2018届高考数学二轮复习专题一集合与常用逻辑用语不等式1.2不等式线性规化课件理

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2018年高考数学(理)二轮复习精品课件：专题一集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合与常用逻辑用语

的否定为“∀x∈M，綈p(x)”.
例3
x 2 ，x<0， (1)已知函数f(x)＝给出下列两个命题： 2 m－x ，x≥0，
1 命题p：若m＝，则f(f(－1))＝0； 4
命题q：∃m∈(－∞，0)，方程f(x)＝0有解. 那么，下列命题为真命题的是 A.p∧q C.p∧(綈q) √ B.(綈p)∧q D.(綈p)∧(綈q)
f(x)≥2
2 · x＋m＝2 2－m，若 f(x)的值不小于 4， 2
x
1
则 2 2－m≥4，解得 m≤－2，故选 A.思维升华 Nhomakorabea析答案
跟踪演练2 (1)有关命题的说法正确的是
A.命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”
2 B.命题“∃x0∈R，使得2x2 0－1<0”的否定是：“∀x∈R，2x －1<0”
x≥0}，则A∩B等于 A.∅ C.{x|1≤x<2} √
解析由已知可得A＝{x|0<x<2}，B＝{y|y≥1}⇒A∩B＝{x|1≤x<2}，故选C.
解析
答案
(2)(2017届潍坊临朐县月考 )已知集合M＝{(x，y)|y＝f(x)}，若对于任意(x1 ， y1)∈M，存在(x2，y2)∈M，使得x1x2＋y1y2＝0成立，则称集合M是“理想
解析
答案
2 x (2)(2017 届四川雅安中学月考 )“m ≤ʃ 2 (4 － 3 x )d x ” 是 “ 函数 f ( x ) ＝ 2 ＋ 1 x＋m的值不小于
1
2
4”的
√
A.充分不必要条件 C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2 3 2 解析 m≤ʃ 2 (4 － 3 x )d x ＝ (4 x － x )|1＝－3， 1

天津市2018年高考数学二轮复习专题一集合逻辑用语不等式向量复数算法推理1.2不等式线性规划课件文

由
�� + 3�� = 0,
=
3,可得
A(3,0),此时
zmax=3,故选
பைடு நூலகம்
D.
-28-
�� ≤ 2��, 3.(2017 天津河西高三质量调查)若变量 x,y 满足约束条件 �� + �� ≤ 1,
-8-
热点1 热点2 热点3 热点4
求线性目标函数的最值
【思考】求线性目标函数最值的一般方法是什么?
3�� + 2��-6 ≤ 0,
例 2(2017 全国Ⅲ,文 5)设 x,y 满足约束条件 �� ≥ 0,
�� ≥ 0,
则 z=x-y 的取值范围是( )
A.[-3,0]
(1)求最值,常见形如截距式 z=ax+by,斜率式 z=��--��,距离式 z=(x-a)2+(y-b)2. (2)求区域面积. (3)由最优解或可行域确定参数的值或取值范围.
-24-
1.若 0<t<1,则关于 x 的不等式 x2-
��
+
1 ��
(2)C
(3)[-3,1]
(4)
��
�� > 1 或��
<
1 2
解析 (1)由 x2+2x-3≥0,得(x+3)(x-1)≥0,解得 x≤-3 或 x≥1,故选 C.
1-�� > 0, (2)由已知可得 �� > 0, 解得 0<x<12,故选 C.

2018年高考数学总复习第一章集合与常用逻辑用语 1.2 不等关系及简单不等式的解法

D
解析
-10-
关闭关闭
答案
知识梳理考点自测
12345
-11-
5.函数 y= 3-2��-��2的定义域是
.
由 3-2x-x2≥0,即 x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1. 所以函数 y= 3-2��-��2的定义域是[-3,1].
[-3,1]
关闭
关闭
解析答案
答案:(1)B (2)B
-13-
考点1 考点2 考点3 考点4
解析: (1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)·(a2-1).
∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0. ∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.
(2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.
-3-
知识梳理考点自测
2.不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a. (2)传递性:a>b,b>c⇒ a>c . (3)可加性:a>b⇔a+c > b+c;a>b,c>d⇒a+c > b+d. (4)可乘性: a>b,c>0⇒ac > bc;a>b,c<0⇒ac < bc; a>b>0,c>d>0⇒ac > bd. (5)可乘方:a>b>0⇒an > bn(n∈N,n≥1).
)
关闭
答案
考点1 考点2 考点3 考点4
-18-
思考判断多个不等式是否成立常用的方法有哪些? 解题心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式的性质,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,当两边同时取倒数后不等号方向不变等.

高考数学大二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式、平面向量、算法、复数、推理与证明1.1集合与常用

