最新导数及其应用单元复习与巩固
新教材高中数学习题课导数的综合应用课后巩固提升含解析北师大版选择性必修第二册
第二章导数及其应用习题课 导数的综合应用课后篇巩固提升必备知识基础练1.对任意的x ∈R ,函数f (x )=x 3+ax 2+7ax 不存在极值点的充要条件是( )A.0≤a ≤21B.a=0或a=7C.a<0或a>21D.a=0或a=21(x )=3x 2+2ax+7a ,当Δ=4a 2-84a ≤0,即0≤a ≤21时,f'(x )≥0恒成立,函数f (x )不存在极值点. 2.已知函数f (x )=x-sin x ,则不等式f (x+1)+f (2-2x )>0的解集是( ) A.-∞,-13B.-13,+∞ C.(-∞,3)D.(3,+∞)f (x )=x-sin x ,∴f (-x )=-x+sin x=-f (x ),即函数f (x )为奇函数,函数的导数f'(x )=1-cos x ≥0,则函数f (x )是增函数,则不等式f (x+1)+f (2-2x )>0等价于f (x+1)>-f (2-2x )=f (2x-2),即x+1>2x-2,解得x<3,故不等式的解集为(-∞,3).3.已知f (x )=kx 2+2x+2k 在(1,2)内有极值点,则k 的取值范围是( ) A.-1<k<-12B.k<-1或k>-12C.12<k<1 D.k<1或k<1(x )=2kx+2,由题意知f'(1)·f'(2)<0,即(2k+2)·(4k+2)<0,解得-1<k<-12.4.设函数f (x )=13sin θ·x 3+√32cos θ·x 2+tan θ,其中θ∈[0,5π12],则导数f'(1)的取值范围是 .√2,2]f'(x )=sin θ·x 2+√3cos θ·x ,所以f'(1)=sin θ+√3cos θ=2sin (θ+π3). 因为0≤θ≤5π12,π3≤θ+π3≤3π4,所以√22≤sin (θ+π3)≤1. 故√2≤f'(1)≤2.5.某厂生产某种商品x 件的总成本c (x )=1 200+275x 3(单位:万元),已知产品单价的平方与产品件数x 成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产量定为 件时,总利润最大.p 万元,根据已知,可设p 2=k x ,其中k 为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250000. 所以p 2=250000x,p=√x,x>0.设总利润为y 万元, y=√x ·x-1200-275x 3=500√x −275x 3-1200, 则y'=√x−225x 2.令y'=0,得x=25.故当0<x<25时,y'>0,当x>25时,y'<0,所以,当x=25时,函数y 取得极大值,也是最大值. 6.设函数f (x )=e xx .(1)求函数f (x )的单调区间;(2)若k>0,求不等式f'(x )+k (1-x )f (x )>0的解集.f'(x )=1xe x -1x 2e x =x -1x 2e x . 由f'(x )=0,得x=1. 当x<0时,f'(x )<0; 当0<x<1时,f'(x )<0; 当x>1时,f'(x )>0.所以f (x )的单调递增区间是[1,+∞),单调递减区间是(-∞,0)和(0,1). (2)由f'(x )+k (1-x )f (x )=x -1+kx -kx 2x 2e x =(x -1)(-kx+1)x 2·e x>0, 得(x-1)(kx-1)<0.故当0<k<1时,解集是{x |1<x <1k }; 当k=1时,解集是⌀;当k>1时,解集是{x |1k <x <1}.关键能力提升练7.已知函数f (x )=e x -ln(x+3),则下列有关描述正确的是( ) A.∀x ∈(-3,+∞),f (x )≤13 B.∀x ∈(-3,+∞),f (x )>-12 C.∃x 0∈(-3,+∞),f (x 0)=-1 D.f (x )min ∈(1,2)f (x )=e x -ln(x+3),∴f'(x )=e x -1x+3,显然f'(x )在(-3,+∞)内单调递增,又f'(-1)=1e −12<0,f'(0)=23>0,∴f'(x )在(-3,+∞)上有唯一的零点,设为x 0,且x 0∈(-1,0),则x=x 0为f (x )的极小值点,也是最小值点,且e x 0=1x 0+3,即x 0=-ln(x 0+3),故f (x )≥f (x 0)=e x 0-ln(x 0+3)=1x 0+3+x 0>-12,故选B .8.已知函数f (x )满足e x (f'(x )+2f (x ))=√x ,f 12=12√2e,若对满足ab=32e 的任意正数a ,b 都有f (2x )<1a +1b ,则x 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) B .(-1,+∞) C .(0,1) D .(1,+∞),若e x [f'(x )+2f (x )]=√x ,则e 2x(f'(x )+2f (x ))=e x ·√x , 即(e 2x f (x ))'=e x ·√x ,设g (x )=e 2x f (x ),则f (x )=g (x )e 2x ,且g'(x )=e 2x(f'(x )+2f (x ))=e x ·√x , 则f'(x )=g (x )e 2x' =g '(x )e 2x -g (x )·(e 2x )'e 4x=g '(x )-2g (x )e 2x=√x ·e x -2g (x )e 2x, 令h (x )=√x ·e x -2g (x ),则h'(x )=(√x ·e x )'-2g'(x )=x 2√x,当x ∈0,12时,h'(x )≥0,h (x )单调递增, 当x ∈12,+∞时,h'(x )≤0,h (x )单调递减,则h (x )≤h12=√12·e 12-2g12=√2e2-2e f 12=0,即有f'(x )≤0,则函数f (x )在[0,+∞)内单调递减.又由1a +1b≥2√1ab=2√2e,当且仅当a=b=4√2e时等号成立,∵任意正数a,b都有f(2x)<1a +1b,则f(2x)<12√2e=f12,∴2x>12,解得x>-1,则不等式的解集为(-1,+∞).9.(多选题)已知函数f(x)=x ln x+x2,x0是函数f(x)的极值点,以下几个结论中正确的是()A.0<x0<1eB.x0>1eC.f(x0)+2x0<0D.f(x0)+2x0>0f(x)=x ln x+x2(x>0),∴f'(x)=ln x+1+2x,易知f'(x)=ln x+1+2x在(0,+∞)上单调递增,∵x0是函数f(x)的极值点,∴f'(x0)=0,即ln x0+1+2x0=0,而f'1e =2e>0,当x→0,f'(x)→-∞,∴0<x0<1e,即选项A正确,选项B不正确;f(x0)+2x0=x0ln x0+x02+2x0=x0(ln x0+x0+2)=-x0(x0-1)>0,即选项D正确,选项C不正确.选AD.10.(多选题)已知函数f(x)=sin x+x3-ax,则下列结论正确的是()A.f(x)是奇函数B.若f(x)是增函数,则a≤1C.当a=-3时,函数f(x)恰有两个零点D.当a=3时,函数f(x)恰有两个极值点A,f(x)=sin x+x3-ax的定义域为R,且f(-x)=sin(-x)+(-x)3+ax=-(sin x+x3-ax)=-f(x).故A正确.对B,f'(x)=cos x+3x2-a,因为f(x)是增函数,故cos x+3x2-a≥0恒成立,即a≤cos x+3x2恒成立.令g(x)=cos x+3x2,则g'(x)=6x-sin x,设h(x)=6x-sin x,h'(x)=6-cos x>0,故g'(x)=6x-sin x单调递增,又g'(0)=0,故当x<0时g'(x)<0,当x>0时g'(x)>0.故g(x)=cos x+3x2最小值为g(0)=1.故a≤1.故B正确.对C,当a=-3时,由f'(x)=cos x+3x2-a>0在R上恒成立知,f(x)是增函数,故不可能有两个零点,故C 错误.对D,当a=3时f(x)=sin x+x3-3x,f'(x)=cos x+3x2-3,令cos x+3x2-3=0,则有cos x=3-3x2.在同一坐标系中作出y=cos x,y=3-3x2的图象易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数f(x)恰有两个极值点.故D正确.故选ABD.11.已知函数f(x)=x3-3x+m,若关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,则实数m的取值范围是.-2,2]g(x)=x3-3x,x∈[0,2],则易知函数g(x)在[0,1]内单调递减,在[1,2]内单调递增, 又g(1)=-2,g(2)=2,g(0)=0,∴函数g(x)=x3-3x,x∈[0,2]的值域是[-2,2].∵关于x的方程f(x)=0在[0,2]上有根,则-m∈[-2,2],可得m∈[-2,2].12.已知函数f(x)=x2-2ln x,若关于x的不等式f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则实数m的取值范围是.-∞,e2-2]f(x)-m≥0得f(x)≥m,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=2x-2x =2(x2-1)x,当x∈[1,e]时,f'(x)≥0,此时,函数f(x)单调递增,所以f(1)≤f(x)≤f(e),即1≤f(x)≤e2-2,要使f(x)-m≥0在[1,e]上有实数解,则有m≤e2-2.13.已知函数y=x2(x>0)的图象在点(a k,a k2)处的切线与x轴交点的横坐标为a k+1,其中k∈N+.若a1=16,则a1+a3+a5的值是.y'=2x,则函数y=x2(x>0)在点(a1,a12)(a1=16)处(即点(16,256)处)的切线方程为y-256=32(x-16).令y=0,得a2=8.同理函数y=x2(x>0)在点(a2,a22)(a2=8)处(即点(8,64)处)的切线方程为y-64=16(x-8).令y=0,得a3=4,依次同理求得a4=2,a5=1.所以a1+a3+a5=21.14.已知函数f (x )=12x 2-a ln x (a ∈R ),(1)若f (x )在x=2时取得极值,求a 的值; (2)求f (x )的单调区间;(3)求证:当x>1时,12x 2+ln x<23x 3.(x )=x-ax ,∵x=2是一个极值点,∴2-a2=0,则a=4.此时f'(x )=x-4x =(x+2)(x -2)x,∵f (x )的定义域是(0,+∞), ∴当x ∈(0,2)时,f'(x )<0;当x ∈(2,+∞)时,f'(x )>0,∴当a=4时,x=2是一个极小值点,则a=4.f'(x )=x-ax =x 2-a x,∴当a ≤0时,f (x )的单调递增区间为(0,+∞).当a>0时,f'(x )=x-ax =x 2-a x=(x+√a )(x -√a )x,当0<x<√a 时,f'(x )<0,当x>√a 时,f'(x )>0,∴函数f (x )的单调递增区间为(√a ,+∞),递减区间为(0,√a ).g (x )=23x 3-12x 2-ln x ,∵x>1, ∴g'(x )=2x 2-x-1x=(x -1)(2x 2+x+1)x>0,∴g (x )在x ∈(1,+∞)上单调递增, ∴当x>1时,g (x )>g (1)=16>0, ∴当x>1时,12x 2+ln x<23x 3.学科素养创新练15.已知函数f (x )=x ln x-ax 2+(2a-1)x+a ,其中a 为常数. (1)当a=0时,求f (x )的极值;(2)当a ≥12时,求证:对∀x 1<x 2,且x 1,x 2∈(0,+∞),不等式ln (x 1+1)-lnx 1ln (x 2+1)-lnx 2>x 2+ax 1+a 恒成立.a=0时,f (x )=x ln x-x ,f'(x )=ln x ,∴当x ∈(0,1)时,f'(x )<0,即f (x )在(0,1)上单调递减;当x ∈(1,+∞)时,f'(x )>0,即f (x )在(1,+∞)上单调递增.∴f (x )的极小值为f (1)=-1,无极大值.(2)证明根据题意,要证明对∀x 1,x 2∈(0,+∞),且x 1<x 2,ln (x 1+1)-lnx 1ln (x 2+1)-lnx 2>x 2+a x 1+a,等价于证明(x 1+a )ln 1+1x 1>(x 2+a )ln 1+1x 2.设g (x )=(x+a )ln 1+1x ,由单调性的定义知要证明原不等式等价于证明g (x )=(x+a )ln 1+1x 在(0,+∞)上单调递减. 即证g'(x )=ln 1+1x -x+ax 2+x ≤0在(0,+∞)上恒成立, 即证ln 1+1x ≤x+a x 2+x .∵a ≥12,∴x+12x 2+x ≤x+ax 2+x , ∴只需证明ln 1+1x ≤x+12x 2+x ,等价于证明ln 1+1x -x+12x 2+x ≤0. 设h (x )=ln 1+1x -x+12x 2+x (x>0), 令t=1+1x ,则t>1,h (x )=g (t )=ln t-t 2-12t,只需证当t>1时,g (t )≤0.∵g'(t )=-(t -1)22t 2<0,∴g (t )单调递减,∴g (t )<g (1)=0,故原不等式成立.。
《导数及其应用》全章复习与巩固(提高)(理)巩固练习_
《导数及其应用》全章复习与巩固【巩固练习】 一、选择题1．曲线3()2f x x x =+-在0p 处的切线平行于直线41y x =-，则0p 点的坐标为（ ）A ．(1,0)B ．(2,8)C ．(1,0)和(1,4)--D ．(2,8)和(1,4)--2．函数y ＝2x 3－3x 2－12x ＋5在[0,3]上的最大值和最小值分别是( ) A ．5，－15B ．5,4C ．－4，－15D ．5，－163．若a ＞0，b ＞0，且函数f (x )＝4x 3－ax 2－2bx ＋2在x ＝1处有极值，则ab 的最大值等于( ) A. 2 B ．3 C ．6 D ．94．内接于半径为R 的半圆的周长最大的矩形的边长为（ ）．A ．2R 和32R B ．5R 和5R C ．45R 和75R D ．以上都不对 5. 已知二次函数f (x )的图像如图所示，则其导函数f ′(x )的图像大致形状是( )6. 设R a ∈，若函数x e yax 3+=，（R x ∈）有大于零的极值点，则（ ） A. 3a <- B. 3a >- C. 13a <- D. 13a >-7．已知f (x )＝x 3＋bx 2＋cx ＋d 在区间[－1,2]上是减函数，那么b ＋c ( ) A ．有最大值152 B ．有最大值－152 C ．有最小值152 D ．有最小值－152二、填空题8．函数()ln xf x x=的单调递减区间是_ _____． 9．．求由曲线1,2,===y x e y x 围成的曲边梯形的面积为___________．10. 函数32()3f x x a x a =-+（0a >）的极大值为正数，极小值为负数，则a 的取值范围 。
11、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是_______。
《变化率与导数、导数的应用》全章复习与巩固(理)_知识讲解_
