北师大九年级数学综合测试二

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北师大版九年级数学下册第一章学情评估附答案 (2)

北师大版九年级数学下册第一章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1.【教材P5例2变式】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8，则sin B等于()A.35 B.45 C.34 D.43(第1题)(第3题)(第4题)(第6题)(第7题)2．【教材P4习题T2改编】已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tan A＝12，则BC的长是()A．2 B．8 C．2 5 D．4 5 3．【2021·宜昌】如图，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则cos∠ABC的值为()A.23 B.22 C.43 D.2234．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D点，已知AC＝5，BC＝2，那么sin ∠ACD等于()A.53 B.23 C.253 D.525．若3tan (α＋10°)＝1，则锐角α的度数是()A．20°B．30°C．40°D．50°6．【2021·东营】如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝42°，BC＝8，若用科学计算器求AC的长，则下列按键顺序正确的是()7．【教材P14随堂练习T4变式】【中考·长春】如图，一把梯子靠在垂直水平地面的墙上，梯子AB的长是3 m．若梯子与地面的夹角为α，则梯子顶端到地面的距离BC为()A．3 sin α m B．3 cos α m C.3sin αm D.3cos αm8．【教材P20随堂练习T2变式】如图，大坝横截面的背水坡AB的坡比为12，若坡面AB的水平宽度AC为12米，则斜坡AB的长为()A．43米B．63米C．65米D．24米(第8题) (第9题)(第10题)9．如图，钓鱼竿AC长6 m，露出水面的鱼线BC长3 2 m，某钓者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿AC转动到AC′的位置，此时露出水面的鱼线B′C′长为3 3 m，则钓鱼竿转过的角度是()A．60°B．45°C．15°D．90°10．【2022·湘潭】中国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成正方形(如图)，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．若“弦图”中小正方形面积与每个直角三角形面积均为1，α为直角三角形中的一个锐角，则tan α＝()A．2 B.32 C.12 D.55二、填空题(每题3分，共24分)11．【2022·广东】sin 30°＝________．12．【教材P21习题T1变式】如图，在山坡上种树，已知∠C＝90°，∠BAC＝α，相邻两棵树的坡面距离AB为a m，则相邻两棵树的水平距离AC为________m．(第12题) (第13题) (第15题)(第16题)(第17题)13．如图，P (12，a )在反比例函数y ＝60x 的图象上，PH ⊥x 轴于H ，则tan ∠POH的值为________．14．【教材P 24复习题T 4变式】在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若tan A ＝13，则cos B ＝________．15．【教材P 15习题T 4变式】如图，在高度是21 m 的小山A 处测得建筑物CD 顶部C 处的仰角为30°，底部D 处的俯角为45°，则这个建筑物的高度CD ＝__________m(结果保留根号)．16．如图，一艘船从A 处向北偏东30°的方向航行10 n mile 到B 处，再从B 处向正西方向航行20 n mile 到C 处，这时这艘船与A 处的距离为________ n mile.17．如图①是我们经常看到的一种折叠桌子，它是由下面的支架AD ，BC 与桌面构成，如图②，已知OA ＝OB ＝OC ＝OD ＝30 cm ，∠COD ＝60°，则点A 到地面(C ，D 所在的平面)的距离是________cm.18．疫情期间在家上网课时，小李将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA 所在水平面的夹角(即∠AOB )为120°，此时感觉最舒适(如图①)，侧面示意图为图②.使用时为了散热，他在底板下垫入散热架ACO ′后，使电脑变化至AO ′B ′位置(如图③)，侧面示意图为图④.已知OA ＝OB ＝24 cm ，O ′C ⊥OA 于点C ，O ′C ＝12 cm.(1)∠CAO ′＝________；(2)显示屏的顶部B ′比原来升高了________cm(结果精确到0.1 cm ，参考数据：3≈1.73)．三、解答题(19题10分，其余每题14分，共66分)19．【2022·齐齐哈尔】计算：(3－1)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＋|3－2|＋tan 60°.20．如图，在△ABD 中，AC ⊥BD 于点C ，BC CD ＝32，点E 是AB 的中点，tan D ＝2，CE ＝1.求sin ∠ECB 的值和AD 的长．21．【教材P 21习题T 4变式】2022年一款被称作“小蛮驴”的智能送快递机器人(如图①)在某高校投入使用，据悉“小蛮驴”兼具人工智能和自动驾驶技术．如图②，点A 为该校快递收纳站点，点B ，C 分别为两处宿舍楼，“小蛮驴”将会从点A 出发，沿着A －B －C －A 的路径派送快递．已知点B 在点A 的正北方向，点C 在点A 的北偏东20°方向，在点B 的北偏东60°方向，点B 与点C 相距1 000 m ，求点A 到点B 的距离(结果精确到1 m ，参考数据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，3≈1.73)．22．【2021·凉山州】王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB 的高度，如图，他在点C 处测得大树顶端A 的仰角为45°，再从C 点出发沿斜坡走210米到达斜坡上D 点，在点D 处测得树顶端A 的仰角为30°，若斜坡CF 的坡比为i ＝1∶3(点E ，C ，B 在同一水平线上)．(1)求王刚同学从点C 到点D 的过程中上升的高度；(2)求大树AB 的高度(结果保留根号)．23．【2022·张家界】阅读下列材料：在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：asin A＝b sin B.证明：如图①，过点C作CD⊥AB于点D，则：在Rt△BCD中，CD＝a sin B；在Rt△ACD中，CD＝b sin A，∴a sin B＝b sin A.∴asin A＝bsin B.根据上面的材料解决下列问题：(1)如图②，在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，求证：bsin B＝csin C.(2)为了办好湖南省首届旅游发展大会，张家界市积极优化旅游环境．如图③，规划中的一片三角形区域需美化，已知∠A＝67°，∠B＝53°，AC＝80 m，求这片区域的面积(结果保留根号，参考数据：sin 53°≈0.8，sin 67°≈0.9)．答案一、1.B 2.A 3.B 4.A 5.A 6.D7.A8．C9.C10．A 点思路:由已知可得，大正方形的面积为1×4＋1＝5.设直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则a2＋b2＝5，a－b＝1，解得a＝2，b＝1或a＝－1，b＝－2(不合题意，舍去)．故tan α＝ab＝21＝2.二、11.1212.a cos α13.51214.101015．(21＋73)16.10317.30 318．(1)30°(2)15.2提示:(1)∵O′C⊥OA，∴∠ACO′＝90°.在Rt△ACO′中，O′C＝12 cm，O′A＝24 cm，∴sin ∠O′AC＝O′CO′A＝1224＝12.∴∠CAO′＝30°.(2)如图，过点B作BD⊥AO，交AO的延长线于点D.∵∠AOB＝120°，∴∠BOD＝180°－∠AOB＝180°－120°＝60°.在Rt△BOD中，BD＝OB·sin∠BOD＝24×32＝123(cm)．∵∠ACO′＝90°，∠CAO′＝30°，∴∠AO′C＝90°－∠CAO′＝60°.∵∠AO′B′＝120°，∴∠AO′B′＋∠AO′C＝180°.∴B′，O′，C在同一条直线上．∴B′C＝B′O′＋O′C＝24＋12＝36(cm)．∴显示屏的顶部比原来升高了B′C－BD＝36－123≈15.2(cm)．三、19.解：原式＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋(2－3)＋3＝1＋9＋2－3＋3＝12. 20．解：∵AC ⊥BD ，∴∠ACB ＝∠ACD ＝90°.∵点E 是AB 的中点，CE ＝1，∴BE ＝CE ＝1，AB ＝2CE ＝2.∴∠B ＝∠ECB .∵BC CD ＝32，∴设BC ＝3x (x >0)，则CD ＝2x .在Rt △ACD 中，tan D ＝2，∴AC CD ＝2.∴AC ＝4x .在Rt △ACB 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝5x ，∴sin ∠ECB ＝sin B ＝AC AB ＝45.由AB ＝5x ＝2，得x ＝25，∴AD ＝AC 2＋CD 2＝（4x ）2＋（2x ）2＝25x ＝25×25＝455.21．解：如图，作CH ⊥AB ，交AB 的延长线于点H .在Rt △BCH 中，∵∠BHC ＝90°，∠CBH ＝60°，BC ＝1 000 m ，∴BH ＝BC ·cos 60°＝500 m ，CH ＝BC ·sin 60°＝500 3 m. 在Rt △AHC 中，∵∠CAH ＝20°，∴AH ＝CH ÷tan 20°≈5003÷0.36≈2 402.8(m)．∴AB ＝AH －BH ≈2 402.8－500≈1 903(m)．答：点A 到点B 的距离大约为1 903 m.22．解：(1)如图，过点D 作DH ⊥CE 于点H .由题意知CD＝210米．∵斜坡CF的坡比为i＝1∶3，∴DHCH＝13.设DH＝x米，则CH＝3x米，∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(210)2，解得x＝2(负值舍去)．∴DH＝2米．答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米．(2)如图，过点D作DG⊥AB于点G.由题易得四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2米．设AB＝m米，则AG＝(m－2)米．∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝m米．由(1)知CH＝6米，∴BH＝DG＝(m＋6)米．∵∠ADG＝30°，∴AGDG＝tan 30°＝33.∴m－2m＋6＝33，解得m＝6＋4 3.答：大树AB的高度是(6＋43)米．23．(1)证明：如图①，过点A作AD⊥BC于点D.在Rt△ABD中，AD＝c sin B；在Rt△ACD中，AD＝b sin C，∴c sin B＝b sin C.∴bsin B＝csin C.(2)解：如图②，过点A作AE⊥BC于点E. ∵∠BAC＝67°，∠B＝53°，∴∠C＝60°.在Rt△ACE中，AE＝AC·sin 60°＝80×32＝403(m)．∵ACsin B＝BCsin∠BAC，∴BC＝AC·sin∠BACsin B≈80×0.90.8＝90(m)．∴S△ABC ＝12BC·AE≈12×90×403＝1 8003(m2)．∴这片区域的面积大约是1 800 3 m2.。

北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程综合测试卷(含答案)

北师版九年级数学上册第二章一元二次方程综合测试卷(时间90分钟，满分120分)一、选择题（共10小题，3*10=30）1．用公式法解方程x 2＋3x ＝1时，先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 的值依次为( ) A ．1，3，1B ．1，3，－1C ．－1，－3，－1D ．－1，3，12．关于x 的一元二次方程(a －1)x 2＋x ＋|a|－1＝0的一个根为0，则实数a 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．－1或1 3．用配方法解下列方程，配方错误的是( ) A ．x 2＋2x －99＝0，化为(x ＋1)2＝100 B ．t 2－7t －4＝0，化为(t －72)2＝654C ．2x 2－4x －3＝0，化为(x －1)2＝12D ．3x 2－4x －2＝0，化为(x －23)2＝1094．方程(x ＋1)2＝0的根是( ) A ．x 1＝x 2＝1 B ．x 1＝x 2＝－1 C ．x 1＝－1，x 2＝1 D ．无实根5．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋bx －3＝0的两根，且满足x 1＋x 2－3x 1x 2＝5，那么b 的值为( ) A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－36. 在某次聚会上，每两人都握了一次手，所有人共握手10次，设有x 人参加这次聚会，则列出方程正确的是( ) A ．x(x －1)＝10 B ．x x －12＝10 C ．x(x ＋1)＝10D ．x x ＋12＝10 7．设x 1，x 2是方程x 2－4x ＋m ＝0的两个根，且x 1＋x 2－x 1x 2＝1，那么m 的值为( ) A ．2 B ．－3 C ．3D ．－28．已知菱形ABCD 的边长是5，两条对角线AC ，BD 相交于点O ，且AO ，BO 的长恰好是关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋m 2＋3＝0的两根，则m 的值为( )9．如图，矩形ABCD 是由三个矩形拼接成的，如果AB ＝8，阴影部分的面积是24，另外两个小矩形全等，那么小矩形的长为( )A ．2B ．3C ．4D ．610．若关于x 的方程ax 2＋(a ＋2)x ＋14a ＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2，且x 1＜1＜x 2，那么实数a的取值范围是( )A ．a ＜－1B ．－1＜a ＜0C ．a ＞－89D ．－89＜a ＜0二．填空题（共8小题，3*8=24）11．方程(x －10)(x ＋1)＝－3x 2＋2的二次项系数是，一次项系数是，常数项是.12. 已知关于x 的一元二次方程x 2＋kx －6＝0有一个根为－3，则方程的另一个根为.13．直角三角形两条直角边的长的比是5∶12，斜边的长为130 cm ，则这个直角三角形的面积是cm 2.14．方程x 2－4x ＋3＝0的解是 .15．有一人患了流感，经过两轮传染共有169人患了流感，每轮传染中平均一人传染了人． 16．如果1与3是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个根，那么p ＝，q ＝ .17．若关于x 的一元二次方程(k －1)x2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是_________________.18．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行2列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc ，上述记号叫做2阶行列式．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －1 －32 x －1＝7，则x ＝ .三．解答题（共7小题， 66分） 19．(8分) 用恰当的方法解方程： (1)(x ＋1)2＝3(x ＋1); (2)(x －3)(x ＋2)＝6.20．(8分) 现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高速发展．据调查，某家小型“大学生自主创业”的快递公司，今年三月份与五月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件，求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率．21．(8分) 关于x的方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0.(1)a为何值时，方程的一根为0?(2)a为何值时，两根互为相反数？22．(10分) 如图，一块长和宽分别为40厘米和25厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米．那么纸盒的高是多少？23．(10分)一个矩形周长为56厘米．(1)当矩形面积为180平方厘米时，长，宽分别为多少？(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．24．(10分)设m是不小于－1的实数，使得关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2－3m＋3＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若1x1＋1x2＝1，求13－2m的值；(2)求mx11－x1＋mx21－x2－m2的最大值．25．(12分) 如图，AO＝BO＝50 cm，OC是一条射线，OC⊥AB于点O，一只蚂蚁由点A以2 cm/s 的速度向B爬行，同时另一只蚂蚁由点O以3 cm/s的速度沿OC方向爬行，是否存在这样的时刻，使两只蚂蚁与点O组成的三角形的面积为450 cm2？若存在，请说明在什么时刻；若不存在，请说明理由．参考答案1-5 BACBA 6-10BCADD11. 4，-9，-1212. 213. 300014. x＝1或x＝315. 1216. -4，317. k＜5且k≠118. 0或219. 解：(1)原方程可化为x＋1x＋1－3＝0，即x＋1x－2＝0，∴x＋1＝0或x－2＝0.解得x1＝－1，x2＝2.(2)原方程可化为x2－x－12＝0，即x＋3x－4＝0，∴x＋3＝0或x－4＝0.解得x1＝－3，x2＝4.20. 解：设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，根据题意，得10(1＋x)2＝12.1，解得x1＝0.1，x2＝－2.1(不合题意，舍去)．∴该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%21. 解：(1)由方程的一根为0可得－a＋1＝0，∴a＝1(2)设方程的两根分别为x1，x2，∵两根互为相反数，∴x1＋x2＝0.∴a2－42＝0.∴a＝±2.∵当a＝－2时，方程2x2－(a2－4)x－a＋1＝0无解，∴a＝222. 解：设纸盒的高是x厘米，则长方体底面的长和宽分别是(40－2x)厘米和(25－2x)厘米．由题意，得(40－2x)(25－2x)＝450，即2x2－65x＋275＝0，解得x 1＝5，x 2＝552(不合题意舍去)．答：纸盒的高是5厘米．23. 解：(1)设矩形的长为x 厘米，则宽为(28－x)厘米，依题意，有x(28－x)＝180，解得x 1＝10(舍去)，x 2＝18. 则28－x ＝28－18＝10，∴矩形的长和宽分别为18厘米，10厘米 (2)设矩形的长为y 厘米，则宽为(28－y)厘米，依题意，有y(28－y)＝200，化简，得y 2－28y ＋200＝0，∴Δ＝282－4×200＝784－800＝－16＜0， ∴原方程无实数根．故不能围成一个面积为200平方厘米的矩形 24. 解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝b 2－4ac ＝4(m －2)2－4(m 2－3m ＋3)＝－4m ＋4＞0， ∴m ＜1.结合题意知－1≤m ＜1.由根与系数的关系可知x 1＋x 2＝－2(m －2)，x 1x 2＝m 2－3m ＋3. (1)1x 1＋1x 2＝x 1＋x 2x 1x 2＝－2（m －2）m 2－3m ＋3＝1，解得m 1＝1－52，m 2＝1＋52(不合题意，舍去)，∴13－2m＝5－2 (2)mx 11－x 1＋mx 21－x 2－m 2＝m （x 1＋x 2）－2mx 1x 21－（x 1＋x 2）＋x 1x 2－m 2＝－2(m －1)－m 2 ＝－(m ＋1)2＋3≤3， ∴最大值为325. 解：存在．有两种情况：(1)如图①，当蚂蚁在AO 上运动时，设x s 后两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450 cm 2，由题意，得12×3x×(50－2x)＝450，整理，得x 2－25x ＋150＝0，解得x 1＝15，x 2＝10(2)如图②，当蚂蚁在OB 上运动时，设x s 后，两只蚂蚁与O 点组成的三角形面积为450 cm 2，由题意，得12×3x(2x －50)＝450，整理，得x 2－25x －150＝0，解得x 1＝30，x 2＝－5(舍去)．答：在15 s 或10 s 或30 s 时，两蚂蚁与点O 组成的三角形的面积均为450 cm 2。

北师大版2022-2023学年第一学期九年级数学第二次月考测试题(附答案)

