平方根
平方根的运算法则
平方根的运算法则平方根是数学上常见的概念，它可以帮助我们求解一些与平方相关的问题。
在运算中，平方根也遵循一些特定的法则，掌握这些法则可以更加高效地进行计算。
本文将介绍平方根的运算法则，并举例说明。
一、平方根的定义平方根是指对一个非负数 a，找出在非负数集合中的一个数 b，使得 b 的平方等于 a，表示为b = √a。
其中，a 称为被开方数，b 称为平方根。
二、平方根的运算法则平方根的运算法则主要包括以下几个方面：1. 同底数相乘的平方根等于各底数的平方根相乘即：√(a*b) = √a * √b例如：√(4*9) = √4 * √9 = 2 * 3 = 62. 同底数相除的平方根等于各底数的平方根相除即：√(a/b) = √a / √b例如：√(16/4) = √16 / √4 = 4 / 2 = 23. 求一个数的平方根后再进行平方，等于其绝对值即：(√a)^2 = |a|例如：(√9)^2 = |9| = 94. 平方根的乘方等于被乘方数即：(√a)^n = a^(1/n)例如：(√64)^3 = 64^(1/3) = 4^3 = 645. 同一数的乘方根可以转化为同一数的乘方即：√(a^n) = a^(n/2)例如：√(5^4) = 5^(4/2) = 5^2 = 25三、应用示例下面将通过示例来进一步说明平方根的运算法则。
示例1：求解√(9*16) = ?按照第一个法则，可以分别计算√9 和√16，然后再相乘：√(9*16) = √9 * √16 = 3 * 4 = 12因此，√(9*16) = 12。
示例2：求解(√144)^2 = ?根据第三个法则，先计算√144，再进行平方：(√144)^2 = |144| = 144因此，(√144)^2 = 144。
示例3：求解√(5^6) = ?根据第五个法则，可以转化为同一数的乘方：√(5^6) = 5^(6/2) = 5^3 = 125因此，√(5^6) = 125。
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根算术平方根立方根二次根式
平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中起着重要作用。
首先，平方根是一个数的平方根是指另一个数的平方，例如，
数x的平方根是指另一个数y，使得y的平方等于x。
一般来说，如
果一个数为正数，那么它有两个平方根，一个是正的，一个是负的。
例如，4的平方根是2和-2，因为2的平方等于4，-2的平方也等
于4。
其次，算术平方根是指一个非负数的平方根。
例如，数9的算
术平方根是3，因为3的平方等于9。
在实际应用中，算术平方根常
常用于计算几何问题和物理问题中。
接着，立方根是一个数的立方根是指另一个数的立方，例如，
数x的立方根是指另一个数y，使得y的立方等于x。
和平方根类似，如果一个数为正数，那么它有一个实数立方根，如果这个数为负数，那么它也有一个实数立方根。
最后，二次根式是指包含有平方根的代数式，例如，√2或
3√5。
二次根式在代数中经常出现，在求解方程和进行简化代数式时起着重要作用。
总的来说，平方根、算术平方根、立方根和二次根式都是数学中常见的概念，它们在代数和数学分析中有着广泛的应用，对于理解数学和解决实际问题都具有重要意义。
希望我对这些概念的解释能够帮助到你。
平方根的计算方法
平方根的计算方法导言：平方根（square root）是数学中常见的运算，用于求一个数的平方根。
计算平方根可以帮助我们解决很多实际问题，例如在几何学、物理学和工程学中的应用。
本文将介绍几种计算平方根的方法，并探讨它们的优缺点。
一、牛顿法（Newton's Method）牛顿法是一种迭代法，通过不断逼近平方根的值来得到更加精确的结果。
该方法基于牛顿-拉夫逊法则，其迭代公式如下：x_(x+1) = x_x - (x_x^2 - x)/(2x_x)其中，x为需要求平方根的数，x为迭代次数，x_x为迭代过程中的近似值。
通过迭代计算，x_x将逐渐逼近平方根。
牛顿法的优点是收敛速度快、迭代次数较少，适用于求解大部分整数和实数的平方根。
但是，牛顿法需要选择一个合适的初始值，否则可能导致结果偏离真实值。
二、二分法（Bisection Method）二分法是一种基于区间划分的方法，通过不断将区间缩小，逐渐逼近平方根的值。
该方法的思路是，如果一个数的平方大于待求平方根的数，那么这个数的平方根必然在该数左侧；反之，如果一个数的平方小于待求平方根的数，那么这个数的平方根必然在该数右侧。
通过不断将区间一分为二，可以逐步缩小范围。
二分法的优点是简单易实现，并且收敛性较好。
然而，与牛顿法相比，二分法的收敛速度较慢，需要更多的迭代次数。
三、连分数（Continued Fraction）法连分数法是一种将平方根表示为连分数的方法，通过截断连分数的展开式，可以近似计算平方根的值。
以求解正整数的平方根为例，设平方根为一个无限连分数：√x = x_0 + 1/(x_1 + 1/(x_2 + 1/(x_3 + 1/(x_4 + ...))))其中，x_x为连分数的系数。
通过不断截断、逼近连分数的展开，可以得到近似的平方根。
连分数法的优点是可以提供较为准确的结果，并且在计算机实现时能够保持高精度。
然而，连分数法的计算步骤繁琐，对于非整数的平方根计算较为复杂。
平方根
知2－练
（来自教材）
2 下列说法正确的有（ A ）
①－2是－4的一个平方根；
②a2的平方根是a；
③2是4的一个平方根；
④4的平方根是－2.
