7方差分析
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统计学 7方差分析
13
四、单因素方差分析
（二）分析步骤
•1、提出假设 •2、构造检验统计量 •3、统计决策
2020/4/26
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1、提出假设
1) 一般提法
▪ H0 ： 1 = 2 =…= k
• 自变量对因变量没有显著影响
▪ H1 ： 1 ，2 ，… ，k不全相等
• 自变量对因变量有显著影响
2) 注意：拒绝原假设，只表明至少有两个总 体的均值不相等，并不意味着所有的均值 都不相等
12
四、单因素方差分析
（一）单因素方差分析的数据结构 (one-way analysis of variance)
观察值 ( j )
1 2 : ni
水平A1
x11 x12 :
x 1n1
因素A ( i )
水平A2
…
x21
…
x22
…
:
:
x 2n2
…
水平Ak
xk1 xk2 :
x knk
2020/4/26
3. 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就
是比较组间方差与组内方差之间差异的大小
2020/4/26
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（4）计算均方MS
1. 各误差平方和的大小与观察值的多少有关，为
消除观察值多少对误差平方和大小的影响，需
要将其平均，这就是均方，也称为方差
2. 计算方法是用误差平方和除以相应的自由度
3. 三个平方和对应的自由度分别是
系统误差：在因素的不同水平(不同总体)下，各
观察值之间的差异。比如，同一家超市，不同颜色饮
料的销售量也是不同的，这种差异可能是由于抽样的 随机性所造成的，也可能是由于颜色本身所造成的， 后者所形成的误差是由系统性因素造成的，称为系统 误差。
第七章方差分析与F检验
第七章 方差分析
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
• 方差分析又称做变异分析，它的主 要功能在于分析实验数据中不同来 源的变异对总变异的贡献大小，如 实验处理引起的变异、被试个体差 异带来的变异、实验误差带来的变 异等，从而确定实验中的自变量是 否对因变量有重要影响。
第一节 方差分析的基本原理
一、方差分析的基本原理：综合的F检验 （一）综合虚无假设与部分虚无假设 方差分析主要处理多于两个以上的平均数
1、建立假设：H0:μ1=μ2=…=μk H1:至少有两个总体平均数是不
同的，即处理效应不全为0 2、计算离差平方和 3、求均方 4、计算F值 5、进行F检验
6、列出方差分析表
变异来源
组间变异 （处理）
组内变异 （误差）
总变异
自由度 平方和 均方 F
dfb=k-1
SSb MSA MSA/
Dfw=∑(n-1) SSw MSE MSE
（六）陈列方差分析表
二、方差分析的基本条件
1、数据所代表的总体必须是正态分布， 即样本必须来自属于正态分布。
2、变异具有可分解性。
3、各组内的方差应无显著差异。因此 理论上在做方差分析之前应先对各 组方差的一致性进行检验。
第二节 单因素完全随机化设 计的方差分析
完全随机设计的方差分析，就是对单因素 组间设计的方差分析。在这种实验研究 设计中，各种处理的分类仅以单个实验 变量为基础，因而把它称为单因素方差 分析或单向方差分析。
③计算均方
MSb=MSA=SSb/dfb=43.33/2=21.67 MSw=MSE=SSw/dfw=30.00/12=2.50 ④计算F值,进行F检验,做出决断
F= MSb/ MSw=21.67/2.50=8.67 查F表,F0.05(2,12)=3.88 8.67>3.88,拒绝虚无假设,可以认为在
7方差分析和一般线性模型
13.880 25.497
Sig. .000 .000 .000
• 促 销 (promot) 的 F 检 验 统 计 量 ( 其 自 由 度 来 自 promot 和
error的自由度:2,20)取值为13.880,p-值为0.000(更精确
些是0.0001658).而售后服务的F检验统计量为25.497，
Sig. .000
[PROMOT=1.00]
32.708
1.865
17.539
.000
[PROMOT=2.00]
40.333
1.865
21.628
.000
[SERVICE=.00]
-9.417
1.865
-5.049
.000
[SERVICE=1.00]
0a
.
.
.
a. This parameter is set to zero because it is redundant.
度 n-p,在正态分布的假设下, 如果各组增重均值相等(零
假设), 则
F MSB SSB /( p 1) MSE SSE /(n p)
有自由度为 p-1 和n-p 的F 分布.
10
由SPSS可以得到方差分析表:
(比较一元总体的) ANOVA
WEIGHT(重量)
Sum of Squares(平 方和)
Between Groups(处 理)
SSB
Within Groups
SSE
(误差)
Total(总和)
SST
Df
自由度
P-1
n-p
n-1
Mean Square(均 方)
MSB=SSB/(p-1)
Sig. .000 .000 .000
• 促 销 (promot) 的 F 检 验 统 计 量 ( 其 自 由 度 来 自 promot 和
error的自由度:2,20)取值为13.880,p-值为0.000(更精确
些是0.0001658).而售后服务的F检验统计量为25.497，
Sig. .000
[PROMOT=1.00]
32.708
1.865
17.539
.000
[PROMOT=2.00]
40.333
1.865
21.628
.000
[SERVICE=.00]
-9.417
1.865
-5.049
.000
[SERVICE=1.00]
0a
.
.
.
a. This parameter is set to zero because it is redundant.
度 n-p,在正态分布的假设下, 如果各组增重均值相等(零
假设), 则
F MSB SSB /( p 1) MSE SSE /(n p)
有自由度为 p-1 和n-p 的F 分布.