2022-2023学年第一学期九年级数学第二次月考测试题（附答案）一、选择题（1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分）1．下列属于反比例函数的是（）A．xy＝2B．y＝C．y＝D．y＝2．若两个相似三角形的对应高的比是1：4，则它们的周长比是（）A．1：2B．1：4C．1：8D．1：163．用一个2倍放大镜照△ABC，则△ABC放大后，不发生改变的是（）A．各内角的度数B．各边长C．周长D．面积4．已知反比例函数y＝（k≠0）的图象在各自象限内，y随x的增大而增大，则下列各点可能在这个函数图象上的是（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，﹣1）C．（0，﹣1）D．（﹣1，0）5．如图是一张竖格书法纸，纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，同一条直线上的A，B，C三点都在竖格线上．若线段AB＝3cm，则线段BC的长为（）A．6cm B．6.5cm C．7.5cm D．10.5cm6．如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝6，则的值为（）A．B．C．D．7．如图，函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）的图象在同一平面直角坐标系中，则该坐标系的原点是（）A．点M B．点N C．点P D．点Q8．如图，在平面直角坐标系中，△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，若A （3，0），B（2，﹣1），C（6，0），则点B的对应点D的坐标为（）A．（4，﹣2）B．（6，﹣3）C．（4，2）D．（6，3）9．一定电压下通过导体的电流I（A）和电阻R（Ω）之间成反比例函数，小明通过组合电路做实验时，发现电流I（A）随着电阻R（Ω）的变化而变化，其数据如下表所示．若在该电路中，电流表的最大量程是3A，为确保不超过电流表的最大量程，则该电路中电阻不小于（）R（Ω）…234…I（A）…24 1.6 1.2…A．2ΩB．1.8ΩC．1.6ΩD．1.5Ω10．在同一平面直角坐标系中，函数y＝和y＝kx﹣2的图象大致是（）A．B．C．D．11．“跳眼法”是指用手指和眼睛估测距离的方法步骤：第一步：水平举起右臂，大拇指紧直向上，大臂与身体垂直；第二步：闭上左眼，调整位置，使得右眼、大拇指、被测物体在一条直线上；第三步：闭上右眼，睁开左眼，此时看到被测物体出现在大拇指左侧，与大拇指指向的位置有一段横向距离，参照被测物体的大小，估算横向距离的长度；第四步：将横向距离乘以10（人的手臂长度与眼距的比值一般为10），得到的值约为被测物体离观测，点的距离值．如图是用“跳眼法”估测前方一辆汽车到观测点距离的示意图，该汽车的长度大约为4米，则汽车到观测点的距离约为（）A．40米B．60米C．80米D．100米12．如图，下列条件不能判定△ADB∽△ABC的是（）A．∠ABD＝∠ACB B．∠ADB＝∠ABCC．AB2＝AD•AC D．AD•BC＝AB•DB13．已知反比例函数，当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是4，则当x≥6时，y 有（）A．最大值B．最大值C．最小值D．最小值﹣114．将边长为4，6，6的等腰三角形、边长为4的正方形和长、宽分别为6，4的矩形按如图所示的方式向外扩张，各得到一个新图形，它们的对应边间距均为1，则新图形与原图形相似的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个15．在如图所示的平面直角坐标系的第一象限中标出了9个整点（横、纵坐标都是整数的点），若反比例函数y＝（x＞0）的图象的上方只有其中的5个整点，则k的取值范围是（）A．16≤k＜21B．16＜k≤21C．21≤k＜24D．9≤k＜1616．如图，在△ABC纸板中，AC＝4，BC＝8，AB＝11，P是BC上一点，沿过点P的直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板．针对CP的不同取值，两人的说法如下．下列判断正确的是（）甲：若CP＝4，则有3种不同的剪法；乙：若CP＝2，则有4种不同的剪法．A．甲错，乙对B．甲对，乙错C．甲和乙都错D．甲和乙都对二、填空题（共9分）17．若点（3，6）和点（a，﹣9）都在反比例函数y＝的图象上，则a的值为．18．如图，在矩形ABCD中，连接BD，点E在AD上，连接CE，交BD于点F，且△DEF ∽△DBA．（1）BD与CE是否垂直？（填“是”或“否”）；（2）若AB＝1，∠CBD＝30°，则的值为．19．如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上有点P1，P2，P3，P4，P5，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x轴、y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，S4已知P1的纵坐标为10．（1）k的值为；（2）阴影部分的面积S1的值为；（3）阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为．三、解答题（共69分）20．已知y是x的反比例函数，且当x＝4时，y＝2．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）在图中画出该函数的图象，并根据图象直接写出当﹣1≤x≤﹣2时，y的取值范围．21．如图，小明在学习《位似》时，利用几何画板软件，在平面直角坐标系中画出了△ABC 的位似图形△A1B1C1．（1）在图中标出△ABC与△A1B1C1的位似中心点M的位置，并直接写出点M的坐标；（2）若以点O为位似中心，请你帮小明在图中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2，且△A1B1C1与△A2B2C2的相似比为2（只画出一个三角形即可）．22．环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0mg/L．环保局要求该企业立即整改，在15天以内（含15天）排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y（mg/L）与时间x（天）的变化规律如图所示，其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．（1）求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；（2）该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？23．河北秦皇岛市的山海关有“天下第一关”之称，小明和小亮想测量“天下第一关”某处城墙的高度．如图，在测量时，小明站在城墙的城台MN（MH是护栏）上，小亮的眼睛A、凉亭顶端C、小明头顶E这三点在一条直线上，已知小亮的眼睛离地面的距离AB为1.6米，凉亭顶端离地面的距离CD为3.95米，小亮到凉亭的距离BD为5米，凉亭离城楼底部的距离DF为25米，小明身高EM为1.7米，点E，H，M，F在同一直线上，图中所有点在同一平面内，求FM的高度．24．【问题背景】如图1，已知△ABC∽△ADE．（1）若AB＝AC，试判断AD与AE之间的数量关系，并说明理由；（2）求证：△ABD∽△ACE；【尝试应用】（3）如图2，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠B＝∠ADE，求∠BCE 的度数．25．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y1＝（k≠0）与y2＝2x﹣4的图象交于点A （3，a），B．（1）求k的值；（2）若y1≤y2，请直接写出x的取值范围；（3）我们将横、纵坐标都是整数的点叫做整点已知点P（0，n）（n＞0），过点P作平行于x轴的直线，与反比例函数y1＝的图象交于点C，与y2＝2x﹣4的图象交于点D．记反比例函数y1＝的图象在点A，C之间的部分与线段AD，CD围成的区域（不含边界）为W．①当n＝4时，直接写出区域W内的整点个数，并写出这个整点的坐标；②若区域W内的整点恰好为3个，结合函数图象，直接写出n的取值范围．26．在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形摆放在一起，如图1所示，点A为公共顶点，点D在AB的延长线上，∠BAC＝∠AED＝90°，AB＝AE＝2．（1）图1中阴影部分的面积与△ADE的面积比为；（2）若将△ABC固定不动，把△ADE绕点A逆时针旋转a（0°＜a＜90°），此时线段AD，射线AE分别与射线BC交于点M，N．①当△ADE旋转到如图2所示的位置时，求证：△ABN∽△MAN；②如图2，若BM＝1，求BN的长；③在旋转过程中，若BM＝d，请直接写出CN的长（用含d的式子表示）．参考答案一、选择题（1～10小题每题3分，11～16小题每题2分，共42分）1．解：A、由原式得到y＝，符合反比例函数的定义，故本选项符合题意；B、该函数式表示y与x成正比例关系，故本选项不符合题意；C、该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意；D、该函数式不属于反比例函数，故本选项不符合题意；故选：A．2．解：∵两个相似三角形的对应高的比是1：4，∴它们的周长比为1：4．故选：B．3．解：用一个2倍放大镜照一个△ABC，△ABC放大后，各内角大小不变，各边长发生改变，面积发生变化，周长发生变化，故B，C，D不符合题意．故选：A．4．解：因为反比例函数y＝（k≠0）的图象在各自象限内，y随x的增大而增大，所以k＜0，A．﹣1×1＝﹣1＜0，故本选项符合题意；B．﹣1×（﹣1）＝1＞0，故本选项不符合题意；C．0×（﹣1）＝0，故本选项不符合题意；D．﹣1×0＝0，故本选项不符合题意；故选：A．5．解：如图，过点A作AE⊥CE于点E，交BD于点D，∵纸中的竖格线都平行，且相邻两条竖格线间的距离都相等，∴＝，即＝，∴BC＝7.5．故选：C．6．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝＝，故选：C．7．解：在函数y＝（x＞0）和y＝﹣（x＞0）中，∵4＞0，﹣4＜0，∴函数y＝（x＞0）的图象在第一象限，函数y＝﹣（x＞0）的图象在第四象限，∴该坐标系的原点是点N，故选：B．8．解：∵△AOB与△COD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1：2，∴点B的坐标为（2×2，﹣1×2），即（4，﹣2），故选：A．9．解：∵一定电压下通过导体的电流I（A）和电阻R（Ω）之间成反比例函数，∴设I＝，把R＝2时，I＝2.4代入得2.4＝，∴U＝4.8，∴电流I（A）和电阻R（Ω）之间的反比例函数解析式为I＝，当≤3时，即R≥1.6，∴该电路中电阻不小于1.6Ω，故选：C．10．解：k＞0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第一、三、四象限，反比例函数y＝的两个分支分别位于第一、三象限，B选项符合；k＜0时，一次函数y＝kx﹣2的图象经过第二、三、四象限，反比例函数y＝的两个分支分别位于第二、四象限，无选项符合．故选：B．11．解：由“跳眼法”的步骤可知被测物体与观测点的距离是横向距离的10倍．观察图形，横向距离大约是汽车长度的2倍，为8米，所以汽车到观测点的距离约为80米，故选C．12．解：A．∵∠ABD＝∠ACB，∠A＝∠A，∴△ADB与△ABC相似，故本选项不符合题意；B．∵∠ADB＝∠ABC，∠A＝∠A，∴△ADB与△ABC相似，故本选项不符合题意；C．根据AB2＝AD•AC可得，AB：AC＝AD：AB，结合∠A＝∠A能判断△ADB与△ABC 相似，故本选项不符合题意；D．∵AD•BC＝AB•DB，∴AD：AB＝BD：BC，结合∠A＝∠A，不能判定△ADB与△ABC相似，故本选项符合题意；故选：D．13．解：∵反比例函数，当﹣3≤x≤﹣1时，y的最大值是4，∴k＜0，∴在每一个象限内，y随着x增大而增大，当x＝﹣1时，y取得最大值4，此时k＝﹣1×4＝﹣4，∴当x＝6时，y＝，∴当x≥6时，y≥，∴y有最小值，故选：C．14．解：如图1，∵AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′；如图2，∵正方形的边长由4变为6，对应边比值不变，对应角相等，故新图形与原图形相似；如图3，∵AB＝CD＝4，AD＝BC＝6，则A′B′＝C′D′＝4+2＝6，A′D′＝B′C′＝6+2＝8，则可得≠，∴新矩形与原矩形不相似．故选：C．15．解：当反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点（2，8）和（8，2）时，k＝2×8＝16，此时，反比例函数y＝（x＞0）的图象的上方有5个整点，当反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点（3，7）和（7，3）时，k＝3×7＝21，此时，反比例函数y＝（x＞0）的图象的上方有3个整点，由图象可知，若反比例函数y＝（x＞0）的图象的上方只有其中的5个整点，则k的取值范围是16≤k＜21，故选：A．16．解：如图所示，过P作PD∥AB交AC于D或PE∥AC交AB于E，则△PCD∽△BCA 或△BPE∽△BCA，此时0＜PC＜8；如图所示，过P作∠BPF＝∠A交AB于F，则△BPF∽△BAC，此时0≤PC＜8；如图所示，过P作∠CPG＝∠A交AC于G，则△CPG∽△CAB，当点G与点A重合时，CA2＝CP•CB，即42＝CP×8，∴CP＝2，∴此时，0＜CP≤2；当0＜CP≤2时，有4种不同的剪法；当2＜CP＜8时，有3种不同的剪法．∴甲和乙对．故选：D．二、填空题（共9分）17．解：把点（3，6）代入y＝得6＝，解得k＝18，所以反比例函数解析式为y＝，把点（a，﹣9）代入y＝得﹣9＝，解得a＝﹣2，故答案为：﹣2．18．解：（1）∵四边形ABCD为矩形，∴∠DAB＝90°，∵△DEF∽△DBA，∴∠DFE＝∠DAB＝90°，∴BD⊥CE；故答案为：是；（2）AB＝1，∠CBD＝30°，四边形ABCD为矩形，∴AB＝CD＝1，BD＝2，∴AD＝，∵△DEF∽△DBA，∴，即，∴DF＝，∵∠DFC＝∠BCD，∠BDC＝∠BDC，∴△DFC∽△DCB，∴，即，∴，∴．故答案为：．19．解：（1）点P1，的横坐标为2，P1的纵坐标为10，点P1在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，∴10＝，∴k＝20，故答案为：20；（2）如图，∵点P1在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点P2，的横坐标为4，∴y＝＝5，∴P2的纵坐标为5，∴P2H＝5．∵四边形P2CGH为矩形，∴CG＝P2H＝5，∵点P1，的横坐标为2，P1的纵坐标为10，∴P1G＝10，OG＝2，∴P1C＝10﹣5＝5，∵四边形P1AOG和四边形BOGC为矩形，∴BC＝OG＝2，∴S1＝P1C•BC＝5×2＝10，故答案为：10；（3）∵点P1，P2，P3，P4，P5，其横坐标依次为2，4，6，8，10，分别过这些点作x 轴、y轴的垂线，∴S2＝S矩形BDMC，S3＝S矩形DENM，S4＝S矩形EFKN，∴阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为．∵点P5在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点P25的横坐标为10，∴y＝＝2，∴P5的纵坐标为2，∴P5P＝2，∵四边形FOPP5为矩形，∴KG＝P5P＝2，∴P1K＝P1G﹣KG＝10﹣2＝8，∴＝P1K•FK＝8×2＝16．∴阴影部分的面积S1，S2，S3，S4的和为16，故答案为：16．三、解答题（共69分.）20．解：（1）设y＝（k≠0），把x＝4，y＝2代入得2＝，∴k＝8，∴该函数解析式为：y＝；（2）函数y＝的图象如图所示：当﹣1≤x≤﹣2时，y的取值范围是﹣8≤y≤﹣4．21．解：（1）如图，点M为所作，M点的坐标为（0，2）；（2）如图，△A2B2C2为所作．22．解：（1）分情况讨论：①当0≤x≤3时，设线段AB对应的函数表达式为y＝kx+b；把A（0，10），B（3，4）代入得，解得：，∴y＝﹣2x+10；②当x＞3时，设y＝，把（3，4）代入得：m＝3×4＝12，∴y＝；综上所述：当0≤x≤3时，y＝﹣2x+10；当x＞3时，y＝；（2）能；理由如下：令y＝＝1，则x＝12，3＜12＜15，故能在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L．23．解：过点A作AK⊥CD于点K，AG⊥EF于点G，∵CK∥EF，∴△ACK∽△AEG，∴＝，∴＝，解得：EG＝14.1，∴EF＝EG+FG＝14.1+1.6＝15.7（m），∴MF＝15.7﹣EM＝15.7﹣1.7＝14（m），答：FM的高度为14m．24．（1）解：AD＝AE，理由如下：∵△ABC∽△ADE，∴＝，∵AB＝AC，∴AD＝AE；（2）证明：∵△ABC∽△ADE，∴＝，∠BAC＝∠DAE，∴＝，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴△ABD∽△ACE；（3）解：∵∠BAC＝90°，∴∠B+∠ACB＝90°，∵∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠ADE，∴△BAC∽△DAE，∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，∴＝，∴＝，∵∠BAD＝∠CAE，∴△BAD∽△CAE，∴∠ACE＝∠B，∴∠ACE+∠ACB＝90°，∴∠BCE＝90°．25．解：（1）点A（3，a）代入y2＝2x﹣4得，a＝2×3﹣4＝2，∴点A（3，2），又∵点A（3，2）在反比例函数y1＝（k≠0）的图象上，∴k＝6（2）方程组的解为，，而点A（3，2），∴点B（﹣1，﹣6），由两个函数的图象及交点坐标可知，当y1≤y2时，x的取值范围为0＜x＜3或x＜﹣1；（3）①如图1，当n＝4时，即点P（0，4），直线y＝4与两个函数图象的交点为C、D，当y＝4时，即4＝，解得x＝，∴点C（，4），当y＝4时，即2x﹣4＝4，解得x＝4，∴点D（4，4），而直线y＝2x﹣4与x轴的交点E（2，0），∴反比例函数y1＝的图象在点A，C之间的部分与线段AD，CD围成的区域（不含边界）为W区域中整数点的个数为1，其坐标为（3，3），答：当n＝4时，区域W内的整点有1个，这个整点的坐标为（3，3）；②如图2，当n＝5时，即点P（0，5），直线y＝5与两个函数图象的交点C′，D′，可求出C′（，5），D′（，5），而点A（3，2），若区域W内的整点恰好为3个，即（2，4），（3，3），（3，4），因此此时4＜n≤5，当n＝1，即点P（0，，1），直线y＝1与两个函数图象的交点C″，D″，可求出C″（6，1），D″（，1），而点A（3，2），若区域W内的整点恰好为3个，即（3，1），（4，1），（5，1），因此此时0＜n＜1，综上所述，若区域W内的整点恰好为3个，n的取值范围为0＜n＜1或4＜n≤5．26．（1）解：∵△ABC、△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝∠D＝∠DAE＝45°，AD＝AE＝4，∴△ABF∽△ADE，∴＝（）2＝（）2＝，∴阴影部分的面积与△ADE的面积比为，故答案为：；（2）①证明：∵∠ABN＝∠MAN＝45°，∠ANB＝∠MNA，∴△ABN∽△MAN；②解：在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，则BC＝＝4，∴CM＝BC＝BM＝3，∵∠AMC＝∠B+∠BAM＝45°+∠BAM，∠BAN＝∠MAN+∠BAM＝45°+∠BAM，∴∠AMC＝∠BAN，∵∠B＝∠C，∴△ABN∽△MCA，∴＝，即＝，解得：BN＝；③解：如图2，当点N在线段BC上时，由②可知：△ABN∽△MCA，∴＝，即＝，解得：BN＝，∴CN＝BC﹣BN＝4﹣＝，如图3，当点N在线段BC的延长线上时，CN＝BN﹣BC＝﹣4＝，综上所述：CN的长为或．。

第二学期全册综合复习学情评估2022-2023学年度北师大版数学九年级下册

第二学期全册综合复习学情评估一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，若AC ＝4，AB ＝5，则cos B 等于( )A.34B.35C.45D.432．如图，AB 是⊙O 的直径，∠D ＝40°，则∠AOC ＝( )A ．80°B ．100°C ．120°D ．140°(第2题) (第4题) (第5题)3．在平面直角坐标系中，将抛物线y ＝x 2先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度后，所得抛物线对应的函数表达式为( ) A ．y ＝(x ＋3)2＋1 B ．y ＝(x －3)2－1 C ．y ＝(x ＋3)2－1 D ．y ＝(x －3)2＋14．如图，小明在C 处看到西北方向的A 处有一只小猫，若小猫沿正东方向跑到B 处，测得B 在C 的北偏东α方向，且BC ＝a 米，则A 处与B 处之间的距离为( )A ．a (cos α＋sin α)米B ．a (cos α－sin α)米C.⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos α＋a sin α米D.⎝ ⎛⎭⎪⎫acos α－a sin α米 5．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列说法错误的是( )A ．当－1＜x ＜2时，y ＜0B ．a ＋c ＝bC ．当x ＞12时，y 随x 的增大而增大D ．若顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m ，则方程ax 2＋bx ＋c ＝m －1有实数根6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，sin B ＝45，AC ＝5 cm ，若以点C 为圆心，2cm 长为半径作圆，则⊙C 与AB 的位置关系是( )A ．相离B ．相交C ．相切D ．相切或相交(第6题) (第7题) (第8题)7．如图，在⊙O 中，AO ＝3，∠C ＝60°，则AB ︵的长度为( )A ．6πB ．9πC ．2πD ．3π8．如图，在4×4的正方形网格中，△ABC 的顶点都在格点上，则∠BAC 的正弦值是( ) A.55B.12C.2 55D. 59．如图，半圆O 与等腰直角三角形两腰CA ，CB 分别切于D ，E 两点，直径FG在AB 上，若BG ＝2－1，则△ABC 的周长为( ) A ．4＋2 2B ．6C ．2＋2 2D ．4(第9题) (第10题)10．如图，有边长分别为1和2的两个等边三角形，开始时它们在左边重合，大三角形固定不动，然后把小三角形自左向右平移至完全移出大三角形为止．设小三角形移动的距离为x ，两个三角形重叠部分的面积为y ，则y 关于x 的函数图象是( )二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，且c＝3a，则tan A的值为________．12．如果将抛物线y＝－2x2＋8向下平移a个单位后恰好经过点(1，4)，那么a的值为________．13．如图，⊙O的半径为9 cm，AB是弦，OC⊥AB于点C，将劣弧AB沿弦AB 折叠，交OC于点D，若D是OC的中点，则AB的长为________．(第13题)(第15题)14．已知二次函数y＝ax2－2ax＋c(a≠0)的图象与x轴的一个交点为(－1，0)，则关于x的一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的根是________．15．如图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处出发以每小时20 n mile的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1 h后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离约是______n mile(结果精确到个位，参考数据：2≈1.4，3≈1.7，6≈2.4)．三、解答题(一)(本大题共3小题，每小题8分，共24分)16．计算：3tan 30°－tan2 45°＋2sin 60°.17．一抛物线以(－1，9)为顶点，且经过点(－4，0)，求该抛物线的解析式及抛物线与y轴的交点坐标．318．如图，在小山的东侧A 处有一热气球，由于受风力影响，它以35 m/min 的速度沿着与水平线成75°角的方向飞行，40 min 后到达C 处，此时热气球上的人发现热气球与山顶P 及小山西侧的B 处在一条直线上，同时测得B 处的俯角为30°.在A 处测得山顶P 的仰角为45°，求A 与B 间的距离及山高(结果保留根号)．(第18题)四、解答题(二)(本大题共3小题，每小题9分，共27分)19．△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＋|tan B －1|＝0.(1)分别求出△ABC 三个内角的度数； (2)若AC ＝2，求AB 的长度．20．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠1＝∠2，延长BC 到点E ，使得CE ＝AB ，连接ED . (1)求证：BD ＝ED ；(2)若AB ＝5，BC ＝7，∠ABC ＝60°，求tan ∠DCB 的值．(第20题)21．某商店购进一批额温枪，每个进价为30元．若每个售价定为42元，则每周可售出160个．经调查发现，每个售价每增加1元，每周的销售量将减少10个．设每个额温枪的售价为x元(x≥42)，每周的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；(2)求每个售价为多少时，每周的销售利润最大；(3)若该商店在某周销售这种额温枪获利1 600元，求这周每个额温枪的售价．五、解答题(三)(本大题共2小题，每小题12分，共24分)22．如图，AB是⊙O的直径，AD、BC分别是⊙O的切线，连接OC、OD、CD，且CO平分∠BCD.(1)求证：CD是⊙O的切线；(2)求证：OC⊥OD；(3)若⊙O的半径是2，sin∠BCD＝23，且AD＜BC，求tan∠BOC的值．5(第22题)23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－6与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝8，OA＝3OB，点P是直线AC下方抛物线上的一个动点．过点P作PE∥x轴，交直线AC于点E.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M是抛物线对称轴上的一个动点，则BM＋CM的最小值是________；(3)求PE的最大值；(4)在抛物线的对称轴上找一点N，使△ACN是以AC为斜边的直角三角形，请直接写出点N的坐标．(第23题)答案一、1.B 2.B 3.D 4.A 5.D 6.A7.C8.A9.A 10．B二、11.2412.213.6 5 cm14.x1＝－1，x2＝315．24三、16.解：3tan 30°－tan2 45°＋2sin 60°＝3×33－12＋2×32＝3－1＋ 3＝2 3－1.17．解：由题意，可设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋9，将(－4，0)代入y＝a(x＋1)2＋9，得0＝9a＋9，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋9.令x＝0，则y＝8，∴抛物线与y轴的交点坐标为(0，8)．18．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D.由题意得，∠ACD＝75°－30°＝45°，AC＝35×40＝1 400(m)．∴AD＝AC·sin 45°＝1 400×22＝700 2(m)．在Rt△ABD中，由题意可知，∠B＝30°，∴AB＝2AD＝1 400 2 m.过点P作PE⊥AB，垂足为E，∴易得AE＝PE，BE＝3PE.∴AB＝AE＋BE＝PE＋3PE＝1 400 2 m.∴PE＝700(6－2)m.答：A与B间的距离是1 400 2 m，山高是700(6－2)m.7四、19.解：(1)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫cos A －122＋||tan B －1＝0，∴cos A －12＝0，tan B －1＝0， ∴cos A ＝12，tan B ＝1，又∵∠A 、∠B 都是锐角， ∴∠A ＝60°，∠B ＝45°， ∴∠C ＝180°－∠A －∠B ＝75°. (2)过点C 作CH ⊥AB 于H ，在Rt △ACH 中，AC ＝2，∠A ＝60°， ∴AH ＝AC ·cos A ＝2×12＝1， CH ＝AC ·sin A ＝2×32＝ 3.在Rt △CHB 中，CH ＝3，tan B ＝1， ∴BH ＝CH tan B ＝31＝3， ∴AB ＝AH ＋BH ＝1＋ 3. 20．(1)证明：∵∠1＝∠2，∴AD ︵＝DC ︵，∴AD ＝DC . ∵四边形ABCD 内接于⊙O ， ∴∠BAD ＋∠BCD ＝180°， ∵∠ECD ＋∠BCD ＝180°， ∴∠BAD ＝∠ECD . 在△ABD 和△CED 中，⎩⎨⎧AD ＝CD ，∠BAD ＝∠ECD ，AB ＝CE ，∴△ABD ≌△CED ，∴BD ＝ED . (2)解：过点D 作DM ⊥BE 于M ，如图．(第20题)∵BC＝7，CE＝AB＝5，∴BE＝BC＋EC＝12，∵BD＝ED，DM⊥BE，∴BM＝ME＝12BE＝6，∴CM＝BC－BM＝1.∵∠ABC＝60°，∠1＝∠2，∴∠2＝30°，∴DM＝BM·tan∠2＝6×33＝2 3，∴tan∠DCB＝DMCM＝2 3.21．解：(1)根据题意知y＝(x－30)[160－10(x－42)]＝－10x2＋880x－17 400(42≤x<58)．(2)y＝－10x2＋880x－17 400＝－10(x－44)2＋1 960.∵－10＜0，42≤x<58，∴当x＝44时，y取得最大值，最大值为1 960.答：当每个售价为44元时，每周的销售利润最大．(3)令y＝1 600，则－10(x－44)2＋1 960＝1 600，解得x＝50或x＝38(不合题意，舍去)．答：这周每个额温枪的售价为50元．五、22.(1)证明：过点O作OH⊥CD于点H，如图，则∠CHO＝90°，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∴∠CHO＝∠CBO.∵CO平分∠BCD，∴∠HCO＝∠BCO，9又∵OC＝OC，∴△CHO≌△CBO，∴OH＝OB，∴CD是⊙O的切线．(2)证明：∵AD是⊙O的切线，∴∠DAO＝90°. 在Rt△DAO和Rt△DHO中，AO＝HO，DO＝DO，∴Rt△DAO≌Rt△DHO，∴∠AOD＝∠HOD.∵△CHO≌△CBO，∴∠COH＝∠COB.∵∠AOH＋∠BOH＝180°，∴∠DOH＋∠COH＝90°，∴∠DOC＝90°，即OC⊥OD.(3)解：延长CD交BA的延长线于点F，如图．(第22题)∵∠OHC＝∠OBC＝90°，∴易得∠FOH＝∠DCB，∵sin∠BCD＝2 3，∴sin∠FOH＝FHFO＝2 3，∴可设FH＝2m，FO＝3m，∵OH＝2，∴(3m)2－(2m)2＝22，解得m＝2 55(负值已舍去)，∴FH＝4 55，FO＝6 55.11∵∠FHO ＝∠FBC ＝90°，∠F ＝∠F ， ∴△FOH ∽△FCB ，∴OH ∶FO ＝BC ∶FC ，∴易得2 ∶6 55＝BC ∶⎝⎛⎭⎪⎫BC ＋4 55，解得BC ＝3＋5，∴tan ∠BOC ＝BC OB ＝3＋52.23．解：(1)∵AB ＝OA ＋OB ＝8，OA ＝3OB ，∴OB ＝2，OA ＝6，∴A (－6，0)，B (2，0)．将点A ，B 的坐标代入y ＝ax 2＋bx －6，得⎩⎨⎧36a －6b －6＝0，4a ＋2b －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝2.∴y ＝12x 2＋2x －6.(2)6 2(3)令x ＝0，则y ＝－6，∴C (0，－6)．设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋m ，将点A ，C 的坐标代入，得⎩⎨⎧－6k ＋m ＝0，m ＝－6，解得⎩⎨⎧k ＝－1，m ＝－6.∴y ＝－x －6.设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12t 2＋2t －6，其中－6<t <0，则E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12t 2－2t ，12t 2＋2t －6， ∴PE ＝－12t 2－2t －t ＝－12t 2－3t ＝－12(t ＋3)2＋92，∴当t ＝－3时，PE 取得最大值92.即PE的最大值为9 2.(4)点N的坐标为(－2，17－3)或(－2，－17－3)．。