1.1 集合与常用逻辑用语【课时作业】1．(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－x －2>0}，则∁R A ＝( ) A ．{x |－1<x <2} B ．{x |－1≤x ≤2} C ．{x |x <－1}∪{x |x >2} D ．{x |x ≤－1}∪{x |x ≥2}解析： ∵x 2－x －2>0，∴(x －2)(x ＋1)>0，∴x >2或x <－1，即A ＝{x |x >2或x <－1}．在数轴上表示出集合A ，如图所示．由图可得∁R A ＝{}x |－1≤x ≤2. 故选B. 答案： B2．(2018·天津卷)设集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}，C ＝{x ∈R |－1≤x <2}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{－1,1}B ．{0,1}C ．{－1,0,1}D ．{2,3,4}解析： ∵A ＝{1,2,3,4}，B ＝{－1,0,2,3}， ∴A ∪B ＝{－1,0,1,2,3,4}．又C ＝{x ∈R |－1≤x <2}， ∴(A ∪B )∩C ＝{－1,0,1}．答案： C3．(2018·安徽皖南八校3月联考)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝4y ，y ＝x 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝4，即A ∩B ＝{(0,0)，(4,4)}，∴A ∩B的真子集个数为22－1＝3.故选B.答案： B4．已知f (x )＝3sin x －πx ，命题p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<0，则( )A ．p 是假命题，綈p ：∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )≥0B ．p 是假命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0C ．p 是真命题，綈p ：∃x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0D ．p 是真命题，綈p ：∀x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )>0 解析：因为f ′(x )＝3cos x －π，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，即对∀x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x )<f (0)＝0恒成立，所以p 是真命题．又全称命题的否定是特称命题，所以綈p ：∃x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，f (x 0)≥0.答案： C5．(2018·北京卷)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析： a ，b ，c ，d 是非零实数，若a <0，d <0，b >0，c >0，且ad ＝bc ，则a ，b ，c ，d 不成等比数列(可以假设a ＝－2，d ＝－3，b ＝2，c ＝3)．若a ，b ，c ，d 成等比数列，则由等比数列的性质可知ad ＝bc .所以“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的必要而不充分条件．故选B. 答案： B6．(2018·洛阳市第一统考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |log 2x ≤1}，B ＝{x |x 2＋x －2≥0}，则A ∩∁U B ＝( )A ．(0,1]B ．(－2,2]C ．(0,1)D ．[－2,2]解析：不等式log 2x ≤1即log 2x ≤log 22，由y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，得不等式的解集为(0,2]，即A ＝(0,2]．由x 2＋x －2≥0，得(x ＋2)(x －1)≥0，得B ＝{x |x ≤－2或x ≥1}，所以∁U B ＝(－2,1)，从而A ∩∁U B ＝(0,1)．故选C.答案： C7．设全集U 是自然数集N ，集合A ＝{x |x 2>9，x ∈N }，B ＝{0,2,4}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |x >2，x ∈N }B ．{x |x ≤2，x ∈N }C ．{0,2}D ．{1,2}解析：由题图可知，图中阴影部分所表示的集合是B ∩(∁U A )，∁U A ＝{x |x 2≤9，x ∈N }＝{x |－3≤x ≤3，x ∈N }＝{0,1,2,3}，因为B ＝{0,2,4}，所以B ∩(∁U A )＝{0,2}．答案： C8．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0” B ．命题“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m >0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0” 解析： C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m >0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m >0.所以不是真命题，故选C.答案： C9．(2018·陕西省质量检测(一))已知命题p ：对任意的x ∈R ，总有2x>0；q ：“x >1”是“x >2”的充分不必要条件，则下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．綈p ∧綈qC ．綈p ∧qD ．p ∧綈q解析：由指数函数的性质知命题p 为真命题．易知x >1是x >2的必要不充分条件，所以命题q 是假命题．由复合命题真值表可知p ∧綈q 是真命题，故选D.答案： D10．(2018·辽宁省五校协作体联考)已知命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0)B ．[0,4]C ．[4，＋∞)D ．(0,4)解析：因为命题“∃x 0∈R,4x 20＋(a －2)x 0＋14≤0”是假命题，所以其否定“∀x ∈R,4x 2＋(a －2)x ＋14>0”是真命题，则Δ＝(a －2)2－4×4×14＝a 2－4a <0，解得0<a <4，故选D.答案： D11．(2018·山东泰安3月联考)下列命题正确的是( )A ．命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1≤0” B ．若命题p 为假命题，命题q 是真命题，则(綈p )∨(綈q )为假命题 C ．命题“若a 与b 的夹角为锐角，则a·b >0”及它的逆命题均为真命题D ．命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”解析：对于选项A ，命题“∃x 0∈[0,1]，使x 20－1≥0”的否定为“∀x ∈[0,1]，都有x 2－1<0”，故A 项错误；对于选项B ，p 为假命题，则綈p 为真命题，q 为真命题，则綈q为假命题，所以(綈p )∨(綈q )为真命题，故B 项错误；对于选项C ，原命题为真命题，若a·b >0，则a 与b 的夹角可能为锐角或零角，所以原命题的逆命题为假命题，故C 项错误；对于选项D ，命题“若x 2＋x ＝0，则x ＝0或x ＝－1”的逆否命题为“若x ≠0且x ≠－1，则x 2＋x ≠0”，故选项D 正确．因此选D.答案： D12．(2018·广东汕头一模)已知命题p ：关于x 的方程x 2＋ax ＋1＝0没有实根；命题q ：∀x >0,2x－a >0.若“綈p ”和“p ∧q ”都是假命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)B ．(－2,1]C ．(1,2)D ．(1，＋∞)解析：方程x 2＋ax ＋1＝0无实根等价于Δ＝a 2－4<0，即－2<a <2.∀x >0,2x－a >0等价于a <2x在(0，＋∞)上恒成立，即a ≤1.因“綈p ”是假命题，则p 是真命题，又因“p ∧q ”是假命题，则q 是假命题，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <2，a >1，得1<a <2，所以实数a 的取值范围是(1,2)，故选C.答案： C13．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则綈p ：____________________. 解析：全称命题的否定为特称命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．答案： ∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点14．若⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a 2 017＋b 2 017的值为________．解析：因为⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b }，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a＝0，a 2＝1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝0，a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，则a2 017＋b2 017＝－1.答案：－115．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R }，集合M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪y －3x －2＝1，P ＝{(x ，y )|y ≠x ＋1}，则∁U (M ∪P )＝________.解析：集合M ＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，且x ≠2，y ≠3}，所以M ∪P ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R ，且x ≠2，y ≠3}．则∁U (M ∪P )＝{(2,3)}．答案： {(2,3)}16．a ，b ，c 为三个人，命题A ：“如果b 的年龄不是最大，那么a 的年龄最小”和命题B ：“如果c 不是年龄最小，那么a 的年龄最大”都是真命题，则a ，b ，c 的年龄由小到大依次是________．解析：显然命题A 和B 的原命题的结论是矛盾的，因此我们应该从它们的逆否命题来看．由命题A 可知，当b 不是最大时，则a 是最小，所以c 最大，即c >b >a ；而它的逆否命题也为真，即“若a 的年龄不是最小，则b 的年龄是最大”为真，即b >a >c .同理，由命题B 为真可得a >c >b 或b >a >c .故由A 与B 均为真可知b >a >c ，所以a ，b ，c 三人的年龄大小顺序是：b 最大，a 次之，c 最小．答案： c ，a ，b。