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
知2－练
知2－练
3 下列关于“0”的说法中，正确的是（ C ） A．0是最小的正整数 B．0没有相反数 C．0没有倒数 D．0没有平方根
2 计算下列各式的值： (1) 9 ； (2) 0.49 ；
(3) 64 . 81
知3－练
解：(1) 9 3 ;
(2) 0.49 0.7 ;
(3)因为
8 2 9
64 81
，所以
64 81
8 9
.
（来自教材）
3 81 的平方根是（ C ） 16
A．± 9
B. 9
4
4
C．± 3 2
D. 3 2
2 易错小结
下列说法不正确的是（ D ） A．21的平方根是± 21 B． 21 是21的一个平方根 C． 21 是21的算术平方根 D．21的平方根是 21
1、世上没有绝望的处境，只有对处境 绝望的 人。 2、挑水如同武术，武术如同做人。循序 渐进， 逐步实 现目标 ，才能 避免许 多无谓 的挫折 。
(2)因为0.92=0.81，所以 0.81 0.9 ；
(3)因为 ( 7 )2 49 ，所以 49 7 .
39
93
（来自教材）
总结
知2－讲
求一个式子的值，先分析式子的意义，特别是看 清它表示的是算术平方根还是平方根，就是看清符号， 最后的结果不改变它的正负性．
平方根的运算
平方根的运算平方根是数学中的一种运算，用于求解一个数（被称为被开方数）的平方根。
平方根可以用数学符号√来表示，即√被开方数。
求解平方根的操作被称为开方运算，它是数学领域中非常重要的一个概念。
在本文中，我们将深入探讨平方根的运算方法和相关概念。
一、开方运算基本概念开方运算是指对一个数进行平方根的求解操作。
在数学中，开方运算可以分为两种情况：正数的开方和负数的开方。
1. 正数的开方对于一个正数x，求解其平方根可以使用根号运算√x，结果是一个非负数。
例如，√9 = 3，表示9的平方根是3。
当被开方数是完全平方数时，其平方根是一个整数；当被开方数不是完全平方数时，其平方根是一个无理数，不能精确表示。
例如，√2是一个无理数，不能被有理数表示为分数或小数的形式。
2. 负数的开方对于一个负数x，求解其平方根需要引入虚数单位i。
虚数单位i定义为√(-1)，它满足i^2 = -1。
因此，对于一个负数x，其平方根可以表示为±i乘以一个正数。
例如，√(-9) = ±3i，表示-9的平方根是±3i。
二、平方根的运算方法在进行平方根的运算时，常见的方法有以下几种：试除法、二分法和牛顿迭代法。
1. 试除法试除法是一种简单且直观的求平方根的方法。
该方法的原理是从一个猜测值开始，依次试除并逼近最终的平方根。
具体步骤如下：（1）选择一个初始猜测值，例如1。
（2）将被开方数除以猜测值，并计算商。
（3）将猜测值与商的平均值作为新的猜测值。
（4）重复步骤2和步骤3，直到猜测值的平方与被开方数的差小于所设置的误差范围。
试除法是一种较为原始的方法，计算过程中可能需要多次迭代才能得到较为准确的结果。
2. 二分法二分法是一种逐步逼近的方法，它通过不断缩小平方根的取值范围来逼近最终的结果。
具体步骤如下：（1）确定被开方数的上下界，例如0和被开方数本身。
（2）计算上下界的中间值。
（3）判断中间值的平方与被开方数的大小关系，如果刚好等于，则中间值即为所求的平方根；如果大于被开方数，则新的上界变为中间值；如果小于被开方数，则新的下界变为中间值。
平方根
试一试
求下列各式的值：
⑵
9 25
⑴
1
⑶
2
2
⑷
1 - 3
2
跟我练
3 ⑴３的算术平方根是＿＿＿．
⑵ 81 的算术平方根是＿＿＿． 3
⑷若 , 则 2
⑶＿＿＿算术平方根等于它本身． 0和1
x
4 x ＿＿＿．
⑸若 则
x
3 x 3
6 ＿＿＿．
⑹若 则
x 36
100 - x 8
正数a的算术平方根记作： a 它的另一个平方根是它的相反数，记作：- a 因此一个正数a的平方根表示为： a 0的平方根还是0 0 0 那么求一个正数的平方根，只要求出 它的算术平方根后，就可以写出它的 平方根了。
跟我练
★ 一个正数有 为 算术平方根 个平方根，它们互 个 。一个正数有
49
• (3)
x² =15
(4) 4x² =81
一个正数 a 的平方根，用符号 + 2 a 表示，
正数a的正的平方根，用符号 + 正数a的负的平方根，用符号 2
a 表示。
2
a 表示。
这两个平方根合在起来就是a的平方 2 + a 。 根 正数a的正的平方根叫做a的算术平方根。 记作 a 读作“根号a”；
练
习
• 1、一个数的平方等于它本身，这个数 是 。一个数的平方根等于它本身， • 这个数是 。 • 2、若3a+1没有平方根，那么a一定 -------• 3、若4a+1的平方根是±5，则a= 。 • 4、一个数x的平方根等于m+1和m-3， 则m= 。x= 。
检
测
• 若|a-9|+（b-4）² =0，则 a 的平方根 b 是------------• 求下列各式中的x: 25 • (1) x² =16 (2) x² =
平方根的计算