《导数及其应用》全章复习与巩固【知识网络】【要点梳理】要点一：导数的概念及几何意义 导数的概念：函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，定义为：要点诠释： （1）()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆，它表示当自变量x 从0x 变1x ，函数值从()0f x 变到()1f x 时，函数值关于x 的平均变化率.当x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数.（2）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（3）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度． 导数的几何意义：要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆＝导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．要点诠释：0'()f x 表示函数()f x 在0x 处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度()t θ对时间t 的变化率；瞬时电流是电量()Q t 对时间t 的变化率；瞬时功率是功()W t 对时间t 的变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 基本初等函数的导数要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 和、差、积、商的导数要点诠释：（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±L L ． （2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦． 复合函数的导数设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅． 要点三：导数在研究函数性质中的应用 利用导数研究可导函数的单调性设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.（2）只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.利用导数研究可导函数的极值求函数()y f x =在其定义域内极值的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则()f x 在这个根处取得极大值；如果左负右正，则()f x 在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释：①注意极值．．与极值点．．．的区别：取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. ②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
2023年高中数学人教版选修导数及其应用知识点总结
数学选修2-2导数及其应用知识点必记1. 函数旳平均变化率是什么？答: 平均变化率为注1：其中是自变量旳变化量, 可正, 可负, 可零。
注2: 函数旳平均变化率可以看作是物体运动旳平均速度。
2.导函数旳概念是什么？答：函数在处旳瞬时变化率是, 则称函数在点处可导, 并把这个极限叫做在处旳导数, 记作或, 即= .3.平均变化率和导数旳几何意义是什么？答: 函数旳平均变化率旳几何意义是割线旳斜率；函数旳导数旳几何意义是切线旳斜率。
4导数旳背景是什么？答: （1）切线旳斜率；（2）瞬时速度；（3）边际成本。
6.用导数求函数单调区间旳环节是什么？答: ①求函数f(x)旳导数②令>0,解不等式, 得x旳范围就是递增区间.③令<0,解不等式, 得x旳范围, 就是递减区间；注: 求单调区间之前一定要先看原函数旳定义域。
7.求可导函数f(x)旳极值旳环节是什么？ 答: (1)确定函数旳定义域。
(2) 求函数f(x)旳导数 (3)求方程'()f x =0旳根(4) 用函数旳导数为0旳点, 顺次将函数旳定义区间提成若干小开区间, 并列成表格, 检查 在方程根左右旳值旳符号, 假如左正右负, 那么f(x)在这个根处获得极大值；假如左负右正, 那么f(x)在这个根处获得极小值；假如左右不变化符号, 那么f(x)在这个根处无极值8.运用导数求函数旳最值旳环节是什么？ 答: 求 在 上旳最大值与最小值旳环节如下: ⑴求)(x f 在[]b a ,上旳极值；⑵将 旳各极值与 比较, 其中最大旳一种是最大值, 最小旳一种是最小值。
注: 实际问题旳开区间唯一极值点就是所求旳最值点； 9. 求曲边梯形旳思想和环节是什么？答: 分割 近似替代 求和 取极限 （“以直代曲”旳思想） 10.定积分旳性质有哪些？根据定积分旳定义, 不难得出定积分旳如下性质： 性质1a b dx ba-=⎰1性质5 若 , 则 ①推广:②推广:121()()()()kbc c baac c f x dx f x dx f x dx f x dx =+++⎰⎰⎰⎰11定积分旳取值状况有哪几种？答: 定积分旳值也许取正值, 也也许取负值, 还也许是0. ( l ）当对应旳曲边梯形位于 x 轴上方时, 定积分旳值取正值, 且等于x 轴上方旳图形面积；（2）当对应旳曲边梯形位于 x 轴下方时, 定积分旳值取负值, 且等于x 轴上方图形面积旳相反数；（3）当位于x 轴上方旳曲边梯形面积等于位于x 轴下方旳曲边梯形面积时, 定积分旳值为0, 且等于x轴上方图形旳面积减去下方旳图形旳面积.12. 物理中常用旳微积分知识有哪些？答：（1）位移旳导数为速度, 速度旳导数为加速度。
2024新高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2节导数在研究函数中的应用第四课时导数与函数的零点学案
2024新高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2节导数在研究函数中的应用第四课时导数与函数的零点学案2024新高考数学一轮复习第三章导数及其应用第2节导数在研究函数中的应用第四课时导数与函数的零点学案导数是微积分中非常重要的概念之一，可以用来研究函数的变化趋势和特性。
在函数中，零点是指函数取零值的点，也就是函数的解。
导数与函数的零点之间存在着紧密的关系，在研究函数中的应用时，导数可以帮助我们找到函数的零点，从而解决实际问题。
一、知识复习1. 导数的定义：函数f(x)在点x0处的导数定义为f'(x0) = lim (h→0) (f(x0+h)-f(x0))/h2.导数与函数的图像的关系：-如果函数在点x0处导数存在且大于0，说明函数在此点附近单调递增；-如果函数在点x0处导数存在且小于0，说明函数在此点附近单调递减；-如果函数在点x0处导数存在且等于0，说明函数在此处可能存在极值点或拐点。
二、问题解决以一个具体的实际问题作为例子来解决。
【例题】一辆汽车以40km/h的速度直线行驶，汽车停下来需要多长时间？分析：题目要求我们求解汽车停下来所需要的时间，我们可以假设汽车从起点出发，任意时刻的位置可以表示为函数f(t)，t为时间，f(t)为位置。
假设起点的位置为0，汽车的初始速度为40km/h，即f'(0)=40。
我们知道速度的单位时间里程等于位移，所以根据导数的定义可以得到函数f(t)的导数：f'(t) = lim (h→0) (f(t+h)-f(t))/h根据题目中的条件可得：f'(0) = 40 = lim (h→0) (f(h)-f(0))/h令h→0，可得f(0)=0。
所以汽车停下来所需要的时间就是函数f(t)的零点，即f(t)=0。
三、例题解答【例题】已知函数y=f(x)的导函数为y=2x-3，且函数的零点是x=2，求函数f(x)。
解析：根据题目中已知的信息，我们知道f'(x)=2x-3，那么我们需要求解f(x)。
高中数学总复习课件+巩固提升+教师用书 (2)
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数就是 y＝f(x)在 x＝
瞬时变化率 x0 处的_____________
栏目 导引
第一章 导数及其应用
1. 对平均变化率的理解 (1)函数 f(x)应在 x1，x2 处有定义． (2)x2 在 x1 附近，即 Δx＝x2－x1≠0，但 Δx 可正可负． (3)注意变量的对应，若 Δx＝x2－x1，则 Δy＝f(x2)－f(x1)，而不 是 Δy＝f(x1)－f(x2)． (4)平均变化率可正可负，也可为零．但是，若函数在某区间上 的平均变化率为 0，不能说明该函数在此区间上的函数值都相 等．比如，f(x)＝x2 在区间[－2，2]上的平均变化率为 0，但 f(x) ＝x2 在[－2，2]上的图象先下降后上升，值域是[0，4]．
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第一章 导数及其应用
3．对导数概念的理解 (1)函数 y＝f(x)应在 x＝x0 及其附近有意义，否则导数不存在．
f（x0＋Δx）－f（x0） (2)若极限 lim 不存在，则称函数 y＝f(x) Δ x Δx→0 在 x＝x0 处不可导． (3)在点 x＝x0 处的导数的定义可变形为 f′(x0)＝ f（x0－Δx）－f（x0） f（x）－f（x0） lim 或 f′(x0)＝ lim . Δx→0 Δx→x －Δx x－x0
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第一章 导数及其应用
(1)求运动物体瞬时速度的三个步骤 第一步：求时间改变量Δ t 和位移改变量Δ s＝s(t0＋Δ t)－s(t0)； Δs － 第二步：求平均速度 v ＝ ； Δt Δs 第三步：求瞬时速度，当Δ t 无限趋近于 0 时， 无限趋近于 Δt 的常数 v 即为瞬时速度，即 v＝s′(t0)．
快慢 ． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的_______
2023-2024学年高二数学单元速记一元函数的导数及其应用(知识归纳+题型突破)(解析版)
一元函数的导数及其应用反思总结：切线问题注意判断“在型”和“过型”的区别；其中“在型”表示已知点就是切点；反思总结:切线问题注意判断“在型”和“过型”的区别；其中“过型”已知点一般当做非切点处理；巩固训练1．（2023下·北京·高二北京市第十二中学校考期末）过点为．【详解】()e 1xx x =+，求导可得：()f x '=处的切线方程为()110y x -=⨯-，整理可得：()ln xx x=，求导可得：()1g x x -'=处的切线方程为()011y x -=⨯-，整理可得AB 的斜率10101AB k -==--，易知：直线故答案为：2.函数与导函数图象间的关系A ．．．．【答案】A【详解】()2f x x =-+02x≤，轴下方的图象为函数0时，函数()g x ，故排除CD ；A ．．．．【答案】BA．．．．【答案】C【详解】由导函数的图象可知，函数的符号从左至右依次为负、正、负，则函数性从左至右依次为减、增、减，排除选项；()()''上单调递增；A ．()f x 有三个极值点C ．()f x 有一个极大值【答案】C【详解】解：()()g x x f x '=⋅，并结合其图象，可得到如下情况，像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()()21f f ->-B ．1x =是()f x 的极小值点C ．函数()f x 在()1,1-上有极大值D ．3x =-是()f x 的极大值点【答案】AD【详解】由()y f x '=的图象可知：当(,3)x ∈-∞-时，()0f x ¢>，所以函数()f x 单调递增；当(3,1)x ∈--时，()0f x '<，所以函数()f x 单调递减，因此有()()21f f ->-，3x =-是()f x 的极大值点，所以选项A 、D 正确；当(1,1)x ∈-，或(1,)x ∈+∞时，()0f x ¢>，所以函数()f x 单调递增，因此函数()f x 在()1,1-上没有极大值，且1x =不是()f x 的极小值点，所以选项B 、C 不正确，故选：AD2．（多选）（2022下·福建漳州·高二校考阶段练习）设函数()y f x =在R 上可导，其导函数为()y f x '=，且函数()()1y x f x '=-的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）A ．函数()y f x =在(),2-∞-上递减，在()2,+∞上递减B ．函数()y f x =在(),2-∞-上递增，在()2,+∞上递增C ．函数()y f x =有极大值()2f 和极小值()2f -D ．函数()y f x =有极大值()2f -和极小值()2f 【答案】BD-∞上单调递减，反思总结：函数在闭区间上一定有最值，在极值点或端点处取得，解题时比较极值和端点值的大小即可；，而()1e eg =，所以10ln ea <<令()ln ln xh x a x=-，因为()1ln 0h a =-<，()e h为自然对数的底数结合图象可得211e 2ea <<，所以实数a 的取值范围为211e 2ea <<.2．（2023上·福建莆田·高三莆田第四中学校考阶段练习）（由()()50g x x f x =>，得⎧⎨⎩数形结合可知不等式()g x >综上，不等式()0g x >的解集为故选：A ．。
导数及其应用复习完整版
《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1．在求平均变化率时，自变量的增量为（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆=D ． 0x ∆≠ 【答案】D2．函数f (x )＝2x 2－1在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 变式．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是__________.3． 下列求导正确的是 ( ) 【答案】BA.（x+x 1）′=1+21x B. (log2x)′=ln21x C. (3x)′=3xlog3xD. (x2cosx)′=－2xsinx4．下列说法正确的是（ ）A ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线；B ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线，则)(0x f '必存在；C ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在；D ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线。
