点(－5，－1)，由题设可得区域内坐标为整数点仅有点(－3，1)，故直线l 的方程是y －1（－1）－1＝x ＋3（－5）＋3，即x －y ＋4＝0.[B 级综合练]11．已知点(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2，目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值范围为( )A ．(－1，2)B ．(－2，1)C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12解析：选B ．作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由z ＝ax ＋y 可得y ＝－ax ＋z ，直线的斜率k ＝－a ，因为k AC ＝2，k AB ＝－1，目标函数z ＝ax ＋y 仅在点A (1，0)处取得最小值，则有k AB <k <k AC ，即－1<－a <2，所以－2<a <1，即实数a 的取值范围是(－2，1)．故选B ．12．若点M (x ，y )满足⎩⎨⎧x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，1≤x ≤2，0≤y ≤2，则x ＋y 的取值集合是( )A ．[1，2＋2]B ．[1，3]C ．[2＋2，4]D ．[1，4]解析：选A ．x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＝1，根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，令z ＝x ＋y ，则y ＝－x ＋z ，根据图象得到当直线过点(1，0)时目标函数取得最小值，为1，当直线和半圆相切时，取得最大值，根据点到直线的距离等于半径得到|2－z |2＝1⇒z ＝2±2，易知2－2不符合题意，故z ＝2＋2，所以x ＋y 的取值范围为[1，2＋2]．故选A ．13．已知点A (2，1)，O 是坐标原点，P (x ，y )的坐标满足⎩⎨⎧2x －y ≤0x －2y ＋3≥0y ≥0，设z ＝OP →·OA→，则z 的最大值是________．解析：方法一：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，作出直线2x ＋y ＝0并平移，可知当直线过点C 时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝0，x －2y ＋3＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即C (1，2)，则z 的最大值是4.方法二：由题意，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知可行域是三角形封闭区域．z ＝OP →·OA →＝2x ＋y ，易知目标函数z ＝2x ＋y 的最大值在顶点处取得，求出三个顶点的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(－3，0)，分别将(0，0)，(1，2)，(－3，0)代入z ＝2x ＋y ，对应z 的值为0，4，－6，故z 的最大值是4.答案：414．某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，需要A ，B ，C 三种主要原料．生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示：原料肥料ABC甲 4 8 3 乙5510现有A 种原料200吨，B 种原料360吨，C 种原料300吨，在此基础上生产甲、乙两种肥料．已知生产1车皮甲种肥料，产生的利润为2万元；生产1车皮乙种肥料，产生的利润为3万元．分别用x ，y 表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数．(1)用x ，y 列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； (2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？并求出此最大利润．解：(1)由已知得，x ，y 满足的数学关系式为⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ≤200，8x ＋5y ≤360，3x ＋10y ≤300，x ≥0，y ≥0.二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分．(2)设利润为z 万元，则目标函数为z ＝2x ＋3y .考虑z ＝2x ＋3y ，将它变形为y ＝－23x ＋z 3，这是斜率为－23，随z 变化的一族平行直线.z 3为直线在y 轴上的截距，当z3取最大值时，z 的值最大．又因为x ，y 满足约束条件，所以由图2可知，当直线z ＝2x ＋3y 经过可行域上的点M 时，截距z3最大，即z 最大．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋5y ＝200，3x ＋10y ＝300，得点M 的坐标为(20，24)．所以z max ＝2×20＋3×24＝112.即生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大，且最大利润为112万元．[C 级提升练]15．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧6x ＋y －1≥0，x －y －3≤0，y ≤0，则z ＝y －ln x 的取值范围为________．解析：作出可行域如图(阴影部分)，其中A (16，0)，B (3，0)，C (47，－177)．由图可知，当y ＝ln x ＋z 过点A (16，0)时z 取得最大值，z max ＝0－ln 16＝ln 6.设y ＝ln x ＋z 的图象与直线y ＝x －3相切于点M (x 0，y 0)，由y ＝ln x ＋z 得y ′＝1x ，令1x 0＝1得x 0＝1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫47，3，故y ＝ln x ＋z 与y ＝x －3切于点M (1，－2)时，z 取得最小值，z min ＝－2－ln 1＝－2.所以z ＝y －ln x 的取值范围为[－2，ln 6]．答案：[－2，ln 6]16．已知点A (53，5)，直线l ：x ＝my ＋n (n ＞0)过点A .若可行域⎩⎨⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0的外接圆的直径为20，则n ＝________．解析：注意到直线l ′：x －3y ＝0也经过点A ，所以点A 为直线l 与l ′的交点．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n ，x －3y ≥0，y ≥0表示的可行域，如图中阴影部分所示．设直线l 的倾斜角为α，则∠ABO ＝π－α. 在△OAB 中，OA ＝（53）2＋52＝10.根据正弦定理，得10sin （π－α）＝20，解得α＝5π6或π6.当α＝5π6时，1m ＝tan 5π6，得m ＝－ 3. 又直线l 过点A (53，5)，所以53＝－3×5＋n ，解得n ＝10 3.当α＝π6时，同理可得m ＝3，n ＝0(舍去)．综上，n ＝10 3. 答案：10 3。

高中数学第三章不等式3二元一次不等式组与简单的线性规划问题第1课时练习含解析人教版必修

第1课时一、选择题1．不在3x ＋2y ＜6表示的平面区域内的点是( ) A ．(0,0) B ．(1,1) C ．(0,2) D ．(2,0)[答案] D[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知，只有(2,0)点不满足3x ＋2y ＜6.2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ＜x x ＋y ≤1y ≥3，表示的区域为D ，点P 1(0，－2)，点P 2(0,0)，则( )A ．P 1∉D ，P 2∉DB ．P 1∉D ，P 2∈DC ．P 1∈D ，P 2∉D D ．P 1∈D ，P 2∈D[答案] A[解析] P 1点不满足y ≥3.P 2点不满足y ＜x .和y ≥3 ∴选A ．3．已知点P (x 0，y 0)和点A (1,2)在直线l ：3x ＋2y －8＝0的异侧，则( ) A ．3x 0＋2y 0>0 B ．3x 0＋2y 0<0 C ．3x 0＋2y 0<8 D ．3x 0＋2y 0>8[答案] D[解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，P 与A 在直线l 异侧，∴3x 0＋2y 0－8>0. 4．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )A ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≥0B ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≤0C ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －2y ＋2≤0D ．⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≤0x －2y ＋2≥0[答案] A[解析] 取原点O (0,0)检验满足x ＋y －1≤0，故异侧点应为x ＋y －1≥0，排除B 、D ．O 点满足x －2y ＋2≥0，排除C ．∴选A ．5．不等式x 2－y 2≥0表示的平面区域是( )[答案] B[解析] 将(±1,0)代入均满足知选B ．6．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5x ＋y ≥00≤x ≤3表示的平面区域是一个( ) A ．三角形 B ．直角梯形 C ．梯形 D ．矩形[答案] C[解析] 画出直线x －y ＋5＝0及x ＋y ＝0，取点(0,1)代入(x －y ＋5)(x ＋y )＝4>0，知点(0,1)在不等式(x －y ＋5)(x ＋y )≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x ＝0和x ＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．二、填空题7．已知x ，y 为非负整数，则满足x ＋y ≤2的点(x ，y )共有________个． [答案] 6[解析] 符合条件的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)共6个． 8．用三条直线x ＋2y ＝2,2x ＋y ＝2，x －y ＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．[答案] ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＜22x ＋y ＞2x －y ＜3三、解答题9．画出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域．[解析] 不等式x ＋y －6≥0表示在直线x ＋y －6＝0上及右上方的点的集合，x －y ≥0表示在直线x －y ＝0上及右下方的点的集合，y ≤3表示在直线y ＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x ＝5左方的点的集合，所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0x －y ≥0y ≤3x ＜5表示的平面区域为如图阴影部分．10．经过点P (0，－1)作直线l ，若直线l 与连结A (1，－2)、B (2,1)的线段总有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析]由题意知直线l 斜率存在，设为k . 则可设直线l 的方程为kx －y －1＝0，由题知：A 、B 两点在直线l 上或在直线l 的两侧，所以有： (k ＋1)(2k －2)≤0 ∴－1≤k ≤1.一、选择题1．在平面直角坐标系中，若点A (－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，则t 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(－1，＋∞)D ．(0,1)[答案] B[解析] 在直线方程x －2y ＋4＝0中，令x ＝－2，则y ＝1，则点P (－2,1)在直线x －2y ＋4＝0上，又点(－2，t )在直线x －2y ＋4＝0的上方，如图知，t 的取值范围是t >1，故选B ．2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1x ＋y ＋1≥0－1≤x ≤4表示的平面区域是( )A ．两个三角形B ．一个三角形C ．梯形D ．等腰梯形[答案] B [解析] 如图∵(x －y ＋1)(x ＋y ＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域．且两直线交于点A (－1,0)．故添加条件－1≤x ≤4后表示的区域如图(2)．3．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0x ＋y ≥0x ≤3表示的平面区域的面积是( )A ．18B ．36C ．72D ．144[解析] 作出平面区域如图．交点A (－3,3)、B (3、9)、C (3，－3)， ∴S △ABC ＝12[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.4．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0ax －y ＋1≥0(a 为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a 的值为( )A ．－5B ．1C ．2D ．3[答案] D[解析] 画出⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0表示的平面区域如图，直线l ：y ＝ax ＋1过定点(0,1)，由于ax －y ＋1≥0与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0x －1≤0围成平面区域的面积为2，∴a >0，令x ＝1得y ＝a ＋1，∴12×(a ＋1)×1＝2，∴a ＝3.5．点P (1，a )到直线x －2y ＋2＝0的距离为355，且P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，则a ＝________.[答案] 3[解析] 由条件知，|1－2a ＋2|5＝355，∴a ＝0或3，又点P 在3x ＋y －3＞0表示的区域内，∴3＋a －3＞0，∴a ＞0，∴a ＝3.6．不等式⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1x －y ＋1≥02x ＋y ＋2≥0表示的平面区域的面积是________．[答案] 6[解析] 作出平面区域如图△ABC ，A (－1,0)、B (1,2)、C (1，－4)，S △ABC ＝12·|BC |·d＝12×6×2＝6. (d 表示A 到直线BC 的距离．)三、解答题7．求由约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤52x ＋y ≤6x ≥0y ≥0确定的平面区域的面积S 和周长C ．[解析] 可行域如图所示，其四个顶点为O (0,0)，B (3,0)，A (0,5)，P (1,4)．过点P 作y 轴的垂线，垂足为C ，则AC ＝1，PC ＝1，OC ＝4，OB ＝3，AP ＝2，PB ＝4－02＋1－32＝25，得周长C ＝AO ＋BO ＋AP ＋PB ＝8＋2＋2 5.∵S △ACP ＝12AC ·PC ＝12，S 梯形COBP ＝12(CP ＋OB )·OC ＝8，∴面积S ＝S △ACP ＋S 梯形COBP ＝172.8．画出不等式(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域．[解析] (x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示x ＋2y ＋1与x －y ＋4的符号相反，因此原不等式等价于两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＞0，x －y ＋4＜0，与⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＋1＜0，x －y ＋4＞0，在同一直角坐标内作出两个不等式组表示的平面区域，就是原不等式表示的平面区域．在直角坐标系中画出直线x ＋2y ＋1＝0与x －y ＋4＝0，(画成虚线)取原点(0,0)可以判断．不等式x ＋2y ＋1＞0表示直线x ＋2y ＋1＝0的右上方区域，x ＋2y ＋1＜0表示直线x ＋2y ＋1＝0的左下方区域；x －y ＋4＜0表示直线x －y ＋4＝0的左上方区域，x －y ＋4＞0表示直线x －y ＋4＝0的右下方区域．所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示．。

一元二次不等式及简单线性规划复习课

例：求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件：
y x x y 1 y 1
y x
目标函数：Z=2x+y
x y 1
y
y 1
x+y=1
y=x
A
Zmin=-3
y=-1
B:(-1,-1) C:(2,-1)
O Bx Cຫໍສະໝຸດ y=-2xZmax=3
步骤缺一不可，按序操作
简单线性规划
解线性规划问题的步骤：
1.画：画出线性约束条件所表示的可行域（实线虚线） (线定边界，特殊点定域)
2.移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线.
3.求：通过解方程组求出最优解（直线与可行域的交点） 4.答：作出答案.
x|x <x<x
1
2
∅
∅
简便运算：相同取两边，相反取中间
ax2＋bx＋c>0
含参不等式的解法
解含参数的一元二次不等式——类题通法 (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0与小于0进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根（确定是否有根），则应对判别式Δ进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论．
一元二次不等式简单线性规划 (复习课)
2020年3月
一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表（以a>0为例）
判别式Δ＝b2－4ac
Δ>0
Δ＝0
Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋
c(a>0)的图象
ax2＋bx＋c>0(a>0) 的解集 x|x<x1或 x>x2}x|x≠－2ba

一元二次不等式的求解方法

一元二次不等式的求解方法一元二次不等式是高中数学中的重要知识点之一，掌握其求解方法对于解决数学题目和实际问题非常重要。

本文将介绍一元二次不等式的基本概念及其求解方法，帮助读者更好地理解和应用这一知识。

一、一元二次不等式的基本概念一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为已知实数，且a≠0。

其解集表示x的取值范围，以使得不等式成立。

解一元二次不等式的关键在于确定x的取值范围。

二、一元二次不等式的求解方法1. 图示法通过绘制一元二次函数的图像，可以直观地得到不等式的解集。

首先，将不等式化为等式ax^2 + bx + c = 0，求解得到方程的根，记为x1和x2。

然后，根据抛物线的凹凸性质和与x轴的交点情况，得到不等式的解集。

- 当a > 0时，抛物线开口向上，解集为x ∈ (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)。

- 当a < 0时，抛物线开口向下，解集为x ∈ (x1, x2)。

2. 辅助函数法通过引入一个辅助函数来求解一元二次不等式。

根据不等式的性质，我们可以构造一个与原不等式等价的辅助方程。

具体步骤如下：- 对于ax^2 + bx + c > 0，构造辅助函数f(x) = ax^2 + bx + c，将不等式转化为f(x) > 0的形式。

- 求解辅助方程f(x) = 0，得到方程的根，记为x1和x2。

- 根据辅助方程的根和函数的凹凸性质，确定不等式的解集。

3. 判别式法判别式法是一种常用的简化计算的方法，适用于某些特定的一元二次不等式。

通过求解方程ax^2 + bx + c = 0，得到判别式D = b^2 - 4ac。

- 当D > 0时，不等式有两个不相等的实根x1和x2，解集为x ∈ (-∞, x1) ∪ (x2, +∞)。

- 当D = 0时，不等式有两个相等的实根x1 = x2，解集为x ∈ (-∞,x1) ∪ (x1, +∞)。

一元二次不等式线性规划基本不等式及其应用教学课件

一元二次不等式线性规划基本不等式及其应用教学课件pptxx年xx月xx日CATALOGUE 目录•引言•一元二次不等式•线性规划•基本不等式•一元二次不等式、线性规划与基本不等式的应用•教学反思与总结01引言课程背景课程名称：一元二次不等式线性规划基本不等式及其应用所属学科：数学教学目标：通过教学，使学生掌握一元二次不等式的解法、线性规划问题的求解方法以及基本不等式的应用技巧，提高学生分析问题和解决问题的能力。