2023年北师大版初中数学九年级(下)期末综合测试卷及部分答案(五套)

北师大版初中数学九年级（下）期末综合测试卷及答案（一）一、选择题(每题3分，共30分)1．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos B －122＝0，则∠C 的度数是( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 2．抛物线y ＝x 2－3x ＋2的对称轴是直线( ) A.x ＝－3 B.x ＝3 C.x ＝－32 D.x ＝323．把抛物线y ＝－2x 2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得抛物线对应的函数表达式为( )A.y ＝－2(x ＋1)2＋2 B.y ＝－2(x ＋1)2－2 C.y ＝－2(x －1)2＋2 D.y ＝－2(x －1)2－2 4．2cos 45°的值等于( ) A.1 B. 2 C. 3 D.25．如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦， ∠ABD ＝58°，则∠BCD 等于( )A.116°B.32°C.58°D.64°6．如图是某水库大坝横断面示意图，其中CD ，AB 分别表示水库上、下底面的水平线，∠ABC ＝120°，BC 的长是50 m ，则水库大坝的高度h 是( )A.25 3 mB.25 mC.25 2 mD.5033m7．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，下列说法错误．．的是( ) A.图象关于直线x ＝1对称B.函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的最小值是－52C.－1和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的两个根D.当x ＜1时，y 随x 的增大而增大8．如图，AB 为⊙O 的切线，切点为B ，连接AO ，AO 与⊙O 交于点C ，BD 为⊙O 的直径，连接C D.若∠A ＝30°，⊙O 的半径为2，则图中阴影部分的面积为( )A.4π3－ 3B.4π3－2 3C.π－ 3D.2π3－ 39．如图，半圆O 与等腰直角三角形两腰CA ，CB 分别切于D ，E 两点，直径FG 在AB 上，若BG ＝2－1，则△ABC 的周长为( )A.4＋2 2B.6C.2＋2 2D.410．如图，一艘渔船在海岛A 南偏东20°方向的B 处遇险，测得海岛A 与B 的距离为20 n mile ，渔船将险情报告给位于A 处的救援船后，沿北偏西80°的方向向海岛C 靠近，同时，从A 处出发的救援船沿南偏西10°方向匀速航行，20 min 后，救援船在海岛C 处恰好追上渔船，那么救援船航行的速度为( )A.10 3 n mile/hB.30 n mile/hC.20 3 n mile/hD.30 3 n mile/h 二、填空题(每题3分，共30分)11．二次函数y ＝－x 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是____________．12．如图，在△ABC 中，∠B ＝30°，AC ＝2，cos C ＝35，则AB 边的长为________．13．抛物线y ＝2x 2＋6x ＋c 与x 轴的一个交点为(1，0)，则这个抛物线的顶点坐标是____________．14．如图，扇形AOB 的圆心角为122°，C 是AB ︵上一点，则∠ACB ＝________．15．如图，直径为10的⊙A 经过点C (0，6)和点O (0，0)，与x 轴的正半轴交于点D ，B 是y轴右侧圆弧上一点，则cos ∠OBC ＝________．16．已知⊙O 的半径为1，点P 与点O 之间的距离为d ，且关于x 的方程x 2－2x ＋d ＝0没有实数根，则点P 在__________(填“圆内”“圆上”或“圆外”)．17．一个小球在空中的高度h(m )与时间t(s)满足关系式：h ＝20t －5t 2，那么这个小球所能达到的最大高度为________m .18．如图，在⊙O 中，AB 是⊙O 的直径，AB ＝8 cm ，AC ︵＝CD ︵＝BD ︵，M 是AB 上一动点，则CM＋DM 的最小值是__________．(19．如图，某公园入口处有三级台阶，每级台阶高为18 cm ，深为30 cm ，为了方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A ，斜坡的起点为C ，现设计斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，则AC 的长度是________cm.20．如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，反比例函数y ＝k x的图象经过正方形AOBC对角线的交点，半径为(4－22)的圆内切于△ABC ，则k 的值为________．三、解答题(21题6分，22～24题每题8分，其余每题10分，共60分) 21．计算：2sin 30°－3tan 45°·sin 45°＋4cos 60°.22．如图，已知二次函数y ＝a (x －h)2＋3的图象经过O (0，0)，A (2，0)两点． (1)写出该函数图象的对称轴；(2)若将线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′，试判断点A ′是否为该函数图象的顶点．23．如图，AB 是半圆O 的直径，C ，D 是半圆O 上的两点，OD ∥BC ，OD 与AC 交于点E . (1)若∠D ＝70°，求∠CAD 的度数； (2)若AC ＝8，DE ＝2，求AB 的长．24．如图，在小山的东侧A 庄，有一热气球，由于受西风的影响，以35 m/min 的速度沿着与水平方向成75°角的方向飞行，40 min 时到达C 处，此时气球上的人发现气球与山顶P 点及小山西侧的B 庄在一条直线上，同时测得B 庄的俯角为30°.又在A 庄测得山顶P的仰角为45°，求A庄与B庄的距离及山高(结果保留根号)．25．如图，以△ABC的边BC上一点O为圆心的圆经过A，C两点且与BC边交于点E.点D为下半圆弧的中点，连接AD交线段EO于点F，且AB＝BF.(1)求证：AB是⊙O的切线；(2)若CF＝4，DF＝10，求⊙O的半径r及sin B.26．某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m(30＜m≤100)人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．(1)求y关于x的函数表达式．(2)景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m 的取值范围．27．在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5经过点M (1，3)和N (3，5)．(1)试判断该抛物线与x 轴交点的情况；(2)平移这条抛物线，使平移后的抛物线经过点A (－2，0)，且与y 轴交于点B ，同时满足以A ，O ，B 为顶点的三角形是等腰直角三角形，请你写出平移过程，并说明理由．答案一、1.D 2.D 3.C 4.B 5.B 6.A 7．D 8.A9．A 点拨：连接OD ，OE ，易证得四边形ODCE 是正方形，△OEB 是等腰直角三角形，设OE＝r ，由OB ＝2OE ＝2r ，可得方程：2－1＋r ＝2r ，解此方程，即可求得r ，则△ABC 的周长为4＋2 2.10．D 点拨：∵∠CAB ＝10°＋20°＝30°，∠CBA ＝80°－20°＝60°，∴∠C ＝90°.∵AB ＝20 n mile ，∴AC ＝AB ·cos 30°＝10 3 n mile.∴救援船航行的速度为103÷2060＝303(n mile/h)．二、11.－3＜x ＜1 12.16513.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－25214．119° 点拨：在扇形AOB 所在圆的优弧AB 上取一点D ，连接DA ，DB .∵∠AOB ＝122°，∴∠D ＝61°. ∵∠ACB ＋∠D ＝180°， ∴∠ACB ＝119°.15.4516.圆外 17.20 18.8 cm 19．210 点拨：过点B 作BD ⊥AC 于点D ，则AD ＝2×30＝60(cm)，BD ＝18×3＝54(cm)．由斜坡BC 的坡度i ＝1∶5，得CD ＝5BD ＝5×54＝270(cm)．∴AC ＝CD －AD ＝270－60＝210(cm)．20．4 点拨：设正方形OACB 的边长为a ，则AB ＝2a .根据直角三角形内切圆半径公式得a ＋a －2a2＝4－22，故a ＝4.所以对角线交点坐标为(2，2)，故k ＝xy ＝4.三、21.解：原式＝2×12－3×1×22＋4×12＝1－322＋2＝3－322.22．解：(1)∵二次函数y ＝a (x －h )2＋3的图象经过O (0，0)，A (2，0)两点，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1. (2)点A ′是该函数图象的顶点．理由：如图，作A ′B ⊥x 轴于点B .∵线段OA 绕点O 逆时针旋转60°到OA ′，∴OA ′＝OA ＝2，∠AOA ′＝60°.又∵A ′B ⊥x 轴，∴OB ＝12OA ′＝1，A ′B ＝3OB ＝ 3.∴A ′点的坐标为(1，3)．∴点A ′是函数y ＝a (x －1)2＋3图象的顶点． 23．解：(1)∵OA ＝OD ，∠D ＝70°，∴∠OAD ＝∠D ＝70°.∴∠AOD ＝180°－∠OAD －∠D ＝40°. ∵AB 是半圆O 的直径，∴∠C ＝90°. ∵OD ∥BC ，∴∠AEO ＝∠C ＝90°，即OD ⊥AC . ∴AD ︵＝CD ︵. ∴∠CAD ＝12∠AOD ＝20°.(2)由(1)可知OD ⊥AC ，∴AE ＝12AC ＝12×8＝4.设OA ＝x ，则OE ＝OD －DE ＝x －2. 在Rt △OAE 中，OE 2＋AE 2＝OA 2，即(x －2)2＋42＝x 2，解得x ＝5. ∴AB ＝2OA ＝10. 24．解：过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D .在Rt △ADC 中，∠ACD ＝75°－30°＝45°，AC ＝35×40＝1 400(m)． ∴AD ＝AC ·sin 45°＝1 400×22＝7002(m)．在Rt △ABD 中，∠B ＝30°， ∴AB ＝2AD ＝1 400 2 m. 过点P 作PE ⊥AB ，垂足为E ，则AE ＝PE ，BE ＝PEtan 30°＝3PE .∴(3＋1)PE ＝1 400 2. 解得PE ＝700(6－2)m.答：A 庄与B 庄的距离是1 400 2 m ，山高是700(6－2)m. 25．(1)证明：如图，连接AO ，DO .∵D 为下半圆弧的中点，∴∠EOD ＝90°. ∵AB ＝BF ，OA ＝OD ，∴∠BAF ＝∠BFA ＝∠OFD ，∠OAD ＝∠ADO .∴∠BAF ＋∠OAD ＝∠OFD ＋∠ADO ＝90°，即∠BAO ＝90°. ∴OA ⊥AB . ∴AB 是⊙O 的切线．(2)解：在Rt △OFD 中，OF ＝CF －OC ＝4－r ，OD ＝r ，DF ＝10.∵OF 2＋OD 2＝DF 2，∴(4－r )2＋r 2＝(10)2. ∴r 1＝3，r 2＝1(舍去)．∴半径r ＝3.∴OA ＝3，OF ＝CF －OC ＝4－3＝1，BO ＝BF ＋FO ＝AB ＋1. 在Rt △ABO 中，AB 2＋AO 2＝BO 2，∴AB 2＋32＝(AB ＋1)2.∴AB ＝4.∴BO ＝5. ∴sin B ＝AO BO ＝35.26．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧120x （0＜x ≤30），[120－（x －30）]x （30＜x ≤m ），[120－（m －30）]x （x ＞m ）＝⎩⎪⎨⎪⎧120x （0＜x ≤30），－x 2＋150x （30＜x ≤m ），（150－m ）x （x ＞m ）. (2)由(1)可知，当0＜x ≤30或x ＞m 时，y 都随着x 的增大而增大．当30＜x ≤m 时，y ＝－x 2＋150x ＝－(x －75)2＋5 625， ∵－1＜0，∴当x ≤75时，y 随着x 的增大而增大．∴为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，m 的取值范围为30＜m ≤75. 27．解：(1)把M ，N 两点的坐标代入抛物线对应的函数表达式，可得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋5＝3，9a ＋3b ＋5＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－3. ∴抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2－3x ＋5. 令y ＝0，可得x 2－3x ＋5＝0.∵Δ＝(－3)2－4×1×5＝9－20＝－11＜0， ∴该抛物线与x 轴没有交点．(2)∵△AOB 是等腰直角三角形，点A (－2，0)，点B 在y 轴上，∴点B 的坐标为(0，2)或(0，－2)．可设平移后的抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2＋mx ＋n .①当抛物线过A (－2，0)，B (0，2)时，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2，4－2m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝2.∴平移后的抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2＋3x ＋2.∵该抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，－14，而原抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，114，∴将原抛物线先向左平移3个单位长度，再向下平移3个单位长度，即可获得符合条件的抛物线．②当抛物线过A (－2，0)，B (0，－2)时，代入可得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝－2，4－2m ＋n ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2. ∴平移后的抛物线对应的函数表达式为y ＝x 2＋x －2.∵该抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－94，而原抛物线的顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，114，∴将原抛物线先向左平移2个单位长度，再向下平移5个单位长度，即可获得符合条件的抛物线．北师大版初中数学九年级（下）期末综合测试卷及答案（二）一、选择题。