10
由SPSS可以得到方差分析表:
(比较一元总体的) ANOVA
WEIGHT(重量)
Sum of Squares(平 方和)
Between Groups(处 理)
SSB
Within Groups
SSE
(误差)
Total(总和)
SST
Df
自由度
P-1
n-p
n-1
Mean Square(均 方)
MSB=SSB/(p-1)
第7章：方差分析
15.75
k
x
njxj
j 1
K
nj
811.5 88.625 815.75 888
11.9583
kr
SST
(xij - x)2
i1 j1
8
8
8
(x1 j - x)2 (x2 j - x)2 (x3 j - x)2
j 1
2.水平 水平是指因子在实验中所处的不同状态。如，例7.1中三个分 店处于三个不同的位置，每个位置被看作是一种水平。
3.观察值 观察值是指在具体的因素水平下，实验样本的观察数据。如， 例7.1中每个分店在8个观察日的销售额。
4.交互影响 当方差分析的影响因素不唯一时，需要关注各因素之间是否独 立。如果因素之间存在相互作用，我们称之为“交互影响”， 实际中这个交互影响可以看成是试验结果产生作用的一个新因 素，需要单独分离出来进行分析。
17
3
10
9
13
4
13
12
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5
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7
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6
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试分析这三家分店的平均日营业额是否相同，从而确定营业 地点这个位置因素是否对营业额有显著影响(α=5%)
相应的假设为：
H0 : 1 2 3 1，2，3三者不全相等
如果原假设成立，意味着营业位置对销售没有显著影响；如 果原假设不成立说明至少有两个地点的营业额是有显著差异的 ，即承认营业位置对销售存在显著影响。
方差分析是20世纪20年代发展起来的一种统计方法，是由 英国统计学家费舍尔在进行试验设计时为解释试验数据而首先 引入的。
第7章 方差分析-1
第一节 方差分析的基本原理
在科学研究中进行多个平均数间的 差异显著性检验，即方差分析。 方差分析的基本思想是将测量数据 的总变异按照变异原因不同分解为处 理效应和试验误差，并作出其数量估 计。
一、数学模型
假设有k组观测数据，每组有n个观 测值，则用线性可加模型来描述每 一个观测值，有：
xij i ij
F检验 若实际计算的F值大于 F0.05( df ,df )，则 F 值在α=0.05的水平上显著，我们以95% 的可靠性推断 代表的总体方差大于 S t2 S e2 代表的总体方差。这种用F值出现概率 的大小推断两个总体方差是否相等的 方法称为 F检验。 无效假设把各个处理的变量假设来自 同一总体，即H0:σt2=σe2，对HA:σt2≠σe2 。
在多因素试验中，实施在试验单位上的具体项 目是各因素的某一水平组合。例如进行3种饲
料和3个品种对猪日增重影响的两因素试验，
整个试验共有3×3=9个水平组合，实施在试 验单位(试验猪)上的具体项目就是某品种与某
种饲料的结合。所以，在多因素试验时，试验
因素的一个水平组合就是一个处理。
5、试验单位(experimental unit) 在试验中能接受不同试验处理的独立的试 验载体叫试验单位。 在畜禽、水产试验中， 一只家禽、 一头
2 ( x xi )( xi x ) 0
1
2
(x x)
1
n
2
( x x ) ( xi x )
2 1 1
n
n
2
把 k 个处理的离均差平方和累加，得：
( x )
1 1
k
n
2
n ( xi x ) ( x x )
第七章方差分析与F检验
• 5、主效应：实验中由一个因素的不 同水平引起的变异。
• 6、交互作用：当一个因素的水平在 另一个因素的不同水平上变化趋势 不一致时，称两个因素之间存在交 互作用。
• 7、处理效应：指实验的总变异中由 自变量引起的变异。如主效应、交 互作用。
• 8、误差变异：指总变异中不能由自变量或 明显的无关变量解释的那部分变异。包括 单元内误差和残差。
1、计算离差平方和：
1总平方和 :
SSt
X
2
X
N
2
2组间平方和 :
SSb
X
n
2
X
N
2
3组内平方和 :
SSw
X
2
X
n
2
（二）计算自由度
总自由度：dft=N-1 组间自由度： dfb=k-1 组内自由度： dfw=k（n-1) （三）计算均方
组间均方：MSb=MSA=SSb/dfb 组内均方：MSw=MSE=SSw/dfw （四）计算F值
一、几个基本术语
• 1、因素：指研究者在实验中感兴趣 的一个变量，研究者通过操纵、改 变它，来估价它对因变量的影响， 也叫自变量。
• 2、因素的水平：实验中所操纵的变 量的每个标定的值。这些值既可以 是数量的，如时间、年龄，也可以 是类别的，如职业、性别等。
• 3、因素设计：通常指多于一个因素的 实验设计。如一个含有两个因素，每个
F= MSb/ MSw
（五）查F值表进行检验并做出决断
假如拒绝虚无假设的p值定为0.05，如 果计算的值大于所确定的显著性水平 的临界值，表明F值出现的机率小于 0.05，就可拒绝虚无假设，可以说不 同组的平均数之间在统计上至少有一 对有显著差异。
如果计算的F值小于p为0.05的临界值， 就不能拒绝虚无假设，只能说不同组 的平均数之间没有显著差异。
统计学-方法、数据与R的应用 第7章 方差分析
统计学
——方法、数据与R的应用
第7章 方差分析
上课之前的话
t检验用于检验两个独立正态总体均值是否相 等。例如，检验对照组和处理组之间是否存在 差异 当要同时检验多个总体的均值是否存在差异时 ，此时就不能用t检验了，而需要使用方差分 析（Analysis of Variance，简称ANOVA）
基本引概言念
基本引概言念
做一些假定把所研究的问题归结为一个统计问题 ，然后用方差分析方法进行分析
• 一般情况下，把年龄分组这样的离散型变量称为因素或因子(factor) ，记为A。因素的取值称为水平(level)或处理(treatment)。这里， 因素就是变量，水平就是该变量的取值，这些名词是分类或属性变量 所特有的。对于本例，三个年龄段称为因素A的水平，分别记为A1， A2，A3。xij表示第i组的第j个职工的保险消费额，其中i=1，2，3； j=1，2，…，12