1 2 3掌握一元二次不等式的解法、线性规划问题的求解方法以及基本不等式的应用技巧。

能够熟练运用所学知识解决实际问题，提高分析问题和解决问题的能力。

培养学生的数学思维和科学素养，增强学生的综合素质。

第二部分线性规划问题的求解方法（1课时）第一部分一元二次不等式的解法（1课时）第三部分基本不等式的应用技巧（1课时）第五部分复习与总结（1课时）第四部分课堂练习与讨论（1课时）02一元二次不等式形式：ax²+bx+c>0或ax²+bx+c<0未知数：x系数：a、b、c一元二次不等式的定义图像法根据一元二次函数图像确定不等式的解集公式法利用求根公式计算不等式的解一元二次不等式的解法解决实际问题通过建立一元二次不等式模型解决实际问题数学问题利用一元二次不等式解决数学问题，如最值、最优解等一元二次不等式的应用03线性规划线性规划的定义线性规划是一种数学优化方法，用于在给定一组约束条件下，寻找一组变量的最优解。

线性规划的基本要素包括决策变量、目标函数和约束条件。

线性规划的应用范围线性规划被广泛应用于生产计划、资源分配、货物运输等问题。

线性规划的标准形式将线性规划问题转化为标准形式，是求解线性规划问题的关键步骤。

图解法通过绘制图形，可以直观地得到线性规划问题的最优解。

单纯形法单纯形法是一种高效的数值优化算法，用于求解线性规划问题。

01020303货物运输问题线性规划可以用来确定最优的货物运输方案，以最小化运输成本或最大化运输效率。

【高中数学】不等式与线性规划

回扣5 不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题 (1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3.分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4.基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )当且仅当a ＝b 时取等号. ②a ＋b 2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；②a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立). ③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是( )①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >b c ；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b .A.4B.3C.2D.12.设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为( ) A.M >N B.M <N C.M ＝N D.不能确定3.若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( )A.(－3，0)B.(－∞，－3)C.(－3，0]D.(－∞，－3)∪(0，＋∞)4.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.不等式1x －1≥－1的解集为( )A.(－∞，0]∪[1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪(1，＋∞)D.[0，1)∪(1，＋∞)6.设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为( )A.256B.94C.1D.47.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A.6B.5C.4D.38.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)9.已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.34B.14C.18D.3810.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________.11.已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________.12.变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝______.13.(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________.14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________. 回扣5 不等式与线性规划1.一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间).解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小. 2.一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0. 3.分式不等式f xg x >0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)；f xg x ≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f xg x ≥0≤0，g x ≠0.4.基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )当且仅当a ＝b 时取等号. ②a ＋b2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号.(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； ②a 2＋b 22≥a ＋b2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立).③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立). 5.可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域. 6.线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个.1.不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错.2.解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论.3.应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f xg x≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4.容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x(x <0)时应先转化为正数再求解.5.解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解.6.求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1，1)的距离的平方等.1.下列命题中正确的个数是( )①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >bc；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b.A.4B.3C.2D.1 答案 C解析 ①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d 正确，不等式的同向可加性；②a >b ，c >d ⇒a d >bc错误，反例：若a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝－1，则a d >bc不成立；③a 2>b 2⇔|a |>|b |正确；④a >b ⇔1a <1b 错误，反例：若a ＝2，b ＝－2，则1a <1b不成立.故选C.2.设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为( ) A.M >N B.M <N C.M ＝N D.不能确定答案 A解析 M －N ＝2a (a －2)＋4－(a －1)(a －3)＝a 2＋1>0.故选A. 3.若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是( ) A.(－3，0) B.(－∞，－3) C.(－3，0] D.(－∞，－3)∪(0，＋∞) 答案 C解析由题意可知2kx 2＋kx －38<0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，代入求得－3<k <0，所以实数k 的取值范围是(－3，0].4.(2016·四川)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的( ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案 A解析如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2，①表示圆心为(1，1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，②表示△ABC 内部区域的所有点(包括边界).实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立.则p 是q 的必要不充分条件.故选A.5.不等式1x －1≥－1的解集为( )A.(－∞，0]∪[1，＋∞)B.[0，＋∞)C.(－∞，0]∪(1，＋∞)D.[0，1)∪(1，＋∞)答案 C解析由题意得，1x －1≥－1⇒1x －1＋1＝xx －1≥0，解得x ≤0或x >1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)，故选C.6.设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b的最小值为( )A.256B.94 C.1 D.4 答案 B解析不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z ＝ax ＋by 过点(8，10)时取最大值，即8a ＋10b ＝40，4a ＋5b ＝20，从而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝120(25＋4a b ＋25b a )≥120(25＋24a b ×25b a )＝94，当且仅当2a ＝5b 时取等号，因此5a ＋1b 的最小值为94，故选B.7.已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于( )A.6B.5C.4D.3 答案 B解析作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，得y ＝x －z ，及当z ＝－1时，函数y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2，3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝ 5.8.在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k x －1－1表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是( ) A.(－∞，－1) B.(1，＋∞)C.(－1，1)D.(－∞，－1)∪(1，＋∞)答案 A解析易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示.当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1).9.已知实数x ∈[－1，1]，y ∈[0，2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为( )A.34B.14C.18D.38 答案 D解析不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×(2－12)×(1＋1)＝32，则所求的概率为38，故选D.10.函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n的最小值为________.答案 8解析由已知可得定点A (－2，－1)，代入直线方程可得2m ＋n ＝1，从而1m ＋2n ＝(1m＋2n)(2m ＋n )＝n m＋4mn＋4≥2n m ·4m n＋4＝8.当且仅当n ＝2m 时取等号.11.已知ab ＝14，a ，b ∈(0，1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________.答案 4＋423解析因为ab ＝14，所以b ＝14a ，则11－a ＋21－b ＝11－a ＋21－14a＝11－a ＋8a 4a －1＝11－a ＋24a －1＋24a －1 ＝11－a ＋24a －1＋2 ＝2(14a －1＋24－4a)＋2 ＝23(14a －1＋24－4a)[(4a －1)＋(4－4a )]＋2 ＝23[3＋4－4a 4a －1＋24a －14－4a]＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423(当且仅当4－4a 4a －1＝24a －14－4a ，即a ＝32－24时，取等号). 12.变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝______.答案 1 解析由可行域知，直线2x －y ＝2必过直线x －2y ＋2＝0与mx －y ＝0的交点，即直线mx －y ＝0必过直线x －2y ＋2＝0与2x －y ＝2的交点(2，2)，所以m ＝1.13.(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________.答案－2 解析令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z 2.当在y 轴上截距最小时，z 最大.即过点(0，1)时，z 取最大值，z ＝0－2×1＝－2.14.已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________.答案 [－1，92] 解析作出可行域，如图△ABC 内部(含边界)，y －6x －5表示可行域内点(x ，y )与P (5，6)连线斜率，k PA ＝8－63－5＝－1，k PC ＝－3－63－5＝92，所以－1≤y －6x －5≤92.。

高考数学考点知识专题讲解与练习45---一元二次不等式在实际问题中的应用

高考数学考点知识专题讲解与练习一元二次不等式在实际问题中的应用学习目标 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义.2.能够构建一元二次函数模型，解决实际问题．知识点用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1．理解题意，搞清量与量之间的关系；2．建立相应的不等关系，把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题． 3．解决这个一元二次不等式，得到实际问题的解．预习小测自我检验1．不等式1＋x1－x ≥0的解集为________．答案 {x |－1≤x <1}解析原不等式⇔⎩⎨⎧(x ＋1)(x －1)≤0，x －1≠0，∴－1≤x <1.2．不等式1x ≤1的解集为________．答案 {x |x ≥1或x <0} 解析 ∵1x ≤1，∴x －1x ≥0，∴⎩⎨⎧x (x －1)≥0，x ≠0，∴x ≥1或x <0. 3．若产品的总成本y (万元)与产量x (台)之间的函数关系式是y ＝3 000＋20x －0.1x 2(0<x <240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是________ 台．答案 150解析 y －25x ＝－0.1x 2－5x ＋3 000≤0，即x 2＋50x －30 000≥0，解得x ≥150或x ≤－200(舍去)．4．某商品在最近30天内的价格y 1与时间t (单位：天)的函数关系是y 1＝t ＋10(0<t ≤30，t ∈N )；销售量y 2与时间t 的函数关系是y 2＝－t ＋35(0<t ≤30，t ∈N )，使这种商品日销售金额不小于500元的t 的范围是________________．答案 {t |10≤t ≤15，t ∈N }解析日销售金额＝(t ＋10)(－t ＋35)，依题意有(t ＋10)(－t ＋35)≥500，解得解集为{t |10≤t ≤15，t ∈N }．一、分式不等式的解法例1 解下列不等式： (1)2x －5x ＋4<0； (2)x ＋12x －3≤1. 解 (1)2x －5x ＋4<0⇔(2x －5)(x ＋4)<0⇔－4<x <52，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－4<x <52. (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3－1≤0， ∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32≥0. 此不等式等价于(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≥0且x －32≠0，解得x <32或x ≥4，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <32或x ≥4. 反思感悟分式不等式的解法：先通过移项、通分整理，再化成整式不等式来解．如果能判断出分母的正负，直接去分母即可．跟踪训练1 解下列不等式： (1)2x －13x ＋1≥0；(2)2－xx ＋3>1. 解 (1)原不等式可化为⎩⎨⎧(2x －1)(3x ＋1)≥0，3x ＋1≠0.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－13或x ≥12，x ≠－13，∴x <－13或x ≥12，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <－13或x ≥12. (2)方法一原不等式可化为⎩⎨⎧ x ＋3>0，2－x >x ＋3或⎩⎨⎧x ＋3<0，2－x <x ＋3. 解得⎩⎪⎨⎪⎧x >－3，x <－12或⎩⎪⎨⎪⎧x <－3，x >－12，∴－3<x <－12，∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <－12. 方法二原不等式可化为(2－x )－(x ＋3)x ＋3>0，化简得－2x －1x ＋3>0，即2x ＋1x ＋3<0，∴(2x ＋1)(x ＋3)<0，解得－3<x <－12.∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <－12. 二、一元二次不等式的实际应用例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担．政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x >0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点． (1)写出降税后税收y (万元)与x 的关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解 (1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)万元．依题意得y ＝200a (1＋2x %)(10－x )%＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)．(2)原计划税收为200a ×10%＝20a (万元)．依题意得150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0，解得－42≤x ≤2. 又因为0<x <10，所以0<x ≤2.即x 的取值范围为{x |0<x ≤2}．反思感悟解不等式应用题的步骤跟踪训练2 北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估．该商品原来每件售价为25元，年销售8万件．(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？(2)为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入x5万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品改革后的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？解 (1)设每件定价为t 元，依题意得⎝ ⎛⎭⎪⎫8－t －251×0.2t ≥25×8，整理得t 2－65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40.所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意得当x >25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋x5有解，等价于当x >25时，a ≥150x ＋x 6＋15有解．由于150x ＋x 6≥2150x ·x 6＝10，当且仅当150x ＝x 6，即x ＝30时等号成立，所以a ≥10.2.故当该商品改革后的销售量a 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元．不等式恒成立问题典例 (1)若对∀x ∈R 不等式x 2＋mx >4x ＋m －4恒成立，求实数m 的取值范围； (2)若x 2>4x ＋m －4在R 上恒成立，求m 的取值范围．解 (1)原不等式可化为x 2＋(m －4)x ＋4－m >0， ∴Δ＝(m －4)2－4(4－m )＝m 2－4m <0， ∴0<m <4，∴m 的取值范围为{m |0<m <4}．(2)原不等式可化为x 2－4x ＋4＝(x －2)2>m 恒成立， ∴m <0，∴m 的取值范围为{m |m <0}．[素养提升]一元二次不等式恒成立的情况： ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a >0，Δ<0.ax 2＋bx ＋c ≤0(a ≠0)恒成立⇔⎩⎨⎧a <0，Δ≤0.1．不等式x －1x －2≥0的解集为( )A ．{x |1≤x ≤2}B ．{x |x ≤1或x ≥2}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |x >2或x ≤1} 答案 D解析由题意可知，不等式等价于⎩⎨⎧(x －1)(x －2)≥0，x －2≠0，∴x >2或x ≤1.故选D.2．不等式3x ＋1≥1的解集是( )A ．{x |x <－1或－1<x ≤2}B ．{x |－1≤x ≤2}C ．{x |x ≤2}D ．{x |－1<x ≤2} 答案 D 解析 ∵3x ＋1≥1，∴3x ＋1－1≥0，∴3－x －1x ＋1≥0，即x －2x ＋1≤0，等价于(x －2)(x ＋1)<0或x －2＝0，故－1<x ≤2.3．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间答案 C解析设售价定为每件x 元，利润为y ，则y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有(x －8)[100－10(x －10)]>320，即x 2－28x ＋192<0，解得12<x <16，所以每件售价应定为12元到16元之间．4．若实数a ，b 满足a ＋b <0，则不等式x ＋ab －x <0的解集为__________．答案 {x |x >－a 或x 0. 又a ＋b <0，所以b <－a .所以原不等式的解集为{x |x >－a 或x <b }．5．某地每年销售木材约20万m 3，每立方米的价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定按销售收入的t %征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t 万m 3，为了既减少了木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t 的取值范围是________．答案 {t |3≤t ≤5}解析设按销售收入的t %征收木材税时，税金收入为y 万元，则y ＝2 400⎝ ⎛⎭⎪⎫20－52t ×t %＝60(8t －t 2)．令y ≥900，即60(8t －t 2)≥900，解得3≤t ≤5.1．知识清单：(1)简单的分式不等式的解法(2)利用不等式解决实际问题的一般步骤如下： ①选取合适的字母表示题目中的未知数；②由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式(组)； ③求解所列出的不等式(组)； ④结合题目的实际意义确定答案． 2．方法归纳：转化、恒等变形．3．常见误区：利用一元二次不等式解决实际问题时，应注意实际意义．1．不等式3x －12－x≥1的解集是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x ≤2 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x <2 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >2或x ≤34 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥34答案 B 解析不等式3x －12－x ≥1，移项得3x －12－x－1≥0，即x －34x －2≤0，可化为⎩⎪⎨⎪⎧x －34≥0，x －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧x －34≤0，x －2>0，解得34≤x <2，则原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪34≤x <2，故选B.2．与不等式x －32－x ≥0同解的不等式是( )A ．(x －3)(2－x )≥0B ．0<x －2≤1 C.2－x x －3≥0 D ．(x －3)(2－x )>0 答案 B 解析解不等式x －32－x≥0，得2<x ≤3， A ．不等式(x －3)(2－x )≥0的解是2≤x ≤3，故不正确． B ．不等式0<x －2≤1的解是2<x ≤3，故正确． C ．不等式2－xx －3≥0的解是2≤x <3，故不正确．D ．不等式(x －3)(2－x )>0的解是2<x <3，故不正确．故选B.3．若关于x 的不等式ax －b >0的解集为{x |x >1}，则关于x 的不等式ax ＋bx －2>0的解集为( )A ．{x |x >1或x <－2}B ．{x |1<x <2}C ．{x |x >2或x <－1}D ．{x |－1<x <2}答案 C解析x＝1为ax－b＝0的根，∴a－b＝0，即a＝b，∵ax－b>0的解集为{x|x>1}，∴a>0，故ax＋bx－2＝a(x＋1)x－2>0，等价为(x＋1)(x－2)>0.∴x>2或x<－1.4．已知不等式－x2＋4x≥a2－3a在R上有解，则实数a的取值范围为()A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4}C．{a|a≥4或a≤－1} D．{a|－4≤a≤1}答案 A解析由题意知，原不等式可化为－(x－2)2＋4≥a2－3a在R上有解，∴a2－3a≤4，即(a－4)(a＋1)≤0，∴－1≤a≤4，故选A.5．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入．则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是() A．{x|10≤x<16} B．{x|12≤x<18}C．{x|15<x<20} D．{x|10≤x<20}答案 C解析设这批台灯的销售单价为x元，则[30－(x－15)×2]x>400，即x 2－30x ＋200<0，∴10<x <20，又∵x >15，∴15<x <20.故选C.6．若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |－1<x <2}，则不等式2a ＋b x ＋c >bx 的解集为________．答案 {x |x <0}解析由题意知，－1,2为ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，∴⎩⎨⎧b ＝－a ，c ＝－2a且a <0， ∴不等式2a ＋b x ＋c >bx 可化为a x －2a >－ax ，∵a <0，即1x －2<－x ，即(x －1)2x <0，∴x <0.7．现有含盐7%的食盐水200克，生产含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x 克，则x 的取值范围是________．答案 {x |100<x <400}解析 5%<x ·4%＋200·7%x ＋200<6%，解得x 的取值范围是{x |100<x <400}．8．某种汽车在水泥路面上的刹车距离(刹车距离是指汽车刹车后由于惯性往前滑行的距离)s m 和汽车车速x km/h 有如下关系：s ＝118x ＋1180x 2.在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离不小于40 m ，那么这辆汽车刹车前的车速不低于________ km/h.答案 80解析根据题意，得118x ＋1180x 2≥40.移项整理，得x 2＋10x －7 200≥0.显然Δ>0，x 2＋10x －7 200＝0有两个实数根，即x 1＝80，x 2＝－90，然后，根据二次函数y ＝x 2＋10x －7 200的图象(图略)，得不等式的解集为{x |x ≤－90或x ≥80}．在这个实际问题中，x >0，所以这辆汽车刹车前的车速不低于80 km/h.9．解关于x 的不等式a －x x ＋1>0(a ∈R )．解原不等式可化为x －a x ＋1<0，即(x ＋1)(x －a )<0，①当a ＝－1时，x ∈∅；②当a >－1时，{x |－1<x <a }；③当a <－1时，{x |a <x <－1}．综上，a ＝－1时，不等式的解集为∅，a >－1时，不等式的解集为{x |－1<x <a }，a <－1时，不等式的解集为{x |a <x <－1}．10．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解 (1)由题意得y ＝[12(1＋0.75x )－10(1＋x )]×10 000×(1＋0.6x )(0<x <1)，整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎨⎧ y －(12－10)×10 000>0，0<x <1，即⎩⎨⎧ －6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0<x <13，所以投入成本增加的比例x 应在0<x <13的范围内．11．不等式x 2－x －2x －2>0的解集为( )A ．{x |x >－1且x ≠2}B ．{x |x >－1}C ．{x |－1<x <2}D ．{x |x <－1或x >2}答案 A解析原不等式可化为(x －2)(x ＋1)x －2>0⇒⎩⎨⎧x ＋1>0，x －2≠0，∴x >－1且x ≠2.故选A. 12．若a >0，b >0，则不等式－b <1x <a 的解集为() A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1b 或x >1aB.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1a <x <1b C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1a 或x >1b D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －1b <x <0或0<x <1a 答案 A解析原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧1x >－b ，1x <a ，即⎩⎪⎨⎪⎧ bx ＋1x >0，ax －1x >0，可得⎩⎪⎨⎪⎧ x <－1b 或x >0，x <0或x >1a ，故不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <－1b 或x >1a . 13．不等式x 2－2x －2x 2＋x ＋1<2的解集为( ) A ．{x |x ≠－2} B ．RC ．∅D ．{x |x <－2或x >2}答案 A解析∵x 2＋x ＋1>0恒成立，∴原不等式⇔x 2－2x －2<2x 2＋2x ＋2⇔x 2＋4x ＋4>0⇔(x ＋2)2>0，∴x ≠－2.∴不等式的解集为{x |x ≠－2}．14．在一个限速40 km /h 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了．事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m．又知甲、乙两种车型的刹车距离s m与车速x km/h之间分别有如下关系：s甲＝0.1x＋0.01x2，s乙＝0.05x＋0.005x2.这次事故的主要责任方为________．答案乙车解析由题意列出不等式s甲＝0.1x＋0.01x2>12，s乙＝0.05x＋0.005x2>10.分别求解，得x甲<－40或x甲>30.x乙<－50或x乙>40.由于x>0，从而得x甲>30 km/h，x乙>40 km/h.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．15．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，六月份的销售额为500万元，七月份的销售额比六月份增加x%，八月份的销售额比七月份增加x%，九、十月份的销售总额与七、八月份的销售总额相等，若一月份至十月份的销售总额至少为7 000万元，则x 的最小值为________．答案20解析由题意得七月份的销售额为500(1＋x%)万元，八月份的销售额为500(1＋x%)2万元，记一月份至十月份的销售总额为y万元，则y＝3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，解得1＋x%≤－115(舍去)或1＋x%≥65，即x%≥20%，所以x min＝20.16．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售的商品要征收附加税．为了既增加国家收入，又有利于市场活跃，必须合理确定征收的税率．据市场调查，若政府对商品M 征收的税率为P %(即每百元征收P 元)时，每年的销售量减少10P 万件，据此，问：(1)若税务部门对商品M 每年所收税金不少于96万元，求P 的取值范围；(2)在所收税金不少于96万元的前提下，要让厂家获得最大的销售金额，应如何确定P 值；(3)若仅考虑每年税收金额最高，又应如何确定P 值．解税率为P %时，销售量为(80－10P )万件，即销售额为y 1＝80(80－10P )，税金为y 2＝80(80－10P )·P %，其中0<P <8.(1)由⎩⎨⎧80(80－10P )·P %≥96，0<P <8，解得2≤P ≤6.(2)∵y 1＝80(80－10P )(2≤P ≤6)，∴当P ＝2时，y 1取最大值，为4 800万元．(3)∵0<P <8，y 2＝80(80－10P )·P %＝－8(P －4)2＋128，∴当P ＝4时，国家所得税收金额最高为128万元．。