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元综合达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分30分）1．在下列关于x的函数中，一定是二次函数的是（）A．y＝﹣3x B．xy＝2C．y＝ax2+bx+c D．y＝2x2+52．下列各点中，在抛物线y＝x2﹣4上的是（）A．（1，3）B．（﹣1，﹣3）C．（1，﹣5）D．（﹣1，﹣5）3．抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣5，3）B．（5，3）C．（3，5）D．（5，﹣3）4．将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是（）A．y＝x2﹣1B．y＝x2﹣5C．y＝（x+2）2﹣3D．y＝（x﹣2）2﹣3 5．已知b＞0时，二次函数y＝ax2+bx+a2﹣1的图象如下列四个图之一所示：根据图象分析，a的值等于（）A．﹣2B．﹣1C．1D．26．如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（）A．1m B．2m C．（2﹣4）m D．（﹣2）m 7．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y＝﹣（x+1）2+a上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（）A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y2＞y1D．y3＞y1＞y28．如图，抛物线y1＝a（x+1）2﹣5与抛物线y2＝﹣a（x﹣1）2+5（a≠0）交于点A（2，4），B（m，﹣4），若无论x取任何值，y总取y1，y2中的最小值，则y的最大值是（）A．4B．5C．2D．19．已知函数y＝，若使y＝k成立的x值恰好有两个，则k的值为（）A．﹣1B．1C．0D．±110．抛物线y＝ax2+bx+c的顶点坐标（﹣2，3），抛物线与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，其部分图象如图所示，有下列说法：①4a﹣b＝0；②a﹣b+c＝0；③若（﹣4，y1），（1，y2）是抛物线上的两点，则y1＞y2；④b2+3b＝4ac．其中正确的个数有（）A．4B．3C．2D．1二．填空题（共7小题，满分21分）11．已知抛物线y＝（a+3）x2开口向下，那么a的取值范围是．12．请写出一个开口向下，对称轴为直线x＝2，且与y轴的交点坐标为（0，3）的抛物线的解析式．13．已知二次函数y＝x2+2mx+2，当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，则实数m的取值范围是．14．抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y＝x+2上，则m＝，n＝．15．二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值如下表：x…﹣3﹣20135…y…70﹣8﹣9﹣57…则当x＝2时对应的函数值y＝．16．如图在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+mx+2的图象与x轴交于A、B两点，与y 轴交于C点，其顶点为D，若△ABC与△ABD的面积比为3：5，则m值为．17．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x+3交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝﹣x2+2x+1与y轴交于C点，若点E在抛物线的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，则CE+EF的最小值为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．用配方法把二次函数y＝x2﹣4x+5化为y＝a（x﹣m）2+k的形式，并写出该函数图象的顶点坐标．19．已知抛物线y＝ax2+bx+1经过点（1，﹣2），（﹣2，13）．（1）求a，b的值；（2）若（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，求m的值．20．已知二次函数的图象经过点A（﹣1，0）和点B（3，0），且有最小值为﹣2．（1）求这个函数的解析式；（2）函数的开口方向、对称轴；（3）当y＞0时，x的取值范围．21．已知函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）（1）当m，n取何值时，此函数是我们学过的哪一类函数？它一定与x轴有交点吗？请判断并说明理由；（2）若它是一个二次函数，假设n＞﹣1，那么：①当x＜0时，y随x的增大而减小，请判断这个命题的真假并说明理由；②它一定经过哪个点？请说明理由．22．如图所示，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B（5，0），与y轴交于点C（0，5）．（1）求抛物线的表达式；（2）若点M是抛物线在x轴下方的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求线段MN的最大值．23．如图1，地面OB上两根等长立柱AO，CB之间悬挂一根近似成抛物线y＝x2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AO为3米的位置处用一根立柱MN撑起绳子（如图2），使左边抛物线F1的最低点距MN为1米，离地面1.8米，求MN的长；（3）保持（2）中点N的位置不变，将立柱MN的长度提升为3米，发现抛物线F1和F2的形状和大小都一样，测得抛物线F1和F2的最低点到地面的高度相差0.5米，求抛物线F1对应函数的二次项系数．24．已知二次函数y＝x2+px+q图象的顶点M为直线y＝x与y＝﹣x+m的交点．（1）用含m的代数式表示顶点M的坐标；（2）若二次函数y＝x2+px+q的图象经过点A（0，3），求二次函数的表达式；（3）当m＝6且x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数y＝x2+px+q的最小值为2，求t的取值范围．25．某商品的进价为每件20元，售价为每件30元，每月可卖出180件．如果该商品的售价每上涨1元，就会少卖出10件，但每件售价不能高于35元，设每件商品的售价上涨x 元（x为整数）时，月销售利润为y元．（1）求y与x之间的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围．（2）当每件商品的售价定为多少元时，可获得的月利润最大？最大月利润是多少？26．在平面直角坐标系中，点A（0，4），点B（2m，4）（m为常数，且m＞0），将点A绕线段AB中点顺时针旋转90°得到点C．经过A、B、C三点的抛物线记为G．（1）当m＝2时，求抛物线G所对应的函数表达式．（2）用含m的式子分别表示点C的坐标和抛物线G所对应的函数表达式．（直接写出即可）（3）当抛物线G在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分（包括边界点）的最高点与最低点的纵坐标之差为8时，直接写出m的取值范围．（4）连结AC，点R在线段AC上，过点R作x轴的平行线与抛物线G交于P、Q两点，连结AP、AQ．当点R将线段PQ分成1：3两部分，且△APQ的面积为时，求m的值．参考答案一．选择题（共10小题，满分30分）1．解：A、y＝﹣3x是一次函数，不是二次函数，故此选项不符合题意；B、xy＝2不是二次函数，故此选项不符合题意；C、a＝0时不是二次函数，故此选项不符合题意；D、y＝2x2+5是二次函数，故此选项符合题意；故选：D．2．解：当x＝1时，y＝x2﹣4＝﹣3；当x＝﹣1时，y＝x2﹣5＝﹣3；∴点（﹣1，﹣3）在抛物线上，点（1，3）、（1，﹣5）、（﹣1，﹣5）都不在抛物线上．故选：B．3．解：抛物线y＝﹣（x﹣5）2+3的顶点坐标是（5，3）．故选：B．4．解：将抛物线y＝x2﹣3向左平移2个单位后得到的抛物线表达式是y＝（x+2）2﹣3．故选：C．5．解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以﹣＝0，又因为a≠0，所以b＝0，与b＞0矛盾；第三个图的对称轴﹣＞0，a＞0，则b＜0，与b＞0矛盾；故第四个图正确．由于第四个图过原点，所以将（0，0）代入解析式，得：a2﹣1＝0，解得a＝±1，由于开口向下，a＝﹣1．故选：B．6．解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，可求出OA和OB为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度增加到2米，比原先的宽度当然是增加了2﹣4．故选：C．7．解：∵函数的解析式是y＝﹣（x+1）2+a，如右图，∴对称轴是直线x＝﹣1，∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，于是y1＞y2＞y3．故选：A．8．解：由题意可知：y的函数图象如图所示：观察函数图象可知：点A为函数y的图象的最高点，∴y的最大值为4．故选：A．9．解：函数y＝的图象如图：根据图象知道当y＝﹣1或y＝1时，对应成立的x有恰好有2个，则k的值为±1．故选：D．10．解：∵抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣2，∴﹣＝﹣2，∴4a﹣b＝0，因此①正确；∵抛物线的对称轴为x＝﹣2，图象与x轴的一个交点在点（﹣4，0）和点（﹣3，0）之间，∴抛物线与x轴的另一个交点在点（﹣1，0）和点（0，0）之间，∴当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，因此②不正确；∵|﹣4﹣（﹣2）|＜|1﹣（﹣2）|，∴（﹣4，y1）到对称轴的水平距离小于（1，y2）到对称轴的水平距离，且抛物线开口向下，∴y1＞y2，故③正确；∵抛物线的顶点坐标为（﹣2，3），∴＝3，∴b2+12a＝4ac，∵4a﹣b＝0，∴b＝4a，∴b2+3b＝4ac，故④正确；∴正确的有：①③④，故选：B．二．填空题（共7小题，满分21分）11．解：∵抛物线y＝（a+3）x2开口向下，∴a+3＜0，∴a＜﹣3．故答案为：a＜﹣3．12．解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，令a＝﹣1，设抛物线的关系式为y＝﹣（x﹣h）2+k，∵对称轴为直线x＝2，∴h＝2，把（0，3）代入得，3＝﹣（0﹣2）2+k，解得，k＝7，∴抛物线的关系式为：y＝﹣（x﹣2）2+7，故答案为：y＝﹣（x﹣2）2+7（答案不唯一）．13．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣m，∵a＝1＞0，∴抛物线开口向上，∵当x＞2时，y的值随x值的增大而增大，∴﹣m≤2，解得m≥﹣2．故答案为：m≥﹣2．14．解：∵抛物线y＝（m2﹣2）x2﹣4mx+n的对称轴是直线x＝2，且它的最高点在直线y ＝x+2上，∴，当x＝2时，y＝×2+2＝3，∴m＝﹣1，该抛物线的顶点坐标为（2，3），∴3＝[（﹣1）2﹣2]×22﹣4×（﹣1）×2+n，解得，n＝﹣1，故答案为：﹣1，﹣1．15．解：观察表格可知，当x＝﹣3或5时，y＝7，根据二次函数图象的对称性，（﹣3，7），（5，7）是抛物线上两对称点，对称轴为直线x＝＝1，顶点（1，﹣9），根据对称性，x＝2与x＝0时，函数值相等，都是﹣8．16．解：∵y＝x2+mx+2＝（x+）2+2﹣，∴顶点D（﹣，2﹣），C（0，2），∴OC＝2，∵S△ABC＝AB•OC＝AB×2＝AB，S△ABD＝AB•|2﹣|，△ABC与△ABD的面积比为3：5，∴AB：AB•|2﹣|＝3：5，解得：m＝﹣．故答案是：﹣．17．解：如图，设C点关于抛物线对称轴的对称点为C′，由对称的性质可得CE＝C′E，∴CE+EF＝C′E+EF，∴当F、E、C′三点一线且C′F与AB垂直时CE+EF最小，直线AB的解析式为y＝x+3，∵C（0，1），∴C′（2，1），∴直线C′F的解析式为y＝﹣x+，联立直线C′F和直线AB得：x+3＝﹣x+，解得x＝，代入解得y＝，∴F（，），∴C′F＝＝，即CE+EF的最小值为．故答案为．三．解答题（共9小题，满分69分）18．解：y＝x2﹣4x+5＝（x2﹣8x）+5＝（x2﹣8x+16）+5﹣8＝（x﹣4）2﹣3，∴顶点（4，﹣3）．19．解：（1）把点（1，﹣2），（﹣2，13）代入y＝ax2+bx+1得，，解得：；（2）由（1）得函数解析式为y＝x2﹣4x+1，∴对称轴是直线x＝﹣＝2，∵（5，n），（m，n）是抛物线上不同的两点，纵坐标相同，∴（5，n），（m，n）是对称点，∴＝2，解得m＝﹣1．20．解：（1）由题意得：函数的对称轴为x＝1，此时y＝﹣2，则函数的表达式为：y＝a（x﹣1）2﹣2，把点A坐标代入上式，解得：a＝，则函数的表达式为：y＝x2﹣x﹣（2）a＝＞0，函数开口向上，对称轴为：x＝1；（3）当y＞0时，x的取值范围为：x＞3或x＜﹣1．21．解：（1）①当m＝1，n≠﹣2时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是一次函数，它一定与x轴有一个交点，∵当y＝0时，（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，∴x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；②当m＝2，n≠﹣1时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）是二次函数，当y＝0时，y＝（n+1）x m+mx+1﹣n＝0，即：（n+1）x2+2x+1﹣n＝0，△＝22﹣4（1+n）（1﹣n）＝4n2≥0；∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；③当n＝﹣1，m≠0时，函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n是一次函数，当y＝0时，x＝，∴函数y＝（n+1）x m+mx+1﹣n（m，n为实数）与x轴有交点；（2）①假命题，若它是一个二次函数，则m＝2，函数y＝（n+1）x2+2x+1﹣n，∵n＞﹣1，∴n+1＞0，抛物线开口向上，对称轴：﹣＝＝﹣＜0，∴对称轴在y轴左侧，当x＜0时，y有可能随x的增大而增大，也可能随x的增大而减小，②当x＝1时，y＝n+1+2+1﹣n＝4．当x＝﹣1时，y＝0．∴它一定经过点（1，4）和（﹣1，0）．22．解：（1）将（5，0），（0，5）代入y＝x2+bx+c得，解得，∴y＝x2﹣6x+5．（2）设直线BC解析式为y＝kx+n，将（5，0），（0，5）代入y＝kx+n得，解得，∴y＝﹣x+5，设点M坐标为（m，m2﹣6m+5），则点N坐标为（m，﹣m+5），∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5）＝﹣m2+5m＝﹣（m﹣）2+，∴MN最大值为．23．解：（1）∵＞0，∴抛物线开口向上，抛物线的顶点为最低点，∵y＝x2﹣x+3＝（x﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为m；（2）由（1）可知，对称轴为x＝4，则BO＝8，令x＝0得y＝3，∴A（0，3），C（8，3），由题意可得：抛物线F1的顶点坐标为：（2，1.8），设F1的解析式为：y＝a（x﹣2）2+1.8，将（0，3）代入得：4a+1.8＝3，解得：a＝0.3，∴抛物线F1为：y＝0.3（x﹣2）2+1.8，当x＝3时，y＝0.3×1+1.8＝2.1，∴MN的长度为2.1米；（3）∵MN＝3，点M（3，3），∵抛物线F1和F2的形状和大小都一样，∴设抛物线F1的解析式为y＝a（x﹣）2+k1，F2的解析式为y＝a（x﹣）2+k2，抛物线F1和F2的最低点到地面的高度分别为k1和k2，由题意，得k1﹣k2＝0.5，把点M（3，3）分别代入y＝a（x﹣）2+k1和y＝a（x﹣）2+k2，得k1＝3﹣a，k2＝3﹣a，∴3﹣a﹣（3﹣a）＝0.5，解得：a＝．∴抛物线F1对应函数的二次项系数为．24．解：（1）由，得，即顶点M坐标为（m，m）；（2）∵此时二次函数为y＝（x﹣m）2+m过点A（0，3），∴3＝（0﹣m）2+m得m1＝﹣3，m2＝，∴y＝（x+2）2﹣1或y＝（x﹣）2+；（3）当m＝6时，顶点为M（4，2），∴抛物线为y＝（x﹣4）2+2，函数的最小值为2，∵x满足t﹣1≤x≤t+3时，二次函数的最小值为2，∴，解得1≤t≤5．25．解：（1）y＝（30﹣20+x）（180﹣10x）＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）；（2）由（1）知，y＝﹣10x2+80x+1800（0≤x≤5，且x为整数）．∵﹣10＜0，∴当x＝＝4时，y最大＝1960元；∴每件商品的售价为34元．答：每件商品的售价为34元时，商品的利润最大，为1960元；26．解：（1）由题意可知，点C为抛物线G的顶点，当m＝2时，C（2，6），设G所对应的函数的表达式为y＝a（x﹣2）2+6（a≠0），将点A（0，4）代入y＝a（x﹣2）2+6得4＝4a+6，解得a＝﹣．∴y＝﹣（x﹣2）2+6．（2）∵抛物线对称轴为直线x＝＝m，∴点C坐标为（m，m+4），设抛物线解析式为y＝a（x﹣m）2+m+4，把（0，4）代入y＝a（x﹣m）2+m+4得4＝am2+m+4，解得a＝﹣，∴y＝﹣（x﹣m）2+m+4．（3）①0＜m≤2时，在直线x＝﹣2和x＝2之间的部分的抛物线最高点为顶点（m，m+4），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），m+4﹣（﹣）＝8时，解得m＝2．②当m＞2时，图象最高点为直线x＝2与抛物线交点（2，﹣+8），最低点为直线x＝﹣2与抛物线交点（﹣2，﹣），﹣+8﹣（﹣）＝8，∴m＞2符合题意，∴m≥2．（4）作CD⊥PQ于点D，∵点R将线段PQ分成1：3两部分，∴PQ＝4PR＝2PD，∴PR＝RD，∴CD＝RD，∴PQ＝4CD，设CD＝t，则PQ＝4t，∴点Q的坐标为（m+2t，m+4﹣t），∴＝﹣（m+2t﹣m）2+m+4＝m+4﹣t．解得t＝m．∴点Q坐标为（m，m+4），PQ＝m，∵△APQ的面积为，∴m（m+4﹣4）＝，解得m＝或m＝﹣（舍）．∴m＝．。

北师大版数学九年级下册第二章二次函数综合素质评价(含答案)

第二章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1．【教材P30随堂练习T1改编】下列函数是二次函数的是()A．y＝3x2＋9 B．y＝2x－3 C．y＝2x2＋1x－2 D．y＝4x22．【教材P58复习题T2(3)改编】抛物线y＝(x＋1)2－1的顶点坐标是() A．(1，－1) B．(－1，－1) C．(1，1) D．(－1，1)3．【2022·兰州】已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是()A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞24．已知点(x1，y1)，(x2，y2)是函数y＝(m－3)x2的图象上的两点，且当0＜x1＜x2时，有y1＞y2，则m的取值范围是()A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜35．【2021·西藏】把函数y＝(x－1)2＋2的图象向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度所得到的抛物线的表达式为()A．y＝x2－8x＋22 B．y＝x2－8x＋14 C．y＝x2＋4x＋10 D．y＝x2＋4x＋2 6．【2022·绍兴】已知抛物线y＝x2＋mx的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋mx＝5的根是()A．x1＝0，x2＝4 B．x1＝1，x2＝5 C．x1＝1，x2＝－5 D．x1＝－1，x2＝5 7．【教材P45习题T1变式】【2021·赤峰】已知抛物线y＝ax2＋bx＋c上的部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：以下结论正确的是()A．抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口向下B．当x＜3时，y随x的增大而增大C．方程ax2＋bx＋c＝0的根为0和2D．当y＞0时，x的取值范围是0＜x＜28．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2＋bx与y＝bx＋a的图象可能是()9．【2021·毕节】如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c开口向上，与x轴的一个交点为(－1，0)，对称轴为直线x＝1.下列结论错误的是()A．abc>0 B．b2>4acC．4a＋2b＋c>0 D．2a＋b＝010．【教材P47习题T2变式】如图，疫情期间，某校在校门口用塑料膜围成一个临时隔离区，隔离区一面靠长为5 m的墙，中间用塑料膜隔开分成两个区域．已知整个隔离区塑料膜总长为12 m，隔离区出入口的大小忽略不计，并且隔离区靠墙的一面不能超过墙长，小明认为隔离区的最大面积为12 m2；小亮认为隔离区的面积可能为9 m2.则()A．小明正确，小亮错误B．小明错误，小亮正确C．两人均正确D．两人均错误二、填空题(每题3分，共24分)11．某工厂今年一月份生产防疫护目镜的产量是20万件，计划后两个月增加产量，如果月平均增长率为x，那么第一季度防疫护目镜的产量y(万件)与x之间的函数表达式为________________．12．若抛物线y＝x2＋(a－2)x＋c的顶点在y轴上，则a的值是________．13．已知点A(4，y1)，B(1，y2)，C(－3，y3)在函数y＝－3(x－2)2＋m(m为常数)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________(由小到大排列)．14．【教材P43习题T1改编】已知二次函数图象的顶点坐标是(2，－1)，形状与抛物线y＝2x2相同且开口方向向下，则这个二次函数的表达式是________________．15．【教材P53习题T2变式】【2021·成都】在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y ＝x2＋2x＋k与x轴只有一个交点，则k＝________．16．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__________．17．如图，某大桥有一段抛物线形的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2＋bx.小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需________秒．18．【2022·衡水泰华中学月考】抗击疫情，我们每个人都要做到讲卫生，勤洗手，科学消毒．如图是一瓶消毒洗手液的示意图，当手按住顶部A下压时，洗手液瞬间从喷口B流出，路线呈抛物线且该路线所在的抛物线经过C，E两点．瓶子轴截面的上部分由弧CE和弧FD组成，其圆心分别为D，C，下部分是矩形CGHD，CG＝8 cm，GH＝10 cm，点E到台面GH的距离为14 cm，点B到台面的距离为20 cm，且B，D，H三点共线．若手心距DH的水平距离为2 cm 时刚好接到洗手液，此时手心距台面的高度为________cm.三、解答题(19题8分，20题10分，其余每题12分，共66分)19．【教材P43习题T1变式】已知二次函数的图象经过点(0，－4)，且当x＝2时，y有最大值－2.求该二次函数的表达式．20．【教材P53习题T2改编】【2022·青岛】已知二次函数y＝x2＋mx＋m2－3(m为常数，m＞0)的图象经过点P(2，4)．(1)求m的值；(2)判断二次函数y＝x2＋mx＋m2－3的图象与x轴交点的个数，并说明理由．21．【教材P52随堂练习变式】周末，小明陪爸爸去打高尔夫球，爸爸将小球从地面击出，如果不考虑空气阻力，小球的飞行路线是一条抛物线．小明测得小球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)的几组值后，发现h与t满足的函数表达式是h＝20t－5t2.(1)当小球的飞行时间是多少时达到最大高度，求最大高度．(2)小球的飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15 m?22．【中考·北京】在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点，其中x1＜x2.(1)若抛物线的对称轴为直线x＝1，当x1，x2为何值时，y1＝y2＝c?(2)设抛物线的对称轴为直线x＝t，若对于x1＋x2＞3，都有y1＜y2，求t的取值范围．23．【2021·大连】某电商销售某种商品一段时间后，发现该商品每天的销售量y(单位：千克)和每千克的售价x(单位：元)满足一次函数关系(如图所示)，其中50≤x≤80.(1)求y关于x的函数表达式．(2)若该种商品的成本为每千克40元，该电商如何定价才能使每天获得的利润最大？最大利润是多少？24．如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C(0，3)．(1)求抛物线的表达式．(2)在直线BC上是否存在点Q，使得△QAB与△OBC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．答案一、1．A 2．B 3．B 4．D 5．D 6．D 7．C 8．C 9．C 10．B 点拨：设隔离区靠墙的长度为x m (0<x ≤5)，隔离区的面积为S m 2.由题意得S ＝12－x 3×x ＝－13x 2＋4x ， ∴此函数图象的对称轴为直线x ＝－42×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝6. ∵0<x ≤5，抛物线开口向下，在对称轴左侧，S 随x 的增大而增大， ∴当x ＝5时，S 有最大值，S 最大＝－13×52＋4×5＝－253＋20＝353. ∵9<353<12， ∴小明错误．令S ＝9，得9＝－13x 2＋4x ，解得x 1＝9(舍去)，x 2＝3. ∴当x ＝3时，S ＝9. ∴隔离区的面积可能为9 m 2. ∴小亮正确．二、11．y ＝20＋20(x ＋1)＋20(x ＋1)2 12．2 13．y 3<y 1<y 2 14．y ＝－2(x －2)2－1 15．1 16．－1<x <3 17．36 18．17三、19．解：∵当x ＝2时，y 有最大值－2，∴设所求的二次函数的表达式为y ＝a (x －2)2－2(a ≠0)． ∵二次函数的图象经过点(0，－4)， ∴－4＝a (0－2)2－2，解得a ＝－12. ∴y ＝－12(x －2)2－2.20．解：(1)将点P (2，4)的坐标代入y ＝x 2＋mx ＋m 2－3，得4＝4＋2m ＋m 2－3，解得m 1＝1，m 2＝－3. 又∵m ＞0，∴m ＝1.(2)二次函数y ＝x 2＋mx ＋m 2－3的图象与x 轴有2个交点．理由如下： ∵m ＝1， ∴y ＝x 2＋x －2.当y ＝0时，Δ＝b 2－4ac ＝12＋8＝9＞0，∴二次函数y ＝x 2＋mx ＋m 2－3的图象与x 轴有2个交点． 21．解：(1)∵－5<0，∴h 有最大值．当t ＝－202×（－5）＝2时，此时h 取得最大值，最大值为20，∴当小球的飞行时间是2 s 时达到最大高度，最大高度是20 m. (2)令h ＝15，则20t －5t 2＝15，解得t 1＝1，t 2＝3.∴当1≤t ≤3时，飞行高度不低于15 m. 22．解：(1)∵y 1＝y 2＝c ，∴x 1＝0.∵抛物线的对称轴为直线x ＝1， ∴M ，N 关于直线x ＝1对称． ∴x 2＝2，∴x 1＝0，x 2＝2时，y 1＝y 2＝c . (2)①当x 1≥t 时，恒成立． ②当x 1<x 2≤t 时，恒不成立． ③当x 1<t <x 2时，∵抛物线的对称轴为直线x ＝t ，对于x 1＋x 2＞3，都有y 1＜y 2， ∴x 2－t ＞t －x 1. ∴t ＜x 1＋x 22. ∴t ≤32. 23．解：(1)设y ＝kx ＋b (50≤x ≤80)．将点(50，100)，(80，40)的坐标分别代入y ＝kx ＋b ，得⎩⎨⎧50k ＋b ＝100，80k ＋b ＝40，解得⎩⎨⎧k ＝－2，b ＝200.∴y 关于x 的函数表达式为y ＝－2x ＋200(50≤x ≤80)． (2)设电商每天获得的利润是w 元．由题意得w ＝(x －40)(－2x ＋200)＝－2x 2＋280x －8 000＝－2(x －70)2＋1 800. ∵－2<0，且函数图象的对称轴是直线x ＝70，50≤x ≤80， ∴当x ＝70时，w 取得最大值，最大值为1 800.答：该电商将售价定为每千克70元才能使每天获得的利润最大，最大利润是 1 800元．24．解：(1)把A (－1，0)，B (3，0)，C (0，3)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝0，9a ＋3b ＋c ＝0，c ＝3，解得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝3.∴抛物线的表达式为y ＝－x 2＋2x ＋3. (2)存在．①如图①，当∠QAB ＝90°时，易得△QAB ∽△COB . ∵A (－1，0)， ∴点Q 的横坐标为－1. ∵B (3，0)，C (0，3)，∴可求得直线BC 的表达式为y ＝－x ＋3. 当x ＝－1时，y ＝4， ∴Q (－1，4)．②如图②，当∠AQB ＝90°时，易得△QAB ∽△OCB . ∴QA OC ＝QB OB .∵B(3，0)，C(0，3)，∴OB＝OC＝3.∴QA＝QB.∴Q是线段AB的垂直平分线与直线BC的交点．∵A(－1，0)，B(3，0)，∴点Q的横坐标为1.当x＝1时，y＝－1＋3＝2，∴Q(1，2)．综上，在直线BC上存在点Q，使得△QAB与△OBC相似，点Q的坐标为(－1，4)或(1，2)．。