方差分析是英国统计学家费歇尔（R.A.Fisher） 在20世纪20年代提出并逐渐发展起来的一种在 实践中广泛运用的统计方法
• 形式上，方差分析是比较多个总体的均值是否相等 • 本质上，它所研究的是分类型自变量对数量型因变量
的影响，这使得它与后面介绍的回归分析关系密切， 但又不完全相同
基本引概言念
通过总离差平方和分解公式，我们发现若SSB明显大于SSW ，说明各总体（或各水平）之间的差异显著大于抽样误差， 那么零假设可能并不成立
SSB/SSW的比值大到什么程度，可以否定零假设呢？由于 SSB的自由度为r-1，而SSW的自由度为N-r，其中r是组数，
r
N是所有的观测数，即 N ni
i 1
7.1.1 基本思想
i1 j 1
7.1.1 基本思想
——方法、数据与R的应用
第7章 方差分析
上课之前的话
t检验用于检验两个独立正态总体均值是否相 等。例如，检验对照组和处理组之间是否存在 差异 当要同时检验多个总体的均值是否存在差异时 ，此时就不能用t检验了，而需要使用方差分 析（Analysis of Variance，简称ANOVA）
基本引概言念
基本引概言念
做一些假定把所研究的问题归结为一个统计问题 ，然后用方差分析方法进行分析
• 一般情况下，把年龄分组这样的离散型变量称为因素或因子(factor) ，记为A。因素的取值称为水平(level)或处理(treatment)。这里， 因素就是变量，水平就是该变量的取值，这些名词是分类或属性变量 所特有的。对于本例，三个年龄段称为因素A的水平，分别记为A1， A2，A3。xij表示第i组的第j个职工的保险消费额，其中i=1，2，3； j=1，2，…，12
方差分析是英国统计学家费歇尔（R.A.Fisher） 在20世纪20年代提出并逐渐发展起来的一种在 实践中广泛运用的统计方法
• 形式上，方差分析是比较多个总体的均值是否相等 • 本质上，它所研究的是分类型自变量对数量型因变量
的影响，这使得它与后面介绍的回归分析关系密切， 但又不完全相同
基本引概言念
通过总离差平方和分解公式，我们发现若SSB明显大于SSW ，说明各总体（或各水平）之间的差异显著大于抽样误差， 那么零假设可能并不成立
SSB/SSW的比值大到什么程度，可以否定零假设呢？由于 SSB的自由度为r-1，而SSW的自由度为N-r，其中r是组数，
r
N是所有的观测数，即 N ni
i 1
7.1.1 基本思想
i1 j 1
7.1.1 基本思想
高级统计学：第七章方差分析
第七章方差分析第一节方差分析的基本原理方差分析（Analysis of variance，简称ANOV A）是对多个总体均值是否相等这一假设进行检验的一种方法。
一、方差分析的内容1实例[例] 某饮料生产企业研制出一种新型饮料。
饮料的颜色共有四种，分别为橘黄色、粉色、绿色和无色透明。
这四种饮料的营养含量、味道、价格、包装等可能影响销售量的因素全部相同。
现从地理位置相似、经营规模相仿的五家超级市场上收集了前一期该种饮料的销售量情况，见表7—1。
新型饮料在五家超市的销售情况表解：从表7—1中看到20个数据各不相同，什么原因使其不同呢？2产生的原因①是销售地点的影响；②是饮料颜色的影响。
A 有可能是抽样的随机性造成的；B 有可能是由于人们对不同颜色有所偏爱。
可以将上述问题就归结为一个检验问题——检验饮料颜色对销售量是否有影响，即要检验各个水平的均值k μμμ,,21 是否相等。
二、方差分析的原理1基本概念因素：一个独立的变量就称为一个因素。
如，颜色水平：将因素中不同的现象称为水平。
（每一水平也称为一组） 单因素方差分析：方差分析只针对一个因素进行。
多因素方差分析：同时针对多个因素进行分析。
观察值之间的差异产生来自于两个方面：①是由因素中的不同水平造成系统性差异的； ②是由于抽选样本的随机性产生的差异。
方差分析数据结构表7-2在一元情形下假设:ik i2i1X ,,X ,X ,i=1,2…n j ,j=1,2,…k,为来自总体)N(2σ,μ的随机样本。
如果假设k H μμμ=== 210:也可表达为 j j αμμ+=其中j α是第j 个水平的偏差。
如果各水平下均值相等，则可以表述为： 0:210====k H ααα对于第j 个因素有ij j ij X εαμ++=其中()2,0~σεN ij 为独立同分布随机变量。
对于观察值则有)()(j ij j ij x x x x xx -+-+=将式两端减去x 然后平方，得))((2)()()(222j ij j j ij j ij x x x x x x x x x x --+-+-=-等式两边求和，有也即如上例可以建立如下的假设：43210:μμμμ===H ；43211,,,:μμμμH 不全相等。
第七章方差分析第一节单因素)
一、各处理重复数相等的方差分析
【例1】 某水产研究所为了比较四种不同 配合饲料对鱼的饲喂效果， 配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基 本相同的鱼20尾，随机分成四组， 随机分成四组，投喂不 同饲料， 同饲料，经一个月试验以后， 经一个月试验以后，各组鱼的增 重结果列于下表。 重结果列于下表。
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型。在这个模型中表示为总平均数μ、处理效 应αi、试验误差εij之和。尽管各总体的均数可 以不等或相等，σ2则必须是相等的。 所以，单因素试验的数学模型可归纳为： 效应的可加性（additivity）、分布的正态性 （normality）、方差的同质性 （homogeneity）。这也是进行其它类型方差分
F=MSt/MSe =46.5×20/38.84×4=5.99**
3.统计推断： 统计推断： F0.05(4,20) =2.87,F0.01(4,20) =4.43，F＞ F0.01(4,20)，P＜0.01，表明品种间差异极显著。 表明品种间差异极显著。
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退 出
SS MS e = e = df e =
t
t
1 = n
∑
T
∑
e
= SS
ni ≠ n
Ti2 − C ni
j
总自由度的剖分
总自由度
dfT = kn −1 = N −1
处理自由度 dft = k −1 误差自由度 dfe = dfT − dft = kn − k = N − K
MSt = SSt / df t MSe = SS e / df e MSt F= MS e
析的前提或基本假定。
xij = µ + α i + ε ij = µ + ( µi − µ ) + ( xij − µi )