测试案例和结果分析
测试案例设计
设计覆盖各种情况的测试案例，包括正常输入、边界 情况、异常输入等。
结果分析
对测试结果进行详细分析，包括计算精度、计算速度 、稳定性等方面，以评估程序的性能和可靠性。
05
平方根在数学中应用
几何学中距离和面积计算
距离公式
在二维平面或三维空间中，两点之间的距离计算经常涉 及到平方根运算，如勾股定理。
统计学应用
在统计学中，平方根常用于计 算标准差和方差等统计量。
金融学应用
在金融学中，平方根常用于计 算波动率和风险价值等金融指
标。
02
手工计算方法
逐位试探法原理及步骤
原理
从最高位开始，逐位确定平方根的各 个数位上的数字，使得该数位的平方 不超过原数对应位置的数。
步骤
首先确定最高位数字，然后依次确定 次高位、次次高位等，直到达到所需 的精度或无法继续确定下一位数字为 止。
平方根的计算
汇报人：XX 20XX-01-31
contents
目录
• 平方根概念及性质 • 手工计算方法 • 数值迭代算法 • 程序设计实现 • 平方根在数学中应用 • 总结与展望
01
平方根概念及性质
平方根定义与表示方法
平方根定义
若一个数的平方等于另一个给定 的数，则这个数称为给定数的平 方根。
THANK YOU
感谢观看
非负性
对于任意实数a，若a≥0，则其平方根√a总 是非负的。
唯一性
对于给定的非负数a，其平方根√a是唯一的 。
运算性质
平方根运算满足一些基本的运算性质，如 √(ab)=√a×√b（a≥0，b≥0）等。
实际应用举例
几何应用
平方根公式计算公式
平方根公式计算公式1.正平方根公式：正平方根公式可以表示为：√a=b，其中a是被开方数，b是正的平方根。
计算一个正数的平方根的一种方法是使用二分法。
首先，确定一个区间[a,b]，其中a是0，b是这个正数。
然后计算区间的中点c，如果c的平方等于这个数，那么c就是这个数的平方根；如果c的平方小于这个数，那么新的区间为[c,b]；如果c的平方大于这个数，那么新的区间为[a,c]。
然后继续重复这个步骤，直到找到满足条件的平方根。
另一种常见的计算正平方根的方法是使用牛顿法。
牛顿法的思想是通过不断逼近函数的零点来计算一个函数的根。
对于计算平方根，可以将问题转化为求解方程x^2-a=0。
然后使用牛顿法的迭代公式：x_n+1=x_n-(f(x_n)/f'(x_n))，其中x_n是前一次的迭代结果，x_n+1是下一次的迭代结果，f(x_n)是函数在x_n处的值，f'(x_n)是函数在x_n处的导数值。
重复使用这个迭代公式直到满足精度要求。
2.负平方根公式：负平方根公式可以表示为：√a=-b，其中a是被开方数，b是正的平方根。
负平方根可以通过正平方根乘以虚数单位i来表示。
虚数单位i是一个虚数，定义为i^2=-1、所以负平方根可以表示为：√a=√(a*-1)=i*√(-a)。
因此，计算负平方根可以先计算被开方数的绝对值的正平方根，然后乘以虚数单位i即可。
例如，计算-9的平方根：首先计算9的正平方根：√9=3然后乘以虚数单位i：√-9=3i。
计算平方根的公式有很多应用，例如在几何学中可以用来计算三角形的边长或者求解圆的半径；在物理学中可以用来计算物体的速度或者求解方程等。
不同的方法和公式可以根据具体的问题和需求来选择使用。
平方根
；
；
0 的算术平方根是 0
10－4的算术平方根是
10 2 ；
（2）100的算术平方根是 10 2 的算术平方根是
10
1 10
49 ； 的算术平方根是 ； 64 0.9 ；0.81的算术平方根是 ；
7 8
1 （3） 2 的算术平方根是 2
81 13 49表示49的算术平方根，49＝7 温馨提示：求值时，要按照算术平方根的意义，写
49
2
0.0009
出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法 2 2 2 写出对应的值．例如 13 表示13（或169）的算术平方根, 13 13 16 16 16 4 25 表示25的算术平方根。 表示 的算术平方根， ＝
非负数
a ≥0
（a≥0）
算术平方根具有双重非负性
• 平方根与算术平方根的联系与区别：
联系 （1）具有包含关系:平方根包含算术平方根， 算术平方根是平方根的一种。 （2） 存在条件相同：平方根和算术平方根的 被开方数都具有非负性
（3） 0的平方根和算术平方根都是0。
•平方根与算术平方根的联系与区别： 区别 （1） 定义不同： “如果一个数X的平方等于a， 那么这个数X叫做a的平方根”，“我们把一个正 数a的正的平方根， 叫做这个数a的算术平方 根”。 （2）个数不同：一个正数有两个平方根，而一 个正数的算术平方根只有一个。 （3）表示方法不同：正数a的算术平方根表示 为√a，而正数a的平方根表示为±√ a. （4）取值不同：正数的平方根一正一负，互为 相反数；正数的算术平方根一定是正数。
2
（2）
∵ 10 10 6 ∴10 的平方根是 10 3 即 10 6 10 3
平方根与算术平方根