北师大版九年级上册数学第二章综合练习

8.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABC的顶点A，B分别在x轴，y轴的负半轴上，∠ABC＝90°，CA⊥x轴，点C在函数y＝（x＜0）的图象上，若AB＝1，则k的值为（）
A. 1B.﹣1C. D.
9.在一个不透明的袋子里装有个黑球和若干白球，它们除颜色外都相同．在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中白球数，采用如下办法：随机从中摸出一球，记下颜色后放回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，记下颜色，…不断重复上述过程．小明共摸次，其中次摸到黑球．根据上述数据，小明估计口袋中白球大约有（）
5.B解析：由每半年发放的资助金额的平均增长率为x，
得去年下半年发放给每个经济困难学生389（1+x）元，
今年上半年发放给每个经济困难学生389（1+x）（1+x）389 （元），
根据关键语句“今年上半年发放了438元”，可得方程389 438.
点拨：关于增长率问题一般列方程a(1+x)nb,其中a为基础数据，b为增长后的数据，n为增长次数，x为增长率.
20.解：（1），
配方,得
解得， .
（2），
分解因式,得解得
（3）因为，所以
即， .
（4）移项得，
分解因式得，
解得 .
21.解：设小正方形的边长为 .
由题意得，
解得
答：截去的小正方形的边长为 .
22.分析：根据等量关系“每个旅游纪念品的利润×销售量总利润”表示出第二周的利润，再根据“第一周的利润+第二周的利润清仓处理损失的金额总获利”列出方程.
A. B. C. D.
7.公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花（如图），原空地一边减少了1m，另一边减少了2m，剩余空地的面积为18m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为xm，则可列方程为（）

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合测试题(附答案)

2022-2023学年北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》单元综合测试题（附答案）一．选择题（共12小题，满分36分）1．下列是一元二次方程的是（）A．x2﹣2x﹣3＝0B．x﹣2y+1＝0C．2x+3＝0D．x2+2y﹣10＝0 2．已知x＝0是方程x2+2x+a2﹣1＝0的一个解，则a的值是（）A．±1B．0C．1D．﹣13．一元二次方程9x2﹣1＝0的根是（）A．x1＝x2＝3B．x1＝3，x2＝﹣3C．x1＝，x2＝﹣D．x1＝x2＝4．一元二次方程3x2＝8x化成一般形式后，其中二次项系数和一次项系数分别是（）A．3，8B．3，0C．3，﹣8D．﹣3，﹣85．用配方法将方程x2﹣4x﹣4＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m，n的值是（）A．﹣2，0B．2，0C．﹣2，8D．2，86．判断方程的（2+）x2﹣2x+2﹣＝0根的情况（）A．有两个不相等的实根B．有两个相等的实根C．无实根D．无法确定7．解一元二次方程（x﹣1）2＝2（x﹣1）最适宜的方法是（）A．直接开平方B．公式法C．因式分解法D．配方法8．代数式x2﹣2x+y2+4y+8的值为（）A．正数B．非正数C．负数D．非负数9．如果a、b是关于x的方程（x+c）（x+d）＝1的两个根，那么（a+c）（b+c）等于（）A．1B．﹣1C．0D．c210．方程x2+x﹣3＝0的两根分别是x1、x2，则x1+x2等于（）A．1B．﹣1C．3D．﹣311．由于受猪瘟的影响，今年9月份猪肉的价格两次大幅上涨瘦肉价格由原来每千克23元，上升到每千克40元，设平均每次上涨a%，则下列方程中正确的是（）A．23（1+a%）2＝40B．23（1﹣a%）2＝40C．23（1+2a%）＝40D．23（1﹣2a%）＝4012．若关于x的方程mx2﹣2x+3＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（）A．m＜﹣B．m≤，且m≠0C．m＜，且m≠0D．m＞二．填空题（共6小题，满分24分）13．一元二次方程（x﹣2）（x﹣3）＝0的根是．14．关于x的方程（m+1）x2﹣（m﹣1）x+1＝0是一元二次方程，那么m．15．如图，某小区规划在长20米，宽10米的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的小路，使其中两条与AD平行，一条与AB平行，其余部分种草，若使草坪的面积为162米2，设道路宽为x米，则根据题意，可列方程为．16．如果x1，x2分别是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个根，那么x12+x22的值是．17．如果关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，那么m的取值范围是．18．12月6日，某市举行了2020年商品订货交流会，参加会议的每两家公司之间都签订了一份合同，所有参会公司共签订了28份合同，则共有家公司参加了这次会议．三．解答题（共6小题，满分60分）19．解方程（1）（2）3x（x﹣1）＝2（x﹣1）20．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣）＝0．（1）判断这个一元二次方程的根的情况；（2）若等腰三角形的一边长为3，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长及面积．21．如图，在足够大的空地上有一段长为20米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中AD≤MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了80米木栏．若所围成的矩形菜园的面积为350平方米，求所利用旧墙AD的长．22．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．材料：为解方程x4﹣x2﹣6＝0可将方程变形为（x2）2﹣x2﹣6＝0然后设x2＝y，则（x2）2＝y2，原方程化为y2﹣y﹣6＝0…①解得y1＝﹣2，y2＝3，当y1＝﹣2时，x2＝﹣2无意义，舍去；当y2＝3时，x2＝﹣3，解得x＝±；所以原方程的解为x1＝，x2＝﹣；问题：（1）在原方程得到方程①的过程中，利用法达到了降次的目的，体现了的数学思想；（2）利用以上学习到的方法解下列方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7．23．某商场销售一批名牌衬衫，当销售价为299元时，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经试销发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫定价应多少元？24．小张2019年末开了一家商店，受疫情影响，2020年4月份才开始盈利，4月份盈利6000元，6月份盈利达到7260元，且从4月份到6月份，每月盈利的平均增长率都相同．（1）求每月盈利的平均增长率．（2）按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到多少元？参考答案一．选择题（共12小题，满分36分）1．解：A、是一元二次方程，故此选项正确；B、是二元一次方程，故此选项错误；C、是一元一次方程，故此选项错误；D、是二元二次方程，故此选项错误；故选：A．2．解：把x＝0代入方程x2+2x+a2﹣1＝0得a2﹣1＝0，解得a＝±1．故选：A．3．解：∵9x2﹣1＝0，∴9x2＝1，则x2＝，解得x1＝，x2＝﹣，故选：C．4．解：一元二次方程3x2＝8x的一般形式3x2﹣8x＝0，其中二次项系数3，一次项系数﹣8，常数项是0，故选：C．5．解：∵x2﹣4x﹣4＝0，∴x2﹣4x＝4，则x2﹣4x+4＝4+4，即（x﹣2）2＝8，∴m＝﹣2，n＝8，故选：C．6．解：Δ＝（﹣2）2﹣4×（2+）×（2﹣）＝4﹣4×（4﹣3）＝4﹣4＝0，故选：B．7．解：解一元二次方程（x﹣1）2＝2（x﹣1）最适宜的方法是因式分解法，故选：C．8．解：原式＝（x2﹣2x+1）+（y2+4y+4）+3＝（x﹣1）2+（y+2）2+3，∵（x﹣1）2≥0，（y+2）2≥0，∴（x﹣1）2+（y+2）2+3≥3，则代数式x2﹣2x+y2+4y+8的值为正数，故选：A．9．解：原方程化为x2+（c+d）x+（cd﹣1）＝0，∴a+b＝﹣（c+d），ab＝cd﹣1，∴原式＝ab+（a+b）c+c2＝cd﹣1﹣（c+d）c+c2＝﹣1，故选：B．10．解：根据题意得x1+x2＝﹣1．故选：B．11．解：当猪肉第一次提价a%时，其售价为23+23a%＝23（1+a%）；当猪肉第二次提价a%后，其售价为23（1+a%）+23（1+a%）a%＝23（1+a%）2．∴23（1+a%）2＝40．故选：A．12．解：由题意可知：Δ＝4﹣12m＞0，m＜，∵m≠0，∴m＜且m≠0，故选：C．二．填空题（共6小题，满分24分）13．解：∵（x﹣2）（x﹣3）＝0，∴x﹣2＝0或x﹣3＝0，解得x1＝2，x2＝3，故答案为：x1＝2，x2＝3．14．解：由题意得：m+1≠0，解得：m≠﹣1，故答案为：≠﹣1．15．解：设小路宽x米，则其余部分可合成长（20﹣2x）米、宽（10﹣x）米的矩形，根据题意得：（20﹣2x）（10﹣x）＝162，故答案是：（20﹣2x）（10﹣x）＝162．16．解：∵x1，x2分别是一元二次方程x2﹣2x﹣4＝0的两个根，∴x1+x2＝2，x1•x2＝﹣4，∴x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1•x2＝4+8＝12．故答案为：12．17．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，∴Δ＝（﹣4）2﹣4×（m﹣2）×（﹣1）≥0，解得：m≥﹣2，又∵m﹣2≠0，即m≠2，∴m≥﹣2且m≠2，故答案为：m≥﹣2且m≠2．18．解：设共有x家公司参加了这次会议，根据题意，得x（x﹣1）＝28整理，得x2﹣x﹣56＝0解得x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）答：共有8家公司参加了这次会议．故答案是：8．三．解答题（共6小题，满分60分）19．解：（1）x2﹣x﹣＝0，解得：x＝，所以x1＝，x2＝．（2）∵3x（x﹣1）﹣2（x﹣1）＝0∴（x﹣1）（3x﹣2）＝0解得：x1＝1，x2＝．20．解：（1）∵Δ＝[﹣（2k+1）]2﹣4×4（k﹣）＝4k2﹣12k+9＝（2k﹣3）2≥0，∴该方程有两个实数根；（2）①当3为底边长时，Δ＝（2k﹣3）2＝0，∴k＝，此时原方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2．∵2、2、3能组成三角形，∴三角形的周长为2+2+3＝7，三角形的面积为×3×＝；②当3为腰长时，将x＝3代入原方程，得：9﹣3×（2k+1）+4（k﹣）＝0，解得：k＝2，此时原方程为x2﹣5x+6＝0，解得：x1＝2，x2＝3．∵2、3、3能组成三角形，∴三角形的周长为2+3+3＝8，三角形的面积为×2×＝2．综上所述：等腰三角形的周长为7或8，面积为或2．21．解：设AB＝x米，则BC＝（80﹣2x）米，依题意，得：x（80﹣2x）＝350，解得：x1＝5，x2＝35．当x＝5时，80﹣2x＝70＞20，不合题意舍去；当x＝35时，80﹣2x＝10．答：AD的长为10米．22．解：（1）在原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了化归的数学思想；故答案为：换元，化归．（2）令y＝x2+5x，则原方程化为（y+1）（y+7）＝7，整理，得：y2+8y＝0，解得y1＝0，y2＝﹣8，当y＝0时，x2+5x＝0，解得：x1＝0，x2＝﹣5；当y＝﹣8时，x2+5x＝﹣8，即x2+5x+8＝0，∵△＝52﹣4×1×8＝﹣7＜0，∴此方程无实数解．综上，方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）＝7的解为x1＝0，x2＝﹣5．23．解：设每件衬衫降价x元，则每件衬衫的定价为（299﹣x）元，每件盈利（40﹣x）元，平均每天可售出（20+2x）件，依题意，得：（40﹣x）（20+2x）＝1200，整理，得：x2﹣30x+200＝0，解得：x1＝10，x2＝20，又∵尽快减少库存，∴x＝20，∴299﹣x＝279．答：每件衬衫定价应为279元．24．解：（1）设每月盈利的平均增长率为x，依题意，得：6000（1+x）2＝7260，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝﹣2.1（不合题意，舍去）．答：每月盈利的平均增长率为10%．（2）7260×（1+10%）＝7986（元）．答：按照这个平均增长率，预计2020年7月份这家商店的盈利将达到7986元．。

北师大版九年级数学综合测试二

九年级数学综合测试二一、填空题：（每题2分，共24分）1．若点A （2，y ）是抛物线y=2x 2+3x+1上的点，则y ＝。

2．已知抛物线342++=x x y ，对称轴是直线X= 当x 时，函数值y 随x 的增大而减小， 3. 某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系．4．抛物线2)1(62-+=x y 可由抛物线262-=x y 向平移个单位得到．5．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为． 6．如图，在同一直角坐标系中，当自变量x 时，两函数的函数值都随x 增大而增大．7．如图1，若△ABC ≌△ADE ，∠EAC=350，则∠BAD= 度； 8．直线y=x+2与抛物线y=x 2+2的交点坐标为。

9．已知三角形ABC 的高AD 与高CE 交于M ，若∠BAC=25°，∠ACB ＝75°，则∠AMC ＝。

10．一个多边形的内角和与外角和之比为7：2，则这个多边形的边数是。

11．如图，⊿ABC 中，已知AB=AC ，要使AD=AE,需要添加的一个条件是。

B D E C 12．把定理“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”改写成如果那么的形式为：如果，那么。

二、选择题：（把正确答案的序号填在括号中，每题3分，共24分） 13．抛物线122+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（） A ．0B ．1C ．－1D ．±114．与抛物线53212-+-=x x y 的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）A ．2523412-+-=x x yB ．87212+--=x x yC ．106212++=x x y D ．532-+-=x x y15．把二次函数122--=x x y 配方成顶点式为（） A ．2)1(-=x y B ． 2)1(2--=x y C ．1)1(2++=x yD ．2)1(2-+=x yABCDE图116．直角坐标平面上将二次函数y＝-2(x－1)2－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（）A.(0，0)B.(1，－2)C.(0，－1)D.(－2，1)17．函数362+-=xkxy的图象与x轴有交点，则k的取值范围是（）A．3<k B．03≠<kk且C．3≤k D．03≠≤kk且18. 下图中全等的三角形是( )A.Ⅰ和ⅡB.Ⅱ和ⅣC.Ⅱ和ⅢD.Ⅰ和Ⅲ19．1. 如图, ∠A=∠D , OA=OD , ∠DOC=50°, 求∠DBC的度数为( )A.50°B.30°C.45°D.25°20．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来多边形的边数是（）A、5B、6C、7D、8三、解答题：（24、26题10分，其余每题8分，共52分）21．已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据解决问题。