生物统计学7-方差分析5-ok
为了进一步弄清究竟在哪些处理之间差异显 著，还应在各处理平均数之间一对一对地做 比 较 。 这 就 是 多 重 比 较 （ multiple comparison）。
一、多重比较的方法
1.最小显著差数法(Least Significant Difference , LSD法)
实质是两个平均数相比较的成组数据t检验，方法如下：
有时候固定因素与随机因素很难区分，除上述所讲的 原则外，还可以从另一个角度考虑： 固定因素是指因素的水平可以严格地人为控制，
在水平固定之后，它的效应值也是固定的。 随机因素的水平是不能严格地人为控制，在水平
确定之后，它的效应值并不固定。
五、平方和与自由度的分解
由于方差 = 平方和 / 自由度，表示变异的程度。
因为
所以
SST
SSA
SSe
an
SSe
( xij xi )2 ；
i1 j1
dfe a(n 1)
SSe是样本观测值与处理平均数的离差平方和，即反映处理 内变异（即误差引起的变异）的平方和，称为误差平方和、 处理内平方和、组内平方和；
误差项自由度：每一处理均有n-1个自由度，共有α个处理。
a
另一种是检验几个样本平均数的方差是否足够大。
如果样本平均数的方差足够大，远大于由随机误差所产生的方差，说明这几 个样本平均数之间的离散程度很高，除了误差效应外，必然还存在不同的处 理效应。我们可以推断抽出这几个样本的总体属于不同的总体，总体平均数 是不同的。
方差分析的基本思想是分析变异，也就是分解变异。 即：将数据总的变异分解为处理因素引起的变异和随
2.最小显著极差法(Least Significant ranges, LSR法)
是比较α个处理平均数的有序排列中两极端平均数间的差异 显著性。检验步骤如下：
一、多重比较的方法
1.最小显著差数法(Least Significant Difference , LSD法)
实质是两个平均数相比较的成组数据t检验，方法如下：
有时候固定因素与随机因素很难区分，除上述所讲的 原则外，还可以从另一个角度考虑： 固定因素是指因素的水平可以严格地人为控制，
在水平固定之后，它的效应值也是固定的。 随机因素的水平是不能严格地人为控制，在水平
确定之后，它的效应值并不固定。
五、平方和与自由度的分解
由于方差 = 平方和 / 自由度，表示变异的程度。
因为
所以
SST
SSA
SSe
an
SSe
( xij xi )2 ；
i1 j1
dfe a(n 1)
SSe是样本观测值与处理平均数的离差平方和，即反映处理 内变异（即误差引起的变异）的平方和，称为误差平方和、 处理内平方和、组内平方和；
误差项自由度：每一处理均有n-1个自由度，共有α个处理。
a
另一种是检验几个样本平均数的方差是否足够大。
如果样本平均数的方差足够大，远大于由随机误差所产生的方差，说明这几 个样本平均数之间的离散程度很高，除了误差效应外，必然还存在不同的处 理效应。我们可以推断抽出这几个样本的总体属于不同的总体，总体平均数 是不同的。
方差分析的基本思想是分析变异，也就是分解变异。 即：将数据总的变异分解为处理因素引起的变异和随
2.最小显著极差法(Least Significant ranges, LSR法)
是比较α个处理平均数的有序排列中两极端平均数间的差异 显著性。检验步骤如下：
第7章 方差分析
第7章 方差分析7.2单因素方差分析（单因变量单因素方差分析）基本描述：设影响某个指标的因素只有一个A ，相应的水平为A 1, A 2, …,A k ，假设各个水平所对应的总体服从正态分布，方差相等.单因素方差分析的目的之一就是检验012:k H μμμ=== .若拒绝原假设,则认为至少有两个水平间存在着差异,到底是那些水平间存在差异呢?这时可以进行多重比较,一致性子集检验(把均值间不存在差异的水平划分为一类).若不知方差是否相等,还可以进行方差齐性检验.方差分析是对总平方和进行分解,分解为因素的平方和,残差平方和, 然后在此基础上构造统计量, 从而对原假设进行检验功能：分析一个因素的各个水平之间是否存在差异；进行多重比较，一致性子集检验；进行方差齐性检验。
方法：Analyze →Compare Means →ANOV A注1：在数据文件时,因变量(即指标)只有一个,各个水平下的观测量通过分类变量来区分.注2：因变量一般要求服从正态分布。
对照：12342μμμμ++= 例：data07-01.sav 例：data07-02.sav7.3单因变量多因素方差分析基本描述：设影响某个指标的因素有多个，假设各个水平组合所对应的总体服从正态分布，方差相等.单因变量多因素方差分析的目的之一就是检验0:H某个因素的各个水平之间无差异。
或0:H某些因素间不存在交互作用。
主效应: 反映一个因素对指标的影响性的一个度量.主效应的作用可通过相应的平方和来体现.交互效应: 两个以上因素间的相互作用对指标的影响性的一个度量.方差分析是对总平方和进行分解,分解为各个因素的平方和,交互作用的平方和,残差平方和, 然后在此基础上构造统计量, 从而对原假设进行检验功能：分析一个变量是否受多个因素影响？检验因素之间是否存在交互作用；进行协方差分析。
要求：（1）因变量和协变量（或伴随变量）：数值型变量。
二者之间存在线性关系。
（2）因子变量：分类变量。
第七章 方差分析
5.当组数等于2时,对于同一资料,方差分析结果与t检验结果( )
A.完全等价且F=t
B.完全等价且t=√F
C.t检验结果更准确
D.方差分析结果更准确
答案：B
6.无重复试验的方差分析中,一定有( )
A. MST=MSA+ MSB+MSE
B .SST≤SSA+SSB+SSE
C.MST≤MSA+MSB+MSE
D.SST=SSA+SSB+SSE
答案：D
7.单因素方差分析中的SSA表示( )
A.某因素效应与抽样误差综合结果
B.某因素效应大小
C.抽样误差大小
D.不可预见的误差
答案：A
8.在方差分析中,如果P≤a,则( )
A.各个总体均数全相等
B.至少有两个样本均数不等
C.至少有两个总体均数不等
D.各个样本均数不全相等
答案：C
34.在方差分析中,方差分析的目的是( )
A.分析各个正态总体的方差是否相同B.分析各个正态总体的标准差是否相同
C.分析来自正态总体各组的样本均值是否相同D.分析各个正态总体的均值是否相同E.无正确选项
答案：D
二、填空题
1.方差分析用于两个或多个总体均数间的比较、分析两个或多个因素的交互作用、_____________________的假设检验和方差齐性检验。
答案：C
9.方差分析的前提条件不包括（）
A.独立性
B.正态性
C.均匀性
D.方差齐性
