17-18版 第5章 第1节 数列的概念与简单表示法

第五章数列[深研高考·备考导航]为教师授课、学生学习提供丰富备考资源[五年考情]1．从近五年全国卷高考试题来看：数列一般有两道客观题或一道解答题，其中解答题与解三角形交替考查，中低档难度．2．从知识上看：主要考查等差数列、等比数列、a n与S n的关系、递推公式以及数列求和，注重数列与函数、方程、不等式的交汇命题．3．从能力上看：突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查，加大对探究、创新能力的考查力度．[导学心语]1．重视等差、等比数列的复习，正确理解等差、等比数列的概念，掌握等差、等比数列的通项公式、前n项和公式，灵活运用公式进行等差、等比数列基本量的计算．2．重视a n与S n关系、递推关系的理解与应用，加强由S n求a n，由递推关系求通项，由递推关系证明等差、等比数列的练习．3．数列是特殊的函数，要善于用函数的性质，解决与数列有关的最值问题，等差(比)数列中共涉及五个量a1、a n、S n、d(q)、n，“知三求二”，体现了方程思想的应用．一般数列求和，首先要考虑是否能转化为等差(比)数列求和，再考虑错位相减、倒序相加、裂项相消、分组法等求和方法．重视发散思维、创新思维，有意识地培养创新能力．第一节数列的概念与简单表示法————————————————————————————————[考纲传真] 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的定义按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的分类数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．5．数列的递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．6．a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ， 则a n ＝⎩⎨⎧S 1，(n ＝1)，S n －S n －1，(n ≥2).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( )(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( )(3)如果数列{a n}的前n项和为S n，则对∀n∈N*，都有a n＋1＝S n＋1－S n.()(4)若已知数列{a n}的递推公式为a n＋1＝12a n－1，且a2＝1，则可以写出数列{a n}的任何一项．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)√2．设数列{a n}的前n项和S n＝n2，则a8的值为()A．15 B．16C．49 D．64A[当n＝8时，a8＝S8－S7＝82－72＝15.]3．把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图5-1-1)．图5-1-1则第7个三角形数是()A．27B．28C．29D．30B[由题图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.]4．(教材改编)数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n是__________．n 2n－1[由已知得，数列可写成11，23，35，…，故通项为n2n－1.]5．(2014·全国卷Ⅱ)数列{a n}满足a n＋1＝11－a n，a8＝2，则a1＝__________.12 [由a n ＋1＝11－a n ，得a n ＝1－1a n ＋1， ∵a 8＝2，∴a 7＝1－12＝12，a 6＝1－1a 7＝－1，a 5＝1－1a 6＝2，…，∴{a n }是以3为周期的数列，∴a 1＝a 7＝12.]写出下面各数列的一个通项公式：(1)3,5,7,9，…；(2)12，34，78，1516，3132，…； (3)－1,7，－13,19，…； (4)3,33,333,3 333，….[解] (1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.3分 (2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…， 所以a n ＝2n －12n .6分(3)数列中各项的符号可通过(－1)n 表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6.故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5).9分(4)将数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1).12分[规律方法] 1.求数列通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征；(3)拆项后变化的部分和不变的部分的特征； (4)各项符号特征等，并对此进行归纳、化归、联想．2．若关系不明显时，应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来．对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整，可代入验证归纳的正确性．[变式训练1] (1)数列0，23，45，67，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n －1n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝n －12n ＋1(n ∈N *) C ．a n ＝2(n －1)2n －1(n ∈N *)D ．a n ＝2n2n ＋1(n ∈N *) (2)数列{a n }的前4项是32，1，710，917，则这个数列的一个通项公式是a n ＝__________. 【导学号：31222171】(1)C (2)2n ＋1n 2＋1 [(1)注意到分子0,2,4,6都是偶数，对照选项排除即可．(2)数列{a n }的前4项可变形为2×1＋112＋1，2×2＋122＋1，2×3＋132＋1，2×4＋142＋1，故a n ＝2n ＋1n 2＋1.]已知下面数列{a n }的前n 项和S n ，求{a n }的通项公式：(1)S n ＝2n 2－3n ； (2)S n ＝3n ＋b .[解] (1)a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，3分 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.5分 (2)a 1＝S 1＝3＋b ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋b )－(3n －1＋b )＝2·3n －1.7分 当b ＝－1时，a 1适合此等式． 