导数公式导数运算法则
求导数公式及运算法则方程
求导数公式及运算法则方程在微积分中，求导数是一项重要的运算技巧，它用于计算函数的变化率。
本文将介绍一些常见的求导数公式和运算法则方程，帮助读者更好地理解和应用微积分知识。
导数基本概念在微积分中，导数描述了函数在某一点的变化率。
对于函数f(f)，它在点f处的导数可以定义为：$$ f'(x) = \\lim_{h \\to 0} \\frac{f(x+h) - f(x)}{h} $$如果这个极限存在，那么函数f(f)在点f处可导，导数即为这个极限的值。
常见导数公式基本导数1.$ \frac{d}{dx} (c) = 0 $ （常数函数的导数为 0）2.$ \frac{d}{dx} (x^n) = nx^{n-1} $ （幂函数的导数）3.$ \frac{d}{dx} (e^x) = e^x $ （指数函数的导数）4.$ \frac{d}{dx} (\ln(x)) = \frac{1}{x} $ （对数函数的导数）三角函数导数1.$ \frac{d}{dx} (\sin(x)) = \cos(x) $2.$ \frac{d}{dx} (\cos(x)) = -\sin(x) $3.$ \frac{d}{dx} (\tan(x)) = \sec^2(x) $复合函数导数若 $ y = f(g(x)) $，则 $ \frac{dy}{dx} = \frac{df}{dg} \cdot \frac{dg}{dx} $导数运算法则和差法则若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 关于 $ x $ 可导，则：1.$ \frac{d}{dx} (u(x) + v(x)) = \frac{du}{dx} +\frac{dv}{dx} $2.$ \frac{d}{dx} (u(x) - v(x)) = \frac{du}{dx} -\frac{dv}{dx} $乘法法则若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 关于 $ x $ 可导，则：$ \frac{d}{dx} (u(x) \cdot v(x)) = u(x) \cdot \frac{dv}{dx} + v(x) \cdot \frac{du}{dx} $商法则若 $ u(x) $ 和 $ v(x) $ 关于 $ x $ 可导，且 $ v(x)eq 0 $，则：$ \frac{d}{dx} \left( \frac{u(x)}{v(x)} \right) = \frac{v(x)\cdot \frac{du}{dx} - u(x) \cdot \frac{dv}{dx}}{(v(x))^2} $运算法则的应用通过以上运算法则，我们可以对各种函数进行求导操作。
求函数的导数公式
求函数的导数公式函数的导数公式是描述函数在某一点处斜率的一种数学工具，对于一般的函数f(x)，它的导数可以用下面的公式来表示：1.导数的定义公式f'(x) = lim(h->0) [f(x + h) - f(x)]/h在这个公式中，f(x + h)表示以点(x + h, f(x + h))为端点的割线斜率，f(x)是函数f(x)在点x处的函数值，h表示x + h与x之差，即点(x + h, f(x + h))与点(x, f(x))之间的距离。
这个公式是导数定义的最基本形式，通常用于求解复杂函数的导数。
2.基本求导公式f'(x) = k，k为常数[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)[f(g(x))]’ = f'(g(x))g'(x)f’(x)/g(x) = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]^2[f(x)]^n = nf'(x)[f(x)]^(n-1)，n为正整数这里列举了一些常用的求导公式。
对于任何由基本函数组成的函数，都可以使用这些公式求其导数。
3.导数的运算法则导数具有很好的运算性质，常用的运算法则有：（1）线性性质：f(x) ±g(x)的导数为f'(x) ±g'(x)，kf(x)的导数为kf'(x)，k为常数。
（2）乘积法则：[f(x)g(x)]' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
（3）商数法则：[f(x)/g(x)]' = [f'(x)g(x) - f(x)g'(x)]/[g(x)]^2。
（4）复合函数的求导法则：如果y = f(g(x)),那么y' = f'(g(x))g'(x)。
以上是函数导数的一些基本公式和运算法则。
导数公式及导数的运算法则
5.y f (x) 1 x
6.y f (x) x
1.函数 y = f (x) =c 的导数
因 y f x x f x c c 0，
x
x
x
y y=c
所以 y' lim y lim 0 0. x0 x x0
看几个例子:
例3.已知y log2 x，求曲线在点 x 2处的切线方程.
y 1 2 (x 2) 2 2 ln 2
例4.已知y cos x，求曲线在点
x 5 处的切线方程.