平方根与算术平方根1.平方根：如果一个数x 的平方等于a ，即x 2=a ，那么这个x 就叫a 的平方根，表示为±a ，也叫二次方根，3和－3的平方都等于9，由定义可知3和－3都是9的平方根，即9的平方根有两个3和－3，即±=9±3.2.算数平方根： 若一个正数x 的平方等于a ，即x 2=a ，则这个正数x 就叫做a 的算术平方根.记为“a ”读作“根号a ”.这就是算术平方根的定义.特别地规定0的算术平方根是0，即0=0. 9的算术平方根只有一个是3.即39=.3.平方根的性质：一个正数有两个平方根，且它们互为相反数；0有一个平方根是0，负数没有平方根.4.算数平方根的性质：非负数（正数和0）才有算术平方根，负数没有算术平方根. 即用式子表示为a (a ≥0)一定为非负数4.平方根与算术平方根的区别与联系1、联系：(1)具有包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根的一种.(2)存在条件相同：平方根和算术平方根都是只有非负数才有.(3)0的平方根，算术平方根都是0.2、区别：(1)定义不同：“如果一个数的平方等于a ，这个数就叫做a 的平方根”；“非负数a 的非负平方根叫a 的算术平方根”.(2)个数不同：一个正数有两个平方根，而一个正数的算术平方根只有一个.(3)表示法不同：正数a 的平方根表示为±a ，正数a 的算术平方根表示为a .(4)取值范围不同：正数的平方根一正一负，互为相反数；正数的算术平方根只有一个。
练 习1．9的平方根是（ ）A ．3B ．－3C ．±3D ．32．下列说法中正确的是（ ）A ．任何数都有平方根B ．一个正数的平方根的平方就是它的本身C ．只有正数才有算术平方根D ．不是正数没有平方根3．下列各式正确的是（ ）A ．1691=45B ．414=221 C ．25.0=0.05 D ．－49-=－（－7）=7 4.下列说法正确的是（ ）A.5是25的算术平方根B.±4是16的算术平方根C.－6是（－6）2的算术平方根D.0.01是0.1的算术平方根5．下列各式无意义的是（ ）A ．－5B ．25-C ．51- D ．2)5(- 6．3－2的算术平方根是（ ） A ．61 B ．31C ．3D ．6 7．（－23）2的平方根是（ ） A ．±8 B ．8 C ．－8D ．不存在 8．使x -有意义的x 的值是（ ）A ．正数B ．负数C ．0D ．非正数9．一个自然数的算术平方根是n ，那么大于这个自然数且与它相邻的自然数是（ ）A.n +1B.n 2+1C.12+n D.n +110．若x 2=2,则x 的准确值是多少? 如何表示?请填写下列各空：（1）∵42=16，∴16的算术平方根是 ，用符号表示出来为 ； （2）∵94)32(2=，∴94的算术平方根是 ；用符号表示出来为 ； （3）∵( )2=6，∴6的算术平方根是 .11．若一个数的算术平方根是5，则这个数是_________.12．8116的平方根是____________，（21-）2的算术平方根是____________． 13．y =x x -+-33+2，则x =__________，y =__________．14．一个数的算术平方根是它本身，这个数是______________．15．252－242的平方根是__________，0.04的负的平方根是____________．16．若2-a +|b －3|=0，则a +b －5=____________．17．若4x 2=9，则x =____________．18．81的算术平方根为_________.16的平方根是____________19． (－π)2的算术平方根为_____.20．求下列各数的算术平方根，并用符号表示出来：(1)(7.1)2； (2)(－3.5)2； (4)241.21、求各式的值－01.0 2)5(- 610-22、计算32÷（－3）2+|－61|×（－6）+49．23、求下列各式中x 的值.(1) 25x 2－36=0； (2) (x +1)2－81=0；24、12-x +（y +2）2=0，求x －3+y 3的值．25、 |2a －5|与2+b 互为相反数，求ab 的值．26、已知x ，y 满足x x y 211121-+-=+3，求x y27、请你在数轴上画出表示5的点，并简要说出你的画法．。
平方根的概念与性质
平方根的概念与性质平方根是数学中一个重要的概念，它广泛应用于各个领域。
在数学中，平方根是求一个数的平方的逆运算，可以将平方根定义为满足平方等于该数的非负数。
在讨论平方根的性质前，先来了解一下平方根的符号表示和计算方法。
在数学中，平方根通常用符号√来表示。
例如，√4表示4的平方根，它的值为2，因为2的平方等于4。
而√9则表示9的平方根，它的值为3。
在实际计算中，我们可以利用平方根的定义和公式进行求解。
在数学中，平方根具有以下几个重要的性质。
1. 非负性：平方根是非负数。
根据平方根的定义，如果一个数的平方根存在，则其平方根一定是非负的。
因为任意实数的平方都大于等于0，所以平方根的值不能是负数。
2. 唯一性：每个正数都有唯一的正平方根。
对于任意一个正数，它的平方根是唯一确定的。
