不等式的基本性质及解法
不等式的基本性质和解法
不等式的基本性质和解法不等式在数学中扮演着重要的角色，它描述了数字之间的大小关系。
解不等式问题帮助我们确定未知数的取值范围，以便满足给定的条件。
本文将介绍不等式的基本性质和解法，以帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、不等式的基本性质1. 传递性对于任意三个实数a、b、c，如果a < b且b < c，则a < c。
这意味着如果两个数中一个小于另一个数，它也小于比另一个数更大的数。
2. 加法性对于任意实数a、b和c，如果a < b，则a + c < b + c。
这表示在不等式两边同时加上或减去相同的数时，不等式的关系不会改变。
3. 乘法性对于任意实数a、b和c，如果a < b且c > 0，则ac < bc。
如果c < 0，则ac > bc。
这意味着当不等式两边同时乘以一个正数或负数时，不等式的关系可能发生改变。
需要注意的是，当乘以一个负数时，不等号的方向会反转。
二、不等式的解法1. 加减法解法当不等式中有加减运算时，可以通过加减法来解决。
例如，对于不等式2x + 5 > 13，我们可以先将5减去，得到2x > 8，然后再将2除以2，得到x > 4。
所以不等式的解为x > 4。
2. 乘除法解法当不等式中有乘除运算时，可以通过乘除法来解决。
例如，对于不等式3x/2 < 6，我们可以先将不等式两边同时乘以2/3，得到x < 4。
所以不等式的解为x < 4。
3. 绝对值不等式解法绝对值不等式是指形如|ax + b| < c或|ax + b| > c的不等式。
对于这类不等式，我们可以分别解决绝对值内部为正数和绝对值内部为负数的情况。
例如，对于不等式|2x - 1| < 5，我们可以分别解决2x - 1 < 5和2x - 1 > -5，得到x < 3和x > -2。
综合起来，不等式的解为-2 < x < 3。
不等式的性质与解法
不等式的性质与解法不等式是数学中常见的一种关系表达式，它描述了两个数或两个代数式之间的大小关系。
在解不等式时，我们需要了解不等式的性质和解法。
本文将首先介绍不等式的基本性质，然后探讨常见的解不等式的方法。
一、不等式的基本性质对于一般的不等式，包括大于（＞）、小于（＜）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等关系符号，具有以下基本性质：1.传递性：若a ＞ b，b ＞ c，则a ＞ c。
若a ＜ b，b ＜ c，则a ＜ c。
2.对称性：若a ＞ b，则b ＜ a。
若a ＜ b，则b ＞ a。
3.加减性：若a ＞ b，则a＋c ＞ b＋c；若a ＜ b，则a＋c ＜ b＋c（c为常数）。
4.倍乘性：若a ＞ b，且c ＞ 0，则ac ＞ bc；若a ＜ b，且c ＞ 0，则ac ＜ bc；若a ＜ b，且c ＜ 0，则ac ＞ bc；若a ＞ b，且c ＜ 0，则ac ＜ bc。
5.同乘性：若a ＞ b，且c ＞ 0，则ac ＞ bc；若a ＜ b，且c ＞ 0，则ac ＜ bc。
二、一元一次不等式的解法一元一次不等式是指只含有一个未知数的一次项的不等式，它可以通过以下步骤解决：1.将所有的项移至等号一侧，将常数项移至另一侧，得到形如ax ＋b ＞ 0或ax ＋ b ＜ 0的不等式。
2.当a ≠ 0时，将不等式两边同时除以a，注意因为除以负数会改变不等号的方向，所以需要根据a的正负情况进行分类讨论。
3.将一元一次不等式转换为一个关于未知数的区间，通过判断区间是否满足不等式来确定解的范围。
三、一元二次不等式的解法一元二次不等式是指只含有一个未知数的二次项的不等式，它可以通过以下步骤解决：1.将不等式移项，将不等式转化为标准形式，即形如ax²＋ bx ＋ c ＞ 0或ax²＋ bx ＋ c ＜ 0的一元二次不等式。
2.如果a＞0，通过求解二次函数的零点，即ax²＋ bx ＋ c ＝ 0，得到x的取值范围，再根据区间判断不等式的解。
不等式的性质与解法
不等式的性质与解法不等式是数学中一种重要的表示不等关系的数学语句，它与等式相对应。
研究不等式的性质和解法对于理解数学知识、解决实际问题具有重要意义。
本文将探讨不等式的性质以及一些常见的解法，并为读者提供一些实用的技巧。
一、不等式的基本性质不等式的基本性质包括传递性、对称性和加法、减法、乘法性质。
1. 传递性：如果 a > b 且 b > c，则有 a > c。
这种性质使得不等式在运算过程中具有连续性，方便我们研究和解决问题。
2. 对称性：如果 a > b，则有 b < a。
不等式在进行对称变换时可以改变不等式符号的方向，但不等式仍然成立。
3. 加法、减法性质：如果 a > b，则有 a + c > b + c，a - c > b - c。
不等式在加法和减法运算中，可以将数加减到两边，不等关系仍然成立。
4. 乘法性质：如果 a > b 且 c > 0，则有 ac > bc，如果 c < 0，则有 ac < bc。
不等式在乘法运算中可以将等式两边乘以正数，或者乘以负数并改变不等关系的方向。
二、解一元一次不等式一元一次不等式是最简单的不等式形式，解这类不等式的方法和解方程类似。
以下是解一元一次不等式的步骤：1. 将不等式中的所有项移到一边，使不等式变为“不等于0”的形式。
2. 如果不等式两边乘以负数，则需要改变不等式的方向。
3. 对于一元一次不等式，在不等式两边同时加上同一个数或者乘以同一个正数时，不等式的不等关系不变。
4. 求解出不等式的解集。
例如，解不等式2x - 5 > 7，按照上述步骤进行解答：1. 将不等式变为“不等于0”的形式：2x - 5 - 7 > 0。
2. 对不等式两边同时加上同一个数：2x - 12 > 0。
3. 不等式两边同时除以正数2：x - 6 > 0。
4. 求解出不等式的解集：x > 6。
不等式的基本性质与解法总结
不等式的基本性质与解法总结不等式是数学中常见的一种数值关系表达形式，它描述了两个数或者数值表达式之间大小关系的不同情况。
在解决实际问题中，我们经常会遇到需要研究不等式的性质并解决不等式的问题。
本文将总结不等式的基本性质和解法，帮助读者更好地理解和运用不等式。
一、不等式的基本性质1. 加法性质：如果a<b，那么对于任意的实数c，a+c<b+c仍然成立；如果a>b，那么对于任意的实数c，a+c>b+c仍然成立。
2. 减法性质：如果a<b，那么对于任意的实数c，a-c<b-c仍然成立；如果a>b，那么对于任意的实数c，a-c>b-c仍然成立。
3. 乘法性质：如果a<b且c>0，那么ac<bc仍然成立；如果a<b且c<0，那么ac>bc仍然成立。