【答案】C5．设,M m 分别是()f x 在区间[],a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，由上述估值定理，估计定积分2212x dx --⎰的取值范围是 ．【解析】：因为当12x -≤≤ 时，204x ≤≤ ，所以，212116x -≤≤所以由估值定理得：()()221121212116x dx --⨯--≤≤⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰， 即22132316x dx --≤≤⎰，所以答案应填：3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6．211dx x +=⎰⎰．【答案】ln 24π+ 题型二、导数的几何意义7．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 8．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．变式1．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.变式2．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6] 变式 3.已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16，则实数m 的值为 ．9．已知抛物线y ＝x 2，直线l ：x －y －2＝0，则抛物线上的点到直线l 的最短距离是 ． 变式.点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．题型三、导数的综合应用 类型1：导数的运算性质10.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-+∞ B ．(3,0)(0,3)- C ．(,3)(3,)-∞-+∞ D ．(,3)(0,3)-∞-变式1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0.设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是______ ．变式2．设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)变式3．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________． 变式4．定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，都有()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为（ ）A ．{}1x x ≠±B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-【解析】：当0x >时，由()()220f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得： ()()2220xf x x f x x -'-< 设：()()22g x x f x x =-，则()()()2220g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：∴()g x 在(0)+∞，单调递减，由()()2211x f x f x -<-∴()()2211x f x x f -<-，即()()1g x g <，即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-；综上可知：实数x 的取值范围为()()11-∞-⋃+∞，，，故选：B变式5．函数()f x 的定义域是R ，(0)3f =，对任意,()()1x R f x f x ∈+>/，则不等式()2x xe f x e ⋅>+的解集为（ ）A ．{|0}x x <B ．{|0}x x >C ．{|1,}x x x <->或1D ．{|1,1}x x x <-<<或0 【解析】∵()()1f x f x +>/，∴()()0xxxe f x e f x e +>>/，∴[()1]()0xxe f x e f x -+>/，即{[()1]}0x e f x '->，∴函数()[()1]x F x e f x =-在R 上单调递增，且0(0)[(0)1]2F e f =-=∴ ()2[()1]2x x x e f x e e f x ⋅>+⇔->，∴x>0，故选B类型2：单调性问题11．函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）DA ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 变式1．已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上不单调，实数a 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()()4,00,4- C ．()0,2 D ．()0,4【答案】D变式2．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()()sin cos f A fB > B ．()()sin cos f A f B <C ．()()sin sin f A f B >D ．()()cos cos f A f B < 12．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)变式1．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．变式2．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．变式3．函数32y x ax bx =++在(,1)-∞-上单调递增，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上递增，则,a b 的值为( ) AA 、3,62a b =-=-B 、36,2a b =-=- C 、3,2a b == D 、3,6a b =-=-变式4．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)13．已知f(x)=e x -ax-1.（1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】解 ： f ′(x)= e x -a.(1)若a ≤0，f ′(x)= e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x ＞0,∴a ≤0.[来源:Z §xx §] （3）由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立. ∵e x 在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤1，∴a=1.14．设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 【答案】解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.[所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得211a x a --<,或211a x a +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,)a a ---∞和211(,)a a +-+∞, 单调递减区间221111(,)a a a a--+-. ……………9分 ②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>得221111a a x a a +---<<； 由()0f x '<得211a x a +-<,或211a x a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)a a --+∞, 单调递增区间221111(,)a a a a+---. ……………12分 ④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.类型3：图像问题15．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ． D.【解析】：由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B 正确16．函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示， 则 ()f x 在(,)a b 内的极大值点有（ ）BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个变式1.如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能（ ）O thh t O h t O O t h变式2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )类型4：极值（最值）问题17．已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1，且曲线上一点02, 2p y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13. （1）曲线在P 点处的切线方程； （2）求函数()f x 的极大值和极小值【答案】解：（1）因为函数()313f x x ax b=-+在y 轴上的截距为1，所以1b = 又'2y x a =-，所以2211 236a a ⎛⎫-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭()311 136f x x x ∴=-+ 所以0212y f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故点2,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以切线方程为12132y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 即26620x y -+-=（2）由题意可得，令()'2106f x x =-=得66x =±列表如下：x6,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭66- 66,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭666,6⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+- 0 + ()f x增区间极大 减区间极小增区间所以函数的极大值为661f ⎛=+ ⎝⎭， 极小值为661f =⎝⎭18．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 经检验合题意；………4分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ，当0)(/<x f 时，10<<x ，)(x f 单调递减；当0)(/>x f 时，1>x ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ ……8分 （3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，列表略 依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c ………………12分 19.已知函数()()xf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在区间]2,1[上的最小值；（3）设)(')()(x f x f x g +=，当2523≤≤k 时，对任意]1,0[∈x ，都有λ≥)(x g 成立，求实数λ的范围。
2024新高考数学基础知识梳理与课本优秀题目巩固-模块07-导数及其应用
模块七：导数及其应用1、函数的平均变化率一般地,若函数y=f(x)的定义域为D ,且x1,x2∈D,x1≠x2,y1=f(x1),y2=f(x2),则称Δx=x2−x1为自变量的改变量; 称Δy=y2−y1 (或Δf=f(x2)−f(x1) ) 为相应的因变量的改变量; 称Δy Δx =y2−y1x2−x1(或ΔfΔx=f(x2)−f(x1)x2−x1)为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的平均变化率,其中“以x1,x2为端点的闭区间”,在x1<x2时指的是[x1,x2] ,而x1>x2时指的是 2平均变化率的实际意义是,在以x1,x2为端点的闭区间上,自变量每增加 1 个单位,因变量平均将增加ΔyΔx个单位. 因此,如果自变量增加ℎ个单位, 那么因变量将增加个单位. 个单位.说明: 在x1<x2时Δx>0 ; 在x1>x2时Δx<0 ;平均变化率作用: 刻画函数值在以x1,x2为端点的闭区间上变化的快慢依照定义可知, 函数在一个区间内的平均图 6-1-1变化率, 等于这个区间端点对应的函数图象上两点连线的斜率. 例如,图 6-1-1 中函数y=f(x)在[x1,x2]上的平均变化率,等于直线AB的斜率,其中A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)).因此, 平均变化率近似地刻画了函数对应的曲线 (即函数图象) 在某一区间上的变化趋势, 是曲线倾斜程度的“数量化”, 曲线的倾斜程度是平均变化率的“直观化”.2、瞬时变化率与导数(1) 函数在某点处的导数:如果当Δx→0时,平均变化率ΔyΔx 无限趋近于一个确定的值,即ΔyΔx有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(derivative) (也称为瞬时变化率),记作f′(x0)或y′|x=x,即f′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0f(x0+Δx)−f(x0)Δx.(2) 导数的几何意义1)2) 曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)) (也称在x=x0处) 的切线方程是: 3、导函数 (简称导数)一般地,如果函数y=f(x)在其定义域内的每一点x都可导,则称f(x)可导. 此时,对定义域内的每一个值x ,都对应一个确定的导数f′(x) . 于是,在f(x)的定义域内, f′(x)是一个函数,这个函数通常称为函数y=f(x)的导函数,记作f′(x) (或y′,y x′ ),即f′(x)=y′=y x′=limΔx→0f(x+Δx)−f(x)Δx.4、导数公式表(1) C′= (2) (xα)′= (3) (1x )′= (4) (√x)′= (5) (1x n)′=(6) (a x)′= (8) (log a x)′= (9) (lnx)′= (10) (sinx)′=−3 ; (11) (cosx)′=5、导数的四则运算(1) [f(x)±g(x)]′=(3) [f(x)g(x)]′= ; (4) [c⋅f(x)]′=4、复合函数的求导法则一般地,如果函数y=f(u)与u=g(x)的复合函数为y=ℎ(x)=f(g(x)),则可以证明,复合函数的导数ℎ′(x)与f′(u),g′(x)之间的关系为ℎ′(x)=[f(g(x))]′=f′(u)g′(x)=f′(g(x))g′(x).这一结论也可以表示为y x′=y u′u x′.5、导数与函数的单调性(1) 在某个区间(a,b)内,如果f′(x)=0 ,那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递增; 如果f′(x)=0 , 那么函数y=f(x)在区间(a,b)内单调递减;特别说明: 在某个区间(a,b)内恒有f′(x)=0 ,函数y=f(x)在区间(a,b)内是一个常函数.结合函数f(x)=x3研究: 如果函数f(x)在区间(a,b)内单调递增,那么在区间(a,b)内必有f′(x)>0吗?(2) 函数y=f(x)的导函数是f′(x) . 若函数单调递增,则 : 若函数单调递减,则(3) |f′(x)|的大小表示函数值的变化快慢,图象的陡缓:6、导数与函数的极值(1) 函数的极值一般地,设函数y=f(x)的定义域为D ,设x0∈D ,如果对于x0附近的任意不同于x0的x (1),都有(1) f(x)<f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个极大值点,且f(x)在x0处取极大值;(2) f(x)>f(x0) ,则称x0为函数f(x)的一个极小值点,且f(x)在x0处取极小值.说明: 极大值点与极小值点都称为极值点, 极大值与极小值都称为极值.(2) 导数与极值如果x0是函数y=f(x)的极值点,且f(x)在x0处可导,则必有: f′(x0)一般地,设函数f(x)在x0处可导,且f′(x0)=0 .(1) 如果对于x0左侧附近的任意x ,都有f′(x)>0 ,对于x0右侧附近的任意x ,都有f′(x)<0 ,那么此时x0是f(x)的极大值点.(2) 如果对于x0左侧附近的任意x ,都有f′(x)<0 ,对于x0右侧附近的任意x ,都有f′(x)>0 ,那么此时x0是f(x)的极小值点.(3) 如果f′(x)在x0的左侧附近与右侧附近均为正号 (或均为负号), 则x0一定不是y=f(x)的极值点.说明: (1)若f′(x0)存在,则“ f′(x0)=0” 是“ x0是函数y=f(x)的极值点” 的条件.(2)区间端点不是极值点, 一个函数在定义域内可以有多个极大值和极小值, 极大值不一定大于极小值;(3)在区间上单调函数没有极值;7、导数与函数的最大值和最小值(1) 最值定理一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2) 极值与最值的关系一般地,如果函数y=f(x)在定义域内的每一点都可导,且函数存在极值,则函数的最值点一定是某个极值点; 如果函数y=f(x)的定义域为[a,b]且存在极值,函数y=f(x)在(a,b)内可导,那么函数的最值点要么是区间端点a或b ,要么是极值点.