6
y 3 1 (x 5π )
22 6
例5：求下列函数的导数
1 (1).y x4 ; (2).y x x.
法则2:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个 函数,加上第一个函数乘第二个函数的导数 ,即:
f (x) g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
法则3:两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘第二个
函数,减去第一个函数乘第二个函数的导数 ,再除以第二个函
数的平方.即: f (x) f (x)g(x) f (x)g(x)
2x
x x 1(是常数)
推广:
y f (x) x ( Q)
y/ x 1
这个公式称为幂函数的导数公式.
事实上 可以是任意实数.
基本初等函数的导数公式
1.若f(x)=c，则f'(x)=0
2.若f(x)=xn，则f'(x)=nxn-1(n R)
3.若f(x)=sinx，则f'(x)=cosx
一、复习
1. 导数的几何意义 导数的物理物理意义
函数导数四则运算法则
函数导数四则运算法则
函数导数的四则运算法则是指当对函数的四则运算时，其导数的运算规则。
函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在进行函数的计算时，以及在实际应用中，都有着重要的作用。
函数导数四则运算法则一共有四条，分别是：
1、加法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
和的导数是：f'(x)+g'(x)。
2、减法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
差的导数是：f'(x)-g'(x)。
3、乘法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
积的导数是：f(x)g'(x)+g(x)f'(x)。
4、除法法则：如果f(x)和g(x)是两个函数，那么它们的
商的导数是：[f'(x)g(x)-f(x)g'(x)]/[g(x)]^
2。
这四条函数导数四则运算法则也就是所谓的求导法则，是在函数求导中常用到的，它们分别表示了当函数进行加减乘除运算时，其导数的计算方法。
这些法则可以帮助我们更加简便、快速地求出函数的导数，从而解决函数求导中的问题。
函数导数的四则运算法则在实际应用中也有着重要的作用，比如在机器研究中，梯度下降法就使用了这些法则，它可以用来求解机器研究的复杂优化问题；此外，它还可以应用于统计学中的概率论，例如统计推断中的梯度下降法也使用了函数导数四则运算法则。
总之，函数导数四则运算法则是微积分中的一个重要概念，在数学计算、实际应用等方面都有着重要的作用，因此，研究这些法则也是十分重要的。
导数的基本公式及运算法则
2.2.1基本初等函数的导数公式
c' 0 (c为任意常数)
(x ) = x -1 .
(ax) = ax lna . (ex) = ex.
1 (log a x) x ln a .
(ln x) 1 . x
(sin x) = cos x.
(cos x) = - sin x.
2.2.3 高阶导数
如果可以对函数 f(x) 的导函数 f (x) 再求导，
所得到的一个新函数，称为函数 y = f(x) 的二阶导数，
记作 f (x) 或 y 或
d2 y dx2 .
如对二阶导数再求导，则
称三阶导数，记作 f (x) 或
d3 y dx 3
.
四阶或四阶以上导
数记为 y(4)，y(5)，···，y(n) 或
推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均 可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导，
yx yu uv vx .
以上法则说明：复合函数对自变量的导数等于复合 函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.
例4.求下列函数的导数：
1）y (3x2 1)3;
的二阶偏导数.
依照对变量的不同求导次序， 二阶偏导数有四
个：（用符号表示如下）
z x
x
x
z x
2z x2
f xx( x, y) zxx;
z x
y
y
z x
2z x y
f xy ( x, y)
zxy;
z y
x
x
z y
2z y x
f yx ( x, y)
zyx ;
导数基本公式与运算法则
y'
.
设 y 1 2x5x2 3x 1 求 y '
例2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ已知
f
x
x 2 x 2 ，求
x3
f ' 1
.
练习 求 y tan x 的导数。
tan x' 1 sec2 x
cos2 x
cot x'
s
1 in 2
x
csc2
x.