例如，4的平方根是2，不存在其他正数的平方等于4。
3. 无理性：大多数数的平方根是无理数。
一个数的平方根如果不是整数，且不能表示为两个整数的比值，那么它就是一个无理数。
例如，2的平方根√2是一个无理数，它无限不循环地连续小数。
4. 代数性：平方根具有代数性质。
对于一个非负实数a和b，有以下代数性质成立：- 任意非负实数a，它的平方根可以表示为±√a。
- 平方根运算具有乘法运算的结合律，即√(ab) = √a * √b。
- 平方根运算具有除法运算的性质，即√(a/b) = √a / √b，其中b不等于0。
除了这些基本性质外，平方根还有一些其他的特性。
在几何学中，平方根的概念与求解直角三角形的边长密切相关。
根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于其他两条边平方的和。
因此，通过求解平方根可以得到直角三角形的边长。
在物理学中，平方根的概念与速度和加速度的关系密切相关。
加速度是速度对时间的变化率，而速度是位移对时间的变化率。
通过平方根运算，可以求解速度和加速度之间的关系。
在工程学和科学研究中，平方根还被广泛应用于信号处理和图像处理等领域。
平方根
《平方根》【知识要点】1、平方根：一般地，如果一个数x 的平方等于a,即x 2=a 那么这个数x 就叫做a 的平方根（也叫做二次方根式），2、算术平方根：3、平方根的性质：（1）一个正数有个平方根，它们； （2）0平方根，它是； （3）没有平方根． 4、重要公式：（1）=2)(a （2）{==a a 2 5、平方表：【典型例题】例1、判断下列说法正确的个数为（ ） ① -5是-25的算术平方根； ② 6是()26-的算术平方根； ③ 0的算术平方根是0； ④ 0.01是0.1的算术平方根；⑤一个正方形的边长就是这个正方形的面积的算术平方根．A ．0 个B ．1个C ．2个D ．3个 例2、36的平方根是（ ） A 、6 B 、6±C 、6D 、6± 例3、下列各式中，哪些有意义？（1）5 （2）2- （3）4- （4）2)3(- （5）310-例4、一个自然数的算术平方根是a ，则下一个自然数的算术平方根是（ ） A ．()1+a B ．()1+±a C ．12+a D ．12+±a 例5、求下列各式中的x ：（1）0252=-x （2）4(x+1)2-169=0 【巩固练习】 一、选择题1． 9的算术平方根是（ ）A ．-3B ．3C ．±3D ．81 2．下列计算正确的是（ ）A±2 B C.636=± D.992-=- 3．下列说法中正确的是（ ）A ．9的平方根是3 B22 4． 64的平方根是（ ）A ．±8B ．±4C ．±2D 5． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ）A ．4B ．18C ．-14D ．146．下列结论正确的是（ ） A 6)6(2-=-- B 9)3(2=- C 16)16(2±=- D 251625162=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-- 7．以下语句及写成式子正确的是（ ） A 、7是49的算术平方根，即749±= B 、7是2)7(-的平方根，即7)7(2=- C 、7±是49的平方根，即749=± D 、7±是49的平方根，即749±= 8．下列语句中正确的是（ ）A 、9-的平方根是3-B 、9的平方根是3C 、9的算术平方根是3±D 、9的算术平方根是39．下列说法：(1)3±是9的平方根；(2)9的平方根是3±；(3)3是9的平方根；(4)9的平方根是3，其中正确的有（ ） A ．3个 B ．2个C ．1个D ．4个10．下列语句中正确的是（ ） A 、任意算术平方根是正数 B 、只有正数才有算术平方根C 、∵3的平方是9，∴9的平方根是3D 、1-是1的平方根 11．下列说法正确的是（ ）A ．任何数的平方根都有两个B ．只有正数才有平方根C ．一个正数的平方根的平方仍是这个数D ．2a 的平方根是a ± 12．下列叙述中正确的是（ ） A ．（-11）2的算术平方根是±11B ．大于零而小于1的数的算术平方根比原数大C ．大于零而小于1的数的平方根比原数大D ．任何一个非负数的平方根都是非负数 13．25的平方根是（ ） A 、5B 、5-C 、5±D 、5± 14．36的平方根是（ ） A 、6 B 、6±C 、6D 、6± 15．当≥m 0时，m 表示（ ） A ．m 的平方根B ．一个有理数C ．m 的算术平方根D ．一个正数16．用数学式子表示“169的平方根是43±”应是（ ）A ．43169±= B ．43169±=±C ．43169= D ．43169-=-17．算术平方根等于它本身的数是（ ） A 、1和0B 、0C 、1D 、1±和0 18．0196.0的算术平方根是（ ）A 、14.0B 、014.0C 、14.0±D 、014.0± 19．2)6(-的平方根是（ ）A 、－6B 、36C 、±6D 、±620．