九年级数学上册第三章概率的进一步认识单元综合检测题新版北师大版2

第三章单元测试卷(时间：100分钟满分：120分)一、选择题(本大题10小题，每小题3分，共30分)1. 在抛掷硬币的试验中，下列结论正确的是(A)A．经过大量重复的抛掷硬币试验，可发现“正面向上”的频率越来越稳定B．抛掷10000次硬币与抛掷12000次硬币“正面向上”的频率相同C．抛掷50000次硬币，可得“正面向上”的频率为0.5D．若抛掷2000次硬币“正面向上”的频率是0.518，则“正面向下”的频率也为0.5182. 在一个不透明的袋中装有2个黄球和2个红球，它们除颜色外没有其他区别，从袋中任意摸出一个球，然后放回搅匀，再从袋中任意摸出一个球，那么两次都摸到黄球的概率是(C)A.18B.16C.14D.123. 学校新开设了航模、彩绘、泥塑三个社团，如果征征、舟舟两名同学每人随机选择参加其中一个社团，那么征征和舟舟选到同一社团的概率为(C)A.23B.12C.13D.164. 在一个不透明的袋中装着2个红球和1个黄球，它们除颜色外其他均相同，随机从袋中摸出2个小球，两球恰好都是红球的概率为(B)A.12B.13C.14D.165. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和6个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.3，则估计盒子中大约有红球(B)A．16个B．14个C．20个D．30个6. 如图，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，则灯泡发光的概率是(B)A.34B.23C.13D.12,第6题图) ,第7题图),第10题图)7. 如图所示的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是(C)A.1925B.1025C.625D.5258. 掷两枚正六面体骰子，所得点数之和为11的概率为(A)A .118B .136C .112D .1159. 有三张正面分别写有数字－1，1，2的卡片，它们背面完全相同，现将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，以其正面的数字作为a 的值，然后再从剩余的两张卡片中随机抽取一张，以其正面的数字作为b 的值，则点(a ，b)在第二象限的概率是(B )A .16B .13C .12D .2310. 如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0)，A 2(2，0)，B 1(0，1)，B 2(0，2)，分别以A 1，A 2，B 1，B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是(D )A .34B .13C .23D .12二、填空题(本大题6小题，每小题4分，共24分)11. 在一个不透明的袋子中有10个除颜色外均相同的小球，通过多次摸球试验后，发现摸到白球的频率约为40%，估计袋中白球有4个．12. 有一双白手套和一双黑手套(不分左右)，小明夜里出门，因天气寒冷要戴手套，可恰好停电，则小明左手戴白手套，右手戴黑手套的概率是13.13. 有A ，B 两只不透明口袋，每只口袋装有两只相同的球，A 袋中的两只球上分别写了“细”“致”的字样，B 袋中的两只球上分别写了“信”“心”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，刚好能组成“细心”字样的概率是14.14. 如图，一只蚂蚁从A 点出发到D ，E ，F 处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都等可能的随机选择一条向左下或右下的路径(比如A 岔路口可以向左下到达B 处，也可以向右下到达C 处，其中A ，B ，C 都是岔路口)．那么，蚂蚁从A 出发到达E 处的概率是12.15. 从长度分别为2，4，6，7的四条线段中随机抽取三条，能构成三角形的概率是12.16. 形状大小一样、背面相同的四张卡片，其中三张卡片正面分别标有数字“2”“3”“4”，小明和小亮各抽一张，前一个人随机抽一张记下数字后放回，混合均匀，后一个人再随机抽一张记下数字算一次，如果两人抽一次的数字之和是8的概率为316，则第四张卡片正面标的数字是5或6.三、解答题(一)(本大题3个小题，每小题6分，共18分)17. 随机掷一枚质地均匀的硬币两次，至少有一次正面朝上的概率是多少？(请用树状图或列表法说明)共有4种可能出现的结果，且每种结果出现的可能性都相同，其中至少有一次正面朝上的有3种，因此至少有一次正面朝上的概率为3418. 小明有2件上衣，分别为红色和蓝色，有3条裤子，其中2条为蓝色、1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上．请用画树状图或列表的方法列出所有可能出现的结果，并求小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率．解：画树状图：P(都是蓝色)＝26＝1319. 小颖为九年级1班毕业联欢会设计了一个“配紫色”的游戏：下面是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成面积相等的几个扇形．游戏者同时转动两个转盘，两个转盘停止转动时，若有一个转盘的指针指向蓝色，另一个转盘的指针指向红色，则“配紫色”成功，游戏者获胜．求游戏者获胜的概率．解：用树状图来说明：所以，配成紫色的概率为P(配成紫色)＝36＝12，所以游戏者获胜的概率为12四、解答题(二)(本大题3个小题，每小题7分，共21分)20. 研究问题：一个不透明的盒中装有若干个只有颜色不一样的红球与黄球，怎样估算不同颜色的数量？操作方法：先从盒中摸出8个球，画上记号放回盒中，再进行摸球试验，摸球试验活动一共做了50次，统计结果如下表：(1)盒中红球、黄球各占总球数的百分比分别是多少？ (2)盒中有红球多少个？解：(1)由题意可知，50次摸球试验活动中，出现红球20次，黄球30次，∴红球占总球数的百分比为20÷50×100%＝40%，黄球占总球数的百分比为30÷50×100%＝60% (2)由题意知，50次摸球试验活动中，出现有记号的球4次，∴总球数为504×8＝100，∴红球数为100×40%＝40.盒中有红球40个21. 一个不透明的口袋里装有分别标有汉字“美”“丽”“中”“国”的四个小球，除汉字不同之外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀再摸球．(1)若从中任取一个球，球上的汉字刚好是“中”的概率为14；(2)甲从中任取一球，不放回，再从中任取一球，请用列表法或树状图法的方法，求出甲取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“中国”的概率．解：(2)画树状图得：∵共有12种等可能的结果，取出的两个球上的汉字恰能组成“美丽”或“中国”的有4种情况，∴P＝412＝1322. 甲、乙两个袋中均装有三张除所标数值外完全相同的卡片，甲袋中的三张卡片上所标有的三个数值为－7，－1，3.乙袋中的三张卡片所标的数值为－2，1，6.先从甲袋中随机取出一张卡片，用x 表示取出的卡片上的数值，再从乙袋中随机取出一张卡片，用y 表示取出卡片上的数值，把x ，y 分别作为点A 的横坐标和纵坐标．(1)用适当的方法写出点A(x ，y)的所有情况； (2)求点A 落在第三象限的概率．解：（1）列表得：可知，点A 共有9种情况 (2)由(1)知点A 的坐标共有9种等可能的情况，点A 落在第三象限(事件A)共有(－7，－2)，(－1，－2)两种情况，∴P(A)＝29五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)23. 甲乙两人在玩转盘游戏时，把转盘A ，B 分别分成4等份，3等份，并在每一份内标上数字，如图所示．游戏规定，转动两个转盘停止后，指针必须指到某一数字，否则重转．(1)请用树状图或列表法列出所有可能的结果；(2)若指针所指的两个数字都是方程x 2－4x ＋3＝0的解时，则甲获胜；若指针所指的两个数字都不是方程x 2－4x ＋3＝0的解时，则乙获胜．问他们两人谁获胜的概率大？请分析说明．解：(1)画树状图得：则共有12种等可能的结果(2)∵x 2－4x ＋3＝0，∴(x －1)(x －3)＝0，解得：x 1＝1，x 2＝3，∴甲获胜的情况有2种情况，乙获胜的有4种情况，∴P(甲获胜)＝212＝16，P(乙获胜)＝412＝13，∴乙获胜的概率大24. 准备两组相同的牌，每组三张大小一样，三张牌的牌面数字分别为－1，0，1.从每组中各摸出一张牌．(1)两张牌的牌面数字和等于1的概率是多少？ (2)两张牌的牌面数字和等于几的概率最大？ (3)两张牌的牌面数字和大于0的概率是多少？解：(1)画树状图得：则摸出的牌的所有可能的情况有：(－1，－1)(－1，0)(－1，1)(0，－1)(0，0)(0，1)(1，－1)(1，0)(1，1)；∵两张牌的牌面数字和等于1的有2种情况，∴两张牌的牌面数字和等于1的概率是29 (2)∵两张牌的牌面数字和等于－2的只有1种情况，两张牌的牌面数字和等于－1的有2种情况，两张牌的牌面数字和等于0的有3种情况，两张牌的牌面数字和等于1的有2种情况，两张牌的牌面数字和等于2的只有1种情况；∴两张牌的牌面数字和等于0的概率最大，是13 (3)∵两张牌的牌面数字和大于0的有3种情况，∴两张牌的牌面数字和大于0的概率是1325. 小明参加某个智力竞答节目，答对最后两道单选题就顺利通关．第一道单选题有3个选项，第二道单选题有4个选项，这两道题小明都不会，不过小明还有一个“求助”没有用(使用“求助”可以让主持人去掉其中一题的一个错误选项)．(1)如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是13.(2)如果小明将“求助”留在第二题使用，请用树状图或者列表来分析小明顺利通关的概率；(3)从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”．(直接写出答案)解：(1)∵第一道单选题有3个选项，∴如果小明第一题不使用“求助”，那么小明答对第一道题的概率是：13(2)分别用A ，B ，C 表示第一道单选题的3个选项，a ，b ，c 表示剩下的第二道单选题的3个选项，画树状图得：∵共有9种等可能的结果，小明顺利通关的只有1种情况，∴小明顺利通关的概率为19(3)∵如果在第一题使用“求助”小明顺利通关的概率为18；如果在第二题使用“求助”小明顺利通关的概率为19；∴建议小明在第一题使用“求助”。

北师大版九年级数学下册第二章学情评估附答案 (2)

北师大版九年级数学下册第二章综合素质评价一、选择题(每题3分，共30分)1.【教材P30随堂练习T1改编】下列函数是二次函数的是()A．y＝1x B．y＝－x C．y＝x2＋2 D．y＝12x－22．【教材P39习题T3改编】【2021·徐州】在平面直角坐标系中，将二次函数y＝x2的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为()A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 、C．y＝(x＋2)2－1 D．y＝(x－2)2－13．【教材P35想一想变式】下列抛物线中，开口向下且开口最大．．的是()A．y＝－x2B．y＝－23x2C．y＝13x2D．y＝－3x24．【2022·兰州】已知二次函数y＝2x2－4x＋5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是()A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞2 5．【2021·广州】抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－1，0)，(3，0)，且与y轴交于点(0，－5)，则当x＝2时，y的值为()A．－5 B．－3 C．－1 D．56．抛物线y＝x2＋2x＋m－1与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是() A．m＜2 B．m＞2 C．0＜m≤2 D．m＜－2 7．如图，正方形ABCD的边长为5，点E是AB上一点，点F是AD延长线上一点，且BE＝DF. 四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y与BE的长x 之间的函数关系式为()A．y＝5－x B．y＝5－x2C．y＝25－x D．y＝25－x28．【2022·广西】已知反比例函数y＝bx(b≠0)的图象如图所示，则一次函数y＝cx－a(c≠0)和二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是()9．【中考·河池】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，则下列结论中，错误．．的是()A．ac＜0 B．b2－4ac＞0 C．2a－b＝0 D．a－b＋c＝0 10．【2022·嘉兴】已知点A(a，b)，B(4，c)在直线y＝kx＋3(k为常数，k≠0)上，若ab的最大值为9，则c的值为()A．1 B.32C．2 D.52二、填空题(每题3分，共24分)11．若抛物线y＝x2＋(a－2)x＋c的顶点在y轴上，则a的值是.12．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是__________．(第12题)(第16题)(第18题)13．已知二次函数y＝3(x＋1)2－m的图象上有三点A(1，y1)，B(2，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，y3的大小关系为____________．14．某工厂今年八月份医用防护服的产量是50万件，计划九月份和十月份增加产量，如果月平均增长率为x，那么十月份医用防护服的产量y(万件)与x之间的函数表达式为____________________________．15．抛物线y＝x2－2kx＋4k通过一个定点，这个定点的坐标是__________．16．廊桥是我国古老的文化遗产，如图是一抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝－140x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8 m的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏警示灯的水平距离EF 约是______________m(结果精确到1 m，5≈2.236)．17．【教材P50习题T2改编】某商店经营一种水产品，成本为每千克40元，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量减少10千克，针对这种水产品的销售情况，销售单价定为________元时，获得的月利润最大．18．如图，在边长为10 cm的正方形ABCD中，P为AB边上任意一点(P不与A，B两点重合)，连接DP，过点P作PE⊥DP，垂足为P，交BC于点E，则BE 的最大长度为__________．三、解答题(19～21题每题10分，其余每题12分，共66分)19．已知二次函数y＝x2＋2x＋m的图象过点A(3，0)．(1)求m的值；(2)当x取何值时，函数值y随x的增大而增大？20．【教材P39例1改编】已知抛物线y＝3x2－2x＋4.(1)通过配方将抛物线的表达式写成y＝a(x－h)2＋k的形式；(2)写出抛物线的开口方向和对称轴．21．【教材P44例2变式】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表：x…－1 0 2 4 …y…－5 1 1 m…求：(1)这个二次函数的表达式；(2)这个二次函数图象的顶点坐标及上表中m的值．22．如图，二次函数y＝x2－2x－3的图象与x轴交于点A，B(A在B的左侧)，与一次函数y＝－x＋b的图象交于A，C两点．(1)求b的值；(2)求△ABC的面积；(3)根据图象直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值．23．“双减”政策落地后，对校外培训机构的影响巨大，不管是机构还是机构老师都面临着转型，培训机构李老师推出了“热学文化”新零售项目．他新开了甲、乙两家分店共同销售，因地段不同，甲店一天可售出某品牌科技产品20件，每件盈利26元；乙店一天可售出同一品牌科技产品32件，每件盈利20元．经调查发现，每件此种科技产品每降价1元，甲、乙两家店一天都可多售出2件．设甲店每件降价a元时，一天可盈利y1元，乙店每件降价b元时，一天可盈利y2元．(1)当a＝5时，求y1的值；(2)求y2关于b的函数表达式；(3)若李老师规定两家分店下降的价格必须相同，请求出每件此种科技产品下降多少元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是多少元？24．【2022·大庆】某果园有果树60棵，现准备多种一些果树提高果园产量．如果多种树，那么树之间的距离和每棵果树所受光照就会减少，每棵果树的平均产量随之降低．根据经验，增种10棵果树时，果园内的每棵果树平均产量为75 kg.在确保每棵果树平均产量不低于40 kg的前提下，设增种果树x(x＞0且x为整数)棵，该果园每棵果树平均产量为y kg，它们之间的函数关系满足如图所示的图象．(1)图中点P所表示的实际意义是______________________________，每增种1棵果树时，每棵果树平均产量减少________kg.(2)求y与x之间的函数表达式，并直接写出自变量x的取值范围．(3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(kg)最大？最大总产量是多少？答案一、1.C 2.B3.B 点要点:抛物线y ＝ax 2的开口大小由|a |决定，|a |越大，开口越小；|a |越小，开口越大．4．B 5.A 6.A 7.D 8.D 9.C10.C 点思路:由题意得ak ＋3＝b ，4k ＋3＝c .从而将ab 看成二次函数的因变量，化成顶点式：ab ＝k (a ＋32k )2－94k ，则ab 的最大值为－94k ＝9，解得k ＝－14.从而c ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－14＋3＝2. 二、11.2 12.－1＜x ＜3 13.y 3＜y 1＜y 2 14．y ＝50(x ＋1)2 15.(2，4) 16.18 17.70 18.52 cm 提示:如图，设AP ＝x cm ，BE ＝y cm.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝90°. ∴∠1＋∠2＝90°. ∵PE ⊥DP ， ∴∠2＋∠3＝90°. ∴∠1＝∠3. ∴△ADP ∽△BPE .∴AD BP ＝AP BE ，即1010－x ＝x y .整理，得y ＝－110(x －5)2＋52(0＜x ＜10)．∴当x ＝5时，y 有最大值52.三、19.解：(1)∵二次函数y ＝x 2＋2x ＋m 的图象过点A (3，0)，∴9＋6＋m ＝0，解得m ＝－15.(2)∵y ＝x 2＋2x －15＝(x ＋1)2－16， ∴二次函数的图象的对称轴为直线x ＝－1. ∵a ＝1＞0，∴当x ＞－1时，函数值y 随x 的增大而增大．20．解：(1)y ＝3x 2－2x ＋4＝3[x 2－23x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132－⎝ ⎛⎭⎪⎫132]＋4＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －132－13＋4＝3(x －13)2＋113.(2)开口向上，对称轴是直线x ＝13.21．解：(1)将⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－5，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1和⎩⎨⎧x ＝2，y ＝1分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c ，得⎩⎨⎧a －b ＋c ＝－5，c ＝1，4a ＋2b ＋c ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝4，c ＝1.∴这个二次函数的表达式为y ＝－2x 2＋4x ＋1. (2)∵y ＝－2x 2＋4x ＋1＝－2(x －1)2＋3， ∴图象的顶点坐标为(1，3)．当x ＝4时，y ＝－2×16＋16＋1＝－15，即m ＝－15.22．解：(1)令y ＝0，则y ＝x 2－2x －3＝0，解得x ＝3或x ＝－1. ∴A (－1，0)，B (3，0)．将点A (－1，0)的坐标代入y ＝－x ＋b ，得1＋b ＝0，解得b ＝－1. (2)解方程组⎩⎨⎧y ＝x 2－2x －3，y ＝－x －1，得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，∴点C 的坐标为(2，－3)． ∴△ABC 的面积为12×4×3＝6.(3)当－1＜x ＜2时，一次函数的值大于二次函数的值． 23．解：(1)由题意可得y 1＝(26－a )(20＋2a )，当a ＝5时，y 1＝(26－5)×(20＋2×5)＝630.(2)由题意可得，y 2＝(20－b )(32＋2b )＝－2b 2＋8b ＋640.(3)设两家下降的价格都为x 元，两家的盈利和为w 元，则w ＝(26－x )(20＋2x )＋(－2x 2＋8x ＋640)＝－4x 2＋40x ＋1 160＝－4(x －5)2＋1 260. ∴当x ＝5时，w 取得最大值，此时w ＝1 260.答：每件此种科技产品下降5元时，两家分店一天的盈利和最大，最大是1 260元．24．解：(1)增种果树28棵时，每棵果树平均产量为66 kg ；12(2)设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b . 把⎩⎨⎧x ＝10，y ＝75，⎩⎨⎧x ＝28，y ＝66分别代入上式，得⎩⎨⎧10k ＋b ＝75，28k ＋b ＝66，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－12，b ＝80.∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－12x ＋80，自变量x 的取值范围是0≤x ≤80.(3)w ＝(60＋x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x ＋80＝－12x 2＋50x ＋4 800.∵－12＜0，∴x ＝－502×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝50时，w 最大＝6 050.答：当增种果树50棵时，果园的总产量w (kg)最大，最大总产量是6 050 kg.。

北师大版九年级数学上册阶段测试(二)(2.1－2.4)含答案

阶段测试(二)(2.1－2.4)(时间：120分钟满分：120分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．(重庆模拟)有下列关于x 的方程：①ax 2＋bx ＋c ＝0，②3x(x －4)＝0，③x 2＋y －3＝0，④1x 2＋x ＝2，⑤x 3－3x ＋8＝0，⑥12x 2－5x ＋7＝0，⑦(x －2)(x ＋5)＝x 2－1.其中是一元二次方程的有( A )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．方程25x 2＝10x －1的解是( C )A ．x ＝±15B ．x 1＝15，x 2＝13C ．x 1＝x 2＝15D ．x 1＝13，x 2＝－153．(成都期中)将代数式3x 2＋6x ＋2配方成a(x ＋k)2＋h 形式为( C )A ．3(x ＋1)2＋1B ．3(x ＋1)2－23C ．3(x ＋1)2－1D ．3(x －1)2＋234．(宜宾中考)一元二次方程4x 2－2x ＋14＝0的根的情况是( B ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．无法判断5．(东营中考)若|x 2－4x ＋4|与2x －y －3互为相反数，则x ＋y 的值为( A )A ．3B ．4C ．6D ．96．若(a ＋b ＋1)(a ＋b －1)＝15，则a ＋b 的值是( B )A ．±2B ．2C ．±4D ．47．在解方程2x 2＋4x ＋1＝0时，对方程进行配方，文本框①中是嘉嘉作的，文本框②中是琪琪作的，对于两人的做法，说法正确的是( A )A ．两人都正确B ．嘉嘉正确，琪琪不正确C ．嘉嘉不正确，琪琪正确D ．两人都不正确,第7题图) ,第8题图),第10题图)8．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m ，另一边减少了2 m ，剩余空地的面积为18 m 2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m ，则可列方程为( C )A ．(x ＋1)(x ＋2)＝18B ．x 2－3x ＋16＝0C ．(x －1)(x －2)＝18D ．x 2＋3x ＋16＝09．(大庆中考)若x 0是方程ax 2＋2x ＋c ＝0(a ≠0)的一个根，设M ＝1－ac ，N ＝(ax 0＋1)2，则M 与N 的大小关系正确的为( B )A ．M ＞NB ．M ＝NC ．M ＜ND ．不确定10．(成都武侯区自主招生)如图，若将左图正方形剪成四块，恰能拼成右图的矩形，设a ＝1，则b ＝( D ) A .5＋32 B .2＋1 C .5－12 D .5＋12二、填空题(每小题3分，共18分)11．一元二次方程(1＋3x)(x －3)＝2x 2＋1化为一般形式为__x 2－8x －4＝0__．12．(德州中考)方程3x(x －1)＝2(x －1)的根为__x 1＝1，x 2＝23__． 13．(菏泽中考)关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋6x ＋k 2－k ＝0的一个根是0，则k 的值是__0__．14．(营口中考)若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋2x －2＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是__k ＞12且k ≠1__． 15．将4个数a ，b ，c ，d 排成两行、两列，两边各加一条竖线段记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad ＋bc ，上述记号就叫做二阶行列式．若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋11－x 1－x x ＋1＝8，则x ＝__±3__． 16．若关于x 的方程a(x ＋m)2＋b ＝0的解是x 1＝－3，x 2＝1(a ，m ，b 均为常数，a ≠0)，则方程a(x ＋2＋m)2＋b ＝0的解是__x 1＝－1，x 2＝－5__．三、解答题(共72分)17．(10分)(达州校级月考)解方程：(1)x 2＋12x ＋27＝0；(用配方法) (2)x(5x ＋4)＝5x ＋4；(用因式分解法)解：x 1＝－3，x 2＝－9 解：x 1＝－45，x 2＝1(3)2x 2－9x ＋8＝0；(用公式法) (4)x 2－8x ＋9＝0.解：x 1＝9＋174，x 2＝9－174 x 1＝4＋7，x 2＝4－718．(6分)若方程(m －1)xm 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，求m 的值．解：由题意，得m 2＋1＝2且m －1≠0，解得m ＝－119．(6分)先化简，再求值：(a －2a a ＋1)÷a 2－2a ＋1a 2－1－a 2，其中a 是方程x 2－x －72＝0的解．解：∵a 是方程x 2－x －72＝0的解， ∴a 2－a －72＝0，∴a －a 2＝－72，原式化简得a －a 2，∴代数式的值为－7220．(7分)(泸州月考)若△ABC 的三边a ，b ，c 满足a 2－6a ＋b 2－10b ＋c 2－8c ＋50＝0，求△ABC 的周长．解：∵a 2－6a ＋b 2－10b ＋c 2－8c ＋50＝0，∴a 2－6a ＋9＋b 2－10b ＋25＋c 2－8c ＋16＝0，即(a －3)2＋(b －5)2＋(c －4)2＝0，∴a ＝3，b ＝5，c ＝4，∴△ABC 的周长＝3＋4＋5＝1221．(7分)(北京中考)关于x 的一元二次方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0.(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若方程有一个根小于1，求k 的取值范围．(1)证明：∵在方程x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝0中，Δ＝[－(k ＋3)]2－4×1×(2k ＋2)＝k 2－2k ＋1＝(k －1)2≥0，∴方程总有两个实数根(2)解：∵x 2－(k ＋3)x ＋2k ＋2＝(x －2)(x －k －1)＝0，∴x 1＝2，x 2＝k ＋1.∵方程有一根小于1，∴k ＋1＜1，解得：k ＜0，∴k 的取值范围为k ＜022．(8分)如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园ABCD(围墙MN 最长可利用25 m )，现在已备足可以砌50 m 长的墙的材料，试设计一种砌法，使矩形花园的面积为300 m 2.解：设AB 为x m ，则BC 为(50－2x)m .根据题意得方程x(50－2x)＝300.2x 2－50x ＋300＝0.解得x 1＝10，x 2＝15.当x ＝10时，50－2x ＝30>25(不合题意，舍去)；当x ＝15时，50－2x ＝20<25(符合题意)．答：当砌墙宽为15 m ，长为20 m 时，花园面积为300 m 223．(8分)(咸宁中考)已知关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0.(1)证明：不论m 为何值，方程总有实数根；(2)m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根．(1)证明：∵Δ＝(m ＋2)2－8m ＝m 2＋4m ＋4－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2≥0. ∴方程总有两个实数根(2)∵mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，∴(x －1)(mx －2)＝0.∴x －1＝0或mx －2＝0.∴x 1＝1，x 2＝2m .∵方程的两个实数根是不相等的正整数，∴2m是正整数． ∴m ＝1或m ＝2(舍去)．∴m ＝124．(10分)阅读材料：为解方程(x 2－1)2－5(x 2－1)＋4＝0，我们可以将x 2－1看作一个整体，然后设x 2－1＝y ，那么原方程可化为y 2－5y ＋4＝0①，解得y 1＝1，y 2＝4.当y ＝1时，x 2－1＝1，∴x ＝±2；当y ＝4时，x 2－1＝4，∴x 2＝5，∴x ＝±5，故原方程的解为x 1＝2，x 2＝－2，x 3＝5，x 4＝－ 5.解答问题：(1)上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用__换元__法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想；(2)请利用以上知识解决：若(m 2＋n 2－2)(m 2＋n 2)＝8，求m 2＋n 2的值．解：(1)∵将x 2－1看作一个整体，然后设x 2－1＝y ，实际上是将x 2－1转化为了y ， ∴这一步是运用了数学里的转化思想，这种方法是换元法．故答案为：换元(2)设m 2＋n 2＝y ，则原方程变形为：(y －2)y ＝8，整理，得(y －4)(y ＋2)＝0，解得y ＝4或y ＝－2(舍去)，即m 2＋n 2＝425．(10分)设方程x 2＋kx －2＝0和方程2x 2＋7kx ＋3＝0有一个根互为倒数．(1)求k 的值；(2)求两个方程的根．解：(1)设a 是方程x 2＋kx －2＝0的根，则1a是方程2x 2＋7kx ＋3＝0的根， ∴①a 2＋ka －2＝0，②2a 2＋7k a＋3＝0，由②，得3a 2＋7ka ＋2＝0，③由①，得ka ＝2－a 2，代入③，得3a 2＋7(2－a 2)＋2＝0， ∴4a 2＝16，∴a ＝±2.代入①，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，k ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，k ＝1 (2)当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2k ＝－1时，方程①变为x 2－x －2＝0，根为2和－1，方程②变为2x 2－7x ＋3＝0，根为12和3；当⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2k ＝1时，方程①变为x 2＋x －2＝0，根为－2和1，方程②变为2x 2＋7x ＋3＝0，根为－12和－3。

