相似三角形经典例题解析(1)

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九年级数学相似三角形典型例题

九年级数学相似三角形典型例题

九年级数学相似三角形典型例题一、利用相似三角形的判定定理证明相似例1:已知:在△ABC和△DEF中,∠A = ∠D = 60°,AB = 4,AC = 8,DE = 2,DF = 4。

求证:△ABC∽△DEF。

解析:1. 我们看相似三角形的判定定理。

对于两个三角形,如果它们的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似。

2. 在本题中:计算公式,公式。

并且已知∠A = ∠D = 60°。

因为公式且∠A = ∠D,所以根据相似三角形判定定理中的“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”,可以得出△ABC∽△DEF。

二、相似三角形性质的应用(求边长)例2:已知△ABC∽△A'B'C',相似比为公式,若AB = 6,则A'B'的长为多少?解析:1. 因为相似三角形对应边成比例。

设A'B' = 公式。

已知相似比公式。

2. 又已知公式,AB = 6,所以公式。

通过交叉相乘可得:公式。

即公式,解得公式,所以A'B'的长为9。

三、利用相似三角形解决实际问题(测量高度)例3:在同一时刻,身高1.6米的小强在阳光下的影长为0.8米,一棵大树的影长为4.8米,求这棵大树的高度。

解析:1. 因为在同一时刻,太阳光下不同物体的高度和影长成正比。

设大树的高度为公式米。

可以得到两个相似三角形,一个是由小强及其影子构成,另一个是由大树及其影子构成。

2. 根据相似三角形的性质,对应边成比例。

则公式。

交叉相乘可得:公式。

计算得公式,解得公式米。

所以这棵大树的高度是9.6米。

初三数学相似三角形典型例题(附含答案解析)

初三数学相似三角形典型例题(附含答案解析)

2初三数学相似三角形(一)相似三角形是初中几何的一个重点,同时也是一个难点,本节复习的目标是:1. 理解线段的比、成比例线段的概念,会根据比例线段的有关概念和性质求线段的长或两线段的比,了解黄金分割。

2. 会用平行线分线段成比例定理进行有关的计算、证明,会分线段成已知比。

3. 能熟练应用相似三角形的判定和性质解答有关的计算与证明题。

4.能熟练运用相似三角形的有关概念解决实际问题本节的重点内容是相似三角形的判定定理和性质定理以及平行线分线段成比例定理。

本节的难点内容是利用判定定理证明两个三角形相似以及相似三角形性质的应用。

相似三角形是平面几何的主要内容之一, 在中考试题中时常与四边形、 圆的知识相结合 构成高分值的综合题,题型常以填空、选择、简答或综合出现,分值一般在 10%左右,有时也单独成题,形成创新与探索型试题;有利于培养学生的综合素质。

(二)重要知识点介绍: 1.比例线段的有关概念:在比例式 ab c (a : bc :d )中, a 、 d 叫外项,db 、c 叫内项, a 、c 叫前项, b 、d 叫后项, d 叫第四比例项,如果 b=c ,那么 b 叫做 a 、 d 的比例中项。

把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC ,使 AC=AB BC ,叫做把线段 AB 黄金分割, C 叫做线段 AB 的黄金分割点。

2. 比例性质:①基本性质: ac b d②合比性质:acb dad bca b c d bd③等比性质:a c⋯b dm (b d ⋯ nn ≠ 0) a c ⋯ m ab d ⋯ nb3.平行线分线段成比例定理:①定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例,如图:l 1∥ l 2∥ l 3 。

AB 则BCDE , ABEF AC DE , BCDF AC EF ,⋯DF②推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。

③定理:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形典范习题之阳早格格创做例1 从底下那些三角形中,选出相似的三角形.例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,供AEF ∆取CDF ∆的周少的比,如果2cm 6=∆AEF S ,供CDF S ∆.例3 如图,已知ABD ∆∽ACE ∆,供证:ABC ∆∽ADE ∆.例4 下列命题中哪些是透彻的,哪些是过失的?(1)所有的曲角三角形皆相似.(2)所有的等腰三角形皆相似.(3)所有的等腰曲角三角形皆相似.(4)所有的等边三角形皆相似. 例5 如图,D 面是ABC ∆的边AC 上的一面,过D 面绘线段DE ,使面E 正在ABC ∆的边上,而且面D 、面E ABC ∆的一个顶面组成的小三角形取ABC ∆相似.尽大概多天绘出谦脚条件的图形,并道明线段DE 的绘法.例6 如图,一人拿着一收刻有厘米分绘的小尺,站正在距电线杆约30米的场合,把脚臂背前伸曲,小尺横曲,瞅到尺上约12个分绘恰佳遮住电线杆,已知脚臂少约60厘米,供电线杆的下.例7 如图,小明为了丈量一下楼MN 的下,正在离N 面20m 的A 处搁了一个仄里镜,小明沿NA 退却到C 面,正佳从镜中瞅到楼顶M 面,若5.1=AC m ,小明的眼睛离大天的下度为1.6m ,请您助闲小明估计一下楼房的下度(透彻到0.1m ).例8格面图中的二个三角形是可是相似三角形,道明缘由.例9 根据下列各组条件,判决ABC ∆战C B A '''∆是可相似,并道明缘由:(1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm 28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A .(2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3)︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如图,下列每个图形中,存没有存留相似的三角形,如果存留,把它们用字母表示出去,并简要道明识别的根据.例11例125、12、1326S.例13正在一次数教活动课上,教授让共教们到操场上丈量旗杆的下度,而后回去接流各自的丈量要领.小芳的丈量要领是:拿一根下米的竹竿曲坐正在离旗杆27米的C处(如图),而后沿BC目标走到D处,那时目测旗杆顶部A取竹竿顶部E恰佳正在共背去线上,又测得C、D二面的距离为3米,小芳的目下为米,那样即可知讲旗杆的下.您认为那种丈量要领是可可止?请道明缘由.例14.如图,为了估算河的宽度,咱们不妨正在河对于岸选定一个目标动做E,使面A,再正在河的那一边选面B战CBC取AE的接面为D您能供出二岸之间AB的大概距离吗?例15.如图,为了供出海岛上的山峰AB的下度,正在D战F处横坐标杆DC战FE,标杆的下皆是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),而且AB、CD战EF正在共一仄里内,从标杆DC退后123步的G处,可瞅到山峰A战标杆顶端C正在背去线上,从标杆FE退后127步的H处,可瞅到山峰A战标杆顶端E正在背去线上.供山峰的下度AB及它战标杆CD的火仄距离BD 各是几?(古代问题)例16如图,已知△ABC的边AB AC=2,BC边上的下AD (1)供BC的少;(2)如果有一个正圆形的边正在AB上,其余二个顶面分别正在AC,BC 上,供那个正圆形的里积.相似三角形典范习题问案例1.解①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似例2.1:3.例3分解道明例4.分解(1)没有透彻,果为正在曲角三角形中,二个钝角的大小没有决定,果此曲角三角形的形状分歧.(2)也没有透彻,等腰三角形的顶角大小没有决定,果此等腰三角形的形状也分歧.(3)透彻.设有等腰曲角三角形ABCa、b、c(4问:(1)、(2)没有透彻.(3)、(4)透彻.例5.解:绘法略.例6.分解BCBC的少.解,∴,∴∽.∴杆的下为6米.例7.分解的相似闭系便透彻了.解m).例8.分解那二个图如果没有是绘正在格面中,那是无法推断的.本量上格面无形中给图形删加了条件——少度战角度.解道明逢到格面的题目一定要充散创造其中的百般条件,勿使遗漏.例9.解(1(2(3例10.解(1二角相等;(2二角相等;(3二角相等;(4二边成比率夹角相等;6二边成比率夹(5角相等.例11.分解有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD是底角的比率推出线段之间的比率闭系.∴道明(1)有二个角对于应相等,那么那二个三角形相似,那是推断二个三角形相似最时常使用的要领,而且根据相等的角的位子,不妨决定哪些边是对于应边.(2或者仄办法.例12分解26,不妨供解三边依次为∴例13.分解推断要领是可可止,应试虑利用那种要领加之咱们现有的知识是可供出旗杆的下.按那种丈量要领,过FG,接CE于H,可知GF、HF、EH可供,那样可供得AG,故旗杆AB可供.F G,接CE于H所解(米)所以旗杆的下为米.道明正在简曲丈量时,要领要现真、确真可止.例14.AB大概相距100米.例15.例16. 分解:央供BC的少,需绘图去解,果AB、AC皆大于下AD,那么有二种情况存留,即面D正在BC上或者面D正在BC的延少线上,所以供BC的万古要分二种情况计划.供正圆形的里积,闭键是供正圆形的边少.解:(1)如上图,由AD⊥BC,由勾股定理得BD=3,DC=1,所以BC =BD+DC=3+1=4.如下图,共理可供BD=3,DC=1,所以BC=BD-CD=3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC=4,ABC是曲角三角形.由AE G F是正圆形,设G F=x,则FC=2-x,∵G F∥AB,∴,即.∴,∴如下图,当BC=2,AC=2,△ABC是等腰三角形,做CP⊥AB于P,∴AP正在Rt△APC中,由勾股定理得CP=1,∵GH∥AB,∴△C GH∽△CBA,∵,∴。

相似三角形经典例题解析

相似三角形经典例题解析
一、选择题
1.(2009年滨州)如图所示,给出下列条件:
① ;② ;③ ;④ .
其中单独能够判定 的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【关键词】三角形相似的判定.
【答案】C
2.(2009年上海市)如图,已知 ,那么下列结论正确的是( )
A. B. C. D.
例3分析: 由已知条件∠ABD=∠CBE,∠DBC公用。所以∠DBE=∠ABC,要证的△DBE和△ABC,有一对角相等,要证两个三角形相似,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例。从已知条件中可看到△CBE∽△ABD,这样既有相等的角,又有成比例的线段,问题就可以得到解决。
证明:在△CBE和△ABD中,∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴ = 即: =
(1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为1:4.其中正确的有:
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
【关键词】等边三角形,三角形中位线,相似三角形
【答案】D
5.(2009重庆綦江)若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为( )
【关键词】相似三角形有关的计算和证明
【答案】B
7.2009年宁波市)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、AD的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是( )
A.△AOM和△AON都是等边三角形
B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形
C.四边形AMON与四边形ABCD是位似图形
证明:过D点作DG∥AB交FC于G则△AEF∽△DEG。(平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似) (1)

专题28 相似三角形篇(解析版)

专题28 相似三角形篇(解析版)

专题28 相似三角形考点一:比例1. 比例的性质:①基本性质:两内项之积等于量外项之积。

即若d c b a ::=,则ad bc =。

②合比性质:若d c b a =,则d d c b b a +=+。

③分比性质:若d c b a =,则d d c b b a -=-。

④合分比性质:若d c b a =,则d c d c b a b a -+=-+。

⑤等比性质:若n m d c b a ===...,则n m d c b a n d b m c a ====++++++.........。

2. 比例线段:若四条线段d c b a ,,,,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如d c b a ::=(即ad bc =),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段。

3. 平行线分线段成比例:三条平行线被两条直线所截,所得的对应线段成比例。

即如图:有EFDE BC AB =;DFDE AC AB =;DFEF AC BC =。

推论:①平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例。

②如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。

③平行于三角形的一边,并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例。

1.(2022•镇江)《九章算术》中记载,战国时期的铜衡杆,其形式既不同于天平衡杆,也异于称杆.衡杆正中有拱肩提纽和穿线孔,一面刻有贯通上、下的十等分线.用该衡杆称物,可以把被称物与砝码放在提纽两边不同位置的刻线上,这样,用同一个砝码就可以称出大于它一倍或几倍重量的物体.图为铜衡杆的使用示意图,此时被称物重量是砝码重量的 倍.【分析】根据比例的性质解决此题.【解答】解:由题意得,5m被称物=6m砝码.∴m被称物:m砝码=6:5=1.2.故答案为:1.2.2.(2022•巴中)如图,在平面直角坐标系中,C为△AOB的OA边上一点,AC:OC=1:2,过C作CD ∥OB交AB于点D,C、D两点纵坐标分别为1、3,则B点的纵坐标为( )A.4B.5C.6D.7【分析】根据CD∥OB得出,根据AC:OC=1:2,得出,根据C、D两点纵坐标分别为1、3,得出OB=6,即可得出答案.【解答】解:∵CD∥OB,∴,∵AC:OC=1:2,∴,∵C 、D 两点纵坐标分别为1、3,∴CD =3﹣1=2,∴,解得:OB =6,∴B 点的纵坐标为6,故选:C .3.(2022•临沂)如图,在△ABC 中,DE ∥BC ,32 DB AD ,若AC =6,则EC =( )A .56B .512C .518D .524【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可.【解答】解:∵DE ∥BC ,∴=,∴,∴,∴EC =.故选:C .4.(2022•丽水)如图,五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的,同一条直线上的三个点A ,B ,C 都在横线上.若线段AB =3,则线段BC 的长是( )A .32B .1C .23D .2【分析】过点A 作平行横线的垂线,交点B 所在的平行横线于D ,交点C 所在的平行横线于E ,根据平行线分线段成比例定理列出比例式,计算即可.【解答】解:过点A作平行横线的垂线,交点B所在的平行横线于D,交点C所在的平行横线于E,则=,即=2,解得:BC=,故选:C.5.(2022•襄阳)如图,在△ABC中,D是AC的中点,△ABC的角平分线AE交BD于点F,若BF:FD=3:1,AB+BE=33,则△ABC的周长为 .【分析】如图,过点F作FM于点M,FN⊥AC于点N,过点D作DT∥AE交BC于点T.证明AB =3AD,设AD=CD=a,证明ET=CT,设ET=CT=b,则BE=3b,求出a+b,可得结论.【解答】解:如图,过点F作FM⊥AB于点M,FN⊥AC于点N,过点D作DT∥AE交BC于点T.∵AE平分∠BAC,FM⊥AB,FN⊥AC,∴FM=FN,∴===3,∴AB=3AD,设AD =DC =a ,则AB =3a ,∵AD =DC ,DT ∥AE ,∴ET =CT ,∴==3,设ET =CT =b ,则BE =3b ,∵AB +BE =3,∴3a +3b =3,∴a +b =,∴△ABC 的周长=AB +AC +BC =5a +5b =5,故答案为:5.6.(2022•哈尔滨)如图,AB ∥CD ,AC ,BD 相交于点E ,AE =1,EC =2,DE =3,则BD 的长为( )A .23B .4C .29D .6【解答】解:∵AB ∥CD ,∴△ABE ∽△CDE ,∴=,即=,∴BE =1.5,∴BD =BE +DE =4.5.故选:C .7.(2022•雅安)如图,在△ABC 中,D ,E 分别是AB 和AC 上的点,DE ∥BC ,若12 BD AD ,那么BCDE =( )A .94B .21C .31D .32【分析】根据相似三角形的判定定理和性质定理解答即可.【解答】解:∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,∴=,∵=,∴=,∴==.故选:D .8.(2022•凉山州)如图,在△ABC 中,点D 、E 分别在边AB 、AC 上,若DE ∥BC ,32 BD AD ,DE =6cm ,则BC 的长为( )A .9cmB .12cmC .15cmD .18cm【分析】根据=,得到=,根据DE ∥BC ,得到∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,得到△ADE ∽△ABC ,根据相似三角形对应边成比例即可得出答案.【解答】解:∵=,∴=,∵DE ∥BC ,∴∠ADE =∠B ,∠AED =∠C ,∴△ADE ∽△ABC ,∴=,∴=,∴BC =15(cm ),故选:C .9.(2022•鞍山)如图,AB ∥CD ,AD ,BC 相交于点E ,若AE :DE =1:2,AB =2.5,则CD 的长为 .【分析】由平行线的性质求出∠B =∠C ,∠A =∠D ,其对应角相等得△EAB ∽△EDC ,再由相似三角形的性质求出线段CD 即可.【解答】解:∵AB ∥CD ,∴∠B =∠C ,∠A =∠D ,∴△EAB ∽△EDC ,∴AB :CD =AE :DE =1:2,又∵AB =2.5,∴CD =5.故答案为:5.10.(2022•上海)如图,在△ABC 中,∠A =30°,∠B =90°,D 为AB 中点,E 在线段AC 上,BC DE AB AD ,则AC AE = .【分析】利用平行线截线段成比例解答.【解答】解:∵D 为AB 中点,∴=.当DE ∥BC 时,△ADE ∽△ABC ,则===.当DE 与BC 不平行时,DE =DE ′,=.故答案是:或.11.(2022•宜宾)如图,△ABC 中,点E 、F 分别在边AB 、AC 上,∠1=∠2.若BC =4,AF =2,CF =3,则EF = .【分析】由∠1=∠2,∠A =∠A ,得出△AEF ∽△ABC ,再由相似三角形的性质即可得出EF 的长度.【解答】解:∵∠1=∠2,∠A =∠A ,∴△AEF ∽△ABC ,∴,∵BC =4,AF =2,CF =3,∴,∴EF =,故答案为:.考点二:相似三角形的性质1.相似图形的概念:把形状相同的图形称为相似图形。

经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

实用标准文案相似三角形一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD 、AC 把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q 作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB 上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC 交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:_________ ;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.解答:证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.点评:本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.解答:(1)证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,(2分)∴△CDF∽△BGF.(3分)(2)解:由(1)△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,(6分)∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.(8分)3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.解答:证明:∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.解答:证明:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,(2分)∴∠BAF=∠AED.(4分)∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠D.(5分)∴△ABF∽△EAD.(6分)点评:考查相似三角形的判定定理,关键是找准对应的角.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.解答:(1)证明:①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M、N分别是BE,CD的中点,∴BM=CN.又∵AB=AC,∴△ABM≌△ACN.∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形.(2)解:(1)中的两个结论仍然成立.(3)证明:在图②中正确画出线段PD,由(1)同理可证△ABM≌△ACN,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN.又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形.∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.分析:根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有:△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.解答:解:相似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.(3分)如:△AEF∽△BEC.在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3.(6分)∴△AEF∽△BEC.(7分)7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.(1)填空:∠ABC= 135°°,BC= ;(2)判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.解答:解:(1)∠ABC=135°,BC=;(2)相似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC.8.如图,已知矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA 方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:(1)经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?(2)是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?若存在,求t 的值;若不存在,请说明理由解:(1)设经过x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,则有:(6﹣2x)x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,(2分)解方程,得x1=1,x2=2,(3分)经检验,可知x1=1,x2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.(4分)(2)假设经过t秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,因此有或(5分)即①,或②(6分)解①,得t=;解②,得t=(7分)经检验,t=或t=都符合题意,所以动点M,N同时出发后,经过秒或秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似.(8分)9.如图,在梯形ABCD中,若AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.(1)列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;(注意:全等看成相似的特例)(2)请你任选一组相似三角形,并给出证明.解答:解:(1)任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:①②,①③,①④,②③,②④,③④(2分)其中有两组(①③,②④)是相似的.∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=(4分)证明:(2)选择①、③证明.在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD(8分)选择②、④证明.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,(6分)∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB(8分).点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性相同,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P(A)=,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连接AE.(1)写出图中所有相等的线段,并加以证明;(2)图中有无相似三角形?若有,请写出一对;若没有,请说明理由;(3)求△BEC与△BEA的面积之比.解答:解:(1)AD=DE,AE=CE.∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°.∴CD=2ED.∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD.∴AE=CE.(2)图中有三角形相似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;(3)作AF⊥BD的延长线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=.∠ECD=30°.在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=.∴.点评:本题主要考查了直角三角形的性质,相似三角形的判定及三角形面积的求法等,范围较广.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC的平行线交AC于P,交AB于Q.(1)求四边形AQMP的周长;(2)写出图中的两对相似三角形(不需证明);(3)M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.解答:解:(1)∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ 是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB.∴BQ=QM,PM=PC.∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.(2)∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;(3)当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线.∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC.又由(1)知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形.12.已知:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM∽△MCP.解答:证明:∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD.∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM.∴.∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM.13.如图,已知梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.(1)求梯形ABCD的面积S;(2)动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q 作QE⊥BC于点E.若P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之结束,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?若存在,请求出所有符合条件的t的值;若不存在,请说明理由.解答:解:(1)过D作DH∥AB交BC于H点,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形.∴DH=AB=8;BH=AD=2.∴CH=8﹣2=6.∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°.∠B=∠DHC=90°.∴梯形ABCD是直角梯形.∴S ABCD=(AD+BC)AB=×(2+8)×8=40.(2)①∵BP=CQ=t ,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3<8.∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长平分.②第一种情况:0<t≤8若△PAD∽△QEC则∠ADP=∠C ∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=若△PAD∽△CEQ则∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情况:8<t≤10,P、A、D三点不能组成三角形;第三种情况:10<t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似;∴t=或t=时,△PAD与△CQE相似.③第一种情况:当0≤t≤8时.过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E、H.∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==.∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t.∴PH=t﹣t=t.∴PQ==,DQ=10﹣t.Ⅰ:DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒.Ⅱ:DQ=PQ,10﹣t=,化简得:3t2﹣52t+180=0解得:t=,t=>8(不合题意舍去)∴t=第二种情况:8≤t≤10时.DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t<10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.第三种情况:10<t≤12时.DP=DQ=t﹣10.∴当10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.综上所述,t=或8≤t<10或10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立.14.已知矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.若P自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC 相似?解答:解:设经x秒后,△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°,(1)当∠1=∠2时,有:,即;(2)当∠1=∠3时,有:,即,∴经过秒或2秒,△PBQ∽△BCD.15.如图,在△ABC 中,AB=10cm ,BC=20cm ,点P 从点A 开始沿AB 边向B 点以2cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以4cm/s 的速度移动,如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发,问经过几秒钟,△PBQ 与△ABC 相似. 解答: 设经过秒后t 秒后,△PBQ 与△ABC 相似,则有AP=2t ,BQ=4t ,BP=10﹣2t , 当△PBQ ∽△ABC 时,有BP :AB=BQ :BC , 即(10﹣2t ):10=4t :20,解得t=2.5(s )(6分)当△QBP ∽△ABC 时,有BQ :AB=BP :BC , 即4t :10=(10﹣2t ):20,解得t=1.所以,经过2.5s 或1s 时,△PBQ 与△ABC 相似(10分).解法二:设ts 后,△PBQ 与△ABC 相似,则有,AP=2t ,BQ=4t ,BP=10﹣2t分两种情况:(1)当BP 与AB 对应时,有=,即=,解得t=2.5s (2)当BP 与BC 对应时,有=,即=,解得t=1s所以经过1s 或2.5s 时,以P 、B 、Q 三点为顶点的三角形与△ABC 相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB 的长为多少时,这两个直角三角形相似. 解答: 解:∵AC=,AD=2,∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:1) 当Rt △ABC ∽Rt △ACD 时, 2) 有=,∴AB==3;3) 当Rt △ACB ∽Rt △CDA 时, 4) 有=,∴AB==3.故当AB 的长为3或3时,这两个直角三角形相似.17.已知,如图,在边长为a 的正方形ABCD 中,M 是AD 的中点,能否在边AB 上找一点N (不含A 、B ),使得△CDM 与△MAN 相似?若能,请给出证明,若不能,请说明理由.解答: 证明:分两种情况讨论:①若△CDM ∽△MAN ,则=.∵边长为a ,M 是AD 的中点, ∴AN=a .②若△CDM ∽△NAM ,则.∵边长为a,M 是AD的中点,∴AN=a,即N点与B重合,不合题意.所以,能在边AB上找一点N(不含A、B),使得△CDM与△MAN相似.当AN=a时,N点的位置满足条件.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.若Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?解答:解:设经过x秒后,两三角形相似,则CQ=(8﹣2x)cm,CP=xcm,(1分)∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形相似.(3分)(1)当时,,∴x=;(4分)(2)当时,,∴x=.(5分)所以,经过秒或秒后,两三角形相似.(6分)点评:本题综合考查了路程问题,相似三角形的性质及一元一次方程的解法.19.如图所示,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.解答:解:(1)若点A,P,D分别与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测:当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.(2)若点A,P,D分别与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴=,∴=,∴AP=.检验:当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.因此,点P的位置有三处,即在线段AB距离点A的1、、6处.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.(1)如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△CNE;(2)如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC 交于点N,于是,除(1)中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.解答:证明:(1)∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,(4分)而∠MBE=∠ECN=45°,∴△BEM∽△CNE.(6分)(2)与(1)同理△BEM∽△CNE,∴.(8分)又∵BE=EC,∴,(10分)则△ECN与△MEN中有,又∠ECN=∠MEN=45°,∴△ECN∽△MEN.(12分)21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t(秒)表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P 为顶点的三角形与△ABC相似.解答:解:以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ 时,,所以,解得:t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得:t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30(舍去).故当t=6或t=时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯(P点)距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部(O点)20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?解答:解:∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP.∴,即,解得,MA=5米;同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度(这棵树底部可以到达,顶部不易到达),他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.(1)所需的测量工具是:;(2)请在下图中画出测量示意图;(3)设树高AB的长度为x,请用所测数据(用小写字母表示)求出x.解答:解:(1)皮尺,标杆;(2)测量示意图如图所示;(3)如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴.(7分)24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯(灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:(1)请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;(2)如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.(友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602)解答:解:(1)由题意可知:∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD.∴△ABC ∽△DEF.∴,即,(2分)∴DE=1200(cm).所以,学校旗杆的高度是12m.(3分)(2)解法一:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)在Rt△NGH中,根据勾股定理得:NH2=1562+2082=2602,∴NH=260.(5分)设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(6分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴(7分),又ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8,∴,解得:r=12.∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)解法二:与①类似得:,即,∴GN=208.(4分)设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.(5分)则∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.∴,即,(6分)∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+(GN﹣GK)=r+8.(7分)在Rt△OMN中,根据勾股定理得:r2+(r)2=(r+8)2即r2﹣9r﹣36=0,解得:r1=12,r2=﹣3(不合题意,舍去),∴景灯灯罩的半径是12cm.(8分)25.(2007•白银)阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区(如图所示),已知亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.解答:解:∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴.∵EC=8.7m,ED=2.7m,∴CD=6m.∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴,∴BC=4,即窗口底边离地面的高为4m.点评:此题基本上难度不大,利用相似比即可求出窗口底边离地面的高.26.如图,李华晚上在路灯下散步.已知李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.(1)若李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;(2)若李华在两路灯之间行走,则他前后的两个影子的长度之和(DA+AC)是否是定值请说明理由;(3)若李华在点A朝着影子(如图箭头)的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.解答:解:(1)由已知:AB∥OP,∴△ABC∽△OPC.∵,∵OP=l,AB=h,OA=a,∴,∴解得:.(2)∵AB∥OP,∴△ABC∽△OPC,∴,即,即.∴.同理可得:,∴=是定值.(3)根据题意设李华由A到A',身高为A'B',A'C'代表其影长(如图).由(1)可知,即,∴,同理可得:,∴,由等比性质得:,当李华从A走到A'的时候,他的影子也从C移到C',因此速度与路程成正比∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,则不难证明S1=S2+S3.(1)如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;(不必证明)(2)如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;(3)若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与(2)相同的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;(4)类比(1),(2),(3)的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.解:设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,则c2=a2+b2(1)S1=S2+S3;(2)S1=S2+S3.证明如下:显然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1;(3)当所作的三个三角形相似时,S1=S2+S3.证明如下:∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3;(4)分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形,其面积分别用S1、S2、S3表示,则S1=S2+S3.28.已知:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.解答:解:∵△ABC ∽△ADE,∴AE:AC=AD:AB.∵AE:AC=(AB+BD):AB,∴AE:9=(15+5):15.∴AE=12.29.已知:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,若AB=3,AC=4.(1)求BD、CD的长;(2)过B作BE⊥DC于E,求BE的长.解答:解:(1)Rt△ABC中,根据勾股定理得:BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=;(2)在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3.30.(1)已知,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;(2)已知:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.解:(1)设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,由于3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10.(2)设一个三角形周长为Ccm,则另一个三角形周长为(C+560)cm,则,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm。