4. 除法性质：如果a<b且c>0，那么a/c<b/c仍然成立；如果a<b且c<0，那么a/c>b/c仍然成立。
5. 等式的性质：如果a=b且b=c，那么a=c仍然成立。
可以在不等式的两边加上或者减去相等的数值，不等式的关系仍然保持不变。
二、不等式的分类与解法不等式可以分为一元不等式和二元不等式两类。
一元不等式指只有一个变量的不等式，而二元不等式指含有两个变量的不等式。
下面将分别介绍一元不等式和二元不等式的解法。
1. 一元不等式的解法（1）图像法：将一元不等式转化为二元不等式，绘制出二元不等式的图像，通过观察图像得到一元不等式的解集。
（2）数线法：将一元不等式表示在数轴上，根据不等式的性质，确定不等式的解集。
（3）代数法：通过变形和运算等方式将不等式转化为更简单的形式，进而得到不等式的解集。
2. 二元不等式的解法（1）图像法：将二元不等式表示为平面上的区域，通过观察图像确定变量的取值范围，得到不等式的解集。
（2）代数法：利用一元不等式的解法，将一个变量表示成另一个变量的函数，通过求解一元不等式得到二元不等式的解集。
不等式的性质及解法
不等式的性质及解法不等式是数学中的一种重要的数值关系表示形式，与等式相比，不等式更能反映数值大小之间的差异。
在实际问题中，我们经常会遇到需要确定数值范围的情况，而不等式的性质和解法则帮助我们进行准确的数值分析和解决问题。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a<b，b<c，则有 a<c。
这一性质表明不等式的关系可以在数轴上进行传递，简化了分析比较的步骤。
2. 加减性：如果 a<b，则有 a±c<b±c。
对于不等式两边同时加减同一个数，不等式的关系保持不变。
3. 乘除性：如果 a<b 并且 c>0，则有 ac<bc；如果 a<b 并且 c<0，则有ac>bc。
这一性质需要注意，当乘以负数时，不等式的关系需要取反。
4. 对称性：如果a<b，则有b>a。
不等式两边的大小关系可以互换。
二、一元不等式的解法1. 加减法解法：通过加减法将不等式转化为更简单的形式。
例如：对于不等式 2x+3>7，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
2. 乘除法解法：通过乘除法将不等式转化为更简单的形式。
同样以不等式 2x+3>7 为例，我们可以先减去3，得到 2x>4，再除以2，得到x>2，即解集为 x>2。
3. 移项解法：利用不等式的基本性质，将所有项移到同一边，得到一个结果。
例如：对于不等式 3(x-2)>4x-7，我们可以先将右边的项移动到左边，得到 3x-6>4x-7，然后将 x 的系数移到一侧，得到 3x-4x>-7+6，化简得到 -x>-1，再乘以 -1，注意需要反转不等式的关系，得到x<1，即解集为 x<1。
4. 系数法解法：当不等式中存在系数时，我们可以通过判断系数的正负来确定解的范围。
例如：对于不等式 2x-3>0，我们观察到系数2>0，说明 x 的取值范围为正数，即解集为 x>3/2。
初中数学——不等式的基本性质与解法
初中数学——不等式的基本性质与解法简介：不等式是人们在生活中经常遇到的一个数学问题，在数学中有着重要的地位，对解决实际问题、推导其他数学知识都有着直接或间接的影响。
本篇文章将介绍不等式的基本性质与解法，包括不等式的基本定义、不等式的基本性质、不等式的解法及其练习题。
一、不等式的基本定义不等式是指含有不等于号的等式。
不等式中称不等式左边的式子为被比较数，右边的式子为比较数。
例如：1）x+3<92）2x-5>73）-3y+5≤-1二、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：1、不等式两边同时加（减）同一数或同一项，不等式仍然成立。
2、不等式两边同时乘（除）同一正数，不等式仍然成立。
3、不等式两边同时乘（除）同一负数，不等式方向要反过来。
例如：1）在不等式：x+3<9 两边都减去3，得到x<6。
2）在不等式：2x-5>7 两边都加上5，得到2x>12，再除以2，得到x>6。
3）在不等式：-3y+5≤-1 两边都减去5，得到-3y≤-6，再除以-3，得到y≥2。
三、不等式的解法不等式的解法有两种方法：一、图象法1、将不等式中的不等式号改为等号，画出其对应的直线。
2、根据相应的不等式号来确定解集所在的区间，并在区间两端加上开口方向相应的箭头。
例如：1）不等式x+3<9对应的直线为x+3=9，即x=6，将其画出。
2）将x=6作为分界点，在6的左边加上向左的箭头，在6的右边加上向右的箭头，得到解集为(-∞,6)。
二、运算法1、根据不等式的性质将不等式进行变形。
2、将不等式化为简单的解法，注意要在不等式两边同时进行变形。
例如：1）将不等式2x+5<9化简，得到x<2。
2）将不等式3x-2>7化简，得到x>3。
四、练习题1、解不等式2x+3≥5。
解：将不等式两边同时减去3，得到2x≥2，再除以2，得到x≥1。
答案：x≥1。
2、解不等式4x-3<13。
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的一种数学关系，它描述了两个数之间的大小关系。
在解决实际问题中，经常需要研究不等式的基本性质和解法。
本文将介绍不等式的基本性质以及解决不等式的方法，并且给出一些例子来说明。
一、不等式的基本性质1. 加减性性质：对于两个不等式，如果它们的左右两边分别相加或相减，那么它们的不等关系不变。
例如：对于不等式 2x < 6 和 3x > 9，我们可以将两个不等式的左右两边分别相加得到 2x + 3x < 6 + 9，即 5x < 15。
不等式的不等关系保持不变。
2. 乘除性性质：对于不等式，如果两边都乘以一个正数，则不等关系保持不变；如果两边都乘以一个负数，则不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时乘以一个正数 3，我们得到 3 * 2x < 3 * 6，即 6x < 18，不等关系保持不变。
但如果两边同时乘以一个负数 -3，我们得到 -3 * 2x > -3 * 6，即 -6x > -18，不等关系发生改变。
3. 反号性质：对于不等式，如果两边同时取负号，不等关系发生改变。
例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时取负号，我们得到 -2x > -6，不等关系发生改变。
4. 绝对值性质：对于不等式，如果绝对值符号"|" 出现在不等式中，我们需要分别讨论绝对值大于零和绝对值小于零的情况。
例如：对于不等式|2x - 4| < 6，我们可以将其分为两个部分来讨论。