(北师大版)初中数学九年级上册第二章综合测试(含答案)

第二章综合测试一、选择题（共10题；共30分）1.已知关于x 的一元二次方程250x x m +-=的一个根是2，则另一个根是（）A .7-B .7C .3D .3-2.已知1x ，2x 是一元二次方程220x x -=的两根，则12x x +的值是（）A .0B .2C .2-D .43.一元二次方程22630x x ++=经过配方后可变形为（）A .2(3)6x +=B .()2312x -= C .23324x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ D .231524x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 4.一元二次方程220x x +=的解是（）A .0x =B .2x =-C .1220x x ==D .1220x x =-=5.若方程2680x x -+=的两根分别是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A .10B .8C .10或8D .10或146.一个正方形的边长增加了2 cm ，面积相应增加了232 cm ，则原正方形的边长为（）A .5 cmB .6 cmC .7 cmD .8 cm7.某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出（）A .2根小分支B .3根小分支C .4根小分支D .5根小分支8.如图，在长为100 m ，宽为80 m 的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为27 644 m ，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为 m x ，则可列方程为（）A .10080100807 644x x ⨯--=B .()()2100807 644x x x --+=C .()()100807 644x x --=D .2100807 644x x x +-=9.关于x 的一元二次方程2410kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（）A .4k -≥B .4k -≥且0k ≠C .4k ≤D .4k ≤且0k ≠10.某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50％（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的12．则新品种花生亩产量的增长率为（） A .20％B .30%C .50%D .120% 二、填空题（共6题；共18分）11.已知1x =是关于x 的一元二次方程()221--10k x k x +=的根，则常数k 的值为________.12.当x =________时，代数式2x x -与1x -的值相等.13.设m 、n 是方程2 2 0210x x +-=的两个实数根，则²2m m n ++的值为________.14.关于x 的一元二次方程()22210a x x --+=有两个不相等的实数根，则整数a 的最小值是________.15.如图，已知AB BC ⊥，12 cm AB =，8 cm BC =.一动点N 从C 点出发沿CB 方向以1 cm/s 的速度向B 点运动，同时另一动点M 由点A 沿AB 方向以2 cm/s 的速度也向B 点运动，其中一点到达B 点时另一点也随之停止，当MNB △的面积为224 cm 时运动的时间t 为________秒.16.一元二次方程2680x x -+=的根为菱形的两条对角线长，则菱形的周长为________.三、解答题（共7题；共52分）17.解方程：（1）()224x +=(自选方法)（2）2210x x --=(配方法)（3）²14x x -=(公式法)（4）²122x x -=+(因式分解法)18.已知关于x 的一元二次方程2240x x m ++-=有两个实数根．（1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根．19.熊组长准备为我们年级投资1万元围一个矩形的运动场地（如图），其中一边靠墙，另外三边选用不同材料建造且三边的总长为50 m，墙长24 m，平行于墙的边的费用为200元/m，垂直于墙的边的费用150x.元/m，设平行于墙的边长为/m300 m，求x的值；（1）若运动场地面积为2（2）当运动场地的面积最大时是否会超过了预算？20.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衫每降价5元，商场平均每天可多售出10件.求：（1）若商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？（3）要使商场平均每天盈利1600元，可能吗？请说明理由.21.开学初期，天气炎热，水杯需求量大．双福育才中学门口某超市购进一批水杯，其中A种水杯进价为每个15元，售价为每个25元；B种水杯进价为每个12元，售价为每个20元（1）该超市平均每天可售出60个A种水杯，后来经过市场调查发现，A种水杯单价每降低1元，则平均每天的销量可增加10个．为了尽量让学生得到更多的优惠，某天该超市将A种水杯售价调整为每个m元，结果当天销售A种水杯获利630元，求m的值．（2）该超市准备花费不超过1600元的资金，购进A、B两种水杯共120个，其中B种水杯的数量不多于A种水杯数量的两倍．请为该超市设计获利最大的进货方案，并求出最大利润．22.如图，在ABC △中，90B ∠=︒，12 cm AB =，16 cm BC =．点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动，点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2 cm/s 的速度移动．如果P 、Q 分别从A 、B 同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动的时间为t 秒．（1）当t 为何值时，PBQ △的面积等于235 cm ？（2）当t 为何值时，PQ 的长度等于？（3）若点P 、Q 的速度保持不变，点P 在到达点B 后返回点A ，点Q 在到达点C 后返回点B ，一个点停止，另一个点也随之停止．问：当t 为何值时，PCQ △的面积等于232 cm ？23.近期猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注.当市场猪肉的平均价格每千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格.（1）从去年年底至今年3月20日，猪肉价格不断走高，3月20日比去年年底价格上涨了60%.某市民在今年3月20日购买2.5千克猪肉至少要花200元钱，那么去年年底猪肉的最低价格为每千克多少元？（2）3月20日，猪肉价格为每千克60元，3月21日，某市决定投入储备猪肉并规定其销售价在每千克60元的基础上下调%a 出售.某超市按规定价出售一批储备猪肉，该超市在非储备猪肉的价格仍为每千克60元的情况下，该天的两种猪肉总销量比3月20日增加了%a ，且储备猪肉的销量占总销量的34，两种猪肉销售的总金额比3月20日提高了1%10a ，求a 的值.第二章综合测试答案解析一、1.【答案】A【解析】设另一个根为x ，则25x +=-，解得7x =-.故答案为：A .2.【答案】B【解析】1x ∵，2x 是一元二次方程220x x -=的两根，122x x +=∴．故答案为：B ．3.【答案】C【解析】22630x x ++=∵2332x x +=-∴ 29393424x x ++=-+∴ 23324x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭∴ 故答案为：C4.【答案】D【解析】220x x +=∵， ()20x x +=∴，0x =∴或2-，故答案为：D ．5.【答案】A【解析】方程2680x x -+=，得12x =，24x =，∵当2为腰，4为底时，224+=，不符合三角形三边关系，∴不能构成等腰三角形；∵当4为腰，2为底时，能构成等腰三角形，周长为44210++=.故答案为：A .6.【答案】C【解析】设原正方形的边长为 cm x ，则面积增加后的正方形的边长为()2 cm x +，根据题意得：()22232x x +=+解之：7x =.故答案为：C7.【答案】B【解析】设每个支干长出x 个分支，根据题意得 113x x x ++⋅=，整理得2120x x +-=，解得13x =，24x =-（不符合题意舍去），即每个支干长出3个分支.故应选B .8.【答案】C【解析】设道路的宽应为x 米，由题意有()()100807 644x x --=，故答案为：C9.【答案】D【解析】∵关于x 的一元二次方程2410kx x -+=有实数根，0k ≠∴且()2440k =--≥，解得：4k ≤且0k ≠．故答案为：D ．10.【答案】A【解析】设新品种花生亩产量的增长率为x ，根据题意得()1200150%11322x x ⎛⎫+⋅+= ⎪⎝⎭，解得10.220%x ==，2 3.2x =-（不合题意，舍去)，则新品种花生亩产量的增长率为20%，故选A .二、11.【答案】0【解析】将1x =代入()22110k x k x -+-=中，得20k k -=，解得1k =或0，10k -≠∵，1k ≠∴，0k =∴.故答案为：0.12.【答案】1【解析】根据题意得21x x x -=-，整理得：2210x x -+=，()210x -=∴，解得：1x =故答案为：1.13.【答案】2 020【解析】m ∵、n 是方程2 2 0210x x +-=的两个实数根 2 2 0210m m +-=∴，1m n +=-2 2 021m m +=∴∴原式2 2 0211 2 020m m m n =+++=-=.故答案为：2 020.14.【答案】3【解析】根据题意得20a -≠，且()()224210a =---⨯＞，解得：1a ＞且2a ≠， ∴整数a 的最小值为：3.故答案为：3.15.【答案】2【解析】根据题意可知CN t =，2AM t =，8BN t =-∴，122BM t =-，MNB ∵△的面积为224 cm()()11228242x t t -⨯-=∴ 解得12x =，212x =(舍去)故答案为：2.16.【答案】4=【解析】解方程2680x x -+=得：2x =和4，即4AC =，2BD =，∵四边形ABCD 是菱形，90AOD ∠=︒∴，2AO OC ==，1BO DO ==，由勾股定理得：AD ==4三、17.【答案】（1）22x +=±10x =，24x =-（2）2210x x --=21112102168x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭- 2192048x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 219248x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 219416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 1344x -=± 11x =∴，212x =（3）2410x x --=x12x =+22x =（4）21220x x ---=2230x x --=()()310x x -+=13x =，21x =-18.【答案】（1）1a =，2b =，4c m =-24b ac ∆=-∴()2244m =--204m =-∵一元二次方程2240x x m ++-=有两个实数根，2040m -∴≥5m ≤．（2）当1m =时，2230x x +-=．则()()130x x -+=解得11x =，23x =-（答案不唯一）．19.【答案】（1）根据题意，得：503002x x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，解得：20x =或30x =，∵墙的长度为24 m ，20x =∴（2）设菜园的面积是S ，则502x S x -⎛⎫= ⎪⎝⎭ 21252x x =+ ()216252522x =-+， 0-12∵＜， ∴当25x ＜时，S 随x 的增大而增大，24x ∵≤，∴当24x =时，S 取得最大值，∴总费用24200261508 700 1 000=⨯+⨯=＜， ∴没有超过预算20.【答案】（1）()41020404 1 0085⎛⎫⨯+-= ⎪⎝⎭(元). 答：商场每件衬衫降价4元，则商场每天可盈利1 008元.（2）设每件衬衫应降价x 元，根据题意，得()()40202 1 200x x -+=，整理，得2302000x x -+=，解得110x =，220x =，∵要尽量减少库存，20x =∴.答：每件衬衫应降价20元.（3）不可能.理由如下：令()()40202 1 600x x -+=，整理得2304000x x -+=，90044000∆=-⨯∵＜，∴商场平均每天不可能盈利1 600元.21.【答案】（1）设超市将A 种水杯售价调整为每个m 元，则单件利润为()15m -元，销量为()()60102531010m m ⎡⎤⎣=-⎦+-个，依题意得： ()()1531010630m m --=，解得：122m =，224m =，答：为了尽量让学生得到更多的优惠，22m =．（2）设购进A 种水杯x 个，则B 种水杯()120x -个．设获利y 元，依题意得：()1512120 1 6001202x x x x⎧+-⎪⎨-⎪⎩≤≤，解不等式组得：140533x ≤≤，本次利润()()()251512020122960y x x x =-+--=+．20∵＞，y ∴随x 增大而增大，当53x =时，最大利润为1 066元．22.【答案】（1）()12cm BP AB AP t =-=-，2 cm BQ t =．根据三角形的面积公式，得3251PB BQ ⋅=，即()2212351t t -⋅=，整理，得212350t t -+=，解得15t =，27t =．故当t 为5或7时，PBQ △的面积等于235 cm ．（2）根据勾股定理，得()()()22222212282PQ BP BQ t t =+=-+=，整理，得2524160t t -+=，解得145t =，24t =.故当t 为45或4时，PQ 的长度等于．（3）①当08t ＜≤时，()12c m PB t =-，()2c 16m CQ t =- 由题意，得()()162123212t t -⨯-=，解得：14t =，216t =（舍去）．②当812t ＜≤时，()12c m PB t =-，()1c 26m CQ t =-，由题意，得()()216122123t t -⨯-=，此方程无解． ③当1216t ＜≤时，()12cm PB t =-，()1c 26m CQ t =-，由题意，得()()216122132t t -⨯-=，解得：14t =（舍去），216t =．综上所述，当t 为4或16时，PCQ △的面积等于232 cm ．23.【答案】（1）设去年年底猪肉价格为每千克x 元；根据题意得：()2.5160%200x ⨯+≥，解得：50x ≥.答：去年年底猪肉的最低价格为每千克50元；（2）设3月20日的总销量为1；根据题意得：31160(1%)(1%)60(1%)601%4410a a a a ⎛⎫-⨯++⨯+=+ ⎪⎝⎭，令%a y =，原方程化为：()31160(1)160(1)6014410y y x y y ⎛⎫-⨯+++=+ ⎪⎝⎭，整理得：250y y -=，解得：0.2y =，或0y =（舍去），则%0.2a =，20a =∴；答：a的值为20.。

(北师大版)初中数学九年级上册第二章综合测试01含答案解析

加油！有志者事竟成答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！第二章综合测试一、单选题1.如图，学校课外生物小组的试验园地的形状是长35米、宽20米的矩形.为便于管理，要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道，使种植面积为600平方米，则小道的宽为多少米？若设小道的宽为x 米，则根据题意，列方程为（）A .2352035202600x x x ⨯−−+=.B .3520352020600x x x ⨯−−⨯=C .(352)(20)600x x −−=D .(35)(202)600x x −−=2.把一元二次方程()()2331x x x +=−化成一般形式，正确的是（） A .22790x x −−= B .22590x x −−= C .24790x x ++=D .226100x x −−=3.若关于x 的一元二次方程()21220k x x −+−=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（）A .12k ＞且1k ≠B .12k ＞C .12k ≥且1k ≠D .12k ＜4.用配方法解方程2250x x −−=，下列配方正确的是（） A .2(2)9x −= B .2(2)5x −= C .2(1)4x −=−D .2(1)6x −=5.已知二次函数2y ax bx c =++自变量x 与函数值y 之间满足下列数量关系：则()a b c ++⎝⎭值为（）A .24B .36C .6D .46.已知一元二次方程230x x −−=的较小根为1x ，则下面对1x 的估计正确的是（） A .121x −−＜＜ B .132x −−＜＜ C .123x ＜＜D .110x −＜＜7.关于x 的方程2(21)10kx k x k −+++=（k 为常数），下列说法：①当1k =时，该方程的实数根为2x =；②1x =是该方程的实数根；③该方程有两个不相等的实数根. 其中正确的是（） A .①②B .②③C .②D .③8.等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于的方程240x x k −+=的两个根，则k 的值为（） A .3B .4C .3或4D .7二、填空题9.若1x ，2x 是方程2420200x x −−=的两个实数根，则代数式211222x x x −+的值等于________. 10.如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是________厘米. 三、计算题11.用指定的方法解方程：（1）22530x x −+=(用公式法解方程) （2）2356x x −=(用配方法解方程)12.解方程：（1）24x x =（因式分解法）（2）22430x x −−=（公式法）13.解方程：（1）()224x +=(自选方法) （2）2210x x −−=(配方法) （3）²14x x −=(公式法) （4）²122x x −=+(因式分解法)四、综合题14.已知关于x 的一元二次方程2240x x m ++−=有两个实数根. （1）求m 的取值范围；（2）写出一个满足条件的m 的值，并求出此时方程的根.15.已知关于x 的一元二次方程220x x k +−=有两个不相等的实数根. （1）求k 的取值范围；（2）若方程的两个不相等的实数根是a ，b ，求111a ab −++的值.16.已知1x ，2x 是一元二次方程2220x x k −++=的两个实数根. （1）求k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得等式12112k x x +=−成立？如果存在，请求出k 的值，如果不存在，请说明理由.17.某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为尽快减少库存，该网店决定降价销售.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件。

北师大九年级数学测试卷二

龙阳镇中心中学九年级数学测试卷二11．已知α为锐角且 tan （90°－α）= 3 ，则α= （）一、选择题（每题 3 分，共 60 分） 1.口袋中放有 3 个黄球和 3 个黑球,每个球除颜色外都相同.从中任意摸出两个球,则一个是黄球,一个是黑球的概率是：（）A. 3 5B. 2 5C. 1 2D. 1 53.已知,如图,A,B 两村之间有三条道路,甲,乙两人分别从 A,B 两村同时出发,他们途中相遇的概率为：（）A、 19B 、1 6C、 1 3D、 2 32．准备两张大小一样，分别画有不同图案的正方形纸片，把每张纸都对折、剪开，将四张纸片放在盒子里，然后混合，随意抽出两张正好能拼成原图的概率是：A. 1B. 1C. 1D. 134563．中央电视台“幸运 52”栏目中的“百宝箱”互动环节，是一种竞猜游戏，游戏规则如下：在 20 个商标牌中，有 5 个商标牌的背面注明一定的奖金额，其余商标的背面是一张哭脸，若翻到哭脸就不得奖金，参与这个游戏的观众有三次翻牌的机会(翻过的牌不能再翻)。

某观众前两次翻牌均获得若干奖金，那么他第三次翻牌获奖的概率是：（）A. 1B. 145C. 1D. 36204．在同一直角坐标平面内，如果yk1 x与yk2 x没有交点，那么k1和k2的关系一定是：A、30°，B、45°，C、60°，D、不能确定.12．在 Rt△ACB 中，∠ C = 90°，若 sin A = 2 ，则 tan B =( ) 3A、 2 ，B、 5 ，C、 2 ，D、 5 .335213．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10 ，BC = 8 ，则 cos A = （）3443A、，B、，C、，D、 .553414．掷一枚均匀的硬币两次，两次均为反面朝上的概率是（）1121A、，B、，C、，D、 .233415．利用如图 2 的两个转盘进行“配紫色”的游戏，能配得紫色的概率是（）1111A、，B、，C、，D、 .2456红16．甲、乙两地相距 60km，则汽车由甲地行驶白黄蓝绿A. k1 <0， k 2 >0 B. k1 >0， k 2 <0C. k1 、 k 2 同号D. k1 、 k 2 异号到乙地所用时间 y（小时）与行驶速度 x（千米/时）之间的函数图图2像大致是（）5．某地区为估计该地区黄羊的只数，先捕捉 20 只黄羊给它们分别作上标志，然后放回，待有标志的黄yyy羊完全混合于黄羊群后，第二次捕捉 60 只黄羊，发现其中 2 只有标志。

2022年北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测评试题(含答案解析)