相似三角形(解析版)

相似三角形(解析版)

4.3相似三角形一、相似图形及比例线段1.相似图形:在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形. 要点:(1) 相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形; (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况,即当“形状相同”且“大小相同”时,两 个图形全等;二、相似三角形 在和中,如果我们就说与相似,记作∽.k 就是它们的相似比,“∽”读作“相似于”一、单选题 1.若ABC A B C ''',40A ∠=︒,110B ∠=︒,则'C ∠的度数为( )A .30°B .40°C .70°D .110°【解答】A【提示】若ABC A B C '''∽△△,则说明点A 的对应点为点'A ,点B 的对应点B ',点C 的对应点为点C ',且对应角相等.【详解】因为ABC A B C '''∽△△,所以'C C ∠=∠.因为40A ∠=︒,110B ∠=︒,所以30C ∠=︒,所以'30C ∠=︒故选A.【点睛】考核知识点:相似比.熟记相似三角形性质:对应角相等,是关键. 2.若ABCA B C '''',3BC =,'' 1.8B C =,则A B C '''与ABC 的相似比为( )A .5∶3B .32∶C .23∶D .35∶ 【解答】D【提示】根据相似三角形的对应角相等、对应边成比例可得:A B C '''与ABC 的相似比为1.83B C BC =''. 【详解】因为ABC A B C '''∽△△,3BC =,'' 1.8B C =,所以A B C '''与ABC 的相似比为1.8335B C BC ''==. 故选D.【点睛】考核知识点:相似比.熟记相似三角形性质是关键. 3.如图,已知ADEACB ,若AB=10,AC=8,AD=4,则AE 的长是( )A .4B .3.2C .20D .5【解答】D【提示】根据相似三角形对应边成比例直接建立等式求解即可. 【详解】由相似三角形的性质可得:AD AEAC AB=, 则·41058AD AB AE AC ⨯===, 故选:D .【点睛】本题考查相似三角形的性质,熟记相似三角形对应边成比例是解题关键.4.如果ABC DEF ∆∆∽,A 、B 分别对应D 、E ,且:1:2AB DE =,那么下列等式一定成立的是( ) A .:1:2BC DE =B .ABC ∆的面积:DEF ∆的面积1:2=C .A ∠的度数:D ∠的度数1:2= D .ABC ∆的周长:DEF ∆的周长1:2= 【解答】D【提示】相似三角形对应边的比等于相似比,面积之比等于相似比的平方,对应角相等.【详解】根据相似三角形性质可得:A :BC 和DE 不是对应边,故错;B :面积比应该是1:4,故错;C:对应角相等,故错;D :周长比等于相似比,故正确. 故选:D【点睛】考核知识点:相似三角形性质.理解基本性质是关键.5.如图所示,△ACB ∽△A′CB′,∠BCB′=30°,则∠ACA′的度数为( )A .20°B .30°C .35°D .40° 【解答】B【提示】根据相似三角形性质求出∠ACB=∠A′CB′,都减去∠A′CB 即可. 【详解】解:∵△ACB ∽△A′CB′,∴∠ACB=∠A′CB′,∴∠ACB-∠A′CB=∠A′CB′-∠A′CB , ∴∠ACA′=∠BCB′, ∵∠BCB′=30°, ∴∠ACA′=30°, 故选:B .【点睛】本题考查了相似三角形性质,掌握相似三角形的对应角相等是解题的关键.6.如图,在△ABC 中,∠A =75°,AB =6,AC =8,将△ABC 沿图中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )A .B .C .D .【解答】D【提示】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可.【详解】A 、根据平行线截得的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误; B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等,故两三角形相似,故本选项错误; C 、两三角形对应边成比例且夹角相等,故两三角形相似,故本选项错误. D 、两三角形的对应边不成比例,故两三角形不相似,故本选项正确; 故选D .【点睛】本题考查了相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.7.在△ABC 中,已知AB =5,BC =4,AC =8.若△ABC ∽△A1B1C1,△A1B1C1的最长边的长为16,则其他两边的长分别为( )A .A1B1=8,B1C1=10B .A1B1=10,B1C1=8C .A1B1=5,B1C1=8D .A1B1=10,B1C1=4【解答】B【详解】分析:根据相似三角形对应边的比相等解答即可.详解:∵两个三角形中最长边和最长边是对应边,△ABC ∽△A1B1C1,∴111111AB BC ACA B B C AC == ,∴111154816A B B C ==,∴A1B1=10,B1C1=8. 故选B .点睛:本题主要考查学生对两个三角形相似的性质的理解及运用.掌握相似三角形的性质是解题的关键.8.若ABC DEF △△,且ABC 与DEF 的相似比为m ,DEF 与ABC 的相似比为n ,则(.): A .m n = B .0m n += C .1⋅=m n D .1m n ⋅=-【解答】C【提示】根据题意,可判定ABC 与DEF 的相似比为m ,则DEF 与ABC 的相似比为其倒数,所以两者积为1.【详解】解:∵ABC 与DEF 的相似比为m , ∴DEF 与ABC 的相似比为1m ,即1n m=, ∴1⋅=m n 故答案为C.【点睛】此题主要考查相似三角形相似比的性质,熟练掌握,即可解题.9.△ABC ∽△A′B′C′,已知AB =5,A′B′=6,△ABC 面积为10,那么另一个三角形的面积为( ) A .15B .14.4C .12D .10.8【解答】B【提示】利用相似三角形的性质得出两三角形的面积比,进而求出即可. 【详解】解:∵△ABC ∽△A′B′C′,AB =5,A′B′=6, ∴A'B'C'2536ABC S S =, ∵△ABC 面积为10, ∴解得:S △A′B′C′=14.4. 故选B .【点睛】本题考查相似三角形的性质,利用相似比与面积比的关系得出是解题关键.10.如图,在△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,BD 平分∠ABC ,DE ∥BC ,那么在下列三角形中,与△EBD 相似的三角形是( )A .ABCB .ADEC .DABD .BDC 【解答】C【提示】由于∠A=36°,AB=AC ,易求∠ABC=∠C=72°,而BD 是角平分线,易求∠ABD=∠CBD=36°,又DE ∥BC ,那么有∠EDB=∠CBD=36°,即∠A=∠BDE ,∠ABD=∠DBE ,从而可证△ABD ∽△DBE . 【详解】∵∠A=36°,AB=AC , ∴∠ABC=∠C=72°, 又∵BD 是∠ABC 的平分线, ∴∠ABD=∠CBD=36°, ∵DE ∥BC ,∴∠EDB=∠CBD=36°,即∠A=∠BDE ,∠ABD=∠DBE , ∴△ABD ∽△DBE , 故选C .【点睛】本题考查了相似三角形的判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理.解题的关键是求出相关角的度数.二、填空题11.已知111ABC A B C △△,相似比为23,111222A B C A B C △△,相似比为54,则222ABC A B C △△,其相似比为________. 【解答】56【提示】根据相似三角形的性质可得1123AB A B =,112254A B A B =,故可得2256AB A B =. 【详解】因为111ABC A B C ∽△△,相似比为23,所以1123AB A B =,因为111222A B C A B C ∽△△,相似比为54,所以112254A B A B =,所以2256AB A B =,即所求相似比为56. 故答案为56【点睛】考核知识点:相似三角形的性质.根据相似三角形性质和比例性质求解是关键.12.ΔABC 与△DEF 中,65A ∠=︒,42B ∠=︒,65D ∠=︒,73F ∠=︒,3AB =,5AC =,6BC =,6DE =,10DF =,12EF =,则△DEF 与△ABC________【解答】相似【提示】根据相似三角形的判定方法解答即可. 【详解】∵65A ∠=︒,42B ∠=︒, ∴∠C=180°-65°-42°=73°. ∵65D ∠=︒,73F ∠=︒, ∴∠A=∠D, ∠C=∠F, ∴△DEF 与△ABC 相似. 故答案为相似.【点睛】本题考查了相似三角形的判定方法,相似三角形的判定方法有:①对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形;②平行于三角形一边的直线和其他两边或两边延长线相交,所构成的三角形与原三角形相似;③两角相等的两个三角形相似;④两边对应成比例,且夹角相等的两个三角形相似判定即可;⑤三边对应成比例的两个三角形相似.13.已知ABC 的三边分别是4,5,6,则与它相似'''A B C 的最长边为12,则'''A B C 的周长是________. 【解答】30【提示】由于A B C '''的最大边为12,所以边长12对应的边只能是ABC 中边长为6的边,进而再由对应边成比例即可求解.【详解】∵△ABC ∽△A′B′C′,且其最大边为12,所以边长12对应的边只能是△ABC 中边长为6的边,∴△′B′C′的另两边的长为8,10, 故△′B′C′的周长为8+10+12=30. 故答案为:30.【点睛】考查相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决问题的关键. 14.若ABC DEF ∽,50B ∠=,70C ∠=,则D ∠的度数为________. 【解答】60【提示】根据三角形的内角和定理求出∠A ,再根据相似三角形的对应角相等可得∠D=∠A . 【详解】∵50B ∠=,70C ∠=∴180180507060,A B C ∠=-∠-∠=--= ∵△ABC ∽△DEF , ∴60.D A ∠=∠=故答案为60.【点睛】考查相似三角形的性质,掌握相似三角形对应角相等是解题的关键.15.如图,在△ ABC 中, DE ∥ BC , AD =3cm , BD =2cm ,则△ ADE 与△ ABC 相似比是_____;若 DE =4cm ,则 BC =________.【解答】 3:5203cm ; 【详解】∵AD=3cm ,BD=2cm , ∴AB=AD+DB=5cm. ∵DE ∥BC ,∴△ADE ∽△ABC ,且相似比为:35AD AB =; ∴35DE AD BC AB ==,即435BC =, ∴BC=203. 故答案为(1)35;(2)203.点睛:本题解题的要点是根据“平行于三角形一边的直线截另外两边(或两边的延长线),所得新三角形与原三角形相似”由DE ∥BC 得到△ADE ∽△ABC ,这样利用相似三角形的性质即可求得所求量了.16.在ABC 中,5AB AC ==,6BC =,点E 、F 分别在AB 、BC 边上,将BEF 沿直线EF 翻折后,点B 落在对边AC 的点为'B ,若'B FC 与ABC 相似,那么BF =________.【解答】3或3011【提示】由于对应边不确定,所以本题应分两种情况进行讨论:①△ABC ∽△B ' FC;②△ABC ∽△F B 'C.【详解】①当△ABC ∽△B 'FC 时:根据△ABC 是等腰三角形,则△B 'FC 也是等腰三角形, 则B 'FC=∠C=∠B,设BF=x,则CF=6-x, B 'F=B 'C=x,根据△ABC ∽△B 'FC ,得到:B F CFAB BC'=,得到656x x -=,解得x=3011;②当△ABC ∽△F B 'C 则FC=B 'F=BF,则x=6-x,解得x=3. 因而BF=3或3011. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,对应边的比相等,注意到分两种情况进行讨论是解决本题的关键.17.如图,已知ADE ABC ∽,相似比为2:3,则:BC DE 的值为________.【解答】3:2【提示】由于△ADE ∽△ABC ,且已知了它们的相似比,因此两三角形的对应边的比等于相似比.由此可求出BC 、DE 的比例关系.【详解】∵△ADE ∽△ABC ,且相似比为2:3, ∴BC :DE=3:2, 故答案为3:2.【点睛】本题考查对相似三角形性质的理解. (1)相似三角形面积的比等于相似比的平方;(2)相似三角形周长的比等于相似比; (3)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.18.如图,在△ABC 中,AB=AC ,点D 在边BC 上,连接AD ,将线段AD 绕点A 逆时针旋转到AE ,使得∠DAE=∠BAC ,连接DE 交AC 于F ,请写出图中一对相似的三角形:________(只要写出一对即可).【解答】△ABD ∽△AEF(或△ABD ∽△DCF 或△DCF ∽△AEF 或△ADE ∽△ABC) 【详解】分析:先根据等腰三角形的性质,由AB=AC 得∠B=∠C ,再利用旋转的性质得∠ADE=∠E=∠B=∠C ,且∠BAD=∠CAE ,于是根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判断△ABD ∽AEF . 详解:∵AB=AC , ∴∠B=∠C ,∵线段AD 绕点A 逆时针旋转到AE ,使得∠DAE=∠BAC ,∴∠ADE=∠E=∠B=∠C,∴∠BAD=∠CAE,∴△ABD∽AEF.故答案为△ABD∽AEF.点睛:本题考查了相似三角形的判定:有两组角对应相等的两个三角形相似.三、解答题19.根据下列条件,判断△ABC与△A′B′C′是否相似,并说明理由(1)AB=12,BC=15,AC=24,A′B′=25,B′C′=40,C′A′=20(2)AB=3,BC=4,AC=5,A′B′=12,B′C′=16,C′A′=20【解答】(1)见解析;(2)见解析.【提示】(1)通过计算得出两个三角形三边成比例,即可得出结论.(2)通过计算得出两个三角形三边成比例,即可得出结论.【详解】解:(1)∵AB123BC153AC243C'A'205A'B'255B'C'405 ======,,,∴△ABC∽△C′A′B′(2)∵AB31BC41AC51 A'B'124B'C'164A'C'204 ======,,∴△ABC∽△A′B′C′.【点睛】本题考查相似三角形的判定,熟练掌握相似三角形的判定方法,通过计算得出三边成比例是解题的关键.20.如图,在△ABC中,D、E两点分别在AC、AB两边上,∠ABC=∠ADE,AB=7,AD=3,AE=2.7,求AC的长.【解答】6.3.【详解】试题分析:已知∠ABC=∠ADE,∠A=∠A,则可推出△ABC∽△ADE,根据相似三角形的相似比即可求得AC的长.试题解析:在△ABC和△ADE中,∵∠ABC=∠ADE,∠A=∠A∴△ABC∽△ADE.∴AB ACAD AE=,即AB AE7 2.7AC 6.3AD3⋅⨯===.考点:相似三角形的判定和性质.21.如图,在正方形网格上有△ABC 和△DEF .(1)这两个三角形相似吗?为什么? (2)请直接写出∠A 的度数 ;(3)在上边的网格内再画一个三角形,使它与△ABC 相似,并求出其相似比. 【解答】(1)相似,理由见解析;(2)45º;(3)见解析【提示】(1)根据勾股定理列式求出AB 、AC 、BC 、DE 、DF 、EF 的长度,然后根据三边对应成比例,两三角形相似解答;(2)取AC 的中点O ,连接BO ,根据网格结构可以判断∠ABO=90°,△ABO 是等腰直角三角形,即可得解;(3)把△ABC 三边扩大2倍,然后利用网格结构作出即可. 【详解】(1)AB=22152=+, AC=22026=21+, BC=5, DE=1,DF=22152=+, EF=22222=2+, ∵5AB AC BCDE EF DF===, ∴△ABC ∽△DEF ;(2)如图,取AC 的中点O ,连接BO , 则△ABO 是等腰直角三角形, ∴∠A=45°;(3)如图,△A′B′C′与△ABC 相似,它们的相似比是2.【点睛】本题考查了利用相似变换作图,熟练掌握相似三角形的判定与性质,网格结构的特点是解题的关键.22.已知:如图AB//CD//EF ,AC 、BD 相交于点O ,E 在AC 上,F 在BD 上,且AE:EC=2:3,BD=10.(1)求BF 的长;(2)当AB=12,CD=8时,求EF 的长.【解答】(1)4 (2)4【提示】(1)根据平行线分线段成比例定理得出BF :FD 的值,从而得出BF 与FD 的数量关系,再再结合BF+DF=BD=10求出BF 的值.(2)先证明~,~OEF OAB OEF OCD 从而得出两组关于EF 的比例式,再根据和比的性质对比例式进行变形得出23AB EF AE CD EF EC -==+,代入AB 和CD 的值即可求出EF. 【详解】解:(1)∵AB//CD//EFAE BF EC DF∴= :2:3AE EC =23BF DF ∴= 23DF BF ∴= 10BD = 10DF BD BF BF ∴=-=-2(10)3BF BF ∴-=4BF ∴=(2)AB CD EF ‖‖~,~OEF OAB OEF OCD ∴,AB OA CD OC EF OE EF OE ∴== ,AB EF OA OE CD EF OC OE EF OE EF OE--++∴== ,AB EF AE CD EF EC EF OE EF OE-+==23AB EF AE CD EF EC -∴==+ 3()2()AB EF CD EF ∴-=+12,8AB CD ==3(12)2(8)EF EF ∴-=+4EF ∴=【点睛】本题考查平行线分线段成比例,相似三角形的性质与判定,比例的性质.(1)中能根据平行线分线段成比例得出BF 与FD 的数量关系是解决此问的关键;(2)中的难度在于能根据和比的性质将比例式进行变形,建立EF 有关的比例式和AE:EC 之间的等量关系.23.如图,直线EF 分别交ABC 的边AB ,AC 于点F ,E ,交BC 的延长线于点D ,已知BF BA BC BD ⋅=⋅.求证:AE CE DE EF ⋅=⋅.【解答】见解析【提示】由对应线段成比例且夹角相等可证ABC DBF ∽△△,根据两组对应角相等即证AEF DEC ∽△△,由相似三角形对应线段成比例的性质可得结论.【详解】证:BF BA BC BD ⋅=⋅,∴AB BC BD BF =, 又ABC DBF ∠=∠,∴ABC DBF ∽△△,∴A D ∠=∠.又AEF DEC ∠=∠,∴AEF DEC ∽△△,∴AE EF DE EC=,即AE CE DE EF ⋅=⋅. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定,综合利用其判定和性质进行证明是解题的关键. 24.如图,在△ABC 中,AB =AC ,点D ,E 分别在BC ,AB 上,且∠BDE =∠CAD.求证:△ADE ∽△ABD.【解答】证明见解析.【详解】试题分析:由等腰三角形的性质得出∠B=∠C,由三角形的外角性质和已知条件得出∠ADE=∠C,因此∠B=∠ADE,再由公共角∠DAE=∠BAD,即可得出△ADE∽△ABD.试题解析:∵AB=AC,∴∠B=∠C.∵∠ADB=∠C+∠CAD=∠BDE+∠ADE,∠BDE=∠CAD,∴∠ADE=∠C,∠B=∠ADE.∵∠DAE=∠BAD,∴△ADE∽△ABD.25.点D、E分别是△ABC两边AB、BC所在直线上的点,∠BDE+∠ACB=180°,DE=AC,AD =2BD.(1) 如图1,当点D、E分别在AB、CB的延长线上时,求证:BE=BD(2) 如图2,当点D、E分别在AB、BC边上时,BE与BD存在怎样的数量关系?请写出你的结论,并证明【解答】(1)证明见解析;(2)BE=3BD【提示】(1)在BD上找一点M,连接EM,使EM=ED,如图1.证明EMB ACB≅可得EB=AB,利用AD=2BD,AB=AD-BD即可得结论;(2)在AB上找一点M,连接EM,使EM=ED,如图2.证明EBM ABC可得BE EMAB AC=由AD=2BD,可得AB=AD+BD=3BD代入,即可得结论.【详解】(1)在BD上找一点M,连接EM,使EM=ED,如图1.则∠BDE=∠EMD.∵∠BDE+∠ACB=180°,∴∠EMB=∠ACB.∵DE=AC,∴EM=AC在△EMB 和△ACB 中,EBM ABC EMB ACB EM AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩()EMB ACB AAS ∴≅∴EB=AB∵AD=2BD ,∴AB=AD-BD=BD.∴BE=BD ;(2) BE=3BD ,理由如下:在AB 上找一点M ,连接EM ,使EM=ED ,如图 2.则∠MDE=∠EMD.∵DE=AC,∴EM=AC.∵∠BDE+∠ACB=180, ∠EDM+∠BDE=180,∴∠EMD=∠ACB∵∠EBM=∠ABC,EBMABC ∴ BE EM AB AC∴= ∵AD=2BD,∴AB=AD+BD=3BD3BE AC BD AC∴=. ∴BE=3BD【点睛】本题考查了三角形全等的判定及性质以及相似三角形的判定及性质,掌握三角形全等的判定方法及相似三角形的判定及性质是解题的关键.。