1513一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用

[点评] 解含字母参数的不等式时要分类讨论求解．当二次项系数中含有字母时要分二次项系数大于 0、等于 0、小于 0 进行讨论．二次项系数的正、负对不等号的方向和不等式的解集均有影响．其次，对相应方程根的大小进行讨论．最后结合相应的二次函数的图象求得不等式的解集．
第29页
数学（理）新课标·高考二轮总复
第12页
数学（理）新课标·高考二轮总复
6．当高次不等式在进行因式分解出现有些因式是幂指数形式即 m(x－x1)a1(x－x2)a2…(x－xn)an>0(或<0)时，我们在标根时需要看幂值的奇、偶．当幂值为奇数时，我们仍然按 1 次幂进行穿轴，当幂值是偶数时，不穿轴，故得口诀“奇穿偶不穿”．
本题的难点是不等式对应方程的判别式符号不确定需要根据一元二次不等式的解集与判别式符号的对应关系进行分类讨论这个对应关系是为方程ax数学理新课标高考二轮总复习数学理新课标高考二轮总复习类型二三个二次的综合问题22不等式11上恒成立求数学理新课标高考二轮总复习数学理新课标高考二轮总复习数学理新课标高考二轮总复习不是方程4x处有极值必须使4x是唯一的极值
第35页
数学（理）新课标·高考二轮总复
[解] (1)f′(x)＝4x3＋3ax2＋4x＝x(4x2＋3ax＋4)．当 a＝－130时， f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
5．简单的一元高次不等式采用标根法(或叫标区间法、穿根法)求解，其一般步骤为：
(1)将 f(x)的最高次项的系数化为正数； (2)将 f(x)分解为若干个一次因式的积； (3)将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线； (4)根据曲线显现出的 f(x)值的符号变化规律，写出不等式的解集．