答案：C
10.方差分析的主要目的是
A.判断各总体是否存在方差
B.比较各总体的方差是否相等
C.分析各样本数据之间是否存在显著差异
A.完全等价且F=t
B.完全等价且t=√F
C.t检验结果更准确
D.方差分析结果更准确
答案：B
6.无重复试验的方差分析中,一定有( )
A. MST=MSA+ MSB+MSE
B .SST≤SSA+SSB+SSE
C.MST≤MSA+MSB+MSE
D.SST=SSA+SSB+SSE
答案：D
7.单因素方差分析中的SSA表示( )
A.某因素效应与抽样误差综合结果
B.某因素效应大小
C.抽样误差大小
D.不可预见的误差
答案：A
8.在方差分析中,如果P≤a,则( )
A.各个总体均数全相等
B.至少有两个样本均数不等
C.至少有两个总体均数不等
D.各个样本均数不全相等
答案：C
34.在方差分析中,方差分析的目的是( )
A.分析各个正态总体的方差是否相同B.分析各个正态总体的标准差是否相同
C.分析来自正态总体各组的样本均值是否相同D.分析各个正态总体的均值是否相同E.无正确选项
答案：D
二、填空题
1.方差分析用于两个或多个总体均数间的比较、分析两个或多个因素的交互作用、_____________________的假设检验和方差齐性检验。
答案：C
9.方差分析的前提条件不包括（）
A.独立性
B.正态性
C.均匀性
D.方差齐性
答案：C
10.方差分析的主要目的是
A.判断各总体是否存在方差
B.比较各总体的方差是否相等
C.分析各样本数据之间是否存在显著差异
第七篇 方差分析(stata统计分析与应用)
主要选项
描述
category(varlist) class(varlist) repeated(varlist) partial sequential noconstant regress [no]anova
分类变量
分类变量，与上同义。如不注明，Stata默 认所有变量都是分类变量。
重复观测因子
使用边际平方和，默认选项
描述
bonferroni 多重比较检验 scheffe 多重比较检验 sidak 多重比较检验 产生列表 [不]显示均值 [不]显示标准差 [不]显示频数 [不]显示观测个数 不显示方差分析表 以数值形式显示，而不是以标签形式 列表不隔开 将缺失值作P为age一类10
STATA从入门到精通
■ longway命令的基本格式如下： ■ loneway response_var group_var [ i f ] [ i n ] [weight] [ , options]
■ 表7-15 员工信息表
minority educ
salary
beginsalar y
gender
0
8
15750
10200
Female
0
8
15900
10200
Female
0
8
16200
9750
Female
0
8
16650
9750
Female
0
8
16800
10200
Female
0
8
16950
10200
喝减肥茶后体 重（公斤） 63 71 79 73 74 65 67 73 60 76 71 72 75 62
第7章 方差分析
表7-5 改革方案效益表
图7-12 “重复方差分析”工作表
图7-13 “方差分析：可重复双因素分析”对话框
表7-6 猪仔重量数据
图7-14 可重复双因素分析结果
图7-16 有重复双因素方差分析结果
图 7-15 “ 分 组 试 验 ” 工 作 表
8.1.1 回归分析的概念
首先要区分两种主要类型的变量：一种变量相 当于通常函数关系中的自变量，对这样的变量 能够赋予一个需要的值（如室内的温度、施肥 量）或者能够取到一个可观测但不能人为控制 的值（如室外的温度），这样的变量称为自变 量；自变量的变化能引起另一些变量（如水稻 亩产量）的变化，这样的变量称为因变量。
返回本节
8.2.1 利用图表进行分析
例8-1 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数之间 存在一定关系，图8-1所示（“线性回归分析” 工作表）是实测12个纤维样品的强度y与相应 的拉伸倍数x的数据记录。试求出它们之间的 关系。 （1）打开“线性回归分析”工作表。 （2）在工具栏上选择“图表向导”按钮，单 击打开图表向导对话框，如图8-2所示，在 “图表类型”列表框中选择“XY散点图”， 单击“下一步”按钮进入图表向导步骤2。
Excel分析工具中具有方差分析模块，利用它分析例7-1 可以产生与7.1节操作相同的结论。具体方法如下： （1）打开“方差分析”工作表。 （2）选择“工具”菜单中的“数据分析”选项，弹出 “数据分析”对话框，选择“方差分析：单因素方差 分析”选项，单击“确定”按钮，进入“方差分析： 单因素方差分析”对话框。 （3）在“输入区域”中输入“$B$1: $D$6”，选中 图7-4 方差分析表 “标志位于第一行”复选框，在“”区域中输入0.1， 表明显著性水平。选中“输出区域”，输入“$A$16”， 表明以A16为起点放置方差分析结果，如图7-5所示。 （4）单击“确定”按钮，输出结果如图7-6所示。 返回本节
第7章方差分析
2. 组内方差(within groups) 因素的同一水平(同一个总体)下样本数据的方差 组内方差只包含随机误差
3. 组间方差(between groups) 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
方差分析的基本思想和原理
(方差的比较)
2. 如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平方和 SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由 度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于 组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误 差，还有系统误差
3. 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比 较组间方差与组内方差之间差异的大小
i1 j1
x
i1
n
n
式中：n n1 n2 nk
构造检验的统计量
(例题分析)
构造检验的统计量
(计算总误差平方和 SST)
1. 全部观察值 x i与j 总平均值 x 的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况 3. 其计算公式为
k ni
