土地利用规划中的数理方法

（2）每个问题都有两个组成部分：
一是目标函数。按照问题的不同，要求 目标函数取得最大或最小值； 二是约束条件。它定义了一个求解范围， 使问题的解必须落在这一范围内
（3）每一个问题的目标函数和约束条件都是 线性的，可以用线性等式或不等式来表示。
1.2.2、线性规划的一般模型
依据上述特征可以将线性规划的数学模型 描述为：
耕地保有面积5l931.2hm2，规划期内建设用地面积
1235hm2、园地面积7495hm2、退耕还林净增林地面 积77hm2、全县宜农土地面积52317.4hm2、宜林土地 面积l94534.23hm2、宜牧土地面积535.76hm2。
该县土地利用总体规划目标定为追求经济的最大 化，以此作为决策的基本目标函数，同时以社会效益 和环境效益作为约束条件。
x18≥19372.78
土地开发面积约束 x20≤856.12
1.2.7、运用线性规划优化土地利用结构的要点
（1） 资料的收集分析 （2） 变量的设置
（3） 目标函数中效益系数的确定
（4） 约束条件
1.2.8 线性规划模型的改进型
多目标规划 需要同时考虑多个目标的规划问题
模糊规划 把一般线性规划的目标函数和线性
土地利用分区方法一般分为传统分类方法和数值分类 方法。传统分类方法主要是依靠经验和定性的知识进行分 类，这就不可避免地的带有主观性。
基本原理：根据样本自身属性，用数学方法按照
某种相似性或差异性指标，定量地确定样本之间
的亲疏关系，并按照这种亲疏关系程度对样本进
行聚类。
常见的聚类分析方法：
系统聚类法、动态聚类法、模糊聚类法等。
用地需求量及人口预测方法
回归分析、logistic模型、 灰色预测法、时 间序列法、马尔可夫预测法、基于遗传规划 的相关关系预测方法
用地结构优化方法
线性规划、动态规划、多目标规划、灰色线性规 划、时变线性规划、遗传规划、人工神经网络
1.2 线性规划
研究内容：线性规划研究的是在一组
线性约束条件下，使某个线性函数达
约束条件模糊化
灰色规划 约束条件的约束值可以随时间变化；
模型系数可以在一定范围内漂移
多层规划 决策者及其下属有各自的决策变量
和目标函数
动态规划 一种研究多阶段决策过程的数学方法
1.3、聚类分析
聚类分析
是研究多要素事物分类问题 的数量方法，是能定量地研 究地理事物分类问题和地理 分区问题的重要方法。
（1）线性规划的解： 可行解：满足约束条件的一组变量值。
可行域：所有可行解组成的集合。 最优解：使目标函数最大或最小的可行解。
(2) 求解方法
图解法
只能用于求解只有两个未知变量的线 性规划问题。所给问题无须化为标准 型。 基本思路：根据问题的标准，从可行 域中某个基可行解开始，转换到另一 个基可行解，并且使目标函数达到最
x
j 1
5
j
70737 .72
C 土地需求约束
生态保护约束 城市用地约束
x6+x7≥4274.25
x8≤P1· u1／10000
(式中，P1为城市预测人口；u1
为城市人均占地水平(m2／人) )
集镇用地约束
x9≤P2· u2／10000
（式中，P2为集镇预测人口；u2 为集镇人均占地水平(m2／人)）
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn (, )b1 a 21 x1 a 22 x2 ... a 2 n xn (, )b2 .......... .......... .......... .......... ....... .......... a x a x ... a x (, )b mn n n m1 1 2 m 2 x j 0( j 1,2,3...n)
在线性约束条件
a x ，b (i 1，2，3，...，m )
j 1 ij j i
n
以及非负约束条件
xj ≥0（j=1,2,3„n）
下，求一组未知变量xj（j=1,2,3„n）的值 使得：
Z=→max(min)
若采用方程的形式表示：
目标函数
max(min)Z=c1x1+c2x2+…+cnxn
max(Z)=5 x1+4 x2
则该问题的数学模型可表示为
目标函数
max(Z)=5x1+4x2 3x1+5x2≤15 4x1+2x2≤10 4x1+4x2≤22 x1、x2 ≥0
约束条件s.t
线性规划的特征
（1） 每一个问题都用一组未知变量（x1,x2,…,xn,） 表示某一规划方案，未知变量的一组定值就代表一个 具体的方案；且通常要求这些未知变量的取值是非负 的，即xj ≥0。
