1.3分式的加减法2
1.3分式的加减法(1)
8
例题解析
怎样进行分式的加减运算? 怎样进行分式的加减运算?
(2)
2 x 1 + − . x −1 1− x
例 计算: 计算: (1) 3 + a − 15 ; a 5a 1 解：(1) 3 + a − 15 = 5 ⋅ 3 + a − 15
a 5a
5a 5a 15 + (a − 15) a 1 = = = ; 5a 5 5a
− ( x − 1) 2 2 x −1 2 1 x + + = = + − （2） x − 1 1 − x x − 1 (1 − x ) x −1 x −1 2 1 x = + − = 3− x . x −1 x −1
当两分式的分母互为相反数时, 当两分式的分母互为相反数时,要利用分式的符 号法则----提出某一个分母中的负号 提出某一个分母中的负号, 号法则----提出某一个分母中的负号,化为同分母 . 2
鲁教版。八年级《数学 上) 》 鲁教版。八 年 级《 数 学 ((下 ) 》 北 师 大• 八年级《数学( 课首
3
1
教学目标、重点、 教学目标、重点、难点
经历探索分式的加减运算法则的过程, 经历探索分式的加减运算法则的过程, 理解其算理． 理解其算理． 会进行简单分式的加减运算, 会进行简单分式的加减运算, 具有一定的代数化归能力． 具有一定的代数化归能力． 能解决一些简单的实际问题， 能解决一些简单的实际问题， 进一步体会分式的模型作用． 进一步体会分式的模型作用．
4
做一做
尝试完成下列各题： 尝试完成下列各题：
x2 4 x2 − 4 ( x + 2)( x − 2) ( x 2). (1) − =? = = = + x−2 x−2 x−2 x−2
分式加减法运算法则
分式加减法运算法则分式加减法运算法则：1. 分式加法：分式加法是把分子相加或者相减，而分母保持不变，用一个新分式来表示和或差。
一般格式是：（分子1/分母）➕（分子2/分母）=（分子1+分子2/分母）。
2. 分式减法：分式减法也是把分子相减或者相加，而分母保持不变，用一个新分式来表示差。
一般格式是：（分子1/分母）➖（分子2/分母）=（分子1-分子2/分母）。
3. 分式整体乘法：分式整体乘法是将两个分式的分子相乘，而分母相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）×（分子2/分母2）=（分子1×分子2/分母1×分母2）。
4. 分式整体除法：分式整体除法是将分式的分母相乘，而分子相乘。
一般格式是：（分子1/分母1）÷（分子2/分母2）=（分子1×分母2/分母1×分子2）。
5. 一般的分式的运算：在分式加减法和分式乘除法之后，还可以进行一般的计算，比如：（分子/分母）+（x/分母）+3=（分子+x+3×分母/分母）。
其中的 +x 和+3 就是一般的计算。
因此，在做分式加减法和乘除法的时候，我们首先要确定每个分式中分子和分母，然后根据其法则做整体或一般计算，得出正确结果。
此外，分母一般不能为0，否则会出现无穷大或者不可定义解答；分子和分母要使用相同的符号，否则会导致结果的正负不正确；如果分子和分母出现了负数，要根据实际情况将负号带到分子或者分母，以便能够得到正确的答案。
此外，分式的运算还有一个重要的技巧，即分数化简，就是用数学技巧找出分数的最简形式。
常用的分数化简诀窍就是先分子分母分别除以最大公约数，然后将分子和分母比较，可以将分母统一为最小值，再算出最终结果。
例如，有分式等式：（4/8）=（2/4），明显可以看出它们的最简形式应该为：（1/2）=（1/2），所以，我们只要在做分数运算的时候注意分数化简，就可以得出正确的答案。
总之，分式加减法和乘除法运算都要掌握其基本原理和规律，熟悉一般计算技巧，注意分数化简，以及分母不能为0，就可以得出正确的结果了。
分式的加减专项练习20题答案
1化简: 考点： 分式的加减法.分析： 首先将原分式化为同分母的分式，然后再利用同分母的分式的加减运算法则求解即可求得答案解答：解： 2 2 = K 2+^ -奴 G-2) 2 2= ------------- =x - 2.X - 2 2 - x K - 2 K - 2 K 2 K _ 2点评：此题考查了分式的加减运算法则•解题的关键是要注意通分与化简. 3.计算:a -9b _ a +3b6ab 22K 44 az+一―K-2 2-12 K 22 •化简-一「的结果是 a+b□ _ b a _ b考点：分式的加减法.专题：计算题.分析：根据同分母的分数相加，分母不变，分子相加减.a-b=a+b ,故答案为a+b .点评：本题考查了分式的加减法，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即 可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减.考点：分式的加减法.3曰29且b-曲18a 2b 2点评：本题考查了分式的加减法，解题的关键是找出各分母的最小公倍数.分式的加减专项练习 20题答案分析： 先找出最小公倍数，再通分，最后计算即可.专题：计算题. 解答: 解：原式+考点：分式的加减法.专题：计算题.分析：观察发现，只需对第二个分母提取负号，就可变成冋分母.然后进行分子的加减运算.最后注意进行化简.)•分式运算的最后结果应化成最简分式或整式.5•计算: □2-4 a+2l-a+2 考点： 分式的加减法. 分析：首先把分子分解因式，再约分，合并同类项即可. 