2、复合函数的导数
定理 设函数 u x 在点x 数 y f u在点u 处有导数
处有导数 du ' x ，函
dy
f
dx
' u ，则复合函数
du
y f x在该点 x 也有导数，且
dy f ' u ' x
dx
或
y
' x
yu'
u'
或 dy dy du
dx du dx
这个定理说明，复合函数的导数等于复合函数对中 间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。
例题 求下列函数的导数： (1) y sin 3 x (2) y 4 3x2
练习：求 y ln cosx 的导数。
由定理的结论可以推广到多次复合的情况。例如
设 y f u,u v,v x ，则复合函数 y f x
2.2导数基本公式与运算法则
1、导数的四则运算法则
1.1、代数和的导数
设函数ux和vx 在点x处可导，则 y ux vx 在点x
处也可导，且
u v' u ' v '
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
讲解经济学中的温水煮青蛙现象。虽然每年只有8分钱，但在 不知不觉中物价已经让你承担不起。
例5 日常生活中的饮用水通常是经过净化的。随着水 纯净度的提高，所需净化费用不断增加。已知将1吨水 净化到纯净度x%时所需费用（单位：元）为
c(x) 5284 (80 x 100) 100 x
求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率： （1）90％ （2）98％
解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数
c'(x)
( 5284 100 x
)'
5284'(100
x) 5284 (100 x)2Βιβλιοθήκη (100x)'
0 (100 x) 5284 (1) (100 x)2
5284 (100 x)2
例2 假设某国家在20年期间的平均通货膨胀率为5％，物价p(单位： 元)与时间t（单位：年）有如下函数关系
p(t) p0 (1 5%)t
其中p0为t = 0时的物价。假定某种商品的p0=1,那么在第10个年 头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到）?
解：根据基本初等函数导数公式表，有
p'(t) 1.05t ln1.05 p'(10) 1.0510 ln1.05 0.08(元 / 年)
解：因为 y (x3 2x 3)
(x3 ) (2x) (3) 3x2 2
所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y ' 3x2 2
既然导数可求，那可以求这个函数图像的切线吗？原来的旧方 法没用了吧！我们用几何画板画出此函数的图像。
2.已知函数y=xlnx (1)求这个函数的导数 (2)求这个函数在点x=1处的切线方程
导数公式及运算法则有什么
导数公式及运算法则有什么导数在数学中属于比较难的知识点，那幺怎样才能学好导数呢，下面小编为大家提供导数公式以及倒数的运算法则，仅供大家参考。
什幺是导数导数（Derivative）是微积分中的重要基础概念。
当函数y=f(x)的自变量x在一点x0上产生一个增量Δx时，函数输出值的增量Δy与自变量增量Δx的比值在Δx趋于0时的极限a如果存在，a即为在x0处的导数，记作f'(x0)或df(x0)/dx。
导数是函数的局部性质。
一个函数在某一点的导数描述了这个函数在这一点附近的变化率。
如果函数的自f'(x)=-sinx f(x)=a f'(x)=alna(a>;0且a不等于1,x>;0) f(x)=e f'(x)=e f(x)=logaX f'(x)=1/xlna (a>;0且a不等于1,x>;0) f(x)=lnx f'(x)=1/x (x>;0) f(x)=tanx f'(x)=1/cos x f(x)=cotx f'(x)=- 1/sin x 导数运算法则如下 (f(x)+/-g(x))'=f'(x)+/- g'(x) (f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x) (g(x)/f(x))'=(f(x)'g(x)-g(x)f'(x))/(f(x)) 导数的求导法则由基本函数的和、差、积、商或相互复合构成的函数的导函数则可以通过函数的求导法则来推导。
基本的求导法则如下： 1、求导的线性：对函数的线性组合求导，等于先对其中每个部分求导后再。
导数的运算公式和运算法则
导数的运算公式和运算法则导数可是高中数学中的一个重要概念，它的运算公式和运算法则就像是打开数学世界奇妙之门的钥匙。
咱们先来说说常见的导数运算公式。
比如说，对于函数 $f(x) =x^n$ （$n$ 为常数），它的导数就是 $f'(x) = nx^{n-1}$ 。
这就好比是给一个数穿上了速度的外衣，能让我们更清楚地看到它变化的快慢。
再比如，对于函数 $f(x) = \sin x$ ，它的导数是 $f'(x) = \cos x$ ；对于函数 $f(x) = \cos x$ ，导数则是 $f'(x) = -\sin x$ 。
这是不是有点像变魔术，一下子就变出了新的东西。
还有，常数的导数为 0 ，这就好像是一个静止不动的家伙，压根没有变化的趋势。
接下来说说导数的运算法则。
加减法则，就像是把两个小伙伴的速度合起来或者分开算。
如果有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ ，那么 $(f(x) ±g(x))' = f'(x) ± g'(x)$ 。
乘法则有点复杂，就像两个小伙伴手拉手一起跑，速度的关系就变得微妙起来。
如果是两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 相乘，那么 $(f(x)g(x))' = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$ 。
除法则更是需要我们多费点心思，就好比是要算出两个小伙伴一起跑，但其中一个跑快了或者跑慢了对整体速度的影响。