当 2x - 4 > 0 时，不等式简化为 2x - 4 < 6，解得 x < 5；当 2x - 4 < 0 时，不等式简化为 -(2x - 4) < 6，解得 x > -1。
二、不等式的解法1. 图像法：对于一些简单的一元不等式，我们可以使用图像法来解决。
将不等式转化为图像表示，通过观察图像来确定不等式的解集。
不等式的性质与解法
不等式的性质与解法不等式是数学中常见的表达式，描述了两个数或者两个代数式之间的大小关系。
解不等式是数学中常见的问题之一，研究不等式的性质和解法有助于我们更好地理解数学问题。
本文将介绍不等式的基本性质和常用的解法。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b且b<c，则有a<c。
这意味着当不等式链中存在多个不等关系时，可以通过传递性判断其中任意两个数之间的大小关系。
2. 不等式的加法性质：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b，则有a+c<b+c。
这意味着可以在不等关系的两侧同时加上相同的数，不等关系的方向不会改变。
3. 不等式的乘法性质：对于任意三个实数a、b和c，如果a<b且c>0，则有ac<bc；如果a<b且c<0，则有ac>bc。
这意味着可以在不等关系的两侧同时乘上相同的正数或负数，不等关系的方向可能会改变。
二、不等式的解法1. 加减法解法：使用加减法解不等式时，需要保持不等式链的方向不变。
例如，对于不等式2x-5>7，我们首先可以将5加到两侧得到2x>12，然后再将不等式链两侧同时除以2，得到x>6。
2. 乘除法解法：使用乘除法解不等式时，需要根据乘除数的正负来确定不等式链是否需要翻转。
例如，对于不等式-3x<9，我们首先可以将不等式两侧同时除以-3，但由于除以负数需要改变不等关系的方向，所以不等式应变为x>-3。
3. 绝对值不等式的解法：对于绝对值不等式，有时候可以根据绝对值的定义进行分类讨论。
例如，对于不等式|2x-1|<3，我们可以将其分解为两个不等式2x-1<3和2x-1>-3，然后分别求解得到x<2和x>-1，最终得到-1<x<2的解集。
4. 平方不等式的解法：对于一元二次不等式，可以根据不等式系数的正负和零点位置进行讨论。
不等式的性质与解法
不等式的性质与解法在数学中，不等式是表示两个数或者表达式之间大小关系的一种数学陈述。
与等式不同，不等式可以包含大于、小于、大于等于或小于等于等关系符号。
本文将探讨不等式的性质与解法，并提供一些解决不等式的方法。
一、不等式的基本性质不等式具有以下基本性质：1. 传递性：对于任意的实数a、b、c，如果a < b而b < c，则有a < c。
同理，如果a > b而b > c，则有a > c。
2. 加减性：对于任意的实数a、b和c，如果a < b，则有a + c < b + c。
同理，如果a > b，则有a + c > b + c。
这意味着在不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等式的大小关系不会改变。
3. 乘除性：对于任意的正数a、b和c，如果a < b，则有ac < bc。
同理，如果a > b，则有ac > bc。
但是，如果a、b和c中存在一个负数，则不等式的大小关系会反转。
例如，如果a < b且c < 0，则ac > bc。
4. 对称性：如果a > b，则有-b > -a；如果a < b，则有-b < -a。
即不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会反转。
二、不等式的解法方法解决不等式的方法因不等式的形式而异。
下面介绍几种常见的解不等式的方法：1. 图解法：对于一元一次不等式，可以将其图形表示在数轴上，通过观察图形确定不等式的解集。
例如，对于不等式x + 2 > 0，可以将x轴上大于-2的部分作为不等式的解集。
2. 实数集合法：根据不等式的形式，考察变量可能取值的范围，从实数集合中选取满足条件的子集作为不等式的解集。
例如，对于不等式2x - 5 ≤ 3x + 1，可以将变量x的取值范围限定在满足2x - 5 ≤ 3x + 1的实数范围内。
3. 分类讨论法：对于复杂的不等式，可以将其分解为简单的不等式，并对每个分段进行讨论。
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式在数学中起着重要的作用，它描述了数值之间的大小关系。
解不等式是解决问题、推导结论的常用方法之一。
本文将介绍不等式的基本性质与解法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、不等式的基本性质1.1 传递性：若a>b，b>c，则a>c。
这个性质说明了不等式在数值之间的传递性，即如果一个数大于另一个数，而后者又大于第三个数，则第一个数一定大于第三个数。
1.2 加法性：若a>b，则a+c>b+c。
这个性质说明了不等式在两边同时加上一个相同的数时，不等号的方向不变。
1.3 减法性：若a>b，则a-c>b-c。
与加法性类似，减法性说明了不等式在两边同时减去一个相同的数时，不等号的方向不变。
1.4 乘法性：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
乘法性说明了不等式在两边同时乘以一个正数或负数时，不等号的方向会发生变化。
1.5 除法性：若a>b且c>0，则a/c>b/c；若a>b且c<0，则a/c<b/c。
除法性说明了不等式在两边同时除以一个正数或负数时，不等号的方向会发生变化。
二、不等式的解法2.1 图解法：对于一元一次不等式，可以通过图像来解决。
首先将不等式转换为等式，画出等式对应的直线，然后根据不等号的方向确定直线上的某一边的解集。
这种方法适用于简单的线性不等式。
2.2 求解法：对于更复杂的不等式，通常需要应用一些不等式性质和运算法则。
例如，可以通过加、减、乘、除等操作将不等式化简为简单的形式，再求解。
2.3 分类讨论法：对于一元高次不等式，可以将不等式中的变量分别取不同的值，然后根据不等式的性质进行分类讨论。
通过逐个排除不符合条件的情况，最终得到解集。
2.4 绝对值法：对于含有绝对值的不等式，可以通过拆分绝对值的定义，建立不等式的多种情况，然后分别求解。
不等式的性质和解法
不等式的性质和解法一、不等式的性质1.不等式的定义：表示两个数之间的大小关系，用“>”、“<”、“≥”、“≤”等符号表示。
2.不等式的基本性质：（1）传递性：如果a>b且b>c，那么a>c。
（2）同向相加：如果a>b且c>d，那么a+c>b+d。
（3）同向相减：如果a>b，那么a-c>b-c。