解答：初商于 Ca+2) (a- 2) 解：原式= ------------------------- 1 n+p , a+2 =a - 2+a+2, =2a . 点评：此题主要考查了分式的加减法，关键是掌握计算方法，做题时先注意观察，找准方法再计算. 考点：分式的加减法. 专题：计算题. 分析：Az?首先把各分式进行约分，然后进行加减运算. 解答：解：原式=f - 9 9 4耳 虹y+y^+y=x - y - =x - y - 2x+y =-x . 点评：本题不必要把两式子先通分，约分后就能加减运算了. 7•计算:1 1 _ 亦+b a"% 2ab 考点：专题：分析：解答:分式的加减法. 计算题. 先通分，再把分解: 2b +衣巴 亦+b 2al> 2ab Zab 2b4-2a - (2&+b) 2ab解答：解：原式=-: :口一口 n _ID n _ IT点评:6.化简:9•按要求化简: 2a+3 4旦 a 2 -2a点评：本题考查的是分式的加减法，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.考点：分式的加减法.专题：计算题.分析：（1）几个分式相加减，根据分式加减法则进行运算；2）当整式与分式相加减时，一般可以把整式看作分母为1的分式，与其它分式进行通分运算. 解答：解：原式= 且_b a-b 耳一「丄 a-bi+la _ b=1 + 1=2 .点评：归纳提炼：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分 母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减.考点：分式的加减法.分析：首先通分，把分母化为（a+1） （a - 1）,再根据同分母分数相加减，分母不变，分子相加减进行计算，注意 最后结果要化简. 解答：解：原式= - “冷-（arbl ）冷 T ）（寸1）点评：此题主要考查了分式的加减，关键是掌握异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同 的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.考点：分式的加减法. 专题：计算题.10.化简分析: 解答: 此题分子、分母(廿力(a-2) 4自La+2 - 4冷-2) 2 a (a _2) a _2点评: 此题的分解因式、约分起到了关键的作用.11 .化简:考点：分式的加减法.专题：计算题.分析：把异分母分式转化成同分母分式，然后进行化简. 解答：解.原式=_(in -n) Cnrf-n) (n) Cm+nJ (m_n) (nrl-n)点评：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减.考点：分式的加减法.分析：根据异分母分式相加减，先通分，再加减，可得答案.解答：解皐：原^式一丄— 1 +~|八7 2_2y) | ” (3x+2y) ] (3x+2y)(3K-2y)(3碍)-(3i2y) +6x2(3H2y)(3K - 2y)2(3x+2y) (3x _2y)2 (3/分)2(3s+2y) (3x _2y)点评：本题考查了分式的加减，先通分花成同分母分时，再加减.解：原式==1.考点：专题： 分析：解答:点评: 解答本题时不要盲目的通分，先化简后运算更简单.x+2考点： 分式的加减法；解一兀一次方程组. 专题：计算题.点评：此题考查了分式的减法，比较灵活，需要熟练掌握分式的加减运算.分式的加减法.计算题. 通过观察分式可知：将分母分解因式，找最简公分母，把分式通分，再化简即可.考点：分式的加减法.分析：将括号里通分，再进行同分母的运算.点评：本题考查了分式的加减运算.关键是由同分母的加减法法则运算并化简.13.)已知:(K -1) (H-2)分析:解答: 相等，从而求出 A 、B 的值.K 2 _ _ X - 2x 2+4X +414.化简: 15.计算:分析: 解答: a 2+ab+ b 2b 2 ? (a+b) (a _ b) (a _ bi ( a 2+ab+ b?)(a~ b) 2 b (a+b)16.计算: 1 _ 5IT 2 _ m 2m 2 - 2考点：分式的加减法.专题：计算题.分析：根据分式的加减运算法则，先通分，再化简.解答：解：原式= .. +—. 2m (m _ 1)(讨1〕2m (1) (nr+12D 1) (nrH)(; I D 1)【 :m- 2)1) (nrH)m 22m El).点评：本题考查了分式的加减运算•解决本题首先应通分，最后要注意将结果化为最简分式.17.化简考点： 分式的加减法.专题： 计算题.分析： 原式两项通分并利用冋分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果解答： 解：原式= _ "K _ 1 X 1)2x-2X (X-1)2 (x - 1?X (X-1)2点评： 此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键.考点：分式的加减法.专题：计算题. 首先将各式的分子、分母分解因式，约分、化简后再进行分式的加减运算.a 2+ab+b 2 t>2 ab+b 2a 3 -b 3 b 2-2ah+b 2 A/18化简: 解：原式= (2分)(3 分)分析： 本题需先根据分式的运算顺序及法则，分别对每一项进行整理，再把每一项合并即可求出答案. 