相似三角形经典大题解析答案

相似三角形经典大题解析答案

1.【答案】解:(1)MN BC ∥AMN ABC ∴△∽△ 68h x ∴= 34xh ∴= (2)1AMN A MN △≌△1A MN ∴△的边MN 上的高为h ,①当点1A 落在四边形BCNM 内或BC 边上时,1A MN y S =△=211332248MN h x x x ==··(04x <≤) ②当1A 落在四边形BCNM 外时,如下图(48)x <<,设1A EF △的边EF 上的高为1h , 则132662h h x =-=- 11EF MNA EF A MN ∴ ∥△∽△11AMN ABC A EF ABC ∴ △∽△△∽△ 1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242ABC S =⨯⨯= △22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A MN A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△所以 291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述:当04x <≤时,238y x =,取4x =,6y =最大 当48x <<时,2912248y x x =-+-, 取163x =,8y =最大 86> ∴当163x =时,y 最大,8y =最大 2.【答案】解:(1) 该抛物线过点(02)C -,,∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-.将(40)A ,,(10)B ,代入,得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩,解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-.(2)存在.如图,设P 点的横坐标为m ,则P 点的纵坐标为215222m m -+-, 当14m <<时,4AM m =-,215222PM m m =-+-. 又90COA PMA ∠=∠= °,∴①当21AM AO PM OC ==时, APM ACO △∽△,即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭.解得1224m m ==,(舍去),(21)P ∴,. ②当12AM OC PM OA ==时,APM CAO △∽△,即2152(4)222m m m -=-+-. 解得14m =,25m =(均不合题意,舍去)∴当14m <<时,(21)P ,. 类似地可求出当4m >时,(52)P -,. 当1m <时,(314)P --,.综上所述,符合条件的点P 为(21),或(52)-,或(314)--,. 3.【答案】(1)解:由28033x +=,得4x A =-∴.点坐标为()40-,.由2160x -+=,得8x B =∴.点坐标为()80,.∴()8412AB =--=.由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩,.解得56x y =⎧⎨=⎩,.∴C 点的坐标为()56,. ∴111263622ABC C S AB y ==⨯⨯=△·. (2)解:∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=,.∴D 点坐标为()88,. 又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=,.. ∴E 点坐标为()48,.∴8448OE EF =-==,. (3)解法一:①当03t <≤时,如图1,矩形DEFG 与ABC △重叠部分为五边形CHFGR (0t =时,为四边形CHFG ).过C 作CM AB ⊥于M ,则R t R t R G B C M B△∽△.∴BG RG BM CM =,即36t RG=,∴2RG t =. Rt Rt AFH AMC △∽△,∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△.即241644333S t t =-++.当83<≤t 时,如图2,为梯形面积,∵G (8-t,0)∴GR=32838)8(32t t -=+-,∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时,如图3,为三角形面积,4883)12)(328(212+-=--=t t t t s 4【答案】解: (1)34PM =, (2)2t =,使PNB PAD △∽△,相似比为3:2 (3)PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠ ⊥,⊥,,AMP ABC △∽△,PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--== ,,A DB EORF xy1l 2lM(图3)G CA DB EO CF xy1l 2lG (图1)RM A D B EO C F xy1l 2lG (图2)RM(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+,3t ≤,636aa∴+≤,则636a a ∴<≤,≤, (4)36a < ≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可,则CN PM =()3t a t t a∴-=-,把66a t a =+代入,解之得23a =±,所以23a =.所以,存在a ,当23a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等. 5.【答案】 解:(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形.(2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=-23t 2+33t ; (3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600,∠RQC=∠B=600,又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t, 所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ~△PRQ,所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PR QR ,即3326=-tt,所以t=56, 所以当t=56时, △APR ~△PRQ 6. (1)证明:在ADC △和EGC △中, Rt ADC EGC ∠=∠=∠ ,C C ∠=∠ ADC EGC ∴△∽△ EG CG AD CD∴= 3分 (2)FD 与DG 垂直4分 证明如下:在四边形AFEG 中,FAGCED B90FAG AFE AGE ∠=∠=∠=∴四边形AFEG 为矩形 AF EG ∴=由(1)知EG CG AD CD= AF CGAD CD ∴=6分ABC △为直角三角形,AD BC ⊥FAD C ∴∠=∠ AFD CGD ∴△∽△ ADF CDG ∴∠=∠8分又90CDG ADG ∠+∠=90ADF ADG ∴+∠=即90FDG ∠=FD DG ∴⊥10分(3)当AB AC =时,FDG △为等腰直角三角形, 理由如下:AB AC = ,90BAC ∠= AD DC ∴=由(2)知:AFD CGD △∽△1FD ADGD DC∴== FD DG ∴= 又90FDG ∠=FDG ∴△为等腰直角三角形12分7. (1)34PM =, (2)2t =,使PNB PAD △∽△,相似比为3:2 (3)PM AB CB AB AMP ABC ∠=∠ ⊥,⊥,,AMP ABC △∽△,PM AM BN AB ∴=即()PM a t t a t PM t a a--== ,,(1)3t a QM a-∴=-当梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,即()()22QP AD DQ MP BN BM++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+,3t ≤,636aa∴+≤,则636a a ∴<≤,≤, (4)36a < ≤时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可,则CN PM =()3t a t t a∴-=-,把66a t a =+代入,解之得23a =±,所以23a =.所以,存在a ,当23a =时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等.例1. 解 ABCD 是平行四边形,∴CD AB CD AB =,//,∴AEF ∆∽CDF ∆,又2:1:=EB AE ,∴3:1:=CD AE ,∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1:3. 又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDF AEF S S S ,∴)cm (542=∆CD F S . 例3 由于ABD ∆∽ACE ∆,则CAE BAD ∠=∠,因此DAE BAC ∠=∠,如果再进一步证明AECAAD BA =,则问题得证. 证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴CAE BAD ∠=∠.又DAC BAD BAC ∠+∠=∠ ,∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠, ∴DAE BAC ∠=∠.∵ABD ∆∽ACE ∆,∴AEACAD AB =. 在ABC ∆和ADE ∆中,∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,,∴ABC ∆∽ADE ∆例5.解:例11.分析 有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD 是底角的平分线,∴︒=∠36CBD ,则可推出ABC ∆∽BCD ∆,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 AC AB A =︒=∠,36 ,∴︒=∠=∠72C ABC . 又BD 平分ABC ∠,∴︒=∠=∠36CBD ABD .∴BC BD AD ==,且AB C ∆∽BCD ∆,∴BC CD AB BC ::=,∴CD AB BC ⋅=2,∴CD AC AD ⋅=2.说明 (1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式cd ab =,或平方式bc a =2,一般都是证明比例式,b dc a =,或caa b =,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式. 例16. 分析:要求BC 的长,需画图来解,因AB 、AC 都大于高AD ,那么有两种情况存在,即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上,所以求BC 的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积,关键是求正方形的边长. 解:(1)如上图,由AD ⊥BC ,由勾股定理得BD =3,DC =1,所以BC =BD +DC =3+1=4.如下图,同理可求BD =3,DC =1,所以BC =BD -CD =3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC =4,且162)32(2222=+=+AC AB ,162=BC ,∴222BC AC AB =+.所以△ABC 是直角三角形.由AE G F 是正方形,设G F =x ,则FC =2-x , ∵G F ∥AB ,∴AC FC AB GF =,即2232xx -=. ∴33-=x ,∴3612)33(2-=-=AEG F S 正方形.如下图,当BC =2,AC =2,△ABC 是等腰三角形,作CP ⊥AB 于P ,∴AP =321=AB ,在Rt △APC 中,由勾股定理得CP =1,∵GH ∥AB ,∴△C GH ∽△CBA ,∵x x x -=132,32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形 因此,正方形的面积为3612-或121348156-.。

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典题(含答案)

相似三角形经典题(含答案)相似三角形经典习题例1 从下面这些三角形中,选出相似的三角形.例2 已知:如图,ABCD 中,2:1:=EB AE ,求AEF ∆与CDF ∆的周长的比,如果2cm 6=∆AEFS,求CDFS∆.例3 如图,已知ABD ∆∽ACE ∆,求证:ABC ∆∽ADE ∆.例4 下列命题中哪些是正确的,哪些是错误的?(1)所有的直角三角形都相似.(2)所有的等腰三角形都相似.(3)所有的等腰直角三角形都相似.(4)所有的等边三角形都相似.例5 如图,D点是ABC∆的边AC上的一点,过D点画线段DE,使点E在ABC∆的一个顶点组成∆的边上,并且点D、点E和ABC的小三角形与ABC∆相似.尽可能多地画出满足条件的图形,并说明线段DE的画法.例6 如图,一人拿着一支刻有厘米分画的小尺,站在距电线杆约30米的地方,把手臂向前伸直,小尺竖直,看到尺上约12个分画恰好遮住电线杆,已知手臂长约60厘米,求电线杆的高.例7 如图,小明为了测量一高楼MN 的高,在离N 点20m 的A 处放了一个平面镜,小明沿NA 后退到C 点,正好从镜中看到楼顶M 点,若5.1=AC m ,小明的眼睛离地面的高度为1.6m ,请你帮助小明计算一下楼房的高度(精确到0.1m ).例8 格点图中的两个三角形是否是相似三角形,说明理由.例9 根据下列各组条件,判定ABC ∆和C B A '''∆是否相似,并说明理由:(1),cm 4,cm 5.2,cm 5.3===CA BC AB cm28,cm 5.17,cm 5.24=''=''=''A C C B B A .(2)︒='∠︒='∠︒=∠︒=∠35,44,104,35A C B A .(3)︒='∠=''=''︒=∠==48,3.1,5.1,48,6.2,3B C B B A B BC AB .例10 如图,下列每个图形中,存不存在相似的三角形,如果存在,把它们用字母表示出来,并简要说明识别的根据.例11 已知:如图,在ABC ∆中,BD A AC AB ,36,︒=∠=是角平分线,试利用三角形相似的关系说明ACDC AD ⋅=2.例12 已知ABC ∆的三边长分别为5、12、13,与其相似的C B A '''∆的最大边长为26,求C B A '''∆的面积S .例13 在一次数学活动课上,老师让同学们到操场上测量旗杆的高度,然后回来交流各自的测量方法.小芳的测量方法是:拿一根高3.5米的竹竿直立在离旗杆27米的C处(如图),然后沿BC方向走到D处,这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E 恰好在同一直线上,又测得C、D两点的距离为3米,小芳的目高为1.5米,这样便可知道旗杆的高.你认为这种测量方法是否可行?请说明理由.例14.如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标作为点A,再在河的这一边选点B和C,使BCAB⊥,然后再选点E,使BCBD米,=EC⊥,确定BC与AE的交点为D,测得120 EC米,你能求出两岸之间AB的大致距离吗?=60DC米,50=例15.如图,为了求出海岛上的山峰AB的高度,在D和F 处树立标杆DC和FE,标杆的高都是3丈,相隔1000步(1步等于5尺),并且AB、CD和EF在同一平面内,从标杆DC 退后123步的G处,可看到山峰A和标杆顶端C在一直线上,从标杆FE退后127步的H处,可看到山峰A和标杆顶端E 在一直线上.求山峰的高度AB及它和标杆CD的水平距离BD 各是多少?(古代问题)例16 如图,已知△ABC的边AB=32,AC=2,BC边上的高AD=3.(1)求BC的长;(2)如果有一个正方形的边在AB上,另外两个顶点分别在AC,BC上,求这个正方形的面积.相似三角形经典习题答案例1. 解 ①、⑤、⑥相似,②、⑦相似,③、④、⑧相似 例2. 解 ABCD Θ是平行四边形,∴CD AB CD AB =,//,∴AEF ∆∽CDF ∆,又2:1:=EB AE ,∴3:1:=CD AE ,∴AEF ∆与CDF ∆的周长的比是1:3.又)cm (6,)31(22==∆∆∆AEF CDFAEF S SS,∴)cm (542=∆CDFS.例3 分析 由于ABD ∆∽ACE ∆,则CAE BAD ∠=∠,因此DAE BAC ∠=∠,如果再进一步证明AECAAD BA =,则问题得证. 证明 ∵ABD ∆∽ACE ∆,∴CAE BAD ∠=∠. 又DAC BAD BAC ∠+∠=∠Θ,∴CAE DAC DAE ∠+∠=∠, ∴DAE BAC ∠=∠.∵ABD ∆∽ACE ∆,∴AEACAD AB =. 在ABC ∆和ADE ∆中,∵AEACAD AB ADE BAC =∠=∠,,∴ABC ∆∽ADE ∆ 例4.分析 (1)不正确,因为在直角三角形中,两个锐角的大小不确定,因此直角三角形的形状不同.(2)也不正确,等腰三角形的顶角大小不确定,因此等腰三角形的形状也不同.(3)正确.设有等腰直角三角形ABC 和C B A ''',其中︒='∠=∠90C C , 则︒='∠=∠︒='∠=∠45,45B B A A ,设ABC ∆的三边为a 、b 、c ,C B A '''∆的边为c b a '''、、, 则a c b a a c b a '=''='==2,,2,,∴a ac c b b aa '=''=',,∴ABC ∆∽C B A '''∆.(4)也正确,如ABC ∆与C B A '''∆都是等边三角形,对应角相等,对应边都成比例,因此ABC ∆∽C B A '''∆. 答:(1)、(2)不正确.(3)、(4)正确. 例5.解:画法略.例6.分析 本题所叙述的内容可以画出如下图那样的几何图形,即60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=CE 米,求BC .由于ADF ∆∽ACAF EC DF AEC =∆,,又ACF ∆∽ABC ∆,∴BC GF EC DF =,从而可以求出BC 的长. 解ECDF EC AE //,⊥Θ,∴EAC DAF AEC ADF ∠=∠∠=∠,,∴ADF ∆∽AEC ∆.∴ACAFEC DF =.又EC BC EC GF ⊥⊥,,∴ABC AGF ACB AFG BC GF ∠=∠∠=∠,,//,∴AGF ∆∽ABC ∆,∴BC GF AC AF =,∴BCGFEC DF =. 又60=DF 厘米6.0=米,12=GF 厘米12.0=米,30=EC 米,∴6=BC 米.即电线杆的高为6米.例7.分析 根据物理学定律:光线的入射角等于反射角,这样,BCA ∆与MNA ∆的相似关系就明确了.解 因为MAN BAC AN MN CA BC ∠=∠⊥⊥,,,所以BCA ∆∽MNA ∆. 所以AC AN BC MN ::=,即5.1:206.1:=MN .所以3.215.1206.1≈÷⨯=MN (m ).说明 这是一个实际应用问题,方法看似简单,其实很巧妙,省却了使用仪器测量的麻烦.例8.分析 这两个图如果不是画在格点中,那是无法判断的.实际上格点无形中给图形增添了条件——长度和角度. 解 在格点中BC AB EF DE ⊥⊥,,所以︒=∠=∠90B E ,又4,2,2,1====AB BC DE EF .所以21==BC EF AB DE .所以DEF ∆∽ABC ∆. 说明 遇到格点的题目一定要充分发现其中的各种条件,勿使遗漏.例9.解 (1)因为7128cm 4cm ,7117.5cm 2.5cm ,7124.5cm 3.5cm ==''==''==''A C CA C B BC B A AB ,所以ABC ∆∽C B A '''∆;(2)因为︒=∠-∠-︒=∠41180B A C ,两个三角形中只有A A '∠=∠,另外两个角都不相等,所以ABC ∆与C B A '''∆不相似;(3)因为12,=''='''∠=∠C B BC B A AB B B ,所以ABC ∆相似于C B A '''∆. 例10.解 (1)ADE ∆∽ABC ∆ 两角相等; (2)ADE ∆∽ACB∆ 两角相等;(3)CDE ∆∽CAB ∆ 两角相等; (4)EAB ∆∽ECD ∆ 两边成比例夹角相等;(5)ABD ∆∽ACB ∆两边成比例夹角相等; (6)ABD ∆∽ACB ∆ 两边成比例夹角相等.例11.分析 有一个角是65°的等腰三角形,它的底角是72°,而BD 是底角的平分线,∴︒=∠36CBD ,则可推出ABC ∆∽BCD ∆,进而由相似三角形对应边成比例推出线段之间的比例关系.证明 AC AB A =︒=∠,36Θ,∴︒=∠=∠72C ABC . 又BD Θ平分ABC ∠,∴︒=∠=∠36CBD ABD .∴BC BD AD ==,且ABC ∆∽BCD ∆,∴BC CD AB BC ::=,∴CDAB BC⋅=2,∴CDAC AD⋅=2.说明 (1)有两个角对应相等,那么这两个三角形相似,这是判断两个三角形相似最常用的方法,并且根据相等的角的位置,可以确定哪些边是对应边.(2)要说明线段的乘积式cd ab =,或平方式bca=2,一般都是证明比例式,b d c a =,或caa b =,再根据比例的基本性质推出乘积式或平方式.例12分析 由ABC ∆的三边长可以判断出ABC ∆为直角三角形,又因为ABC ∆∽C B A '''∆,所以C B A '''∆也是直角三角形,那么由C B A '''∆的最大边长为26,可以求出相似比,从而求出C B A '''∆的两条直角边长,再求得C B A '''∆的面积.解 设ABC ∆的三边依次为,13,12,5===AB AC BC ,则222AC BC AB +=Θ,∴︒=∠90C .又∵ABC ∆∽C B A '''∆,∴︒=∠='∠90C C .212613==''=''=''B A AB C A AC C B BC ,又12,5==AC BC ,∴24,10=''=''C A C B . ∴12010242121=⨯⨯=''⨯''=C B C A S . 例13.分析 判断方法是否可行,应考虑利用这种方法加之我们现有的知识能否求出旗杆的高.按这种测量方法,过F 作ABFG ⊥于G ,交CE 于H ,可知AGF ∆∽EHF ∆,且GF 、HF 、EH可求,这样可求得AG ,故旗杆AB 可求. 解 这种测量方法可行.理由如下:设旗杆高x AB =.过F 作AB FG ⊥于G ,交CE 于H (如图).所以AGF ∆∽EHF ∆.因为3,30327,5.1==+==HF GF FD ,所以5.1,25.15.3-==-=x AG EH .由AGF ∆∽EHF ∆,得HF GF EH AG =,即33025.1=-x ,所以205.1=-x ,解得5.21=x (米)所以旗杆的高为21.5米.说明 在具体测量时,方法要现实、切实可行. 例14. 解:︒=∠=∠∠=∠90,ECD ABC EDC ADB Θ,∴ABD ∆∽ECD ∆,1006050120,=⨯=⨯==CD EC BD AB CD BD EC AB (米),答:两岸间AB 大致相距100米.例15. 答案:1506=AB 米,30750=BD 步,(注意:AK FEFHKE AK CD DG KC ⋅=⋅=,.) 例16. 分析:要求BC 的长,需画图来解,因AB 、AC 都大于高AD ,那么有两种情况存在,即点D 在BC 上或点D 在BC 的延长线上,所以求BC 的长时要分两种情况讨论.求正方形的面积,关键是求正方形的边长. 解:(1)如上图,由AD ⊥BC ,由勾股定理得BD =3,DC =1,所以BC =BD +DC =3+1=4.如下图,同理可求BD =3,DC =1,所以BC =BD -CD =3-1=2.(2)如下图,由题目中的图知BC =4,且162)32(2222=+=+AC AB,162=BC ,∴222BC AC AB=+.所以△ABC 是直角三角形.由AE G F 是正方形,设G F =x ,则FC =2-x , ∵G F ∥AB ,∴ACFCAB GF =,即2232x x -=. ∴33-=x ,∴3612)33(2-=-=AEGF S 正方形.如下图,当BC =2,AC =2,△ABC 是等腰三角形,作CP ⊥AB 于P ,∴AP =321=AB ,在Rt △APC 中,由勾股定理得CP =1,∵GH ∥AB ,∴△C GH ∽△CBA ,∵xxx -=132,32132+=x ∴121348156)32132(2-=+=GFEH S 正方形因此,正方形的面积为3612-或121348156-.。

初中相似三角形经典习题(附答案)

初中相似三角形经典习题(附答案)

一.解答题(共30小题)1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.考点:相似三角形的判定;平行线的性质。

分析:根据平行线的性质可知∠AED=∠C,∠A=∠FEC,根据相似三角形的判定定理可知△ADE∽△EFC.解答:证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.点评:本题考查的是平行线的性质及相似三角形的判定定理.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.(1)求证:△CDF∽△BGF;(2)当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,若AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.考点:相似三角形的判定;三角形中位线定理;梯形。

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分析:(1)利用平行线的性质可证明△CDF∽△BGF.(2)根据点F是BC的中点这一条件,可得△CDF≌△BGF,则CD=BG,只要求出BG的长即可解题.解答:(1)证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,(2分)∴△CDF∽△BGF.(3分)(2)解:由(1)△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,(6分)∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.(8分)点评:本题主要考查了相似三角形的判定定理及性质,全等三角形的判定及线段的等量代换,比较复杂.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.分析:由FD∥AB,FE∥AC,可知∠B=∠FDE,∠C=∠FED,根据三角形相似的判定定理可知:△ABC∽△FDE.解答:证明:∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE.点评:本题很简单,考查的是相似三角形的判定定理:(1)如果两个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似;(2)如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似;(3)如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,则这两个三角形相似.4.如图,已知E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.解答:证明:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,(2分)∴∠BAF=∠AED.(4分)∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠D.(5分)∴△ABF∽△EAD.(6分)点评:考查相似三角形的判定定理,关键是找准对应的角.5.已知:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.(1)求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;(2)在图①的基础上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出(1)中的两个结论是否仍然成立;(3)在(2)的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.考点:相似三角形的判定;全等三角形的判定;等腰三角形的判定;旋转的性质。