当b ≠－1时，a 1不适合此等式.10分 ∴当b ＝－1时，a n ＝2·3n －1；当b ≠－1时，a n ＝⎩⎨⎧3＋b ，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.12分[规律方法] 由S n 求a n 的步骤 (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段函数的形式．易错警示：利用a n＝S n－S n－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误．[变式训练2](2017·石家庄质检(二))已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n ＝2a n－4(n∈N*)，则a n＝()A．2n＋1B．2nC．2n－1D．2n－2A[由S n＝2a n－4可得S n－1＝2a n－1－4(n≥2)，两式相减可得a n＝2a n－2a n－1(n≥2)，即a n＝2a n－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以数列{a n}是以4为首项，2为公比的等比数列，则a n＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.]根据下列条件，确定数列{a n}的通项公式：(1)a1＝2，a n＋1＝a n＋3n＋2；(2)a1＝1，a n＋1＝2n a n；(3)a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2. [解] (1)∵a n ＋1－a n ＝3n ＋2， ∴a n －a n －1＝3n －1(n ≥2)，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝n (3n ＋1)2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝12×(3×1＋1)＝2符合公式，∴a n ＝32n 2＋n2.4分 (2)∵a n ＋1＝2n a n ，∴a na n －1＝2n －1(n ≥2)，∴a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －2·…·2·1＝21＋2＋3＋…＋(n －1)＝2.又a 1＝1适合上式，故a n ＝2.8分(3)∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 又a 1＝1，∴a 1＋1＝2，故数列{a n ＋1}是首项为2，公比为3的等比数列， ∴a n ＋1＝2·3n －1，因此a n ＝2·3n －1－1.12分[规律方法] 1.已知a 1，且a n －a n －1＝f (n )，可用“累加法”求a n ；已知a 1(a 1≠0)，且a na n －1＝f (n )，可用“累乘法”求a n .2．已知a 1，且a n ＋1＝qa n ＋b ，则a n ＋1＋k ＝q (a n ＋k )(其中k 可由待定系数法确定)，可转化为{a n ＋k }为等比数列．易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a 1是否适合所求式，(3)中常见错误是忽视判定首项是否为零．[变式训练3] (2016·全国卷Ⅲ)已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1＝1，a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0.(1)求a 2，a 3； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)由题意可得a 2＝12，a 3＝14.4分 (2)由a 2n －(2a n ＋1－1)a n －2a n ＋1＝0得 2a n ＋1(a n ＋1)＝a n (a n ＋1).7分因为{a n }的各项都为正数，所以a n ＋1a n＝12.9分故{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，因此a n ＝12n －1.12分[思想与方法]1．数列是一种特殊的函数，因此，在研究数列问题时，既要注意函数方法的普遍性，又要考虑数列方法的特殊性．2．a n ＝⎩⎨⎧S n (n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).3．由递推关系求数列的通项的基本思想是转化，常用的方法是： (1)a n ＋1－a n ＝f (n )型，采用叠加法． (2)a n ＋1a n＝f (n )型，采用叠乘法．(3)a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0，p ≠1)型，转化为等比数列解决． [易错与防范]1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．2．易混项与项数是两个不同的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．3．在利用数列的前n 项和求通项时，往往容易忽略先求出a 1，而是直接把数列的通项公式写成a n ＝S n －S n －1的形式，但它只适用于n ≥2的情形．课时分层训练(二十八) 数列的概念与简单表示法A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、选择题1．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)na n －1(n ≥2)，则a 5＝( )【导学号：31222172】A.32B.53C.85D.23D [a 2＝1＋(－1)2a 1＝2，a 3＝1＋(－1)3a 2＝1＋－12＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1＋(－1)a 4＝23.]2．下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( )【导学号：31222173】A ．1，12，13，14，… B ．－1，－2，－3，－4，… C ．－1，－12，－14，－18，… D ．1，2，3，…，nC [根据定义，属于无穷数列的是选项A ，B ，C ，属于递增数列的是选项C ，D ，故同时满足要求的是选项C.]3．(2017·海淀期末)数列{a n }的首项a 1＝2，且(n ＋1)a n ＝na n ＋1，则a 3的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8B [由(n ＋1)a n ＝na n ＋1得a n ＋1n ＋1＝a n n ，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 为常数列，则a n n ＝a 11＝2，即a n ＝2n ，所以a 3＝2×3＝6，故选B.]4．(2016·广东3月测试)设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝32(a n －1)(n ∈N *)，则a n ＝( )A ．3(3n －2n )B ．