2018届高三理科数学二轮复习讲义模块二专题一第一讲集合、常用逻辑用语 Word版含解析

专题一集合、常用逻辑用语、不等式、函数与导数第一讲集合、常用逻辑用语高考导航高考对集合的考查主要是集合的含义、集合之间的基本关系和集合的运算，并且以集合的运算为主．试题往往与不等式的解集、函数的定义域、方程的解集、平面上的点集等相互交汇，试题难度不大．．高考对常用逻辑用语的考查主要是命题、充要条件、逻辑联结词和量词，并且以充要条件的判断、命题真假的判断为主，对含有量词的命题的否定也是一个值得注意的考点.．(·全国卷Ⅲ)已知集合＝{}，＝{}，则∩中元素的个数为( )．．．．[解析]∩＝{}，所以元素个数为，故选.[答案]．(·北京卷)已知全集＝，集合＝{<－或>}，则∁＝( )．(－) ．(－∞，－)∪(，＋∞)．[－]．(－∞，－]∪[，＋∞)[解析]∁＝{－≤≤}＝[－]．[答案]．(·天津卷)设θ∈，则“<”是“θ<”的( )．充分而不必要条件．必要而不充分条件．充要条件．既不充分也不必要条件[解析]∵<⇔－<θ－<⇔<θ<，θ<⇔θ∈，∈，，∈，∴“<”是“θ<”的充分而不必要条件．[答案]．(·河北石家庄一模)下列选项中，说法正确的是( )．若>>，则<．向量＝(，)，＝(－)(∈)垂直的充要条件是＝．命题“∀∈*>(＋)·－”的否定是“∀∈*≥(＋)·－”．已知函数()在区间[，]上的图象是连续不断的，则命题“若()·( )<，则()在区间(，)内至少有一个零点”的逆命题为假命题[解析]∵函数＝(>)是增函数，∴若>>，则>，故错误；若⊥，则＋(－)＝，解得＝，故错误；命题“∀∈*>(＋)·－”的否定是“∃∈*≤(＋)·－”，故错误；命题“若()·()<，则()在区间(，)内至少有一个零”的逆命题“若()在区间(，)内至少有一个零点，则()·()<”是假命题，如函数()＝－－在区间[－]上的图象连续不断，且在区间(－)内有两个零点，但(－)·()>，故正确．故选.[答案]．(·北京西城二模)若“>”是“不等式>－成立”的必要而不充分条件，则实数的取值范围是．[解析]不等式>－⇔＋>⇔(＋)>，又因为函数()＝＋为增函数，所以当>时，(＋)>，所以>.[答案]>。

2018届高考数学第2轮复习第一部分专题一集合、常用逻辑用语、平面向量、复数1.1.1集合、常用逻辑用语课件

优解：设 A＝{x|x≠1}，B＝{x|x2－3x＋2≠0}．由 x2－3x＋2≠0，解得 x≠1，且 x≠2，故 B＝{x|x≠1，且 x≠2}．显然 B A，所以“x≠1”是“x2－3x＋2≠0”的必要不充分条件．故(1)错误． (2)记“a＞0，b＞0”为 p，“ba＋ab≥2”为 q. 由基本不等式可得 q 的充要条件是“ab＞0”，即“ab＞0”．显然 p 是“ab＞0”的充分不必要条件，所以 p 是 q 的充分不必要条件．故(2)正确．
U(A∩B)＝( A )
A．{1,2,3}
B．{1,2,4}
C．{1,3,4}
D．{2,3,4}
解析：通解：选 A.本题主要考查集合的基本运算．因为 U＝{1,2,3,4}，A∩B＝{4}，所以∁U(A∩B)＝{1,2,3}，故选 A.
优解：∵A∩B＝{4}．∴4∉∁U(A∩B)，排除 B、C、D 只能选 A.
p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3； p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1；
其中的真命题是( C )
A．p2，p3 C．p1，p2
B．p1，p4 D．p1，p3
解析：通解：选 C.作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
由xx＋－y2＝y＝1， 4，得交点 A(2，－1)．目标函数的斜率 k＝－12＞－1，
2．全称命题与特称命题真假的判定 (1)全称命题：要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合 M 中的每一个元素 x 验证 p(x)成立，要判定其为假命题时，只需举出一个反例即可； (2)特称命题：要判定一个特称命题为真命题，只要在限定集合 M 中至少能找到一个元素 x0，使得 p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．