（4）乘除性质：如果a>b且c>0，那么ac>bc；如果a>b且c<0，那么ac<bc。
二、不等式的解法1.解不等式的基本步骤：（1）去分母：将不等式两边同乘以分母的最小正整数，使分母消失。
（2）去括号：将不等式两边同乘以括号内的正数，或者将不等式两边同除以括号内的负数，使括号内的符号改变。
（3）移项：将不等式中的常数项移到一边，将含有未知数的项移到另一边。
（4）合并同类项：将不等式两边同类项合并。
（5）化简：将不等式化简到最简形式。
2.解一元一次不等式：（1）ax+b>c（a≠0）：移项得ax>c-b，再除以a得x>(c-b)/a。
（2）ax+b≤c（a≠0）：移项得ax≤c-b，再除以a得x≤(c-b)/a。
3.解一元二次不等式：（1）ax2+bx+c>0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
（2）ax2+bx+c≤0（a>0）：先求出方程ax2+bx+c=0的解，然后根据a的符号确定不等式的解集。
4.不等式的组：（1）解不等式组的步骤：先解每个不等式，再根据不等式的解集确定不等式组的解集。
（2）不等式组解集的表示方法：用区间表示，例如：[x1, x2]。
三、不等式的应用1.实际问题中的不等式：例如，距离、温度、速度等问题。
2.不等式在生活中的应用：例如，购物、制定计划、比较大小等问题。
3.不等式在其他学科中的应用：例如，在物理学中描述物体的运动状态，在经济学中描述市场的供求关系等。
不等式的基本性质及求解方法
不等式的基本性质及求解方法在数学中，不等式是描述数值之间关系的一种表达方式。
与等式不同，不等式表达了两个数中的一个大于、小于或不等于另一个数的关系。
本文将介绍不等式的基本性质以及常见的求解方法。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果a>b，b>c，则a>c。
这个性质说明了不等式的关系具有传递性，即一个数大于另一个数，那么它也大于另一个与后者相等的数。
2. 反对称性：如果a≤b且b≤a，则a=b。
这个性质说明了不等式的关系具有反对称性，即一个数小于等于另一个数，同时另一个数也小于等于前者，则这两个数相等。
3. 相反数性质：如果a>b，则-a<-b。
这个性质说明了不等式的两边取相反数后，不等号的方向会发生翻转。
4. 倍增性：如果a>b，并且c>0，则a*c>b*c。
这个性质说明了不等式在两边同时乘上正数的情况下，不等关系保持不变。
二、求解方法1. 加减法求解：如果a+b>c，则a>c-b；如果a-b>c，则a>c+b。
这种方法适用于对不等式进行加减运算求解的情况。
2. 乘除法求解：如果a*b>c (且b>0)，则a>c/b (其中b>0)；如果a*b<c (且b<0)，则a<c/b (其中b<0)。
这种方法适用于对不等式进行乘除运算求解的情况。
需要注意的是，在乘除法求解中，当乘（除）以负数时，不等号需要进行反向翻转。
3. 绝对值法求解：对于形如|a|>b的不等式，有两种情况：a>b 或 a<-b。
取其并集，即a>b 或 a<-b。
4. 平方法求解：对于形如x^2>a的不等式，有两种情况：x>√a 或 x<-√a。
取其并集，即x>√a 或 x<-√a。
5. 区间法求解：对于形如a<x<b的不等式，解集为(a, b)。
不等式的基本性质和解法
不等式的基本性质和解法不等式在数学中具有重要的地位，它描述了数值之间的大小关系。
不等式的研究可以帮助我们解决许多实际问题，如经济学、物理学、工程学等领域中的优化问题。
本文将介绍不等式的基本性质和解法，帮助读者更好地理解和运用不等式。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：如果a > b，b > c，则a > c。
这是不等式的传递性质，我们可以通过这个性质建立一系列的大小关系。
2. 不等式的加法性：如果a > b，则a + c > b + c。
两边同时加上相同的数，不等式的大小关系不变。
3. 不等式的乘法性：如果a > b，c > 0，则ac > bc。
两边同时乘以正数，不等式的大小关系不变。
但如果c < 0，则ac < bc。
两边同时乘以负数，不等式的大小关系会颠倒。
4. 不等式的倒置性：如果a > b，则-b > -a。
不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系颠倒。
以上是不等式的基本性质，我们在解决不等式问题时需要运用这些性质来推导和转化不等式的形式。
二、不等式的解法1. 一元一次不等式的解法：对于形如ax + b > 0的一元一次不等式，我们可以按照以下步骤进行求解：a) 将不等式转化为等式，得到ax + b = 0；b) 求解得到x = -b/a；c) 根据x的位置和a的正负确定不等式的解集。
2. 一元二次不等式的解法：对于形如ax^2 + bx + c > 0的一元二次不等式，我们可以按照以下步骤进行求解：a) 求解关于x的二次方程ax^2 + bx + c = 0，得到两个解x1和x2；b) 根据a的正负以及x1和x2的位置确定不等式的解集。
3. 绝对值不等式的解法：对于形如|ax + b| > c的绝对值不等式，我们可以按照以下步骤进行求解：a) 将不等式分为两种情况，即ax + b > c和ax + b < -c；b) 求解这两个一元一次不等式，得到两组解集；c) 将两组解集合并，即得到绝对值不等式的解集。
不等式的基本性质和解题方法
不等式的基本性质和解题方法不等式是数学中非常重要的概念，它在我们的日常生活中也有很多应用。
比如，我们可以用不等式来描述一些数值之间的关系，例如大小、大小关系等。
不等式的基本性质和解题方法对我们的数学学习和应用都有着重要的影响。
一、不等式的基本性质不等式有很多基本性质，这些基本性质对于我们的不等式运算和解题都是非常重要的。
下面我们来介绍一下不等式的基本性质。
1. 如果a>b，则a+c>b+c （加法性质）。
2. 如果a>b，且c>0，则ac>bc（乘法性质）。
3. 如果a>b，且c<0，则ac<bc（乘法性质）。
4. 对于一个正数a，a^2>0。
5. 如果a>b，那么a^3>b^3。
6. 如果a>b，且c>d，则a+c>b+d。
7. 对于任意的实数a，-a≤a≤|a|。
8. 如果a>0，则1/a>0。
这些基本性质是不等式运算和解题的基础，学好这些基本性质，才能更好的掌握不等式的解法。
二、不等式的解法不等式的解法也是非常重要的，因为只有掌握了不等式的解法，我们才能更好地运用不等式去解决问题。
下面我们来介绍一些基本的解不等式方法。
1. 两边同时加、减同一个数：如果a>b，则a+c>b+c；如果a<b，则a+c<b+c。