下列各数有平方根的个数是（ ）（1）5； （2）（-4）2； （3）-22； （4）0； （5）-a 2； （6）π； （7）-a 2-1 A ．3个 B ．4个 C ．5个 D ．6个21．2)5(-的平方根是（ ）A 、5±B 、 5C 、5-D 、5± 22．下列说法错误的是（ ）A. 1的平方根是1B. –1的立方根是－1C.2是2的平方根 D. –3是2)3(-的平方根23．下列命题正确的是（ ） A ．49.0的平方根是0.7 B ．0.7是49.0的平方根C ．0.7是49.0的算术平方根D ．0.7是49.0的运算结果24．若数a 在数轴上对应的点的位置在原点的左侧，则下列各式中有意义的是（ ） A ．a B ．a -C ．2a - D ．3a25．3612892=x ，那么x 的值为（ ） A ．1917±=x B ．1917=xC ．1817=x D ．1817±=x26．下列各式中，正确的是（） A.2)2(2-=- B.9)3(2=-C.39±=±D.393-=- 27．下列各式中正确的是（ ） A ．12)12(2-=- B ．6218=⨯ C ．12)12(2±=-D ．12)12(2=-±28.若a 、b 为实数，且471122++-+-=a a a b ，则b a +的值为（ ）(A) 1± (B) 4 (C) 3或5 (D) 529.若9,422==b a ，且0<ab ，则b a -的值为 （ ）(A) 2- (B) 5± (C) 5 (D) 5-30．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是；31.满足x 是32．已知一个正方形的边长为a ，面积为S ，则（ ） A.a S =B.S 的平方根是aC.a 是S 的算术平方根D.S a ±=33. 若a 和a -都有意义，则a 的值是（ ） A.0≥a B.0≤a C.0=a D.0≠a34.22)4(+x 的算术平方根是（ ）A 、42)4(+xB 、22)4(+x C 、42+x D 、42+x35．2)5(-的平方根是（ ）A 、5±B 、5C 、5-D 、5± 36.下列各式中，正确的是（）A. 2)2(2-=- B.9)3(2=-C.39±=±D.393-=-37．下列各式中正确的是（ ）A ．12)12(2-=- B ．6218=⨯C ．12)12(2±=- D ．12)12(2=-±38.下列各组数中互为相反数的是（ ）A 、2)2(2--与 B 、382--与C 、2)2(2-与D 、22与-二、填空题：1．如果x 的平方等于a ，那么x 就是a 的，所以的平方根是 2．非负数a 的平方根表示为3．因为没有什么数的平方会等于 ，所以负数没有平方根，因此被开方数一定是4_______；9的平方根是_______．525的平方根记作，结果是 6．非负的平方根叫平方根 7．2)8(-=8．9的算术平方根是，16的算术平方根是；9．210-的算术平方根是，0)5(-的平方根是；10．一个正数有个平方根，0有个平方根，负数平方根. 11．一个数的平方等于49，则这个数是12．化简：=-2)3(π。
平方根公式计算方法
平方根公式计算方法
平方根公式是一种用于计算一个数的平方根的方法。
它是根据二次方程的求根公式推导而来。
平方根公式的一般形式为：x = (±√(b²-4ac))/2a
其中，a、b和c为方程ax²+bx+c=0的系数。
使用平方根公式计算一个数的平方根的步骤如下：
1. 确定方程的系数a、b和c。
2. 将系数代入平方根公式。
3. 计算平方根公式中的b²-4ac的值。
4. 计算平方根公式的两个解，即(±√(b²-4ac))/2a。
5. 根据实际问题，选取适合的解。
需要注意的是，平方根公式只适用于二次方程。
对于其他类型的方程，需要使用相应的求根公式进行计算。
平方根的算法
平方根的算法平方根是数学中常见的运算之一，它的意义是求一个数的正平方根。
在日常生活中，我们经常需要计算平方根，比如计算房间的面积、计算某些物品的长度等等。
而计算平方根的方法也有很多种，下面介绍几种常见的算法。
1.牛顿迭代法牛顿迭代法是一种求函数零点的方法，它可以用来计算平方根。
该方法的基本思路是：从一个初始值开始，不断迭代，直到满足精度要求为止。
具体实现步骤如下：假设要求一个数x的平方根，先猜测一个初值y；计算y的平方与x之间的差值，记作d=y^2-x；如果d的绝对值小于某个精度要求，则停止迭代，返回y；否则，更新y的值为y-d/(2*y)，然后回到第二步，继续迭代。
2.二分法二分法是一种比较简单的求平方根的方法，它的基本思路是：对于一个非负实数x，它的平方根y满足0<=y<=x。
因此可以将y的取值范围二分，然后逐步缩小，直到满足精度要求为止。
具体实现步骤如下：假设要求一个数x的平方根，先确定两个值low=0和high=x；计算mid=(low+high)/2，然后计算mid的平方与x之间的差值d=mid^2-x；如果d的绝对值小于某个精度要求，则停止迭代，返回mid；否则，如果d>0，则说明mid的平方大于x，因此将high更新为mid，然后回到第二步；否则，如果d<0，则说明mid的平方小于x，因此将low更新为mid，然后回到第二步。