SST xij x2
单因素方差分析的数据结构
(one-way analysis of variance)
观察值 ( j )
水平A1
因素(A) i
水平A2
…
水平Ak
1
x11
x21
…
xk1
2
x12
x22
…
xk2
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
n
x1n
x2n
…
xkn
提出假设
1. 一般提法
H0 ： 1 = 2 =…= k 自变量对因变量没有显著影响
3. 组间方差(between groups) 因素的不同水平(不同总体)下各样本之间的方差 组间方差既包括随机误差，也包括系统误差
方差分析的基本思想和原理
(方差的比较)
2. 如果原假设成立，则表明没有系统误差，组间平方和 SSA除以自由度后的均方与组内平方和SSE和除以自由 度后的均方差异就不会太大；如果组间均方显著地大于 组内均方，说明各水平(总体)之间的差异不仅有随机误 差，还有系统误差
3. 判断因素的水平是否对其观察值有影响，实际上就是比 较组间方差与组内方差之间差异的大小
i1 j1
x
i1
n
n
式中：n n1 n2 nk
构造检验的统计量
(例题分析)
构造检验的统计量
(计算总误差平方和 SST)
1. 全部观察值 x i与j 总平均值 x 的离差平方和 2. 反映全部观察值的离散状况 3. 其计算公式为
k ni
SST xij x2
单因素方差分析的数据结构
(one-way analysis of variance)
观察值 ( j )
水平A1
因素(A) i
水平A2
…
水平Ak
1
x11
x21
…
xk1
2
x12
x22
…
xk2
:
:
:
:
:
:
:
:
:
:
n
x1n
x2n
…
xkn
提出假设
1. 一般提法
H0 ： 1 = 2 =…= k 自变量对因变量没有显著影响
第七章 方差分析
15
三、方差分析的原理
所有数据的误差称总平方和（
sum of squares for total），或总变异，记为SST。
SST xij x
c j 1 i 1
nj
2
例如：所抽取的20家专卖市场销售额之间的误差 平方和称总变异，反映全部观测值的离散程度。
SST=SS因子+SSE
商业区
超市位置
居民小区
写字楼
3个以上 470 500 390 430 420 530 240 270 320
2
第七章 方差分析
你是一名研究人员，会考虑从哪几方面进行分析呢？
你可以考虑单独分析超市位置的影响、竞争者数量的 影响，或是超市位置和竞争者数量搭配在一起的影响。
如果只考虑超市位置对销售额是否有显著的影响，实 际上也是要判断不同位置超市的销售均值是否相同。 若它们的均值相同，就意味着超市位置对销售额没有 显著影响；若均值不相同，则意味着超市位置对销售 额有显著的影响。 在这里超市位置和竞争者数量是定性自变量，销售额 售额是定量因变量。
2
…
N r ,
2
x11 , x12 ,...,x1n j x21 , x22 ,...,x2n j
…
xr1, xr 2 ,...,xrn j
x1 , s
2 1
x2 , s
2 2
…
xr , s
2 r
Back 20
二、单因素方差分析的步骤
Step1：建立假设
H0 : 1 2
r
16
三、方差分析的原理
将各类误差除以自身的自由度，以消除观测值对 其影响，得到均方（mean square），分别称为组 间方差或因子均方(MS因子)、组内方差或残差均方 (MSE)。 如果因子中不同水平对因变量没有影响，则组间 方差只有随机误差而没有系统误差，此时，组间 误差和组内误差应该很接近，两个比值接近1。 当H0为真时，两个比值可建构检验统计量F 进行 假设检验。
统计7：方差分析
11
三. 检验Ho的统计量 检验H
可以证明，当H 可以证明，当Ho为真时，统计量
∴在给定显著性水平α下，若 F > Fα(a-1, N-a) (a- N就拒绝H 说明各水平 A 的效应间存在显著差异， 就拒绝 Ho ， 说明各水平Ai 的效应间存在显著差异 ， 或称因素A的作用是显著的。 或称因素A的作用是显著的。 由于 SA /(a-1)和 Se /(N-a) 分别是组间数据和组内 /(a/(N数据的样本方差， 数据的样本方差 ， 故称这种基于检验样本方差比 的方法为方差分析 的方法为方差分析。 方差分析。
催化剂 温度 A1(60 A2(70 A3(80 A4(90
O
B1 66 81 97 79
B2 73 96 79 76
B3 70 53 66 88
4
C) O C) O C) O C)
案例2 案例2要研究的问题
1.温度是否对该产品的得率有显著影响?若确有显 温度是否对该产品的得率有显著影响? 著影响， 著影响 ， 应将温度控制在什么范围内可使得率最 高? 2.催化剂是否对该产品的得率有显著影响?若确有 催化剂是否对该产品的得率有显著影响? 显著影响，哪种催化剂的效果最好？ 显著影响，哪种催化剂的效果最好？ 3.温度和催化剂的不同组合是否对产品得率 3.温度和催化剂的不同组合是否对产品得率 有显著影响？如确有显著影响，哪种温度和催 化剂的组合可使得率最高？
促销方式 A 1 (通 常 销 售 ) A 2 (广 告 宣 传 ) A 3 (有 奖 销 售 ) A 4 (特 价 销 售 ) A 5 (买 一 送 一 ) 12.5 13.1 15.6 17.9 18.2 月 销 售 额 (万 元 ) 15.4 11.8 14.7 12.3 16.5 13.4 19.6 21.8 17.1 16.5 13.2 13.6 13.1 20.4 16.2
三. 检验Ho的统计量 检验H
可以证明，当H 可以证明，当Ho为真时，统计量
∴在给定显著性水平α下，若 F > Fα(a-1, N-a) (a- N就拒绝H 说明各水平 A 的效应间存在显著差异， 就拒绝 Ho ， 说明各水平Ai 的效应间存在显著差异 ， 或称因素A的作用是显著的。 或称因素A的作用是显著的。 由于 SA /(a-1)和 Se /(N-a) 分别是组间数据和组内 /(a/(N数据的样本方差， 数据的样本方差 ， 故称这种基于检验样本方差比 的方法为方差分析 的方法为方差分析。 方差分析。
催化剂 温度 A1(60 A2(70 A3(80 A4(90
O
B1 66 81 97 79
B2 73 96 79 76
B3 70 53 66 88
4
C) O C) O C) O C)
案例2 案例2要研究的问题