2. 两边同时乘、除同一个正数：如果a>b，且c>0，则ac>bc；如果a<b，且c>0，则ac<bc。
如果a>b，且c<0，则ac<bc；如果a<b，且c<0，则ac>bc。
3. 公式法：a^2-b^2=(a+b)(a-b)，a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)。
4. 合并同类项：如2x+3>4x-1，可变形为-x<4，即x>-4。
5. 分类讨论法：将待解的不等式根据条件分成各个区间，分别讨论。
高中数学知识点不等式的性质及解法
高中数学知识点不等式的性质及解法高中数学中，不等式的性质及解法是一个重要的知识点。
它涉及到不等式的基本性质、不等式的加减乘除、不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式等不等式类型的解法。
下面将详细介绍不等式的性质及解法。
一、不等式的性质1.两边加减同一个数不等号方向不变。
2.两边乘除同一个正数不等号方向不变，同一个负数不等号方向改变。
3.如果两个不等式成立，则它们的和、差、乘积、商仍然成立。
4.如果两个不等式的符号方向相反，求和时不等式方向不确定，求差时等式方向不确定，求积时反而求商时等式方向相反。
5.无论何时，两边加上相等的数，不等式的大小不变。
二、一元一次不等式对于一元一次不等式，常规的解法是将其转化为等价的不等式进行求解。
具体步骤如下：1. 化简：将不等式中的所有项移到一边，化简为标准形式ax+b<0或ax+b>0。
2.等价变形：根据不等式的性质，进行乘除法或加减法，将不等式变形为更简单的形式。
3.解不等式：根据等价变形后的不等式，确定x的取值范围。
三、一元二次不等式对于一元二次不等式，可以利用抛物线的性质进行求解。
具体分为以下几种情况：1.一元二次不等式的根在抛物线的两侧，此时，可以通过求解抛物线与x轴的交点来确定不等式的解集。
2.一元二次不等式的根在抛物线上，此时，可以通过根的位置确定抛物线在不等式中的符号。
3.一元二次不等式的根在抛物线的一侧，此时，可以根据抛物线的开口方向来确定不等式的解集。
四、综合应用在实际问题中，不等式的应用非常广泛，比如在经济学、物理学、生物学等领域中的一些实际问题往往可以转化为不等式进行求解。
这时候，除了要掌握不等式的基本性质和解法外，还需要注意问题的本质，合理进行变量的定义和范围的确定。
综上所述，不等式的性质及解法在高中数学中占据很重要的地位。
掌握不等式的基本性质，熟悉不等式的加减乘除运算，能够灵活运用不等式的等价变形以及一元一次不等式、一元二次不等式的解法，对于提高解题能力和培养数学思维都非常有帮助。
不等式及其性质与解法
（1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。
（2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集.（3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。
热身练习1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。
（1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2＜b 2.（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2＞bc 2.（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ）2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。
[来源A 、a ＞０B 、ａ＜０C 、ａ≥0D 、a ≤03、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。
A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0<ab5、如果t>0,那么a+t 与a 的大小关系是 ( A ).A 、a+t>aB 、a+t<aC 、a+t ≥aD 、不能确定 6、同时满足不等式2124xx -<-和3316-≥-x x 的整数x 是 （ B ）． A 、1，2，3 B 、0，1，2，3 C 、1，2，3，4 D 、0，1，2，3，47、若三个连续正奇数的和不大于27，则这样的奇数组有（ B ）A ．3组B ．4组C ．5组D ．6组 8、若a ＜0，则－2b a +__<__－2b[来源:学.科.网] 11．设a ＜b ，用“＞”或“＜”填空：[来源:Z*xx*ka －1__<__b －1， a ＋3__<__b ＋3， －2a__>__－2b ，3a __<__3b12．实数a ，b 在数轴上的位置如图所示，用“＞”或“＜”填空：a －b__<__0， a ＋b__<__0，ab __>__0，a 2__>__b 2，a 1__>__b1，︱a ︱__>__︱b ︱ 13．若a ＜b ＜0，则21（b －a ）_>___0 14、不等式2(x + 1) - 12732-≤-x x 的解集为_____1314≥x ________。
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的一种关系表达方式，它常用于描述数值或变量之间的大小关系。
在解决实际问题时，不等式起到了重要的作用。
本文将介绍不等式的基本性质与解法，帮助读者更好地理解和应用不等式。
一、不等式的基本性质1. 不等式的传递性：若a > b且b > c，则有a > c。
这意味着不等式的大小关系具有传递性，可通过多个不等式的关系推导出更多的大小关系。
2. 不等式的加法性：若a > b，则a + c > b + c。
不等式的加法性表明，在不等式两侧同时加上相同的数，不等式的大小关系不变。
3. 不等式的乘法性：(1) 若a > b且c > 0，则ac > bc。
(2) 若a > b且c < 0，则ac < bc。
不等式的乘法性表明，在不等式两侧同时乘以正数（或负数），不等式的大小关系不变，但当乘以负数时，不等号方向需要翻转。
二、不等式的解法1. 加减法解不等式：若给定不等式为a + b > c，则可通过移项，将不等式转化为a > c - b。
同样地，对于a - b > c，可转化为a > c + b。
通过加减法解不等式时，需要注意移项的不等号方向。
2. 乘除法解不等式：通过乘法、除法解不等式时，需要考虑乘除的数是否为正数（或负数）和是否为零。