3n ＋2C ．3nD ．3·2n －1C [当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝32(a n －1)－32(a n －1－1)，整理，得a n ＝3a n －1，由a 1＝32(a 1－1)，得a 1＝3，∴a na n －1＝3，∴数列{a n }是以3为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＝3n ，故选C.]5．数列{a n }满足a 1＝2，a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，其前n 项积为T n ，则T 2 017＝( )【导学号：31222174】A.12 B ．－12 C ．2D ．－2C [由a n ＝a n ＋1－1a n ＋1＋1，得a n ＋1＝1＋a n1－a n ，而a 1＝2，则有a 2＝－3，a 3＝－12，a 4＝13，a 5＝2，故数列{a n }是以4为周期的周期数列，且a 1a 2a 3a 4＝1， 所以T 2 017＝(a 1a 2a 3a 4)504a 1＝1504×2＝2.] 二、填空题6．(2016·辽宁大连双基检测)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ，则a 3＋a 4＝__________.12 [当n ≥2时，a n ＝2n －2n －1＝2n －1，所以a 3＋a 4＝22＋23＝12.] 7．在数列－1,0，19，18，…，n －2n 2，…中，0.08是它的第______项.【导学号：31222175】10 [令n －2n 2＝0.08，得2n 2－25n ＋50＝0， 则(2n －5)(n －10)＝0，解得n ＝10或n ＝52(舍去)． ∴a 10＝0.08.]8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n －an ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝__________. 2n 2－n ＋2 [由已知得，1a n ＋1－1a n ＝n ，所以1a n －1a n －1＝n －1， 1a n －1－1a n －2＝n －2，…，1a 2－1a 1＝1，所以1a n－1a 1＝n (n －1)2，a 1＝1，所以1a n＝n 2－n ＋22， 所以a n ＝2n 2－n ＋2.]三、解答题9．数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2－7n ＋6. (1)这个数列的第4项是多少？(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？ (3)该数列从第几项开始各项都是正数？ [解] (1)当n ＝4时，a 4＝42－4×7＋6＝－6.3分 (2)令a n ＝150，即n 2－7n ＋6＝150， 解得n ＝16或n ＝－9(舍去)， 即150是这个数列的第16项.8分(3)令a n ＝n 2－7n ＋6>0，解得n >6或n <1(舍去)． 所以从第7项起各项都是正数.12分10．已知S n 为正项数列{a n } 的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．[解] (1)由S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *)，可得 a 1＝12a 21＋12a 1，解得a 1＝1；3分 S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12a 2，解得a 2＝2； 同理，a 3＝3，a 4＝4.5分 (2)S n ＝12a 2n＋12a n ，①当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋12a n －1，② ①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0.8分 由于a n ＋a n －1≠0， 所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n .12分B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．(2017·郑州二次质量预测)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是( )A.215 B.225 C.235D.245D [由2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1得na n －(n －1)a n －1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，又因为1×a 1＝1,2×a 2－1×a 1＝5，所以数列{na n }是首项为1，公差为5的等差数列，则20a 20＝1＋19×5，解得a 20＝245，故选D.]2．(2016·甘肃白银会宁一中月考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝ 1，a n ＋1＝3S n ，则a n ＝__________.⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2 [由a n ＋1＝3S n ，得a n ＝3S n －1(n ≥2)， 两式相减可得a n ＋1－a n ＝3S n －3S n －1＝3a n (n ≥2)， ∴a n ＋1＝4a n (n ≥2)． ∵a 1＝1，a 2＝3S 1＝3≠4a 1，∴数列{a n }是从第二项开始的等比数列， ∴a n ＝a 2q n －2＝3×4n －2(n ≥2)． 故a n ＝⎩⎨⎧1，n ＝1，3×4n －2，n ≥2.] 3．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2＋kn ＋4.(1)若k ＝－5，则数列中有多少项是负数？n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值；(2)对于n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，求实数k 的取值范围． [解] (1)由n 2－5n ＋4<0， 解得1<n <4.因为n ∈N *，所以n ＝2,3，所以数列中有两项是负数，即为a 2，a 3.2分 因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n －522－94，由二次函数性质，得当n ＝2或n ＝3时，a n 有最小值，其最小值为a 2＝a 3＝－2.5分(2)由a n ＋1>a n 知该数列是一个递增数列，7分又因为通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4，可以看作是关于n 的二次函数，考虑到n ∈N *，所以－k 2<32，即得k >－3.所以实数k 的取值范围为(－3，＋∞).12分。