高三第三次模拟试卷

高三第三次模拟试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|540M x x x =-+≤，{}0,1,2,3N =，则集合M N 中元素的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42.已知命题p ：x R ∀∈，12(2)0x -<，则命题p ⌝为（ ） A ．0x R ∃∈，120(2)0x -> B ．x R ∀∈，12(1)0x ->C ．x R ∀∈，12(1)0x -≥D ．0x R ∃∈，120(2)0x -≥3.已知复数521iz i =-（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4.已知双曲线C ：2221(0)16x y a a -=>的一个焦点为(5,0)，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．430x y ±=B ．1690x y ±=C ．40x =D ．4312x y ±=5.2017年8月1日是中国人民解放军建军90周年，中国人民银行为此发行了以此为主题的金银纪念币．如图所示是一枚8克圆形金质纪念币，直径22mm ，面额100元．为了测算图中军旗部分的面积，现用1粒芝麻向硬币内投掷100次，其中恰有30次落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ）A ．27265mm πB ．236310mm πC ．23635mm πD ．236320mm π6.下列函数中，与函数122x x y =-的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ） A ．sin y x =B ．3y x =C ．1y x=D ．22,0,0x x y x x ⎧-≥⎪=⎨<⎪⎩7.如图是一个空间几何体的正视图和俯视图，则它的侧视图为（ ）8.设55log 4log 2a =-，2ln ln 33b =+，1lg5210c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<9.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）A ．1819B ．1920C ．2021D ．12010.将函数()2sin(4)3f x x π=-的图象向左平移6π个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图象，则下列关于函数()g x 的说法错误的是（ ） A ．最小正周期为πB ．图象关于直线12x π=对称C ．图象关于点(,0)12π对称D ．初相为3π11.抛物线有如下光学性质：过焦点射出的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线的对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点．已知抛物线24y x =的焦点为F ，一条平行于x 轴的光线从点(3,1)M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另一点B 射出，则直线AB 的斜率为（ ） A ．43B ．43-C ．43±D ．169-12.已知ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且222()(cos cos )a b c a B b A abc +-⋅+=，若2a b +=，则c 的取值范围为（ ）A ．(0,2)B ．[1,2)C ．1[,2)2D ．(1,2]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．设()()5260125121x x a a x a x a x -+=++++ ，则2a 等于__________．14．向如图所示的边长为2的正方形区域内任投一点，则该点落入阴影部分的概率为__________.15．设 x y ，满足约束条件360200 0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，，其中目标函数()0 0z ax by a b =+>>，的最大值为12，则23a b+的最小值为 ． 16．中国古代数学经典《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑（biē nào ）．若三棱锥P ABC -为鳖臑,且PA ⊥平面ABC , 2,PA AB ==又该鳖臑的外接球的表面积为24π，则该鳖臑的体积为__________三、解答题：解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在ABC ∆ 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且23ACB π∠=. （1）若,,a b c 依次成等差数列，且公差为2，求c 的值；（2）若c ABC θ=∠=，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值.18．