1.温度是否对该产品的得率有显著影响?若确有显 温度是否对该产品的得率有显著影响? 著影响， 著影响 ， 应将温度控制在什么范围内可使得率最 高? 2.催化剂是否对该产品的得率有显著影响?若确有 催化剂是否对该产品的得率有显著影响? 显著影响，哪种催化剂的效果最好？ 显著影响，哪种催化剂的效果最好？ 3.温度和催化剂的不同组合是否对产品得率 3.温度和催化剂的不同组合是否对产品得率 有显著影响？如确有显著影响，哪种温度和催 化剂的组合可使得率最高？
促销方式 A 1 (通 常 销 售 ) A 2 (广 告 宣 传 ) A 3 (有 奖 销 售 ) A 4 (特 价 销 售 ) A 5 (买 一 送 一 ) 12.5 13.1 15.6 17.9 18.2 月 销 售 额 (万 元 ) 15.4 11.8 14.7 12.3 16.5 13.4 19.6 21.8 17.1 16.5 13.2 13.6 13.1 20.4 16.2
Ch7方差分析
例如： MEANS grp /SNK; /*grp是要进行多重比较的因素，方法SNK*/ MEANS grp /DUNNETT(‘Control’);/* Control是对照的取值 */ MEANS grp /DUNNETT(‘1’);/* 1是对照的取值 */
三、不同设计类型资料的方差分析
（一）完全随机设计资料的方差分析
例6-1：考查3种解毒药A、B、C的效果，同时设立一 个空白对照D。每组6只大白鼠，用药一段时间后测定 其血中胆碱酯酶含量(Y)，结果如下表。（《医学统计 学》余松林主编，p92） 试问不同解毒药的效果有没有差异？
组别(Grp) A B C D 23 28 14 8 12 31 24 12 胆碱酯酶含量(Y) 18 16 23 24 17 19 21 19 28 28 16 14 14 34 22 15
2、 MODEL语句
MODEL语句指定分析的模型，是方差分析中至关重要的一条语句， 指定模型方式为：“结果变量=考查因素”，注意它们都是变量 名。 例如： CLASS grp ; MODEL y=grp; 考查一个因素grp对y的影响
CLASS a b; 两个分类变量（考查因素） MODEL y=a b a*b; 模型中包含三部份：a因素对y的影响；b 因素对y的影响；a与b两个因素在y上面的交互作用 。
组别(Grp) 胆碱酯酶含量(Y) A 23 如果只有两组， A 12 就是t检验的格 A 18 式 A 16 A 28 A 14 B 28 B 31 B 23 B 24 B 28 B 34 C 14 C 24 C 17 C 19 C 16 C 22 D 8 D 12 D 21 D 19 D 14 D 15
（SNK结果具有相同字母的组别间没有显著性差异）
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案例
商品的广告策略，对不同广告形式在不同 地区的广告效果进行了评估。 以销售额为观测变量，广告形式和地区为 控制变量，通过单因素方差分析进行分析
地区对 销售额 的影响 组间， 水平
销售额 Sum of Squar es 9265.306 16904.00 26169.31 df 17 126 143 Mean Square 545.018 134.159 F 4.062 Sig. .000
称为Ai 对观测变量产生的效应，且 ai 0
xij ai ij, i 1,, k , j 1,, r 单因素方差分析模型
SSA/ k 1 MSA F ~ F k 1, n k SSE / n k MSE
基本操作
Analyze-compare means-one way anova
95% C onfiden ce Inter v al Low er Bound Up per Bound -3.2784 7.9451 11.0549 22.2784 .9993 12.2229 -7.9451 3.2784 8.7216 19.9451 -1.3340 9.8896 -22.2784 -11.0549 -19.9451 -8.7216 -15.6673 -4.4438 -12.2229 -.9993 -9.8896 1.3340 4.4438 15.6673 -5.2631 9.9298 9.0702 24.2631 -.9854 14.2076 -9.9298 5.2631 6.7369 21.9298 -3.3187 11.8742 -24.2631 -9.0702 -21.9298 -6.7369 -17.6520 -2.4591 -14.2076 .9854 -11.8742 3.3187 2.4591 17.6520
多重比较检验
Βιβλιοθήκη 单因素方差分析只能判断控制变量对观测 变量得影响是否显著，却不能确定不同水 平对观测变量影响程度如何。其中哪个水 平的作用明显不同于其他水平，哪个水平 作用不显著等。 零假设：相应水平下观测变量的均值间不 存在显著差异
与参数检验区别
参数检验是两两检验 这里多重比较检验可以进行多组之间的比 较 如果仍然采用两两参数检验，如果进行了k 次比较，一次检验的显著性水平（犯错误） 的概率是a,作了k次比较后，实际的显著性 水平是1-(1-a)^k,明显犯错误的概率放大。
定义
从观测变量的方差入手，研究诸多控制变 量中哪些变量是对观测变量有显著影响的 变量；对观测变量有显著影响的各个控制 变量其不同水平以及各水平的交互搭配是 如何影响观测变量的。 观测变量、控制变量 控制变量的不同类别称为控制变量的不同 水平。
观测变量值变化的两类因素 控制因素不同水平所产生的影响 随机因素所产生的影响 如果观测变量值在某控制变量的各个水平 中出现了明显的波动，则认为该控制变量 是影响观测变量的主要因素。 方差分析正是通过推断控制变量各水平下 观测变量的总体分布是否有显著差异来实 现其分析目标的
Mean Square 1955.361 145.023
F 13.483
Sig. .000
结果分析
从两个图表可以得出，广告形式和地区对 销售额都有显著影响 从f检验值可以知道，广告形式对销售额的 影响比地区有更明显的作用，因为广告形 式控制影响所占的比例较大。
进一步分析
方差齐性检验 对控制变量不同水平下各观测变量总体方 差是否相等进行分析 总体方差无显著差异是方差分析的前提 检验方法同独立样本t检验 多重比较检验 其他检验
相似性子集
分成两类，可以看出宣传品的效果远不如 其他三类广告形式
销售额 N 36 36 36 36 Subset for alpha = .05 1 2 56.5556 66.6111 70.8889 73.2222 1.000 .055
广告形式 a 宣传品 Student- New man- Keuls 体验 广播 报纸 Sig.