如果是$f(x)÷g(x)$ ，那么它的导数就是$\frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$ 。
给大家讲讲我之前教学生导数的一个小经历。
有个学生叫小李，这孩子特别聪明，但就是对导数的运算法则总是弄混。
有一次做练习题，遇到一个函数是两个式子相除的形式，小李想都没想就直接把分子分母分别求导，然后就得出了答案。
我一看，哭笑不得，这孩子明显是把法则给记错了。
导数公式大全
导数公式大全导数是微积分中一个重要的概念，用于描述函数的变化率。
在实际应用中，导数广泛用于求解最优化问题、曲线拟合、物理问题以及其他各种工程和科学领域。
下面是一些常用的导数公式，它们可以帮助我们计算各种函数的导数。
1.基本函数的导数公式（1）常数函数：f(x)=C，其中C为常数，导数为0。
（2）幂函数：f(x) = x^n，其中n为正整数，导数为f'(x) =nx^(n-1)。
（3）指数函数：f(x)=e^x，导数为f'(x)=e^x。
（4）对数函数：f(x) = ln(x)，导数为f'(x) = 1/x，其中x大于0。
（5）三角函数：正弦函数：f(x) = sin(x)，导数为f'(x) = cos(x)。
余弦函数：f(x) = cos(x)，导数为f'(x) = -sin(x)。
正切函数：f(x) = tan(x)，导数为f'(x) = sec^2(x)。
（6）反三角函数：反正弦函数：f(x) = arcsin(x)，导数为f'(x) = 1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反余弦函数：f(x) = arccos(x)，导数为f'(x) = -1/√(1-x^2)，其中-1<x<1反正切函数：f(x) = arctan(x)，导数为f'(x) = 1/(1+x^2)。
2.基本运算法则（1）和差法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
（2）常数倍法则：若f(x)是可导函数，则有(k·f(x))'=k·f'(x)，其中k为常数。
（3）乘积法则：若f(x)和g(x)是可导函数，则有(f(x)·g(x))'=f'(x)·g(x)+f(x)·g'(x)。
导数运算法则加减乘除
导数运算法则加减乘除一、导数的定义导数是微积分中重要的概念，它主要用于表达函数在某一点处的变化速度。
可以用来研究函数运动规律，反映函数曲线的变化趋势。
二、导数的运算1、加法运算规则：设函数f（x）=f1（x）+f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）+f2'（x）2、减法运算规则：设函数f（x）=f1（x）-f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）-f2'（x）3、乘法运算规则：设函数f（x）=f1（x）*f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=f1'（x）*f2（x）+f2'（x）*f1（x）4、除法运算规则：设函数f（x）=f1（x）/f2（x），其中有f（x）在x处可导，则有f（x）的导数：f'（x）=（f1'（x）*f2（x）-f2'（x）*f1（x））/（f2（x）*f2（x））三、导数运算法则的应用导数运算法则广泛应用于几何、物理学、经济学、管理学等多学科，其应用范围非常广泛。
例如，在几何学中，用来描述曲线的凹凸性，在物理学中，可以用来解析运动物体的位移关系，也可以用来研究二者之间的力学原理。
在经济学中，导数法则可以用来研究经济中的边际效应，以及经济变量之间的关系。
在管理学中，可以应用导数法则进行管理绩效的诊断，以便更好地进行企业管理。
四、总结导数具有重要的概念价值和重要的应用价值，可以用来描述函数的变化，反映曲线的变化趋势。
导数运算法则几乎可以应用于各学科领域，可以使解决问题的过程更有效率。
导数公式、导数基本运算法则
导数公式、导数基本运算法则作为很多算法的基础--导数，一定会被算法工程师经常用到。
例如前面的文章中提到的--牛顿高斯迭代[matlab模型]。
算法中的变量 J 便是函数 y=a\cdot e^{b\cdot x} 在 x_{0} 处对 a、b 的偏导数。
为了想不起来时候有地方查找，这篇文章将记录最基本的导数公式，及导数的基本运算法则。
基础导数公式公式1： f(x) = a....................................................导数： f'(x) = 0公式2： f(x) =x^{a} .................................................导数： f'(x) = a\cdot x^{a-1}公式3： f(x) =a^{x} ................................................ ..导数： f'(x) = a^{x}\cdot ln(a)公式4： f(x) =e^{x} ................................................ ...导数： f'(x) = e^{x}公式5： f(x) =log_{a}(x).........................................导数： f'(x) = \frac{1}{x\cdot ln(a)}公式6： f(x) =ln(x).............................................导数： f'(x) = \frac{1}{x}sin(x)..........................................导数：f'(x) = cos(x)公式8： f(x) =cos(x) .........................................导数：f'(x) = -sin(x)公式9： f(x) =tan(x) ........................................