点评：分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减；如果分式的分子、分母中含有公因式的，需 要先约分、化简，然后再进行分式的加减运算.考点：分式的加减法.专题：计算题.分析：先通分，把异分母分式加减运算转化为同分母分式加减运算，求解即可. 解答：解：原式=_ 一_ (a+2)(耳-1) ( a+2) (a _ 1)点评：本题主要考查异分母分式加减运算，先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减./ Cx+2) (x 2) - x (x+6)=疋了+2远2_ 2耳 _ /-斂-m 1 ■: 「：点评：本题主要考查了分式的加减，在解题时要根据分式的运算顺序及法则进行计算这是本题的关键.考点：分式的加减法.矍1 x-|x-2'x (r+2) (n2) (x-2) 解：原式= (4分)20.化简:/十2工考点：分式的加减法. 解答:专题：计算题.分析：先找到最简公分母，通分后再约分即可得到答案.2 Cx- 2) 工+2芈. ^ ^ - —- ^ ^ .(K+2) ( K_2)(蛊+刃(x _2)点评：本题考查了分式的加减，会通分以及会因式分解是解题的关键.考点：分式的加减法.专题：计算题.分析：观察各个分母，它们的最简公分母是x (x 解答：解：蓋-讥1解：K- 3X2 -3x X 3），先通分把异分母分式化为同分母分式，然后再加减.K+2点评：本题主要考查异分母分式加减，通分是解题的关键.。
分式的加减法与乘除法
分式的加减法与乘除法分式（Fraction）是数学中的一个重要概念，用来表示有理数的形式。
分式由分子和分母组成，分子表示被分割的单位数量，而分母表示整体被分成的份数。
在数学中，我们经常会遇到需要对分式进行加减法和乘除法的运算。
本文将详细介绍分式的加减法和乘除法的运算规则，并提供一些例子来帮助读者更好地理解。
一、分式的加减法1. 加法两个分式的加法规则：分子相乘加分母相乘。
例如：$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$这个规则同样适用于多个分式相加。
例如：$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} + \frac{e}{f} = \frac{adf + bcf + bde}{bdf}$2. 减法两个分式的减法规则：分子相乘减分母相乘。
例如：$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}$同样地，这个规则也适用于多个分式相减。
例如：$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} - \frac{e}{f} = \frac{adf - bcf -bde}{bdf}$二、分式的乘除法1. 乘法两个分式的乘法规则：分子相乘，分母相乘。
例如：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$这个规则同样适用于多个分式相乘。
例如：$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} \times \frac{e}{f} =\frac{ace}{bdf}$2. 除法两个分式的除法规则：将第一个分式的分子乘以第二个分式的倒数。
例如：$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a}{b} \times\frac{d}{c} = \frac{ad}{bc}$同样地，这个规则也适用于多个分式相除。
例如：$\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} \div\frac{\frac{e}{f}}{\frac{g}{h}} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c} \div\frac{f}{e} \times \frac{h}{g} = \frac{adh}{bcfge}$三、实例演算让我们通过几个实际运算的例子来更好地理解分式的加减法和乘除法。
分式的加减法
分式的加减法分式是数学中常见的一种表达形式，它由分子和分母组成，用于表示两个数的比值或者部分与整体的关系。
分式的加减法就是对两个或多个分式进行相加或相减的运算。
本文将介绍分式的加减法的基本原理和具体操作方法。
一、分式的加法分式的加法就是将两个分式相加，要求它们的分母相同。
具体的操作步骤如下：1. 找出需要进行加法运算的分式，保持分子和分母的不变；2. 确保这些分式的分母相同，如果分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的值；3. 将这些分式的分子相加，保持分母不变，得到加法结果；4. 对加法结果进行约分，如果可以约分的话；5. 最后得到的结果即为加法的答案。
例如，计算1/3 + 1/4的结果。
首先，分母不同，需要进行通分，得到4/12 + 3/12 = 7/12。
最后，7/12为所求的答案。
二、分式的减法分式的减法与加法类似，也需要求出相同的分母。