2018年高考数学二轮复习考前专题一集合与常用逻辑用语、不等式第1讲集合与常用逻辑用语讲学案理

第1讲集合与常用逻辑用语1.集合是高考必考知识点，经常以不等式解集、函数的定义域、值域为背景考查集合的运算，近几年有时也会出现一些集合的新定义问题．2．高考中考查命题的真假判断或命题的否定，考查充要条件的判断．热点一集合的关系及运算 1．集合的运算性质及重要结论 (1)A ∪A ＝A ，A ∪∅＝A ，A ∪B ＝B ∪A . (2)A ∩A ＝A ，A ∩∅＝∅，A ∩B ＝B ∩A . (3)A ∩(∁U A )＝∅，A ∪(∁U A )＝U . (4)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ，A ∪B ＝A ⇔B ⊆A . 2．集合运算中的常用方法(1)若已知的集合是不等式的解集，用数轴求解． (2)若已知的集合是点集，用数形结合法求解． (3)若已知的集合是抽象集合，用Venn 图求解．例1 (1)(2017届湖南师大附中月考)已知集合A ＝{x |log 2x <1}，B ＝{y |y ＝2x，x ≥0}，则A ∩B 等于( ) A ．∅B ．{x |1<x <2}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |1<x ≤2} 答案 C解析由已知可得A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥1}⇒A ∩B ＝{x |1≤x <2}，故选C.(2)(2017届潍坊临朐县月考)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意(x 1，y 1)∈M ，存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“理想集合”．给出下列4个集合：①M ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫(x ，y )⎪⎪⎪y ＝1x ；②M ＝{(x ，y )|y ＝sin x }；③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}；④M ＝{(x ，y )|y ＝lg x }．其中所有“理想集合”的序号是( ) A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．③④ 答案 B解析由题意设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，又由x 1x 2＋y 1y 2＝0可知，OA →⊥OB →.①项，y ＝1x是以x ，y 轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，所以当点A ，B 在同一支上时，∠AOB <90°，当点A ，B 不在同一支上时，∠AOB >90°，不存在OA →⊥OB →，故不正确；②项，通过对其图象的分析发现，对于任意的点A 都能找到对应的点B ，使得OA →⊥OB →成立，故正确；③项，由图象可得直角始终存在，故正确；④项，由图象可知，点(1,0)在曲线上，不存在另外一个点使得OA →⊥OB →成立，故错误．综合②③正确，故选B.思维升华 (1)关于集合的关系及运算问题，要先对集合进行化简，然后再借助Venn 图或数轴求解．(2)对集合的新定义问题，要紧扣新定义集合的性质探究集合中元素的特征，将问题转化为熟悉的知识进行求解，也可利用特殊值法进行验证．跟踪演练1 (1)(2017届云南曲靖一中月考)已知集合A ＝{x ∈N |x 2－5x ＋4≤0}，B ＝{x |x 2－4＝0}，下列结论成立的是( ) A ．B ⊆A B ．A ∪B ＝A C ．A ∩B ＝A D ．A ∩B ＝{2}(2)用C (A )表示非空集合A 中的元素个数，定义A *B ＝⎩⎪⎨⎪⎧C (A )－C (B )，C (A )≥C (B )，C (B )－C (A )，C (A )<C (B )，若A ＝{1,2}，B ＝{x |(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0}，且A *B ＝1，设实数a 的所有可能取值构成的集合是S ，则C (S )等于( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 答案 (1)D (2)B解析 (1)A ＝{x ∈N |1≤x ≤4}，B ＝{x |x ＝±2}⇒A ∩B ＝{2}，故选D.(2)由A ＝{1,2}，得C (A )＝2，由A *B ＝1，得C (B )＝1或C (B )＝3. 由(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0，得x 2＋ax ＝0或x 2＋ax ＋2＝0.当C (B )＝1时，方程(x 2＋ax )(x 2＋ax ＋2)＝0只有实根x ＝0，这时a ＝0；当C (B )＝3时，必有a ≠0，这时x 2＋ax ＝0有两个不相等的实根x 1＝0，x 2＝－a ，方程x2＋ax ＋2＝0必有两个相等的实根，且异于x 1＝0，x 2＝－a .由Δ＝a 2－8＝0，得a ＝±22，可验证均满足题意，故S ＝{－22，0,22}，故C (S )＝3. 热点二四种命题与充要条件1．四种命题中原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假．2．若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p⇔q，则p，q互为充要条件．例2 (1)(2017届抚州七校联考)A，B，C三个学生参加了一次考试，A，B的得分均为70分，C的得分为65分．已知命题p：若及格分低于70分，则A，B，C都没有及格．在下列四个命题中，为p的逆否命题的是( )A．若及格分不低于70分，则A，B，C都及格B．若A，B，C都及格，则及格分不低于70分C．若A，B，C至少有一人及格，则及格分不低于70分D．若A，B，C至少有一人及格，则及格分高于70分答案 C解析根据原命题与它的逆否命题之间的关系知，命题p：若及格分低于70分，则A，B，C 都没有及格，p的逆否命题是：若A，B，C至少有1人及格，则及格分不低于70分．故选C.(2)(2017届四川雅安中学月考)“m≤ʃ21(4－3x2)d x”是“函数f(x)＝2x＋12x+m的值不小于4”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件答案 A解析m≤ʃ21(4－3x2)d x＝(4x－x3)|21＝－3，f(x)≥22x·12x+m＝22－m，若f(x)的值不小于4，则22－m≥4，解得m≤－2，故选A.思维升华充分条件与必要条件的三种判定方法(1)定义法：正、反方向推理，若p⇒q，则p是q的充分条件(或q是p的必要条件)；若p ⇒q且q⇏p，则p是q的充分不必要条件(或q是p的必要不充分条件)．(2)集合法：利用集合间的包含关系．例如，若A⊆B，则A是B的充分条件(B是A的必要条件)；若A＝B，则A是B的充要条件．(3)等价法：将命题等价转化为另一个便于判断真假的命题．跟踪演练2 (1)有关命题的说法正确的是( )A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题为：“若xy＝0，则x≠0”B．命题“∃x0∈R，使得2x20－1<0”的否定是：“∀x∈R,2x2－1<0”C．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题D ．命题“若cos x ＝cos y ，则x ＝y ”的逆否命题为真命题(2)(2017届湖南长沙一中月考)在△ABC 中，“A <B <C ”是“cos 2A >cos 2B >cos 2C ”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 (1)C (2)C解析 (1) 对于A 选项，命题“若xy ＝0，则x ＝0”的否命题为“若xy ≠0，则x ≠0”，否命题是条件和结论的双重否定，故A 错误；对于B 选项，命题“∃x 0∈R ，使2x 20－1<0”的否定是“∀x ∈R,2x 2－1≥0”，故B 错误；选项C 的逆命题为真命题，故C 正确；选项D 的原命题是假命题，则逆否命题与之对应，也是假命题，故D 错误，故选C. (2)由正弦定理，可得在△ABC 中，若A <B <C ，则sin A <sin B <sin C ，则sin 2A <sin 2B <sin 2C ，由倍角公式可得1－cos 2A 2<1－cos 2B 2<1－cos 2C 2，可得cos 2A >cos 2B >cos 2C ，反之也成立．所以在△ABC 中，“A <B <C ”是“cos 2A >cos 2B >cos 2C ”的充要条件，故选C. 热点三逻辑联结词、量词1．命题p ∨q ，只要p ，q 有一真，即为真；命题p ∧q ，只有p ，q 均为真，才为真；綈p 和p 为真假对立的命题．2．命题p ∨q 的否定是(綈p )∧(綈q )；命题p ∧q 的否定是(綈p )∨(綈q )．3．“∀x ∈M ，p (x )”的否定为“∃x 0∈M ，綈p (x 0)”；“∃x 0∈M ，p (x 0)”的否定为“∀x ∈M ，綈p (x )”．例3 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x <0，m －x 2，x ≥0，给出下列两个命题：命题p ：若m ＝14，则f (f (－1))＝0；命题q ：∃m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0有解．那么，下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．(綈p )∧qC ．p ∧(綈q )D ．(綈p )∧(綈q )(2)(2017届安徽百校论坛联考)已知命题p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－22x >0，则下列叙述正确的是( )A ．綈p ：∀x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－22x ≤0B ．