具体步骤如下：(1) 若给定不等式为ax > b，则根据乘法性，可得到：- 若a > 0，解为x > b/a；- 若a < 0，解为x < b/a，解不等号需要翻转；- 若a = 0，无解。
(2) 若给定不等式为ax < b，则根据乘法性，可得到：- 若a > 0，解为x < b/a；- 若a < 0，解为x > b/a，解不等号需要翻转；- 若a = 0，无解。
3. 绝对值不等式的解法：绝对值不等式的解法需要考虑绝对值函数的性质。
不等式的基本性质与解法
不等式的基本性质与解法不等式是数学中常见的描述数量关系的工具，它可以表达两个数、两个量或两个函数之间的大小关系。
在解决实际问题时，不等式的理解和运用至关重要。
本文将介绍不等式的基本性质以及解法，并通过一些例子来进一步说明。
一、不等式的基本性质不等式有以下基本性质：1. 加减性质：对于不等式两边同时加减一个相同的数，不等号的方向不变。
例如：若a < b，则a + c < b + c；若a > b，则a - c > b - c。
2. 乘除性质：对于不等式两边同时乘除一个正数，不等号的方向不变；而若乘除一个负数，则不等号的方向反转。
例如：若a < b，c > 0，则ac < bc；若a > b，c < 0，则ac > bc。
3. 倒置性质：若不等式两边同时倒置（取倒数），不等号的方向也要倒置。
例如：若a < b，则1/a > 1/b；若a > b，则1/a < 1/b。
二、不等式的解法1. 图解法：对于简单的一元一次不等式，我们可以通过图解法来求解。
例如，对于不等式2x + 1 > 5，我们可以先绘制出直线y = 2x + 1和y = 5的图像，然后找到两条直线的交点，交点右侧的区域即为不等式的解集。
2. 转化法：有些不等式可以通过转化为等价的形式来求解。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，我们可以将其转化为(x - 1)(x - 3) > 0的形式，然后根据函数图像的正负性来确定解集。
3. 分类讨论法：对于复杂的不等式，我们可以通过分类讨论的方法来求解。
例如，对于不等式|x - 2| < 3，我们可以将其拆解为两个不等式x - 2 < 3和-(x - 2) < 3，并分别求解得到解集，然后取它们的交集。
4. 根据性质求解：我们可以根据不等式的性质来求解。
例如，对于不等式x^2 - 5x + 6 < 0，我们可以分解它为(x - 2)(x - 3) < 0，然后根据乘法性质可知，当x在2和3之间时，不等式成立。
不等式的性质与解法
不等式的性质与解法不等式是数学中一种常见的表示方式，用于描述数字之间的大小关系。
通过研究不等式的性质与解法，我们可以更好地理解数字的排列顺序和大小关系。
本文将讨论不等式的基本性质以及常见的解法方法。
一、不等式的基本性质1. 传递性：如果 a < b 且 b < c，则有 a < c。
这意味着不等式的大小关系是具有传递性的，可以通过复合不等式来推导出新的不等式关系。
2. 对称性：如果 a < b，则有 b > a。
不等式的对称性表示如果 a 小于 b，则 b 大于 a。
可以通过将不等式两边交换来改变不等式的方向。
3. 加法性：如果 a < b，则 a + c < b + c。
不等式的加法性表示当不等式的两边都加上相同的数时，不等式的关系不会改变。
注意，这个性质只对正数和负数有效。
4. 乘法性：如果 a < b 且 c > 0，则 ac < bc。
不等式的乘法性表示当不等式的两边都乘上相同的正数时，不等式的关系不会改变。
但如果乘数为负数，则需要改变不等式的方向。
二、一元不等式的解法1. 图像法：将不等式转化为图像，通过观察图像来解决问题。
例如，对于不等式 x > 2，可以在数轴上标记出 2，然后确定不等式的方向，解为 x > 2。
2. 逻辑法：根据不等式的性质进行逻辑推理。
例如，对于不等式 3x - 5 < 7，可以先将不等式转化为 3x < 12，然后再解得 x < 4。
3. 分类讨论法：根据不等式中各项的正负情况分别讨论。
例如，对于不等式 x^2 - 4x + 3 > 0，可以将其转化为 (x - 1)(x - 3) > 0，然后根据乘积大于零的性质，分别讨论 x - 1 > 0 和 x - 3 > 0 的情况，解得 x > 3 或 x < 1。
4. 区间法：通过区间的表示来解决不等式。
初中数学知识归纳不等式的性质与解法
初中数学知识归纳不等式的性质与解法初中数学知识归纳：不等式的性质与解法在初中数学中，不等式是一种重要的数学工具，它常常用于描述数值之间的关系。
通过学习不等式的性质与解法，我们可以更好地理解数学问题，并能够灵活地运用不等式进行问题的求解。
本文将从不等式的基本性质、不等式的解集表示以及不等式的解法等方面进行归纳总结。
一、不等式的基本性质不等式的基本性质是我们学习不等式的起点，它们包括：1. 同加同减性质：对于不等式两边同时加上或减去一个相同的数，不等关系保持不变。
例如，若a > b，则 a + c > b + c，a - c > b - c。
2. 同乘同除性质：对于不等式两边同时乘以或除以一个正数，不等关系保持不变；如果乘或除以一个负数，不等关系改变。
例如，若a > b，则 ac > bc （c > 0），ac < bc （c < 0）。
3. 对称性质：不等关系的两边可以互换。
例如，若a > b，则b < a。
以上基本性质为我们解决不等式问题提供了基础，我们可以通过对不等式进行恰当的运算，来得到不等式的等价形式或简化形式，以便更好地分析和求解。
二、不等式的解集表示对于不等式问题，我们通常需要确定其解集表示。
以下是一些常见的解集表示形式：1. 数轴表示法：对于一元不等式，我们可以使用数轴上的点来表示解集。
例如，若不等式为x > 2，解集可以表示为一个开区间(2, +∞)。
2. 区间表示法：对于一元不等式，我们可以使用区间表示解集。
例如，若不等式为-1 ≤ x ≤ 3，解集可以表示为闭区间[-1, 3]。
3. 集合表示法：解集也可以用集合的形式表示。
例如，若不等式为x < -2，解集可以表示为{x | x < -2}。
不同的表示形式可以根据具体问题的需求进行选择，有时也可以根据问题的要求进行转换。
三、不等式的解法在解决不等式问题时，我们需要根据具体的不等式形式和问题要求选择相应的解法。