考点巩固卷02 一元二次不等式及基本不等式(10大考点)(学生版) 2025年高考数学一轮复习考点

考点巩固卷02 一元二次不等式及基本不等式（十大考点）考点01：一元二次不等式与二次函数①20ax bx c ++>意味着c bx ax y ++=2中0>y 部分，②02<++c bx ax 意味着c bx ax y ++=2中0<y 部分，处理技巧：))((212x x x x a c bx ax --=++，求出两个根1x ，2x ；根据图像可知：开口向上时，大于取两边，小于取中间，开口向下时，大于取中间，小于取两边.注意：处理此题时，主要确定a 的正负及快速画出图象1．设集合(){}2log 52A x x =+³，{}2450B x x x =+-£，则A B =I （）A ．{}11x x -££B ．{}15x x -££C ．{}10x x -£<D ．{}15x x ££2．已知2:230p x x +-<，2:20q x x +-<，则p 是q 的（）条件A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．已知全集{}06I x x =∣……，集合{}2560M x I x x =Î-+∣…，则I M =ð（）A ．[]2,3B ．()2,3C ．[]1,6D ．()1,64．已知集合{}2430,{1}A x x x B x x a =-+<=<<∣∣，且A B Í，则实数a 的取值范围为（）A ．{13}aa <<∣B ．{13}aa <£∣C ．{}3aa ³∣D ．{3}aa >∣5．设集合{}{}26,,A x x x B xy x A y A =-£=ÎÎ∣∣，则（）A ．A B B=I B ．Z B Ç的元素个数为16C ．A B BÈ=D ．A Z I 的子集个数为646．已知集合2{|3},{|30},M x x N x x x =<=-³则（）A ．M N Ç=ÆB ．M N È=RC ．R M NÍðD ．R ()(0,)M N =+¥I ð7．已知集合{}2|230,A x x x x =--£ÎR ，集合{log 1,0,a B x x a =>且}1a ¹，若A B Ç=Æ，则a 的取值范围是.8．已知集合2{|560}M x x x =-+£，1{|cos }2N x x =<-，则M N Ç=.考点02：一元二次不等式韦达定理已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为),(n m ，解关于x 的不等式02>++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为),(n m ，得:011(2>++c x bxa 的解集为)1,1(mn ，即关于x 的不等式02>++a bx cx 的解集为)1,1(mn ．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为),(n m ，解关于x 的不等式02£++a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为),(n m ，得:01)1(2£++c x b xa 的解集为),1[]1,(+¥-¥mn 即关于x 的不等式02£++a bx cx 的解集为),1[]1,(+¥-¥mn ．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为),(n m ，解关于x 的不等式02>+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为),(n m ，得:011(2>+-c x bxa 的解集为)1,1(nm --即关于x 的不等式02>+-a bx cx 的解集为1,1(nm --．已知关于x 的不等式02>++c bx ax 的解集为),(n m ，解关于x 的不等式02£+-a bx cx ．由02>++c bx ax 的解集为),(n m ，得:011(2£+-c x b xa 的解集为),1[]1,(+¥---¥nm 即关于x 的不等式02£+-a bx cx 的解集为),1[]1,(+¥---¥nm ， 9．若关于x 的不等式()2220x a x a ---<的解集中，恰有3个整数，则实数a 的取值集合是（）A ．{56}aa <£∣B ．{65}aa -£<-∣C ．{21aa -<£-∣或56}a £<D ．{65aa -£<-∣或12}a <£10．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为()1,5-，其中a ，b ，c 为常数，则不等式20cx bx a ++£的解集是（）A ．11,5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．1,15⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[)1,1,5æ⎤-¥-È+¥ç⎥è⎦D ．(]1,1,5⎡ö-¥-È+¥÷⎢⎣ø11．关于x 的不等式260x ax a --<的解集是{|}x m x n <<，且5n m -£，则实数a 的取值范围（）A ．[)25,24--B ．(]01，C ．()()25,2401--È，D ．[)(]25,2401--È，12．不等式()()2110,R ax a x a +--<Î的解集不可能是（）A ．11x x a ìü-<<íýîþ∣B ．{}1xx ¹-∣C ．{1}x x >-∣D ．R13．若关于x 的不等式0ax b ->的解集是(),1-¥-，则关于x 的不等式20+>ax bx 的解集为（）A ．()(),01,-¥È+¥B ．()(),10,-¥-È+¥C ．()1,0-D ．()0,114．已知不等式20ax bx c ++>的解集为12{|}x x x x <<且1>0x ，则不等式20cx bx a ++>的解集为（）A ．12{|}x x x x <或1}x x <C ．2111{|}x x x x <<D ．11{|x x x >或21}x x <15．若关于x 的不等式220ax bx ++<的解集为(1,2)，则关于x 的不等式220bx ax ++<的解集为（）A ．(1,2)B ．(1)(2),,¥-+¥ C ．213,æö-ç÷èøD ．()13,,2æö-¥-È+¥ç÷èø16．已知不等式210ax bx --³的解集是11,23⎡⎤--⎢⎣⎦，则不等式20x bx a --<的解集是（）A ．()2,3B ．()(),23,-¥È+¥C ．11,32æöç÷èøD ．11,,32¥¥æöæö--È+ç÷ç÷èøèø17．不等式20ax bx c ++>的解集为{}32x x -<<，则下列选项正确的为（）A ．0a b c ++C ．不等式20cx ax b ++>的解集为1132x x ìü-<<íýîþD ．不等式20cx bx a ++>的解集为12x x ì>íî或13x ü<-ýþ18．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{}|12x x <<，求关于x 的不等式20bx ax c ++<的解集（）A ．225x x ìüíýîþ|<C ．2|13x x ìü-<<íýîþD ．2|5x x ì<-íî或}2x >19．若关于x 的不等式20ax bx c -+>的解集为{}12M x x =-<<，则下列选项正确的是（）A ．不等式20ax bx c ++>的解集是{}21x x -<的解集为N ，则M NÍ20．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{2x x <-或}3x >，则下列说法正确的是（）A ．0a >B ．关于x 的不等式0bx c +>的解集是{}6x x <-C ．0a b c ++>D ．关于x 的不等式20cx bx a -+<的解集为13x x ì<-íî或12x ü>ýþ21．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++³的解集为{2x x £-或1x ³}，则（）A ．0b >且0c 的解集为{}2x x >D ．不等式20cx bx a -+<的解集为112x x ìü-<<íýîþ22．已知关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为{3xx <-∣，或2}x >，则（）A ．0a >B ．不等式0bx c +>的解集是{6}xx <-∣C ．0a b c ++>D ．不等式20cx bx a -+<的解集是12x x ì<-íî，或13x ü>ýþ23．不等式20ax bx c ++>的解集是(1,2)，则不等式20cx bx a ++>的解集是（用集合表示）．24．若不等式20ax bx c ++>的解集为{23}x x -<<∣，那么不等式()()2112a x b x c ax ++-+>的解集为．考点03：含参、乘除的等价穿根法①若0)()(<x g x f ，则)(x f 与)(x g 异号，0)()(<∴x g x f ．②若0)()(£x g x f ，则)(x f 与)(x g 异号，0)()(£∴x g x f ，且0)(¹x g ．③若0)()(>x g x f ，则()()f x g x 与同号，0)()(>∴x g x f ．④若0)()(³x g x f ，则()()f x g x 与同号，0)()(³∴x g x f ，且0)(¹x g ．数轴穿根法0))...()(()(21>---=n x x x x x x x f 或0))...()(()(21<---=n x x x x x x x f口诀：高系为正上穿下，右穿左，奇穿偶回上为正.25．已知集合{}30,e 1x x A xB y y x ìü-=£==íý+îþ，则A B =I （）A ．()1,-+¥B ．[)1,-+¥C ．(]0,3D ．[)0,326．已知集合{}22,1,1,2,01x A B xx ìü+=--=£íý-îþ，则A B Ç中元素的个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．427．不等式32023x x -<+的解集是（）A ．2332x x ìü-<<íýîþB ．3223x x ìü-<<íýîþC ．2{|3x x <-或3}2x >D ．3{|2x x <-或2}3x >28．“2112x x -£+”是“1522x -£”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件29．已知101mx A xmx ìü+=£íý-îþ，若2A Î，则m 的取值范围是（）A ．1122m -£D ．12m £-或12m ³30．若关于x 的不等式{}20xx px q ++<∣的解集是{12}x x -<<∣，关于x 的不等式2120x px x q +->+的解集是（）A ．()()3,24,¥--È+B ．()()3,24,¥-È+C ．()()3,02,4-ÈD ．()(),23,4¥--È31．(){}2|log 32A x x =Î-£N ， 307x B xx ìü-=£íý-îþ，则A B =I .32．不等式(1)(2)04x x x +-³+的解集为.33．若关于x 的不等式320ax bx cx ++>的解集为()()2,01,-È+¥，则bc= ．34．已知全集U =R ，集合3121x A xx ìü+=<íý-îþ，{}213B x m x m =-<<+.(1)若A B B =I ，求实数m 的取值范围；(2)若A B =R R ð，求实数m 的取值范围.35．已知全集U =R ，集合3121x A xx +ìü=<íý-îþ∣，{213}B x m x m =-<<+∣.(1)若A B B =I ，求实数m 的取值范围；(2)若A B È¹R ，求实数m 的取值范围.36．已知集合3{|0}4x A x x -=<-，集合()(){}50B x x a x =--，(1)求集合B （用区间表示）(2)若A B Í，求实数a 的取值范围；37．已知关于x 的不等式21023ax x x ->+-.(1)若1a =-，求不等式的解集；(2)若0a ³，求不等式的解集.考点04：对勾函数解决最值问题对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如bx ax x f +=)(当b a ,同号时，顶点坐标为：)2,(ab a b 和)2,(ab ab --注意：对勾函数解决中间项带参数问题.38、若不等式210x ax ++³对于一切10,2x æ⎤Îç⎥è⎦恒成立，则a 的最小值是（）A ．0B ．2-C ．52-D ．3-39、若不等式210x ax -+³对一切[2,)x Î+¥恒成立，则实数a 的最大值为（）A ．0B ．2C ．52D ．340、已知函数()221f x x ax =-+对任意(]0,2x Î恒有()0f x ³成立，则实数a 的取值范围是（）A ．51,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．(],1-¥D ．5,4æ⎤-¥ç⎥è⎦考点05：定动区间定动轴针对此类题目应遵循以下步骤第一步：快速画出三个图象（谁定先画谁，然后左中右）第二步：分别写出三个图象的约束条件从而求参数范围.41．对任意[]1,2x Î，不等式2230ax x a -+<恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．æ-¥ççèB ．4,7æö-¥ç÷èøC ．4,7æö+¥ç÷èøD ．1,2æö-¥ç÷èø42．对任意的()0,x Î+¥，2210x mx -+>恒成立，则m 的取值范围为（）A ．[)1,+¥B ．()1,1-C ．(],1-¥D ．(),1-¥43．若对于任意[]1,2x Î，不等式220m x +-£恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．1m £-B ．0m £C ．1m £D ．m £44．当()1,1x Î-时，不等式23208kx kx --<恒成立，则k 的取值范围是（）A ．()3,0-B ．[)3,0-C ．13,8æö-ç÷èøD ．13,8æ⎤-ç⎥è⎦45．若不等式240x ax -+³对任意[]1,3x Î恒成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[]0,4B ．(],4¥-C ．13,3¥æ⎤-ç⎥è⎦D ．(],5-¥46．已知函数2()2f x ax x a =-+，对1,22x ⎡⎤Î⎢⎥⎣⎦都有()0f x ³成立，则实数a 的取值范围是（）A ．[)1,¥+B ．4,5¥⎡ö+÷⎢⎣øC ．4,15⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4,5¥æ⎤-ç⎥è⎦47．命题“[]21,3,30x x a "Î-£”为真命题的一个充分不必要条件是（）A ．3a ³B ．2a ³C ．5a £D ．5a ³48．命题：“[]04x $Î,使得不等式2230x x a --+³成立”是真命题，则实数a 的取值范围是（）A ．{}|4a a £-B ．{}4|a a ³C ．{}|5a a ³-D ．{}|3a a ³49．若命题“2000,20x x x m $Î-+<R ”为真命题，则实数m 的取值范围是（）A ．(,1)-¥B ．(,1]-¥C ．(0,1)D ．(1,)+¥50．若关于x 的不等式240x ax -+>在()2,4上有实数解，则a 的取值范围是（）A ．(),5-¥B ．(],5-¥C ．(),4-¥D ．()2,451．若关于x 的不等式()2190x m x -++£在[]1,4上有解，则实数m 的最小值为（）A ．9B ．5C ．6D ．21452．若关于x 的不等式23(2)30x a x -+->在区间1,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦内有解，则a 的取值范围是（）A ．510,2æö-ç÷èøB ．(,10)-¥-C ．(,2)-¥-D ．5,2æö-¥ç÷èø53．已知函数()25ln f x x x a x =-+在()4,5上存在递减区间，则实数a 的取值范围为．54．关于x 的不等式()210x a x a -++<的解集中至多包含1个整数，写出满足条件的一个a 的取值范围 .考点06：利用不等式性质比较大小思路1：核心技巧：应用不等式的性质时，注意保序和反序如：①不等式两边同时乘以非负需要保序 ②不等式两边同时非负方需要保序③不等式两边同时乘以负数需要反序 ④同号取倒反序④同向不等式具有可加性，同向同正不等式具有可乘性思路2：可以代值验证选项，有时需要代多组数据，相对麻烦，本人不推荐55．若,0a b >，则使“a b >”成立的一个充分条件可以是（）A ．11a b-C ．22a b b a ab +>+D ．()()22ln 1ln 1a b +>+56．下列说法正确的是（）A ．若22ac bc >，则a b >B ．b aa b+的最小值为2C ．,0,b b m a b m a a m+">><+D 257．设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（）A ．2c cd58．下列说法正确的是（）A ．若a b >，c d >，则a d b c ->-B ．若a b <，则22a b <C ．若0a >，0b >，1a b +=，则11a b+的最小值为4D ．若0a >，0b >，8ab a b ++=，则a b +的最小值为459．已知,,,a b c d ÎR 且a b >，c d >．则下列关系一定成立的有（）A ．a d b c ->-B ．ac bd>C ．22ac bc >D ．ac bd ad bc+>+60．已知,,a b c ÎR ，下列选项中是“a b >”的充分条件的是（）A ．a c b c +>+B ．110b a>>C ．22a b c c >D ．22a b >考点07：不等式二级结论1热点不等式通过对柯西不等式变形可知222)())((b a y x y b x a +³++在0,,,>y x b a 时，就存在yx b a y b x a ++³+222)(当y b x a =时，等号成立．同理,)(2222zy x c b a z c y b x a ++++³++当z c y b x a ==时，等号成立．61、求证：ca cb b a -³-+-411．62、1=++c b a ，求证：.36941³++cb a63、y x ,为正实数，且1=+y x ，则1222+++y y x x 的最小值是 .64、已正数z y x ,,满足,1=++z y x 则y x z x z y z y x 222222+++++的最小值为 .考点08：不等式二级结论2权方和不等式权方和不等式也称热点不等式的延伸若.0,0,0>>>m b a i i 则()()mn m n m n m n m m m m b b b a a a b a b a b a ++++++³+++++++ 211211212111)()()()()()(当仅当nn b a b a b a === 2211时，等号成立.m 为该不等式的和，它的特证是分子的幂比分母的幂多一次.关于齐次分式，将分子变为平方式，再用权方和不等式，关于带根号式子，将分子变为23次，分母为21次.65、若ABC ∆三边对应分别为c b a ,,.求证：23³+++++a c b c b a b a c .66、若0,0,0,1>>>=c b a abc ，求)(1)(1)(1333b a c a c b c b a +++++最小值.67、设y x ，是正实数且满足1=+y x ，求2281y x +最小值.68、若÷øöçèæÎ2,0πx ，求证：125cos 64sin 27³+αα.考点09：判别式在不等式中的应用题目给定关于y x ,的一个二次式，要求其他代数式的值，可以直接令目标为k ，反解，转化成关于x 或y 的一元二次方程，利用0³∆解出k 的取值范围.69、若正数x ，y 满足x+3y=5xy ，则3x+4y 的最小值是( )A ．245B ．285C ．5D ．670、设x ，y 均为正数，且45x y xy ++=，则x y +的最小值为（）AB ．25C ．11 D．5+71、设x ，y 均为正数，且2245x y xy ++=，则2x y +的最大值为（）72、若存在正实数y ，使得yx x y xy 451+=-，则实数x 的最大值为_______73、已知实数c b a ,,满足0c b =++a 则1222=++c b a ，则a 的最大值为___考点10：不等式常考模型柯西不等式：设a ，b ，c ，d +ÎR ，有2)())((bd ac d c b a +³++ 当且仅当db c a =时等号成立．形式一：一次与分式模型2)())((n m b n a m b a +³++其中+ÎR b a ,，例如4)11(11)((2=+³++b b a a b a b a ；形式二：分式与分式模型（分母和为定值）2)()1)](1()[(1b a xb x a x x x b x a +³-+-+=-+ 形式三：高低和积配凑模型已知22y x +的值，求y x +的取值范围，或者已知y x +的值，求2232y x +的最值或者求y x +的最值即22222)())((ny mx n m y x +³++，其中m ，n +ÎR 例：222)()11)((b a b a +³++形式四：同次和积配凑模型已知xy 的值，求),)()((+Î++R n m n y m x 的最值，利用2)())((mn xy n y m x +³++求最值．74、+ÎR y x ,，且1161=+y x ，则=+min )(y x ．75、已知10<<a ，则=-+min 191(）a a ．76、设函数x x x f -+-=21215)(，则当=x 时，)(x f 的最大值是．77、已知1,1->->y x ，且9)1)(1(=++y x ，则xy 的最大值是．78、已知实数y x ,满足,0>>y x 且,2=+y x 则y x y x -++132的最小值为．。

一元二次不等式的解法与线性规划(新)

一元二次不等式的解法、线性规划二、考点梳理1、一元二次不等式解法含参数的不等式ax 2＋b x ＋c>0恒成立问题⇔含参不等式ax 2＋b x ＋c>0的解集是R ；其解答分a ＝0(验证bx ＋c>0是否恒成立)、a ≠0（a<0且△<0）两种情况。

2、线性规划（1）二元一次不等式表示的平面区域：不等式02≥++C Bx Ax （或≤，或>，或< ）表示直角坐标系中以直线为分界的直线某一侧的平面区域。

（2）求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，统称为线性规划问题。

满足线性约束条件的解),(y x 叫做，由所有可行解组成的集合叫做；使目标函数取得最大值或最小值的可行解叫做最优解。

最优解常在区域的交点或边界上。

（3）具体解题的步骤：画出图形，求交点，代入目标函数求值，确定最大值或最小值注意实际问题中的整数解（整点）三、课堂小练1、不等式0)32)(1(≥--x x 的解集是_______2、若不等式x 2+ax+b ＞0的解集是{}21|>-<x x x 或，则a+b=3、不等式1023x x +≤-的解是_____________ 4、不等式042>++mx x 对于任意x 值恒成立，则m 的取值范围为5、已知2{|10}x ax ax -+<=∅，则实数a 的取值范围是______________ 6、若不等式22x x a >+对于任意的[2,3]x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围。

四、考试导向典型例题分析例1在△ABC 中，A(3，－1)，B(－1,1)，C(1,3)，写出△ABC 区域所表示的二元一次不等式组．例2已知x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋2y －7≥0，x －2y ＋2≥0，3x －y －4≤0，（1）试求z ＝x+y 的最大值．（2）试求z ＝x-y 的取值范围．（3）试求z ＝x 2＋y 2＋2x ＋4y 的取值范围．▲ 小结o1．解一元二次不等式，先解方程，再依据抛物线开口方向取解。