綈p ：∃x 0∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－22x <0C ．綈p ：∃x 0∈(－∞，1]，log 3(x ＋2)－22x ≤0D ．綈p 是假命题答案 (1)C (2)D解析 (1) 若m ＝14，则f (f (－1))＝f⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0，故命题p 为真命题．当x <0时，f (x )＝2x >0；当x ≥0时，若m <0，f (x )＝m －x 2<0.故∀m ∈(－∞，0)，方程f (x )＝0无解，从而命题q 为假命题，所以p ∧(綈q )为真命题，故选C.(2)綈p ：∃x ∈(1，＋∞)，log 3(x ＋2)－22x ≤0，又函数f (x )＝log 3(x ＋2)－22x 在(1，＋∞)上是增函数，所以f (x )>f (1)＝0，故p 是真命题，即綈p 是假命题．故选D.思维升华 (1)命题的否定和否命题是两个不同的概念：命题的否定只否定命题的结论，真假与原命题相对立．(2)判断命题的真假要先明确命题的构成．由命题的真假求某个参数的取值范围，还可以考虑从集合的角度来思考，将问题转化为集合间的运算．跟踪演练3 (1)(2017届黑吉两省八校期中)已知：命题p ：若函数f (x )＝x 2＋|x －a |是偶函数，则a ＝0；命题q ：∀m ∈(0，＋∞)，关于x 的方程mx 2－2x ＋1＝0有解．在①p ∨q ；②p ∧q ；③(綈p )∧q ；④(綈p )∨(綈q )中，为真命题的是( ) A ．②③B ．②④C ．③④D ．①④(2)(2017届徐州丰县民族中学调研)若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋(1－a )x 0＋1<0”是假命题，则实数a 的取值范围为_________．答案 (1)D (2)[－1,3]解析 (1) 因为f (－x )＝f (x )，所以1＋|a ＋1|＝1＋|a －1|，解得a ＝0，故命题p 为真命题；又因为当Δ＝4－4m ≥0，即m ≤1时，方程有解，所以q 为假命题．所以p ∨q 与(綈p )∨(綈q )为真命题，故选D. (2)由题设可得(1－a )2－4≤0，解得－1≤a ≤3.真题体验1．(2017·北京改编)若集合A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}，则A ∩B ＝_________. 答案 {x |－2<x <－1}解析 ∵A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{x |x <－1或x >3}， ∴A ∩B ＝{x |－2<x <－1}．2．(2017·天津改编)设θ∈R ，则“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的__________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)答案充分不必要解析 ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12， ∴－π12<θ－π12<π12，即0＜θ＜π6.显然当0＜θ＜π6时，sin θ＜12成立．但当sin θ＜12时，由周期函数的性质知，0＜θ＜π6不一定成立．故0＜θ＜π6是sin θ＜12的充分不必要条件，即“⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π12<π12”是“sin θ<12”的充分不必要条件． 3．(2017·山东改编)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2<b 2，则a <b .下列命题为真命题的是______．(填序号)①p ∧q ； ②p ∧(綈q )； ③(綈p )∧q ； ④(綈p )∧(綈q )．答案 ②解析 ∵一元二次方程x 2－x ＋1＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×1×1＜0，∴x 2－x ＋1＞0恒成立， ∴p 为真命题，綈p 为假命题．∵当a ＝－1，b ＝－2时，(－1)2＜(－2)2，但－1＞－2， ∴q 为假命题，綈q 为真命题．根据真值表可知，p ∧(綈q )为真命题，p ∧q ，(綈p )∧q ，(綈p )∧(綈q )为假命题． 4．(2016·浙江改编)命题“∀x ∈R ，∃n ∈N *，使得n ≥x 2”的否定形式是____________．答案 ∃x 0∈R ，∀n ∈N *，使得n ＜x 2解析原命题是全称命题，条件为∀x ∈R ，结论为∃n ∈N *，使得n ≥x 2，其否定形式为特称命题(存在性命题)，条件中改量词，并否定结论．押题预测1．若集合A ＝{x |1≤2x≤8}，B ＝{x |log 2(x 2－x )>1}，则A ∩B 等于( )A ．(2,3]B ．[2,3]C ．(－∞，0)∪(0,2]D ．(－∞，－1)∪[0,3]押题依据集合的运算在历年高考中的地位都很重要，已成为送分必考试题．集合的运算常与不等式(特别是一元一次不等式、一元二次不等式)的求解、函数的定义域、函数的值域等知识相交汇．答案 A解析 A ＝[0,3]．又log 2(x 2－x )>log 22，即x 2－x >2，解得x <－1或x >2，所以B ＝(－∞，－1)∪(2，＋∞)．所以A ∩B ＝(2,3]．2．已知“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，则k 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[1，＋∞)C ．(2，＋∞) D ．(－∞，－1]押题依据充分、必要条件的判定一直是高考考查的重点，该类问题必须以其他知识为载体，综合考查数学概念．答案 A 解析由3x ＋1<1，可得3x ＋1－1＝－x ＋2x ＋1<0，所以x <－1或x >2. 因为“x >k ”是“3x ＋1<1”的充分不必要条件，所以k ≥2. 3．给出下列四个命题，其中正确的命题有( )①函数y ＝sin 2x ＋cos 2x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8；②a 1，a 2，b 1，b 2均为非零实数，集合A ＝{x |a 1x ＋b 1>0}，B ＝{x |a 2x ＋b 2>0}，则“a 1a 2＝b 1b 2”是“A ＝B ”的必要不充分条件；③若p ∨q 为真命题，则p ∧q 也为真命题；④命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1<0”． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个押题依据常用逻辑用语中命题真假的判断、充要条件、全称量词、存在量词及逻辑联结词是数学学习的重要工具，也是高考考查的热点问题．答案 C解析 ①y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z )，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，因此函数的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π8；②充分性不成立，如a 1＝1，b 1＝1，a 2＝－1，b 2＝－1，满足a 1a 2＝b 1b 2，但A ＝{x |x ＋1>0}＝(－1，＋∞)，B ＝{x |－x －1>0}＝(－∞，－1)，A ≠B ；必要性成立：A ＝B ⇒a 1a 2>0⇒－b 1a 1＝－b 2a 2⇒a 1a 2＝b 1b 2；③当p ∨q 为真命题时，p ，q 不一定全真，因此p ∧q 不一定为真命题； ④命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定应为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”．所以①②为真，故选C.4．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，空集∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ，则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X＝{a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ＝{∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ＝{∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ＝{∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的一个拓扑的集合τ是______．(填序号)押题依据以新定义为背景，考查元素与集合的关系，是近几年高考的热点，解题时可从集合的性质(元素的性质、运算性质)作为突破口．答案②④解析①τ＝{∅，{a}，{c}，{a，b，c}}，但是{a}∪{c}＝{a，c}∉τ，所以①错；②④都满足集合X上的一个拓扑集合τ的三个条件．所以②④正确；③{a，b}∪{a，c}＝{a，b，c}∉τ，所以③错．A组专题通关1．(2017·全国Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B等于( ) A．{1，－3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}答案 C解析∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1－4＋m＝0，即m＝3.∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.2．设集合A＝{y|y＝sin x，x∈R}，B＝{x|y＝lg(－x)}，则A∩B等于( )A．(0,1] B．[－1,0)C．[－1,0] D．(－∞，1]答案 B解析因为A＝[－1,1]，B＝(－∞，0)，所以A∩B＝[－1,0)．故选B.3．