“微信运动”已成为当下热门的健身方式，小王的微信朋友圈内也有大量好友参与了“微信运动”，他随机选取了其中的40人（男、女各20人），记录了他们某一天的走路步数，并将数据整理如下：（1）已知某人一天的走路步数超过8000步被系统评定“积极型”，否则为“懈怠型”，根据题意完成下面的22⨯列联表，并据此判断能否有95%以上的把握认为“评定类型”与“性别”有关？附： ()()()()()22n ad bc k a b c d a c b d -=++++，（2）若小王以这40位好友该日走路步数的频率分布来估计其所有微信好友每日走路步数的概率分布，现从小王的所有微信好友中任选2人，其中每日走路不超过5000步的有X 人，超过10000步的有Y 人，设X Y ξ=-，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，三棱柱111ABC A B C -中，四边形11AA BB 是菱形，311π=∠A BB ，1111BB AA B C 面⊥,二面角11C A B B --为6π， 1CB =. （Ⅰ）求证：平面1ACB ⊥平面1CBA ; （Ⅱ）求二面角1A AC B --的余弦值.20．已知ABC ∆的顶点()1,0A ，点B 在x 轴上移动， AB AC =，且BC 的中点在y轴上.（Ⅰ）求C 点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知轨迹Γ上的不同两点M ， N 与()1,2P 的连线的斜率之和为2，求证：直线MN 过定点．21．已知函数()()2ln f x x x ax x a a R =+-+∈在其定义域内有两个不同的极值点.（1）求a 的取值范围.（2）设()f x 的两个极值点为12,x x ，证明212x x e >22．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程是12{x t y m ==+（t 为参数），以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭. （Ⅰ）写出曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点P 、Q 分别在1C 、2C 上运动，若PQ 的最小值为1，求m 的值.23．选修4-5：不等式选讲设函数()52f x x x a =-+-， x R ∈. （Ⅰ）当12a =-时，求不等式()4f x ≥的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式()f x a ≥在R 上恒成立，求实数a 的最大值.参考答案1-5:CDDAB 6-10:DAABC 11-12：BB 13、30 14、81 15、625 16、38 17、试题解析：(1) ,,a b c 成等差数列，且公差为2,4,2a c b c ∴=-=-，又()()()()222222422111,cos ,,32222422c c c a b c BCA C ab c c π-+--+-∠=∴=-∴=-∴=--- ，恒等变形得29140c c -+=，解得7c =或2c =，又4,7c c >∴= . (2)在ABC ∆中，,22sin sin sin sin sinsin 33AC BC AB AC BC ABC BAC ACB ππθθ==∴===∠∠∠⎛⎫- ⎪⎝⎭，2sin ,2sin 3AC BC πθθ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.ABC∴∆的周长()2s i 2s i n3f A C B C A B πθθθ⎛⎫=++=+-+ ⎪⎝⎭12sin 2sin 23πθθθ⎡⎤⎛⎫=+=++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦20,,3333ππππθθ⎛⎫∈∴<+< ⎪⎝⎭ ，∴当32ππθ+=即6πθ=时， ()f θ取得最大值218、【解析】【试题分析】（１）依据题设条件做成2×2列联表，计算出卡方系数，再与参数进行比对，做出判断；（２）先求随机变量ξ的分布列，再运用随机变量的数学期望公式计算求解：()2240141268403.8412020221811K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯，故没有95%以上的把握认为二者有关； （Ⅱ）由题知，小王的微信好友中任选一人，其每日走路步数不超过5000步的概率为18，超过10000步的概率为14，且当0X Y ==或1X Y ==时， 0ξ=， 12551129888464P C =⨯+⋅=；当1,0X Y ==或 0,1X Y ==时， 1ξ=， 1122151530884864P C C =⋅+⋅=；当2,0X Y ==或0,2X Y ==时， 2ξ=，221154864P ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即ξ的分布列为：58E ξ=. 19、【答案】（1）见解析（2）1cos 4AEO ∠=【解析】试题分析：（1）先由三棱柱性质将线面垂直1111C B AA BB ⊥面转化为11CB AA BB ⊥面，再由11CB AA BB ⊥面得线线垂直1CB AB ⊥，又由11AA BB 是菱形得11AB A B ⊥,最后根据线面垂直判定定理得线面垂直11AB A BC ⊥面, 根据面面垂直判定定理得平面1ACB ⊥平面1CBA .