导数：f'(x) = sec^{2}(x)公式10：f(x) =cot(x) ........................................导数：f'(x) = -csc^{2}(x)公式11： f(x) =sec(x) ......................................导数：f'(x) = sec(x) \cdot tan(x)公式12： f(x) =csc(x) ......................................导数：f'(x) = -csc(x)\cdot cot(x)公式13： f(x) =arcsin(x) ..............................导数： f'(x) = \frac{1}{\sqrt{1- x^{2}}}公式14： f(x) =arccos(x) ..............................导数： f'(x) = \frac{-1}{\sqrt{1-x^{2}}}arctan(x) ..............................导数： f'(x) = \frac{1}{1+x^{2}}公式16： f(x) =arccot(x) ...............................导数： f'(x) = \frac{-1}{1+x^{2}}以上是我们常见的基本函数的求导公式，其中公式4是公式3的特殊存在，公式6是公式5的特殊存在。
导数的四则运算法则
导数的四则运算法则导数的四则运算法则是微积分中常用的法则，它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
在微积分中，导数表示函数变化率的概念，它可以通过极限的方法计算得到。
四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
1.加法法则：如果两个函数f(x)和g(x)都可导，则它们的和函数(f+g)(x)也可导，且有(d/dx)(f+g)(x) = f'(x) + g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之和等于它们的和函数的导数。
2.减法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的差函数(f-g)(x)也可导，且有(d/dx)(f-g)(x) = f'(x) - g'(x)。
这个法则表明，两个函数的导数之差等于它们的差函数的导数。
3.乘法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，则它们的乘积函数(f*g)(x)也可导，且有(d/dx)(f*g)(x) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
这个法则可以通过展开乘积并使用导数定义来证明。
它表示两个函数的导数之乘等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以其中一个函数的导数。
4.除法法则：如果函数f(x)和g(x)都可导，并且g(x)不等于零，则它们的商函数(f/g)(x)也可导，且有(d/dx)(f/g)(x) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g^2(x)。
这个法则可以通过乘法法则和导数的倒数法则来证明。
它表示两个函数的导数之商等于分子的导数乘以分母减去分母的导数乘以分子再除以分母的平方。
总结：导数的四则运算法则包括加法法则、减法法则、乘法法则和除法法则。
它们描述了导数在加减乘除运算中的规律。
利用这些法则，我们可以对函数进行导数计算，从而求解各种应用问题，如曲线的切线方程、最优化问题等。
这些法则是微积分中基础且重要的内容，值得深入学习和掌握。
导数公式及导数的运算法则
导数公式及导数的运算法则导数是微积分中的重要概念之一，它描述了函数在其中一点处的变化速率。
导数公式和导数的运算法则是求导过程中常用的工具。
本文将详细介绍导数的公式及运算法则，包括常见的导数公式、基本运算法则、链式法则、求高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。
一、导数公式1.常数的导数公式：若y=c（c为常数），则y'=0。
2.幂函数的导数公式：若y=x^n（n为常数），则y' = nx^(n-1)。
3.指数函数的导数公式：若y=a^x（a为常数且a>0），则y' =a^xlna。
4.对数函数的导数公式：若y=loga(x)（a为常数且a>0，且a≠1），则y' = 1/(xlna)。
5.三角函数的导数公式：若y=sin(x)，则y' = cos(x)；若y=cos(x)，则y' = -sin(x)；若y=tan(x)，则y' = sec^2(x)。
6.反三角函数的导数公式：若y=arcsinx，则y' = 1/sqrt(1-x^2)；若y=arccosx，则y' = -1/sqrt(1-x^2)；若y=arctanx，则y' =1/(1+x^2)。
二、导数的基本运算法则1.和差法则：若y=u±v，则y'=u'±v'。
2.数乘法则：若y = cu（c为常数），则y' = cu'。
3.乘积法则：若y = u·v，则y' = u'v + uv'。
4.商法则：若y = u/v，则y' = (u'v - uv')/v^2（v≠0）。
5.复合函数法则（链式法则）：若y=f(g(x))，则y'=f'(g(x))·g'(x)。
三、高阶导数高阶导数是指求得导函数后再对导函数求导的过程，常用的高阶导数符号有y''、y'''，分别表示二阶导数、三阶导数等。
导数公式及导数的运算法则
y' 4x5
y'
3
1
x2
2
练习:求下列函数的导数:
(1) y 1 2 ; x x2
(2)
y
x 1 x2
;
(3) y tan x;
答案:
(1)
y
1 x2
4 x3
;
(2)
y
1 x2 (1 x2 )2
;
(3)
y
1 cos2
x
;
课后思考:
如何求函数 y 2xsin(2x 5) 的导数?