初中数学《相似三角形》压轴30题含解析

初中数学《相似三角形》压轴30题含解析

相似三角形(压轴必刷30题专项训练)一.填空题(共9小题)1(2020秋•虹口区校级月考)一张等腰三角形纸片,底边长为15cm ,底边上的高长22.5cm .现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是第6张.【分析】设第x 张为正方形,如图,△ADE ∽△ABC ,则DE BC =AM AN,从而计算出x 的值即可.【解答】解:如图,设第x 张为正方形,则DE =3(cm ),AM =(22.5-3x )(cm ),∵△ADE ∽△ABC ,∴DE BC =AM AN ,即315=22.5-3x 22.5,解得x =6.故答案为:6.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,等腰三角形的性质以及正方形的性质,注:相似三角形的对应边之比等于对应边上的高之比.2(2019秋•浦东新区校级月考)如图,在平行四边形ABCD 中,E 是边BC 上的点,AE 交BD 于点F ,如果BE BC=23,那么BF FD =23.【分析】由平行四边形的性质可证△BEF ∽△DAF ,再根据相似三角形的性质得BE :DA =BF :DF 即可解.【解答】解:ABCD 是平行四边形,∴BC ∥AD ,BC =AD∴△BEF ∽△DAF∴BE :DA =BF :DF∵BC =AD∴BF :DF =BE :BC =2:3.【点评】本题考查了平行四边形的性质及相似三角形的判定定理和性质.3(2017秋•虹口区校级月考)如图,直角三角形ABC 中,∠ACB =90°,AB =10,BC =6,在线段AB上取一点D ,作DF ⊥AB 交AC 于点F ,现将△ADF 沿DF 折叠,使点A 落在线段DB 上,对应点记为A 1;AD 的中点E 的对应点记为E 1,若△E 1FA 1∽△E 1BF ,则AD =165.【分析】利用勾股定理列式求出AC ,设AD =2x ,得到AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ,然后求出BE 1,再利用相似三角形对应边成比例列式求出DF ,然后利用勾股定理列式求出E 1F ,然后根据相似三角形对应边成比例列式求解得到x 的值,从而可得AD 的值.【解答】解:∵∠ACB =90°,AB =10,BC =6,∴AC =AB 2-BC 2=102-62=8,设AD =2x ,∵点E 为AD 的中点,将△ADF 沿DF 折叠,点A 对应点记为A 1,点E 的对应点为E 1,∴AE =DE =DE 1=A 1E 1=x ,∵DF ⊥AB ,∠ACB =90°,∠A =∠A ,∴△ABC ∽△AFD ,∴AD AC =DF BC ,即2x 8=DF 6,解得DF =32x ,在Rt △DE 1F 中,E 1F =DF 2+DE 12=3x 22+x 2=13x 2,又∵BE 1=AB -AE 1=10-3x ,△E 1FA 1∽△E 1BF ,∴E 1F A 1E 1=BE 1E 1F ,∴E 1F 2=A 1E 1•BE 1,即(13x 2)2=x (10-3x ),解得x =85,∴AD 的长为2×85=165.故答案为:165.【点评】本题考查了相似三角形的性质,主要利用了翻折变换的性质,勾股定理,相似三角形对应边成比例,综合题,熟记性质并准确识图是解题的关键.4(2021秋•普陀区校级月考)如图,在△ABC 中,4AB =5AC ,AD 为△ABC 的角平分线,点E 在BC 的延长线上,EF ⊥AD 于点F ,点G 在AF 上,FG =FD ,连接EG 交AC 于点H .若点H 是AC 的中点,则AG FD的值为43.【分析】解题关键是作出辅助线,如解答图所示:第1步:利用角平分线的性质,得到BD =54CD ;第2步:延长AC ,构造一对全等三角形△ABD ≌△AMD ;第3步:过点M 作MN ∥AD ,构造平行四边形DMNG .由MD =BD =KD =54CD ,得到等腰△DMK ;然后利用角之间关系证明DM ∥GN ,从而推出四边形DMNG 为平行四边形;第4步:由MN ∥AD ,列出比例式,求出AG FD的值.【解答】解:已知AD 为角平分线,则点D 到AB 、AC 的距离相等,设为h .∵BD CD =S △ABD S △ACD =12AB ⋅h 12AC ⋅h =AB AC =54,∴BD =54CD .如图,延长AC ,在AC 的延长线上截取AM =AB ,则有AC =4CM .连接DM .在△ABD 与△AMD 中,AB =AM ∠BAD =∠MAD AD =AD ∴△ABD ≌△AMD (SAS ),∴MD =BD =54CD .过点M 作MN ∥AD ,交EG 于点N ,交DE 于点K .∵MN ∥AD ,∴CK CD =CM AC =14,∴CK =14CD ,∴KD =54CD .∴MD =KD ,即△DMK 为等腰三角形,∴∠DMK =∠DKM .由题意,易知△EDG 为等腰三角形,且∠1=∠2;∵MN ∥AD ,∴∠3=∠4=∠1=∠2,又∵∠DKM =∠3(对顶角)∴∠DMK =∠1,∴DM ∥GN ,∴四边形DMNG 为平行四边形,∴MN =DG =2FD .∵点H 为AC 中点,AC =4CM ,∴AH MH=23.∵MN ∥AD ,∴AG MN =AH MH ,即AG 2FD =23,∴AG FD =43.故答案为:43.方法二:如图,有已知易证△DFE ≌△GFE ,故∠5=∠B +∠1=∠4=∠2+∠3,又∠1=∠2,所以∠3=∠B ,则可证△AGH ∽△ADB设AB =5a ,则AC =4a ,AH =2a ,所以AG /AD =AH /AB =2/5,而AD =AG +GD ,故GD /AD =3/5,所以AG :GD =2:3,F 是GD 的中点,所以AG :FD =4:3.【点评】本题是几何综合题,难度较大,正确作出辅助线是解题关键.在解题过程中,需要综合利用各种几何知识,例如相似、全等、平行四边形、等腰三角形、角平分线性质等,对考生能力要求较高.5(2022秋•普陀区校级月考)如图,点A 1,A 2,A 3,A 4在射线OA 上,点B 1,B 2,B 3在射线OB 上,且A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3,A 2B 1∥A 3B 2∥A 4B 3.若△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3的面积分别为1,4,则图中三个阴影三角形面积之和为10.5.【分析】已知△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3的面积分别为1,4,且两三角形相似,因此可得出A 2B 2:A 3B 3=1:2,由于△A 2B 2A 3与△B 2A 3B 3是等高不等底的三角形,所以面积之比即为底边之比,因此这两个三角形的面积比为1:2,根据△A 3B 2B 3的面积为4,可求出△A 2B 2A 3的面积,同理可求出△A 3B 3A 4和△A 1B 1A 2的面积.即可求出阴影部分的面积.【解答】解:△A 2B 1B 2,△A 3B 2B 3的面积分别为1,4,又∵A 2B 2∥A 3B 3,A 2B 1∥A 3B 2,∴∠OB 2A 2=∠OB 3A 3,∠A 2B 1B 2=∠A 3B 2B 3,∴△B 1B 2A 2∽△B 2B 3A 3,∴B 1B 2B 2B 3=12=A 2B 2A 3B 3,∴A 2A 3A 3A 4=12.∵S △A 2B 2A 3S △B 2A 3B3=12,△A 3B 2B 3的面积是4,∴△A 2B 2A 3的面积为=12×S △A 2B 2B 3=12×4=2(等高的三角形的面积的比等于底边的比).同理可得:△A 3B 3A 4的面积=2×S △A 3B 2B 3=2×4=8;△A 1B 1A 2的面积=12S △A 2B 1B 2=12×1=0.5.∴三个阴影面积之和=0.5+2+8=10.5.故答案为:10.5.【点评】本题的关键是利用平行线证明三角形相似,再根据已给的面积,求出相似比,从而求阴影部分的面积.6(2017秋•徐汇区校级月考)设△ABC 的面积为1,如图①,将边BC 、AC 分别2等分,BE 1、AD 1相交于点O ,△AOB 的面积记为S 1;如图②将边BC 、AC 分别3等分,BE 1、AD 1相交于点O ,△AOB 的面积记为S 2;⋯,依此类推,则S n 可表示为 12n +1 .(用含n 的代数式表示,其中n 为正整数)【分析】连接D 1E 1,设AD 1、BE 1交于点M ,先求出S △ABE 1=1n +1,再根据AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n 得出S △ABM :S △ABE 1=(n +1):(2n +1),最后根据S △ABM :1n +1=(n +1):(2n +1),即可求出S n .【解答】解:如图,连接D 1E 1,设AD 1、BE 1交于点M ,∵AE1:AC =1:(n +1),∴S △ABE 1:S △ABC =1:(n +1),∴S △ABE 1=1n +1,∵AB D 1E 1=BM ME 1=n +1n ,∴BM BE 1=n +12n +1,∴S △ABM :S △ABE 1=(n +1):(2n +1),∴S △ABM :1n +1=(n +1):(2n +1),∴S n =12n +1.故答案为:12n +1.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质,用到的知识点是相似三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、三角形的面积,关键是根据题意作出辅助线,得出相似三角形.7(2018秋•南岗区校级月考)已知菱形ABCD 的边长是6,点E 在直线AD 上,DE =3,连接BE 与对角线AC 相交于点M ,则MC AM的值是 2或23 .【分析】由菱形的性质易证两三角形相似,但是由于点E 的位置未定,需分类讨论.【解答】解:分两种情况:(1)点E 在线段AD 上时,△AEM ∽△CBM ,∴MC AM =BC AE=2;(2)点E在线段AD的延长线上时,△AME∽△CMB,∴MCAM =BCAE=23.【点评】本题考查了相似三角形的性质以及分类讨论的数学思想;其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键.注意:求相似比不仅要认准对应边,还需注意两个三角形的先后次序.8(2020秋•虹口区校级月考)如图,在△ABC中,∠ACB的内、外角平分线分别交BA及其延长线于点D、E,BC=2.5AC,则ABAD+ABAE=5.【分析】根据CD平分∠ACB,可得ABDA=BCAC,根据CE平分∠ACB的外角,可得DEAE=BCAC,进而可得结果.【解答】解:∵CD平分∠ACB,∴AB DA =BC AC,∴BD+DADA =BC+ACAC,∴AB DA =BC+ACAC,①∵CE平分∠ACB的外角,∴DE AE =BC AC,∴BE-AEAE =BC-ACAC,∴AB AE =BC-ACAC,②①+②得,AB AD +ABAE=BC+ACAC+BC-ACAC=2BCAC=2×2.5=5.故答案为:5.【点评】主要考查了相似三角形的判定及其性质的应用问题;解题的关键是灵活运用相似三角形的性质来分析、判断、推理或解答.9(2022秋•黄浦区校级月考)如图,在等腰△ABC中,AB=AC,点P在BA的延长线上,PA=1 4AB,点D在BC边上,PD=PC,则CDBC的值是 34 .【分析】过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ,根据等腰三角形判定与性质,平行线的性质可证PB =PE ,再证△PCE ≌△PDB ,可得BD =CE ,再利用平行线分线段成比例的PA AB=CE BC ,结合线段的等量关系以及比例的性质即可得出结论.【解答】解:如图,过点P 作PE ∥AC 交DC 延长线于点E ,∵AB =AC ,∴∠B =∠ACB ,∵AC ∥PE ,∴∠ACB =∠E ,∴∠B =∠E ,∴PB =PE ,∵PC =PD ,∴∠PDC =∠PCD ,∴∠BPD =∠EPC ,∴在△PCE 和△PDB 中,PC =PD ∠BPD =∠EPC PB =PE,∴△PCE ≌△PDB (SAS ),∴BD =CE ,∵AC ∥PE ,∴PA AB =CE BC ,∵PA =14AB ,∴CE BC =14,∴BD BC =14,∴CD BC =34.故答案为:34.【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质,平行线分线段成比例,以及全等三角形的判定,解决问题的关键是正确作出辅助线,列出比例式.二.解答题(共21小题)10(2017秋•虹口区校级月考)在△ABC 中,∠CAB =90°,AD ⊥BC 于点D ,点E 为AB 的中点,EC 与AD交于点G ,点F 在BC 上.(1)如图1,AC :AB =1:2,EF ⊥CB ,求证:EF =CD .(2)如图2,AC :AB =1:,EF ⊥CE ,求EF :EG 的值.【分析】(1)根据同角的余角相等得出∠CAD =∠B ,根据AC :AB =1:2及点E 为AB 的中点,得出AC =BE ,再利用AAS 证明△ACD ≌△BEF ,即可得出EF =CD ;(2)作EH ⊥AD 于H ,EQ ⊥BC 于Q ,先证明四边形EQDH 是矩形,得出∠QEH =90°,则∠FEQ =∠GEH ,再由两角对应相等的两三角形相似证明△EFQ ∽△EGH ,得出EF :EG =EQ :EH ,然后在△BEQ 中,根据正弦函数的定义得出EQ =12BE ,在△AEH 中,根据余弦函数的定义得出EH =32AE ,又BE =AE ,进而求出EF :EG 的值.【解答】(1)证明:如图1,在△ABC 中,∵∠CAB =90°,AD ⊥BC 于点D ,∴∠CAD =∠B =90°-∠ACB .∵AC :AB =1:2,∴AB =2AC ,∵点E 为AB 的中点,∴AB =2BE ,∴AC =BE .在△ACD 与△BEF 中,∠CAD =∠B ∠ADC =∠BFE =90°AC =BE,∴△ACD ≌△BEF ,∴CD =EF ,即EF =CD ;(2)解:如图2,作EH ⊥AD 于H ,EQ ⊥BC 于Q ,∵EH ⊥AD ,EQ ⊥BC ,AD ⊥BC ,∴四边形EQDH 是矩形,∴∠QEH =90°,∴∠FEQ =∠GEH =90°-∠QEG ,又∵∠EQF =∠EHG =90°,∴△EFQ ∽△EGH ,∴EF :EG =EQ :EH .∵AC :AB =1:3,∠CAB =90°,∴∠B =30°.在△BEQ 中,∵∠BQE =90°,∴sin B =EQ BE =12,∴EQ =12BE .在△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,∴cos∠AEH=EHAE =32,∴EH=32AE.∵点E为AB的中点,∴BE=AE,∴EF:EG=EQ:EH=12BE:32AE=1:3=3:3=33.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质,解直角三角形,综合性较强,有一定难度.解题的关键是作辅助线,构造相似三角形,并且证明四边形EQDH是矩形.11(2021秋•杨浦区校级月考)如图,已知在菱形ABCD,点E是AB的中点,AF⊥BC于点F,连接EF、ED、DF,DE交AF于点G,且DE⊥EF.(1)求证:AE2=EG•ED;(2)求证:BC2=2DF•BF.【分析】(1)根据直角三角形的性质得到AE=FE,根据菱形的性质得到AD∥BC,求得∠DAG=∠AFB =90°,然后证明△AEG∽△DEA,即可得到结论;(2)由AE=EF,AE2=EG•ED,得到FE2=EG•ED,推出△FEG∽△DEF,根据相似三角形的性质得到∠EFG=∠EDF,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【解答】证明:(1)∵AF⊥BC于点F,∴∠AFB=90°,∵点E是AB的中点,∴AE=FE,∴∠EAF=∠AFE,∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,∴∠DAG=∠AFB=90°,∵DE⊥EF,∴∠FEG=90°,∴∠DAG=∠FEG,∵∠AGD=∠FGE,∴∠EFG=∠ADG,∴∠EAG=∠ADG,∵∠AEG=∠DEA,∴△AEG∽△DEA,∴AE DE =EG AE,∴AE2=EG•ED;(2)∵AE=EF,AE2=EG•ED,∴FE2=EG•ED,∴EF DE =EGEF,∵∠FEG=∠DEF,∴△FEG∽△DEF,∴∠EFG=∠EDF,∴∠BAF=∠EDF,∵∠DEF=∠AFB=90°,∴△ABF∽△DFE,∴AB DF =BF EF,∵四边形ACBD是菱形,∴AB=BC,∵∠AFB=90°,∵点E是AB的中点,∴FE=12AB=12BC,∴BC DF =BF12BC,∴BC2=2DF•BF.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,菱形的性质,直角三角形的性质,正确的识别图形是解题的关键.12(2021秋•杨浦区校级月考)如图,已知在平行四边形ABCD中,AE:ED=1:2,点F为DC的中点,连接BE、AF,BE与AF交于点H.(1)求EH:BH的值;(2)若△AEH的面积为1,求平行四边形ABCD的面积.【分析】(1)延长AF,BC交于点G,证明△ADF≌△GCF(AAS),可得AD=CG=BC,所以BG=2BC,根据AE:ED=1:2,可得AE:AD=1:3,AE:BG=1:6,,证明△AEH∽△GBH,即可解决问题;(2)在△AEH中,设AE=x,AE边上的高为h,△BGH中,BG边上的高为h′,可得平行四边形ABCD的高为h+h′,BC=3x,根据△AEH的面积为1,可得x•h=2,所以h′=6h,进而可以求平行四边形ABCD 的面积.【解答】解:(1)如图,延长AF,BC交于点G,∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD ∥BC ,AD =BC ,∴∠D =∠DCG ,∠DAF =∠G ,∵点F 为DC 的中点,∴DF =CF ,在△ADF 和△GCF 中,∠D =∠FCG ∠DAF =∠G DF =CF,∴△ADF ≌△GCF (AAS ),∴AD =CG ,∴AD =CG =BC ,∴BG =2BC ,∵AE :ED =1:2,∴AE :AD =1:3,∴AE :BG =1:6,∵AD ∥BC ,∴△AEH ∽△GBH ,∴EH :BH =AE :BG =1:6;(2)在△AEH 中,设AE =x ,AE 边上的高为h ,△BGH 中,BG 边上的高为h ′,∴平行四边形ABCD 的高为h +h ′,BC =3x ,∵△AEH 的面积为1,∴12x •h =1,∴x •h =2∵△AEH ∽△GBH ,∴h :h ′=1:6,∴h ′=6h ,∴h +h ′=7h ,∴平行四边形ABCD 的面积=BC •(h +h ′)=3x •7h =21xh =42.【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质,平行线分线段成比例等知识,添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键.13(2021春•徐汇区校级月考)如图,在菱形ABCD 中,点E 在对角线AC 上,点F 在BC 的延长线上,EF =EB ,EF 与CD 相交于点G ;(1)求证:EG •GF=CG •GD ;(2)联结DF ,如果EF ⊥CD ,那么∠FDC 与∠ADC 之间有怎样的数量关系?证明你的结论.【分析】(1)先证明△BCE ≌△DCE ,得∠EDC =∠EBC ;利用此条件再证明∠DGE ∽△FGC ,即可得到EG •GF =CG •GD.(2)利用第(1)题的结论,可证明△DGE ∽△FGC ,再利用三角形内角外角关系,即可得到∠ADC 与∠FDC 的关系.【解答】解:(1)证明:∵点E 在菱形ABCD 的对角线AC 上,∴∠ECB =∠ECD ,∵BC =CD ,CE =CE ,∴△BCE ≌△DCE ,∴∠EDC =∠EBC ,∵EB =EF ,∴∠EBC =∠EFC ;∴∠EDC =∠EFC ;∵∠DGE =∠FGC ,∴△DGE ∽△FGC ;∴EGCG =GD FG∴EG •GF =CG •GD ;(2)∠ADC =2∠FDC .证明:∵EG CG =GD FG ,∴EG DG =CG FG,又∵∠DGF =∠EGC ,∴△CGE ∽△FGD ,∵EF ⊥CD ,DA =DC ,∴∠DAC =∠DCA =∠DFG =90°-∠FDC ,∴∠ADC =180°-2∠DAC =180°-2(90°-∠FDC )=2∠FDC .【点评】本题主要考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质、菱形的性质等知识点的综合应用,解题时注意:相似三角形的对应角相等,对应边成比例.在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用.14(2021秋•宝山区校级月考)如图,四边形DEFG 是△ABC 的内接正方形,AB =BC =6cm ,∠B =45°,则正方形DEFG 的面积为多少?【分析】过A 作AH ⊥BC 于H ,交GF 于M ,于是得到△ABH 是等腰直角三角形,求得AH =BH =2222AB =32cm ,由△AGF ∽△ABC ,得到GF BC =AM AH,求得GF =(62-6)cm ,即可得到结论.【解答】解:过A 作AH ⊥BC 于H ,交GF 于M ,∵∠B =45°,∴AH =BH =22AB =32cm ,∵GF ∥BC ,∴△AGF ∽△ABC ,∴GF BC =AM AH,即GF 6=32-GF 32,∴GF =(62-6)cm ,∴正方形DEFG 的面积=GF 2=(62-6)2=(108-722)cm .【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,正方形的四条边都相等的性质,利用相似的性质:对应边的比值相等求出正方形的边长是解答本题的关键.15(2021秋•松江区月考)如图,在平行四边形ABCD 中,点E 为边BC 上一点,联结AE 并延长AE 交DC 的延长线于点M ,交BD 于点G ,过点G 作GF ∥BC 交DC 于点F .求证:DF FC =DM CD.【分析】由GF ∥BC ,根据平行线分线段成比例定理,可得DF FC,又由四边形ABCD 是平行四边形,可得AB =CD ,AB ∥CD ,继而可证得DM AB =DG BG ,则可证得结论.【解答】证明:∵GF ∥BC ,∴DF FC =DG BG,∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AB =CD ,AB ∥CD ,∴DM AB =DG BG ,∴DF FC =DM CD.【点评】此题考查了平行分线段成比例定理以及平行四边形的性质,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.16(2021秋•松江区月考)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB 于D ,E 是AC 的中点,DE 的延长线与BC 的延长线交于点F .(1)求证:FD FC =BD DC ;(2)若BC FC =54,求BD DC的值.【分析】(1)根据直角三角形斜边上中线性质求出DE =EC ,推出∠EDC =∠ECD ,求出∠FDC =∠B ,根据∠F =∠F 证△FBD ∽△FDC ,即可;(2)根据已知和三角形面积公式得出S △BDC S △FDC =54,S △BDF S △FDC =94,根据相似三角形面积比等于相似比的平方得出S △BDFS △FDC =BD DC 2=94,即可求出BD DC.【解答】(1)证明:∵CD ⊥AB ,∴∠ADC =90°,∵E 是AC 的中点,∴DE =EC ,∴∠EDC =∠ECD ,∵∠ACB =90°,∠BDC =90°∴∠ECD +∠DCB =90°,∠DCB +∠B =90°,∴∠ECD =∠B ,∴∠FDC =∠B ,∵∠F =∠F ,∴△FBD ∽△FDC ,∴FD FC =BD DC(2)解:∵BC FC =54,∴S △BDCS △FDC =54,∴S △BDFS △FDC =94,∵△FBD ∽△FDC ,∴S △BDF S △FDC =BD DC2=94,∴BD DC=32.【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定,三角形的面积,注意:相似数据线的面积比等于相似比的平方,题目比较好,有一定的难度.17(2021春•黄浦区校级月考)如图,四边形ABCD 是矩形,E 是对角线AC 上的一点,EB =ED 且∠ABE =∠ADE .(1)求证:四边形ABCD 是正方形;(2)延长DE 交BC 于点F ,交AB 的延长线于点G ,求证:EF •AG =BC •BE .【分析】(1)根据邻边相等的矩形是正方形即可证明;(2)由AD ∥BC ,推出EF DE =EC EA ,同理DC AG =EC EA,由DE =BE ,四边形ABCD 是正方形,推出BC =DC,可得EFBE =BCAG解决问题;【解答】(1)证明:连接BD.∵EB=ED,∴∠EBD=∠EDB,∵∠ABE=∠ADE,∴∠ABD=∠ADB,∴AB=AD,∵四边形ABCD是矩形,∴四边形ABCD是正方形.(2)证明:∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC,∴EF DE =EC EA,同理DCAG=ECEA,∵DE=BE,四边形ABCD是正方形,∴BC=DC,∴EF BE =BC AG,∴EF•AG=BC•BE.【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、矩形的性质、正方形的性质和判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.18(2021秋•浦东新区校级月考)如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥CD,求证:AD2=AF•AB.【分析】由DE∥BC,EF∥CD,可得△ADE∽△ABC,△AFE∽△ADC,然后由相似三角形的对应边成比例,证得结论.【解答】证明:∵DE∥BC,EF∥CD,∴△ADE∽△ABC,△AFE∽△ADC,∴AD:AB=AE:AC,AF:AD=AE:AC,∴AD:AB=AF:AD,∴AD2=AF•AB.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质.注意掌握相似三角形的对应边成比例.19(2020秋•浦东新区月考)在△ABC中,D是BC的中点,且AD=AC,DE⊥BC,与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)求证:△ABC∽△FCD;(2)若DE=3,BC=8,求△FCD的面积.【分析】(1)由DE⊥BC,D是BC的中点,根据线段垂直平分线的性质,可得BE=CE,又由AD=AC,易得∠B=∠DCF,∠FDC=∠ACB,即可证得△ABC∽△FCD;(2)首先过A作AG⊥CD,垂足为G,易得△BDE∽△BGA,可求得AG的长,继而求得△ABC的面积,然后由相似三角形面积比等于相似比的平方,求得△FCD的面积.【解答】(1)证明:∵D是BC的中点,DE⊥BC,∴BE=CE,∴∠B=∠DCF,∵AD=AC,∴∠FDC=∠ACB,∴△ABC∽△FCD;(2)解:过A作AG⊥CD,垂足为G.∵AD=AC,∴DG=CG,∴BD:BG=2:3,∵ED⊥BC,∴ED∥AG,∴△BDE∽△BGA,∴ED:AG=BD:BG=2:3,∵DE=3,∴AG=92,∵△ABC∽△FCD,BC=2CD,∴S△FCDS△ABC=(CDBC)2=14.∵S△ABC=12×BC×AG=12×8×92=18,∴S△FCD=14S△ABC=92.【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质.此题难度适中,注意掌握辅助线的作法,注意掌握数形结合思想的应用.20(2021春•静安区校级月考)已知:如图,在菱形ABCD中,点E在边BC上,点F在BA的延长线上,BE=AF,CF∥AE,CF与边AD相交于点G.求证:(1)FD=CG;(2)CG2=FG•FC.【分析】(1)根据菱形的性质得到∠FAD =∠B ,根据全等三角形的性质得到FD =EA ,于是得到结论;(2)根据菱形的性质得到∠DCF =∠BFC ,根据平行线的性质得到∠BAE =∠BFC ,根据全等三角形的性质得到∠BAE =∠FDA ,等量代换得到∠DCF =∠FDA ,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论.【解答】证明:(1)∵在菱形ABCD 中,AD ∥BC ,∴∠FAD =∠B ,在△ADF 与△BAE 中,AF =BE ∠FAD =∠B AD =BA,∴△ADF ≌△BAE ,∴FD =EA ,∵CF ∥AE ,AG ∥CE ,∴EA =CG ,∴FD =CG ;(2)∵在菱形ABCD 中,CD ∥AB ,∴∠DCF =∠BFC ,∵CF ∥AE ,∴∠BAE =∠BFC ,∴∠DCF =∠BAE ,∵△ADF ≌△BAE ,∴∠BAE =∠FDA ,∴∠DCF =∠FDA ,又∵∠DFG =∠CFD ,∴△FDG ∽△FCD ,∴FD FC=FG FD ,FD 2=FG •FC ,∵FD =CG ,∴CG 2=FG •FC .【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,菱形的性质,熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键.21(2021秋•浦东新区校级月考)如图,梯形ABCD 中,AD ∥BC ,BC =2AD ,点E 为边DC 的中点,BE 交AC 于点F .求:(1)AF :FC 的值;(2)EF :BF 的值.【分析】(1)延长BE 交直线AD 于H ,如图,先由AD ∥BC 得到△DEH ∽△CEB ,则有DH BC =DE CE,易得DH =BC ,加上BC =2AD ,所以AH =3AD ,然后证明△AHF ∽△CFB ,再利用相似比可计算出AF :FC 的值;(2)由△DEH ∽△CEB 得到EH :BE =DE :CE =1:1,则BE =EH =12BH ,由△AHF ∽△CFB 得到FH :BF =AF :FC =3:2;于是可设BF =2a ,则FH =3a ,BH =BF +FH =5a ,EH =52a ,接着可计算出EF =FH -EH =12a ,然后计算EF :BF 的值.【解答】解:(1)延长BE 交直线AD 于H ,如图,∵AD ∥BC ,∴△DEH ∽△CEB ,∴DH BC =DE CE,∵点E 为边DC 的中点,∴DE =CE ,∴DH =BC ,而BC =2AD ,∴AH =3AD ,∵AH ∥BC ,∴△AHF ∽△CFB ,∴AF :FC =AH :BC =3:2;(2)∵△DEH ∽△CEB ,∴EH :BE =DE :CE =1:1,∴BE =EH =12BH ,∵△AHF ∽△CFB ,∴FH :BF =AF :FC =3:2;设BF =2a ,则FH =3a ,BH =BF +FH =5a ,∴EH =52a ,∴EF =FH -EH =3a -52a =12a ,∴EF :BF =12a :2a =1:4.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;在运用相似三角形的性质时,主要通过相似比得到线段之间的关系.22(2021秋•浦东新区校级月考)已知:如图,在△ABC 中,BD 是∠ABC 的平分线,过点D 作DE ∥CB ,交AB 于点E ,AD DC =13,DE =6.(1)求AB 的长;(2)求S △ADE S △BCD.【分析】(1)由∠ABD =∠CBD ,DE ∥BC 可推得∠EDB =∠CBD ,进而推出∠ABD =∠EDB ,由此可得BE =DE =6,由DE ∥BC 可得AE EB =AD DC=13,进而证得AE =2,于是可得结论;(2)△ADE 看成以DE 为底,高为h 1,△BCD 看成以BC 为底,高为h 2,由平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质可得h 1h 2=AD DE =13,DE BC =14,进而证得结论.【解答】解:(1)BD 平∠ABC ,∴∠ABD =∠CBD ,∵DE ∥BC ,∴∠EDB =∠CBD ,∴∠ABD =∠EDB ,∴BE =DE =6,∵DE ∥BC ,∴AE EB =AD DC =13,∴AE 6=13,∴AE =2,∴AB =AE +BE =8;(2)△ADE 看成以DE 为底,高为h 1,△BCD 看成以BC 为底,高为h 2,∵DE ∥CB ,∴△AED ∽△ABC ,∴h 1h 2=AD DE =13,DE BC =14,∴S △ADE S △BCD =12DE ⋅h 112BC ⋅h 2=112.【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质,三角形的面积等知识,熟练应用平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解决问题的关键.23(2022春•长宁区校级月考)已知:如图,在平行四边形ABCD 中,AC 、DB 交于点E ,点F 在BC 的延长线上,联结EF 、DF ,且∠DEF =∠ADC .(1)求证:EFBF =AB DB;(2)如果BD 2=2AD •DF ,求证:平行四边形ABCD 是矩形.【分析】(1)由已知条件和平行四边形的性质易证△ADB ∽△EBF ,再由相似三角形的性质:对应边的比值相等即可证明:EF BF =AB DB;(2)由(1)可得BD 2=2AD •BF ,又因为BD 2=2AD •DF ,所以可证明BF =DF ,再由等腰三角形的性质可得∠DEF =90°,所以∠ADC =∠DEF =90°,进而可证明平行四边形ABCD 是矩形.【解答】解:(1)证明:∵平行四边形ABCD ,∴AD ∥BC ,AB ∥DC∴∠BAD +∠ADC =180°,又∵∠BEF +∠DEF =180°,∴∠BAD +∠ADC =∠BEF +∠DEF ,∵∠DEF =∠ADC ,∴∠BAD =∠BEF ,∵AD ∥BC ,∴∠EBF =∠ADB ,∴△ADB ∽△EBF ,∴EF BF =AB DB;(2)∵△ADB ∽△EBF ,∴AD BD =BE BF,在平行四边形ABCD 中,BE =ED =12BD ,∴AD •BF =BD •BE =12BD 2,∴BD 2=2AD •BF ,又∵BD 2=2AD •DF ,∴BF =DF ,∴△DBF 是等腰三角形,∵BE =DE ,∴FE ⊥BD ,即∠DEF =90°,∴∠ADC =∠DEF =90°,∴平行四边形ABCD 是矩形.【点评】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判断和性质以及矩形的判断,其中(2)小题证明△DBF 是等腰三角形是解题的关键.24(2021秋•宝山区校级月考)已知,如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,BC=6,点P是射线AD上的点,BP交AC于点E,∠CBP的角平分线交AC于点F,且CF=13AC时.求AP+BP的值.【分析】延长BF交射线AP于M,根据AD∥BC,根据两直线平行,内错角相等可得∠M=∠CBM,再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM,从而得到∠M=∠PBM,根据等角对等边可得BP=PM,求出AP+BP=AM,再根据AC=13CF求出AE=2CF,然后根据△MAF和△BCF相似,利用相似三角形对应边成比例列式求解即可.【解答】解:如图,延长BF交射线AP于M,∵AD∥BC,∴∠M=∠CBM,∵BF是∠CBP的平分线,∴∠PBM=∠CBM,∴∠M=∠PBM,∴BP=PM,∴AP+BP=AP+PM=AM,∵CF=13AC,则AF=2CF,由AD∥BC得,△MAF∽△BCF,∴AMBC =AFCF=2,∴AM=2BC=2×6=12,即AP+BP=12.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质,角平分线的定义,平行线的性质,延长BF构造出相似三角形,求出AP+BP=AM并得到相似三角形是解题的关键,也是本题的难点.25(2020秋•虹口区校级月考)已知:如图,已知△ABC与△ADE均为等腰三角形,BA=BC,DA= DE.如果点D在BC边上,且∠EDC=∠BAD.点O为AC与DE的交点.(1)求证:△ABC∽△ADE;(2)求证:DA•OC=OD•CE.【分析】(1)根据三角形的外角的性质和角的和差得到∠B=∠ADE,由于BABC=DADE=1,根据得到结论;(2)根据相似三角形的性质得到∠BAC=∠DAE,于是得到∠BAD=∠CAE=∠CDE,证得△COD∽△EOA,根据相似三角形的性质得到OCOE =ODOA,由∠AOD=∠COE,推出△AOD∽△COE,根据相似三角形的性质即可得到结论.【解答】证明:(1)∵∠ADC =∠ABC +∠BAD =∠ADE +∠EDC ,∴∠B =∠ADE ,∵BA BC=DA DE =1,∴△ABC ∽△ADE ;(2)∵△ABC ∽△ADE ,∴∠BAC =∠DAE ,∴∠BAD =∠CAE =∠CDE ,∵∠COD =∠EOA ,∴△COD ∽△EOA ,∴OC OE =OD OA,∵∠AOD =∠COE ,∴△AOD ∽△EOC ,∴DA :CE =OD :OC ,即DA •OC =OD •CE .【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,三角形的外角的性质,熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键.26(2021秋•金山区校级月考)已知:如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,点E 在边AD 上,CE 与BD 相交于点F ,AD =4,AB =5,BC =BD =6,DE =3.(1)求证:△DFE ∽△DAB ;(2)求线段CF 的长.【分析】(1)AD ∥BC ,DE =3,BC =6,DF FB =DE BC=36=12,DF DA =DE DB .又∠EDF =∠BDA ,即可证明△DFE ∽△DAB .(2)由△DFE ∽△DAB ,利用对应边成比例,将已知数值代入即可求得答案.【解答】证明:(1)∵AD ∥BC ,DE =3,BC =6,∴DF FB =DE BC =36=12,∴DF BD =12,∵BD =6,∴DF =2.∵DA =4,∴DF DA =24=12,DE DB =36=12.∴DF DA=DE DB .又∵∠EDF =∠BDA ,∴△DFE ∽△DAB .(2)∵△DFE ∽△DAB ,∴EF AB =DE DB .∵AB =5,∴EF 5=36,∴EF =52=2.5.∵DE ∥BC ,∴CFEF =BC DE .∴CF 2.5=63,∴CF =5.(或利用△CFB ≌△BAD ).【点评】此题考查学生对梯形和相似三角形的判定与性质的理解和掌握,第(2)问也可利用△CFB ≌△BAD 求得线段CF 的长,不管学生用了哪种方法,只要是正确的,就要积极地给予表扬,以此激发学生的学习兴趣.27(2020秋•宝山区月考)如图,正方形DEFG 的边EF 在△ABC 的边BC 上,顶点D 、G 分别在边AB 、AC 上,已知△ABC 的边BC =15,高AH =10,求正方形DEFG 的边长和面积.【分析】高AH 交DG 于M ,如图,设正方形DEFG 的边长为x ,则DE =MH =x ,所以AM =10-x ,再证明△ADG ∽△ABC ,则利用相似比得到x 15=10-x 10,然后根据比例的性质求出x ,再计算x 2的值即可.【解答】解:高AH 交DG 于M ,如图,设正方形DEFG 的边长为x ,则DE =MH =x ,∴AM =AH -MH =10-x ,∵DG ∥BC ,∴△ADG ∽△ABC ,∴DG BC =AM AH,即x 15=10-x 10,∴x =6,∴x 2=36.答:正方形DEFG 的边长和面积分别为6,36.【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质:在判定两个三角形相似时,应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件,以充分发挥基本图形的作用,寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形;也考查了正方形的性质.28(2021秋•闵行区校级月考)如图,在Rt △ABC 中,∠ACB =90°,CD ⊥AB ,M 是CD 上的点,DH ⊥BM 于H ,DH 的延长线交AC 的延长线于E .求证:(1)△AED ∽△CBM ;(2)AE •CM =AC •CD .【分析】(1)由于△ABC 是直角三角形,易得∠A +∠ABC =90°,而CD ⊥AB ,易得∠MCB +∠ABC =90°,利用同角的余角相等可得∠A =∠MCB ,同理可证∠1=∠2,而∠ADE =90°+∠1,∠CMB =90°+∠2,易证∠ADE =∠CMB ,从而易证△AED ∽△CBM ;(2)由(1)知△AED ∽△CBM ,那么AE :AD =CB :CM ,于是AE •CM =AD •CB ,再根据△ABC 是直角三角形,CD 是AB 上的高,易知△ACD ∽△CBD ,易得AC •CD =AD •CB ,等量代换可证AE •CM =AC •CD .【解答】证明:(1)∵△ABC 是直角三角形,∴∠A +∠ABC =90°,∵CD ⊥AB ,∴∠CDB =90°,即∠MCB +∠ABC =90°,∴∠A =∠MCB ,∵CD ⊥AB ,∴∠2+∠DMB =90°,∵DH ⊥BM ,∴∠1+∠DMB =90°,∴∠1=∠2,又∵∠ADE =90°+∠1,∠CMB =90°+∠2,∴∠ADE =∠CMB ,∴△AED ∽△CBM ;(2)∵△AED ∽△CBM ,∴AE BC =AD CM,∴AE •CM =AD •CB ,∵△ABC 是直角三角形,CD 是AB 上的高,∴△ACD ∽△CBD ,∴AC :AD =CB :CD ,∴AC •CD =AD •CB ,∴AE •CM =AC •CD .【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的高所分成的两个三角形与这个直角三角形相似.解题的关键是证明∠A =∠MCB 以及∠ADE =∠CMB .29(2022秋•徐汇区校级月考)如图,在直角坐标平面内有点A (6,0),B (0,8),C (-4,0),点M 、N 分别为线段AC 和射线AB 上的动点,点M 以2个单位长度/秒的速度自C 向A 方向做匀速运动,点N 以5个单位长度/秒的速度自A 向B 方向做匀速运动,MN 交OB 于点P .(1)求证:MN :NP 为定值;(2)若△BNP 与△MNA 相似,求CM 的长;(3)若△BNP 是等腰三角形,求CM 的长.【分析】(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ,然后分两种情况进行讨论,综合两种情况,求得MN :NP 为定值53.(2)当△BNP 与△MNA 相似时,当点M 在CO 上时,只可能是∠MNB =∠MNA =90°,所以△BNP ∽△MNA ∽△BOA ,所以AM AN =AB AO ,所以10-2k 5k =106,k =3031,即CM =6031;当点M 在OA 上时,只可能是∠NBP =∠NMA ,所以∠PBA =∠PMO ,根据题意可以判定不成立,所以CM =6031.(3)由于等腰三角形的特殊性质,应分三种情况进行讨论,即BP =BN ,PB =PN ,NB =NP 三种情况进行讨论.【解答】证明:(1)过点N 作NH ⊥x 轴于点H ,设AN =5k ,得:AH =3k ,CM =2k ,①当点M 在CO 上时,点N 在线段AB 上时:∴OH =6-3k ,OM =4-2k ,∴MH =10-5k ,∵PO ∥NH ,∴MN NP =MH OH=10-5k 6-3k =53,②当点M 在OA 上时,点N 在线段AB 的延长线上时:∴OH =3k -6,OM =2k -4,∴MH =5k -10,∵PO ∥NH ,∴MN NP =MH OH=5k -103k -6=53;解:(2)当△BNP 与△MNA 相似时:①当点M 在CO 上时,只可能是∠MNB =∠MNA =90°,∴△BNP ∽△MNA ∽△BOA ,∴AMAN =AB AO,。