具体的操作步骤如下：1. 找出需要进行减法运算的分式，保持分子和分母的不变；2. 确保这些分式的分母相同，如果分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的值；3. 将这些分式的分子相减，保持分母不变，得到减法结果；4. 对减法结果进行约分，如果可以约分的话；5. 最后得到的结果即为减法的答案。
例如，计算3/4 - 1/3的结果。
分母不同，需要进行通分，得到9/12 - 4/12 = 5/12。
最后，5/12为所求的答案。
三、分式的加减混合运算对于分式的加减混合运算，按照运算顺序逐步进行。
先进行加法，再进行减法。
具体操作如下：1. 找出需要进行加减混合运算的分式，保持分子和分母的不变；2. 对这些分式进行加法运算，得到加法结果；3. 再对加法结果进行减法运算，得到减法结果；4. 对减法结果进行约分，如果可以约分的话；5. 最后得到的结果即为加减混合运算的答案。
例如，计算2/3 + 1/4 - 5/6的结果。
首先，需要进行通分，得到8/12 + 3/12 - 10/12 = 1/12。
分式的运算如何进行分式的加减法运算
分式的运算如何进行分式的加减法运算分式是数学中常见的一种表达形式，用于表示两个数的比值或算式的一部分。
在进行分式的加减法运算时，需要根据相应的规则进行化简和通分，并最终得到最简形式的结果。
一、分式的加法运算1. 化简分式：首先要化简分式，即将分子、分母约分至最简形式。
如有必要，使用最大公约数将分子、分母的公因式约掉。
2. 通分：对于两个分式进行加法运算，需要先将两个分式的分母通分，使其相同。
通分的方法为，将两个分式的分母的乘积作为新分式的分母，并对应调整分子。
3. 分子相加：将通分后的两个分子相加，得到新的分子。
4. 最简形式：将得到的分子与通分后的分母组合，得到最简形式的结果。
举例说明：2/3 + 1/4首先将分式化简至最简形式，2/3 已经是最简形式，1/4 也是最简形式。
然后找到两个分式的分母的最小公倍数，分母为 3 和 4，最小公倍数为 12。
对于 1/4，将其分母乘以 3，得到 3/12。
相加得到新分子 8 + 3 = 11。
将新分子11 与通分后的分母12 组合，得到最简形式的结果11/12。
二、分式的减法运算分式的减法运算与加法运算类似，只需要将加号换成减号即可。
1. 化简分式：首先要化简分式，即将分子、分母约分至最简形式。
2. 通分：对于两个分式进行减法运算，同样需要先将其分母通分。
3. 分子相减：将通分后的两个分子相减，得到新的分子。
4. 最简形式：将得到的分子与通分后的分母组合，得到最简形式的结果。
举例说明：5/6 - 2/5首先将分式化简至最简形式，5/6 已经是最简形式，2/5 也是最简形式。
然后找到两个分式的分母的最小公倍数，分母为 6 和 5，最小公倍数为 30。
对于 5/6，将其分母乘以 5，得到 25/30。
相减得到新分子 25 - 12 = 13。
将新分子13 与通分后的分母30 组合，得到最简形式的结果13/30。
综上所述，分式的加减法运算需要化简分式、通分、分子相加或相减，最后得到最简形式的结果。
分式的加减法
分式的加减法分式是数学中常见的一种表示形式，用于表示比例、比率以及一些运算过程中的数值关系。
分式的加减法是分式运算中的基本运算之一，它可以帮助我们计算各种分数的和或差。
本文将介绍分式的加减法，并演示一些实际应用的例子。
一、分式的基本概念在了解分式的加减法之前，我们先来回顾一下分式的基本概念。
分式由两个整数表示，其中一个整数位于分数线上方，称为分子；另一个整数位于分数线下方，称为分母。
分子和分母之间用横线表示，如a/b。
二、分式的加法在进行分式的加法运算时，我们首先要确保两个分式的分母相同，然后将它们的分子相加，最后将分子的和写在相同的分母下即可。
具体的步骤如下：1. 确定两个分式的分母是否相同。
如果两个分式的分母相同，直接将它们的分子相加即可；如果两个分式的分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的数值。
2. 将两个分子相加。
将两个分式的分子相加，得到它们的和。
3. 将分子的和写在相同的分母下。
将分子的和写在相同的分母下，得到最终的结果。
示例1：计算分式的加法计算1/3 + 2/5。
步骤1：确定两个分式的分母是否相同。
1/3与2/5的分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的数值。
步骤2：通分后，将两个分子相加。
分母相同的通分数为15，所以1/3可以拓展为5/15，2/5可以拓展为6/15。
5/15 + 6/15 = 11/15。
步骤3：将分子的和写在相同的分母下。
最终结果为11/15。
因此，1/3 + 2/5 = 11/15。
三、分式的减法分式的减法与分式的加法类似，也需要确保两个分式的分母相同，然后将它们的分子相减，最后将分子的差写在相同的分母下。
具体的步骤如下：1. 确定两个分式的分母是否相同。
如果两个分式的分母相同，直接将它们的分子相减即可；如果两个分式的分母不同，需要通过通分将它们的分母转化为相同的数值。
2. 将两个分子相减。
将两个分式的分子相减，得到它们的差。
3. 将分子的差写在相同的分母下。
分式加减法(第2课时)
7 12
72 12 2
14 24
1 1 3 3 8 83 24
4 12 8
32
最简公倍数： 4×3×2=24
类比分数，怎样把分式 通分呢？
素养目标
2. 会运用异分母的分式加减法则进行异分母 分式的加减运算. 1. 会确定几个分式的最简公分母，并根据分 式的基本性质进行通分.