(3) 求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤:(1) 求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;(2) 将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.8、重要母函数的图象和性质解析式f (x)=xe xf(x)=xe xf(x)=e xx图像定义域(−∞,+∞)(−∞,+∞)(−∞,0)∪(0+∞)解析式f(x)=xlnx f(x)=xlnx f(x)=lnxx图像∫f(x)=lnxx定义域(0,+∞)(0,1)∪(1,+∞)(0,+∞)9、常用于求或恒成立、或有解、或无解命题中的参数取值范围:设函数f(x)的值域为(a,b)或[a,b]或(a,b]或[a,b)中之一种,则(1)若λ≥f(x)恒成立 (即λ<f(x)无解),则λ≥[f(x)]max ;(2) 若λ≤f(x)恒成立 (即λ>f(x)无解),则λ≤[f(x)]min ;(3) 若λ≥f(x)有解 (即存在x使得λ≥f(x)成立),则λ≥[f(x)]min ;(4)若λ≤f(x)有解 (即存在x使得λ≤f(x)成立),则λ≤[f(x)]max ;(5)若λ=f(x)有解 (即λ≠f(x)无解),则λ∈{y∣y=f(x)} ;(6)若λ=f(x)无解 (即λ≠f(x)有解),则λ∈U{y∣y=f(x)} .【导数中的重要方法总结】⋆1、切线问题:(1) 已知切点(x0,f(x0)) ,求切线方程的解题步骤:(1) 求导数值f′(x) ; (2) 切线方程为: y−f(x0)=f′(x)(x−x0) .(2) 过点(a,b)的切线方程求解步骤:(1) 设切点(x0,f(x0)) ; (2)切线斜率为: f(x0)−bx0−a=f′(x0)⇒x0 (3) 方程为: y−f(x0)=f′(x)(x−x0) ;(3) 求y=f(x)与y=g(x)的公切线的步骤:(1)设切点(x1,f(x1)),(x2,g(x2)) ; (2)求导列关系式k=f(x1)−g(x2)x1−x2=f′(x1)=g′(x2)(3)根据上面的关系式解出x1或x2 ; (4) 回代入(2)中求出k ,如k=f′(x1) ;(5)利用点斜式求出切线,如y−f(x1)=f′(x1)(x−x1) .○ 2、参数取值范围:(1) 函数定义域: 解决函数问题, 定义域优先.(2) 分离参量: 利用分离参量的思路将题目给的参数移到一边. a≤ℎ(x)(3) 恒成立和成立问题:(1)恒成立: f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a; f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a ;(2)成立: f(x)<a成立⇔f(x)min<a f(x)>a成立⇔f(x)max>a(4) 导函数零点可求: 导函数零点可求时, 运用常规方法可求得函数最值, 进而可得参数取值范围. 步骤: f(x)定义域→f′(x)→求f′(x)零点→列表→判断增减性→得最值.※ 3、导函数零点不可求的处理方法: 需要单独设分子为新函数, 求导推出原函数单调性. (1)分类讨论法 (证明不等式成立): 通过对原函数或者导函数进行因式分解, 对局部函数进行研究, 找出参数分界值, 在分段区间上证明题意成立, 从而印证该区间参数可以取到单调性讨论: 分离出参量后, 构造新函数, 求新函数最值, 若新函数的导函数零点不可求往往需要对分式分子进行求导 (整式直接进行二阶求导), 若得到的式子不能比较直观的判断正负则继续求导, 直到得到的式子能比较直观判断正负, 进而推出前面几阶导数的增减和正负, 直到可以确定原函数增减性. (2)分离参量法:(1) 隐零点: 通过虚设零点进行等量代换求解函数的最值.“虚设代换 "法: 导函数f′(x)的零点无法求出显性的表达时,可以利用设而不求的思想.(1) 在证明零点存在后,假设零点为x a ,则可得到一个关于x o的方程f′(x o)=0(2) 根据f′(x)的单调性,得出x o两侧的正负,进面得出原函数的单调性和极值f(x o) ;(3) 将(1)式中关于x o的方程整体或局部代入f(x o) ,从而求得f(x o) ,然后解决相关问题. 注意: 使用f′(x o)=0进行 "指幂代换 "(或 "对幂代换 "),尽最转化为幂函数进行讨论. (2) 洛必达法则: 在驻点不可求时, 往往需要讨论函数的增减性, 这时, 函数的最值往往在间断点处取得, 所以需要通过极限计算的方法求出函数的最值. 求极限时, 函数的极限如果满足未定式00、∞∞. 则需通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值.即:lim f(x)g(x)=limf′(x)g′(x)○ 4、证明单变量不等式(1) 核心考点: 主要思路是把问题转化为函数最值问题,譬如证明f(x)>g(x) :策略一: 移项,构造函数,证明(f(x)−g(x))min>0 ;策略二: 放缩,证明f(x)≥l(x)>g(x) ,一般l(x)为切线;策略三: 变形,证明f(x)min>g(x)max ,该法并非通法,但有时对证明有意想不到的效果.(2) 函数放缩化曲为直: 在处理函数不等式或者求解函数近似解中, 由于原函数比较复杂, 常用化曲为直的方法进行放缩, 以曲线上某点处的切线进行放缩, 前提条件是放缩对象具有凹凸性 (二阶导恒大于或小于 0 ).常见的化曲为直有:基础指数切线放缩: e x≥x+1对数切线放缩: lnx≤x−1引深(1) e x−1≥x、e x≥ex (切横x=1 )(2) e x+a≥x+a+1 (用x+a替换x ,切点横坐标是x=−a ), (3) xe x≥x+lnx+1 . (用x+lnx替换x ,切点横坐标满足x+lnx=0). (4) e x≥e24x2>x2(x>0) (用x2替换x ,切点横(1) lnx≤xe. (用xe替换x ,切点横坐标是x=e) (2) lnx≥1−1x. (用1x替换x ,切点横坐标x=1) ,或者记为xlnx≥x−1 . (3) lnx≤x2−x. (lnxx≤x−1) . (4) ln(x+1)≤x ,由lnx≤x−1向左平移一个单位,或基础 指数切线放缩: e x ≥x +1对数切线放缩: lnx ≤x −1 坐标是 x =2 ); 有 e x n ≥e ⋅x n (x >0) 的构造模型. 者将 e x ≥x +1 两边取对数 而来.○ 5、证明双变量不等式(1) 利用变量之间的关系转化 (消元或捆绑换元) 为单变量的不等式证明;(1)当 x 1<x 2 时,令 t =x 2−x 1,t ∈(0,+∞) ; (2)当 0<x 1<x 2 ,令 t =t1t 2∈(0,1) . (2) 分拆变量, 证明极值点偏移(1) 极值点偏移: 对 f (x ) 有 f (x 1)=f (x 2)(x 1<x 2),x 0 是函数 f (x ) 的极值点,且 x 0∈(x 1,x 2)若 x 1+x 22<x 0 ,称为极值点右偏; 若 x 1+x 22>x 0 称为极值点左偏.(2)分拆变量利用单调性证明极值点偏移的思路 (以 x 1+x 2<2x 0 为例): i 、将所证不等式中的变量分到不等式的两边 (x 1<2x 0−x 2) ;ii 、构造对称函数 g (x )=f (x )−f (2x 0−x 2) ;iii 、利用导数研究函数 g (x ) 的单调性 (单调递增);iv 、由函数 g (x ) 的单调性判断 g (x ) 与 g (x 0) 的大小 (g (x 2)>g (x 0)=0) ; v 、利用 f (x ) 单调性反推变量大小,从而 (f (x 1)=f (x 2)>f (2x 0−x 2)⇒x 1+x 2<2x 0) (3)对数平均不等式: 两个正数 a 和 b 的对数平均定义: L (a,b )={a−b lna−lnb (a ≠b )a (a =b ).,对数平 均与算术平均、几何平均的大小关系: √ab ≤L (a,b )≤a+b 2 此式记为对数平均不等 式. 取等条件: 当且仅当 a =b 时,等号成立.(3)双变量恒成立、能成立问题的最值等价条件:(1) ∀x 1∈A,∀x 2∈B ,使得: f (x 1)≥g (x 2) ,则: f (x )min ≥g (x )max ;(2) ∀x 1∈A,∃x 2∈B ,使得: f (x 1)≥g (x 2) ,则: f (x )min ≥g (x )min ;(3) ∃x 1∈A,∀x 2∈B ,使得: f (x 1)≥g (x 2) ,则: f (x )max ≥g (x )max ;(4) ∃x 1∈A,∃x 2∈B ,使得: f (x 1)≥g (x 2) ,则: f (x )max ≥g (x )min ;(5) ∀x 1,x 2∈A ,使得: |f (x 1)−f (x 2)|≤a ,则: f (x )max −f (x )min ≤a ;(6) ∃x 1,x 2∈A ,使得: |f (x 1)−f (x 2)|≥a ,则: f (x )max −f (x )min ≥a ;○ 6 、抽象函数的导函数构造(1)xf ′(x )+f (x )>0⇔[xf (x )]′>0;xf ′(x )−f (x )>0⇔[f (x )x]′>0 当 x >0 时, xf ′(x )+nf (x )>0⇔[x n f (x)]′>0;xf ′(x )−nf (x )>0⇔[f (x )x n ]′>0(2) f ′(x )+f (x )>0⇔[e x f (x )]′>0;f ′(x )−f (x )>0⇔[f (x )e x ]′>0f ′(x )+f (x )>a ⇔[e x (f (x )−a )]′>0 ;f ′(x )−f (x )>a ⇔[(f (x )+a )e x]′>0 sinxf ′(x )+cosxf (x )>0x ∈(−π2,π2)tanxf ′(x )+f (x )>0}⇔[sinxf (x )]′>0 sinxf ′(x )−cosxf (x )>0x ∈(−π2,π2), tanxf ′(x )−f (x )>0}⇔[f (x )sinx ]′>0 cosxf ′(x )−sinxf (x )>0f ′(x )−tanxf (x )>0}⇔[cosxf (x )]′>cosxf ′(x )+sinxf (x )>0x ∈(−π2,π2), f ′(x )+tanxf (x )>0}⇔[f (x )cosx ]′>0 【课本优质习题汇总】新人教 A 版选择性必修二 P70(第 2 题)2. 函数f(x)的图象如图所示,下列数值排序正确的是 ( ).(A) f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 (B) f′(1)<f′(2)<f′(3)<0(C) 0<f′(1)<f′(2)<f′(3) (D) f′(1)>f′(2)>0>f′(3)新人教 A 版选择性必修二 P816. 已知函数f(x)满足f(x)=f′(π4)sinx−cosx ,求f(x)在x=π4处的导数.7. 设函数f(x)=1−e x的图象与x轴相交于点P ,求该曲线在点P处的切线方程.8. 已知函数f(x)=x22+2x−3lnx ,求f(x)的导数,并求出f′(x)>0的解集.新人教 A 版选择性必修二 P8211. 设曲线y=e2ax在点(0,1)处的切线与直线2x−y+1=0垂直,求a的值.新人教 A 版选择性必修二 P942. 证明不等式: x−1≥lnx,x∈(0,+∞) . 新人教 A 版选择性必修二 P987. 将一条长为l的铁丝截成两段,分别弯成两个正方形. 要使两个正方形的面积和最小,两段铁丝的长度分别是多少?8. 将一个边长为a的正方形铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,做成一个无盖方盒.(1) 试把方盒的容积V表示为x的函数;(2) x多大时,方盒的容积V最大?新人教 A 版选择性必修二 P989. 用测量工具测量某物体的长度,由于工具的精度以及测量技术的原因,测得n个数据a1,a2,a3,⋯,a n.证明: 用n个数据的平均值x=1n∑a ini=1表示这个物体的长度,能使这n个数据的方差f(x)=1n∑(x−a i)2ni=1最小.新人教 A 版选择性必修二 P9911. 已知某商品进价为a元/件,根据以往经验,当售价是b(b≥43a)元/件时,可卖出c件. 市场调查表明,当售价下降10%时,销量可增加40% . 现决定一次性降价,售价为多少时,可获得最大利润?12. 利用函数的单调性, 证明下列不等式, 并通过函数图象直观验证:(1) e x>1+x,x≠0 ; (2) lnx<x<e x,x>0 . 新人教 A 版选择性必修二 P103 3. 已知函数y=f(x)的图象是下列四个图象之一,且其导函数y=f′(x)的图象如图所示,则该函数的图象是 ( ).(第 3 题)(A)(D)(B) (C)6. 一杯80∘C的热红茶置于20∘C的房间里,它的温度会逐渐下降,温度T(单位: ’C’)与时间t (单位: min)之间的关系由函数T=f(t)给出.(1) 判断f′(t)的正负,并说明理由.(2) f′(3)=−4的实际意义是什么? 如果f(3)=65∘C ,你能画出函数f(t)在t=3时图象的大致形状吗?新人教 A 版选择性必修二 P10411. 如图,直线l和圆P ,当l从l0开始在平面上按逆时针方向绕点O匀速转动 (转动角度不超过90∘ ) 时,它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数. 这个函数的图象大致是 ( ).(第 11 题)(A)(B)(C)(D)新人教 A 版选择性必修二 P104的大致图象.17. 作函数y=e x(2x−1)x−118. 已知函数f(x)=e x−ln(x+m) . 当m≤2时,求证f(x)>0 .19. 已知函数f(x)=ae2x+(a−2)e x−x .(1) 讨论f(x)的单调性; (2) 若f(x)有两个零点,求a的取值范围. 新人教 B 版选择性必修三 P67(第 5 题)6 已知甲、乙两人百米赛跑路程与时间的关系如图所示.(1) 甲、乙两人的平均速度各是多少?(2) 在接近终点时, 甲乙两人谁的速度更快?新人教 B 版选择性必修三 P90(3) 已知曲线y=x24−3lnx+1的一条切线的斜率为12,求切点的横坐标.(4) 求f(x)=(x2−3x+1)e x的导数,并求出曲线y=f(x)的平行于x轴的切线的切点坐标.新人教 B 版选择性必修三 P91(5) 设l是曲线y=1x的一条切线,证明l与坐标轴所围成的三角形的面积与切点无关.(6) 求满足下列条件的直线l的方程.(1) 过原点且与曲线y=lnx相切;(2) 斜率为e且与曲线y=e x相切.(7) 设曲线y=2x3在(a,2a3)处的切线与直线x=a,y=0所围成的三角形面积为13,求a的值.(3) 已知函数f(x)=4x2 ,且曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为l , 直线m 平行于直线l且过点(0,−6) .(1) 求出直线l与m的方程;(2) 指出曲线y=f(x)上哪个点到直线m的距离最短,并求出最短距离.(9) 已知f(x)=√x ,求f(9.05)的近似值.新人教 B 版选择性必修三 P91(3) 已知抛物线C1:y=x2+2x和C2:y=−x2+a ,如果直线l同时是C1和C2的切线,称l是C1和C2的公切线,则a取什么值时, C1和C2有且仅有一条公切线? 写出此公切线的方程.新人教 B 版选择性必修三 P102(1) 已知函数f(x)=x3−x2−x−1的图象与直线y=c有 3 个不同的交点,求实数c的取值范围.(5) 已知e x≥kx+1恒成立,求k的取值范围.(3) 已知函数y=k(x−1)与y=lnx的图象有且只有一个公共点,求k的取值范围. 新人教 B 版选择性必修三 P102(1) 利用导数求一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的单调区间与最值.(2) 若函数f(x)=−x3+ax2+bx+1在x=1时有极值,试求函数f(x)的极值, 并求函数f(x)在区间[−3,32]上的最值.新人教 B 版选择性必修三 P108(1) 已知正方形ABCD的边长为 1,而E,F,G,H分别是AB,BC,CD , DA 上的点,且四边形EFGH也是正方形,求四边形EFGH面积的最小值.(2) 在等腰梯形ABCD中,已知上底CD=40 ,腰AD=40 ,则AB为多少时等腰梯形的面积最大?