相似三角形判定典型例题

相似三角形判定典型例题

A
A. 6.3米 B. 7.5米 C. 8米 D. 6.5 米
D
30
20
B 30 C
E
1.6
F
变式:如图,建筑物DC,水塔AB的 高分别是20米和30米,它们之间 的距离为30米,小明的身高为1.6
米之O间,要的想距看离到至水少塔应,小为明( 与C建筑) 物
A. 60米 B. 56米 C. 55.2米 D. 54米
∠1+∠2+∠3=90°.
8. 在方格纸中,每个小格的顶点称为 格点,以格点的连线为边的三角形称为格 点三角形,如图所示的5×5的方格纸中,如 果想作格点ΔABC与ΔOAB相似(相似比不 能为1),则C点坐标为____________.
y
B
OA
x
y
25
B
5
25
25
O 1A
C2(4,4) C1(5,2) x
得三角形与原三角形相似,这样的直线最多
能画出多少条 A
A
D
E
D
E
B
CB
C
4. 在△ABC中,AB>AC,过AB上
一点D作直线DE (不与AB重合),
交另一边于E,使所得三角形与原三
角形相似,这样的直线最多能画出
多少条画出满足条件的图形.
A
A
A
A
D
ED
B
CB
D
E CB E
D
CB
EC
5.如图,D是△ABC的AB边上的一点,已 知AB=12,AC=15,AD=32 AB,在AC上取 一点E,使△ADE与△ABC相似,求AE的长
∴ 6 14 x
4x
∴x=5.6

经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

经典相似三角形练习的题目(附参考答案详解)