探究新知
知识点 1 最简公分母
x3 x3 (x 3（ ) x 3)
6 x2 9
（3） a
2a 2
4
-
1 a2
（a
2a 2)( a
2)
-
1 a2
（a
2a 2)( a
2)
-（a
a2 2)(a
2)
（a2a（ -2)a(a22) )
（a2a2-)(aa-
2
2)
（a
a-2 2)( a
2)
1 (a 2)
探究新知
注意： 1.分子要做为一个整体参与运算，注意符号问题 2.最后结果为最简分式，也就是分子分母不能含有 公因式
2x2 10x x2 25
3x 3x x 5 x 5 x 5 x 5
3x2 15x x2 25
探究新知
先通分，再计算：
（1）3 +
a
a 15 （2） 1 -
5a
x3
x
1
3（3）a
2a 2
4
-
1 a2
5a
15 + a 15
5a
5a
转 （x-3)(x+3) 化 x3
（x 3)( x 3)
=
__-__2_(_x_1__2_)__；
( 4 ) 1-1-1x = __-_1_-x_x____.
分式的加减法(二)
，用字母表示 2、完成下列各式 （1） （2） （3）
a
1 5 xy
1
与 与
1 20 x y
1 x3 1
2
的最简公分母为 的最简公分母为 的最简公分母为
通分后为 通分后为 通分后为
1)
c ab
a bc
2)
1 x 1
1 1 x3）4 a 源自 2 a 2x 3
2
2
4
b c bc
2 ○
3x ( x 3)
2
x 3 x
第
39
页
第
40
页
2
方法二：
x x 4 3x x 2 x x 2
2
b 3a
a 2b
2 ○
1 a 1
2 1 a
2
四、拓展检测 4、自学检测，计算下列各式
1 ○ 1 计算 ○
1 x3
1 x3
2 ○
2a a
2
4
1 a 2
3 ○
a
2
a 1
a 1
a b ab
a b c d
5、细心阅读例 3 完成下列表格 工作 工作 总量 效率 计划 实际 二、小组学习 ： 小花做异分母分式相加减时，找
a
1
2
3a
a
1
2
9
的最简公分母为
（a2 - 3a）( a2- 9) ,你认为对吗？为什么？ ，然后再按 = 三、展示反馈： 1、计算 和 和 和 2、用两种方法计算： 方法一：
与
a 2
归纳如何找最简公分母： 1）各分母为单项式时，先找各分母系数的 和所有字母的最高次 幂的积作为 2）各分母为多项式时，先将各分母分解因式，然后再按（1）的方法找最简公分母 3、 模仿 82 页例 2 做下列各题
分式的加减(提高)知识讲解
分式的加减（提高）【学习目标】1．能利用分式的基本性质通分．2．会进行同分母分式的加减法．3．会进行异分母分式的加减法．【要点梳理】【高清课堂403995 分式的加减运算 知识讲解】要点一、同分母分式的加减同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；上述法则可用式子表为：a b a b c c c±±=. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式.要点二、异分母分式的加减异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.上述法则可用式子表为：a c ad bc ad bcb d bd bd bd±±=±=. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变成同分母分式的加减法.（2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，③把结果化成最简分式.【典型例题】类型一、同分母分式的加减【高清课堂403995 分式的加减运算 例1】1、计算：（1）22256343333a b b a a b a bc ba c cba +-++-；（2）2222()()a b a b b a ---； （3）22m n n m n m m n n m ++----； （4）33()()x y x y y x ---． 【答案与解析】解：（1）原式2(56)(34)(3)3a b b a a b a bc ++--+=225634323a b b a a b a bc a c++---==． （2）2222()()a b a b b a ---222222()2()()()a b a b a b a b a b a b-=-==----； （3）22m n n m n m m n n m ++----22221m n n m m n n m n m n m n m n m n m n m ++---=--===-----； （4）33()()x y x y y x ---333()()()x y x y x y x y x y +=+=---． 【总结升华】根据乘法交换律有222333a bc ba c cba ==，所以本题是三个同分母分式的加减法，根据法则：分母不变，分子相加减．注意把分子看成一个整体用括号括起来，再加减．仔细观察分母中2()a b -与2()b a -，()n m -与()m n -、3()x y -与3()y x -的互相转化中符号的变化．类型二、异分母分式的加减2、（新罗区校级月考）计算：．【答案与解析】解：原式=． 【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 举一反三：【变式】计算（1）（2016·十堰）222442242x x x x x x-+-++-+； （2）222()()()()()()a b c b c a c b a a b a c b c b a c b c a ------++------． 