(2017届河南息县第一高级中学检测)已知集合A＝{x|x2－4<0}，B＝{x|－1<x≤5}，则A ∩(∁R B)等于( )A．(－2,0) B．(－2，－1)C．(－2，－1] D．(－2,2)答案 C解析 A ＝{x |x 2－4<0}＝{x |－2<x <2}，因为B ＝{x |－1<x ≤5}，所以∁R B ＝{x |x ≤－1或x >5}，所以A ∩(∁R B )＝(－2，－1]，故选C.4．(2017·全国Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 答案 B解析集合A 表示以原点O 为圆心，1为半径的圆上的所有点的集合，集合B 表示直线y ＝x 上的所有点的集合．结合图形可知，直线与圆有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. 故选B.5．(2017·山东)已知命题p ：∀x ＞0，ln(x ＋1)＞0；命题q ：若a ＞b ，则a 2＞b 2.下列命题为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧(綈q )C ．(綈p )∧qD ．(綈p )∧(綈q ) 答案 B解析 ∵x ＞0，∴x ＋1＞1，∴ln(x ＋1)＞ln 1＝0. ∴命题p 为真命题，∴綈p 为假命题．∵a ＞b ，取a ＝1，b ＝－2，而12＝1，(－2)2＝4，此时a 2＜b 2，∴命题q 为假命题，∴綈q 为真命题．∴p ∧q 为假命题，p ∧(綈q )为真命题，(綈p )∧q 为假命题，(綈p )∧(綈q )为假命题．故选B.6．(2017·全国Ⅰ)设有下面四个命题：p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z －2； p 4：若复数z ∈R ，则z －∈R .其中的真命题为( )A ．p 1，p 3B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4 答案 B解析设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )．对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题；对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ，则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题；对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇏a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题；对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题．故选B. 7．(2017届安徽淮北一中模拟)“a 2＝1”是“函数f (x )＝ln(1＋ax )－ln(1＋x )为奇函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件答案 B解析当a ＝1时，f (x )＝0(x >－1)为非奇非偶函数，当a ＝－1时，f (x )＝ln(1－x )－ln(1＋x )为奇函数，故为必要不充分条件． 8．下列四种说法中：①命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x <0”； ②命题“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的必要不充分条件； ③已知幂函数f (x )＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (4)的值等于12； ④已知向量a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，则向量a 在向量b 方向上的投影是25.其中说法错误的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 C解析 ①项，命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”，故①项错误；②项，充分性：“p 且q 为真”，则p 真，q 真，故p 或q 为真，充分性成立；必要性：“p 或q 为真”，则p 与q 其中一个命题可以为假命题，故命题“p 且q 为真”不一定成立，故必要性不成立，故“p 且q 为真”是“p 或q 为真”的充分不必要条件，故②项错误；③项，幂函数f (x )＝x a 的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，22，则f (2)＝2a ＝22⇒a ＝－12，则f (4)＝12，故③项正确；④项，向量a ＝(3，－4)，b ＝(2,1)，则a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝a·b |b |＝25＝255，故④项错误．故选C.9．(2017届汕头期末)下列判断错误的是( )A ．命题“∃x 0>1，x 20－1>0”的否定是“∀x >1，x 2－1≤0”B ．“x ＝2”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件C ．若“p ∧q ”为假命题，则p ，q 均为假命题D ．命题“若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0”的否命题为“若a ·b ≠0，则a ≠0且b ≠0” 答案 C解析 A 中，由特称命题(存在性命题)的否定为全称命题知A 正确；B 中，由x 2－x －2＝0，解得x ＝2或x ＝－1，所以“x ＝2”是“x 2－x －2＝0”的充分不必要条件，故B 正确；C 中，“p ∧q ”为假命题，则p ，q 中可能一真一假，也可能p ，q 均为假命题，故C 错；D 中，由否命题的概念知，D 正确，故选C.10．设全集U ＝R ，函数f (x )＝lg(|x ＋1|＋a －1)(a <1)的定义域为A ，集合B ＝{x |cos πx ＝1}，若(∁U A )∩B 恰好有两个元素，则a 的取值的集合为__________．答案 {a |－2<a ≤0}解析由|x ＋1|＋a －1>0，可得x >－a 或x <a －2，故∁U A ＝[a －2，－a ]．而B ＝{x |x ＝2k ，k ∈Z }，注意到[a －2，－a ]关于x ＝－1对称，所以由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧ －a ≥0，－a <2，即－2<a ≤0.11．已知m ∈R ，命题p ：对任意实数x ，不等式x 2－2x －1≥m 2－3m 恒成立，若綈p 为真命题，则m 的取值范围是__________．答案 {m |m <1或m >2}解析对任意x ∈R ，不等式x 2－2x －1≥m 2－3m 恒成立，所以[(x －1)2－2]min ≥m 2－3m ，即m 2－3m ≤－2，解得1≤m ≤2.因为綈p 为真命题，所以m <1或m >2.12．设命题p ：|4x －3|≤1；命题q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是______________．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪ 0≤a ≤12解析 p ：|4x －3|≤1，∴12≤x ≤1；q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，∴a ≤x ≤a ＋1. ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤12，a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. B 组能力提高13．(2017届重庆市巴蜀中学期中)已知集合A ＝{x |x >2}，集合B ＝{x |x >3}，以下命题正确的个数是( )①∃x 0∈A ，x 0∉B ；②∃x 0∈B ，x 0∉A ；③∀x ∈A 都有x ∈B ；④∀x ∈B 都有x ∈A .A ．4B ．3C ．2D ．1答案 C解析因为A ＝{x |x >2}，B ＝{x |x >3}，所以B ⊆A ，即B 是A 的子集，①④正确，②③错误，故选C.14．(2017届湖南师大附中月考)如果对于任意实数x ，[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[3.27]＝3，[0.6]＝0，那么“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析由[x ]的定义，当[x ]＝[y ]时，则|x －y |<1，若|x －y |<1时，比如x ＝3.5，y ＝2.9，此时[x ]＝3，[y ]＝2，[x ]≠[y ]，所以“[x ]＝[y ]”是“|x －y |<1”的充分不必要条件．15．(2017届河南百校联盟质监)命题“∃x 0∈R ，a sin x 0＋cos x 0≥2”为假命题，则实数a 的取值范围是_________．答案 (－3，3)解析由题命题“∀x ∈R ，a sin x ＋cos x <2为真命题，则a 2＋1<2，∴－3<a <3，即实数a 的取值范围是(－3，3)．16．(2017届福建连城县二中期中)设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a ，b ∈P ，都有a ＋b ，a －b ，ab ，a b∈P (除数b ≠0)，则称P 是一个数域，例如有理数集Q 是数域，有下列命题：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则数集M 必为数域；④数域必为无限集．其中正确的命题的序号是________．答案 ①④解析当a ＝b 时，a －b ＝0，a b ＝1∈P ，故可知①正确；当a ＝1，b ＝2，12∉Z 不满足条件，故可知②不正确；对③，当M 中多一个元素i 则会出现1＋i ∉M ，所以它也不是一个数域，故可知③不正确；根据数域的性质易得数域有无限多个元素，必为无限集，故可知④正确．。