相似三角形一.解答题〔共30小题〕1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F 在BC 上,连DF 与AB 的延长线交于点G .〔1〕求证:△CDF∽△BGF;〔2〕当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,假如AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.4.如图,E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.5.:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D 在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.〔1〕求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;〔2〕在图①的根底上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立;〔3〕在〔2〕的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.〔1〕填空:∠ABC= _________ °,BC= _________ ;〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.8.如图,矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:〔1〕经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?〔2〕是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?假如存在,求t 的值;假如不存在,请说明理由.9.如图,在梯形ABCD中,假如AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;〔注意:全等看成相似的特例〕〔2〕请你任选一组相似三角形,并给出证明.10.如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E ,连接AE .〔1〕写出图中所有相等的线段,并加以证明;〔2〕图中有无相似三角形?假如有,请写出一对;假如没有,请说明理由;〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P,交AB于Q.〔1〕求四边形AQMP的周长;〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕;〔3〕M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.12.:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM ∽△MCP.13.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.〔1〕求梯形ABCD的面积S;〔2〕动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC 于点E.假如P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之完毕,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?假如存在,请求出t的值;假如不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?假如存在,请求出所有符合条件的t的值;假如不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?假如存在,请求出所有符合条件的t的值;假如不存在,请说明理由.14.矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.假如P 自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.17.,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N 〔不含A、B〕,使得△CDM与△MAN相似?假如能,请给出证明,假如不能,请说明理由.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q 从B 出发,沿BC 方向以2cm/s 的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.假如Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?19.如下列图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.〔1〕如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△E;〔2〕如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除〔1〕中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t〔秒〕表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯〔P点〕距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达,顶部不易到达〕,他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.〔1〕所需的测量工具是:_________ ;〔2〕请在如下图中画出测量示意图;〔3〕设树高AB的长度为x,请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x.24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进展了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯〔灯罩视为球体,灯杆为圆柱体其粗细忽略不计〕的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:〔1〕请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;〔2〕如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.〔友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602〕25.阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下列图〕,亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.26.如图,李华晚上在路灯下散步.李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.〔1〕假如李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;〔2〕假如李华在两路灯之间行走,如此他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC 〕是否是定值请说明理由;〔3〕假如李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,如此不难证明S1=S2+S3.〔1〕如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;〔不必证明〕〔2〕如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;〔3〕假如分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与〔2〕一样的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;〔4〕类比〔1〕,〔2〕,〔3〕的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.28.:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.29.:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,假如AB=3,AC=4.〔1〕求BD、CD的长;〔2〕过B作BE⊥DC于E,求BE的长.30.〔1〕,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;〔2〕:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.一.解答题〔共30小题〕1.如图,在△ABC中,DE∥BC,EF∥AB,求证:△ADE∽△EFC.解答:证明:∵DE∥BC,∴DE∥FC,∴∠AED=∠C.又∵EF∥AB,∴EF∥AD,∴∠A=∠FEC.∴△ADE∽△EFC.点评:此题考查的是平行线的性质与相似三角形的判定定理.2.如图,梯形ABCD中,AB∥CD,点F在BC上,连DF与AB的延长线交于点G.〔1〕求证:△CDF∽△BGF;〔2〕当点F是BC的中点时,过F作EF∥CD交AD于点E,假如AB=6cm,EF=4cm,求CD的长.解答:〔1〕证明:∵梯形ABCD,AB∥CD,∴∠CDF=∠FGB,∠DCF=∠GBF,〔2分〕∴△CDF∽△BGF.〔3分〕〔2〕解:由〔1〕△CDF∽△BGF,又F是BC的中点,BF=FC,∴△CDF≌△BGF,∴DF=GF,CD=BG,〔6分〕∵AB∥DC∥EF,F为BC中点,∴E为AD中点,∴EF是△DAG的中位线,∴2EF=AG=AB+BG.∴BG=2EF﹣AB=2×4﹣6=2,∴CD=BG=2cm.〔8分〕3.如图,点D,E在BC上,且FD∥AB,FE∥AC.求证:△ABC∽△FDE.解答:证明:∵FD∥AB,FE∥AC,∴∠B=∠FDE,∠C=∠FED,∴△ABC∽△FDE.4.如图,E是矩形ABCD的边CD上一点,BF⊥AE于F,试说明:△ABF∽△EAD.解答:证明:∵矩形ABCD中,AB∥CD,∠D=90°,〔2分〕∴∠BAF=∠AED.〔4分〕∵BF⊥AE,∴∠AFB=90°.∴∠AFB=∠D.〔5分〕∴△ABF∽△EAD.〔6分〕点评:考查相似三角形的判定定理,关键是找准对应的角.5.:如图①所示,在△ABC和△ADE中,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且点B,A,D 在一条直线上,连接BE,CD,M,N分别为BE,CD的中点.〔1〕求证:①BE=CD;②△AMN是等腰三角形;〔2〕在图①的根底上,将△ADE绕点A按顺时针方向旋转180°,其他条件不变,得到图②所示的图形.请直接写出〔1〕中的两个结论是否仍然成立;〔3〕在〔2〕的条件下,请你在图②中延长ED交线段BC于点P.求证:△PBD∽△AMN.解答:〔1〕证明:①∵∠BAC=∠DAE,∴∠BAE=∠CAD,∵AB=AC,AD=AE,∴△ABE≌△ACD,∴BE=CD.②由△ABE≌△ACD,得∠ABE=∠ACD,BE=CD,∵M、N分别是BE,CD的中点,∴BM=.又∵AB=AC,∴△ABM≌△A.∴AM=AN,即△AMN为等腰三角形.〔2〕解:〔1〕中的两个结论仍然成立.〔3〕证明:在图②中正确画出线段PD,由〔1〕同理可证△ABM≌△A,∴∠CAN=∠BAM∴∠BAC=∠MAN.又∵∠BAC=∠DAE,∴∠MAN=∠DAE=∠BAC.∴△AMN,△ADE和△ABC都是顶角相等的等腰三角形.∴△PBD和△AMN都为顶角相等的等腰三角形,∴∠PBD=∠AMN,∠PDB=∠ANM,∴△PBD∽△AMN.6.如图,E是▱ABCD的边BA延长线上一点,连接EC,交AD于点F.在不添加辅助线的情况下,请你写出图中所有的相似三角形,并任选一对相似三角形给予证明.分析:根据平行线的性质和两角对应相等的两个三角形相似这一判定定理可证明图中相似三角形有:△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.解答:解:相似三角形有△AEF∽△BEC;△AEF∽△DCF;△BEC∽△DCF.〔3分〕如:△AEF∽△BEC.在▱ABCD中,AD∥BC,∴∠1=∠B,∠2=∠3.〔6分〕∴△AEF∽△BEC.〔7分〕7.如图,在4×3的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.〔1〕填空:∠ABC= 135°°,BC=;〔2〕判断△ABC与△DEC是否相似,并证明你的结论.解答:解:〔1〕∠ABC=135°,BC=;〔2〕相似;∵BC=,EC==;∴,;∴;又∠ABC=∠CED=135°,∴△ABC∽△DEC.8.如图,矩形ABCD的边长AB=3cm,BC=6cm.某一时刻,动点M从A点出发沿AB方向以1cm/s的速度向B点匀速运动;同时,动点N从D点出发沿DA方向以2cm/s的速度向A点匀速运动,问:〔1〕经过多少时间,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的?〔2〕是否存在时刻t,使以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似?假如存在,求t 的值;假如不存在,请说明理由解:〔1〕设经过x秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的,如此有:〔6﹣2x〕x=×3×6,即x2﹣3x+2=0,〔2分〕解方程,得x1=1,x2=2,〔3分〕经检验,可知x1=1,x2=2符合题意,所以经过1秒或2秒后,△AMN的面积等于矩形ABCD面积的.〔4分〕〔2〕假设经过t秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似,由矩形ABCD,可得∠CDA=∠MAN=90°,因此有或〔5分〕即①,或②〔6分〕解①,得t=;解②,得t=〔7分〕经检验,t=或t=都符合题意,所以动点M,N同时出发后,经过秒或秒时,以A,M,N为顶点的三角形与△ACD相似.〔8分〕9.如图,在梯形ABCD中,假如AB∥DC,AD=BC,对角线BD、AC把梯形分成了四个小三角形.〔1〕列出从这四个小三角形中任选两个三角形的所有可能情况,并求出选取到的两个三角形是相似三角形的概率是多少;〔注意:全等看成相似的特例〕〔2〕请你任选一组相似三角形,并给出证明.解答:解:〔1〕任选两个三角形的所有可能情况如下六种情况:①②,①③,①④,②③,②④,③④〔2分〕其中有两组〔①③,②④〕是相似的.∴选取到的二个三角形是相似三角形的概率是P=〔4分〕证明:〔2〕选择①、③证明.在△AOB与△COD中,∵AB∥CD,∴∠CDB=∠DBA,∠DCA=∠CAB,∴△AOB∽△COD〔8分〕选择②、④证明.∵四边形ABCD是等腰梯形,∴∠DAB=∠CBA,∴在△DAB与△CBA中有AD=BC,∠DAB=∠CAB,AB=AB,∴△DAB≌△CBA,〔6分〕∴∠ADO=∠BCO.又∠DOA=∠COB,∴△DOA∽△COB〔8分〕.点评:此题考查概率的求法:如果一个事件有n种可能,而且这些事件的可能性一样,其中事件A出现m种结果,那么事件A的概率P〔A〕=,即相似三角形的证明.还考查了相似三角形的判定.10.附加题:如图△ABC中,D为AC上一点,CD=2DA,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE ⊥BD于E,连接AE.〔1〕写出图中所有相等的线段,并加以证明;〔2〕图中有无相似三角形?假如有,请写出一对;假如没有,请说明理由;〔3〕求△BEC与△BEA的面积之比.解答:解:〔1〕AD=DE,AE=CE.∵CE⊥BD,∠BDC=60°,∴在Rt△CED中,∠ECD=30°.∴CD=2ED.∵CD=2DA,∴AD=DE,∴∠DAE=∠DEA=30°=∠ECD.∴AE=CE.〔2〕图中有三角形相似,△ADE∽△AEC;∵∠CAE=∠CAE,∠ADE=∠AEC,∴△ADE∽△AEC;〔3〕作AF⊥BD的延长线于F,设AD=DE=x,在Rt△CED中,可得CE=,故AE=.∠ECD=30°.在Rt△AEF中,AE=,∠AED=∠DAE=30°,∴sin∠AEF=,∴AF=AE•sin∠AEF=.∴.点评:此题主要考查了直角三角形的性质,相似三角形的判定与三角形面积的求法等,X围较广.11.如图,在△ABC中,AB=AC=a,M为底边BC上的任意一点,过点M分别作AB、AC 的平行线交AC于P,交AB于Q.〔1〕求四边形AQMP的周长;〔2〕写出图中的两对相似三角形〔不需证明〕;〔3〕M位于BC的什么位置时,四边形AQMP为菱形并证明你的结论.解答:解:〔1〕∵AB∥MP,QM∥AC,∴四边形APMQ是平行四边形,∠B=∠PMC,∠C=∠QMB.∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠PMC=∠QMB.∴BQ=QM,PM=PC.∴四边形AQMP的周长=AQ+AP+QM+MP=AQ+QB+AP+PC=AB+AC=2a.〔2〕∵PM∥AB,∴△PCM∽△ACB,∵QM∥AC,∴△BMQ∽△BCA;〔3〕当点M中BC的中点时,四边形APMQ是菱形,∵点M是BC的中点,AB∥MP,QM∥AC,∴QM,PM是三角形ABC的中位线.∵AB=AC,∴QM=PM=AB=AC.又由〔1〕知四边形APMQ是平行四边形,∴平行四边形APMQ是菱形.12.:P是正方形ABCD的边BC上的点,且BP=3PC,M是CD的中点,试说明:△ADM ∽△MCP.解答:证明:∵正方形ABCD,M为CD中点,∴CM=MD=AD.∵BP=3PC,∴PC=BC=AD=CM.∴.∵∠PCM=∠ADM=90°,∴△MCP∽△ADM.13.如图,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=2,AB=BC=8,CD=10.〔1〕求梯形ABCD的面积S;〔2〕动点P从点B出发,以1cm/s的速度,沿B⇒A⇒D⇒C方向,向点C运动;动点Q从点C出发,以1cm/s的速度,沿C⇒D⇒A方向,向点A运动,过点Q作QE⊥BC 于点E.假如P、Q两点同时出发,当其中一点到达目的地时整个运动随之完毕,设运动时间为t秒.问:①当点P在B⇒A上运动时,是否存在这样的t,使得直线PQ将梯形ABCD的周长平分?假如存在,请求出t的值;假如不存在,请说明理由;②在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、A、D为顶点的三角形与△CQE相似?假如存在,请求出所有符合条件的t的值;假如不存在,请说明理由;③在运动过程中,是否存在这样的t,使得以P、D、Q为顶点的三角形恰好是以DQ 为一腰的等腰三角形?假如存在,请求出所有符合条件的t的值;假如不存在,请说明理由.解答:解:〔1〕过D作DH∥AB交BC于H点,∵AD∥BH,DH∥AB,∴四边形ABHD是平行四边形.∴DH=AB=8;BH=AD=2.∴CH=8﹣2=6.∵CD=10,∴DH2+CH2=CD2∴∠DHC=90°.∠B=∠DHC=90°.∴梯形ABCD是直角梯形.∴S ABCD=〔AD+BC〕AB=×〔2+8〕×8=40.〔2〕①∵BP=CQ=t,∴AP=8﹣t,DQ=10﹣t,∵AP+AD+DQ=PB+BC+CQ,∴8﹣t+2+10﹣t=t+8+t.∴t=3<8.∴当t=3秒时,PQ将梯形ABCD周长平分.②第一种情况:0<t≤8假如△PAD∽△QEC如此∠ADP=∠C∴tan∠ADP=tan∠C==∴=,∴t=假如△PAD∽△CEQ如此∠APD=∠C ∴tan∠APD=tan∠C==,∴=∴t=第二种情况:8<t≤10,P、A、D三点不能组成三角形;第三种情况:10<t≤12△ADP为钝角三角形与Rt△CQE不相似;∴t=或t=时,△PAD与△CQE相似.③第一种情况:当0≤t≤8时.过Q点作QE⊥BC,QH⊥AB,垂足为E、H.∵AP=8﹣t,AD=2,∴PD==.∵CE=t,QE=t,∴QH=BE=8﹣t,BH=QE=t.∴PH=t﹣t=t.∴PQ==,DQ=10﹣t.Ⅰ:DQ=DP,10﹣t=,解得t=8秒.Ⅱ:DQ=PQ,10﹣t=,化简得:3t2﹣52t+180=0解得:t=,t=>8〔不合题意舍去〕∴t=第二种情况:8≤t≤10时.DP=DQ=10﹣t.∴当8≤t<10时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.第三种情况:10<t≤12时.DP=DQ=t﹣10.∴当10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ恒成立.综上所述,t=或8≤t<10或10<t≤12时,以DQ为腰的等腰△DPQ成立.14.矩形ABCD,长BC=12cm,宽AB=8cm,P、Q分别是AB、BC上运动的两点.假如P 自点A出发,以1cm/s的速度沿AB方向运动,同时,Q自点B出发以2cm/s的速度沿BC方向运动,问经过几秒,以P、B、Q为顶点的三角形与△BDC相似?解答:解:设经x秒后,△PBQ∽△BCD,由于∠PBQ=∠BCD=90°,〔1〕当∠1=∠2时,有:,即;〔2〕当∠1=∠3时,有:,即,∴经过秒或2秒,△PBQ∽△BCD.15.如图,在△ABC中,AB=10cm,BC=20cm,点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s 的速度移动,点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动,如果P、Q分别从A、B同时出发,问经过几秒钟,△PBQ与△ABC相似.解答:设经过秒后t秒后,△PBQ与△ABC相似,如此有AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t,当△PBQ∽△ABC时,有BP:AB=BQ:BC,即〔10﹣2t〕:10=4t:20,解得t=2.5〔s〕〔6分〕当△QBP∽△ABC时,有BQ:AB=BP:BC,即4t:10=〔10﹣2t〕:20,解得t=1.所以,经过2.5s或1s时,△PBQ与△ABC相似〔10分〕.解法二:设ts后,△PBQ与△ABC相似,如此有,AP=2t,BQ=4t,BP=10﹣2t 分两种情况:〔1〕当BP与AB对应时,有=,即=〔2〕当BP与BC对应时,有=,即=,解得t=1s所以经过1s或2.5s时,以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似.16.如图,∠ACB=∠ADC=90°,AC=,AD=2.问当AB的长为多少时,这两个直角三角形相似.解答:解:∵AC=,AD=2,∴CD==.要使这两个直角三角形相似,有两种情况:1)当Rt△ABC∽Rt△ACD时,2)有=,∴AB==3;3)当Rt△ACB∽Rt△CDA时,4)有=,∴AB==3.故当AB的长为3或3时,这两个直角三角形相似.17.,如图,在边长为a的正方形ABCD中,M是AD的中点,能否在边AB上找一点N 〔不含A、B〕,使得△CDM与△MAN相似?假如能,请给出证明,假如不能,请说明理由.解答:证明:分两种情况讨论:①假如△CDM∽△MAN,如此=.∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a.②假如△CDM∽△NAM,如此.∵边长为a,M是AD的中点,∴AN=a,即N点与B重合,不合题意.所以,能在边AB上找一点N〔不含A、B〕,使得△CDM与△MAN相似.当AN=a 时,N点的位置满足条件.18.如图在△ABC中,∠C=90°,BC=8cm,AC=6cm,点Q从B出发,沿BC方向以2cm/s 的速度移动,点P从C出发,沿CA方向以1cm/s的速度移动.假如Q、P分别同时从B、C出发,试探究经过多少秒后,以点C、P、Q为顶点的三角形与△CBA相似?解答:解:设经过x秒后,两三角形相似,如此CQ=〔8﹣2x〕cm,CP=xcm,〔1分〕∵∠C=∠C=90°,∴当或时,两三角形相似.〔3分〕〔1〕当时,,∴x=;〔4分〕〔2〕当时,,∴x=.〔5分〕所以,经过秒或秒后,两三角形相似.〔6分〕点评:此题综合考查了路程问题,相似三角形的性质与一元一次方程的解法.19.如下列图,梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,AB=7,AD=2,BC=3,试在腰AB 上确定点P的位置,使得以P,A,D为顶点的三角形与以P,B,C为顶点的三角形相似.解答:解:〔1〕假如点A,P,D分别与点B,C,P对应,即△APD∽△BCP,∴=,∴=,∴AP2﹣7AP+6=0,∴AP=1或AP=6,检测:当AP=1时,由BC=3,AD=2,BP=6,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.当AP=6时,由BC=3,AD=2,BP=1,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BCP.〔2〕假如点A,P,D分别与点B,P,C对应,即△APD∽△BPC.∴=,∴=,∴AP=.检验:当AP=时,由BP=,AD=2,BC=3,∴=,又∵∠A=∠B=90°,∴△APD∽△BPC.因此,点P的位置有三处,即在线段AB距离点A的1、、6处.20.△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形,∠A=∠D=90°,△DEF的顶点E位于边BC的中点上.〔1〕如图1,设DE与AB交于点M,EF与AC交于点N,求证:△BEM∽△E;〔2〕如图2,将△DEF绕点E旋转,使得DE与BA的延长线交于点M,EF与AC交于点N,于是,除〔1〕中的一对相似三角形外,能否再找出一对相似三角形并证明你的结论.解答:证明:〔1〕∵△ABC是等腰直角三角形,∴∠MBE=45°,∴∠BME+∠MEB=135°又∵△DEF是等腰直角三角形,∴∠DEF=45°∴∠NEC+∠MEB=135°∴∠BEM=∠NEC,〔4分〕而∠MBE=∠E=45°,∴△BEM∽△E.〔6分〕〔2〕与〔1〕同理△BEM∽△E,∴.〔8分〕又∵BE=EC,∴,〔10分〕如此△E与△MEN中有,又∠E=∠MEN=45°,∴△E∽△MEN.〔12分〕21.如图,在矩形ABCD中,AB=15cm,BC=10cm,点P沿AB边从点A开始向B以2cm/s 的速度移动;点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发,用t〔秒〕表示移动的时间,那么当t为何值时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.解答:解:以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似,所以△ABC∽△PAQ或△ABC∽△QAP,①当△ABC∽△PAQ时,,所以,解得:t=6;②当△ABC∽△QAP时,,所以,解得:t=;③当△AQP∽△BAC时,=,即=,所以t=;④当△AQP∽△BCA时,=,即=,所以t=30〔舍去〕.故当t=6或t=时,以点Q、A、P为顶点的三角形与△ABC相似.22.如图,路灯〔P点〕距地面8米,身高1.6米的小明从距路灯的底部〔O点〕20米的A点,沿OA所在的直线行走14米到B点时,身影的长度是变长了还是变短了?变长或变短了多少米?解答:解:∵∠MAC=∠MOP=90°,∠AMC=∠OMP,∴△MAC∽△MOP.∴,即,解得,MA=5米;同理,由△NBD∽△NOP,可求得NB=1.5米,∴小明的身影变短了5﹣1.5=3.5米.23.阳光明媚的一天,数学兴趣小组的同学们去测量一棵树的高度〔这棵树底部可以到达,顶部不易到达〕,他们带了以下测量工具:皮尺,标杆,一副三角尺,小平面镜.请你在他们提供的测量工具中选出所需工具,设计一种测量方案.〔1〕所需的测量工具是:;〔2〕请在如下图中画出测量示意图;〔3〕设树高AB的长度为x,请用所测数据〔用小写字母表示〕求出x.解答:解:〔1〕皮尺,标杆;〔2〕测量示意图如下列图;〔3〕如图,测得标杆DE=a,树和标杆的影长分别为AC=b,EF=c,∵△DEF∽△BAC,∴,∴,∴.〔7分〕24.问题背景在某次活动课中,甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进展了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息:甲组:如图1,测得一根直立于平地,长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组:如图2,测得学校旗杆的影长为900cm.丙组:如图3,测得校园景灯〔灯罩视为球体,灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计〕的高度为200cm,影长为156cm.任务要求:〔1〕请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度;〔2〕如图3,设太阳光线NH与⊙O相切于点M.请根据甲、丙两组得到的信息,求景灯灯罩的半径.〔友情提示:如图3,景灯的影长等于线段NG的影长;需要时可采用等式1562+2082=2602〕解答:解:〔1〕由题意可知:∠BAC=∠EDF=90°,∠BCA=∠EFD.∴△ABC∽△DEF.∴,即,〔2分〕∴DE=1200〔cm〕.所以,学校旗杆的高度是12m.〔3分〕〔2〕解法一:与①类似得:,即,∴GN=208.〔4分〕在Rt△NGH中,根据勾股定理得:NH2=1562+2082=2602,∴NH=260.〔5分〕设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.〔6分〕如此∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN,∴〔7分〕,又ON=OK+KN=OK+〔GN﹣GK〕=r+8,∴,解得:r=12.∴景灯灯罩的半径是12cm.〔8分〕解法二:与①类似得:,即,∴GN=208.〔4分〕设⊙O的半径为rcm,连接OM,∵NH切⊙O于M,∴OM⊥NH.〔5分〕如此∠OMN=∠HGN=90°,又∵∠ONM=∠HNG,∴△OMN∽△HGN.∴,即,〔6分〕∴MN=r,又∵ON=OK+KN=OK+〔GN﹣GK〕=r+8.〔7分〕在Rt△OMN中,根据勾股定理得:r2+〔r〕2=〔r+8〕2即r2﹣9r﹣36=0,解得:r1=12,r2=﹣3〔不合题意,舍去〕,∴景灯灯罩的半径是12cm.〔8分〕25.〔2007•某某〕阳光通过窗口照射到室内,在地面上留下2.7m宽的亮区〔如下列图〕,亮区到窗口下的墙脚距离EC=8.7m,窗口高AB=1.8m,求窗口底边离地面的高BC.解答:解:∵AE∥BD,∴△ECA∽△DCB,∴.∵EC=8.7m,ED=2.7m,∴CD=6m.∵AB=1.8m,∴AC=BC+1.8m,∴,∴BC=4,即窗口底边离地面的高为4m.点评:此题根本上难度不大,利用相似比即可求出窗口底边离地面的高.26.如图,李华晚上在路灯下散步.李华的身高AB=h,灯柱的高OP=O′P′=l,两灯柱之间的距离OO′=m.〔1〕假如李华距灯柱OP的水平距离OA=a,求他影子AC的长;〔2〕假如李华在两路灯之间行走,如此他前后的两个影子的长度之和〔DA+AC〕是否是定值请说明理由;〔3〕假如李华在点A朝着影子〔如图箭头〕的方向以v1匀速行走,试求他影子的顶端在地面上移动的速度v2.解答:解:〔1〕由:AB∥OP,∴△ABC∽△OPC.∵,∵OP=l,AB=h,OA=a,∴,∴解得:.〔2〕∵AB∥OP,∴△ABC∽△OPC,∴,即,即.∴.同理可得:,∴=是定值.〔3〕根据题意设李华由A到A',身高为A'B',A'C'代表其影长〔如图〕.由〔1〕可知,即,∴,同理可得:,∴,由等比性质得:,当李华从A走到A'的时候,他的影子也从C移到C',因此速度与路程成正比∴,所以人影顶端在地面上移动的速度为.27.如图①,分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆,其面积分别用S1,S2,S3表示,如此不难证明S1=S2+S3.〔1〕如图②,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形,其面积分别用S1,S2,S3表示,那么S1,S2,S3之间有什么关系;〔不必证明〕〔2〕如图③,分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形,其面积分别用S1、S2、S3表示,请你确定S1,S2,S3之间的关系并加以证明;〔3〕假如分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形,其面积分别用S1,S2,S3表示,为使S1,S2,S3之间仍具有与〔2〕一样的关系,所作三角形应满足什么条件证明你的结论;〔4〕类比〔1〕,〔2〕,〔3〕的结论,请你总结出一个更具一般意义的结论.解:设直角三角形ABC的三边BC、CA、AB的长分别为a、b、c,如此c2=a2+b2〔1〕S1=S2+S3;〔2〕S1=S2+S3.证明如下:显然,S1=,S2=,S3=∴S2+S3==S1;〔3〕当所作的三个三角形相似时,S1=S2+S3.证明如下:∵所作三个三角形相似∴∴=1 ∴S1=S2+S3;〔4〕分别以直角三角形ABC三边为一边向外作相似图形,其面积分别用S1、S2、S3表示,如此S1=S2+S3.28.:如图,△ABC∽△ADE,AB=15,AC=9,BD=5.求AE.解答:解:∵△ABC∽△ADE,∴AE:AC=AD:AB.∵AE:AC=〔AB+BD〕:AB,∴AE:9=〔15+5〕:15.∴AE=12.29.:如图Rt△ABC∽Rt△BDC,假如AB=3,AC=4.〔1〕求BD、CD的长;〔2〕过B作BE⊥DC于E,求BE的长.解答:解:〔1〕Rt△ABC中,根据勾股定理得:BC==5,∵Rt△ABC∽Rt△BDC,∴==,==,∴BD=,CD=;〔2〕在Rt△BDC中,S△BDC=BE•CD=BD•BC,∴BE===3.30.〔1〕,且3x+4z﹣2y=40,求x,y,z的值;〔2〕:两相似三角形对应高的比为3:10,且这两个三角形的周长差为560cm,求它们的周长.解:〔1〕设=k,那么x=2k,y=3k,z=5k,由于3x+4z﹣2y=40,∴6k+20k﹣6k=40,∴k=2,∴x=4,y=6,z=10.〔2〕设一个三角形周长为Ccm,如此另一个三角形周长为〔C+560〕cm,如此,∴C=240,C+560=800,即它们的周长分别为240cm,800cm。

相似三角形经典练习题及答案

相似三角形经典练习题及答案

相似三角形经典练习题及答案一、选择题1、若两个相似三角形的面积之比为 1∶4,则它们的周长之比为()A 1∶2B 1∶4C 1∶5D 1∶16答案:A解析:相似三角形面积的比等于相似比的平方,相似三角形周长的比等于相似比。

因为两个相似三角形的面积之比为 1∶4,所以相似比为 1∶2,那么它们的周长之比为 1∶2。

2、如图,在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,DE∥BC,若 AD∶DB = 1∶2,则下列结论中正确的是()A AE∶EC = 1∶2B AE∶EC = 1∶3 C DE∶BC = 1∶2 DDE∶BC = 1∶3答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC。

因为 AD∶DB =1∶2,所以 AD∶AB = 1∶3。

因为相似三角形对应边成比例,所以AE∶AC = AD∶AB = 1∶3,所以 AE∶EC = 1∶2。

3、已知△ABC∽△A'B'C',相似比为 3∶4,△ABC 的周长为 6,则△A'B'C'的周长为()A 8B 7C 9D 10答案:A解析:因为相似三角形周长的比等于相似比,所以△ABC 与△A'B'C'的周长之比为3∶4。

设△A'B'C'的周长为x,则6∶x =3∶4,解得 x = 8。

4、如图,在△ABC 中,D、E 分别是 AB、AC 上的点,且DE∥BC,如果 AD = 2cm,DB = 1cm,AE = 15cm,则 EC =()A 05cmB 1cmC 15cmD 3cm答案:B解析:因为 DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,所以 AD∶AB =AE∶AC。

因为 AD = 2cm,DB = 1cm,所以 AB = 3cm。

所以 2∶3= 15∶(15 + EC),解得 EC = 1cm。

5、下列各组图形一定相似的是()A 两个直角三角形B 两个等边三角形C 两个菱形D 两个矩形答案:B解析:等边三角形的三个角都相等,都是 60°,所以两个等边三角形一定相似。

相似三角形经典题(含答案)(Si...