【答案】 解：（1）222442242x x x x x x-+-++-+ ()()()()2222222x x x x x x--=+++-+ ()22222x x x x x --=++++ ()()()()()2222222x x x x x x x x x x x -+-=+++++ ()2222242x x x x x x x -+-++=+()23322x x x x +-=+； （2）原式111111a c a b b a b c c a c b=+++++------ 1111110a c a c a b a b b c b c =-+-+-=------．3、 化简222236523256x x x x x x x x ++++-++++ 【答案与解析】 解：原式2244113256x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 22443256x x x x =+++++ 44(1)(2)(2)(3)x x x x =+++++ 4(3)4(1)(1)(2)(3)(2)(3)(1)x x x x x x x x ++=+++++++ 816(1)(2)(3)x x x x +=+++ 8(1)(3)x x =++． 【总结升华】本题按照常规方法先将所有的分母进行因式分解，然后通分计算，不难发现：所有的分子计算较复杂．通过观察不妨将每一个分式化简使它们的分子变得简单，然后再计算就非常的容易了．所以，在进行分式化简时不能盲目地计算，首先应该观察分式的特点，然后选择合适的计算方法．举一反三：【变式】某商场文具专柜以每支a （a 为整数）元的价格购进一批“英雄”牌钢笔，决定每支加价2元销售，由于这种品牌的钢笔价格廉、质量好、外观美，很快就被销售一空，结账时，售货员发现这批钢笔的销售总额为(399a ＋805)元．你能根据上面的信息求出文具专柜共购进了多少支钢笔吗?每支钢笔的进价是多少元?【答案】解：设文具专柜共购进了钢笔y 支， 则39980539979877399222a a y a a a +++===++++． 因为a 为正整数，y 也为正整数，所以a ＋2是7的正约数， 所以a ＋2＝7或a ＋2＝1．所以a ＝5或a ＝－1(不合题意，舍去)．所以当a ＝5时，y ＝400．即文具专柜共购进了400支钢笔，每支进价为5元．类型三、分式的加减运算的应用4、 已知34(1)(2)12x A B x x x x -=+----，求整式A ，B ． 【思路点拨】首先对等式的右边进行通分，可得(2)(1)(1)(2)A x B x x x -+---．已知两个分式相等，分母相等，则分子也相等，即34()(2)x A B x A B -=+-+．多项式恒等即对应项的系数相等，由待定系数法可得3,(2)4,A B A B +=⎧⎨-+=-⎩可求得A ，B ． 【答案与解析】 解法一：由已知得34(2)(1)(1)(2)(1)(2)x A x B x x x x x --+-=----， 即34()(2)(1)(2)(1)(2)x A B x A B x x x x -+-+=----． 所以3,24,A B A B +=⎧⎨+=⎩ 所以1,2.A B =⎧⎨=⎩解法二：等式两边同时乘以(1)(2)x x --，得34(2)(1)x A x B x -=-+-，令1x =，则A ＝1．令2x =，则B ＝2．所以A ＝１，B ＝2．【总结升华】解法一是利用多项式恒等，则对应项的系数分别相等，列出方程组，求出A ，B 的值．解法二是运用特殊值法，因为多项式恒等，与x 取值无关，故令x ＝1，x ＝2简化式子，求出A ，B 的值．举一反三：【变式】（2015春•东台市校级期中）已知计算结果是，求常数A 、B 的值． 解：因为===所以，解得，所以常数A的值是1，B的值是2．。
分式的运算(含答案)
分式的运算【知识精读】1. 分式的乘除法法则；当分子、分母是多项式时，先进行因式分解再约分。
2. 分式的加减法（1）通分的根据是分式的基本性质，且取各分式分母的最简公分母。
求最简公分母是通分的关键，它的法则是：①取各分母系数的最小公倍数；②凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最高的。
（2）同分母的分式加减法法则（3）异分母的分式加减法法则是先通分，变为同分母的分式，然后再加减。
3. 分式乘方的法则（n为正整数）4. 分式的运算是初中数学的重要内容之一，在分式方程，求代数式的值，函数等方面有重要应用。
学习时应注意以下几个问题：（1）注意运算顺序及解题步骤，把好符号关；（2）整式与分式的运算，根据题目特点，可将整式化为分母为“1”的分式；（3）运算中及时约分、化简；（4）注意运算律的正确使用；（5）结果应为最简分式或整式。
下面我们一起来学习分式的四则运算。
【分类解析】例1：计算的结果是（）A. B. C. D.分析：原式故选C说明：先将分子、分母分解因式，再约分。
例2：已知，求的值。
分析：若先通分，计算就复杂了，我们可以用替换待求式中的“1”，将三个分式化成同分母，运算就简单了。
解：原式例3：已知：，求下式的值：分析：本题先化简，然后代入求值。
化简时在每个括号内通分，除号改乘号，除式的分子、分母颠倒过来，再约分、整理。
最后将条件等式变形，用一个字母的代数式来表示另一个字母，带入化简后的式子求值。
这是解决条件求值问题的一般方法。
解：故原式例4：已知a、b、c为实数，且，那么的值是多少？分析：已知条件是一个复杂的三元二次方程组，不容易求解，可取倒数，进行简化。
解：由已知条件得：所以即又因为所以例5：化简：解一：原式解二：原式说明：解法一是一般方法，但遇到的问题是通分后分式加法的结果中分子是一个四次多项式，而它的分解需要拆、添项，比较麻烦；解法二则运用了乘法分配律，避免了上述问题。