(3) 已知等腰三角形的周长为2p ,将该三角形围绕底边旋转一周形成几何体,则三角形的各边长分别是多少时所得几何体的体积最大?(4) 要做一个容积为216mL的圆柱形封闭容器,高与底面直径分别为何值时,所用材料最省?(5) 若x1,x2,⋯,x n是一组已知数据,令s(x)=(x−x1)2+(x−x2)2+⋯+(x−x n)2,用导数求x取何值时s(x)取得最小值.新人教 B 版选择性必修三 P1135. 已知a>0且f(x)=ax+a−2x+2−2a ,若f(x)≥2lnx在[1,+∞)上恒成立,求实数a的取值范围.6. 若函数f(x)=x2−12lnx+1在其定义域内的一个子集(a−1,a+1)内存在极值,求实数a的取值范围.7. 已知f(x)=e x−ax ,(1) 求f(x)与y轴的交点A的坐标;(2) 若f(x)的图象在点A处的切线斜率为 -1,求f(x)的极值.8. 已知x轴为函数f(x)=x3+ax+14的图象的一条切线,求实数a的值.新人教 B版选择性必修三 P1139. 求曲线y=ln1+x1−x在x=0处的切线方程.10. 函数f(x)=xsinx,x∈[−π,π]的图象大致是( ) .(A)(B)(C)(D)11. 设函数f(x)={x 3−3x,x≤a,−2x,x>a.(1) 若a=0 ,求f(x)的最大值;(2) 若f(x)无最大值,求实数a的取值范围.12. 要在半径为0.5m的圆桌中心正上方安装一个吊灯,已知桌面上灯光的强度可以用y=k sinφr2表示,其中r是灯与桌面上被照点的距离, φ是光线与桌面的夹角. 为使桌边最亮, 吊灯应离桌面多高?13. 设函数f(x)=√x2+1−ax ,其中a>0 ,若函数f(x)在[0,+∞)上是减函数,试求实数a的取值范围.新人教 B 版选择性必修三 P11414. 证明: 当x>0时, ln(1+x)<x .15. 已知函数f(x)=x3+bx2+cx+d在(−∞,0]上是增函数,在[0,2]上是减函数,且方程f(x)=0有 3 个实数根,它们分别是α,β,2 .(1) 求实数c的值;(2) 求证: f(1)≥2 ;(3) 求|α−β|的取值范围.新人教 B 版选择性必修三 P1141. 设函数f(x)=x3+ax2+bx+c ,(1) 求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2) 设a=b=4 ,若函数f(x)有 3 个不同零点,求实数c的取值范围;(3) 求证: a2−3b>0是f(x)有 3 个不同零点的必要不充分条件.2. 若函数f(x)在R上可导,且满足f(x)−xf′(x)>0 ,判断3f(1)与f(3)的大小.新人教 B 版选择性必修三 P1143. 设函数f(x)=xe a−x+bx ,曲线y=f(x)在(2,f(2))处的切线方程为y= (e-1) x+4 .(1) 求实数a,b的值;(2) 求f(x)的单调区间.4. 已知函数f(x)=ax3−3x2+1 ,若f(x)存在唯一的零点x0 ,且x0>0 ,求a的取值范围.5. 已知函数f(x)=e x(2x−1)−ax+a ,其中a<1 ,若存在唯一的整数x0使得f(x0)<0 ,求实数a的取值范围.6. 令f(x)=x2+x−1 ,对抛物线y=f(x) ,持续实施下面牛顿切线法的步骤:在点(1,1)处作抛物线的切线交x轴于(x1,0) ;在点(x1,f(x1))处作抛物线的切线,交x轴于(x2,0) ;在点(x2,f(x2))处作抛物线的切线,交x轴于(x3,0) ;......由此能得到一个数列{x n} ,回答下列问题.(1) 求x1的值;(2) 设x n+1=g(x n) ,求g(x n)的解析式;(3) 用二分法求方程的近似解, 给出前 4 步结果. 比较牛顿切线法和二分法的求解速度.7. 求证: x≥0时,有xe−x≤ln(1+x) .。
导数内容巩固与练习
浆水中学 数学 （学科）自主探究学案内容： 导数及其应用 课时： 2 年级： 高二 编号： 045 主编： 梁爱堂一、自主学习任务1. 曲线上某点的导数的几何意义是_______，如：3x y =上在x=2处导数值为___，过此点的切线方程为__________，由此总结求切线方程的步骤①求斜率、②找点、③写方程（点斜式）2. 运动的物体，在某处的导数指瞬时变化率，即相当运动员在某时刻的__________，如：物体沿直线运动，经t 秒后距离为23423541t t t s +-=，则速度为零的时刻是__________ 3. 导数公式：()()()()_______'cos _______,'sin ______,'______,'====x x x c n ()()()()________'ln _______,'log ________,'_______,'====x x e a ax x 法则：[]________________')()(__,__________')()(=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=x g x f x g x f []______')(=x cf 求下列导数： ()()____'tan 5_______,'sin 1____,'4____,)'3(sin ____,)'(5==⎪⎭⎫ ⎝⎛===x x x x π ()()___________'cos sin _________,'ln ,__________'cos ==⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x x x x e x 4. 在区间(a,b)内，若0)('>x f ，则函数呈单调_____；若0)('<x f ，则函数呈单调_____，如：①若)4)(2()('--=x x x f ，则原函数的递增区间_________，递减区间________；xx x f 1)('-=，那么原函数的递减区间是______________②12432)(23+-+=x x x x f ，它的递增区间为_________递减区间为__________5. 函数的极值刻画的是函数的_____性质，而最值是针对 函数整个______而言，若函数在x=x 0处呈现________（即左侧______右侧_____），则x 0处呈极大值；反之呈现_________，则函数呈极小值，最值的求得需用端点处函数值与极值点函数值比较而得出。
学高中数学导数及其应用章末综合提升教师用书教案新人教A版选修
第１章导数及其应用[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]导数的几何意义３（１）求曲线y＝f（x）在点（２，—6）处的切线方程；（２）直线l为曲线y＝f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；（３）如果曲线y＝f（x）的某一切线与直线y＝—错误!x＋３垂直，求切点坐标与切线的方程．[解] （１）∵f′（x）＝（x３＋x—１6）′＝３x２＋１，∴f（x）在点（２，—6）处的切线的斜率为k＝f′（２）＝１３．∴切线的方程为y＝１３（x—２）＋（—6），即y＝１３x—３２．（２）法一：设切点为（x0，y0），则直线l的斜率为f′（x0）＝３x错误!＋１，∴直线l的方程为y＝（３x错误!＋１）（x—x0）＋x错误!＋x0—１6．又∵直线l过点（0,0），∴0＝（３x错误!＋１）（—x0）＋x错误!＋x0—１6．整理得，x错误!＝—8，∴x0＝—２．∴y0＝（—２）３＋（—２）—１6＝—２6．k＝３×（—２）２＋１＝１３．∴直线l的方程为y＝１３x，切点坐标为（—２，—２6）．法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为（x0，y0），则k＝错误!＝错误!，又∵k＝f′（x0）＝３x错误!＋１，∴错误!＝３x错误!＋１．解得，x0＝—２，∴y0＝（—２）３＋（—２）—１6＝—２6．k＝３×（—２）２＋１＝１３．∴直线l的方程为y＝１３x，切点坐标为（—２，—２6）．（３）∵切线与直线y＝—错误!＋３垂直，∴切线的斜率k＝４．设切点坐标为（x0，y0），则f′（x0）＝３x错误!＋１＝４，∴x0＝±１．∴错误!或错误!即切点为（１，—１４）或（—１，—１8）．切线方程为y＝４（x—１）—１４或y＝４（x＋１）—１8．即y＝４x—１8或y＝４x—１４．１．导数的几何意义的应用：利用导数的几何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程y—y0＝f′（x0）（x—x0），明确“过点P（x0，y0）的曲线y＝f（x）的切线方程”与“在点P（x0，y0）处的曲线y＝f（x）的切线方程”的异同点．２．围绕着切点有三个等量关系：切点（x0，y0），则k＝f′（x0），y0＝f（x0），（x0，y0）满足切线方程，在求解参数问题中经常用到．[跟进训练]１．直线y＝kx＋b与曲线y＝x３＋ax＋１相切于点（２,３），则b＝________.—１５[∵y＝x３＋ax＋１过点（２,３），∴a＝—３，∴y′＝３x２—３，∴k＝y′|x＝２＝３×４—３＝9，∴b＝y—kx＝３—9×２＝—１５．]函数的单调性与导数对任意正数a，b，若a＜b，则必有（）Ａ．af（b）＜bf（a）Ｂ．bf（a）＜af（b）Ｃ．af（a）＜bf（b）Ｄ．bf（b）＜af（a）（２）设f（x）＝a ln x＋错误!，其中a为常数，讨论函数f（x）的单调性．（１）A[令F（x）＝错误!，则F′（x）＝错误!.又当x＞0时，xf ′（x）—f （x）≤0，∴F′（x）≤0，∴F（x）在（0，＋∞）上单调递减．又a＜b，∴F（a）＞F（b），∴错误!＞错误!，∴bf （a）＞af （b），故选Ａ．]（２）[解] 函数f （x）的定义域为（0，＋∞）．f ′（x）＝错误!＋错误!＝错误!.当a≥0时，f ′（x）＞0，函数f （x）在（0，＋∞）上单调递增．当a＜0时，令g（x）＝ax２＋（２a＋２）x＋a，由于Δ＝（２a＋２）２—４a２＝４（２a＋１），１当a＝—错误!时，Δ＝0，f ′（x）＝错误!≤0，函数f （x）在（0，＋∞）上单调递减．２当a＜—错误!时，Δ＜0，g（x）＜0，f ′（x）＜0，函数f （x）在（0，＋∞）上单调递减．３当—错误!＜a＜0时，Δ＞0．设x１，x２（x１＜x２）是函数g（x）的两个零点，则x１＝错误!，x２＝错误!，由x１＝错误!＝错误!＞0，所以x∈（0，x１）时，g（x）＜0，f ′（x）＜0，函数f （x）单调递减，x∈（x１，x２）时，g（x）＞0，f ′（x）＞0，函数f （x）单调递增，x∈（x２，＋∞）时，g（x）＜0，f ′（x）＜0，函数f （x）单调递减，综上可得：当a≥0时，函数f （x）在（0，＋∞）上单调递增；当a≤—错误!时，函数f （x）在（0，＋∞）上单调递减；当—错误!＜a＜0时，函数f （x）在错误!，错误!上单调递减，在错误!上单调递增．利用导数确定参数的取值范围时，要充分利用f （x）与其导数f ′（x）之间的对应关系，然后结合函数的单调性等知识求解．求解参数范围的步骤为：（１）对含参数的函数f （x）求导，得到f ′（x）；（２）若函数f （x）在（a，b）上单调递增，则f ′（x）≥0恒成立；若函数f （x）在（a，b）上单调递减，则f ′（x）≤0恒成立，得到关于参数的不等式，解出参数范围；（３）验证参数范围中取等号时，是否恒有f ′（x）＝0．若f ′（x）＝0恒成立，则函数f （x）在（a，b）上为常函数，舍去此参数值．[跟进训练]２．若函数f （x）＝错误!x３—错误!ax２＋（a—１）x＋１在区间（１,４）上为减函数，在区间（6，＋∞）上为增函数，试求实数a的取值范围．[解] 函数f （x）的导数f ′（x）＝x２—ax＋a—１．令f ′（x）＝0，解得x＝１或x＝a—１．当a—１≤１，即a≤２时，函数f （x）在（１，＋∞）上为增函数，不合题意．当a—１＞１，即a＞２时，函数f （x）在（—∞，１）上为增函数，在（１，a—１）上为减函数，在（a—１，＋∞）上为增函数．依题意当x∈（１,４）时，f ′（x）＜0，当x∈（6，＋∞）时，f ′（x）＞0．故４≤a—１≤6，即５≤a≤7．因此a的取值范围是[５,7]．函数的极值、最值与导数３２y＝0平行．（１）求函数f （x）的解析式；（２）求函数f （x）在区间[0，t]（0＜t＜３）上的最大值和最小值．[解] （１）因为f ′（x）＝３x２＋２ax，曲线在P（１,0）处的切线斜率为f ′（１）＝３＋２a，即３＋２a＝—３，a＝—３．又函数过（１,0）点，即—２＋b＝0，b＝２．所以a＝—３，b＝２，f （x）＝x３—３x２＋２．（２）由f （x）＝x３—３x２＋２，得f ′（x）＝３x２—6x.由f ′（x）＝0，得x＝0或x＝２．１当0＜t≤２时，在区间（0，t）上，f ′（x）＜0，f （x）在[0，t]上是减函数，所以f （x）max ＝f （0）＝２，f （x）min＝f （t）＝t３—３t２＋２．２当２＜t＜３时，当x变化时，f ′（x），f （x）的变化情况如下表：x0（0,２）２（２，t）tf ′（x）0—0＋f （x）２↘—２↗t３—３t２＋２min maxf （t）—f （0）＝t３—３t２＝t２（t—３）＜0，所以f （x）max＝f （0）＝２．（变结论）在本例条件不变的情况下，若关于x的方程f （x）＝c在区间[１,３]上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围．[解] 令g（x）＝f （x）—c＝x３—３x２＋２—c，则g′（x）＝３x２—6x＝３x（x—２）．在x∈[１,２）上，g′（x）＜0；在x∈（２,３]上，g′（x）＞0．要使g（x）＝0在[１,３]上恰有两个相异的实根，则错误!解得—２＜c≤0．（１）求极值时一般需确定f ′（x）＝0的点和单调性，对于常见连续函数，先确定单调性即可得极值点，当连续函数的极值点只有一个时，相应的极值点必为函数的最值点．（２）求闭区间上可导函数的最值时，对函数极值是极大值还是极小值可不再作判断，只需要直接与端点的函数值比较即可获得．[跟进训练]３．已知函数f （x）＝sin x—ln（１＋x），f ′（x）为f （x）的导数．证明：f ′（x）在区间错误!存在唯一极大值点．[解] 设g（x）＝f ′（x），则g（x）＝cos x—错误!，g′（x）＝—sin x＋错误!，当x∈错误!时，g′（x）单调递减，而g′（0）>0，g′错误!<0，可得g′（x）在错误!有唯一零点，设为a.则当x∈（—１，a）时，g′（x）>0；当x∈错误!时，g′（x）<0．所以g（x）在（—１，a）单调递增，在错误!单调递减，故g（x）在错误!存在唯一极大值点，即f ′（x）在错误!存在唯一极大值点．生活中的优化问题左右两端均为半球体，按照设计要求容器的体积为错误!立方米．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱体部分每平方米建造费用为３千元，半球体部分每平方米建造费用为４千元．设该容器的总建造费用为y千元．（１）将y表示成r的函数，并求该函数的定义域；（２）确定r和l为何值时，该容器的建造费用最小，并求出最小建造费用．[解] 由题意可知错误!＋πr２l＝错误!，∴l＝错误!—错误!.又圆柱的侧面积为２πrl＝错误!—错误!，两端两个半球的表面积之和为４πr２.所以y＝错误!×３＋４πr２×４＝错误!＋8πr２.又l＝错误!—错误!＞0⇒r＜２错误!，所以定义域为（0,２错误!）．（２）因为y′＝—错误!＋１6πr＝错误!，所以令y′＞0，得２＜r＜２错误!；令y′＜0，得0＜r＜２．所以当r＝２米时，该容器的建造费用最小，为96π千元，此时l＝错误!米．解决优化问题的步骤（１）要分析问题中各个数量之间的关系，建立适当的函数模型，并确定函数的定义域．（２）要通过研究相应函数的性质，如单调性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．（３）验证数学问题的解是否满足实际意义．[跟进训练]４．现有一批货物由海上A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为３５海里/小时，A地至B地之间的航行距离约为５00海里，每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成，轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比（比例系数为0．6），其余费用为每小时960元．