电子科技大学微积分试题及答案

电子科技大学期末微积分

一、选择题(每题2分)

1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2）

B 、（0，lg2]

C 、（10,100）

D 、（1,2）

2、x=-1是函数x ƒ()=()

22

1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点

3、试求02lim x x

→

A 、-1

4

B 、0

C 、1

D 、∞ 4、若

1y x

x y

+=，求y '等于（） A 、

22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y

-- D 、22x y

x y +-

5、曲线2

21x

y x =

-的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3

6、下列函数中，那个不是映射（）

A 、2y x = (,)x R y R +-∈∈

B 、221y x =-+

C 、2y x =

D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1、

__________

2、、2(1))lim ()1

x n x

f x f x nx →∞-=+设 （

，则 的间断点为__________

3、21lim

51x x bx a

x

→++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、263y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 2111x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分）

1、2

2

1x y x =

+函数是有界函数 ( ) 2、有界函数是收敛数列的充分不必要条件 ( ) 3、lim

β

βαα

=∞若，就说是比低阶的无穷小 ( ) 4、可导函数的极值点未必是它的驻点 ( ) 5、曲线上凹弧与凸弧的分界点称为拐点 ( ) 四、计算题（每题6分） 1、1sin x

y x

=求函数 的导数

2、21

()arctan ln(12

f x x x x dy =-+已知），求

3、2326x xy y y x y -+="已知，确定是的函数，求

4、20tan sin lim

sin x x x

x x

→-求

5、

计算 6、2

1

lim (cos )x x x +

→计算 五、应用题

1、设某企业在生产一种商品x 件时的总收益为2)100R x x x =-（，总成本函数为

2()20050C x x x =++，问政府对每件商品征收货物税为多少时，在企业获得利润最大的情况下，总税额最大？（8分）

2、描绘函数21

y x x

=+的图形（12分）

六、证明题（每题6分）

1、用极限的定义证明：设01lim (),lim

()x x f x A f A x

+→+∞→==则 2、证明方程10,1x xe =在区间（）内有且仅有一个实数

一、 选择题

1、C

2、C

3、A

4、B

5、D

6、B 二、填空题

1、0x =

2、6,7a b ==-

3、18

4、3

5、20x y +-= 三、判断题

1、√

2、×

3、√

4、×

5、× 四、计算题 1、

1sin

1

sin

1sin ln 1

sin ln 22))1111cos ()ln sin 1111(cos ln sin )

x

x

x x

x x

y x e

e x x x x x x x x x x x

'='='

⎡

⎤=-+⎢⎥⎣

⎦=-+（（

2、

22

()112(arctan )121arctan dy f x dx

x

x x dx x x

xdx

='=+-++= 3、 解：

2

22

2)2)22230

2323(23)(23(22)(26)

(23x y xy y y x y

y x y y x y x y yy y x y

--'+'=-∴'=--'----'∴''=

-

4、

解：

2223000tan sin ,1cos 2

1tan (1cos )12lim lim sin 2

x x x x

x x x x

x x x x x

x x →→

→--∴==当时，原式=

5、

解：

652

3

22

22

2

61)6111611

6(1)166arctan 6arctan

x t dx t t

t t t t t t

t t C C

===

+=++-=+=-+=-+=-+⎰⎰

⎰

⎰令原式（

6、 解：

2

2

01

ln cos 0

1lim

ln cos 2

02

0001

2

lim 1

lim ln cos ln cos lim 1

(sin )

cos lim 2tan 1

lim 22x x

x x x

x x x x x e e

x

x x

x x x x

x x e

+

+

→+

++

+→→→→→-===-=-==-∴= 原式其中：

原式

五、应用题

1、解：设每件商品征收的货物税为a ，利润为()L x

222()()()100(20050)2(50)200

()45050()0,,()4(50)

4

1

(502)

4

1

0250

2

25L x R x C x ax

x x x x ax x a x L x x a

a

L x x L x a a ax T a T a T a =--=--++-=-+--'=-+--'==-=

'=-'==''=-<∴=令得此时取得最大值税收T=令得当时，T 取得最大值

2、 解：

()(

)2

3

00,01

202201

D x y x x y x y x y x =-∞⋃+∞='=-

'==''=+

''==-，间断点为令则令则

渐进线：

3

2lim lim 001

lim x x x y y y x y y x y x x

→∞→→∞=∞∴=∴=+==∞∴无水平渐近线

是的铅直渐近线无斜渐近线

图象

六、证明题

1、 证明：

lim ()0,0

()11101

()1

lim ()x x f x A

M x M f x A x M

M M x f A x f A x

εε

ξε

→∞

→∞=∴∀>∃>>-<><<>∴-<=当时，有取=，则当0时，有即

2、 证明：

[]()1

()0,1(0)10,(1)10

0,1()0,1()(1)0,(0,1)

()0,110,1x x x f x xe f x f f e f e f x x e x f x xe ξξξξ=-=-<=->∈=='=+>∈∴-令在（）上连续由零点定理：至少存在一个（），使得即又