1
1.
x0 x x0 x x x 2 x
小结
1.若 f (x)=c（c为常数）, 则f (x)=0 ； 2.若 f (x)=x, 则f (x)=1 ； 3.若 f (x)=x2 ,则f (x)=2x ；
4.若f
x
1 x
, 则f
'
x
1 x2
；
5.若f x x,则f 'x 1 .
(1)从图象上看,它们的导数分别表示什么?y y=4x y=3x
(2)这三个函数中,哪一个增加得最 快?哪一个增加得最慢?
y=2x
2
y=x
1
(3)函数y=kx(k≠0)增(减)的快 慢与什么有关?
-2 -1 -1
-2
1 2x
函数 y= f (x)= kx 的导数
因为 y f x x f x
4.若f(x)=cosx，则f'(x)=-sinx
5.若f(x)=ax，则f'(x)=ax ln a
导数的四则运算法则公式推导过程
导数的四则运算法则公式推导过程1. 一阶导数概念：一阶导数指函数上一点的变化率或斜率，它反映了函数围绕该点的变化情况。
函数在某一点处的导数反映了函数在这一点处（即你求导所用值处）的变化速度。
一阶导数如果是非零，则这个值表示函数在该点向右是可以变大或者在该点向左可以变小；如果为零，表示函数在该点是拐点。
2. 常见的四则运算法则：（1）加法法则：函数f(x)和g(x)的一阶导数之和即为：(f+g)’=f’+g’。
（2）减法法则：函数f(x)和g(x)的一阶导数之差即为：(f-g)’=f’-g’。
（3）乘法法则：函数f(x)和g(x)的一阶导数之积即为：(f*g)’=f’*g + f*g’。
（4）除法法则：函数f(x)和g(x)的一阶导数之商即为：(f/g)’=[f’*g -f*g’]/g〔2〕。
3. 对上述四则运算法则的推导过程：（1）加法法则：函数 f(x) 和 g(x) 的导数为f’(x) 和g’(x)，根据定义，函数f(x)和g(x)的一阶导数之和即为：y’=f’(x)+g’(x)，令y=f(x)+g(x)，则y’=f’(x)+g’(x)，即有：（f+g）’=f’+g’。
（2）减法法则：函数 f(x) 和 g(x) 的导数为f’(x) 和g’(x)，根据定义，函数f(x)和g(x)的一阶导数之差即为：y’=f’(x)-g’(x)，令y=f(x)-g(x)，则y’=f’(x)-g’(x)，即有：（f-g）’=f’-g’。
（3）乘法法则：函数 f(x) 和 g(x) 的导数为f’(x) 和g’(x)，根据定义，函数f(x)和g(x)的一阶导数之积即为：y’=f'(x)·g'(x)，令y=f(x)*g(x)，令y=(f（x）·g（x））=f（x）·g（x），则y’=f'(x)·g'(x)，即有：（f*g）’=f'*g+f*g'。
导数的计算公式和运算法则
导数的计算公式和运算法则
微积分中求导是一种关于函数变化的基本概念，它是描述瞬时变化率的重要方法，是研究函数变化规律的重要步骤。
求导技术可以帮助计算微分方程中变量的变化率，并用于求函数极值、特征值等。
求导有着多条计算公式和运算法则：
1.“常数的微分是式零”原则：函数增量内的任何一个常数的微分均等于零；
2.“恒等式微分”原则：两边同时求导后仍旧保持等式；
3.“加法原则”：当函数中存在“加法”操作时，在求导时“加法”变“乘法”；
4.“乘法原则”：当函数中存在“乘法”操作时，在求导时“乘法”变“幂的和”；
5.“嵌套函数的求导”原则：一个函数出现在另一个函数内部时，在求其求导
时需用到链式法则。
此外，由于求导的计算习惯，某些求导结果可以被采用一般法则来减少计算工作。
例如求单变量函数的导数时，多项式函数采用“指数求导法则”，指数函数采用“幂求导法则”，三角函数采用“三角求导法则”等。
基本上，所有计算求导的结果都可以用某种运算法则证明，它们可以把复杂的
函数变换成更简单的形式，从而便于进行计算。
求导结果可以理解为函数的变化率，对于复杂函数的推导很有用，让我们能够更快、更有效地求解与之相关的数学问题。
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课堂小结
1. 由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、
减、乘运算得到的简单的函数均可利用求 导法则与导数公式求导，而不需要回到导
数的定义去求此类简单函数的导数 .