2018年高考数学二轮总复习第一部分专题攻略专题一集合与常用逻辑用语、不等式(一)集合与常用

答案：A
2．如果命题“綈q∨p”与“綈p∨q”都是真命题，则下列结论中一定不成立的是()
A．命题“p∧q”是真命题
B．命题“p∨q”是假命题
C．命题“綈p∧q”是假命题
D．命题“綈p∧q”是真命题
解析：命题“綈q∨p”为真命题，则綈q与p中至少有一个为真；命题“綈p∨q”为真命题，则綈p与q中至少有一个为真．
答案：[0,4)
16．给出下列四个命题：
①命题“∀x∈R，cosx>0”的否定是“∃x0∈R，cosx0≤0”；
②若0<a<1，则函数f(x)＝x2＋ax－3只有一个零点；
ga＋lgb＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为4.
其中真命题的序号是________．
答案：C
13．命题：“∃x∈R，cos2x≤cos2x”的否定是________．
解析：本题主要考查命题的否定．已知的命题是特称命题，其否定是全称命题．
答案：∀x∈R，cos2x>cos2x
14．已知集合A＝{x|x≤2}，B＝{x|x≥a}，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．
解析：本题主要考查根据集合之间的关系求参数的取值范围．要使A∪B＝R，则有a≤2.
C．[－1,2) D．(－∞，2)
解析：A＝{x|x＜－1或x＞0}，∁RA＝[－1,0]，B＝(0,2)，于是(∁RA)∪B＝[－1,2)，故选C.
答案：C
6．(2017·九江二模)下列有关命题的说法正确的是()
A．命题“若xy＝0，则x＝0”的否命题：“若xy＝0，则x≠0”
B．“若x＋y＝0，则x，y互为相反数”的逆命题为真命题
答案：(－∞，2]
15．已知∀x∈R，不等式ax2＋ax＋1>0恒成立，则实数a的取值范围是________．

2018届高考数学二轮复习专题一集合与常用逻辑用语不等式1.1集合与常用逻辑用语课件理20171211299

2． (2017· 洛阳模拟)已知全集 U＝R，集合 A＝{x|x2－3x－4＞0}， B＝{x|－2≤x≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( ) A．{x|－2≤x＜4} B．{x|x≤2 或 x≥4} C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤2}
解析：依题意得 A ＝ {x|x ＜－ 1 或 x ＞ 4} ，因此 ∁ RA ＝ {x| － 1≤x≤4} ，题中的阴影部分所表示的集合为 ( ∁ RA)∩B ＝ {x| － 1≤x≤2}，选 D. 答案：D
【解析】 (1)设 z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)， z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)． a－bi 1 1 对于 p1，若 z ∈R，即＝ 2 2∈R，则 b＝0⇒z＝a＋bi＝ a＋bi a ＋b a∈R，所以 p1 为真命题．对于 p2，若 z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则 ab＝0. 当 a＝0，b≠0 时，z＝a＋bi＝bi∈/ R，所以 p2 为假命题．对于 p3，若 z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2 ＋a2b1)i∈R，则 a1b2＋a2b1＝0.而 z1＝ z 2，即 a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1 ＝a2，b1＝－b2.因为 a1b2＋a2b1＝0⇒/ a1＝a2，b1＝－b2，所以 p3 为假命题．对于 p4，若 z∈R，即 a＋bi∈R，则 b＝0⇒－ z ＝a－bi＝a∈R，所以 p4 为真命题，故选 B.
(2)∃x＝0∈R，使 x2－x＋1≥0 成立，故命题 p 为真命题；当 a＝1，b＝－2 时，a2<b2 成立，但 a<b 不成立，故命题 q 为假命题．故命题 p∧q，綈 p∧q，綈 p∧綈 q 均为假命题，命题 p∧綈 q 为真命题．故选 B.

2018届高考数学高考复习指导大二轮专题复习课件：专题1 第1讲集合与常用逻辑用语

故“存在负数 λ，使得 m＝λn”是“m· n<0”的充分而不必要条件．故选 A．方法 2：∵m＝λn， ∴m· n＝λn· n＝λ|n|2． ∴当 λ<0，n≠0 时，m· n<0． π 反之，由 m· n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉<0⇔〈m，n〉∈(2，π]， π 当〈m，n〉∈(2，π)时，m，n 不共线．故“存在负数 λ，使得 m＝λn”是“m· n<0”的充分而不必要条件．故选 A．
集有__________ 个． 2n－2
A⊆B B⊆A (5)重要结论：A∩B＝A⇔__________. ，A∪B＝A⇔__________ ．
2．充要条件
设集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满中条件q}，则有
从逻辑观点看 p 是 q 的充分不必要条件(p⇒q，q⇒ / p) p 是 q 的必要不充分条件(q⇒p，p⇒ / q) p 是 q 的充要条件(p⇔q) p 是 q 的既不充分也不必要条件(p⇒ / q，q⇒ / p) 从集合观点看
[解析]
∵A∩B＝{1}，∴1∈B，∴1是方程x2∴m＝3．由x2－4x＋3＝0，得x1＝1，x2＝3， ∴B＝{1,3}．
3．(2017· 北京卷，6)设 m，n 为非零向量，则“存在负数 λ，使得 m＝λn” 是“m· n<0”的导学号 52134003 ( A ) A．充分而不必要条件 C．充分必要条件 B．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件
[ 解析]
3 3 由 3－2x>0，得 x<2，∴B＝{x|x<2}，
3 3 ∴A∩B＝{x|x<2}∩{x|x<2}＝{x|x<2}，故选 A．

2018年高考数学(理)二轮复习：专题一集合与常用逻辑用语、不等式第2讲不等式(精品)

专题一集合与常用逻辑用语、不等式
第2讲不等式
热点分类突破真题押题精练
Ⅰ 热点分类突破
热点一不等式的解法 1.一元二次不等式的解法先化为一般形式ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c ＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集. 2.简单分式不等式的解法 (1)gfxx>0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0). (2)gfxx≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. 3.指数不等式、对数不等式及抽象函数不等式，可利用函数的单调性求解.
解析根据题意可得5a＝－1，ba＝－6，∴a＝－5，b＝30， ∴bx2－5x＋a>0可化为6x2－x－1>0⇔(3x＋1)(2x－1)>0，
∴不等式的解集为xx<－13或x>12

.