（１）把全程运输成本y（元）表示为速度x（海里/小时）的函数；（２）为了使全程运输成本最小，轮船应以多大速度行驶？[解] （１）依题意得y＝错误!（960＋0．6x２）＝错误!＋３00x，函数的定义域为（0,３５]，即y＝错误!＋３00x（0＜x≤３５）．（２）由（１）知y＝错误!＋３00x（0＜x≤３５），所以y′＝—错误!＋３00．令y′＝0，解得x＝４0或x＝—４0（舍去）．因为函数的定义域为（0,３５]，所以函数在定义域内没有极值．又当0＜x≤３５时，y′＜0，所以y＝错误!＋３00x在（0,３５]上单调递减，故当x＝３５时，函数y＝错误!＋３00x 取得最小值．故为了使全程运输成本最小，轮船应以３５海里/小时的速度行驶．函数方程思想３（１）求f （x）的极值点；（２）若关于x的方程f （x）＝a有３个不同实根，求实数a的取值范围；（３）已知当x∈（１，＋∞）时，f （x）≥k（x—１）恒成立，求实数k的取值范围．[解] （１）f ′（x）＝３（x２—２），令f ′（x）＝0，得x１＝—错误!，x２＝错误!.当x∈（—∞，—错误!）∪（错误!，＋∞）时，f ′（x）＞0，当x∈（—错误!，错误!）时，f ′（x）＜0，因此x１＝—错误!，x２＝错误!分别为f （x）的极大值点、极小值点．（２）由（１）的分析可知y＝f （x）图象的大致形状及走向如图所示．要使直线y＝a与y＝f （x）的图象有３个不同交点需５—４错误!＝f （错误!）＜a＜f （—错误!）＝５＋４错误!.则方程f （x）＝a有３个不同实根时，所求实数a的取值范围为（５—４错误!，５＋４错误!）．（３）法一：f （x）≥k（x—１），即（x—１）（x２＋x—５）≥k（x—１），因为x＞１，所以k≤x２＋x—５在（１，＋∞）上恒成立，令g（x）＝x２＋x—５，由二次函数的性质得g（x）在（１，＋∞）上是增函数，所以g（x）＞g（１）＝—３，所以所求k的取值范围是为（—∞，—３]．法二：直线y＝k（x—１）过定点（１,0）且f （１）＝0，曲线f （x）在点（１,0）处切线斜率f ′（１）＝—３，由（２）中草图知要使x∈（１，＋∞）时，f （x）≥k（x—１）恒成立需k≤—３．故实数k的取值范围为（—∞，—３]．讨论方程根的个数，研究函数图象与x轴或某直线的交点个数、不等式恒成立问题的实质就是函数的单调性与函数极（最）值的应用．问题破解的方法是根据题目的要求，借助导数将函数的单调性与极（最）值列出，然后再借助单调性和极（最）值情况，画出函数图象的草图，数形结合求解．[跟进训练]５．已知函数f （x）＝e x＋错误!，a∈R，试讨论函数f （x）的零点个数．[解] 函数f （x）的定义域为{x|x≠a}．（１）当x＞a时，e x＞0，x—a＞0，∴f （x）＞0，即f （x）在（a，＋∞）上无零点．（２）当x＜a时，f （x）＝错误!，令g（x）＝e x（x—a）＋１，则g′（x）＝e x（x—a＋１）．由g′（x）＝0得x＝a—１．当x＜a—１时，g′（x）＜0；当x＞a—１时，g′（x）＞0，∴g（x）在（—∞，a—１）上单调递减，在（a—１，＋∞）上单调递增，∴g（x）min＝g（a—１）＝１—e a—１.∴当a＝１时，g（a—１）＝0，∴x＝a—１是f （x）的唯一零点；当a＜１时，g（a—１）＝１—e a—１＞0，∴f （x）没有零点；当a＞１时，g（a—１）＝１—e a—１＜0，∴f （x）有两个零点．。
高中数学第三章导数及其应用模块复习课第4课时导数及其应用课后巩固提升含解析新人教A版选修1_1
第4课时导数及其应用课后篇巩固提升基础巩固1.已知f(x)=x3-x2+6x-a,若对任意实数x,f'(x)≥m恒成立,则m的最大值为()A.3B.2C.1(x)=3x2-9x+6,因为对任意实数x,f'(x)≥m恒成立,即3x2-9x+(6-m)≥0恒成立,所以12(6-m)≤0,解得m≤-,即m的最大值为-,故选D.2.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点-f(-x)的极小值点(x)与-f(-x)的图象关于原点对称,故x0(x0≠0)是f(x)的极大值点时,是-f(-x)的极小值点,故选D.3.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)内单调递增,则k的取值范围是()A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)∞)f'(x)=k-,又f(x)在(1,+∞)内单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,+∞)上恒成立, 即k≥在x∈(1,+∞)上恒成立.又当x∈(1,+∞)时,0<<1,故k≥1.故选D.4.函数f(x)=1+x+(x∈R)的零点的个数是()A.0B.1D.3f'(x)=1+x+x2=>0,因此函数f(x)在R上单调递增,且f(-2)=-<0,f(2)=>0,因此函数f(x)零点的个数为1,故选B.5.若0<x1<x2<1,则()A.>ln x2-ln x1B.<ln x2-ln x1C.x2>x11f(x)=,则f'(x)=.当0<x<1时,f'(x)<0,即f(x)在(0,1)内单调递减,∵0<x1<x2<1,∴f(x2)<f(x1),即.∴x2>x1,故选C.y=x e x在其极值点处的切线方程为.y'=(x+1)e x=0,得x=-1,则切点为.∵函数在极值点处的导数为0,即切线斜率为0,则切线方程为y=-.7.已知函数f(x)=ax ln x,x∈(0,+∞),其中a为实数,f'(x)为f(x)的导函数,若f'(1)=3,则a的值ln x,所以f'(x)=a ln x+ax·=a(ln x+1).由f'(1)=3得a(ln 1+1)=3,所以a=3.8.已知函数f(x)=e x(ax2-2x+2),其中a>0.(1)若曲线y=f(x)在x=2处的切线与直线x+e2y-1=0垂直,求实数a的值;f(x)的单调性.(x)=e x[ax2+(2a-2)x](a>0).(1)由题意得f'(2)·=-1,解得a=.(2)令f'(x)=0,得x1=0,x2=.①当0<a<1时,f(x)的单调递增区间为(-∞,0),,单调递减区间为;②当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)内单调递增;③当a>1时,f(x)的单调递增区间为,(0,+∞),单调递减区间为.9.已知函数f(x)=(4x2+4ax+a2),其中a<0.(1)当a=-4时,求f(x)的单调递增区间;f(x)在区间[1,4]上的最小值为8,求a的值.当a=-4时,由f'(x)==0得x=或x=2,由f'(x)>0得x∈或x∈(2,+∞),故函数f(x)的单调递增区间为和(2,+∞).(2)因为f'(x)=,a<0,由f'(x)=0得x=-或x=-.当x∈时,f(x)单调递增;当x∈时,f(x)单调递减;当x∈时,f(x)单调递增.易知f(x)=(2x+a)2≥0,且f=0.①当-≤1时,即-2≤a<0时,f(x)在[1,4]上的最小值为f(1),由f(1)=4+4a+a2=8,得a=±2-2,均不符合题意.②当1<-≤4时,即-8≤a<-2时,f(x)在[1,4]上的最小值为f=0,不符合题意.③当->4时,即a<-8时,f(x)在[1,4]上的最小值可能在x=1或x=4上取得,而f(1)≠8,由f(4)=2(64+16a+a2)=8得a=-10或a=-6(舍去),当a=-10时,f(x)在(1,4)内单调递减,f(x)在[1,4]上的最小值为f(4)=8,符合题意.综上有,a=-10.10.已知函数f(x)=ax2+x-x ln x.(1)若a=0,求函数f(x)的单调区间;f(1)=2,且在定义域内f(x)≥bx2+2x恒成立,求实数b的取值范围.当a=0时,f(x)=x-x ln x,函数定义域为(0,+∞).f'(x)=-ln x,由-ln x=0,得x=1.当x∈(0,1)时,f'(x)>0,f(x)在(0,1)内单调递增;当x∈(1,+∞)时,f'(x)<0,f(x)在(1,+∞)内单调递减.(2)由f(1)=2,得a+1=2,所以a=1,因此f(x)=x2+x-x ln x.由f(x)≥bx2+2x,得(1-b)x-1≥ln x.因为x>0,所以b≤1-恒成立.令g(x)=1-,可得g'(x)=,因此g(x)在(0,1)内单调递减,在(1,+∞)内单调递增,所以g(x)min=g(1)=0,故b的取值范围是(-∞,0].能力提升1.已知函数f(x)=x(ln x-ax)有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(-∞,0)B.C.(0,1)∞),x>0,f'(x)=ln x+1-2ax,由于函数f(x)有两个极值点,则f'(x)=0有两个不相等的正根,显然a≤0时不合题意,必有a>0.令g(x)=ln x+1-2ax,则g'(x)=-2a,令g'(x)=0,得x=,故g(x)在内单调递增,在内单调递减,所以g(x)在x=处取得最大值,即0,所以0<a<.2.若函数f(x)定义域为R,且xf'(x)<0,则下列结论成立的是()A.f(-1)+f(1)>2f(0)B.f(-1)+f(1)<2f(0)C.f(-1)+f(1)=2f(0)+f(1)与2f(0)的大小不确定xf'(x)<0,所以当x>0时f'(x)<0,当x<0时f'(x)>0,即函数f(x)在(-∞,0)内单调递增,在(0,+∞)内单调递减,因此f(-1)<f(0),f(1)<f(0),故f(-1)+f(1)<2f(0).3.已知函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,若g(x)=,则=.函数y=f(x)的图象在点(1,f(1))处的切线方程是x-2y+1=0,∴f(1)=1,f'(1)=.∵g(x)=,∴g'(x)=.∴g'(1)=.4.在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+b是曲线y=a ln x的切线,则当a>0时,实数b的最小值x0,a ln x0),则y=a ln x上此点处的切线为y=x+a ln x0-a,故∴b=a ln-a=a ln a-a ln 2-a(a>0),b'=ln,∴b在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增.∴b的最小值为-2.25.已知函数f(x)=a e x-ln x-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;:当a≥时,f(x)≥0.f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=a e x-.由题设知,f'(2)=0,所以a=.从而f(x)=e x-ln x-1,f'(x)=e x-.当0<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,2)内单调递减,在(2,+∞)内单调递增.(2)当a≥时,f(x)≥-ln x-1.设g(x)=-ln x-1,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a≥时,f(x)≥0.6.设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]e x,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]e x.所以f'(2)=(2a-1)e2.由题设知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=.(2)由(1)得f'(x)=(ax-1)(x-1)e x.当a=0时,令f'(x)=0,得x=1.f'(x),f(x)随x∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.当a>0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.①当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x-1)2e x≥0,∴f(x)在R上单调递增,∴f(x)无极值,不合题意.②当x1>x2,即0<a<1时,∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.③当x1<x2,即a>1时,f'(x∴f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.当a<0时,令f'(x)=0,得x1=,x2=1.f'(x),f(x)随x∴f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).。
高中数学总复习课件+巩固提升+教师用书 (4)
(Δx)2， Δy 当 Δx 趋近于 0 时， 趋近于 3，所以 y′ x＝1＝3. Δx 故所求切线方程为 y－1＝3(x－1)，即 3x－y－2＝0.
栏目 导引
第一章 导数及其应用
3x－y－2＝0， 2 (2)由 可得 ( x － 1) (x＋2)＝0， 3 y＝x ，
解得 x1＝1，x2＝－2. 从而求得公共点为(1，1)，(－2，－8)． 故(1)中的切线与曲线 C 的公共点除切点(1，1)外，还有点(－2， －8)．
栏目 导引
第一章 导数及其应用
1.已知函数 f(x)的图象如图所示， f′(x)是 f(x)的导 函数，则下列结论正确的是( A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 解析： 选 B.从图象上可以看出 f(x)在 x＝2 处的切线的斜率比在
（x＋Δx）2－x2 lim ＝ lim (2x＋Δx)＝2x. Δ x Δx→0 Δx→0 设 P(x0，y0)是满足条件的点．
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第一章 导数及其应用
(1)因为点 P 处的切线与直线 y＝4x－5 平行，所以 2x0＝4，解 得 x0＝2，所以 y0＝4，即 P(2，4)． (2)因为点 P 处的切线与直线 2x－6y＋5＝0 垂直，且直线 2x－ 1 1 3 6y＋5＝0 的斜率为 ，所以 2x0· ＝－1，解得 x0＝－ ，所以 3 3 2
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第一章 导数及其应用
Байду номын сангаас
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《导数及其应用》课件ppt
∴3k≥xsin
x－cos x2
xmax，
令
F(x)＝xsin
x－cos x2
x，F′(x)＝x2cos
x＋2cos x3
x>0，x∈0，π2，
∴F(x)在0，π2上单调递增，F(x)<Fπ2＝2π，
值点”的个数为
A.3 √B.2
C.1
D.0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
函数f(x)＝x3－3x， 则f(2)＝2，f(－2)＝－2，f′(x)＝3x2－3， 由f(2)－f(－2)＝f′(c)(2＋2)， 得f′(c)＝1，即3c2－3＝1， 解得 c＝±233∈[－2,2]， 所以f(x)在[－2,2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
f′(x)＝m[2(x－m)(x－n)＋(x－m)2]＝3m(x－m)x－2n＋3 m， 若m<0，则f′(x) 是开口向下的抛物线，若x＝m是极小值点， 必有 m<2n＋3 m，则 n>m，即mn <1； 若m>0 ，f′(x) 是开口向上的抛物线，若x＝m是极小值点， 必有 m>2n＋3 m，则 n<m，即mn <1， 综上，mn <1.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
对于 C，函数 y＝xln x，y′＝ln x＋1，当 x∈0，1e时，y′<0，函数 单调递减，当 x∈1e，＋∞时，y′>0，函数单调递增，所以函数 y＝ xln x 在 x＝1e处取得极小值； 对于D，函数y＝－2x3－x，y′＝－6x2－1<0，所以函数y＝－2x3－x 在R上单调递减，没有极值点.