2.导数的运算法则 1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′ 2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′
t p t 5 1.05 当p0 5时， ，这时，求P 关于t的导数可以看成函数f(t)=5与g(t)= 1.05t 乘积得到导数.下面的“导数运算法则”
可以帮助我们解决两个函数加﹑减﹑乘﹑ 除的求导问题.
根据导数的定义，可以推出可导 函数四则运算的求导法则
若u=u(x)，v=v(x)在x处可导，则
a ( A)
1 B． 2
D．1
随堂练习
1、 根据基本初等函数的导数公式和
导数运算法则，求函数 y x3 2 x 3 的导数.
解 因为y x 2 x 3
' 3
'
x
3 '
2 x 3
'
'
3x2 2.
随堂练习
2、 求下列函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数
y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为
y x′ = yu′ ux′.
即y对x的导数等于y对u的导数与 u对x的导数的乘积.
问题解答
由此可得，y=㏑(3x+2)对x的导数 等于y= ㏑u对u的导数与u=3x+2对x的
导数的乘积，即
1 3 y x′ = y u′ ux′ = lnu ′ = 3 = 3x + 2′ u 3x + 2
例7
x2 6 x 3 ( x 2 3)2
9 18 3 24 1 y | x 3 2 (9 3) 144 6
'
导数的运算法则 1. [f(x) ±g(x)] ′=f′(x) ±g(x) ′; 2. [f(x) .g(x)] ′=f′(x) g(x)± f(x) g(x) ′;
f x f′ x g x f x g′ x 3. g x 0 . ′ 2 g x g x
如何求函数y=㏑（x+2）的函数呢？ 我们无法用现有的方法求函数y= ㏑（x+2）的导数.下面，我们先分析 这个函数的结构特点.
若设u=x+2（x>-2），则 y=ln u.即y=㏑（x+2）可以看 成是由y=ln u和u=x+2（x>-2） 经过“复合”得到的，即y可 以通过中间变量u表示为自变 量x的函数.
名词解释
一般地，对于两个函数y=f(u)和 u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成 x的函数，那么称这个函数为函数 y=f(u)和u=g(x)的复合函数.记做 y=f(g(x)).
习题答案
练习（第18页）
1. f ' ( x) 2 x 7, 所以，f ' (2) 3, f ' (6) 5. 1 ' 2.(1) y ; (2) y' 2ex ; x ln 2
(3) y' 10 x4 6 x;
(4) y' 3sin x 4cos x;
解：根据基本初等函数的导数公式表，有
p ' t 1.05t ln1.05.
所以,p' 10 1.051 0 ln1.05 0.08元 / 年.
因此，在第10个年头，这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
如果上式中的某种商品的 p0 5 ， 那么在第10个年头，这种商品的价格 上涨的速度大约是多少？
= -0.05eu = -0.05e-0.05x+1 .
2函数y = sin πx + φ 可以看作函数
y = sinu和u = πx + φ的复合函数由复 . 合函数求导法则有
' y'x yu u'x sinu' πx φ'
π cosu π cosπx φ.