高考数学专项复习专题二一元二次函数一元二次函数方程和不等式

专题二一元二次函数、方程和不等式06 等式性质与不等式性质题型一由不等式性质比较数（式）大小题型二作差法比较代数式大小题型三作商法比较代数式大小题型四由不等式性质证明不等式题型五利用不等式求值或取值范围07 基本不等式（1）题型一由基本不等式比较大小题型二由基本不等式证明不等关系题型三基本不等式求积的最大值题型四基本不等式求和的最小值题型五二次与二次（或一次）的商式的最值问题07 基本不等式（2）题型一条件等式求最值题型二基本不等式的恒成立问题题型三对勾函数求最值题型四基本不等式的应用08 二次函数与一元二次方程、不等式（1）题型一解含有参数的一元二次不等式题型二由一元二次不等式的解确定参数题型三一元二次方程根的分布问题题型四一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系08 二次函数与一元二次方程、不等式（2）题型一一元二次不等式在实数集上恒成立问题题型二一元二次不等式其他恒成立问题题型三一元二次不等式有解问题题型四一元二次不等式的应用一元二次函数、方程和不等式讲义§2.1等式性质与不等式性质 1.作差法比较大小0a b a b >⇔->；0a b a b <⇔-<；0a b a b =⇔-=.2.不等式的基本性质（1）（对称性）a b b a >⇔> （2）（传递性）,a b b c a c >>⇒> （3）（可加性）a b a c b c >⇔+>+（4）（可乘性）,0a b c ac bc >>⇒>；,0a b c ac bc ><⇒< （5）（同向可加性）,a b c d a c b d >>⇒+>+ （6）（正数同向可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （7）（正数乘方法则）0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 §2.2基本不等式① 重要不等式：()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）.变形公式： ()2222()()a b a b a b R +≥+∈，② 基本不等式：2a b+≥ ()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）.变形公式： a b +≥； 2.2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要满足条件:“一正.二定.三相等”. §2.3二次函数与一元二次方程.不等式b06 等式性质与不等式性质题型一由不等式性质比较数（式）大小1．若a b <，d c <，且()()0c a c b --<，()()0d a d b -->，则a ，b ，c ，d 的大小关系是（） A ．d a c b <<，a b <，所以d a <或d b >，而a c b <<，d c <，所以d a <．所以d a c b <<<．故选：A ．2．已知,,R a b c ∈，下列命题为真命题的是（） A ．若a b >，则22ac bc > B ．若a b >，c d >，则a d b c ->- C ．若a b >，c d >，则ac bd > D ．若22a b >，且0ab <则11a b< 【答案】B【解析】:A 若,0a b c >=则220ac bc ==，A 不正确；B ：因为a b >，c d >，则c d -<-，所以a d b c ->-，故B 正确；C ：当0b c ==时，可得不等式不成立，故C 不正确．D ：若3,2a b ==-，满足条件，但11a b>，所以D 不正确. 故选：B ．3．已知,,a b c ∈R ，若a b c >>，且230a b c ++=，则下列不等关系正确的是（） A ．ac bc C ．c c a c b c>-- D ．()2a bc abc +>+【答案】ACD【解析】230a b c ++=，a b c >>，0c ∴<，0a >，对于A ，a b >，0c <，ac bc ∴<，A 正确；对于B ，当0b =时，满足a b c >>，此时0a b c b ==，B 错误；对于C ，a b c >>，0a c b c ∴->->，11a cbc ∴<--，又0c <，c c a c b c∴>--，C 正确；对于D ，a b >，0a b ∴->，()()a a b c a b ∴->-，即2a ab ac bc ->-，整理可得：故选：ACD.4．已知g b 糖水中含有g a 糖(0b a >>)，若再添加g m 糖完全溶解在其中，则糖水变得更甜了(即糖水中含糖浓度变大)，根据这个事实，下列不等式中一定成立的有（） A ．a a m b b m+<+B ．22mm a m a b m b ++<++ C ．()()()()22a m b m a m b m ++<++ D ．121313ba -<- 【答案】ABD【解析】对于A ，由题意可知a a mb b m+<+，正确；对于B ，因为2mm <，所以2222m mm ma m a m m ab m b m m b +++-+<=+++-+，正确；对于C ，22a m a m m a mb m b m m b m ++++<=++++即()()()()22a m b m a m b m ++<++，错误；对于D ，1122131131311333b b b b a --+<==<--+，正确. 故选：ABD5．已知1m n >>，则下列不等式中一定成立的是（） A ．11+>+m n n mB ．->-m n m nC ．3322+>m n mnD ．3322+>m n m n【答案】ABC【解析】对于A 项，11111,,m n m n n m n m>>>∴+>+，故A 正确；对于B 项，()()22222220m nm nmn n n n ---=->-=，结合0,0m n m n ->->可得->-m n m n ，故B 正确；对于C 项，()()323222222()()m mn n mn m m n n n m m n m mn n -+-=-+-=-+-，222220,0m mn n m n n m n +->+->->，即3322+>m n mn ，故C 正确；对于D 项，当3,2m n ==时，33227835236m n m n +=+=<=，故D 错误；故选：ABC题型二作差法比较代数式大小1．已知a ，b 为非零实数，且a ＜b ，则下列命题成立的是（） A ．a 2＜b 2 B ．a 2b ＜ab 2 C ．2211ab a b< D ．b a a b< 【答案】C【解析】对于A ，取3,2a b =-=-，则a b <，但22a b >，故A 错误.而2332b aa b=->-=，故D 错误. 对于C ，因为2222110a b ab a b a b --=<，故2211ab a b<，故C 正确. 故选：C.2．设2243P a a =-+，()()13Q a a =--，a ∈R ，则有（） A ．P Q ≥ B ．P Q > C ．P Q < D ．P Q ≤【答案】A【解析】解：∵ ()()22214330P a a Q a a a -=-+---=≥,∵ P Q ≥. 故选：A.3．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A 、B 的大小关系是（） A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A B D ．A >B【答案】B 【解析】()2234A B a ab ab b-=+--22a ab b =-+223204b a b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭≥，A B ∴≥.故选：B4．已知a b c d ,,,均为实数，下列命题正确的有（） A ．若0ab >，0bc ad ->，则0c da b ->B ．若0ab >，0c da b ->，则0bc ad ->C ．若0bc ad ->，0c da b->，则0ab >D ．如果0a b >>，0c d >>，则bc bd > 【答案】ABCD【解析】对于A ，因为0ab >，0bc ad ->，所以0c d bc ada b ab --=>，故A 正确；对于B ，因为0ab >，又0c d a b ->，即0bc adab ->，所以0bc ad ->，故B 正确；对于C ，因为0bc ad ->，又0c d a b ->，即0bc adab->，所以0ab >，故C 正确；对于D ，因为0a b >>，0c d >>，，所以bc bd >，故D 正确．故选：ABCD5．已知221110,1,1,,a A a B a C D -<<=+=-==，则,,,A B C D 的大小关系是________．(用“>”连【答案】C A B D >>> 【解析】由题意不妨取14a =-，这时171544,,,161635A B C D ====. 由此猜测：C A B D >>>下面给出证明：()()2221324111111a a a a a C A a a a a⎡⎤⎛⎫-++⎢⎥ ⎪-++⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=-+==+++，又21310,0,0,24a a a C A ⎛⎫+>->++>∴> ⎪⎝⎭222(1)(1)20A B a a a A B -=-=>∴>＋－，,()2221512411111a a a a a B D a a a a⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪--⎝⎭⎢⎥⎣⎦-=--==---. 又∵102a -<<，10a ∴->，又∵22151150,24224a B D ⎛⎫⎛⎫--<---<∴> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，综上所述，C A B D >>>. 故答案为：C A B D >>>.6．现有A B C D 、、、四个长方体容器，A B 、的底面积均为2x ，高分别为,x y ；C D 、的底面积均为2y ，高也分别为x y 、 (其中x y ≠)，现规定一种两人的游戏规则：每人从四种容器中取两个盛水，盛水多者为胜.问先取者在未能确定x 与y 大小的情况下有没有必胜的方案？若有的话，有几种？【答案】未能确定x 与y 大小的情况下，取,A D 必胜,有1种必胜的方案.【解析】由条件得3223,,,,A B C D V x V x y V xy V y ====,则()()()()()23223A B C D V V V V x x y xy y x y x y +-+=+-+=+-当x y >时， A B C D V V V V +>+，当x y <时， A B C D V V V V +<+()()()()()322322A C B D V V V V x xy x y y x y x y +-+=+-+=+-当x y >时， A C B D V V V V +>+，当x y <时， A C B D V V V V +<+()()()()()233220A D B C V V V V x y x y xy x y x y +-+=+-+=-+>所以未能确定x 与y 大小的情况下，取,A D 必胜,有1种必胜的方案. 题型三作商法比较代数式大小（2）当0a >，0b >且ab 时，a b a b 与b a a b .【答案】（1）223121x x x x -+>+-；（2）a b b a a b a b >. 【解析】（1）()()()2222312122110xx x x x x x -+-+-=-+=-+>，因此，223121x x x x -+>+-；（2）1a ba ba b a b b a a b b a a b a a b a a b b b -----⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.∵当0a b >>时，即0a b ->，1a b >时，01a ba ab b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b ∴>； ∵当0b a >>时，即0a b -<，01a b <<时，01a ba ab b -⎛⎫⎛⎫>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，a b b a a b a b ∴>. 综上所述，当0a >，0b >且ab 时，a b b a a b a b >.2．已知0a >，0b >，试比较+a b 与a b b a+的大小；【答案】a ba bb a++（当且仅当a b =时取等号）【解析】方法一：由题意()()()a b a b a b a a b b a b b a a b ba ab ab--+--⎛⎫+-+==⎪⋅⎝⎭()()2a ba bab+-=，因为0a >，0b >，所以0a b +>，()20a b-≥，0ab >，所以()()20a ba bab+-≥，当且仅当a b =时等号成立，所以a ba b b a+≤+（当且仅当a b =时取等号）. 方法二：由()()()()a b a b a b aba ab b a b ab ba ab ab ab a bab a b +++-++-===+++()2a babab-+==()211a b ab-+，当且仅当a b =时等号成立，所以a ba bb a++（当且仅当a b =时取等号）. 3．设,a b R +∈，试比较a b a b 与b a a b 的大小. 【答案】当a b =时两者相等；当a b 时a b b a a b a b >.【解析】依题意，,a b R +∈，当ab 时，a ba b b a a b a a b b -⎛⎫= ⎪⎝⎭：当0a b >>时，1,0a a b b >->，所以1a ba b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭；当0b a >>时，01,0b a b a <<-<，所以1a ba b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭.故当ab 时，1a ba b b a a b a a b b -⎛⎫=> ⎪⎝⎭，即a b b a a b a b >.4．（1）设x ＜y ＜0，试比较(x 2＋y 2)(x －y )与(x 2－y 2)(x ＋y )的大小；（2）已知a ，b ，c ∵{正实数}，且a 2＋b 2＝c 2，当n ∵N ，n ＞2时比较c n 与a n ＋b n 的大小．【答案】（1）(x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y )；（2）a n ＋b n ＜c n . 【解析】（1）(x 2＋y 2)(x －y )-(x 2－y 2)(x ＋y )()()()222x y x y x y ⎡⎤=-+-+⎣⎦()()2x y xy =-⨯-因为0x y <<，则0,20x y xy -<-<，故()()20x y xy -⨯->，即(x 2＋y 2)(x －y )-(x 2－y 2)(x ＋y )>0 (x 2＋y 2)(x －y )＞(x 2－y 2)(x ＋y ).（2）∵a ，b ，c ∵{正实数}，∵a n ，b n ，c n ＞0.而n n n a b c +＝n na b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∵a 2＋b 2＝c 2，则22a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1，∵0＜a c ＜1，0＜bc＜1. ∵n ∵N ，n ＞2，∵2na a c c ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2nb bc c ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∵n n n a b c +＝n n a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＜22a b c c ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＝1. ∵a n ＋b n ＜c n .1．设a ，b 为正实数，则下列命题中是真命题的是（） A ．若221a b -=，则1a b -，所以0a b >>，若1a b -≥，则11a b≥+，可得1a b +≤，这与0a b a b +>->矛盾，故1a b -<成立，所以A 中命题为真命题；对于B 选项，取5a =，56b =，则111b a -=，但5516a b -=->，所以B 中命题为假命题；对于C 选项，取4a =，1b =，则1a b -=，但31a b -=>，所以C 中命题为假命题；对于D 选项，由1,1a b ≤≤，则()()()()2222222211110a b ab a b a b a b---=+--=--，即()()221a b ab -≤-，可得1a b ab --，所以D 中命题为真命题.故选AD.2．已知三个不等式：0,0,0c dab bc ad a b>->->（其中a b c d ,,,均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成正确命题的个数是______．【答案】3【解析】若0,0ab bc ad >->成立，不等式0bc ab ->两边同除以ab 可得0c da b->,即0,0c dab bc ad a b>->⇒->；若0,0c d ab a b >->成立，不等式0c da b ->两边同乘ab ，可得0bc ad ->,即0,00c dab bc ad a b>->⇒->；若0c d a b ->，0bc ad ->成立，则0c d bc ada b ab --=>，又0bc ad ->，则0ab >，即0c da b->，00bc ad ab ->⇒>. 综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成的正确命题有3个.故答案为：3．3．设n N ∈，1n >，1A n n =--，1B n n =+-，试比较A 与B 的大小．【答案】A B >【解析】()()11111111n n n n n n A n n n n n n --+---=--===+-+-，同理可得11B n n=++，n N ∈，1n >，所以11n n n n +-<++，则1111n n n n>+-++，因此，A B >，故答案为A B >. 3．若0a b >>，0c d <<,||||b c > （1）求证：0b c +>；（2）求证：22()()b c a da cb d ++<--；（3）在（2）中的不等式中，能否找到一个代数式，满足2()bc a c +<-所求式2()a db d +<-？若能，请直接写出该代数式；若不能，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）能，222()()()b c b c a da cb d b d +++<<---.【解析】（1）因为||||b c >，且0,0b c ><，所以b c >-，所以0b c +>.（2）因为0c d <<，所以0c d ->->．又因为 0a b >>，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得0a c b d ->->．所以22()()0a c b d ->->．所以22110()()a c b d <<--，因为,a b d c >>，所以由同向不等式的相加性可将以上两式相加得a d b c +>+．所以0a d b c +>+>，所以由两边都是正数的同向不等式的相乘可得22()()b c a da cb d ++<--.（3）因为0b c +>，22110()()a c b d <<--，所以22()()b c b ca cb d ++<--，因为0b c a d <+<+，210()b d >-，所以22()()b c a db d b d ++<--，所以222()()()b c b c a da cb d b d +++<<---. 所以在（2）中的不等式中，能找到一个代数式2()b cb d +-满足题意.4．设绝对值小于1的全体实数构成集合S ，在S 中定义一种运算“*”，使得*1a ba b ab+=+，求证：如果a ，b S ∈，那么*a b S ∈. 【答案】证明见解析【解析】由题意，绝对值小于1的全体实数构成集合S ，因为a S ∈，b S ∈，所以1a <，1b <，可得21a <，21b <，则210b ->，210a -<，所以()()22110ba--<，即222210a b a b +--<，所以2222212a b ab ab a b ++<++，即()()221a b ab +<+，所以()()2211a b ab +<+，即11a bab+<+，所以*a b S ∈. 5．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a ＞1b ，x ＞y ，求证xx a+＞y y b +. 【答案】见解析【解析】,,,a b x y 都是正数，且1a ＞1b，x ＞y ，,x y a b a b x y∴>∴<，故11a b x y +<+，即0x a y b x y ++<<， x yx a y b∴>++. 题型五利用不等式求值或取值范围1．实数x ，y ，z 满足0x y z ++=，0xyz >，若111T x y z=++，则（） A ．0T > B ．0T < C ．0T =D ．0T ≥【答案】B【解析】因为0x y z ++=且0xyz >，所以不妨设0x >，则0y <，0z <，则()2y x z xz xy yz xz y xzT xyz xyz xyz++++-+===. 因为0x >，0z <，所以0xz <，又20y -<，所以20y xz -+<，又0xyz >，所以0T <. 故选：B.2．设实数,x y 满足01xy <<且01x y xy <+<+，那么,x y 的取值范围是 A ．1x >且1y > B ．01x <<且1y < C ．01x <<且01y << D ．1x >且01y << 【答案】C【解析】∵1x y xy +<+， ∵10,x xy y -+-< ∵()110,x y y -+-<∵()()110,x y --< ∵()()110,x y -->∵1x >，1y >或1x <，1y <.又∵01xy <<，0x y +>，∵01x <<，01y <<. 故选C.3．设实数x ，y 满足238xy ≤≤，249x y ≤≤，求34x y的最大值．【答案】27【解析】令()3224mn x x xy y y ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，则3422m n n m x y x y -+-⋅=⋅，所以2324m n n m +=⎧⎨-=-⎩，解得2,1m n ==-，所以()232124x x xy y y -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，由题意得2249,38x xy y≤≤≤≤，所以2221111681,83x y xy ⎛⎫≤≤≤≤ ⎪⎝⎭，所以()[]2321242,27x x xy y y -⎛⎫=⋅∈ ⎪⎝⎭.故34x y 的最大值为27. 故答案为：274．若108a b -<<<，求a b +的取值范围. 【答案】018a b <+<【解析】当0a ≥时有08a ≤<，08b <<，故016a b <+<，即0616a <+<；当0a <时，100a -<<，故010a <-<，因为108b -<<所以1018a b -<-+< 又a b <，所以018a b <-+<，即018a b <+<. 综上018a b <+<.5．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______ 【答案】137x y ≤-≤【解析】令3()()x y s x y t x y -=++- ()()s t x s t y =++-则31s t s t +=⎧⎨-=-⎩, 12s t =⎧∴⎨=⎩, 又11x y -≤+≤∵ 13x y ≤-≤, 22()6x y ∴≤-≤⋯∵∴∵+∵得137x y ≤-≤.07 基本不等式（1）题型一由基本不等式比较大小 1．设b aM a b=+，其中a ，b 是正实数，且a b ，242N x x =-+-，则M 与N 的大小关系是（）.A ．M N ≥B ．M N >C ．M N <D ．M N ≤【答案】B【解析】∵a ，b 都是正实数，且a b ，∵22b a b a M a b a b=+>⋅=，即2M >，又∵()2242442N x x x x =-+-=--++，()2222x =--+≤，即2N ≤，∵M N >，故选B.2．已知0a >，0b >，2a b A +=，B ab =，2abC a b=+，则A ，B ，C 的大小关系为（）. A ．A B C ≤≤ B ．A C B ≤≤ C ．B C A ≤≤ D ．C B A ≤≤【答案】D【解析】由于0a >，0b >，故2a b ab +≥，则2a bab +≥，即A B ≥，结合02a b ab +<≤可得：12a bab ≥+，两边乘以ab 可得：2ab ab a b ≥+，即B C ≥.据此可得：C B A ≤≤. 故选D .3．已知0a >，0b >，且4a b +=，则下列结论正确的是（） A ．4ab ≤ B ．111a b+≥C ．2216a b +≥D ．228a b +≥【答案】ABD【解析】A ．因为4a b +=，所以24ab ≤，所以4ab ≤，取等号时2a b ==，故正确； B ．因为1141a b a b ab ab++==≥，取等号时2a b ==，故正确； C ．因为22222228a b a b a b ++≥⋅==，取等号时2a b ==，故错误；D ．因为2222a b a b++≥，所以228a b +≥，取等号时2a b ==，故正确. 故选：ABD.4．设0a >，0b >，下列不等式恒成立的是（）. A ．21a a +>B ．114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭C ．()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭D ．296a a +>E.若111a b+=，则4ab ≤【答案】ABC【解析】解：对于选项A ，由于22131024a a a ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，∴21a a +>，故A 恒成立；对于选项B ，由于12a a+≥，12b b +≥，∴114a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当1a b ==时，等号成立，故B 恒成立；对于选项C ，由于2a b ab +≥，1112a b ab+≥，∴()114a b a b ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，当且仅当a b =时，等号成立，故C 恒成立；对于选项D ，当3a =时，296a a +=，故D 不恒成立；对于选项E ，111a b +=，∴111112a b a b=+≥⨯，∴4ab ≥，当且仅当2a b ==时，等号成立.故E 不恒成立，即不等式恒成立的是ABC ，故选ABC.题型二由基本不等式证明不等关系1．若0x >，0y >，4x y +≤，则下列不等式中成立的是（） A ．114x y ≤+ B ．111x y+≥C ．2xy ≥D ．11xy≥ 【答案】B【解析】对于A ，因为4x y +≤，所以114x y ≥+，所以A 不正确；对于B ，若0,0x y >>，设,04x y a a +=<≤，得1x ya+=，所以11111114()2(22)1y x x y x y a x y a x y a a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=≥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当2x y ==时，等号成立，所以B 正确；对于C ，因为0,0x y >>，由4x y +≤，所以42x y xy ≥+≥，即2xy ≤，当且仅当2x y ==时，等号成立，所以C 不正确；对于D ，由上面可知2xy ≤，则4xy ≤，得114xy ≥，所以D 不正确；故选：B2．已知a,b,c 均为正实数,且a+b+c=1,求证：(1a -1)(1b -1)(1c-1)≥8．【答案】证明见解析【解析】主要考查不等关系与基本不等式．证明：因为a, b, c (0,),∈+∞且a+b+c=1，所以111(1)(1)(1)()()()2)22)8.a b c a a b c b a b c c a b c a b c b c a c b a a a b b c c b c a c b aa ab bc c ++-++-++----=⋅⋅=+++≥⨯⨯⨯⨯⨯=． 3．已知a ，b ，c 是互不相等的正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c>9.【答案】证明见解析【解析】∵a ，b ，c ∵R ＋，且a ＋b ＋c ＝1，∵1a ＋1b ＋1c ＝a b c a b c a b c a b c++++++++ ，＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋⎛⎫+ ⎪⎝⎭b a a b ＋⎛⎫+ ⎪⎝⎭c a a c ＋⎛⎫+ ⎪⎝⎭c b b c ，≥3＋2b a a b ⋅＋2⋅c aa c ＋2⋅cb b c＝3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c 时取等号，所以1a ＋1b ＋1c>9.4．已知0a >，0b >，1a b +=，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 【答案】见解析【解析】()()()22222211254112541254a b a b ab a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫++⇔++⇔+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2243380(41)(8)0a b ab ab ab ⇔-+⇔--1a b +=，2212a b ab ∴+=-.104ab<，410ab ∴-，80ab -<. ∵(41)(8)0ab ab --成立，故原不等式成立.5．已知0,0,0a b c >>>,求证:32c a b a b b c a c +++++. 【答案】见解析【解析】设,,a b x b c y c a z +=+=+=,则0,0,0x y z >>>, 且()()22x y z z x ya abc b c y +++-=++-+=-=. 同理,,22x y z y z xb c +-+-==. 所以原不等式的左边222y z x z x y x y zx y z+-+-+-=++ 1322y x zx z y x y x z y z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++-⎢ ⎪⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133(222)222≥⨯++-=. 当且仅当,x y z x y x x z ==,且z yy z=,即,x y z a b c ====时,等号成立. 题型三基本不等式求积的最大值1．如图，在半径为4（单位：cm ）的半圆形（O 为圆心）铁皮上截取一块矩形材料ABCD ，其顶点,A B 在直径上，顶点,C D 在圆周上，则矩形ABCD 面积的最大值为（）（单位：cm 2）.A ．8B ．10C ．16D ．20【答案】C【解析】设BC =x ，连结OC ，得OB =216x -，所以AB ＝2216x -，所以矩形ABCD 面积S ＝2216x x -，x ∵（0，4）， S ＝2()22222162161616x x x x x x -=-≤+-= ．即x 2＝16﹣x 2，即x ＝22时取等号，此时max 16y =故选：C2．已知,a b 为正数，2247a b +=，则21a b +的最大值为（） A ．7B ．3C ．22D ．2【答案】D【解析】222211411212222a b a b a b ⎛⎫+++=⨯+≤= ⎪⎝⎭，当且仅当2241a b =+时，取得最大值.故选：D3．(1)已知x ,y R +∈,求x y x y++的最大值;(2)求满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值,并说明理由. 【答案】(1)2 (2)2.见解析【解析】(1)∵x ,y R +∈,∵22212x y x y xy xyx y x y x y ⎛⎫+++==+≤ ⎪ ⎪+++⎝⎭, 当且仅当x y =时,对等号, ∵当x y =时,x y x y++的最大值为2.(2)∵a ,b R +∈,∵设0a m =>,0b n =>,2a m =,2b n =, ∵22222m n mn mn +≥=,∵满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值, ∵222224242m n k m n k m n k mn +≥+≥=, ∵222k ≤,解得2k ≤,∵满足24a b k a b +≥+对a ,b R +∈有解的实数k 的最大值为2. 4．我们学习了二元基本不等式：设0a >,0b >,2a bab +≥,当且仅当a b =时，等号成立利用基本不等式可以证明不等式，也可以利用“和定积最大，积定和最小”求最值. （1）对于三元基本不等式请猜想：设0,0,c 0,3a b ca b ≥ 当且仅当a b c ==时，等号成立（把横线补全）.(2)利用（1）猜想的三元基本不等式证明：设0,0,0,a b c >>>求证：2229a b ca b c abc(3)利用（1）猜想的三元基本不等式求最值：设0,0,c 0,1,a b a b c 求111a b c 的最大值.【答案】（1）33a b cabc （2）证明见解析（3）827 【解析】（1）通过类比,可以得到当0a >,0b >,0c >时33a b c abc ,当且仅当a b c ==时,等号成立；（2）证明：0a >,0b >,0c >,由（1）可得22232223a b c a b c ++≥,∴22233222333333a b c a b c a b c abca b c abc()()2229a b c a b c abc ∴++++≥（3）解：由（1）可得,33a b c abc ++⎛⎫≥ ⎪⎝⎭,即33a b c abc ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭,由题,已知0a >,0b >,0c >,1a b c ++=,10a b c ∴-=+>,10b a c -=+>，10c a b -=+>,∴33322811133327b ca ca ba b c b c a c a ba b c ∴当且仅当b c a c a b +=+=+,即a b c ==时取等,即111a b c 的最大值为8275．设∵ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝3π，a ＋b ＝λ，若∵ABC 面积的最大值为93，求λ的值．【答案】 12 【解析】S ∵ABC ＝12absin C ＝34ab ，根据基本不等式2224a b ab λ+⎛⎫≤= ⎪⎝⎭ , 当且仅当a=b 时，等号成立, ∵S ∵ABC ＝34ab≤34·223216a b λ+⎛⎫= ⎪⎝⎭，令2316λ＝93，解得λ＝12. 题型四基本不等式求和的最小值1．设x ，y 均为正数，且xy +x -y -10=0，则x +y 的最小值是_______. 【答案】6【解析】由xy +x -y -10=0，得101y x y +=+=91,111y y ++>+，故()99121611x y y y y y +=++≥⋅+=++，当且仅当911y y =++，即y =2时，等号成立．故答案为：6.2．若0a b +≠，则2221()a b a b +++的最小值为________．【答案】2【解析】由于()222222222a b a b a b ab a b +++⎛⎫≤≤⇒+≥ ⎪⎝⎭，所以()()222222211122()2()2()a b a b a b a b a b a b ++++≥+≥⋅=+++，当且仅当a b =且()2212()a b a b +=+时等号成立，即()34144222a b a b a b a b a b -=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒==⎨⎨+=⎪⎪+=⎩⎩时等号成立. 所以2221()a b a b +++的最小值为2.故答案为：23．已知ab ＞0，则()()22222424541ab a b ab +++++的最小值为_____.【答案】4.【解析】解：根据题意，ab ＞0，故22224244a b a b ab +≥⨯=，当且仅当a ＝2b 时等号成立，则原式()()()22222224245(4)245(41)4414141ab a b ab ab ab ab ab ab ++++++++=≥==+++44141ab ab +++，又由ab ＞0，则4ab +1＞1，则有44141ab ab ++≥+()424141ab ab +⨯=+4，当且仅当4ab +1＝2，即4ab ＝1时等号成立，综合可得：()()22222424541ab a b ab +++++的最小值为4，当且仅当a ＝2b 12=时等号成立故答案为：4.4．设0a b c >>>，则221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值为__________. 【答案】4【解析】因为0a b c >>>，所以()222221111210251025()a ac c a a ac c ab a a b ab a a b ++-+=+⎡⎤⎢⎥⎣⎦++-+-- ()()()()222222222211445 55204 2a a c a a c a a c a b a b a a b a b ⎡⎤⎢⎥⎛⎫=++-≥++-=++-≥⋅+=-+-⎣⎦⎪⎝⎭，当且仅当252a b c === 时取等号，此时221121025()a ac c ab a a b ++-+-的最小值为4．故答案为：4.题型五二次与二次（或一次）的商式的最值问题1．若41x -<<，则当22222x x x -+-取最大值时x 的值为（）A ．3-B ．2-C ．1-D ．0【答案】D【解析】变形，可得()()()()222112221111222121221x x x x x x x x x x -+-+-++-===+----，41x -<<，510x ∴-<-<，原式()()()11111121221221221x x x x x x ⎡⎤---=+=-+≤-⋅=-⎢⎥---⎣⎦，当且仅当()11221x x -=-，即0x =时取等号，因此，22222x x x -+-取最大值时0x =. 故选：D.2．（1）若,0x y >，且280x y xy +-=，求x y +的最小值；（2）若41x -<<，求22222x x x -+-的最大值．【答案】（1）18；（2）-1.【解析】（1）由280x y xy +-=，得821x y+=，()828210y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭8210218y xx y ≥+⋅=，当且仅当212x y ==时取等号故当212x y ==，x y +取最小值18.（2）若41x -<<，则()2221112221x x x x x -+⎡⎤=--+⎢⎥--⎣⎦()1121x x-+≥-当且仅当0x =时取等号 ()111121x x ⎡⎤∴--+≤-⎢⎥-⎣⎦.即若41x -<<，22222x x x -+-的最大值为1-．3．（1）求当0x >时，2342x x y x ++=的最小值；（2）求当1x >时，221x y x +=-的最小值.【答案】（1）72；（2）232+.【解析】（1）当0x >时，234322372222222x x x x x x x ++=++≥⋅+=，当且仅当2x =时等号成立，所以当0x >时，函数2342x x y x++=的最小值为72；（2）()22112312111xxy x x x x -+⎡⎤+⎣⎦===-++---，当1x >时，10x ->，所以()32122321y x x ≥-⋅+=+-，当且仅当311x x -=-，即在13x =+时等号成立，所以，当1x >时，221x y x +=-的最小值为232+.4．若,,x y z 均为正实数，则222xy yzx y z +++的最大值是_______．【答案】22【解析】因为,,x y z 均为正实数，所以2222222()11(2)2xy yz xy yzx y y x z y z ++=+++++ 22222()2222xy yzxy yz xy yz x y y z ++≤==+⋅+⋅⋅, 当且仅当2222x y y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即22x z y ==时等号成立．故答案为：22. 、专题7 基本不等式（2）题型一条件等式求最值1．已知0＜a ＜1，0＜b ＜1，且44430ab a b --+=，则12a b+的最小值是______．【答案】4243+【解析】已知01,01a b <<<<，由44430ab a b --+=得44441ab a b --+=，即1(1)(1)4a b --=，令()()10,1,10,1,41x a y b xy =-∈=-∈=，所以()10,14y x =∈，所以1,14x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故12121218111114114x a b x y xx x x+=+=+=+------()()12421422224441141444134441x x x x x x x x ⎛⎫⎡⎤=++=++=++-+- ⎪⎣⎦------⎝⎭ ()()()()4412444412441242264434441344413x x x x x x x x ⎡⎤----=+++≥+⋅=+⎢⎥----⎣⎦，当且仅当()()4412444441x x xx --=--即3224x -=时，取等号. 故答案为：4243+． 2．已知正实数x ，y 满足14xy <，且2441y y xy x ++=，则13x y x+-的最小值为______．【答案】22【解析】解：正实数x ，y 满足14xy <，且2441y y xy x++= 所以21442y y xy x +--=，即()42y x y x y x +-+=，也即()142x y y x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭ 则()1123422x y y x y x y x x x y+-=-++=++≥+ 当且仅当()2142x y x y x y y x ⎧+=⎪+⎪⎨⎛⎫⎪+-= ⎪⎪⎝⎭⎩，即2142x y y x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，则5234832348x y ⎧-=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩时取等号，此时1711164xy -=<，所以取得最小值22．故答案为：22．3．已知0a >，0b >，1c >且1a b +=，则21221a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值为______．【答案】422+【解析】因为0a >，0b >，1a b +=，所以222221()22a a a b a b ab ab ab ab +++++==222222ab abab+≥=+，又1c >，则21221a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭2221c c ≥+- ＝122(c 1)21c ⎡⎤-++≥⎢⎥-⎣⎦1222(1)24221c c ⎡⎤-⋅+=+⎢⎥-⎣⎦，其中等号成立的条件：当且仅当222112(1)1a b a b c c ⎧⎪=⎪+=⎨⎪⎪-=-⎩，解得21a =-，22b =-，212c =+，所以21221a c ab c ⎛⎫+-⋅+ ⎪-⎝⎭的最小值是422+. 故答案为：422+.4．若正实数a ，b 满足()2261a b ab +=+，则21aba b ++的最大值为______.【答案】16【解析】()()()221621216a b ab a b a b ab +-=⇒+++-= ，即21216ab a b a b +-=++又()22236323224a b ab a b a b +⎛⎫=⋅⋅≤=+ ⎪⎝⎭，等号成立的条件为2a b = ，原式整理为()()()2223212244a b a b a b +≤++⇒+≤ ，即022a b <+≤ ，那么2121121666ab a b a b +--=≤=++，所以21ab a b ++ 的最大值是16.5．求下列函数的最值（1）求函数22(1)1x y x x +=>-的最小值.（2）若正数x ，y 满足35x y xy +=，求34x y +的最小值. 【答案】（1）223+；（2）5.【解析】（1）2(1)2(1)33(1)223211x x y x x x -+-+==-+++--，当且仅当2(1)3x -=即31x =+时等号成立，故函数y 的最小值为223+.（2）由35x y xy +=得13155y x+=，则1331213133634(34)()2555555525x y x y x y y x y x +=++=+++=，当且仅当12355y x x y =,即12y =，1x =时等号成立，故34x y +的最小值为5.题型二基本不等式的恒成立问题1．已知a ，b 为正实数，且23a b ab +=，若0a b c +-≥对于满足条件的a 、b 恒成立，则c 的取值范围为.（） A ．2213c c ⎧⎫⎪⎪≤+⎨⎬⎪⎪⎩⎭B ．322c c ⎧⎫≤+⎨⎬⎩⎭C ．{}6c c ≤D ．{}322c c ≤+【答案】A【解析】将23a b ab +=变形为213a b+=，所以()()11121223322132333a b a a b a b b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当2a b =时，即632,333a b =-=-时取等号.0a b c +-≥恒成立等价于c a b ≤+恒成立，即()min c a b ≤+，所以2213c ≤+故选：A .2．已知x 、y 都为正数，且4x y +=，若不等式14m x y +>恒成立，则实数m 的取值范围是________.【答案】94m ∴< 【解析】x 、y 都为正数，且4x y +=，由基本不等式得()14144x y x y x y ⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭445259y x y xx y x y=++≥⋅+=，即1494x y +≥，当且仅当2y x =时，等号成立，所以，14x y +的最小值为94，94m ∴<.3．已知正实数x ，y 满足2520x y +=．（1）求xy 的最大值；（2）若不等式21014m m x y+≥+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】（1）10；（2）9122m -≤≤.【解析】（1）2025225x y x y =+≥⋅，解得10xy ≤，当且仅当5x =，2y =取等号， ∵xy 最大值为10．（2）101555592104421042101041x y y x y x x x x y x y y y ⎛⎫⎛⎫++=++≥+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭+=，当且仅当203x =，43y =取等号， ∵2944m m +≤，解得9122m -≤≤． 4．设a b c >>，且11ma b b c a c+≥---恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】4m ∴≤ 【解析】由a b c >>知0a b ->，0b c ->，0a c ->. ∴原不等式等价于a c a cm a b b c--+≥--.要使原不等式恒成立，只需a c a ca b b c--+--的最小值不小于m 即可. ()()()()2224a b b c a b b c a c a c b c a b b c a ba b b c a b b c a b b c a b b c-+--+-------∴+=+=++≥+⋅=-------- 当且仅当b c a ba b b c--=--，即2b a c =+时，等号成立. 4m ∴≤5．已知16k >，若对任意正数x ，y ，不等式1322k x kyxy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭恒成立，求实数k 的取值范围.【答案】12k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭【解析】∵0x >，0y >，∵不等式1322k x kyxy ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭恒成立等价于1322x y k ky x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭恒成立.又16k >，∵1132322x y k k k k y x ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（当且仅当132k x ky ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，等号成立），∵12322k k ⎛⎫- ⎪⎝⎭，解得13k -（舍去）或12k ，∵实数k 的取值范围为12k k ⎧⎫⎨⎬⎩⎭.题型三对勾函数求最值1．设x ，y 均为负数，且1x y +=-，那么1xy xy+有（）. A ．最大值174- B ．最小值174-C ．最大值174D ．最小值174【答案】D【解析】设a x =-，b y =-，则0a >，0b >.由12a b ab +=≥得14ab ≤. 由函数1y x x =+的图像得，当104ab <≤时，1ab ab +在14ab =处取得最小值， 11117444xy ab xy ab ∴+=++=≥，当且仅当12x y ==-时取等号成立.综上可得，1xy xy +有最小值174. 故选D .2．已知52x ≥，则24524x x y x -+=-有（）A ．最大值52B．最小值54C ．最大值1D．最小值1【答案】D【解析】解：由522x≥>得，()()()2221451121242222xx xy xx x x-+-+⎡⎤===-+≥⎢⎥---⎣⎦，当且仅当122xx-=-，即3x=时，等号成立，故选：D.题型四基本不等式的应用1．某工厂第一年年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x，则（）A．2a bx+=B．2a bx+≤C．2a bx+>D．2a bx+≥【答案】B【解析】解：由题意得，2(1)(1)(1)A a b A x++=+，则2(1)(1)(1)a b x++=+，因为211(1)(1)2a ba b+++⎛⎫++≤ ⎪⎝⎭，所以21122a b a bx++++≤=+，所以2a bx+≤，当且仅当a b=时取等号，故选：B2．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据．通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．如图所示的图形，在AB上取一点C，使得AC a=，BC b=，过点C作CD AB⊥交圆周于D，连接OD．作CE OD⊥交OD于E．由CD DE可以证明的不等式为()A．2(0,0)abab a ba b>>+B．(0,0)2a bab a b+>>C．22(0,0)22a b a ba b++>>D．222(0,0)a b ab a b+>>【答案】A【解析】解：由射影定理可知2CD DE OD=，即222DC ab abDEa bOD a b===++，由DC DE得2ababa b+，故选：A．。