3.近似公式除了上述两种算法之外，还有一些近似公式可以用来计算平方根。
其中比较常见的是以下两种公式：y=(x+a/x)/2，其中a是一个常数，通常取1；y=x/2+(a/x)/2，其中a是一个常数，通常取1。
以上是几种常见的求平方根的算法，不同的算法各有优缺点，选取合适的算法需要根据具体情况来决定。
同时，在进行计算时还需要注意精度问题，避免出现误差过大的情况。
平方根与平方根的计算
平方根与平方根的计算平方根是指对一个数的平方根的计算，即求解这个数的平方根是多少。
在数学中，平方根是一个非常基础且重要的概念，其计算方法也有多种。
本文将介绍平方根的计算方法以及一些相关的概念和注意事项。
一、平方根的定义与符号表示平方根是指一个数的平方等于它的平方根。
通常用符号"√" 表示平方根。
例如，√x 表示 x 的平方根。
二、平方根的计算方法1. 整数平方根的计算整数平方根是指一个非负整数的平方根。
计算整数平方根可以使用试探法，不断尝试从 0 开始的整数，直到找到平方小于或等于给定数的整数。
例如，要计算 9 的平方根，可以从 0 开始尝试，发现 3 的平方等于 9，所以整数平方根是 3。
2. 小数平方根的计算小数平方根是指一个正数的平方根有小数部分。
计算小数平方根可以使用近似法，通过不断迭代逼近给定数的平方根。
其中最常见的方法是牛顿迭代法。
具体计算步骤比较繁琐，以下以计算 2 的平方根为例进行说明：- 首先选择一个初始近似值，例如选择 1；- 计算该近似值的平方，得到结果 A；- 计算 A 与给定数的差值 B；- 将 B 除以 2 乘以初始近似值得到 C；- 将初始近似值与 C 相加得到新的近似值 D；- 重复上述步骤，直到近似值的变化不大为止。
通过上述计算，可以逐步逼近给定数的平方根，并得到一个接近精确值的结果。
三、平方根的性质与应用1. 平方根的性质平方根有一些特殊的性质，其中包括：- 非负数的平方根是唯一确定的；- 一个正数的平方根是其绝对值的平方根；- 平方根的运算满足交换律和结合律。
2. 平方根的应用平方根在现实生活中有许多应用，其中包括：- 几何学中的长度计算，如计算直角三角形的斜边长度；- 物理学中的速度、加速度等计算；- 统计学中的标准差计算等。
四、平方根的计算注意事项1. 负数的平方根负数的平方根在实数范围内是无解的。
因此，在实际计算中，要注意参数的合法性，避免计算出虚数解。
平方根的运算定律
平方根的运算定律平方根（square root）是数学中常见的一个运算，用于求一个数的平方根。
平方根的运算定律包括主要的两个方面：平方根的性质和平方根的计算方法。
本文将对平方根的运算定律进行详细的论述。
一、平方根的性质1. 非负数的平方根是唯一的：对于任意一个非负数a，它的平方根是唯一确定的。
即如果b和c都是a的平方根，则b=c。
这个性质可以通过数学证明得到。
2. 负数的平方根是虚数：对于任意一个负数a，它的平方根是虚数。
虚数是指实部为0的复数，通常用i来表示。
例如，-1的平方根为i。
3. 零的平方根是零：零的平方根是零本身。
即0的平方根为0。
二、平方根的计算方法1. 开方法：开方法是一种常见的计算平方根的方法。
它的基本思想是通过逼近来求得一个数的平方根。
例如求解√a，可以选择一个近似值x0，然后通过迭代的方式不断逼近真实的平方根。
2. 牛顿迭代法：牛顿迭代法也是一种常用的计算平方根的方法。
它的基本思想是通过不断逼近零点来求得方程的解。
对于求解√a，可以将其转化为求解f(x) = x^2 - a = 0的解。
然后使用牛顿迭代法进行迭代计算，直到满足精度要求为止。
3. 二分法：二分法也是计算平方根的一种常见方法。
它的基本思想是通过不断折半查找来逼近平方根。
对于一个非负数a，假设它的平方根在区间[0, a]之间，那么可以将该区间一分为二，然后判断平方根是否在左边的子区间还是右边的子区间。
通过不断迭代这个过程，最终可以得到平方根的近似值。
总结：平方根的运算定律包括平方根的性质和计算方法两个方面。
平方根的性质包括非负数的平方根是唯一的、负数的平方根是虚数以及零的平方根是零。
计算平方根可以通过开方法、牛顿迭代法和二分法等方法来实现。
这些方法都是基于数学原理和数值计算的基础上得出的，可以在实际问题中应用。
通过了解平方根的运算定律，我们可以更好地理解和应用平方根的概念，提高数学运算的效率和准确性。
在实际问题中，平方根的运算定律也具有重要的应用价值，例如在物理学、工程学和金融学等领域中经常需要用到平方根的运算。
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平方根
1.下列语句正确的是（ ）
A.一个数的平方根一定是两个数
B.一个非负数的非负平方根一定是它的算术平方根
C.一个正数的平方根一定是它的算术平方根
D.一个非零的正的平方根是它的算术平方根
2.若14+a 有意义，则a 能取的最小整数为（ ）.