高中数学选修《导数及其应用》全章复习与巩固(理)(基础)知识点巩固练习
目录《导数及其应用》全章复习与巩固 (1)【学习目标】 (1)【知识网络】 (1)【要点梳理】 (2)【典型例题】 (6)【巩固练习】 (20)《导数及其应用》全章复习与巩固编稿：武小煊审稿：柏兴增【学习目标】1. 导数概念通过具体情境，感受在现实实际和实际生活中存在着大量的变化率问题，体会平均变化率、瞬时变化率和导数的实际意义，理解导数的几何意义.2. 导数运算（1）会用导数定义计算一些简单函数的导数；（2）会利用导数公式表求出给定函数的导数；（3）掌握求导的四则运算法则，掌握求复合函数的导数，并会利用导数的运算法则求出函数的导函数. 3. 体会研究函数的意义（1）认识导数对于研究函数的变化规律的作用；（2）会用导数的符号来判断函数的单调性；（3）会利用导数研究函数的极值点和最值点.4.导数在实际问题中的应用（1）进一步体会函数是描述世界变化规律的基本数学模型；（2）联系实际生活和其他学科，进一步体会导数的意义；（3）从实际生活抽象出一些基本的用导数刻画的问题，并加以解决.【知识网络】【要点梳理】要点一：导数的概念及几何意义 导数的概念：函数=()y f x 在0x 点的导数，通常用符号()0'f x ‘表示，定义为：要点诠释： （1）()()()()100010=f x f x f x x f x y x x x x-+∆-∆=∆-∆，它表示当自变量x 从0x 变1x ，函数值从()0f x 变到()1f x 时，函数值关于x 的平均变化率.当x ∆趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数=()y f x 在0x 点的导数.（2）导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率．如瞬时速度即是位移在这一时刻的瞬间变化率．（3）对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义．如位移运动中，位移S 从时间1t 到2t 的平均变化率即为1t 到2t 这段时间的平均速度． 导数的几何意义：()()()00000limlim x x f x x f x yf x x x∆→∆→+∆-∆'=∆∆＝要点诠释：求曲线的切线方程时，抓住切点是解决问题的关键，有切点直接求，无切点则设切点，布列方程组.导数的物理意义：在物理学中，如果物体运动的规律是()=s s t ，那么该物体在时刻0t 的瞬时速度v 就是()=s s t 在0=t t 时的导数，即()0='v s t ；如果物体运动的速度随时间变化的规律是()v v t =，那么物体在时刻0t 的瞬时加速度a 就是()v v t =在0=t t 时的导数，即()0'a v t =．要点诠释：0'()f x 表示函数()f x 在0x 处的瞬时变化率，而在很多物理量中都是借助变化率来定义的．比如，瞬时角速度是角度()t θ对时间t 的变化率；瞬时电流是电量()Q t 对时间t 的变化率；瞬时功率是功()W t 对时间t 的变化率；瞬时电动势是磁通量()t Φ对时间t 的变化率．最常用的是瞬时速度与瞬时加速度． 要点二：导数的计算 基本初等函数的导数要点诠释：基本初等函数的求导公式不需要证明，只需记住公式即可． 和、差、积、商的导数()0'f x ‘表示曲线=()y f x 在0x x =处的切线的斜率，即()0'=tan f x α‘（α为切线的倾斜角）要点诠释：（1）一个推广：1212()''''n n u u u u u u ±±±=±±±．（2）两个特例：()''cu cu =（c 为常数）；2211'()1'()'()'(()0)()()()g x g x g x g x g x g x g x ⎡⎤⋅-⋅==-≠⎢⎥⎣⎦． 复合函数的导数设函数()u x ϕ=在点x 处可导，''()x u x ϕ=，函数()y f u =在点x 的对应点u 处也可导''()u y f u =，则复合函数[()]y f x ϕ=在点x 处可导，并且'''x u x y y u =⋅，或写作'[()]'()'()x f x f u x ϕϕ=⋅． 要点三：导数在研究函数性质中的应用 利用导数研究可导函数的单调性设函数()y f x =在区间（a ，b ）内可导，（1）如果恒有'()0f x >，则函数()f x 在（a ，b ）内为增函数； （2）如果恒有'()0f x <，则函数()f x 在（a ，b ）内为减函数； （3）如果恒有'()0f x =，则函数()f x 在（a ，b ）内为常数函数. 要点诠释：（1）在区间(a ,b )内，'()0f x >（或()0f x '<）是()f x 在区间(a ，b )内单调递增（或减）的充分不必要条件.（2）只有当在某区间上有有限个点使'()0f x =时，()0f x '≥（或()0f x '≤）≡()f x 在该区间内是单调递增（或减）.利用导数研究可导函数的极值求函数()y f x =在其定义域内极值的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求导数)(x f '；③求方程0)(='x f 的根；④检查'()f x 在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点诠释：①注意极值．．与极值点．．．的区别：取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. ②可导函数)(x f 在点0x 取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在0x 两侧)(x f '的符号相异。
2024版新教材高考数学全程一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性课件
f′(x)>0
f′(x)<0
f′(x)＝0
结论
单调递增
f(x)在(a，b)内__________
f(x)在(a，b)内__________
单调递减
f(x)在(a，b)内是__________
常数函数
[常用结论]
1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；
x
x
立，
∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4.又a>0，∴0<a≤2.
关键能力·题型突破
题型一 求函数的单调区间
例 1 求下列函数的单调区间
ex−1
(1)f(x)＝
；
x+1
解析：f(x)的定义域为(－∞，－1)∪ ሺ−1，
xex−1
+ ∞ሻ，f′ሺxሻ＝
.
1+x 2
当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
2
单调性．
题后师说
(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进
行分类讨论．
(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再讨论二次项系
数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需讨论判别式Δ的正负，
二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内．
巩固训练2
1 2
[2023·河南安阳模拟]已知函数f(x)＝2a ln x＋ x －(2a＋1)x，a∈R，
巩固训练1
(1)函数f(x)＝－ln x＋x的单调递增区间是(
A．(－∞，0)∪ 1， + ∞
B．(－∞，0)和(1，＋∞)
C．(1，＋∞)
D．(－1，＋∞)
2025版新教材高考数学全程一轮总复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性学生用书
其次节导数与函数的单调性【课标标准】 1.结合实例，借助几何直观了解函数的单调性和导数的关系.2.能利用导数探讨函数的单调性.3.对于多项式函数，能求不超过三次的多项式函数的单调区间．必备学问·夯实双基学问梳理导数与函数的单调性的关系条件结论函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导f′(x)>f(x)在(a，b)内__________ f ′(x)<f(x)在(a，b)内__________ f′(x)＝0f(x)在(a，b)内是__________[常用结论]1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立．2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，f′(x)<0有解．夯实双基1.思索辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若函数f(x)在区间(a，b)上单调递增，那么肯定有f′(x)>0.( )(2)假如函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在此区间内不具有单调性．( )(3)若函数在定义域上都有f′(x)>0，则在定义域上肯定单调递增．( )(4)由于>0在(－∞，0)上恒成立，且函数y＝－的导数y′＝，所以函数y＝－的单调递增区间是(－∞，0).( )2．(教材改编)函数y＝f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示，则函数y＝f(x)的图象可能是( )3．(教材改编)函数y＝3x2－2ln x的单调递增区间为________，单调递减区间为________．4．(易错)若函数f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，则实数a的值为________．5．(易错)若y＝x＋(a>0)在[2，＋∞)上单调递增，则a的取值范围是________．关键实力·题型突破题型一求函数的单调区间例 1 求下列函数的单调区间(1)f(x)＝；(2)f(x)＝－x.题后师说求函数单调区间的步骤巩固训练1(1)函数f(x)＝－ln x＋x的单调递增区间是( )A．(－∞，0)B．(－∞，0)和(1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－1，＋∞)(2)[2024·河北唐山一中月考]函数f(x)＝sin x－x，x∈(0，π)的单调递减区间为________．题型二探讨函数的单调性例 2(1)已知函数f(x)＝e x－ax，a∈R，探讨函数f(x)的单调性．(2)[2024·安徽宿州模拟]已知函数f(x)＝＋ax－ln x，探讨函数的单调性．题后师说(1)探讨含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类探讨．(2)若导函数为二次函数式，首先看能否因式分解，再探讨二次项系数的正负及两根的大小；若不能因式分解，则需探讨判别式Δ的正负，二次项系数的正负，两根的大小及根是否在定义域内．巩固训练2[2024·河南安阳模拟]已知函数f(x)＝2a ln x＋x2－(2a＋1)x，a∈R，探讨函数f(x)的单调性．题型三函数单调性的应用角度一比较大小或解不等式例 3(1)[2024·河南郑州模拟]已知a＝，b＝，c＝，则( )A．b>c>a B．c>b>aC．a>c>b D．b>a>c(2)已知定义在R上的函数f(x)满意：xf′(x)＋f(x)>0，且f(1)＝1，则xf(x)>1的解集为________________．题后师说利用单调性比较大小或解不等式，关键是依据题意构造协助函数，利用构造的函数的单调性比较大小或解不等式．(关于构造函数见后面的专题突破)巩固训练3(1)已知函数f(x)＝x sin x，x∈R，则f()，f(1)，f(－)的大小关系为( )A．f(－)>f(1)>f()B．f(1)>f(－)>f()C．f()>f(1)>f(－)D．f(－)>f()>f(1)(2)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，且对随意x∈R都有f′(x)>2，f(1)＝3，则不等式f(x)－2x－1>0的解集为( )A．(－∞，1) B．(1，＋∞)C．(0，＋∞) D．(－∞，0)角度二依据单调性求参数的范围例 4 已知函数f(x)＝x2－a ln x＋1在[1，2]内单调递增，则实数a的取值范围是________．变式探究1 已知函数f(x)＝x2－a ln x＋1在[1，2]内存在单调递增区间，则实数a 的取值范围是________．变式探究2[2024·安徽合肥模拟]已知函数f(x)＝x2－a ln x＋1在(1，2)内不是单调函数，则实数a的取值范围是( )A．(2，8) B．[2，8]C．(－∞，2]题后师说依据函数的单调性求参数的策略巩固训练4(1)[2024·河北石家庄模拟]已知函数f(x)＝x－a ln x在区间(0，1)上单调递减，则实数a的取值范围是( )A．a>1 B．a≥1C．a>0 D．a≥0(2)若函数f(x)＝ln x－ax2－2x存在单调递减区间，则实数a的取值范围为________．专题突破❸构造法在导数中的应用微专题1利用f(x)与x构造例 1(1)已知函数y＝f(x)为偶函数，且当x∈(－∞，0)时，f(x)＋xf′(x)<0成立，若a＝21.5f(21.5)，b＝ln 3f(ln 3)，c＝，则( )A．a>b>c B．b>c>aC．c>a>b D．a>c>b(2)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x＞0时，xf′(x)－f(x)>0，则使得f(x)＞0成立的x的取值范围是( )A．(－∞，－1)B．(0，1)C．(－∞，－1)D．(－1，0)题后师说(1)出现nf(x)＋xf′(x)形式，构造函数F(x)＝x n f(x)．(2)出现xf′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.微专题2利用f(x)与e x构造例 2(1)已知定义在R上的函数f(x)的导函数为f′(x)，对随意x∈R满意f(x)＋f′(x)<0，则下列结论肯定正确的是( )A．e2f(2)>e3f(3) B．e2f(2)<e3f(3)C．e3f(2)>e2f(3) D．e3f(2)<e2f(3)(2)[2024·辽宁锦州模拟]已知定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)，且f(x)<f′(x)<0，则( )A．e f(2)>f(1)，f(2)>e f(1)B．e f(2)>f(1)，f(2)<e f(1)C．e f(2)<f(1)，f(2)<e f(1)D．e f(2)<f(1)，f(2)>e f(1)题后师说(1)出现f′(x)＋nf(x)形式，构造函数F(x)＝e nx f(x)．(2)出现f′(x)－nf(x)形式，构造函数F(x)＝.微专题3利用f(x)与sin x、cos x构造例 3(多选)定义在(0，)的函数f(x)，已知f′(x)是它的导函数，且恒有cos x·f′(x)＋sin x·f(x)<0成立，则有( )A．f()>f()B．f()>f()C．f()>f()D．f()>f()题后师说函数f(x)与sin x，cos x相结合构造可导函数的几种常见形式F(x)＝f(x)sin x，F′(x)＝f′(x)sin x＋f(x)cos x；F(x)＝，F′(x)＝；F(x)＝f(x)cos x，F′(x)＝f′(x)cos x－f(x)sin x；F(x)＝，F′(x)＝.微专题4同构法构造函数例 4 (1)设a，b都为正数，e为自然对数的底数，若a e a＋1＋b<b ln b，则( )A．ab>e B．b>e a＋1C．ab<e D．b<e a＋1(2)[2024·山东临沂模拟]若对随意的x1，x2∈(m，＋∞)，且当x1<x2时，都有>，则m的最小值是________．题后师说同构法的三种基本模式：①乘积型，如a e a≤b ln b可以同构成a e a≤(ln b)e ln b，进而构造函数f(x)＝x e x；②比商型，如<可以同构成<，进而构造函数f(x)＝；③和差型，如e a±a>b±ln b，同构后可以构造函数f(x)＝e x±x或f(x)＝x±ln x．其次节导数与函数的单调性必备学问·夯实双基学问梳理单调递增单调递减常数函数夯实双基1．答案：(1)×(2)√(3)×(4)×2．解析：由导函数的图象可知函数在(－∞，0)上是先减后增，在(0，＋∞)上先增后减再增．故选D.答案：D3．解析：y′＝6x－＝.∵函数的定义域为(0，＋∞)，∴由y′>0，得x>.∴函数的单调递增区间为(，＋∞)．由y′<0，得0<x<，∴函数的单调递减区间为(0，)．答案：(，＋∞)(0，)4．解析：f′(x)＝x2－3x＋a，∵f(x)＝x3－x2＋ax＋4的单调递减区间为[－1，4]，∴f′(x)＝x2－3x＋a≤0的解集为[－1，4]，即－1，4是方程x2－3x＋a＝0的两个根，由韦达定理得－1×4＝a，即a＝－4.答案：－45．解析：解法一：由y′＝1－≥0，得x≤－a或x≥a，∴y＝x＋的单调递增区间为(－∞，－a]，[a，＋∞)．∵函数在[2，＋∞)上单调递增，∴[2，＋∞)⊆[a，＋∞)，∴a≤2.又a>0，∴0<a≤2.解法二：y′＝1－，依题意知1－≥0在x∈[2，＋∞)上恒成立，即a2≤x2恒成立，∵x∈[2，＋∞)，∴x2≥4，∴a2≤4.又a>0，∴0<a≤2.答案：(0，2]关键实力·题型突破例1 解析：(1)f(x)的定义域为(－∞，－1)＝.当x<－1时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－1<x<0时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f′(x)>0，f(x)单调递增．故f(x)在(－∞，－1)和(－1，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．