高三数学二轮冲刺练习08

2010届高三数学二轮冲刺练习08
一、填空题：
1、己知,0>x 由不等式 ,34224,2122≥++=+≥+x x x x
x x x 启发我们可以推广结论：)(1+∈+≥+N n n x
m x n ，则m ＝___________． 2、已知()5,2A 、()1,1B 、221,5C ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，在ABC ∆所在的平面区域内，若使目标函数z ax y =+（0a >）取得最大值的最优解有无穷多个，则a 的值为___________．
3、椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x m 的左、右焦点分别为21,F F ，P 为椭圆M 上任一点，且
22[2,3]c c ，其中22b a C -=，则椭圆m 的离心率e 的取值范围是___________．
4、设,,,a b x y R ∈且满足22
a b m +=，22x y n +=，求ax by +的最大值为___________． 二、解答题：
5、（本题满分16分）设无穷等差数列{a n }的前n 项和为S n .
（1）若首项=1a 32
，公差1=d ，求满足2)(2k k S S =的正整数k ； （2）求所有的无穷等差数列{a n }，使得对于一切正整数k 都有2)(2k k
S S =成立.
6、（本题满分16分）江苏某地区要建造一条防洪堤，其横断面为等腰梯形，腰与底边成角为
60（如图）
，考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，
设计其横断面要求面积为
记防洪堤横断面的腰长为x （米），外周长（梯形的上底线段．．．．．．．BC 与两腰．．．长的和．．．
）为y （米）. ⑴求y 关于x 的函数关系式，并指出其定义域；
⑵要使防洪堤横断面的外周长不超过10.5米，则其腰长x 应在什么范围内？
⑶当防洪堤的腰长x 为多少米时，堤的上面与两侧面的水泥用料最省（即断面的外周长最小）？求此时外周长的值.
7、（本题满分16分）已知函数2()f x x x λλ=+，()ln g x x x λ=+，()()()h x f x g x =+，其中R λ∈，且0λ≠.
⑴当1λ=-时，求函数()g x 的最大值； ⑵求函数()h x 的单调区间；
⑶设函数(),0,()(),0.
f x x x
g x x ϕ≤⎧=⎨>⎩若对任意给定的非零实数x ，存在非零实数t （t x ≠），使得
'()'()x t ϕϕ=成立，求实数λ的取值范围.
B 60
2010届高三数学二轮冲刺练习08参考答案
一、填空题：
1、n n
2、
35 3、]22,33[ 4
二、解答题：
5、（I ）当1,231==
d a 时， n n n n n d n n na S n +=-+=-+=21212)1(232)1( 由22242)21(21,)(2
k k k k S S k k +=+=得，----------------------4分 即 0)141(3=-k k 又4,0=≠k k 所以.----------------------6分
（II ）设数列{a n }的公差为d ，则在2)(2n n S S =中分别取k=1,2,得 ⎪⎩
⎪⎨⎧⨯+=⨯+=⎪⎩⎪⎨⎧==211211224211)2122(2344,,)()(d a d a a a S S S S 即 由（1）得 .1011==a a 或----------------------8分
当,60)2(,01===d d a 或得代入时----------------------9分
若21)(,0,0,0,0k k n n S S S a d a =====从而则成立
若知由则216,324)(,18),1(6,6,02331===-===n n S S S n a d a
,)(239S s ≠故所得数列不符合题意. ----------------------12分 当20,)2(64)2(,121==+=+=d d d d a 或解得得代入时--------------13分
若;)(,,1,0,1212成立从而则k k n n S S n S a d a =====
若成立从而则2
21)(,)12(31,12,2,1n n n S S n n S n a d a ==-+++=-=== .
综上，共有3个满足条件的无穷等差数列：
①{a n } : a n =0，即0，0，0，…；
②{a n } : a n =1，即1，1，1，…；
③{a n } : a n =2n －1，即1，3，5，…，----------------------16分 （1） （2）
6
、⑴1()2AD BC h =+，其中22x AD BC BC x =+⋅=+
，2
h x =， ∴
1(2)22
BC x x =+，得182x BC x =-，
由1802h x BC x ⎧=≥⎪⎪⎨⎪=->⎪⎩，得26x ≤< ∴
1832,(26)2x y BC x x x =+=+≤<； ----------------6分 ⑵18310.52x y x =
+≤得34x ≤≤∵[3,4][2,6)⊂ ∴腰长x 的范围是 [3,4] --------10分
⑶1832x y x =+≥=1832x x =
，即[2,6)x =时等号成立． ∴外周长的最小值
为
米，此时腰长
为米。

--------------------------16分 7、⑴当1λ=-时，()ln ,(0)g x x x x =-> ∴11()1,(0)x g x x x x
-'=-=> 令()0g x '=，则1x =， ∴()ln g x x x =-在(0, 1)上单调递增，在(1, +)∞上单调递减 ∴
max ()(1)1g x g ==-
----------------------------4分 ⑵2
()2ln h x x x x λλ=++，21221'()22x x h x x x x λλλλ++=++=，（0x >） ∴当0λ>时，'()0h x >，∴函数()h x 的增区间为(0,)+∞，
当0λ
<
时，2(22'()x x h x x
λλλ=，
当x >'()0h x <，函数()h x 是减函数；
当0x <<时，'()0h x >，函数()h x 是增函数。

综上得，
当0λ>时，()h x 的增区间为(0,)+∞；
当0λ<时，()h x
的增区间为，
减区间为)+∞ ----------10分
⑶当0x >，1'()x x
ϕλ=+在(0,)+∞上是减函数，此时'()x ϕ的取值集合(,)A λ=+∞； 当0x <时，'()2x x ϕλλ=+，
若0λ>时，'()x ϕ在(,0)-∞上是增函数，此时'()x ϕ的取值集合(,)B λ=-∞； 若0λ<时，'()x ϕ在(,0)-∞上是减函数，此时'()x ϕ的取值集合(,)B λ=+∞。

对任意给定的非零实数x ，
①当0x >时，∵'()x ϕ在(0,)+∞上是减函数，则在(0,)+∞上不存在实数t （t x ≠），使得
'()'()x t ϕϕ=，则(,0)t ∈-∞，要在(,0)-∞上存在非零实数t （t x ≠）
，使得'()'()x t ϕϕ=成立，必定有A B ⊆，∴0λ<；
②当0x <时，'()2x x ϕλλ=+在(,0)-∞时是单调函数，则(0,)t ∈+∞，要在(0,)+∞上存在非零实数t （t x ≠），使得'()'()x t ϕϕ=成立，必定有B A ⊆，∴0λ<。

综上得，实数λ的取值范围为(,0)-∞。

-------------------16分。