（2）求二面角的大小，一般借助空间向量数量积求解，先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解出各面法向量，利用向量数量积求两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系求二面角.试题解析：（1）证明：在三棱柱111ABC A B C -中，由1111C B AA BB ⊥面 得11CB AA BB ⊥面，则1CB AB ⊥， 又11AA BB 是菱形, 得11ABA B ⊥,而1CB A B B ⋂=, 则11AB A BC ⊥面, 故平面1ACB ⊥平面1CBA . （2）由题意得11A B B ∆为正三角形， 取11A B 得中点为D ，连CD,BD, 则11BD A B ⊥,又11CB A B ⊥易得11CD A B ⊥,则CDB ∠为二面角11C A B B --的平面角，因1BC =, CDB ∠=6π,所以BD =, 所以11112A B BB A B ===过11,AB A B 交点O 作1OE AC ⊥,垂足为E ,连AE 则AEO ∠为二面角1A AC B --的平面角，又OE AO == 得AE =所以1cos 4AEO ∠=20、试题解析：（Ⅰ）设(),C x y （0y ≠），因为B 在x 轴上且BC 中点在y 轴上，所以(),0B x -，由AB AC =，得()()22211x x y +=-+，化简得24y x =，所以C 点的轨迹Γ的方程为24y x =（0y ≠）． （Ⅱ）设直线MN 的方程为x my n =+， ()11,M x y ， ()22,N x y ， 由24,{,y x x my n ==+得2440y my n --=，所以124y y n =-，1121112241214MP y y k y x y --===-+-，同理242NP k y =+， 所以1244222y y +=++，化简得124y y =， 又因为124y y n =-，所以1n =-， 所以直线MN 过定点()1,0-.21、试题解析：（1）依题意，函数()f x 的定义域为()0,+∞，所以方程()0f x '=在()0,+∞有两个不同根.即方程ln 20x ax +=在()0,+∞有两个不同根.转化为，函数()ln xg x x=与函数2y a =-的图象在()0,+∞上有两个不同交点 又()21ln xg x x-'=，即0x e <<时， ()0g x '>， x e >时， ()0g x '<， 所以()g x 在()0,e 上单调增，在(),e +∞上单调减，从而()()1=g x g e e =极大.又()g x 有且只有一个零点是1，且在0x →时， ()g x →-∞，在x →+∞时，()0g x →，所以由()g x 的图象，要想函数()ln xg x x=与函数2y a =-的图象在()0,+∞上有两个不同交点，只需102a e <-<，即102a e<<- （2）由（1）可知12,x x 分别是方程ln 0x ax -=的两个根，即11ln x ax =， 22ln x ax =，设120x x >>，作差得， ()1122ln xa x x x =-，即1212lnx x a x x =-.原不等式212x x e >等价于12ln ln 2x x +> ()122a x x ⇔+> ()1212122lnx x x x x x -⇔>+ 令12x t x =，则1t >， ()()121212221ln ln 1x x t x t x x x t -->⇔>++， 设()()21ln 1t g t t t -=-+， 1t >，()()()22101t g t t t +'-=>，∴函数()g t 在()1,+∞上单调递增，∴()()10g t g >=， 即不等式()21ln 1t t t ->+成立，故所证不等式212x x e >成立.22、【解析】试题分析：（Ⅰ）利用cos x ρθ=， sin y ρθ=， 222x y ρ=+代入得2C 的直角坐标方程； （Ⅱ）2C是圆心为)，半径为2的圆， 1C 为直线， PQ 可以转化为圆心到直线的距离减半径即可. 试题解析：（Ⅰ）4cos 6πρθ⎛⎫=-⎪⎝⎭即2sin ρθθ=+，所以2cos ρθ= 2sin ρθ+，将cos x ρθ=， sin y ρθ=， 222x y ρ=+代入得2C 的直角坐标方程为22x y +-20y -=；（Ⅱ）将22x y +-20y -=化为(()2214x y +-=，所以2C是圆心为)，半径为2的圆，将1C0y m -+=，所以min 2PQ =- 2212m +=-=，由此解得4m =或8m =-.23、【答案】（1）{|13}x x x ≤≥或（2）54【解析】试题分析：（1）运用零点分区间的方法，去掉绝对值，分别解不等式组，求并集即可；（2）运用绝对值不等式的性质，可得()f x 的最小值，由不等式恒成立思想可得52a a -≥，再由绝对值不等式的解法，可得a 的范围. 试题解析：（1）()5122f x x x =-++= 122,215{3,22522,2x x x x x -+<--≤≤-> 由()4f x ≥得1{2224x x <--+≥或5{2224x x >-≥，解得1x ≤-或3x ≥，所以不等式的解集为{|13}x x x ≤≥或；（2）由绝对值的性质得()52f x x x a =-+-≥ ()5522x x a a ⎛⎫---=- ⎪⎝⎭， 所以()f x 最小值为52a -，从而52a a -≥，解得54a ≤，因此a 的最大值为54.。