Contrast T ests Co ntrast Assume equal varian ces 1 Do es not assume equ al 1 variances Value of Co ntrast Std. E rro r 4.4722 2.45818 4.4722 2.25053 t 1.819 1.987 Sig. (2-tailed) 140 .071 90.771 .050 df
x
k ni i 1 j 1
ij
x ni xi xi xij xi
2 k 2 k ni i 1 i 1 j 1
2
SST = SSA + SSE
总离差平方和 组间离差平方和 组内离差平方和
由控制变量不同水平造成
由抽样误差引起
总结
显然，在观测变量SST中，如果SSA所占比 例大，则由控制变量给观测变量带来的影 响显著。
N 报纸 广播 宣传品 体验 Total 36 36 36 36 144
Mean 73.2222 70.8889 56.5556 66.6111 66.8194
Std. Dev iation 9.73392 12.96760 11.61881 13.49768 13.52783
Minimum 54.00 33.00 33.00 37.00 33.00
post hoc，因为方差分析的原因，只 选择方差齐的选项
Contrasts
趋势检验
先验对比 检验
案例的进一步分析
方差齐性检验，是否满足方差分析的前提
Test of Homogeneity of Var iances 销售额 Lev en e Statistic .765 df1 3 df2 140 Sig. .515
两个假设前提
观测变量各总体应服从正态分布 观测变量各总体的方差应相同 方差分析对各总体分布是否有显著差异的 推断就转化成对各总体均值是否存在显著 差异上了
单因素方差分析
基本思想 数学模型 基本操作 应用举例 进一步分析 案例的进一步分析
基本思想
单因素方差分析用来研究一个控制变量的 不同水平是否对观测变量产生了显著影响。 第一步：明确观测变量和控制变量 第二步：剖析观测变量的方差 单因素方差分析将观测变量总的离差平方 和分解为组间离差平方和与组内离差平方 和两部分。 数学表达式：
LSD
(I) 广告形式 报纸
广播
宣传品
体验
Bonfer roni 报纸
广播
宣传品
体验
(J) 广告形式 广播 宣传品 体验 报纸 宣传品 体验 报纸 广播 体验 报纸 广播 宣传品 广播 宣传品 体验 报纸 宣传品 体验 报纸 广播 体验 报纸 广播 宣传品
Sig. .412 .000 .021 .412 .000 .134 .000 .000 .001 .021 .134 .001 1.000 .000 .128 1.000 .000 .804 .000 .000 .003 .128 .804 .003
基本思想
用来研究两个及两个以上控制变量是否对观测变 量产生显著影响 此分析能分析多因素对观测变量地独立影响和交 互影响。 多因素方差分析中，观测变量值受三影响 控制变量独立作用的影响 控制变量交互作用的影响 随机因素的影响 分解
分解
Means for groups in homogeneous subsets ar e display ed . a. Uses Har monic Mean Sample Size = 36.000.
多因素方差分析
基本思想 数学模型 基本操作 应用举例 进一步分析 案例的进一步分析
数学模型
假设：控制变量A有k个水平，每个水平平均有r个 样本（r次试验） xij i ij, i 1,, k , j 1,, r
i 为观测变量在水平Ai下的理论值
k
i
为观测变量总的理论值
ai i 为Ai 对实验结果产生的附加影响
零假设：a1 a2 ak 0
比较方法
通常有lsd方法，turkey方法等 Lsd最小显著性差异法，适用于各总体方差 相等的情况，检验敏感性高，但没有对犯 第一类错误进行控制 Bonferroni方法，原理同上，但控制了概率 Turkey方法，适用于各水平下观测值个数相 等的条件下，各总体方差等情况
其他检验
基本描述统计量
先把握各自的均值，可以看出报纸的销售 额最大，而宣传品的广告形式最差
Descriptives
销售额 95% C onfidence Interv al for Mean Std. E rro r Lower Bound Up per Bound 1.62232 69.9287 76.5157 2.16127 66.5013 75.2765 1.93647 52.6243 60.4868 2.24961 62.0442 71.1781 1.12732 64.5911 69.0478
Maximum 94.00 100.00 86.00 87.00 100.00
均值折线图
80
70
60
50 报纸 广播 宣传品 体验
广告形式
趋势性检验
报纸广告的效果与广播、体验的整体效果 没有显著的差异，这里只看方差齐的第一 行 Contrast Coefficients
Co ntrast 1 报纸 1 广告形式 广播 宣传品 -.5 0 体验 -.5