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教学过程一、新课导入初中,我们学习了一元一次不等式(组);已经掌握了不等式(组)的基本性质及解法.从本节开始,我们将在过去已有知识的基础上进一步明确不等式的有关概念,学习其他几种不等式的解法.二、复习预习1.不等式的定义.2.不等式的基本性质.3.不等式的基本定理及推论.4.一元二次不等式解法.5.分式不等式解法.6.高次不等式解法.7.无理不等式解法.8.指对数不等式解法.三、知识讲解考点1 不等式的定义及比较大小1. 不等式的定义：用不等号连接两个解析式所得的式子，叫做不等式．说明：（1）不等号的种类：＞、＜、≥（≮）、≤（≯）、≠．（2）解析式是指：代数式和超越式（包括指数式、对数式和三角式等）（3）不等式研究的范围是实数集R．2．判断两个实数大小的充要条件对于任意两个实数a、b，在a＞b，a= b，a＜b三种关系中有且仅有一种成立．判断两个实数大小的充要条件是：>baab⇔>-aa=bb-=⇔ab<ba<-⇔考点2 不等式的基本性质定理1如果a>b，那么b<a，如果b<a，那么a>b．(对称性) 即：a>b⇒b<a；b<a⇒a>b定理2如果a>b，且b>c，那么a>c．(传递性)即a>b，b>c⇒a>c定理3如果a>b，那么a+c>b+c．即a>b⇒a+c>b+c推论如果a>b ，且c>d ，那么a+c>b+d ．(相加法则)即a>b ， c>d ⇒a+c>b+d ．定理4如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ；如果a>b ，且c<0，那么ac<bc ．推论1如果a>b >0，且c>d>0，那么ac>bd ．(相乘法则)推论2 若0,(1)n n a b a b n N n >>>∈>则且定理5 若0,1)a b n N n >>>∈>且考点3 一元二次不等式c bx ax ++2 >0(a ≠0)任何一个一元二次不等式,最后都可化为: c bx ax ++2>0或c bx ax ++2<0(a >0)的形式,一元二次不等式的解集与其相应的一元二次方程的根及二次函数的图象有关:(1)若判别式Δ=b 2-4ac >0,设方程c bx ax ++2=0的二根为x 1,x 2(x 1<x 2),则①a >0时,其解集为{x |x <x 1,或x >x 2}；②a <0时,其解集为{x |x 1<x <x 2}.(2)若Δ=0,则有:①a >0时,其解集为{x |x ≠-ab ,x ∈R }； ②a <0时,其解集为∅.(3)若Δ<0,则有:①a >0时,其解集为R ；②a <0时,其解集为∅.类似地,可以讨论c bx ax ++2<0(a ≠0)的解集.考点4 绝对值不等式的解法不等式|x |<a 与|x |>a (a >0)的解集 1|x |<a (a >0)的解集为:{x |-a <x <a },几何表示为: .2|x |>a (a >0)的解集为:{x |x >a 或x <-a },几何表示为:.考点5 分式不等式解法(1))()(x g x f >0 f (x )g(x )>0；(2))()(x g x f <0⇔f (x )g(x )<0； (3))()(x g x f ≥0⇔⎩⎨⎧≠≥0)(0)()(x g x g x f ； (4))()(x g x f ≤0⇔⎩⎨⎧≠≤0)(0)()(x g x g x f 考点6 高次不等式根轴法：奇穿偶不穿考点7 无理不等式⎪⎩⎪⎨⎧>⇒⎭⎬⎫≥≥⇔>)()(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 定义域型⎩⎨⎧<≥⎪⎩⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或型 ⎪⎩⎪⎨⎧<>≥⇔<2)]([)(0)(0)()()(x g x f x g x f x g x f 型考点8 指对数不等式指数不等式：转化为代数不等式()()()()()(1)()();(01)()()(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>对数不等式：转化为代数不等式()0()0log ()log ()(1)()0;log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩⎩四、例题精析考点1不等式的定义及比较大小例1 已知x ≠0，比较（x 2＋1）2与x 4＋x 2＋1的大小.【规范解答】 由题意可知：（x 2＋1）2－（x 4＋x 2＋1）＝（x 4＋2x 2＋1）－（x 4＋x 2＋1）＝x 4＋2x 2＋1－x 4－x 2－1＝x 2∵x≠0 ∴x2＞0∴（x2＋1）2－（x4＋x2＋1）＞0∴（x2＋1）2＞x4＋x2＋1【总结与反思】此题属于两个代数式比较大小，但是其中的x有一定的限制，应该在对差值正负判断时引起注意，对于限制条件的应用经常被学生所忽略.本题知识点：乘法公式，去括号法则，合并同类项.例2 比较a4-b4与4a3(a-b)的大小．【规范解答】a4-b4 - 4a3(a-b)=(a-b)(a+b)(a2+b2) -4a3(a-b)= (a-b)(a3+ a2b+ab2+b3-4a3)＝(a-b)[(a 2b-a 3)+(ab 3-a 3)+(b 3-a 3)]= - (a-b)2(3a 3+2ab+b 2)=- (a-b)20323322≤⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a (当且仅当d ＝b 时取等号) ∴a 4-b 4≥4a 3(a-b)【总结与反思】“变形”是解题的关键，是最重一步因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法. 例3 已知x>y ，且y ≠0，比较yx 与1的大小． 【规范解答】yy x y x -=-1 ∵x>y ，∴x-y>0当y<0时，y y x -<0，即yx <1 当y>0时，y y x ->0，即y x 【总结与反思】变形的目的是为了判定符号，此题定号时，要根据字母取值范围，进行分类讨论.考点2 不等式的基本性质例4 已和a ＞b ＞c ＞d ＞0，且dc b a =，求证：a ＋d ＞b ＋c 【规范解答】 ∵d c b a =∴dd c b b a -=- ∴（a －b ）d ＝（c －d ）b又∵a ＞b ＞c ＞d ＞0∴a －b ＞0，c －d ＞0，b ＞d ＞0且db ＞1 ∴d b dc b a =--＞1 ∴a －b ＞c －d 即a ＋d ＞b ＋c.【总结与反思】此题中，不等式性质和比例定理联合使用，使式子形与形之间的转换更迅速用的信息，更有比例的信息，因此这道题既要重视性质的运用技巧，也要重视比例定理的应用技巧.例5 已知函数2()f x ax c =-, -4≤(1)f ≤-1, -1≤f (2)≤5, 求(3)f 的取值范围.