约束条件s.t
1.2.4、一般模型化为标准型的方法
(1) 目标函数化为标准型的方法 如果线性规划的目标函数为
minZ=c1x1+c2x2+…+cnxn
则令Z’=-Z,显然
－minZ=max(－Z)=maxZ’
那么原问题的目标函数就换为
maxZ’ = －CX
(2) 约束方程标准化方法 如果第k个约束方程为不等式,即 ak1x1+ak2x2+…+aknxn≤（≥）bk 只需在方程中引入松驰变量xn+k ≥0,将方程改写为 ak1x1+ak2x2+…+aknxn+（-）xn+k=bk 而将目标函数看作
Z c j x j 0 xn k
j 1
n
(3) 将例1化为标准型
目标函数 max(Z)=5x1+4x2+0x3+0x4+0x5 3x1+5x2+x3=15 约束条件s.t 4x1+2x2+x4=10
4x1+4x2+x5=22
xj ≥0(j=1,2,3,4,5)
1.2.5
线性规划问题的求解
约束条件s.t
1.2.3、线性规划模型的标准型
为了计算和讨论上的方便。常将其各种形式的数 学模型统一变换为标准型。其标准形式为：
目标函数 maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxn
a11 x1 a12 x2 ... a1n xn b1 a21 x1 a22 x2 ... a2 n xn b2 .......... .......... .......... .. .......... a x a x ... a x b mn n n m1 1 2 m 2 x j 0( j 1,2,3...n)
x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9=300950.6
a 土地总面积约束
b 耕地保有量及适宜性约束 51931.2≤xl≤52317.4 c 园地面积约束 x2≥ 7495
d 生态环境效益约束 179236.53+77≤x 3≤194534.23
e 建设用地需求 x5+x6+x7≥1235 f 牧草地适宜性约束 x 4≤535.76
1.3.1、系统聚类法
一、聚类分析对象的确定
聚类单元的选择应合理和具有可操作性
二、聚类要素的选择
又称聚类因子，它是聚类分析对象的各特征值，直 接影响分类结果的准确性和可靠性（例：班级的优劣的 评定）。在土地利用规划分区中，为了使分区更加合理可行，
必须首先建立起土地利用规划分区指标体系。
土地利用规划分区指标体系分三大类：
单纯形法
大时，问题就得到了最优解。
（3）用数学软件Mathematica求解
在Mathematica中用函数命令“ConstrainedMax”
和“ConstrainedMin”即可求出线性规划的最优解 命令格式： ConstrainedMax（Min） [Z，{inequalities}，{x， y……}]
1.2.6、线性规划在土地利用结构优化中的应用
建模过程：
资料与数据的调查、收集与分析
设置变量 建立目标函数 写出约束条件
求解
例2 （以重庆石柱县进行1997—2010年土地利用总体规划为例） 通过对该县各项资料数据的调查分析，得到以下 信息： 全县土地面积总量300950.6hm2、要求2010年
其它用地需求约束
农村居民点约束x10≤11321.02 独立工矿用地约束 x11≥1030.86
盐田用地约束 x12≥101.99
铁路用地约束 x14＝129.19
特殊用地约束
公路用地约束 航空用地约束
x13≥349.16
x15≥548.66 x17≥HK
农村道路用地约束x16≥3688.16
水利用地约束
)，已利用土地1479.93km2，占99.42%。
（1） 设置变量
x1→粮食用地 x2→棉花用地 x3→ 油料用地x4→果蔬用地x7 林地x5→ 其它农作物用地
x8→ 城市用地
x6→园地
x9→集镇用地
x10 →农村居民点用地 x11→独立工矿用地
x13 →特殊用地 x14→铁路用地
x12→盐田
到最大或最小的优化问题。线性规划
是优化领域最基本的工具之一。
研究的问题：
一类是某项任务确定以后，如何统 筹安排，以最少的人力、物力和财力去 完成该项任务。（如运输问题） 另一类是面对一定数量的人力、物 力和财力资源，如何安排使用，使完成 的任务最多。（如资源的利用问题）
1.2.1 线性规划的数学模型
问题分析：
将上述情况列于下表中