情感态度与价值观
经历由实际问题中抽象出导数概 念，使同学们体会到通过导数也能刻
画现实世界中的数量关系的一个有效
数学模型.
教学重难点
重点
理解简单复合函数的复合过程.
难点
函数的积、商的求导法则的推 导及复合函数的结构分析.
知识要点
为了方便，今后我们可以直接使 用下面的初等函数的导数公式表：
基本初等函数的导数公式
请同学们自 己证明
知识拓展
推论 : (Cu ) Cu
例4
求 y = 2x - 3x + 5x - 4的导数？
2 2
解：由导数的基本公式得：
y 4x 6x 5 5 x
'
例5
求 y = (2x2 + 3)(3x - 2) 的导数？
解：由导数的基本公式得：
y ' (4 x)(3x 2) (2 x 2 3) 3 12 x 2 8 x 6 x 2 9 18 x3 8 x 9
3.商的导数
法则3 两个函数的商的导数,等于分子 的导数与分母的积,减去分母的导数与分 子的积,再除以分母的平方,即
f '( x0 ) g ( x0 ) f ( x0 ) g ( x0 ) f(x) [ ]' |x x0 2 g(x) g ( x0 )
例6
x2 y= 的导数. sinx
f x f′ x g x - f x g′ x 3. = g x 0 ′ 2 g x g x
3.复合函数的复合过程 利用复合函数的求导法则来求 导数时,选择中间变量是复合函数 求导的关键.
高考链接
'
例1
假设某国家在20年期间的年通货膨胀 率为5﹪，物价p（单位：元）与时间t（单 t p t p 1 5% ，其 位：年）有函数关系 0 中 p0 为t=0时的物价.假定某商品的 p0 1 那么在第10个年头，这种商品的价格上涨 的速度的大约是多少（精确到0.01）？
1 x (5) y sin ; 3 3 1 ' (6) y . 2 x 1
'
1. 若 f x c,则 f x 0 ;
'
2. 若 f x xn n N ,则 f ' x nxn1 ;
3. 若 f x sin x,则 f ' x cos x ; 5. 若 f x ax ,则 f ' x ax ln a;
f ( x)
例8
求函数 y = 2x + 3 的导数.
2
解：函数 y 2 x 3 可以看作函数 y u
2
3
和 u 2 x 3 的复合函数.由复合函数求 导法则有
y y u u
' x ' u ' x
2 '
2 x 3
'
4u 8 x 12.
4. 若 f x cosx,则 f ' x sin x ;
6. 若 f x ex ,则 f ' x ex ;
1 7. 若 f x loga x, 则 f x ; x lna 1 ' 8. 若 f x ln x, 则 f x . x
; 1 y e 2 y sin x 其中 , 均为常数 .
0.05 x 1
（1）函数 y = e-0.05x+1 可以看做函 u 数 y = e 和 u = -0.05x + 1 的复合函 数.由复合函数的求导法则有
= eu ′ -0.05x + 1 ′ y x′ = yu′ ux′
是什么呢?
又如我们知道函数y=1/x2的导数是
学习了这节课， 就可以解决这些 问题了！
3.2.2 基本初等函数的导数 公式及导数的运算法则
教学目标
知识与能力
（1）掌握基本初等函数的导数公式.
（2）会运用导数的运算法则及简 单复合函数的复合过程.
过程与方法
（1）通过丰富的实例，了解求函数 的导数的流程图. （2）理解两个函数的和(或差)的导 数法则，学会用法则求一些函数的导 数．
(2008海南、宁夏文)设 f ( x) x ln x ，若
（B ） f '( x0 ) 2 ，则 x0
A. e C. ln 2
2
2
B. e D. ln 2
(2008全国Ⅱ卷文)设曲线 y ax 在点（1,
2
a ) 处的切线与直线 2 x y 6 0
平行,则
A．1
C． 1 2
2 ' 2 ' ( x ) sin x x (sin x ) 解：y ' 2 sin x
2 x sin x x 2 cos x sin 2 x
x+3 求y = 2 在点x = 3处的导数. x +3
2 1 ( x 3) ( x 3) 2 x ' 解：y ( x 2 3)2
2
y 0； y ' 1；
'
y ' 2 x；
1 y' 2 . x
1 4) y f ( x) , x
新课导入
由上节课的内容可知函数y=x2
的导数为y’=2x，那么，于一般的