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相似三角形经典题(含答案)(Similar triangle classic questions(including answers))Similar triangle classical exercisesExample 1. Choose a similar triangle from the following trianglesExample 2 is known: as in figure ABCD, the ratio of the perimeter to the sum if...Figure 3 cases, known to, to prove that.Example 4 which of the following statements are true and which ones are wrong?(1) all right triangles are similar. (2) all isosceles triangles are alike(3) all isosceles right triangles are similar. (4) all equilateral triangles are alikeFigure 5 example, D is a point on the AC, D DE E the dotted line, in the side, the small triangle and point D, point E and a vertex with similar composition. Draw as much as possible to meet the conditions of the graphics, and that of line DE painting.Figure 6 cases, a person holding a small scale paintings engraved with cm, standing about 30 meters away from the poles, the arm straight forward, small scale vertical ruler, see about 12 paintings just over the poles, the known arm length of about60 cm high, for the wire rod.Figure 7 cases, in order to measure a high-rise MN Xiaoming, put a mirror in the A from N 20m, NA back to C along the Xiao Ming, just from the mirror to see the roof of M, if m, his eyes from the ground height of 1.6m, please help you calculate Xiaoming the height of the building (accurate to 0.1M).The two triangles in the 8 lattice diagram are similar triangles, and the reasons are givenExample 9 determines whether the case is similar and explains the reasons for the following groups of conditions:(1)(2)(3)Example 10. In the following graph, there is no similar triangle. If it exists, show them in letters, and briefly explain the basis for identificationExample 11 is known: as in Fig., in the case of angular bisector, try using a triangle similar relation descriptionExample 12, the known three side length is 5, 12 and 13, and its similar maximum length is 26, the area of S.13 cases in a mathematics activity class, the teacher let thestudents to the playground to measure the height of the flagpole, and then come back to AC measurement method for their measurement is. Xiaofang: take a 3.5 meter high pole upright in the 27 meters away from the flagpole at C (pictured), then walk along the BC direction D, the top of the flagpole and pole top A visual E is in the same line, C D, and measured the distance between two points is 3 meters, Xiaofang mesh is 1.5 meters high, so that you can know the high flagpole. Do you think this measurement method is feasible? Please explain the reasonFigure 14. cases, in order to estimate the width of the river on the other side of the river, we can select a target as A, on this side of the river and then points B and C, so, then choosing E, BC and AE to determine the intersection point is D, measured in meters, meters, meters, you can find the distance between the two sides of AB roughly?Figure 15. cases, in order to find the island peak height of AB, DC and FE to establish a benchmark in D and F, the benchmark is 3 feet high, separated by 1000 step (step 1 is equal to 5 feet), and AB, CD and EF in the same plane, from the G DC benchmark back the 123 step, can see peaks A and C benchmark top end in a straight line, from the H FE benchmark 127 steps back, can see peaks A and E benchmark top on a straight line. How much is the horizontal distance BD AB and its peak height and benchmark CD? (ancient problems)Figure 16 example, known Delta ABC boundary AB = AD, AC = 2, BC = high on the side.(1) seeking the length of BC;(2) if there is a square edge on AB, the other two vertices are on AC, BC, respectively, and the area of this square is calledSimilar triangle classic Exercises answer1. cases of the solution, five and six, and the similar, similar, three or four, and similar2. solution is a parallelogram, so, l ~,Again, so, and the perimeter of the perylene ratio is 1:3.Again, dry.3 cases analysis, so as to, if further proof, the problem must pass.To prove dreams, *.Again, l,Star.To dreams, *.In dreams, and in R ~Case 4. analysis (1) is incorrect, because in the right triangle, the size of the two angles is uncertain, so the shape of the right triangle is different(2) not correct either,The vertices of an isosceles triangle are not of definite size, so the shape of an isosceles triangle is also different(3) right. There are isosceles right triangle ABC and, among them,Then,The three sides are a, B, and C, and the edges are,Then,So, l ~.(4) is correct, and is an equilateral triangle, the corresponding angles are equal, the corresponding edge is proportional to it.Answer: (1) and (2) incorrect. (3) and (4) correctExample 5. solutions:Painting slightly.The analysis of 6. cases of the narrative can draw the geometry as shown below, the CM cm m, m, m, and BC. ~ ~ because, again, so, so you can find the BC long.So, l ~ solution. Hence.Again, l,So, l ~ *,.And cm cm meters, meters, meters, meters. The pole star is 6 meters high.Example 7. analysis according to the law of Physics: the incident angle of light is equal to the angle of reflection, so that the similarity relation is clearBecause the solution, so so.So, that is. So (m)This shows that this is a practical application, the method seems simple, but in fact it is very clever, saving the use of instrumentation to measure the troubleExample 8.. It is impossible to judge these two graphs if they are not painted in the grid. In fact, the lattice virtually adds to the condition the length and the angleThe solution is in the grid, so..,Again. So. So ~.Explain the problems encountered in the grid point, we must fully find the various conditions, do not make omissionsIn 9. cases (1) because the solution to it;(2) because the two triangles only, the other two are not equal, and not so similar;(3) because, so it is similarIn 10. cases (1) and two equal solution; (2) to two equal;(3) to two equal; (4) to both sides proportionally equal angles;(5) to both sides proportionally equal angles; (6) to both sides proportionally equal angles.Analysis of 11. cases with a 65 degree angle of the isosceles triangle, the angle is 72 degrees, and BD is the bisector of the corner, so, you can launch to, and then by the similar triangle corresponding edge is proportional to the ratio between the line launched.That star.But equally, dry.And so, so, so, so, L.That (1) has two angles equal, then the two triangles are similar, this is the judgment of two triangles. The most commonly used method, and according to the equal angle position, can determine which side is the corresponding edge.(2) to explain the product of a line, or the square formula, usually to prove the scaling formula, or, again, to derive the product formula or the square formula according to the basic nature of the proportionBy the analysis of 12 cases of the three sides can be judged as a right triangle, and because it is also a right triangle, so, then by the maximum edge length is 26, can calculate the similarity ratio, two right angle side to calculate, and obtain the area.The solution of a three side in order,,, L.And to dreams, *,Again, *. *.13. cases analysis method to judge whether it is feasible, should consider the use of this method combined with our existing knowledge can be obtained according to the flagpole high. This measuring method, F to G, CE to H, so that, and GF, HF, EH and AG, this can be obtained, so the AB can be obtained. The flagpoleThe solution is feasible. The reasons are as follows:The flagpoles high. F for G, CE H (pictured). So ~.Because, soSo, that is, by, so the solution (m)So the height of the flagpole is 21.5 metersIt shows that the method should be practical and feasible in concrete measurementExample 14. solutions:,L ~, (m), a: between the two sides of AB is roughly 100 meters away.Example 15. answer: rice, step, (Note:.)16. cases analysis: BC long, need to draw solution, because AB and AC are higher than AD, so there are two kinds of situations, namely D in BC or D in the BC extension line, so long for the BC to two to discuss the situation. For the area of a square key is the length of the side for a square.Solution: (1) as above, by the AD BC group, by the Pythagorean theorem BD = 3, DC = 1, BC = so BDDC = 3 + 1 = 4.As follows, BD = 3, DC = 1, so BC = BD = CD = 3-1 = 2.(2) as shown by the graph, BC = 4, and so is ABC. Hence, the right triangle.The AEGF is a square, set GF = x, FC = 2x,GF "AB dreams, so, that is. So, dry.As follows, when BC = 2,AC = 2, Delta ABC is an isosceles triangle, as an CP AB in P, AP = r,In Rt APC, by the Pythagorean theorem CP = 1,Dreams GH / / AB, R ~ Delta CGH Delta CBA, dreams, RTherefore, the square has an area of orThird (lower) similar triangleFirst pages, 6 pages(similarity triangle's nature and application) practice rollFill in the blanks1. When the similarity ratio between two similar triangles is 3, their perimeter ratio is..;2, if the delta delta A to ABC 'B' C ', and the perimeter of delta ABC is 12cm, then the perimeter of delta A' B 'C' for;3, as shown in Figure 1, in ABC, BE, CD line intersect at point G, then the delta GED:S Delta GBC= = S;4, as shown in Figure 2, the ABC / B= / AED, AB=5, AD=3, CE=6, AE=;5, as shown in Figure 3, ABC, M AB is the midpoint of the N on BC, BC=2AB / BMN= / C, is a ~ Delta, similarity ratio =;6, as shown in Figure 4, the trapezoidal ABCD, AD / / BC S, Delta ADE:S Delta BCE=4:9, Delta ABD:S Delta ABC= S;The perimeter of 7 and two similar triangles are 5cm and 16cm, respectively, and the ratio of the bisector of their corresponding angles is;8, as shown in Figure 5, the BC=12cm in ABC, D, and F are three points AB, E, G is three points AC, DE+FG+BC=;The ratio of the area of the two and the 9 triangles is 2:3, and the ratio of them to the angle is equal to the ratio of the height of the opposite side;10, it is known that there are two triangles similar, one side length is 2, 3 and 4 respectively, and the other side length is x, y and 12 respectively. Then the values of X and y are respectively;Two, multiple-choice questions11, the following polygon must be similar to (), A, two rectangles, B, two diamond, C, two squares, D, two parallelogramIn 12, ABC, BC=15cm, CA=45cm, AB=63cm, the shortest edge of another and it is similar to the triangle is 5cm, is the longestside (18cm) is A, B, 21cm C, 24cm D, 19.5cm13, as shown in ABC, BD, CE to the high point of O, the following conclusion is wrong ()A, CO, CE=CD, CA, B, OE, OC=OD, OBC, AD, AC=AE, AB, D, CO, DO=BO, EO14, known in ABC / ACB=900, CD, AB in group D, if BC=5, CD=3, AD (long)A, 2.25 B, 2.5 C, 2.75 D, 315, as shown in figure ABCD, the edge of square BC is on the bottom QR of the isosceles right triangle PQR,The other two vertices, A and D, are on PQ and PR, and PA:PQ equals ()A, 1:B, 1:2, C, 1:3, D, 2:316, as shown in figure D, and E are Delta ABC edge AB and AC point, ==3,And / AED= / B, Delta AED and delta ABC is the area ratio is ()A, 1:2, B, 1:3, C, 1:4, D, 4:9Three, answer questions17, figure, known in the delta ABC, CD=CE / A= / ECB, CD2=AD - BE test.18, known as shown in ABC, DE, BC, AD=5, BD=3, S and delta ADE:S Delta ABC value.19, known square ABCD, C straight line, respectively, AD, AB extension line at points E, F, and AE=15, AF=10, square ABCD for the length of the side.20, known as shown in the equilateral Delta CDE and B respectively, A ED, DE extension line, DE2=AD and EB, and the degree of angle ACB.21, known as shown in ABC / C=600, AD, BC in D group, BE group AC E, Delta CDE Delta CBA to explain.22, known, as shown in figure F, ABCD edge, DC extension of the line point, link AF, pay BC at G, hand in BD at E, try to explain AE2=EG EF24. ABC, D, E / C=900, respectively AB, AC on AD, AB=AE AC, ED AB (13) to verify the aboveIn 25, ABC, M and AC is the midpoint, side of the AE=BA connection EM, and extend the BC line to D, verify the BC=2CDAB=AC, the 26 known isosceles triangle ABC, AD, BC in group D, CG, AB, AD, AC BG respectively in E, F, BE2=EF and EG prove:27, known in ABC, AD / BAC=900 BC in D P group, AD midpoint, BP extension line AC to E EF BC in F, an EF2=AE AC confirmation:28., as shown in the parallelogram,1. APD ~ CDQTwoMap your own painting, with a triangle of 30 degrees can be drawn outDreams of an isosceles triangle ABC / ABC = 120 DEGL / DAP= / DCQ=30 / CDQ / PDA=150 ~ * ~ / ADP / APD=150 degrees and dreamsL / CDQ= / APD / DAP= / QCD and dreamsStar delta APD Delta CDQ ~ AP/CD=PD/DQ frequencyD is the midpoint of AC AD=DC dreams AP/DP=AD/DQ AP/AD=PD/QD perylene perylene perylene / PDQ= / PAD dreamsStar delta APD to DPQ3. a triangle has 1 angles of 30, and the other has 2 30 degrees angles, in favor of the 155| review (6)(1) dreams / ABC=120 / A= / L degrees, C=30 degrees,Dreams / ADP+ / APD=150 / ADP+ / QDC=150 degrees degrees,L / APD= / CDQ,Star delta APD to CQD(2) set up; as shownDreams / ADP+ / APD=150 / ADP+ / QDC=150 degrees, degrees, R / APD= / CDQ / A= / C, andStar delta APD to CQD / A= / C only, the other corresponding angle are not equal, therefore, Delta APD and delta DPQ is similar;(3), two triangle into a more general condition, but the ABC must be an isosceles triangle, and / EDF= / A, otherwise it is not established.。

相似三角形经典大题解析(含答案)

相似三角形经典大题解析(含答案)

相似三角形经典大题解析1•如图,已知一个三角形纸片ABC , BC边的长为8, BC边上的高为6 , B和C都为锐角,M 为AB 一动点(点M与点A B不重合),过点M作MN // BC,交AC于点N , 在△ AMN中,设MN的长为x , MN上的高为h .(1 )请你用含x的代数式表示h .(2 )将厶AMN沿MN折叠,使△ AMN落在四边形BCNM所在平面,设点A落在平面的点为几,△ AMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y,当x为何值时,y最大,最大值为多少?【答案】解:(1) Q MN // BC△ AMN ABCh x6 8h 3x4(2) Q△ AMN A,MN△ AMN的边MN上的高为h ,①当点A落在四边形BCNM内或BC边上时,c 1 13 3 2y S^ AMN=—MN・h — x— x - x (0 x w 4)2 2 4 8②当A落在四边形BCNM外时,如下图(4 x 8),设厶A1EF的边EF上的高为h1,3则h 2h 6 x 62Q EF // MN △ A1EF AMNQ△ A,MN ABC △ AEF ABC212x 24 ,16,y 最大36x 16时,y 最大,y 最大 83& A 1EFS A ABC Q S A ABC 6 8 24S A AEF3x 62 624 -x 2 12x224Q y A I MN S A A I EF12x 24212x 24所以y 12x 24 (48) 综上所述:|x 2,取 x 4 ,y 最大6ACA i8时,Q82•如图,抛物线经过 A(4,0, B(1,0), C(0, 2)三点.(1 )求出抛物线的解析式;(2) P 是抛物线上一动点,过 P 作PM X 轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A , P , M 为顶点的三角形与 A OAC 相似?若存在,请求出符合条件的点 P 的坐标;若不存在,请 说明理由;1 5则P 点的纵坐标为 一 m 2 — m 2 ,2 2当 1 m 4时,1 25 AM 4 m ,PMm m 222又QCOAPMA 90°AMAO 2①当时,PMOC 1【答案】解:(1)Q 该抛物线过点C(0, 2),将 A(4,0), B(1 ,0)代入,仆 16a 4b 20,_ a 2,得解得2a b 2 0. ,5b -.2可设该抛物线的解析式为 y ax 2 bx 2 •如图,设P 点的横坐标为m ,当 m 1 时,P( 3, 14).综上所述,符合条件的点 P 为(2,,)或(5, 2)或(3,14).2 83.如图,已知直线11 : yx 与直线12 : y 2x 16相交于点C , l i 、J 分别交x 轴于 3 3A B 两点•矩形 DEFG 的顶点D 、E 分别在直线h 、I 2上,顶点点G 与点B 重合.(1)求△ ABC 的面积;(2) 求矩形DEFG 的边DE 与EF 的长;(3)若矩形DEFG 从原点出发,沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为t(0 < t < 12)秒,矩形DEFG 与厶ABC 重叠部分的面积为 S ,求S 关于t 的函数2 【答案】(1)解:由彳x 8 0,得 x34. A 点坐标为 4,0 .3 由 2x 160,得 x 8.B 点坐标为 8,0 .••• AB 84 12.即4 m 2m 2 m 2 .22解得 m 1 2, m 2 4 (舍去),P(21).②当AM OC 1时,△ APMCAOPMOA 2 解得 m 1 4 , m 25 (均不合题意,舍去) 当 1 m 4 时, P(2,1).类似地可求出当 m4 时,P(5, 2).△ APM ACO ,,即 2(4 m) - m 22F 、G 都在x 轴上,且2 85,6/由y x 3,"+ x3解得 C 点的坐标为 5,6 .y 2x 16. y• ■S AABC1 1 AB-yC -12 6 36-2 2-88 8. (2) 解: •.•点D 在h 上且x DX B 8, y D3 3D 点坐标为8,8 .••• E 点坐标为4,. ••• OE 8 4 4, EF 8.CHFGR ( t 0 时, Rt △ RGB s Rt △CMB.•- SS A ABCBRG AFH36 丄t1 2t - 8 t - 8 t .22 3即S 4 2 16 44t 2 t —3 3 3 •当3 t 8时,如图 2,为梯形面积, •/ G (8 —1,0) •- GR =2評t)282t 8 80 s 2 4[§(4 t)-8 33]t 33Q Rt A AFH s Rt A AMC ,当8 t12时,如图3,为三角形面积,8 8尖 3 3又•••点E 在12上且y E y D 8, 2x E 16 8. x E 4.(3 )解法一:①当0 < t 3时,如图1,矩形DEFG 与厶ABC 重叠部分为五边形AB 于M ,则BG BM陛,即ICM 3竺,••• RG62t .1 2ts8 12 t)8t 48 为四边形CHFG)过C 作CM(图2)(图 3)4•如图,矩形 ABCD 中,AD 3厘米,AB a 厘米(a 3) •动点M , N 同时从B 点 出发,分别沿B A , BC 运动,速度是1厘米/秒.过 M 作直线垂直于 AB ,分别 交AN , CD 于P , Q •当点N 到达终点C 时,点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒.(1 )若a 4厘米,t 1秒,则PM __________ 厘米;(2) 若a 5厘米,求时间t ,使△ PNBPAD ,并求出它们的相似比; (3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形 PMBN 与梯形PQDA 的面积相等,求a 的取值 范围;(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形PMBN ,梯形PQDA ,梯形PQCN 的面积都相等?若存在,求 a 的值;若不存在,请说明理由.9 9 3 (a 1) -(a t) t ta a2 2Qt < 3,-6^ < 3,则 a < 6, 3 a < 6 , 6 a(4) Q3 a < 6时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积相等梯形PQCN 的面积与梯形PMBN 的面积相等即可,贝U CN PMX(a t) 3 t ,把t -6^代入,解之得a 2亦,所以a 243 • a 6 a所以,存在a ,当a ^.3时梯形PMBN 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等.【答案】解:(2) t 2, (3) Q PM(1) PM —,4使△ PNBPAD ,相似比为3: 2 丄AB,△ AMP ABC , CB 丄 AB , AMP PM AM PM 即 - BN AB tABC , 口 ,Q PM a t(a t)QM当梯形 PMBN 与梯形 PQDA 的面积相等,即(QP AD)DQ (MP BN)BM化简得t -6a -6 aN5. 如图,已知△ ABC是边长为6cm的等边三角形,动点P、Q同时从A、B两点出发, 分别沿AB、BC匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C 时,P、Q两点都停止运动,设运动时间为t(s),解答下列问题:(1 )当t= 2时,判断△ BPQ的形状,并说明理由;(2)设厶BPQ的面积为S (cm2),求S与t的函数关系式;(3)作QR//BA交AC于点R,连结PR,当t为何值时,△ APR s^ PRQ?【答案】解:⑴△ BPQ是等边三角形,当t=2时,AP=2 X 1=2,BQ=2 X 2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP又因为/ B=60,所以△ BPQ是等边三角形•⑵过Q作QE! AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t • sin60 0= . 31,由AP=t,得PB=6-t,所以S A BPQ」X BP X QE」(6-t)X、3 t=—— 12+3 . 3 t ;2 2 2⑶因为QR// BA,所以/ QRC M A=600,/ RQC M B=60°,又因为/ C=6(f,1所以△ QRC是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t因为BE=BQ cos60°= X 2t=t,2所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP// QR,EP=QR所以四边形EPRQ是平行四边形,所以PR=EQ= 3 t,又因为/ PEQ=9& 所以/ APR=/ PRQ=90.因为△ APR-A PRQ,所以/ QPR/ A=6C°,所以tan60 0= ,即6玄.3 ,所以t=-,PR V3t 5所以当t= 6时,△ APR-A PRQ56. 在直角梯形 OABC 中,CB // 0A , / COA = 90o , CB = 3, OA = 6, BA = 3.5.分别以 OA 、 OC 边所在直线为x 轴、y 轴建立如图1所示的平面直角坐标系.(1) 求点B 的坐标;(2) 已知D 、E 分别为线段 OC 、OB 上的点,OD = 5, OE = 2EB ,直线DE 交x 轴于点F .求 直线DE 的解析式; (3)点M 是(2)中直线DE 上的一个动点,在x 轴上方的平面内是否存在另一个点N .使以O 、D 、M 、N 为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点 N 的坐标;若不存在,请说明理由.驚:作削仃*抽于点乩oimc 为朗亂札料-f ;tf 7 * ... ....................... . ................... ............ *t ( I )倂;_ 2 1 OC 歌;颍 5 "** 3 ft *A tn; = 2t EC^4t•・. 点N 皓邯林沟{2. 4 i — (5分) XT 点"禅#拣为<0. 5). 谊川线供:的舞析冗为,=Jtr 则化I"斛絆"-二心./.点出的舉阶为(乂證山屮・W- 如-研 二丁莎亍f -31 -6......................... <2莎〉〔叮忤Af.J 11柚于戊乩期內时ACffH- ■■ * ................... (4 分) _ EG nn " uii 而y : (>K=2£Bt /削愿的诃针式为;IT J 存在 *2.... ....................i 如的 L 1 on «aw = m \o =sai, pg 边於 OM \ 为曼麻. fl- vr 丄i 轴于点 化 期 肿71仙*… Ajirry^AHMJ,IfA f lfi \i[f1"匚加厂卜” i*'呷* 国时- -2 I *5 at). Wf3 T = 10, •・• 「欄的豎标为<V*, <)), /- orm證 Ri AOftf 中 * KD * yoFToF- /s ? + 10J sjyS -, :、 '£ J?肿 H) = ;< +\ 直 V 的坐林为 -i j5. 3 + /5J .A 点A 倘樂杯为(~2jS, 5) .............. ................. 加尉2・艸0" = 二卅M G IOT N 器时.四讷 耘W 八和为曼羽• MW^lzW-■'* i 殳詁虚半标为J ・-yn T 5), ft R1A0W甲.f 屮' + Pif : =M\ I 八(・卜呵二化 MI3 «( =4, u. =o ( .・. 点 M 陌蹩标为 Z ・?), .'. 点wts 坐标为⑴.«)- ........ (123餌图矢半f 川=W = M = N4时,述形f>W\舟菱舉.辻铁」叭交阳H 、 則 Mi J j踪卜所以*轴匕力肿点丫疔二化仆别为j V 岳、、 心-愛H.7.在图15-1至图15-3中,直线 MN 与线段AB 相交 于点 O ,/ 1 = / 2 = 45 °(1) 如图15-1,若AO = OB ,请写出AO 与BD 的数量关系和位置关系; (2) 将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到 图 15-2,其中 AO = OB .求证:AC = BD , AC 丄 BD ;(3) 将图15-2中的OB 拉长为 AO 的k 倍得到rite< 10 5>):曲址壮i 凯M 腔酸乳”"……(!4 )图15-3,求-BD的值. AC【答案】解:(1) AO = BD, AO丄BD ;(2)证明:如图4,过点B 作BE // CA 交DO 于E,「./ ACO = / BEO .又••• AO = OB,/ AOC = / BOE ,•••△ AOC 也△ BOE.「. AC = BE.又•••/ 1 = 45 °ACO = / BEO = 135 °•••/ DEB = 45 °•••/ 2 = 45 ° • BE = BD, / EBD = 90 ° • AC = BD . 延长AC 交DB 的延长线于F,如图4.v BE // AC, •/ AFD = 90 ° • AC丄BD.(3)如图5,过点B 作BE // CA 交DO 于E, •/ BEO = / ACO.又•••/ BOE = / AOC ,BE BOAC AO又T OB = kAO,由(2)的方法易得BE = BD .••• -BD k .ACy轴的垂线,垂足分别为M N,若点P从O点出发,沿OM乍匀速运动,1分钟可到达M点,点Q从M点出发,沿MA作匀速运动,1分钟可到达A点。