(2)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝－1＝，易知，y＝－x3，y＝－2ln x在(0，＋∞)上为减函数，所以φ(x)＝1－2ln x－x3在(0，＋∞)上为减函数，且φ(1)＝0，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0，故函数的递增区间为(0，1)，递减区间为(1，＋∞)．巩固训练1 解析：(1)由题设，f′(x)＝1－>0且x∈(0，＋∞)，可得x>1，所以f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)．故选C.(2)当0<x<π时，f′(x)＝cos x－1<0，所以f(x)的单调递减区间为(0，π)．答案：(1)C (2)(0，π)例2 解析：(1)f′(x)＝e x－a.当a≤0时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当a>0时，令f′(x)＝0，得x＝ln a．若x<ln a，f′(x)<0，f(x)单调递减，若x>ln a，f′(x)>0，f(x)单调递增．综上，当a≤0时，函数f(x)单调递增区间为(－∞，＋∞)，无单调递减区间；当a>0时，函数f(x)单调递减区间为(－∞，ln a)，单调递增区间为(ln a，＋∞)．(2)f(x)＝－x2＋ax－ln x，x∈(0，＋∞)．f′(x)＝－x＋a－＝－.①当a≤0时，x2－ax＋1>0，f′(x)<0，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；②当a>0时，令x2－ax＋1＝0，Δ＝a2－4，若0<a≤2时，Δ≤0，x2－ax＋1≥0，f′(x)≤0，且仅在x＝时f′(x)＝0.f(x)在(0，＋∞)上单调递减；若a>2时，Δ>0，设方程x2－ax＋1＝0的两个解为x1，x2，x1＝>0，x2＝>0.当x∈(0，)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．当x∈()时，f′(x)>0，f(x)单调递增．当x∈(，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减．综上，当a≤2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当a>2时，f(x)在(0，)上单调递减，在()上单调递增，在(，＋∞)上单调递减．巩固训练2 解析：f′(x)＝＋x－(2a＋1)＝＝，①若a≤0，当0<x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增．②若0<a<，由f′(x)>0，得0<x<2a或x>1；由f′(x)<0，得2a<x<1.所以f(x)在(0，2a)，(1，＋∞)上单调递增，在(2a，1)上单调递减．③若a＝，f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增．④若a>，由f′(x)>0，得0<x<1或x>2a；由f′(x)<0，得1<x<2a.所以f(x)在(0，1)，(2a，＋∞)上单调递增，在(1，2a)上单调递减．例3 解析：(1)令f(x)＝，则f′(x)＝，当0<x<e时，f′(x)>0；当x>e时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，a＝f(5)，b＝f(e)，c＝f(3)，因为e<3<5，所以b>c>a.故选A.(2)由题意得，构造g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，则g(x)在R上为单调递增函数，因为f(1)＝1，所以g(1)＝1×f(1)＝1，所以xf(x)>1可变形为g(x)>g(1)，因为g(x)在R上为单调递增函数，所以x>1，则xf(x)>1的解集为{x|x>1}．答案：(1)A (2){x|x>1}巩固训练3 解析：(1)因为f(x)＝x sin x，所以f(－x)＝(－x)·sin (－x)＝x sin x＝f(x)，所以函数f(x)是偶函数，所以f(－)＝f()．又当x∈(0，)时，f′(x)＝sin x＋x cos x>0，所以函数f(x)在(0，)上是增函数，所以f()<f(1)<f()，即f(－)>f(1)>f()．故选A.(2)令g(x)＝f(x)－2x－1，则g′(x)＝f′(x)－2>0，∴g(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，又g(1)＝f(1)－3＝0.∴不等式f(x)－2x－1>0⇔g(x)>g(1)，可得x>1.∴不等式f(x)－2x－1>0的解集为(1，＋∞)．故选B.答案：(1)A (2)B例4 解析：f′(x)＝2x－＝，依题意f′(x)≥0在[1，2]上恒成立，即2x2－a≥0在[1，2]上恒成立，所以a≤(2x2)min，所以a≤2.答案：(－∞，2]变式探究1 解析：f′(x)＝2x－＝，依题意f′(x)>0在[1，2]上有解，即2x2－a>0在[1，2]上有解，所以a<(2x2)max，所以a<8.答案：(－∞，8)变式探究2 解析：f′(x)＝2x－＝，令g(x)＝2x2－a，由于函数f(x)＝x2－a ln x＋1在(1，2)内不是单调函数，则g(x)＝2x2－a在区间(1，2)的函数值有正有负，而二次函数g(x)＝2x2－a开口向上，对称轴为y轴，所以g(x)＝2x2－a在区间(1，2)上单调递增，所以，解得2<a<8.所以实数a的取值范围是(2，8)．故选A.答案：A巩固训练4 解析：(1)依据函数f(x)＝x－a ln x在区间(0，1)上单调递减，所以f′(x)≤0恒成立，f′(x)＝1－≤0，所以a≥x恒成立，所以a≥x max，即a≥1.故选B.(2)若函数f(x)在(0，＋∞)上存在单调减区间，则当x＞0时，－ax－2＜0有解，即a＞有解．设g(x)＝，所以只要a＞g(x)min.又g(x)＝(－1)2－1，所以g(x)min＝－1.所以a＞－1.即实数a的取值范围是(－1，＋∞)．答案：(1)B (2)(－1，＋∞)专题突破❸构造法在导数中的应用例1 解析：(1)构造g(x)＝xf(x)，当x∈(－∞，0)，g′(x)＝f(x)＋xf′(x)<0，故y＝g(x)在(－∞，0)上单调递减，且易知g(x)为奇函数，故y＝g(x)在(0，＋∞)上单调递减，由21.5>2＝>ln 3>0，所以(21.5)<g(ln 3)．故选B.(2)由题意设g(x)＝，则g′(x)＝∵当x＞0时，有xf′(x)－f(x)>0，∴当x＞0时，g′(x)>0，∴函数g(x)＝在(0，＋∞)上为增函数，∵函数f(x)是奇函数，∴g(－x)＝g(x)，∴函数g(x)为定义域上的偶函数，g(x)在(－∞，0)上单调递减，由f(－1)＝0得，g(－1)＝0，∵不等式f(x)＞0⇔x•g(x)＞0，∴或，即有x＞1或－1＜x＜0，∴使得f(x)＞0成立的x的取值范围是(－1，0)故选D.答案：(1)B (2)D例2 解析：(1)构造函数g(x)＝e x f(x)，则g′(x)＝e x[f′(x)＋f(x)]，因为f(x)＋f′(x)<0，故g′(x)<0，因此可得g(x)在R上单调递减，由于2<3，故g(2)>g(3)⇒e2f(2)>e3f(3)，故选A.(2)构造函数g(x)＝⇒g′(x)＝，因为f(x)<f′(x)，所以g′(x)>0，因此函数g(x)是增函数，于是有g(2)>g(1)⇒>⇒f(2)>e f(1)，构造函数h(x)＝f(x)·e x⇒h′(x)＝e x[f(x)＋f′(x)]，因为f(x)<f′(x)<0，所以h′(x)<0，因此h(x)是单调递减函数，于是有h(2)<h(1)⇒e2f(2)<e f(1)⇒e f(2)<f(1)，故选D.答案：(1)A (2)D例3 解析：构造函数g(x)＝(0<x<)，则g′(x)＝<0，即函数g(x)在(0，)上单调递减，所以g()>g()，所以f()>f()，同理g()>g()，即f()>f()．故选CD.答案：CD例4 解析：(1)由已知，a e a＋1<b(ln b－1)＝b ln ，则e a ln e a<ln .设f(x)＝x ln x，则f(e a)<f()．因为a>0，则e a>1.又b(ln b－1)>0，b>0，则ln b>1，即b>e，从而>1.当x>1时，f′(x)＝ln x＋1>0，则f(x)在(1，＋∞)内单调递增，所以e a<，即b>e a＋1.故选B.(2)由于当x1<x2时，都有>，所以ln x1－ln x2<＝，即ln x1＋<ln x2＋，令f(x)＝ln x＋，所以当随意的x1，x2∈(m，＋∞)，且当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，所以f(x)在(m，＋∞)上单调递增，因为由f′(x)＝＝>0，得x>3，所以f(x)在(3，＋∞)上单调递增，所以m≥3，所以m的最小值是3.答案：(1)B (2)3。
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导数及其应用单元复
习与巩固
导数及其应用单元复习与巩固
编稿：周尚达审稿：张扬责编：严春梅
知识网络
目标认知
考试大纲要求：
1．了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度、加速度、光滑曲线的切线的斜率等）；掌握函数在一
点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导数的概念.
2．熟记基本导数公式；掌握两个函数四则运算的求导法则；
3．掌握复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数.
4．能利用导数研究函数的单调性，会用导数求函数的单调区间，极大值、极小值，及求闭区间上函数
的最大值、最小值.对多项式函数一般不超过三次.
5．了解“以直代曲”、“以不变代变”的思想方法，了解定积分的概念和几何意义.直观了解微积分
基本定理的含义,并能用定理计算简单的定积分.
6．应用定积分解决平面图形的面积、变速直线运动的路程和变力作功等问题.
重点：
导数的概念及几何意义；用导数求函数的单调区间，极大值、极小值，及求闭区间上函数的最大值、最小值；正确计算定积分，利用定积分求面积.
难点：
复合函数的导数；利用导数判断函数单调性时有关字母讨论的问题；有关函数最值的实际应用问题的学习；将实际问题化归为定积分问题.
学习策略：
导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门科学，它为有效地解决一些传统的初等函数问题提供了一般的方法，如求曲线的切线方程，函数的单调区间、极值与最值以及有关的实际问题等，在具体问题中，应根据问题的具体条件适当选用方法。
知识要点梳理
知识点一：导数的相关概念
1．导数的定义：
对函数，在点处给自变量x以增量Δx，函数y相应有增量
.若极限存在，则此极限称为在点x0处的导数，记作或，此时也称在点x0处可导.
即：（或）注意：增量△x可以是正数，也可以是负数.
2．导函数：
如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数，注意：函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况.
3．导数的几何意义：
过曲线y=f(x)上任意一点(x,y)的切线的斜率就是f(x)在x处的导数，即.也就是说，曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线的斜率是，切线方程为.
知识点二：导数的运算
1．常见基本函数的导数公式
（1）（C为常数），
（2）（n为有理数），
（3），
（4），
（5），
（6），
（7），
（8），
2．函数四则运算求导法则
设，均可导
（1）和差的导数：
（2）积的导数：
（3）商的导数：（）
3．复合函数的求导法则
一般地，复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数，即
或
知识点三：导数的应用
1、确定函数的单调区间
设函数y=f(x)在某个区间内可导，则
当时，y=f(x)在相应区间上为增函数；
当时，y=f(x) 在相应区间上为减函数；
当恒有时，y=f(x)在相应区间上为常数函数.
注意：在区间(a,b)内，是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件！
2、函数的极值
一般地，设函数y=f(x)在x=x0及其附近有定义，
(1)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)<f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的一个极大值，记作
y极大值=f(x0)；
(2)如果对于x0附近的所有点，都有：f(x)>f(x0)，称f(x0)为函数f(x)的—个极小值，记作
y极小值=f(x0).
注意：极大值与极小值统称极值.在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值.
3、函数的最值
函数的最值表示函数在定义域内值的整体情况.连续函数f(x)在闭区间[a,b]上必有一个最大值和一个最小值，但是最值点可以不唯一；但在开区间(a，b)内连续的函数不一定有最大值和最小值.
注意：最值与极值的区别与联系：
①函数最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的，是整个定义区间上的一个概念，而函数
的极值则是比较极值点附近两侧的函数值而得出的，是局部的概念；
②极值可以有多个，最大(小)值若存在只有一个；
③极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内
部，也可能在区间的端点.
④有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值.
知识点四：定积分
1．定积分的概念
如果函数在区间上连续，用分点
将区间分为n个小区间，在每个小区间
上任取一点（i=1,2,3…,n），作和式，当
时，上述和式无限趋近于某个常数，这个常数叫做在区间上
的定积分.记作.即＝，这里，与分别叫做积分下限与积分上限，区间叫做积分区间，函数叫做被积函数，叫做积分变量，叫做被积式.
说明：
（1）定积分的值是一个常数，可正、可负、可为零；
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；②近似代替；③求和；④取极限.
2．定积分的几何意义
设函数在区间上连续.
在上，当时，定积分在几何上表示由曲线
以及直线与轴围成的曲边梯形的面积；
在上，当时，定积分在几何上表示由曲线
以及直线与轴围成的曲边梯形面积的负值；
在上，当既取正值又取负值时，曲线的某些部分在轴的上方，而其他部分在轴下方，如果我们将在轴上方的图形的面积赋予正号，在轴下方的图形的面积赋予负号；
在一般情形下，定积分的几何意义是曲线，两条直线与轴所围成的各部分面积的代数和.
3．定积分的性质
（1）（为常数），
（2），
（3）（其中），
（4）利用函数的奇偶性求积分：
若函数在区间上是奇函数，则；
若函数在区间上是偶函数，则.
（5）基本公式：，，
知识点五：微积分基本定理
微积分基本定理（或牛顿－莱布尼兹公式）:
如果在上连续，且，则。
其中叫做的一个原函数.
注意：
①求定积分主要是要找到被积函数的原函数，也就是说，要找到一个函数，它的导函数等于被积函
数.由此，求导运算与求原函数运算互为逆运算.
②由于也是的原函数，其中c为常数.
知识点六：定积分的应用
1．应用定积分求曲边梯形的面积
（1）如图，由三条直线，，轴及一条曲线
()围成的曲边梯
形的面积为S,则；
（2）如图，由三条直线，，轴及一条曲线()围成的曲边梯
形的面积为S,则；
（3）如图，由曲线及直线，围成图形的
面积为S,则.
2．利用定积分解决物力问题
①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程，等于其速度函数
在时间区间上的定
积分，即.
②变力作功
物体在变力的作用下做直线运动，并且物体沿着与相同的方向从移动到
，那么变力所作的功.
规律方法指导
1、求曲线y=f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程
（1）求出函数在处的导数；
（2）利用直线的点斜式得切线方程.
注意：求切线方程，首先要判断所给点是否在曲线上.若在曲线上，可用上法求解；若不在曲线上，可设出切点，写出切线方程，结合已知条件求出切点坐标，从而得方程.
2、利用导数判断函数单调性的基本步骤
(1)确定函数f(x)的定义域；
(2)求导数；
(3)在定义域内解不等式；
(4)确定f(x)的单调区间.
3、求函数的极值的基本步骤
①确定函数的定义域；
②求导数；
③求方程的根；
④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右
正，则f(x)在这个根处取得极小值. (最好通过列表法)
4、利用导数求区间[a，b]上函数y=f(x)的最大与最小值的步骤
①求函数y=f(x)在(a，b)内的导数
②求函数y=f(x)在(a，b)内的极值
③将函数y=f(x)在(a，b)内的极值与区间两端的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，
最小的一个为最小值.
5、求定积分的方法：
（1）用定义求定积分
步骤：①分割；②近似代替；③作和；④求极限。
（2）利用微积分基本公式求定积分
步骤：
①求的一个原函数；
②计算：
6、利用定积分求平面图形面积的一般步骤：
①画出草图，将其适当分割成若干个曲边梯形；
②选定积分变量，对每一个曲边梯形确定被积函数；
③求出交点坐标，确定每个被积函数的积分上、下限，用定积分表示其面积；
④计算各个定积分，求出所求的面积。