2022年《分式的加减》教案 (省一等奖)
15．2．2分式的加减〔一〕一、教学目标：〔1〕熟练地进行同分母的分式加减法的运算.〔2〕会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减. 二、重点、难点1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算. 三、教学过程：〔一〕板书标题，呈现教学目标：〔1〕熟练地进行同分母的分式加减法的运算.〔2〕会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减. 〔二〕引导学生自学：阅读P15-16练习，并思考以下问题:1． 分数的加减运算法那么是什么？分式的加减运算法那么又是什么？ 2． 异分母的分式加减法的一般步骤是什么？8分钟后，检查自学效果〔三〕学生自学，教师巡视： 学生认真自学，并完成P16练习 〔四〕检查自学效果：1．学生答复老师所提出的问题 2．学生答复P16练习〔五〕引导学生更正，归纳： 1．更正学生错误；2．P16例6. 第〔1〕题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比拟简单；第〔2〕题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.[分析] 第〔1〕题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.[分析] 第〔2〕题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式. 3．进行异分母的分式加减法的运算是难点，异分母的分式加减法的运算,必须转化为同分母的分式加减法，，然后按同分母的分式加减法的法那么计算，转化的关键是通分，通分的关键是正确确定几个分式的最简公分母，确定最简公分母的一般步骤：〔1〕取各分母系数的最小公倍数；〔2〕所出现的字母(或含字母的式子)为底的幂的因式都要取；〔3〕相同字母(或含字母的式子)的幂的因式取指数最大的.在求出最简公分母后，还要确定分子、分母应乘的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母所得的商.4．异分母的分式加减法的一般步骤：〔1〕通分，将异分母的分式化成同分母的分式；〔2〕写成“分母不变，分子相加减〞的形式；〔3〕分子去括号，合并同类项；〔4〕分子、分母约分，将结果化成最简分式或整式. 〔六〕课堂练习 1．计算：〔1〕 〔2〕 〔3〕2．计算：〔1〕 〔2〕 111---x x x b a ab b a a +++2329122---m m aa a a a a a a a 2444122222--÷⎪⎭⎫ ⎝⎛+----+)225(423---÷-+x x x x作业：1．习题15.2第4，5题〔A本〕2．?感悟?P8-9分式的加减〔一〕3．预习P17-18练习[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
湘教版数学八年级上册1.4《分式的加法和减法》教学设计2
湘教版数学八年级上册1.4《分式的加法和减法》教学设计2一. 教材分析湘教版数学八年级上册1.4《分式的加法和减法》是分式单元的重要内容，本节课主要引导学生学习分式的加法和减法运算。
学生在学习本节课之前，已经掌握了分式的基本概念，分式的乘法和除法运算，以及实数的加法和减法运算。
本节课的内容与学生的生活实际紧密相连，有助于提高学生的学习兴趣和积极性。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和运算能力，对于分式的基本概念和运算已经有了一定的了解。
但是，学生在学习过程中，对于分式的加法和减法运算规则的理解和应用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生通过观察、操作、交流和思考，深化对分式加减法运算规则的理解，提高学生的运算能力。
三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握分式的加法和减法运算规则，能够正确进行分式的加法和减法运算。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、交流和思考，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生的学习兴趣，培养学生的合作精神和积极向上的学习态度。
四. 教学重难点1.教学重点：分式的加法和减法运算规则。
2.教学难点：分式加减法运算中，如何正确处理分母和分子的运算。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生通过观察、操作、交流和思考，发现和总结分式的加法和减法运算规则。
2.运用实例讲解，让学生在实际问题中感受和理解分式的加法和减法运算。
3.采用合作学习的方式，让学生在小组讨论和交流中，共同解决问题，提高学生的合作能力和沟通能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学素材，如PPT、教案、练习题等。
2.准备教学所需的教具，如黑板、粉笔、投影仪等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式，回顾上一节课的内容，引导学生复习分式的基本概念和运算。
然后，教师提出本节课的学习内容：分式的加法和减法运算。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT展示分式的加法和减法运算实例，引导学生观察和思考，发现分式加减法运算的规律。