相似三角形经典大题解析(含答案)

相似三角形经典大题解析(含答案)

相似三角形经典大题解析1.如图,已知一个三角形纸片ABC ,B C 边的长为8,B C 边上的高为6,B ∠和C ∠都为锐角,M 为A B 一动点(点M 与点A B 、不重合),过点M 作M N B C ∥,交A C 于点N ,在A M N △中,设M N 的长为x ,M N 上的高为h . (1)请你用含x 的代数式表示h .(2)将AMN △沿M N 折叠,使A M N △落在四边形B C N M 所在平面,设点A 落在平面的点为1A ,1A M N △与四边形B C N M 重叠部分的面积为y ,当x 为何值时,y 最大,最大值为多少?【答案】解:(1)M N B C ∥A M N ABC ∴△∽△ 68h x ∴= 34x h ∴=(2)1AM N A M N △≌△1A M N ∴△的边M N 上的高为h ,①当点1A 落在四边形B C N M 内或B C 边上时, 1A M N y S =△=211332248M N h x x x ==··(04x <≤)②当1A 落在四边形B C N M 外时,如下图(48)x <<,设1A EF △的边E F 上的高为1h , 则132662h h x =-=-11EF M NA EF A M N ∴ ∥△∽△11A M N ABCA EF ABC ∴ △∽△△∽△1216A EF S h S ⎛⎫= ⎪⎝⎭△△ABC168242A B C S =⨯⨯= △ 22363224122462EFx S x x ⎛⎫- ⎪∴==⨯=-+ ⎪⎪⎝⎭1△A 1122233912241224828A M N A EF y S S x x x x x ⎛⎫=-=--+=-+- ⎪⎝⎭△△ 所以 291224(48)8y x x x =-+-<<综上所述:当04x <≤时,238y x =,取4x =,6y =最大当48x <<时,2912248y x x =-+-,取163x =,8y =最大86>∴当163x =时,y 最大,8y =最大MNCBEFAA 12.如图,抛物线经过(40)(10)(02)A B C -,,,,,三点. (1)求出抛物线的解析式;(2)P 是抛物线上一动点,过P 作P M x ⊥轴,垂足为M ,是否存在P 点,使得以A ,P ,M 为顶点的三角形与O A C △相似?若存在,请求出符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由;【答案】解:(1) 该抛物线过点(02)C -,,∴可设该抛物线的解析式为22y ax bx =+-.将(40)A ,,(10)B ,代入,得1642020a b a b .+-=⎧⎨+-=⎩,解得1252a b .⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴此抛物线的解析式为215222y x x =-+-.(2)存在.如图,设P 点的横坐标为m , 则P 点的纵坐标为215222m m -+-,当14m <<时,4A M m =-,215222P M m m =-+-.又90C O A P M A ∠=∠= °,∴①当21A M A O P MO C==时,A P M A C O △∽△,即21542222m m m ⎛⎫-=-+- ⎪⎝⎭. 解得1224m m ==,(舍去),(21)P ∴,. ②当12A M O C P MO A==时,A P M C A O △∽△,即2152(4)222m m m -=-+-.解得14m =,25m =(均不合题意,舍去)∴当14m <<时,(21)P ,. 类似地可求出当4m >时,(52)P -,. 当1m <时,(314)P --,.综上所述,符合条件的点P 为(21),或(52)-,或(314)--,.3.如图,已知直线128:33l y x =+与直线2:216l y x =-+相交于点C l l 12,、分别交x 轴于A B 、两点.矩形D E F G 的顶点D E 、分别在直线12l l 、上,顶点F G 、都在x 轴上,且点G 与点B 重合.(1)求A B C △的面积;(2)求矩形D E F G 的边D E 与E F 的长;(3)若矩形D E F G 从原点出发,沿x 轴的反方向以每秒1个单位长度的速度平移,设移动时间为(012)t t ≤≤秒,矩形D E F G 与A B C △重叠部分的面积为S ,求S 关于t 的函数关系式,并写出相应的t 的取值范围.【答案】(1)解:由28033x +=,得4x A =-∴.点坐标为()40-,.由2160x -+=,得8x B =∴.点坐标为()80,.∴()8412AB =--=.由2833216y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩,.解得56x y =⎧⎨=⎩,.∴C 点的坐标为()56,. ∴111263622A B C C S A B y ==⨯⨯=△·.(2)解:∵点D 在1l 上且2888833D B D x x y ==∴=⨯+=,.∴D 点坐标为()88,.又∵点E 在2l 上且821684E D E E y y x x ==∴-+=∴=,.. ∴E 点坐标为()48,. ∴8448O E EF =-==,.(3)解法一:①当03t <≤时,如图1,矩形D E F G 与A B C △重叠部分为五边形C H F G R (0t =时,为四边形C H F G ).过C 作C M A B ⊥于M,则R t R t R G B C M B△∽△.∴B GR GB MC M =,即36t R G=,∴2RG t =.R t R t A F H A M C △∽△,∴()()11236288223ABC BRG AFH S S S S t t t t =--=-⨯⨯--⨯-△△△.即241644333S t t =-++.当83<≤t 时,如图2,为梯形面积,∵G (8-t,0)∴GR=32838)8(32t t -=+-, ∴38038]32838)4(32[421+-=-++-⨯=t t t s 当128<≤t 时,如图3,为三角形面积,4883)12)(328(212+-=--=t tt t s(图3)(图1) (图2)4.如图,矩形A B C D 中,3A D =厘米,A B a =厘米(3a >).动点M N ,同时从B 点出发,分别沿B A →,B C →运动,速度是1厘米/秒.过M 作直线垂直于A B ,分别交A N ,C D 于P Q ,.当点N 到达终点C 时,点M 也随之停止运动.设运动时间为t 秒. (1)若4a =厘米,1t =秒,则P M =______厘米;(2)若5a =厘米,求时间t ,使P N B P A D △∽△,并求出它们的相似比;(3)若在运动过程中,存在某时刻使梯形P M B N 与梯形PQDA 的面积相等,求a 的取值范围;(4)是否存在这样的矩形:在运动过程中,存在某时刻使梯形P M B N ,梯形PQDA ,梯形PQCN 的面积都相等?若存在,求a 的值;若不存在,请说明理由.【答案】解: (1)34P M =,(2)2t =,使P N B P A D △∽△,相似比为3:2 (3)P M A B C B A B A M P A B C ∠=∠ ⊥,⊥,,AM P ABC △∽△,P M A M B NA B∴=即()P M a t t a t P M taa--==,,(1)3t a Q M a-∴=-当梯形P M B N 与梯形PQDA 的面积相等,即()()22Q P A D D QM P B N B M++=()33(1)()22t a t t a a t t ta a -⎛⎫⎛⎫-+--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==化简得66a t a =+,3t ≤,636a a∴+≤,则636a a ∴<≤,≤, (4)36a < ≤时梯形P M B N 与梯形PQDA 的面积相等∴梯形PQCN 的面积与梯形P M B N 的面积相等即可,则C N P M = ()3t a t t a∴-=-,把66a t a=+代入,解之得a =±,所以a =.所以,存在a ,当a =P M B N 与梯形PQDA 的面积、梯形PQCN 的面积相等.NN5.如图,已知△ABC 是边长为6cm 的等边三角形,动点P 、Q 同时从A 、B 两点出发,分别沿AB 、BC 匀速运动,其中点P 运动的速度是1cm/s ,点Q 运动的速度是2cm/s ,当点Q 到达点C 时,P 、Q 两点都停止运动,设运动时间为t (s ),解答下列问题: (1)当t =2时,判断△BPQ 的形状,并说明理由; (2)设△BPQ 的面积为S (cm 2),求S 与t 的函数关系式;(3)作QR //BA 交AC 于点R ,连结PR ,当t 为何值时,△APR ∽△PRQ ?【答案】 解:(1)△BPQ 是等边三角形,当t=2时,AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因为∠B=600,所以△BPQ 是等边三角形.(2)过Q 作QE ⊥AB,垂足为E,由QB=2y,得QE=2t ·sin600=3t,由AP=t,得PB=6-t,所以S △BPQ=21×BP ×QE=21(6-t)×3t=-23t 2+33t ;(3)因为Q R ∥BA,所以∠QRC=∠A=600,∠RQC=∠B=600,又因为∠C=600, 所以△QRC 是等边三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因为BE=BQ ·cos600=21×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EP ∥QR,EP=QR,所以四边形EPRQ 是平行四边形, 所以PR=EQ=3t,又因为∠PEQ=900,所以∠APR=∠PRQ=900.因为△APR ~△PRQ, 所以∠QPR=∠A=600,所以tan600=PRQR ,即3326=-tt ,所以t=56,所以当t=56时, △APR ~△PRQ6.在直角梯形OABC中,CB∥OA,∠CO A=90º,CB=3,OA=6,BA=35.分别以OA、OC边所在直线为x轴、y轴建立如图1所示的平面直角坐标系.(1)求点B的坐标;(2)已知D、E分别为线段OC、OB上的点,OD=5,OE=2E B,直线DE交x轴于点F.求直线DE的解析式;(3)点M是(2)中直线DE上的一个动点,在x轴上方的平面内是否存在另一个点N.使以O、D、M、N为顶点的四边形是菱形?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.图7-2AD OBC 21 MN图7-1AD BM N12D2MO.7.在图15-1至图15-3中,直线MN 与线段AB 相交 于点O ,∠1 = ∠2 = 45°.(1)如图15-1,若AO = OB ,请写出AO 与BD的数量关系和位置关系; (2)将图15-1中的MN 绕点O 顺时针旋转得到图15-2,其中AO = OB . 求证:AC = BD ,AC ⊥ BD ;(3)将图15-2中的OB 拉长为AO 的k 倍得到图15-3,求ACBD 的值.【答案】 解:(1)AO = BD ,AO ⊥BD ;(2)证明:如图4,过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ,∴∠ACO = ∠BEO .又∵AO = OB ,∠AOC = ∠BOE , ∴△AOC ≌ △BOE .∴AC = BE . 又∵∠1 = 45°, ∴∠ACO = ∠BEO = 135°. ∴∠DEB = 45°.∵∠2 = 45°,∴BE = BD ,∠EBD = 90°.∴AC = BD . 延长AC 交DB 的延长线于F ,如图4.∵BE ∥AC ,∴∠AFD = 90°.∴AC ⊥BD .(3)如图5,过点B 作BE ∥CA 交DO 于E ,∴∠BEO = ∠ACO .又∵∠BOE = ∠AOC , ∴△BOE ∽ △AOC .∴AOBO ACBE =.又∵OB = kAO ,由(2)的方法易得 BE = BD .∴kACBD =.10.如图,已知过A (2,4)分别作x 轴、y 轴的垂线,垂足分别为M 、N ,若点P 从O 点出发,沿OM 作匀速运动,1分钟可到达M 点,点Q 从M 点出发,沿MA 作匀速运动,1分钟可到达A 点。

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一、如何证明三角形相似例1、如图:点G 在平行四边形ABCD 的边DC 的延长线上,AG 交BC 、BD 于点E 、F ,则△AGD ∽ ∽ 。

例2、已知△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,BD 是角平分线,求证:△ABC ∽△BCD例3:已知,如图,D 为△ABC 内一点连结ED 、AD ,以BC 为边在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ,∠BCE=∠BAD求证:△DBE ∽△ABC例4、矩形ABCD 中,BC=3AB ,E 、F ,是BC 边的三等分点,连结AE 、AF 、AC ,问图中是否存在非全等的相似三角形?请证明你的结论。

二、如何应用相似三角形证明比例式和乘积式例5、△ABC 中,在AC 上截取AD ,在CB 延长线上截取BE ,使AD=BE ,求证:DF ∙AC=BC ∙FE例6:已知:如图,在△ABC 中,∠BAC=900,M 是BC 的中点,DM ⊥BC 于点E ,交BA 的延长线于点D 。

求证:(1)MA 2=MD ∙ME ;(2)MDMEAD AE =22 例7:如图△ABC 中,AD 为中线,CF 为任一直线,CF 交AD 于E ,交AB 于F ,求证:AE :ED=2AF :FB 。

三、如何用相似三角形证明两角相等、两线平行和线段相等。

例8:已知:如图E 、F 分别是正方形ABCD 的边AB 和AD 上的点,且31==AD AF AB EB 。

求证:∠AEF=∠FBD例9、在平行四边形ABCD 内,AR 、BR 、CP 、DP 各为四角的平分线, 求证:SQ ∥AB ,RP ∥BC例10、已知A 、C 、E 和B 、F 、D 分别是∠O 的两边上的点,且AB ∥ED ,BC ∥FE ,求证:AF ∥CD例11、直角三角形ABC 中,∠ACB=90°,BCDE 是正方形,AE 交BC 于F ,FG ∥AC 交AB 于G ,求证:FC=FG例12、Rt △ABC 锐角C 的平分线交AB 于E ,交斜边上的高AD 于O ,过O 引BC 的平行线交AB 于F ,求证:AE=BF(答案)例1分析:关键在找“角相等”,除已知条件中已明确给出的以外,还应结合具体的图形,利用公共角、对顶角及由平ABCDEFGAB CD E M 12A B C DE FG 1234ABC D AB C D E FK A B CD E FABCDS PRQOAB CD EFA BCDEF O 123ABCDFE行线产生的一系列相等的角。

本例除公共角∠G外,由BC∥AD可得∠1=∠2,所以△AGD∽△EGC。

再∠1=∠2(对顶角),由AB∥DG可得∠4=∠G,所以△EGC∽△EAB。

例2分析:证明相似三角形应先找相等的角,显然∠C是公共角,而另一组相等的角则可以通过计算来求得。

借助于计算也是一种常用的方法。

证明:∵∠A=36°,△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠C=72°又BD平分∠ABC,则∠DBC=36°在△ABC和△BCD中,∠C为公共角,∠A=∠DBC=36°∴△ABC∽△BCD例3分析:由已知条件∠ABD=∠CBE,∠DBC公用。

所以∠DBE=∠ABC,要证的△DBE和△ABC,有一对角相等,要证两个三角形相似,或者再找一对角相等,或者找夹这个角的两边对应成比例。

从已知条件中可看到△CBE∽△ABD,这样既有相等的角,又有成比例的线段,问题就可以得到解决。

证明:在△CBE和△ABD中,∠CBE=∠ABD, ∠BCE=∠BAD∴△CBE∽△ABD∴BCAB=BEBD即:BCBE=ABBD△DBE和△ABC中,∠CBE=∠ABD, ∠DBC公用∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC∴∠DBE=∠ABC且BCBE=ABBD∴△DBE∽△ABC例4分析:本题要找出相似三角形,那么如何寻找相似三角形呢?下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形:(1)如图:称为“平行线型”的相似三角形(2)如图:其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形。

ABCDE12AABB C CDDEE12412(3)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形。

观察本题的图形,如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形,及△EAF与△ECA 解:设AB=a,则BE=EF=FC=3a,由勾股定理可求得AE=a2,在△EAF与△ECA中,∠AEF为公共角,且2==AEECEFAE所以△EAF∽△ECA 例5 分析:证明乘积式通常是将乘积式变形为比例式及DF:FE=BC:AC,再利用相似三角形或平行线性质进行证明:证明:过D点作DK∥AB,交BC于K,∵DK∥AB,∴DF:FE=BK:BE又∵AD=BE,∴DF:FE=BK:AD,而BK:AD=BC:AC即DF:FE= BC:AC,∴DF∙AC=BC∙FE例6 证明:(1)∵∠BAC=900,M是BC的中点,∴MA=MC,∠1=∠C,∵DM⊥BC,∴∠C=∠D=900-∠B,∴∠1=∠D,∵∠2=∠2,∴△MAE∽△MDA,∴MAMEMDMA=,∴MA2=MD∙ME,(2)∵△MAE∽△MDA,∴MDMAADAE=,MAMEADAE=∴MDMEMAMEMDMAADAE=∙=22评注:命题1 如图,如果∠1=∠2,那么△ABD∽△ACB,AB2=AD∙AC。

命题2 如图,如果AB2=AD∙AC,那么△ABD∽△ACB,∠1=∠2。

BEACD12例7 分析:图中没有现成的相似形,也不能直接得到任何比例式,于是可以考虑作平行线构造相似形。

怎样作?观察要证明的结论,紧紧扣住结论中“AE :ED ”的特征,作DG ∥BA 交CF 于G ,得△AEF ∽△DEG ,DGAFDE AE =。

与结论BF AFFBAF ED AE 212==相比较,显然问题转化为证FB DG 21=。

证明:过D 点作DG ∥AB 交FC 于G 则△AEF ∽△DEG 。

(平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线所得三角形与原三角形相似)DGAF DEAE = (1)∵D 为BC 的中点,且DG ∥BF ∴G 为FC 的中点则DG 为△CBF 的中位线,BF DG 21= (2)将(2)代入(1)得:FBAF BF AF DE AE 221== 例8 分析:要证角相等,一般来说可通过全等三角形、相似三角形,等边对等角等方法来实现,本题要证的两个角分别在两个三角形中,可考虑用相似三角形来证,但要证的两个角所在的三角形显然不可能相似(一个在直角三角形中,另一个在斜三角形中),所以证明本题的关键是构造相似三角形, 证明:作FG ⊥BD ,垂足为G 。

设AB=AD=3k 则BE=AF=k ,AE=DF=2k ,BD=k 23∵∠ADB=450,∠FGD=900∴∠DFG=450∴DG=FG=k DF 22=∴BG=k k k 22223=-∴21==BG FG AE AF 又∠A=∠FGB=900∴△AEF ∽△GBF ∴∠AEF=∠FBD例9 分析:要证明两线平行较多采用平行线的判定定理,但本例不具备这样的条件,故可考虑用比例线段去证明。

利用比例线段证明平行线最关键的一点就是要明确目标,选择适当的比例线段。

要证明SQ ∥AB ,只需证明AR :AS=BR :DS 。

证明:在△ADS 和△ARB 中。

∵∠DAR=∠RAB=21∠DAB ,∠DCP=∠PCB=21∠ABC ∴△ADS ∽△ABR DSBR AS AR = 但△ADS ≌△CBQ ,∴DS=BQ ,则BQBRAS AR =,∴SQ ∥AB ,同理可证,RP ∥BC 例10分析:要证明AF ∥CD ,已知条件中有平行的条件,因而有好多的比例线段可供利用,这就要进行正确的选择。

其实要证明AF ∥CD ,只要证明ODOFOC OA =即可,因此只要找出与这四条线段相关的比例式再稍加处理即可成功。

证明:∵AB ∥ED ,BC ∥FE ∴OD OB OE OA =,OB OF OC OE =∴两式相乘可得:ODOFOC OA =例11 分析:要证明FC=FG ,从图中可以看出它们所在的三角形显然不全等,但存在较多的平行线的条件,因而可用比例线段来证明。

要证明FC=FG ,首先要找出与FC 、FG 相关的比例线段,图中与FC 、FG 相关的比例式较多,则应选择与FC 、FG 都有联系的比作为过渡,最终必须得到??FGFC =(“?”代表相同的线段或相等的线段),便可完成。

证明:∵ FG ∥AC ∥BE ,∴△ABE ∽△AGF 则有AEAFBE GF =而FC ∥DE ∴△AED ∽△AFC 则有AE AF DE CF = ∴GF CF AF BE DE AE ==又∵BE=DE (正方形的边长相等)∴DF GF BE BE=,即GF=CF 。

例12 证明:∵CO 平分∠C ,∠2=∠3,故Rt △CAE ∽Rt △CDO ,∴CDACOD AE =又OF ∥BC ,∴AD AB OD BF =又∵Rt △ABD ∽Rt △CAD ,∴AD AB CD AC =,即ODBFOD AE =∴AE=BF 。

一、选择题1.(2009年滨州)如图所示,给出下列条件: ①B ACD ∠=∠;②ADC ACB ∠=∠;③AC AB CD BC=;④2AC AD AB =. 其中单独能够判定ABC ACD △∽△的个数为( )A.1 B.2 C.3 D.4【关键词】三角形相似的判定.【答案】C2.(2009年上海市)如图,已知AB CD EF∥∥,那么下列结论正确的是()A.AD BCDF CE=B.BC DFCE AD=C.CD BCEF BE=D.CD ADEF AF=【关键词】平行线分线段成比例【答案】A3.(2009成都)已知△ABC∽△DEF,且AB:DE=1:2,则△ABC的面积与△DEF的面积之比为(A)1:2 (B)1:4 (C)2:1 (D)4:1【关键词】【答案】B4. (2009年安顺)如图,已知等边三角形ABC的边长为2,DE是它的中位线,则下面四个结论:(1)DE=1,(2)△CDE∽△CAB,(3)△CDE的面积与△CAB的面积之比为1:4.其中正确的有:A.0个B.1个C.2个D.3个【关键词】等边三角形,三角形中位线,相似三角形【答案】D5.(2009重庆綦江)若△ABC∽△DEF, △ABC与△DEF的相似比为1∶2,则△ABC与△DEF的周长比为()A.1∶4 B.1∶2 C.2∶1 D【关键词】【答案】B6.(2009年杭州市)如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8,另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x,那么x的值()A.只有1个B.可以有2个C.有2个以上但有限D.有无数个【关键词】相似三角形有关的计算和证明【答案】B7.2009年宁波市)如图,菱形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,M、N分别是边AB、AD的中点,连接OM、ON、MN,则下列叙述正确的是()A.△AOM和△AON都是等边三角形B.四边形MBON和四边形MODN都是菱形C .四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D .四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形【关键词】位似【答案】C8.(2009年江苏省)如图,在55⨯方格纸中,将图①中的三角形甲平移到图② 中所示的位置,与三角形乙拼成一个矩形,那么,下面的平 移方法中,正确的是( ) A .先向下平移3格,再向右平移1格 B .先向下平移2格,再向右平移1格 C .先向下平移2格,再向右平移2格 D .先向下平移3格,再向右平移2格【关键词】平移 【答案】D9.(2009年义乌)在中华经典美文阅读中,小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比。

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