【规范解答】∵ ⎩⎨⎧=+=-)2(4)1(f c a f c a 解得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=)1(34)2(31)]1()2([31f f c f f a∴ )1(35)2(389)3(f f c a f -=-=∵ -4≤f (1)≤1, 故 )35)(4()1()35()35)(1(--≤-≤--f (1)又 -1≤f (2)≤5, 故 340)2(3838≤≤-f (2)把(1)和(2)的各边分别相加，得：-1≤)1(35)2(38f f -≤20所以，-1≤f (3)≤20【总结与反思】利用(1)f 与(2)f 设法表示 a 、c, 然后再代入(3)f 的表达式中，从而用(1)f 与(2)f 来表示(3)f , 最后运用已知条件确定(3)f 的取值范围.考点3 一元二次不等式不等式的解法例6解关于x 的不等式0)1(2>---a a x x .【规范解答】原不等式可以化为：0))(1(>--+a x a x若)1(-->a a 即21>a 则a x >或a x -<1 若)1(--=a a 即21=a 则0)21(2>-x 即R x x ∈≠,21 若)1(--<a a 即21<a 则a x <或a x ->1. 【总结与反思】结合二次函数图象求解，注意分类讨论.考点4 绝对值不等式的解法例7解不等式|2x +1|+|x -2|>4．【规范解答】|2x +1|+|x -2|>4⎪⎩⎪⎨⎧>--+--<⇔4)2()12(21x x x ⎩⎨⎧>-++>⎪⎩⎪⎨⎧>--+≤≤-421224)2(12221x x x x x x 或或 ⇔x <-1或1<x ≤2或x >2⇔x <-1,或x >1.故原不等式组的解集是{x |x <-1或x >1}.【总结与反思】解含多个绝对值符号不等式的方法之一是:分段讨论,将各段的解集并起来作为最后结果.例8 解不等式|552+-x x |<1．【规范解答】原不等式可转化为-1<552+-x x <1即⎩⎨⎧->+-<+-15515522x x x x ②① 解不等式①,得解集为{x |1<x <4}；解不等式②,得解集为{x |x <2,或x >3}原不等式的解集是不等式①和不等式②的解集的交集,即{x |1<x <4}∩{x |x <2,或x >3}={x |1<x <2,或3<x <4}.故原不等式的解集是:{x |1<x <2,或3<x <4}.【总结与反思】解不等式时,在本例中,不等式①和不等式②是“交”的关系,必要时可借助数轴的直观作用特别要注意不等式是否带“=”号,只有这样,才能更准确无误地写出不等式的解集.考点5 分式及高次不等式的解法例9解不等式322322--+-x x x x ＜0 【规范解答】根据积的符号法则，可以将原不等式等价变形为（x 2－3x ＋2）(x 2－2x －3)＜0即（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)＜0令（x ＋1）(x －1)(x －2)(x －3)=0可得零点x =－1或1，或2或3，将数轴分成五部分（如图）. 由数轴标根法可得所求不等式解集为：{x |－1＜x ＜1或2＜x ＜3}.【总结与反思】注意根轴法--奇穿偶不穿.考点6 无理不等式的解法例10解不等式0343>---x x .【规范解答】∵根式有意义∴必须有：303043≥⇒⎩⎨⎧≥-≥-x x x 又∵ 原不等式可化为343->-x x两边平方得：343->-x x解之：21>x ∴}3|{}21|{}3|{>=>⋂>x x x x x x . 【总结与反思】对于无理不等式，注意根式有意义的条件，然后平方再求解.考点7 指对数不等式的解法例11 解不等式31831>⋅+-+x x【规范解答】原不等式可化为：018329332>+⋅-⋅x x即 0)233)(93(>-⋅-x x解之 93>x 或33<x ∴x >2或32log 3<x ∴不等式的解集为{x |x >2或32log 3<x } 【总结与反思】解指数不等式，要结合指数函数的图像与性质综合处理.例12 解关于x 的不等式：)1,0(,2log )12(log )34(log 2≠>>---+a a x x x a a a【规范解答】原不等式可化为)12(2log )34(log 2->-+x x x a a当a >1时有:221234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<<-<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧->-+>-+>-x x x x x x x x x x 当0<a <1时有: 2234121)12(23403401222<<⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-<<<->⇒⎪⎩⎪⎨⎧-<-+>-+>-x x x x x x x x x x x 或 ∴当a >1时不等式的解集为221<<x ； 当0<a <1时不等式的解集为42<<x .【总结与反思】因为底数的不确定，所以要注意分类讨论.课程小结1.研究了如何比较两个实数的大小,在某些特殊情况下(如两数均为正，且作商后易于化简)还可考虑运用作商法比较大小，作商法是判断商值与1的大小关系.2.不等式的性质定理及其推论: 理解不等式性质的反对称性(a ＞b ⇔b ＜a ＝、传递性(a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c )、可加性(a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c )、加法法则（a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d ），并记住这些性质的条件，尤其是字母的符号及不等式的方向，要搞清楚这些性质的主要用途及其证明的基本方法.3.掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.4.一元一次不等式和一元二次不等式的解法是解各类不等式的基础,要予以高度重视尤其把握好解一元二次不等式的解题步骤:一是将二次项系数变为正的;二是确定不等式对应方程根的情况(由判别式来确定)；三是结合图象(二次函数图象)写出不等式的解集.形如|c bx ax ++2|<m 及|c bx ax ++2|>m (m >0)的不等式的解法,关键是去掉绝对值符号使其转化为一元二次不等式(组),借助数轴的直观作用,达到解题目的.5.要求大家在进一步掌握数轴标根法的基础上，掌握分式不等式的基本解法，即转化为整式不等式求解.6.解指对数不等式：注意数形结合思想方法的运用.。