分式的加减法(二)
课题： 3.3 分式的加减法（二） 主备人：左良成
学习目标
1、掌握分式的通分；
2、掌握异分母分式的加减法运算；
学习重点：异分母分式的加减法运算
学习难点：异分母分式的加减法向同分母分式的加减法的转化
知识回顾
1、计算下列各题：
（1）、a a
142- （2）、b a 11+
（3）、bc c b ab b a +-+ （4）、
b a a b 23+
2、叙述同分母分式加减法的法则？
知识探究
一、做一做：通分 （1）;41,3,22xy y x x y （2）,5y x -2)
(3x y -；
（3）;31,31-+x x （4）2
1,412--a a
二、总结你是怎样通分的？通分的关键是什么？
三、议一议：如何进行异分母分式的加减法？
补充内容
四、讲一讲：1
、;3131+--x x 2、;2
1412---a a
知识反馈
基础题： 1、
x
x -++1111 2、231x ＋x 43；
提高题： 1、
221y x -+xy x +21 2、231x +xy
125
创新题：1、用两种方法计算：x
x x x x x 4)223(2-∙+--
2、
⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⋅+-y x x y x y x x 2121
知识小结
通分的关键是什么？如何确定最简公分母？怎样进行异分母分式的加减法？
课后反思。
初三数学1.3分式加减法(2)
初三数学1.3分式的加减法（2）
课型：综合课 主备人：王慧 审核：孙燕 制作日期：第3 周第3个 目标定向：（1′）1、记住通分及最简公分母的定义。
2、会利用异分母分式加减法法则进行分母是单项式的异分母分式加减法计算。
限时预习：（20′）
1、（5′）自学例2前面的内容，画出通分及最简公分母的定义并背诵。
写出异分母分式加减法法则：
2、（5′）通分：⑴b
a 223与c a
b b a 2 ⑵bd 2与243b ac
⑶
21a 和ab
1 ⑷b a 2，232a b ，241ab
3、（5′）自学例2，解答随堂练习第2题:
(1) (2)
（3） （4）
三、小组展示（11′）1. （1′）教师分配任务
2．（2′）小组交流任务，若有疑难写在后面 。
3.（8′）学生展示
四、当堂训练（13′）（一）、基础题（必做题）：计算 ⑴b a 223-c
ab b a 2- ⑵bd 2+243b ac
⑶ 21a -ab 1
⑷223121cd d c +
（二）变式训练：（选做题）
计算： ab b a b a ab b
a 31
2422+--+
(三)中考应用（必做题） 计算：22).(y x x y
x y
-。
《分式的加减法》分式与分式方程(第2课件)
2023-11-09CATALOGUE目录•分式的基本概念•分式的加减法•分式的乘除法•分式方程及其解法•分式在实际生活中的应用•分式与分式方程的历史与发展01分式的基本概念如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。
分式的定义定义读作“分子A，分母B”，写作“A/B”符号表示当A=0，B≠0时，分式无意义；当A≠0，B=0时，分式值为无穷大特殊情况分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。
性质1性质2性质3分式的分子和分母同时扩大（或缩小）相同的倍数，分式的值改变。
当分式的分子和分母是多项式时，首先要进行因式分解，然后约分。
03分式的基本性质0201把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分。
定义先把分子、分母分解因式，然后约去它们公因式。
方法约分时，分子、分母必须是公因式的最高次幂。
注意分式的约分02分式的加减法运算法则同分母分式相加减，分子相加减，分母不变。
概念同分母分式是指具有相同分母的分式。
例子如$\frac{2}{3} + \frac{3}{3}$，$\frac{5}{6} - \frac{1}{6}$等。
同分母分式的加减法异分母分式是指具有不同分母的分式。
概念异分母分式的加减法异分母分式相加减，先通分，变为同分母分式，再按照同分母分式的加减法进行运算。
运算法则如$\frac{2}{3} + \frac{1}{2}$，$\frac{5}{6} - \frac{1}{2}$等。
例子概念混合运算是指包含加法、减法、乘法、除法等多种运算的算式。
分式加减法的混合运算运算法则按照运算的优先级，先乘除后加减，有括号先算括号里面的。
例子如$(2 + 3) \times 5 - \frac{1}{2} \times 4$，$5 \div (3 - 1) + \frac{1}{3} \times 6$等。
03分式的乘除法总结词了解分式乘法的运算方法，能够熟练进行分式乘法运算。
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公开课教案
1.3分式的加减法（2）
课时课型新授课备课时间授课时间
教学目标设计
（一）教学知识点 1.异分母的分式加减法的法则.
2.分式的通分.
（二）能力训练要求 1.经历异分母分式的加减运算和通分的过程，训练学生的分式运算能力，培养数学学习中转化未知问题为已知问题的能力. 2.进一步通过实例发展学生的符号感. （三）情感与价值观要求
1.在学生已有数学经验的基础上，探求新知，从而获得成功的快乐.
2.提高学生“用数学”意识
重点、难点、突破措施
教学重点：异分母分式的加减运算
教学难点：分式的通分
突破措施：小组合作，精讲多练
教具：小黑板
板书设计
如何计算：
（2）如何计算：3
（1），，；
课后反思。