A.0
B.1
C.－1
D.－4
3若0)(12=-++y x x ，则x+y 的值是（ ）.
A.-2
B.-3
C.-4
D.无法确定
4.若a 是有理数，下列说法正确的是（ ）.A. a 2的算术平方根是a B. a 2的平方根是a,C. a 2的算术平方根是∣a ∣ D. a 2的平方根是∣a ∣
5若a ≥0,则4a 2的算术平方根是（ ）
.A.2a B .±2a C.a 2 D .∣2a ∣ 616的平方根是（ ）.A.4 B .±4 C.2 D .±2
7, 一个正数的算术平方根为m ，则与这个数相邻数的算术平方根是（ ）
A ． 12±m
B ．12-m
C ．12+m
D ．m ±1
8，如果a 是b 的一个平方根，则b 的算术平方根是（ ）
A ．a
B ．－a
C ．±a
D ．|a|
9若x ＜2，化简的正确结果是（ ）
A ．－1
B ．1
C ．2x －5
D ．5－2x
10，数a 在数轴上表示如图所示，则化简的结果是（ ）
A ．－1
B ．1－2a
C ．1
D ．2a －1 11 2,,,,,,,,1,,,,,,,,,2222-+-+x x x x 中对于x 为任何数都有意义是 12，若3)2(2=+x ,则x=( ) A 1 B 1或-5， C ±3, D 5或-1
13,设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ ）
A 、1
B 、9
C 、4
D 、5
14,如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ ）．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
15．一个等腰三角形的两边长分别为25和32，
则这个三角形的周长是（ ） A 、32210+ B 、3425+ C 、32210+或3425+ D 、无法确定
16.若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ ）
A.01a <<
B.0a >
C. 1a <
D. 1a >
17．下列说法中正确的是（ ） A ．9的平方根是3 B 2
2
18． 4的平方的倒数的算术平方根是（ ） A ．4 B ．1
8 C ．-14 D ．14
二填空题
1,（-4）2的算术平方根是 64的算术平方根的平方根是
2，-9是数a 的一个平方根，那么数a 的另一个平方根是 数a 是 。
3，若x x x y 1
20052005+-+-=，则y= 若４(x-1)2=25,则x=
4若９(x 2+1)=10,则x= . ⑷若x =3，则x= .
5，已知求x 的值. 6 169的算术平方根的平方根是______。
(3)的负的平方根是______。
7，当a 为______时,式子有意义。
当a<0时,= ______
8，如果9=x ，那么x ＝________；如果92=x ，那么=x ________
9，若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是_________；
10．算术平方根等于它本身的数有________，立方根等于本身的数有_______
11x ==则 ，若,x x =-=则 。
12，81的平方根是___4的算术平方根是___，210-的算术平方根是 ； 13，若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则____=a ，这个正数是 ；
1421++a 的最小值是____，此时a 的取值是_____a 有 15，如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为_____2x+1的算术平方根是2，
则x ＝______若x-5能开偶次方，则x 的取值范围是_____若a<0，则a
a 22
等于____
16,381264
273292531+-+= 13．代数式3-的最大值为 ，这是,a b
的关系是 ．若1n n <<+，1m m <<+，其中m 、n 为整数，则m n += 17,计算不难知道：322322=，833833=，15
441544=，则按此规律，下一个式子是＿＿ ==b a
b a a
10________ 18,当x= 时，-2x -有意义；当x 时，42-x 表示2x-4的算术平方根 三解答题
1求下列各数的平方根和算术平方根。
⑴∣－1∣ ⑵1452-1442
⑶4.9×103 ⑷a 2(a ＞0)
2.计算. ⑴81.049.016.0-+ ⑵0225.004.025.016.0- ⑶4001
519253+
（4）.已知3+-y x 与1-+y x 互为相反数，求（x-y ）2的平方根。
（5）.已知2a-1的平方根是±３，3a+b-1的平方根为±４，求a+2b 的平方根。
3，已知a 、b 分别是196，289的算术平方根，求多项式4a 2－4ab ＋b 2－2（2a －b ）＋1的平方根.
4如图所示，已知正方形ABCD 的面积是49平方厘米，正方形DFGH 的面积是25平方厘米，且AH ＝DG ＝CF ＝BE ，BF ＝CG ＝DH ＝AE ，求AD 的长；EF 的长；△AEH 的面积．
5、已知：210-=a ，61025.6⨯=b ，且b
x x a =，求x ．（8分）
6，解方程 8)12(3-=-x ．4(x+1)2=8 2(23)2512x x -=-
7，已知：实数a 、b 满足条件0)2(12=-+-ab a 试求
)2004)(2004(1)2)(2(1)1)(1(11++++++++++b a b a b a ab 的值
8写出所有适合下列条件的数
（1）大于的所有整数 （2
9已知：3+-y x 与1-+y x 互为相反数，求x+y 的算术平方根
10已知5
1｜3a-b-7|+32-+b a =0求(b+a)a 的平方根。
11.某纸箱加工厂，有一批边长为40㎝的正方形硬纸板，现准备将此纸板折成没盖的纸盒。
首先在四个角上截去四个相同的小正方形，然后做成底面积为625㎝２的纸盒子，想一想，你怎样求出截去的小正方形的边长？。