北师大版九年级数学下册第二章二次函数综合测评考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如图，线段AB＝5，动点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿线段AB运动至点B，以点A为圆心，线段AP长为半径作圆．设点P的运动时间为t，点P，B之间的距离为y，⊙A的面积为S，则y与t，S与t满足的函数关系分别是（）A．正比例函数关系，一次函数关系B．一次函数关系，正比例函数关系C．一次函数关系，二次函数关系D．正比例函数关系，二次函数关系2、如图为二次函数2=--的图象，则函数值y<0时，x的取值范围是（）y x x2A ．x <-1B ．x >2C ．x <-1或x >2D ．-1<x <23、二次函数2(21)2y x =--的顶点坐标是（）A ．(1,2)-B ．1(,2)2- C ．(1,2)- D ．1(,2)24、已知：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc ＞0；②2a ＋b ＜0；③a －b ＋c ＜0；④当x ＞1时，y 随x 的增大而增大；⑤a ＞1，其中正确的项是（）A ．①②⑤B ．①④⑤C ．①③⑤D ．②③④5、抛物线y ＝2（x ﹣1）2﹣2图象与y 轴交点的坐标是（）A ．（0，2）B ．（0，﹣2）C ．（0，0）D ．（﹣2，0）6、已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象如图，对称轴为直线x ＝1，则以下结论正确的是（）A ．ac ＞0B ．c ﹣5b ＜0C ．2a ﹣b ＝0D ．当a ＝﹣1时，抛物线的顶点坐标为(1，5)7、抛物线y = a 2x + bx + c 的对称轴是（）A ．x =b a B ．x = - b a C ．x =2ba D ．x = - 2ba8、某同学将如图所示的三条水平直线1m ，2m ，3m 的其中一条记为x 轴（向右为正方向），三条竖直直线4m ，5m ，6m 的其中一条记为y 轴（向上为正方向），并在此坐标平面内画出了二次函数()2210y ax ax a =-+<的图象，那么她所选择的x 轴和y 轴分别为直线（）A ．1m ，4mB ．2m ，5mC ．3m ，6mD ．2m ，4m9、如图，一段抛物线()()303y x x x =--≤≤，记为1C ，它与x 轴交于点O ，1A ；将1C 绕点1A 旋转180°得2C ，交x 轴于点2A ；将2C 绕点2A 旋转180°得3C ，交x 轴于点3A ；…，如此进行下去，直至得5C ，若()14,P m 在第5段抛物线5C 上，则m 值为（）A ．2B ．1.5C ．2-D ． 2.25-10、某种爆竹点燃后升空，并在最高处燃爆．该爆竹点燃后离地高度h （单位：m ）关于离地时间t （单位：s ）的函数解析式是h = 20 t - 5 t 2，其中t 的取值范围是（）A ．t ≥0B ．0≤t ≤2C ．2≤t ≤4D ．0≤t ≤4第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、设抛物线2(1)y x a x a =+++，其中a 为实数．将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，所得抛物线顶点的纵坐标的最大值是__________2、二次函数221y ax ax =++的最大值为52，则a 的值为________．3、某品牌裙子，平均每天可以售出20条，每条盈利40元，经市场调查发现，如果该品牌每条裙子每降价1元，那么平均每天可以多售出2条，那么当裙子降价_________元时，可获得最大利润__________4、写出一个开口向下，且对称轴在y 轴左侧的抛物线的表达式：_______．5、已知A （12-，1y ），B （1，2y ），C （4，3y ）三点都在二次函数()22y x k =--+的图象上，则1y 、2y 、3y 的大小关系为_______．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于()1,0A -，()3,0B 两点，与y 轴交于点()0,3C ，抛物线的顶点为D ，连接BC ，P 为线段BC 上的一个动点（P 不与B 、C 重合），过点P 作PF y ∥轴，交抛物线于点F ，交x 轴于点G ．（1）求抛物线的解析式；（2）当2PG PF =时，求点P 的坐标；（3）连接CD 、BD 、CF 、BF ，当CBF 的面积等于CBD 的面积时（点F 与点D 不重合），求点P 的坐标；（4）在（3）的条件下，在y 轴上，是否存在点Q ，使CPQ 为等腰三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．2、如图，在平面直角坐标系xOy 中, 抛物线23y ax bx =++与x 轴交于点()1,0A - 和点()3,0B ，与y 轴交于点C , 顶点为D ．（1）求该抛物线的表达式的顶点D 的坐标；（2）将抛物线沿y 轴上下平移, 平移后所得新拋物线顶点为M , 点C 的对应点为E ．①如果点M 落在线段BC 上, 求DBE ∠的度数；②设直线ME 与x 轴正半轴交于点P , 与线段BC 交于点Q , 当2PE PQ =时, 求平移后新抛物线的表达式．3、抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点坐标为（m ，n ）．（1）若抛物线y ＝ax 2+bx +c 过原点，m ＝2，n ＝﹣4，求其解析式．（2）如图（1），在（1）的条件下，直线l ：y ＝﹣x +4与抛物线交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），MN为线段AB 上的两个点，MN ＝，在直线l 下方的抛物线上是否存在点P ，使得△PMN 为等腰直角三角形？若存在，求出M 点横坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图（2），抛物线y ＝ax 2+bx +c 与x 轴负半轴交于点C ，与y 轴交于点G ，P 点在点C 左侧抛物线上，Q 点在y 轴右侧抛物线上，直线CQ 交y 轴于点F ，直线PC 交y 轴于点H ，设直线PQ 解析式为y ＝kx +t ，当S △HCQ ＝2S △GCQ ，试证明bk 是否为一个定值．4、如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =++过点1,0A ，()0,3C -．（1）求这条抛物线的解析式；（2）当3y ≥-时，x 的取值范围是______．5、某水果公司以9元/千克的成本从果园购进10000千克特级柑橘，在运输过程中，有部分柑橘损坏，该公司对刚运到的特级柑橘进行随机抽查，并得到如下的“柑橘损坏率”统计图．由于市场调节，特级柑橘的售价与日销售量之间有一定的变化规律，如下表是近一段时间该水果公司的销售记录（1）估计购进的10000千克特级柑橘中完好的柑橘的总重量为_____千克；（2）按此市场调节的观律，①若特级柑橘的售价定为16.5元/千克，估计日销售量，并说明理由②考虑到该水果公司的储存条件，该公司打算12天内售完这批特级柑橘（只售完好的柑橘），且售价保持不变求该公司每日销售该特级柑橘可能达到的最大利润，并说明理由．-参考答案-一、单选题1、C【分析】根据题意分别列出y与t，S与t的函数关系，进而进行判断即可．【详解】解：根据题意得AP t =，5PB AB AP t =-=-，即5y t =-()05t ≤≤，是一次函数；⊙A 的面积为S =22AP t ππ⨯=，即2S t π=()05t ≤≤，是二次函数故选C【点睛】本题考查了列函数表达式，一次函数与二次函数的识别，根据题意列出函数表达式是解题的关键．2、D【分析】根据图象可得：处在x 轴下方的部分即0y <，即可得出自变量的取值范围．【详解】解：根据图象可得：处在x 轴下方的部分即0y <，此时自变量的取值范围为：12x -<<，故选：D ．【点睛】题目主要考查二次函数图象的基本性质及利用图象求不等式的解集，结合图象得出不等式的解集是解题关键．3、B【分析】将解析式化为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．【详解】解：二次函数2(21)2y x =--2214414()22x x x =--=--的顶点坐标是1(,2)2-．故选B ．本题主要考查二次函数的性质，将解析式化为顶点式是解题的关键，即在y =a （x -h ）2+k 中，对称轴为直线x =h ，顶点坐标为（h ，k ）．4、B【分析】由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点得出c 的值，然后根据抛物线与x 轴交点的个数及x =-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：①由二次函数的图象开口向上可得a >0，由抛物线与y 轴交于x 轴下方可得c <0，由对称轴0＜x ＜1，得出b <0，则abc >0，故①正确；②∵对称轴0＜x ＜1，-2b a＜1，a ＞0， ∴-b <2a ，∴2a +b >0，故②错误；③把x =-1时代入y =ax 2+bx +c =a -b +c ，结合图象可以得出y ＞0，即a -b +c ＞0，故③错误； ④由图象得，当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，故④正确；⑤由图象知，函数图象过（-1，2），（1，0）两点，代入解析式得，2(1)0(2)a b c a b c -+=⎧⎨++=⎩ (1)(2)+得，1a c += ∵0c <∴1a >，故⑤正确∴正确的项是①④⑤故选：B ．此题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数与方程之间的转换，会利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y =a +b +c ，然后根据图象判断其值．5、C【分析】结合题意，根据二次函数图像的性质，当0x =时，计算y 的值，即可得到答案．【详解】当0x =时，()2212220y x =--=-=∴抛物线y ＝2（x ﹣1）2﹣2图象与y 轴交点的坐标是：（0，0）故选：C ．【点睛】本题考查了二次函数的知识；解题的关键是熟练掌握二次函数图像的性质，从而完成求解．6、B【分析】根据图象可判断a 和c 的符号，即可判断A ；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)，即可得出930a b c ++=，再根据抛物线对称轴为直线x ＝1，即12b a -=，且可判断出0b >，通过整理可得出752b c b -=-，即可判断B ；由12b a-=，即可判断C ；由1a =-，可求出b 、c 的值，即得出抛物线解析式，再变为顶点式，即可判断D ．【详解】解：根据图象可知，该二次函数开口向下，∴0a <，该二次函数与y 轴交点在x 轴上方，∴0c >，∴0ac <，故A 选项错误，不符合题意；∵该抛物线与x 轴的一个交点为(3，0)，∴930a b c ++=，∵对称轴为直线x ＝1，即12b a-=， ∴2b a =-， ∴9()302b bc ⨯-++=，即302b c -= ∴752b c b -=-． ∵0a <，∴0b >， ∴702b -<， ∴50c b -<，故B 选项正确，符合题意； ∵12b a-=， ∴20a b +=，故C 选项错误，不符合题意；当1a =-时，即12(1)9(1)30b b c ⎧-=⎪⨯-⎨⎪⨯-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩， ∴该二次函数解析式为2y x 2x 3=-++，改为顶点式为2(1)4y x =--+，∴抛物线顶点坐标为(1，4)，故D 选项错误，不符合题意；故选B ．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与系数的关系．熟练掌握二次函数的图象和性质是解答本题的关键．7、D【分析】根据抛物线对称轴的计算公式判断．【详解】∵抛物线y = a 2x + bx + c 的对称轴是x = -2b a，故选D ．【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，熟练抛物线对称轴的计算公式是解题的关键．8、D【分析】由抛物线开口向上可知0a <，由抛物线配方为()2(1)10y a x a a =--+<，可得抛物线的对称轴为1x =，顶点纵坐标为1a -+，据此结合图象可得答案．【详解】解：抛物线()2(1)10y a x a a =--+<的开口向上下0a ∴<，2221(1)1y y ax ax a x a ==-+=--+，∴抛物线的对称轴为直线1x =，∴应选择的y 轴为直线4m ；顶点坐标为(1,1)a -+，抛物线()2(1)10y a x a a =--+<与y 轴的交点为(0,1)，而11a -+>，∴应选择的x 轴为直线2m ，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是理解掌握二次函数的图象与各系数的关系是解题的关键，同时注意数形结合思想的运用．9、A【分析】求出抛物线C 1与x 轴的交点坐标，观察图形可知第奇数号抛物线都在x 轴上方，然后求出到抛物线C 5平移的距离，再根据向右平移横坐标减表示出抛物线C 5的解析式，然后把点P 的坐标代入计算即可得解．【详解】解：令y ＝0，则﹣x （x ﹣3）＝0，解得x 1＝0，x 2＝3，∴A 1（3，0），由图可知，抛物线C 5在x 轴上方，相当于抛物线C 1向右平移4×3＝12个单位得到，∴抛物线C 5的解析式为y ＝﹣（x ﹣12）（x ﹣12﹣3）＝﹣（x ﹣12）（x ﹣15），∵P （14，m ）在第5段抛物线C 5上，∴m ＝﹣（14﹣12）×（14﹣15）＝2．故选：A ．【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点，二次函数图象与几何变换，确定抛物线C 5的关系式是解题的关键，平移的规律：左加右减，上加下减．10、B【分析】把该函数解析式化为顶点式，进而问题可求解．【详解】解：由()222055220h t t t =-=--+可知该函数的顶点坐标为()2,20，对称轴为直线t =2， ∴由题意可知t 的取值范围是0≤t ≤2；故选B ．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．二、填空题1、2【分析】先将抛物线配方为顶点式，然后根据（左加右减，上加下减）将抛物线平移，得出解析式()2211224a a y x a ++⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，求出顶点的纵坐标()2124a a +-++配方得出()()221121244a a a +-++=--+即可．【详解】解：抛物线()22211(1)24a a y x a x a x a ++⎛⎫=+++=+-+ ⎪⎝⎭，将抛物线2(1)y x a x a =+++向上平移2个单位，解析式为()2211224a a y x a ++⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭，∴顶点纵坐标为：()()221121244a a a +-++=--+， ∵104-＜， ∴a =1时，最大值为2．故答案为2．【点睛】本题考查抛物线配方顶点式，抛物线平移，顶点的纵坐标，掌握抛物线配方顶点式，抛物线平移，顶点的纵坐标是解题关键．2、32- 【分析】先找出二次函数取得最大值时x 的取值，再将x 和最大值代入二次函数解析式即可求出a 的值．【详解】解：∵二次函数221y ax ax =++的最大值为52，∴a <0，且二次函数取得最大值时，此时212a x a =-=-． ∴()()2512112a a ⨯-+⨯⨯-+=． ∴32a =-．故答案为：32-．【点睛】本题考查二次函数的最值，熟练掌握该知识点是解题关键．3、15 1250【分析】设裙子降价x 元，利润为w 元，然后由题意可得()()40202w x x =-+，进而根据二次函数的性质可求解．【详解】解：设裙子降价x 元，利润为w 元，由题意得：()()()2402022151250w x x x =-+=--+， ∴-2＜0，开口向下，∴当15x =时，w 有最大值，最大值为1250，∴当裙子降价15元，可获得最大利润为1250元；故答案为15，1250．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．4、y =-x 2-2x +1【分析】根据二次函数的性质写出一个符合的即可．【详解】解：抛物线的解析式为y =-x 2-2x +1，故答案为：y =-x 2-2x +1．【点睛】本题考查了二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键，此题是一道开放型的题目，答案不唯一．5、y 1＜y 3＜y 22＞y 3＞y 1【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后比较三个点距离对称轴的距离，再利用二次函数的性质判断对应函数值的大小．【详解】解：∵二次函数2(2)y x k =--+的图像开口方向向下，对称轴是x =2，∴A （12-，1y ）距对称轴的距离是52，B （1，2y ）距对称轴的距离是1，C （4，3y ）距对称轴的距离是2， ∵5212>>， ∴231y y y >>故答案为：231y y y >>．【点睛】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．解决此题的关键是能根据函数的图象理解二次函数，当a ＞0时，距离对称轴越远的点，函数值越大；当a ＜0时，距离对称轴越远的点，函数值越小．三、解答题1、（1）2y x 2x 3=-++；（2）（2,1）；（3）（2,1）；（4）（0，3+，（0，3-，（0，-1），（0，1）．【分析】（1）应用待定系数法将ABC 三点坐标代入解析式即可解答；（2）设P 点横坐标为x ，用x 表示出PG 、PF 的长，再根据2PG PF =列方程求解即可；（3）当//DF BC 时，CBF 的面积等于CBD 的面积，先求出直线DF 解析式，再求出直线DF 与抛物线交点坐标F ，进而根据点F 坐标求出点P 坐标；（4）分CP =CQ 、CP =PQ 、QC =QP 讨论，分别求出Q 点坐标．【详解】解：（1）依题意得：09303a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：=123a b c -⎧⎪=⎨⎪=⎩，抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）∵点()3,0B 、点()0,3C 在直线BC 上，∴直线BC 解析式为：3y x =-+，设P 点坐标为(,3)x x -+，则3PF x =-+，22(23)(3)3PG x x x x x =-++--+=-+，当2PG PF =时，即：232(3)x x x -+=-+，解得：12x =，23x =（不合题意舍去），当2x =时，P 点坐标为（2,1），∴当2PG PF =时，点P 的坐标（2,1）；（3）∵2223=(1)4y x x x =-++--+，故抛物线的顶点D 为（1,4），当//DF BC 时，CBF 的面积等于CBD 的面积，设此时直线DF 解析为y x b =-+，∴1=4b -+，解得：5b =，故直线DF 解析为5y x =-+，依题意得：223=5x x x -++-+，解得：11x =，12x =，∴点P 的横坐标为x =2，此时点P 坐标为（2,1）（4）∵点P 坐标为（2,1）；点C 坐标（0,3），故CP设点Q 坐标为（0，y ）①若CQ CP =，则3y -=13y =+23y =-②若PQ CP ==13y =（不合题意，舍去），21y =-；③若PQ CQ =，则3y -=11y =；综上所述：点P 为（0，3+，（0，3-，（0，-1），（0，1）时，CPQ 为等腰三角形．【点睛】本题考查了二次函数待定系数法求解函数解析式的基本思路，同时考察了数形结台思想和建立数学模型以及发散思维构造图形并推理逻辑的能力．2、（1）2y x 2x 3=-++，()1,4D ；（2）①45DBE ∠=︒；②232.2y x x =-+- 【分析】（1）把点()1,0A - 和点()3,0B 代入抛物线的解析式。

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九年级数学综合测试二
一、填空题：（每题2分，共24分）
1．若点A （2，y ）是抛物线y=2x 2+3x+1上的点，则y ＝。

2．已知抛物线342
++=x x y ，对称轴是直线X=当x 时，函数值y 随x 的增大而减小， 3. 某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系． 4．抛物线2)1(62
-+=x y 可由抛物线262
-=x y 向平移个单位得到． 5．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解读式为．
6．如图，在同一直角坐标系中，
当自变量x 时，两函数的函数值都随x 增大而增大．
7．如图1，若△ABC ≌△ADE ，∠EAC=350，则∠BAD=度； 8．直线y=x+2与抛物线y=x 2
+2的交点坐标为。

9．已知三角形ABC 的高AD 与高CE 交于M ，若∠BAC=25°，∠ACB ＝75°，则∠AMC ＝。

10．一个多边形的内角和与外角和之比为7：2，则这个多边形的边数是。

11．如图，⊿ABC 中，已知AB=AC ，要使AD=AE,需要添加的一个条件是。

B D E C
12．把定理“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”改写成如果那么的形式为：如果，那么。

二、选择题：（把正确答案的序号填在括号中，每题3分，共24分） 13．抛物线12
2
+--=m mx x y 的图象过原点，则m 为（） A ．0
B ．1
C ．－1
D ．±1
14．与抛物线532
12
-+-
=x x y 的形状大小开口方向相同，只有位置不同的抛物线是（）
A ．2523412-+-=x x y
B ．87212
+--=x x y
C ．1062
12++=x x y D ．532
-+-=x x y
15．把二次函数122
--=x x y 配方成顶点式为（） A ．2
)1(-=x y B ． 2)1(2
--=x y C ．1)1(2++=x y
D ．2)1(2
-+=x y
16．直角坐标平面上将二次函数y ＝-2(x －1)2
－2的图象向左平移１个单位，再向上平移１个单位，则其顶点为（）
A.(0，0)
B.(1，－2)
C.(0，－1)
D.(－2，1)
图1
17．函数362
+-=x kx y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（） A ．3<k
B ．03≠<k k 且
C ．3≤k
D ．03≠≤k k 且
18. 下图中全等的三角形是 (
)
A.Ⅰ和Ⅱ
B.Ⅱ和Ⅳ
C.Ⅱ和Ⅲ
D.Ⅰ和Ⅲ 19． 1. 如图 , ∠A=∠D , OA=OD , ∠DOC=50°, 求∠DBC 的度数为 ( ) A.50° B.30° C.45° D.25°
20．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来多边形的边数是（）
A 、5
B 、6
C 、7
D 、8 三、解答题：（24、26题10分，其余每题8分，共52分）
21．已知二次函数的图象如图所示，根据图中的数据解决问题。

（1）求二次函数的解读式；
（2）设此二次函数的顶点为P ，求⊿ABP 的面积。

解：
22．求证：等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角）。

已知：如图，
求证：证明：
B C
23．已知：如图所示，在⊿ABC 中，AB=AC,D 是AB ⊥BC 于E ，并与CA 的延长线交于F 。

求证：AD=AF
F 证明：
24．已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，AO 平分∠BAC 。

求证：(1)⊿AOD ≌⊿AOE (2) OB=OC 证明： 25某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x （元）与产品的日销售量y （件）之间关系如下表：
若日销售量y 是销售价x 的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？
26．画出函数322
--=x x y 的图象，根据图象回答下列问题．（1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么？
（2）当x 取何值时，y=0？这里x 的取值与方程0322
=--x x 有什么关系？（3）x 取什么值时，函数值y 大于0？x 取什么值时，函数值y 小于0？
参考答案
一、
1、 15；
2、-2，（-2，-1）；
3、
10000198y x =+； 4、左，1；
5、
2(2)5y x =-+-； 6、＞1； 7、35； 8、（0，2），（1，3）；9、100°；
10、9； 11、BD=CE ；12、一个点在一个角的一平分线上，这个点到角的两边距离相等。

二、13——20、D 、B 、B 、C 、D 、D 、D 、C ；三、
21、（1）可设
()1(3)y a x x =+-2(160)1600x =--+过C （0，2）则
32
2
3
a a -==-
2
(1)(3)3
y X X =-+-
（2）2(1)(3)3y X X =-+-=2
28(1)33x =--+
816
4233
ABP s =⨯÷=#
22、已知：如图⊿ABC 中，AB=AC ；求证：∠B=∠C
证明：只要过A 作⊿ABC 的角平分线AD 交BC 于D ，证⊿ABD ≌⊿ACD 就可得到。

23、只要证∠F=∠FDA 就可以。

24、（1）利用AAS （OA=OA ）
（2）利用OD=OE （ASA ）可得⊿BOD ≌⊿COE 可得到。

25、可以设
y kx b =+经过（130，70）
，（150，50）可得200y x =-+ 设日销售利润为P 则
(120)(200)p x x =--+2(160)1600x =--+
所以当销售单价为160元时的日销售利润为1600元。

26、画图（略）
（1）与x 轴交于（-1，0），（3，0）与轴y 交于（0，-3）（2）当x=-1或x=3时,y=0。

这里的取值是方程的解（3）当x ＜-1或x ＞3时,y ＞0；当-1＜x ＜3时y ＜0。