高考数学热点专题专练5-13一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用理

高考专题训练十三一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在括号里．1．设0a>0，∴错误!>错误!，2b>b＋a∴b>错误!，∴a0，b>0，且函数f＝43－a2－2b＋2在＝1处有极值，则ab的最大值等于A．2 B．3C．6 D．9解析f′＝122－2a－2b因在＝1处有极值，则f′1＝12－2a－2b＝0，∴a＋b＝6，ab≤错误!2＝9答案 D3．2022·辽宁若∈[0，＋∞，则下列不等式恒成立的是A．e≤1＋＋2≤1－错误!＋错误!2C．co≥1－错误!2D．n1＋≥－错误!2解析设f＝co－1＋错误!2，f′＝－in＋>0，在0，＋∞上恒成立，所以f≥f0＝0，故co≥1－错误!2恒成立．答案 C4．设变量，满足约束条件错误!则目标函数＝2＋3＋1的最大值为A．11 B．10C．9 D．解析可行域如图当目标函数过点A时，取最大值，由错误!得A3,1，故最大值为10答案 B5．2022·福建若函数＝2图象上存在点，满足约束条件错误!则实数m的最大值为B．1D．2解析不等式组错误!所表示的可行域如图所示，当点Bm,2m在点Am,3－m与C错误!之间时，函数＝2图象上存在点满足约束条件，即可得－错误!≤2m≤3－mm≤3，即得2m＋m≤3，∵函数f ＝2＋在R上是增函数，且f1＝3，∴不等式fm≤3的解为m≤1，即得实数m的最大值为1 答案 B6．2022·商丘市高三一模定义在R上的函数f满足f3＝1，f′为f的导函数，已知＝f′的图象如图所示，若两个正数a、b满足f3a＋b0，b>0即3a＋b>0时，＝f为增函数，又∵f3＝1，∴f3a＋b，作出可行域如右图∴错误!的最小值为直线AB的斜率AB＝1错误!的最大值为直线AC的斜率AC＝5∴错误!∈1,5，故选C答案 C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．2022·陕西省高考全真模拟一若a、b是正常数，a≠b，、∈0，＋∞，则错误!＋错误!≥错误!，当且仅当错误!＝错误!时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f＝错误!＋错误!错误!的最小值为________．解析由题意知，f＝错误!＋错误!，∈错误!，∵2≠3且均为正常数，∈错误!，∴1－2∈0,1，∴错误!＋错误!≥错误!，当且仅当错误!＝错误!时，即＝错误!时等号成立，即f≥35答案358．2022·江苏已知实数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，c n b≥a＋c n c，则错误!的取值范围是________．解析题中条件可转化为错误!令错误!＝，错误!＝，则题目可转化为：已知，满足错误!且在>0、>0的条件下求错误!的取值范围，作出，所在的平面区域，如图所示，求出＝e过原点的切线为＝e，且易判断切点B1,1时，直线在in＝－3；当直线＝－经过点轴上截距最小，目标函数取得最大值，即ma＝0，所以－∈[－3,0]．答案[－3,0]10．2022·湖北省黄冈中学模拟考试若实数，满足错误!则错误!的取值范围是________．解析如图所示，不等式组错误!所表示的可行域为线段AB，错误!可看作是可行域内的点in＝0，|a＝|AO|，由错误!得A－6,8，故|a＝错误!＝10，即错误!的取值范围为[0,10]．答案[0,10]三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．12分2022·江西师大附中、临川一中高三联考已知定义在R上的函数f满足f＝f4－，又函数f＋2在[0，＋∞上单调递减．1求不等式f3>f2－1的解集；2设1中不等式的解集为A，对于任意的t∈A，不等式2＋t－2＋1－t>0恒成立，求实数的取值范围．解1∵f＝f4－，∴函数f的图象关于直线＝2对称，又∵函数f＋2在[0，＋∞上单调递减，∴函数f在[2，＋∞上单调递减．∴不等式f3>f2－1⇔|3－2|0恒成立，即gt>0在t∈－1,1上恒成立．当≠1时，错误!，⇒错误!⇒错误!⇒≤0或＝1或≥2，当＝1时，0>0，显然不成立，∴≠1，∴≤0或≥2综上，∈－∞，0]∪[2，＋∞．12．13分设b>0，数列{a n}满足a1＝b，a n＝错误!n≥2．1求数列{a n}的通项公式；2证明：对于一切正整数n,2a n≤b n＋1＋1解1ⅰ若b＝1，则a1＝1，a n＝错误!n≥2则错误!＝错误!＝1＋错误!∴错误!是首项为1，公差为1的等差数列，∴错误!＝n，∴a n＝1ⅱ若b≠1，则错误!＝错误!，∴错误!＝错误!＋错误!·错误!，∴错误!－错误!＝错误!错误!，∴数列错误!是首项为－错误!，公比为错误!的等比数列，∴错误!－错误!＝－错误!·错误!n－1，∵错误!＝错误!－错误!·错误!n－1，∴a n＝错误!2证明：当b＝1时，2a n＝2≤2成立当b≠1时，a n＝错误!＝错误!＝错误!，要证2a n≤b n＋1＋1，只要证a n≤错误!，只要证错误!≤错误!即证2nb≤b n＋1＋1错误!∵b n＋1＋1错误!＝b n＋1＋b n＋…＋b2＋1＋错误!＋错误!＋错误!＝错误!＋错误!＋…＋b2＋1≥2b＋2b＋…＋2错误!＝2nb ∴2nb≤b n＋1＋1错误!从而2a n≤b n＋1＋1成立．。

高考数学复习讲义：二元一次不等式(组) 与简单的线性规划问题

返回
[解析] (1)作出满足约束条件的可行域如图中阴影部分所示．由 z＝3x＋2y，得 y＝－32x＋2z.
作直线 l0：y＝－32x. 平移直线 l0，当直线 y＝－32x＋2z过点(2,0)时， z 取最大值，zmax＝3×2＋2×0＝6.
返回
(2)
由
条
件
得
x＋1≤y， y≤2x，
即
x－y＋1≤0， 2x－y≥0，
返回
[方法技巧]
解决求平面区域面积问题的方法步骤 (1)画出不等式组表示的平面区域； (2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解． [提醒] 求面积时应考虑圆、平行四边形等图形的对称性．
x<2y 选项 B 所表示的区域，故选 B. 答案：B
返回
3x＋y－6≥0， 2．(2019·河南豫北联考)关于 x，y 的不等式组x－y－2≤0，
x＋y－4≤0
表示的平面区域的面积为
()
A．3
B．52
C．2
D．32
解析：平面区域为一个直角三角形 ABC，其中 A(3,1)，
B(2,0)，C(1,3)，所以面积为12|AB|·|AC|＝12× 2× 8＝2，
－dc，－ba连线的斜率的ac倍的取值范围、最值等
返回
对形如 z＝|Ax＋By＋C|型的目标函数，可先点到直线变形为 z＝ A2＋B2·|Ax＋A2B＋y＋B2C|的形式，将距离型问题化为求可行域内的点(x，y)到直线 Ax＋
By＋C＝0 的距离的 A2＋B2倍的最值
返回
考法三线性规划中的参数问题

一元二次不等式线性规划基本不等式应用

(4题) (5题)高考数学专题导学十三(一元二次不等式,线性规划,基本不等式)一、思考与感悟:1.若0a b <<,则下列不等式中正确的是( )A.2a b a b ab +<<<,B.2a ba ab b +<<<, C.2a b a ab b +<<<,D.2a bab a b +<<<。

2.若0,0a b >>且函数32()422f x x ax bx =--+在1x =处有极值,则ab 的最大值为。

3.不等式2210x x -->的解集是。

4.若变量,x y 满足约束条件250200x y x y x +-≤⎧⎪--≤⎨≥⎪⎩,则目标函数231z x y =++的最大值为。

5.若实数,x y 满足不等式组2502700, 0x y x y x y +-≥⎧⎪+-≥⎨≥≥⎪⎩,则34x y +的最小值是。

6.若,a b 是正常数,a b ≠,,(0,)x y ∈+∞,则222()a b a b x y x y ++≥+,当且仅当a b x y=时上式取等号,利用以上结论,可以得到491()((0,))122f x x x x =+∈-的最小值为。