则在上单调递增

方程在（）内有且仅有一个实根

Chapter 3

3.2 Solution:

for, 10=a , 4

/2πj e

a --= , 4

/2πj e

a = , 3

/42πj e

a --=, 3

/42πj e

a =

n N jk k N k e a n x )/2(][π∑

>

=<=

n j n j n j n j e a e a e a e a a )5/8(4)5/8(4)5/4(2)5/4(20ππππ----++++=

n j j n j j n j j n j j e e e e e e e e )5/8(3/)5/8(3/)5/4(4/)5/4(4/221ππππππππ----++++= )358cos(4)454cos(21π

πππ++++=n n

)6

558sin(4)4354sin(21π

πππ++++=n n

3.3 Solution: for the period of )3

2cos(

t π

is 3=T , the period of )3

5sin(

t π

is 6=T so the period of )(t x is 6 , i.e. 3/6/20ππ==w )3

5sin(4)32cos(

2)(t t t x ππ++=

)5sin(4)2cos(21

200t w t w ++=

)(2)(2

1

200005522t w j t w j t w j t w j e e j e e ----++=

then, 20=a , 2

1

22==-a a , j a 25=-, j a 25-=

3.5 Solution:

(1). Because )1()1()(112-+-=t x t x t x , then )(2t x has the same period as )(1t x ,

that is 12T T =, 12w w =

(2). dt e t x t x dt e t x b t jkw t jkw k 12))1()1(()(112-∞

∞

--∞

∞--+-==⎰⎰

dt e t x dt e

t x t jkw t

jkw 11)1()1(11-∞∞

--∞

∞

--+-=

⎰

⎰

111

)(jkw k k jkw k jkw k e a a e a e

a -----+=+=

3.8 Solution:

kt jw k k e a t x 0)(∑

∞

-∞

==

while:

)(t x is real and odd, then 00=a , k k a a --=

2=T , then ππ==2/20w

and

0=k a for 1>k

so kt jw k k e a t x 0)(∑

∞

-∞

==

t jw t jw e a e a a 00110++=--

)sin(2)(11t a e e

a t j t

j πππ=-=-

for

12)(212

1

2

12

1

20220

==++=-⎰a a a a dt t x

∴ 2/21±=a

∴

)sin(2)(t t x π±=

3.15 Solution:

kt jw k k e a t x 0)(∑

∞

-∞==

∴ t jkw k k e jkw H a t y 0)()(0∑∞

-∞

==

∴

dt e jkw H t y T

a t jkw T

k 0)()(10-⎰

=

for

⎪⎩⎪⎨⎧>≤=100

, (0100)

,.......1)(w w jw H

∴

if 0=k a , it needs 1000>kw

that is 12

100

,........1006/2>

>k k

ππ

and k is integer, so 8>K

3.22 Solution:

021)(11

1

0===

⎰⎰

-tdt dt t x T

a T

dt te dt te dt e t x T a t jk t jk t

jkw T k ππ

-----⎰⎰⎰===1122112121)(10

t jk tde jk ππ

--⎰

-

=1

1

21

⎥⎥⎦

⎤

⎢

⎢⎣

⎡---

=----1

11

121π

πππjk e te jk t jk t

jk

⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+-

=--ππ

πππ

πjk e e e e jk jk jk jk jk )()(21

⎥⎦⎤

⎢⎣

⎡-+-

=ππππ

jk k k jk )sin(2)cos(221

[]π

ππππk j

k k j k jk k

)1()cos()cos(221-==-=0............≠k 3.35 Solution:

kt jw k k e a t x 0)(∑

∞

-∞==

∴ t jkw k k e jkw H a t y 0)()(0∑∞

-∞

==

∴

dt e jkw H t y T

a t jkw T

k 0)()(1

0-⎰

=

for

⎩⎨⎧≥=otherwise w jw H ,.......

0250

,.......1)(

∴

if 0=k a , it needs 2500

that is 14

250

,........2507/2<

ππ

and k is integer, so 17....18≤

3.40 Solution:

According to the property of fourier series: (a). )2cos(2)cos(2000000

0t T

k

a t kw a e a e

a a k k t jkw k t jkw k k π==+='

- (b). Because 2

)

()()}({t x t x t x E v -+=

}{2

k v k k k a E a a a =+='-

(c). Because 2

)

(*)()}({t x t x t x R e +=

2

*

k

k k a a a -+='

(d). k k k a T

jk

a jkw a 2

2

0)2()(π=='

(e). first, the period of )13(-t x is 3

T T =

'

then 3

)(1)13(13

1

21

31

20dm

e

m x T dt e t x T a m T jk T t T jk T k +'--'-'

-'⎰⎰'=-'='

ππ

T

jk

k m T

jk T T jk T jk m T jk T e

a dm e

m x T e dm e e m x T ππππ

π22112221

1

)(1)(1---------=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡==⎰⎰ Extra problems:

∑∞

-∞=-=

k kT t t x )()(δ, π=T (1). Consider )(t y , when )(jw H is

(2). Consider )(t y , when )(jw H is

Solution:

∑∞-∞

=-=

k kT t t x )()(δ ↔ π11=T , 220==T w π (1). kt j k k t jkw k k e k j H a e jkw H a t y 20)2(1)()(0∑∑

∞-∞=∞-∞===π π2= (for k can only has value 0)

(2). kt j k k t jkw k k e k j H a e jkw H a t y 20)2(1)()(0∑∑∞-∞=∞-∞===

π

ππt e e t j t j 2cos 2)(122=+=- (for k can only has value –1 and 1)