思维升华解析答案
跟踪演练1
(1)(2017届安徽淮北一中模拟)不等式
5－x x－1
≥0的解集是
令 log3(x2－1)>2(x≥2)，解得 x> 10，则不等式 f(x)>2 的解集为(1,2)∪( 10，＋∞)，故选 C.
解析答案
(2)(2017届安徽师大附中期中)已知不等式ax2－5x＋b>0的解集为{x|－3< x<2}，则不等式bx2－5x＋a>0的解集为__x__x<__－__13_或__x>__12___.
y＋3≥0，
的最小值是
√A.－15
B.－9
C.1
D.9
解析答案
x＋y≥1， (2)若x，y满足 x－y≥－1，且z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的

(新课标)2018届高考数学二轮复习专题一集合、常用逻辑用语、不等式 1.2 不等式讲义理

D.(-∞,- 7]∪[ 7,+∞)
关闭
D
解析答案
-21-
命题热点一命题热点二命题热点三命题热点四
迁移训练 3
设实数 x,y 满足约束条件
2�� + ��-6 �� + 2��-6
若过点 A,则 2a+3=7,解得 a=2;若过点 C,则 a+6=7,解得 a=1, 不合题意.
当 a<0 时,由图可知,直线 y=-��3��x+3��过点 A 或 B 时,直线在 y 轴上的截距最小,z 有最小值.
若过点 A,则 2a+3=7,解得 a=2,不合题意;若过点 B,则 4a+15=7,解得 a=-2,不合题意.
解析答案
-5-
热点考题诠释高考方向解读
��2-�� + 3,�� ≤ 1,
4.(2017 天津,理
8)已知函数
f(x)=
��
+
2 ��
,��
>
1.
设 a∈R,若关于 x
的不等式
f(x)≥
�� 2
+
��
在
R
上恒成立,则
a
的取值范围是(
3 2
��
+
3,��
≤
1,
�� 2
+
2 ��
,��
>
1.
当 x≤1 时,p(x)=x2-32x+3=
��-
3 4

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考点 1
不等式的解法
1．一元二次不等式的解法先化为一般形式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)，再求相应一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．
2．简单分式不等式的解法 fx (1) >0(<0)⇔f(x)g(x)>0(<0)； gx fx (2) ≥0(≤0)⇔f(x)g(x)≥0(≤0)且 g(x)≠0. gx
例 1(1)已知函数 f(x)＝(ax－1)(x＋b)，若不等式 f(x)>0 的解集是(－1,3)，则不等式 f(－2x)<0 的解集是( A ) 3 1 A. －∞，－2 ∪ 2，＋∞ 3 1 B.－2，2 1 3 C.－∞，－2∪2，＋∞ 1 3 D.－2，2 (2)不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0 的解集为 R，则实数 a 的取 (－2,2] ．值范围是________
【解析】 (1)由 f(x)>0，得 ax2＋(ab－1)x－b>0，又其解集是(－ 1,3)，
1－ab a ＝2， 1 所以 a<0，且解得 a＝－1 或3(舍去)， b －＝－3， a 所以 a＝－1，b＝－3，所以 f(x)＝－x2＋2x＋3，所以 f(－2x)＝－4x2－4x＋3，由－4x2－4x＋3<0，得 4x2＋4x－3>0， 1 3 解得 x>2或 x<－2，故选 A.
考点 2
基本不等式及其应用
利用基本不等式求最大值、最小值，其基本法则是：(1)如果 x>0，y>0，xy＝p(定值)，当 x＝y 时，x＋y 有最小值 2 p(简记为：积定，和有最小值)；(2)如果 x>0，y>0，x＋y＝s(定值)，当 x＝y 时， 12 xy 有最大值4s (简记为：和定，积有最大值)．
3 解析：由 2x2－x－3>0，得(x＋1)(2x－3)>0，解得 x>2或 x<－1. ∴不等式 2x －x－3>0 答案：B
2
3 的解集为xx>2或x<－1
.故选
B.
2．已知函数
2 x ＋1，x≥0 f(x)＝ 1， x<0，
则满足不等式 f(1－x2)>f(2x)
(2)∵ a，b∈R，ab＞0， a4＋4b4＋1 4a2b2＋1 1 ∴ ≥ ab ＝4ab＋ab≥2 ab
1 4ab· ab＝4，

2 a ＝2b ， a ＝当且仅当即 1 4ab＝ab， b2＝ a4＋4b4＋1 故的最小值为 4. ab
2 2
2 2， 2 4
(
1． (2017· 河北八所重点中学一模)不等式 2x2－x－3>0 的解集为 ) 3 3 A.x－1<x<2 B.xx>2或x<－1 3 3 C. x －2<x<1 D. x x>1或x＜－2
x y 例 2(1)(2017· 山东卷)若直线a＋b＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则 8 2a＋b 的最小值为________ ； a4＋4b4＋1 (2)(2017· 天津卷)若 a，b∈R，ab＞0，则的最小值为 ab 4 ________ ．
x y 【解析】 (1)∵ 直线a＋b＝1(a>0，b>0)过点(1,2)， 1 2 ∴ a＋b＝1， 1 2 4a b 4a b ∴ 2a＋b＝(2a＋b) a＋b ＝4＋ b ＋a≥4＋2 b· a＝8， b 4a 当且仅当a＝ b ，即 a＝2，b＝4 时，等号成立．故 2a＋b 的最小值为 8.
(2)当 a＝2 时，不等式化为－4<0，恒成立；当 a≠2 时，由条件知 a－2<0， 2 Δ＝4a－2 ＋16a－2<0，解得－2<a<2. 综上所述，a 的取值范围是(－2,2]．
[技法领悟] (1)对于和函数有关的不等式，可先利用函数的单调性进行转化． (2)求解一元二次不等式的步骤：第一步，二次项系数化为正数；第二步，解对应的一元二次方程；第三步，若有两个不相等的解，再根据不等号的方向确定解集． (3)含参数的不等式的求解，要对参数进行分类讨论．
2 3 3．设 x>0，则函数 y＝x＋－的最小值为( ) 2x＋1 2 1 3 A ．0 B.2 C．1 D.2 2 3 1 1 解析：y＝x＋－＝ x＋＋ 1－2≥2－2＝0. 2x＋1 2 2 x＋2 1 1 1 当且仅当 x＋2＝ 1，即 x＝2时等号成立． x＋2 所以函数的最小值为 0.故选 A. 答案：A
时取得等号．
[技法领悟] (1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基本不等式求最值． (2)在运用基本不等式求最值时，必须保证“一正，二定，三相等”，凑出定值是关键． (3)“＝”成立必须保证，若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错．
4．(2017· 江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是________． 600 3 600 解析：一年的总运费为 6× x ＝ x (万元)．一年的总存储费用为 4x 万元． 3 600 总运费与总存储费用的和为 x ＋4x万元． 3 600 3 600 3 600 因为 x ＋4x≥2 4x＝240，当且仅当 x ＝4x，即 x · x＝30 时取得等号，所以当 x＝30 时，一年的总运费与总存储费用之和最小．答案：30
的 x 的取值范围是________．
解析：当 x≥0 时，f(x)＝x2＋1 是增函数；当 x<0 时 f(x)＝1，因此由题设 f(1－x2)>f(2x)得， 2 2 1－x >2x， 1－x >0 或 2x<0 2x≥0. 解得－1<x<0 或 0≤x< 2－1. 故所求实数 x 的取值范围是(－1， 2－1)．答案：(－1， 2－1)

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