7.若{21(0)()1(0)x x f x x +≥=<,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的取值范围是。

8.设1m >,在约束条件1y xy mx x y ≥⎧⎪≤⎨+≤⎪⎩下,目标函数5z x y =+的最大值为4,则m = 。

9.若实数,x y 满足430147x y x y x y +=⎧⎪-≥-⎨-≤⎪⎩22x y +的取值范围是。

10.若二次函数2()(0)f x ax bx a =+≠满足1(1)2f ≤-≤,2(1)5f ≤≤,则(3)f -的取值范围是。

11.若703x <<,则2()(73)f x x x =-的最大值为。

2020高三文理科数学二元一次不等式与简单线性规划问题专题汇编学生版(13页)

2020高三文理科数学二元一次不等式与简单线性规划问题专题汇编一相关知识点1．二元一次不等式(组)表示的平面区域2.（1）确定二元一次不等式表示的平面区域位置的方法把二元一次不等式Ax＋By＋C＞0(＜0)表示为y＞kx＋b或y＜kx＋b的形式．若y＞kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；若y＜kx＋b，则平面区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．（2）利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C<0，则有①当B(Ax＋By＋C)>0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；②当B(Ax＋By＋C)<0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的下方．（3）相关结论：点P1(x1，y1)和P2(x2，y2)位于直线Ax＋By＋C＝0的两侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＜0；位于直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)＞0.3．线性规划中的基本概念4.简单线性规划问题的图解法在确定线性约束条件和线性目标函数的前提下，用图解法求最优解的步骤概括为“画、移、求、答”．即5．求线性目标函数最值应注意的问题求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝－ab x＋zb，通过求直线的截距zb的最值间接求出z的最值，应注意以下两点：(1)若b >0，则截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距zb 取最小值时，z 也取最小值．(2)若b <0，则截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距zb 取最小值时，z 取最大值．题型一二元一次不等式(组)表示的平面区域类型一二元一次不等式(组)表示的平面区域的确定1．不等式组⎩⎨⎧y <－3x ＋12，x <2y表示的平面区域为( )2．观察如图所示的区域，它对应的不等式组是____________________________．类型二：直接求平面区域的面积 1．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋6≥0，x ＋y ≥0，x ≤3表示的平面区域的面积为________．2．关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y －6≥0，x －y －2≤0，x ＋y －4≤0表示的平面区域的面积为3．设变量x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≥2，y ≥3x －6，若满足条件的点P (x ，y )表示的平面区域为M ，则区域M 表示的几何图形的周长是类型三含参数的平面区域问题1．在平面直角坐标系xOy 中，若点P (m,1)到直线4x －3y －1＝0的距离为4，且点P (m,1)在不等式2x ＋y ≥3表示的平面区域内，则m ＝________.2．点(－2，t )在直线2x －3y ＋6＝0的上方，则t 的取值范围是________．3．点(1,0)与(2,5)位于10mx y +-=异侧，则m 的范围是4．已知点（3，1）和46-（，）在直线320x y a -+=的两侧，则实数a 的取值范围是5．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y >0，3x ＋y <3，x ＋y >a表示的平面区域是一个三角形区域(不包括边界)，则实数a 的取值范围是6．已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，所表示的平面区域的面积为3，则实数k 的值为________．7．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，2x ＋y ≤2，y ≥0，x ＋y ≤a表示的平面区域是一个三角形，则a 的取值范围是题型二线性目标函数的最值（取值范围） 1．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －2≤0，x －y ＋1≥0，y ≤0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．2．若x ，y 满足x ＋1≤y ≤2x ，则2y －x 的最小值是________．3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，2x －y －2≤0，x ＋y －4≥0，则x ＋2y 的最大值为4．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0，2x －y －2≤0，则z ＝3x －2y 的最大值为5．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y －1≤0，x ＋y ≥0，x －y －2≤0，则z ＝2x ·4y 的最大值为6．设实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥|x |，x －2y ＋4≥0，则2x ＋y 的最大值为7．已知点A (2，－1)，点P (x ，y )满足线性约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，y －1≤0，x －2y ≤4，O 为坐标原点，那么OA ―→·OP ―→的最小值是8．已知点M ，N 是平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －4≤0，x －2y ＋4≥0，x ＋y －2≥0内的两个动点，a ＝(1,2)，则MN ―→·a的最大值为9．若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是10．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x x ＋3y ≤4，x ≥－2则z ＝|x －3y |的取值范围是题型三非线性目标函数的最值（取值范围）非线性目标函数最值问题的常见类型及求法1．实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，x ≥0，y ≤2.(1)若z ＝yx ，求z 的最大值和最小值，并求z 的取值范围； (2)若z ＝x 2＋y 2，求z 的最大值与最小值，并求z 的取值范围； (3)求目标函数z ＝y －1x －1的取值范围；(4)求目标函数z ＝x 2＋y 2－2x －2y ＋3的最值．2.已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋2≤0，x ≥1，x ＋y －7≤0，则yx 的取值范围是3．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥2，x ＋y ≤4，若点P (2a ＋b,3a －b )在该不等式组所表示的平面区域内，则b ＋2a －1的取值范围是4．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －5≤0，x ＋y －4≤0，3x ＋y －10≥0，则z ＝x 2＋y 2的最小值为________．5．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －6≥0，x ＋2y －14≤0，2x ＋y －10≤0，则x 2＋y 2的最小值为________．6．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤4，则z ＝y －2x ＋3的最小值为7．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为题型四线性规划中的参数问题（求参数的值或取值范围） 1．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x ，x ＋y ≤6，y ≥k ，且z ＝3x ＋y 的最小值为－8，则k ＝________.2．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥0，x －y ≤0，0≤y ≤k ，若目标函数z ＝x ＋y 的最大值为6，则z 的最小值为3．实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧－3≤3x －y ≤－1，－1≤x ＋y ≤1，若z ＝ax ＋y 有最大值52，则a的值为4．若实数x ，y满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，3x －y ≤3，目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，则实数a 的取值范围是5．如图，目标函数z ＝kx ＋y 的可行域为四边形OABC (含边界)，A (1,0)，C (0,1)，若B ⎝ ⎛⎭⎪⎫34，23为目标函数取得最大值的最优解，则k 的取值范围是_______6．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为7.已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值为________.8.已知实数x ，y满足⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2≥y ，x －2≤2y ，x ＋y ≤2，若z ＝x －my (m ＞0)的最大值为4，则m ＝________.9.若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y －3≥0，2x －y －3≤0，x －my ＋1≥0，其中m ＞0，且x ＋y 的最大值为9，则实数m ＝________.10.若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，mx －y ≤0，3x －2y ＋2≥0且z ＝3x －y 的最大值为2，则实数m 的值为11．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －y ≥－1，2x －y ≤2.(1)求目标函数z ＝12x －y ＋12的最值；(2)若目标函数z ＝ax ＋2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求a 的取值范围．题型五线性规划的实际应用1．某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为( )A ．1 800元B ．2 100元C ．2 400元D ．2 700元。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高考专题训练十三一元二次不等式、线性规划、基本不等式及其应用班级_______ 姓名_______ 时间：45分钟分值：75分总得分________一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在答题卡上．1．(2011·陕西)设0<a a >0，∴a ＋b2>ab ，2b >b ＋a ， ∴b >a ＋b2，∴a <ab <a ＋b20，b >0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．9解析：f ′(x )＝12x 2－2ax －2b .因在x ＝1处有极值，则f ′(1)＝12－2a －2b ＝0， ∴a ＋b ＝6，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝9.答案：D3．(2011·广东B)不等式2x 2－x －1>0的解集是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1 B ．(1，＋∞) C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞) 解析：∵2x 2－x －1>0， ∴(2x ＋1)(x －1)>0， ∴x >1或x <－12，∴原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(1，＋∞)．答案：D4．(2011·山东)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≤0x －y －2≤0x ≥0，则目标函数z ＝2x ＋3y＋1的最大值为( )A ．11B ．10C ．9D ．8.5 解析：可行域如图当目标函数过点A 时，取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2＝0x ＋2y －5＝0得A (3,1)，故最大值为10. 答案：B5．(2011·浙江)若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －5≥0，2x ＋y －7≥0，x ≥0，y ≥0，则3x ＋4y 的最小值是( )A ．13B ．15C ．20D ．28解析：由线性约束条件作出可行域如图所示，直线x ＋2y －5＝0与2x ＋y －7＝0的交点P (3,1)，令z ＝3x ＋4y ，∴z min ＝13.答案：A6．(2011·商丘市高三一模)定义在R 上的函数f (x )满足f (3)＝1，f ′(x )为f (x )的导函数，已知y ＝f ′(x )的图象如图所示，若两个正数a 、b 满足f (3a ＋b )<1，则b ＋2a ＋1的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(2,5)C ．(1,5)D ．(－∞，1)∪(5，＋∞)解析：由f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图象可得y ＝f (x )(如下图)的大致图象，由图象可知，当a >0，b >0即3a ＋b >0时，y ＝f (x )为增函数，又∵f (3)＝1，∴f (3a ＋b )<f (3) ∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋b <3a >0b >0，作出可行域如下图∴b ＋2a ＋1的最小值为直线AB 的斜率k AB ＝1 b ＋2a ＋1的最大值为直线AC 的斜率k AC ＝5 ∴b ＋2a ＋1∈(1,5)，故选C. 答案：C二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．7．(2011·陕西省高考全真模拟一)若a 、b 是正常数，a ≠b ，x 、y ∈(0，＋∞)，则a 2x ＋b 2y ≥a ＋b 2x ＋y，当且仅当a x ＝b y 时上式取等号．利用以上结论，可以得到函数f (x )＝4x ＋91－2x⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12的最小值为________．解析：由题意知，f (x )＝22x ＋321－2x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∵2≠3且均为正常数，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12， ∴1－2x ∈(0,1)， ∴22x ＋321－2x ≥＋21－x，当且仅当2x ＝31－2x 时，即x ＝27时等号成立，即f (x )≥35.答案：358．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1， x ≥01， x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．解析：本题以分段函数为载体，考查函数的单调性及一元二次不等式的解法，求解的关键在于正确利用函数的性质进行等价转化．由题意有⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>02x <0或⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>2x2x ≥0，解得－1<x <0或0≤x <2－1，∴所求x 的取值范围为(－1，2－1)．答案：(－1，2－1)9．(2011·湖南)设m >1，在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，y ≤mx ，x ＋y ≤1下，目标函数z ＝x ＋5y 的最大值为4，则m 的值为________．解析：作出约束条件对应的可行域为如图所示阴影△OAB . ∵目标函数可化为y ＝－15x ＋15z .它在y 轴上的截距最大时z 最大． ∴当目标函数线过点A 时z 最大．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1y ＝mx 解得A ⎝⎛⎭⎪⎫1m ＋1，m m ＋1，∴z max ＝1m ＋1＋5m m ＋1＝5m ＋1m ＋1＝4， ∴m ＝3. 答案：310．(2011·湖北省黄冈中学模拟考试)若实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x －y ≥－14，x －y ≤7，则x 2＋y 2的取值范围是________．解析：如图所示，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0x －y ≥－14x －y ≤7所表示的可行域为线段AB ，x 2＋y 2可看作是可行域内的点P (x ，y )到原点O 的距离，由图易知|PO |min ＝0，|PO |max ＝|AO |，由⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋3y ＝0，x －y ＝－14，得A (－6,8)，故|PO |max ＝－2＋82＝10，即x 2＋y 2的取值范围为[0,10]．答案：[0,10]三、解答题：本大题共2小题，共25分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．11．(12分)(2011·江西师大附中、临川一中高三联考)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝f (4－x )，又函数f (x ＋2)在[0，＋∞)上单调递减．(1)求不等式f (3x )>f (2x －1)的解集；(2)设(1)中不等式的解集为A ，对于任意的t ∈A ，不等式x 2＋(t －2)x ＋1－t >0恒成立，求实数x 的取值范围．解：(1)∵f (x )＝f (4－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，又∵函数f (x ＋2)在[0，＋∞)上单调递减， ∴函数f (x )在[2，＋∞)上单调递减．∴不等式f (3x )>f (2x －1)⇔|3x －2|<|2x －1－2|⇔(3x －2)2<(2x －3)2⇔(5x －5)(x ＋1)<0⇔－1<x <1，∴原不等式的解集为(－1,1)． (2)令g (t )＝(x －1)t ＋(x 2－2x ＋1)．t ∈(－1,1)时，不等式x 2＋(t －2)x ＋(1－t )>0恒成立，即g (t )>0在t ∈(－1,1)上恒成立．当x ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧g－g ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2≥0x 2－x ≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≤1或x ≥2x ≤0或x ≥1⇒x ≤0或x ＝1或x ≥2， ∴x ≤0或x ≥2.当x ＝1时，0>0，显然不成立，∴x ≠1，综上，x ∈(－∞，0]∪[2，＋∞)．12．(13分)(2011·广东B)设b >0，数列{a n }满足a 1＝b ，a n ＝nba n －1a n －1＋n －1(n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)证明：对于一切正整数n,2a n ≤bn ＋1＋1.解：(1)(ⅰ)若b ＝1，则a 1＝1，a n ＝na n －1a n －1＋n －(n ≥2)则n a n ＝a n －1＋n －a n －1＝1＋n －1a n －1. ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 是首项为1，公差为1的等差数列， ∴n a n＝n ，∴a n ＝1. (ⅱ)若b ≠1，则a n n ＝ba n －1a n －1＋n －，∴n a n ＝1b ＋1b·n －1a n －1， ∴n a n －1b －1＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1a n －1－1b －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n－1b －1是首项为－1bb －，公比为1b的等比数列，∴n a n －1b －1＝－1b b －·⎝ ⎛⎭⎪⎫1bn －1，∵n a n ＝1b －1－1b b －·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b n －1， ∴a n ＝n b －b nb n －1.(2)证明：当b ＝1时，2a n ＝2≤2成立当b ≠1时，a n ＝n b －b nb n －1＝nb1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1bn1－1b＝nb1＋1b ＋1b 2＋ (1)n －1，要证2a n ≤b n ＋1＋1，只要证a n ≤b n ＋1＋12，只要证nb1＋1b ＋1b 2＋ (1)n －1≤b n ＋1＋12即证2nb ≤(b n ＋1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＋1b2＋…＋1b n －1.∵(b n ＋1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＋1b2＋…＋1b n －1＝bn ＋1＋b n ＋…＋b 2＋1＋1b ＋1b 2＋1bn －1＝⎝⎛⎭⎪⎫bn ＋1＋1b n －1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b n ＋1bn －2＋…＋(b 2＋1)≥＝2nb .∴2nb ≤(bn ＋1＋1)⎝⎛⎭⎪⎫1＋1b ＋1b2＋…＋1b n －1，从而2a n ≤b n ＋1＋1成立．。