高考数学压轴专题新备战高考《不等式》难题汇编及答案

【高中数学】数学高考《不等式》试题含答案
一、选择题
1．某企业生产甲、乙两种产品，销售利润分别为2千元/件、1千元/件.甲、乙两种产品都需要在A B 、两种设备上加工，生产一件甲产品需用A 设备2小时，B 设备6小时；生产一件乙产品需用A 设备3小时，B 设备1小时. A B 、两种设备每月可使用时间数分别为480小时、960小时，若生产的产品都能及时售出，则该企业每月利润的最大值为（ ） A ．320千元 B ．360千元
C ．400千元
D ．440千元
【答案】B 【解析】
设生产甲、乙两种产品x 件,y 件时该企业每月利润的最大值，由题意可得约束条件：
2348069600,0,x y x y x y x N y N
+≤⎧⎪+≤⎪
⎨
≥≥⎪⎪∈∈⎩， 原问题等价于在上述约束条件下求解目标函数2z x y =+的最大值. 绘制目标函数表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可知： 目标函数在点()150,60B 处取得最大值：max 2215060360z x y =+=⨯+=千元. 本题选择B 选项.
点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．
2．若实数,x y 满足不等式组2,36,0,x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
则3x y +的最小值等于（ ）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
【答案】A 【解析】 【分析】
首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z 的最小值． 【详解】
解：作出实数x ，y 满足不等式组2360x y x y x y +≥⎧⎪
-≤⎨⎪-≥⎩
表示的平面区域（如图示：阴影部分）
由200x y x y +-=⎧⎨-=⎩
得(1,1)A ，
由3z x y =+得3y x z =-+，平移3y x =-， 易知过点A 时直线在y 上截距最小，
所以3114min z =⨯+=． 故选：A ．
【点睛】
本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．
3．设x ，y 满足约束条件21210
x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩
，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ⎛ ⎝的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60
B ．80
C ．90
D ．120
【答案】B 【解析】 【分析】
画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案. 【详解】
如图所示：画出可行域和目标函数，
32z x y =-+，即322
z
y x =
+，故z 表示直线与y 截距的2倍， 根据图像知：当1,1x y =-=时，32z x y =-+的最大值为5，故5n =.
52x x ⎛- ⎪⎝⎭展开式的通项为：()()35552155221r
r r r r r r r T C x C x
x ---+⎛=⋅-=⋅⋅-⋅ ⎪⎝⎭， 取2r =得到2x 项的系数为：()2
2
5252180C -⋅⋅-=.
故选：B .
【点睛】
本题考查了线性规划求最值，二项式定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
4．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有
()0f x ≥，则
(1)
'(0)
f f 的最小值为( ) A ．2 B ．
52
C ．3
D ．
32
【答案】A 【解析】
()22
0{,440
a f x ac
b b a
c >≥∴∴≥∆=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >>
又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++，
()(
)221241111120b f a c ac f b b +∴=+≥+≥+
=+=' 当且仅当()
()
120f a c f ='时，不等式取等号，故
的最小值为
5．若,x y 满足约束条件360601
x y x y y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩
，则122y x ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭的最小值为( )
A ．
116
B ．
18
C ．1
D ．2
【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件所表示的可行域，结合指数幂的运算和图象确定出目标函数的最优解，代入即可求解． 【详解】
由题意，画出约束条件360601x y x y y -+≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
所表示的可行域，如图所示，
其中可得(3,1)A -，(5,1)B ，(3,3)C ，
因为1222y
x x y -⎛⎫
⋅= ⎪⎝⎭
，令z x y =-，当直线y x z =-经过A 时，z 取得最小值，
所以z 的最小值为min 314z =--=-，
则1222y
x x y -⎛⎫⋅= ⎪⎝⎭
的最小值为4
1216-=. 故选：A ．
【点睛】
本题主要考查简单线性规划求解目标函数的最值问题．其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查了
数形结合思想，及推理与计算能力．
6．已知x 、y 满足约束条件122326x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
，若22z x y =+，则实数z 的最小值为（ ）
A ．
22
B ．25
C ．
12
D ．2
【答案】C 【解析】 【分析】
作出不等式组所表示的可行域，利用目标函数的几何意义求出2
2x y +的最小值，进而可得
出实数z 的最小值. 【详解】
作出不等式组122326x y x y x y +≥⎧⎪
-≥-⎨⎪+≤⎩
所表示的可行域如下图所示，
22z x y =+表示原点到可行域内的点(),x y 的距离的平方，
原点到直线10x y +-=的距离的平方最小，()
2
22
min
21
22x y
⎛⎫+== ⎪ ⎪⎝⎭
. 由于22
z x y =+，所以，min 12
z =
. 因此，实数z 的最小值为12
. 故选：C. 【点睛】
本题考查线性规划中非线性目标函数最值的求解，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
7．若实数x ，y 满足40,30,0,x y x y y --≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
，则2x y y +=的最大值为（ ）
A ．512
B ．8
C ．256
D ．64
【答案】C 【解析】 【分析】
作出可行域，如下图阴影部分所示，令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可，根据图像平移得到答案. 【详解】
作出可行域，如下图阴影部分所示，
令x y m +=，可知要使2m z =取到最大值，只需m 取到最大值即可， 观察图像可知，当直线x y m +=过点()6,2A 时m 取到最大值8， 故2
x y
y +=的最大值为256.
故选：C ．
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
8．已知不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,5]-∞ B ．[5,)+∞
C ．(,4]-∞
D ．[4,)+∞
【答案】C 【解析】
若不等式240x ax -+≥对于任意的[1,3]x ∈恒成立，则4
a x x
≤+对于任意的[1,3]x ∈恒成立，∵当[1,3]x ∈时，4
[4,5]x x
+
∈，∴4a ≤，即实数a 的取值范围是(,4]-∞，故选C ．
【方法点晴】本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不
等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立；④ 讨论参数. 本题是利用方法 ① 求得a 的取值范围的.
9．若x ，y 满足约束条件40,20,20,x y x x y -+≥⎧⎪
-≤⎨⎪+-≥⎩
且z ax y =+的最大值为26a +，则a 的取值范
围是（ ） A ．[1,)-+∞ B ．(,1]-∞-
C ．(1,)-+∞
D ．(,1)-∞-
【答案】A 【解析】 【分析】
画出约束条件的可行域，利用目标函数的最值，判断a 的范围即可． 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示.因为z ax y =+的最大值为26a +，所以
z ax y =+在点(2,6)A 处取得最大值，则1a -≤，即1a ≥-.
故选：A
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用，利用z 的几何意义，通过数形结合是解决本题的关键．
10．已知,x y 满足33025010
x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪+-≤⎩
，则3
6y z x -=-的最小值为（ ）
A ．
157
B ．
913
C ．
17
D ．
313
【答案】D 【解析】 【分析】
画出可行域，目标函数3
6
y z x -=
-的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)P 连接的斜率，根
据图像得到答案.
【详解】
画出可行域如图中阴影部分所示，
目标函数
3
6
y
z
x
-
=
-
的几何意义是可行域内的点与定点(6,3)
P连接的斜率.
直线330
x y
-+=与直线10
x y
+-=交于点13
(,)
22
A -，
由图可知，当可行域内的点为A时，PA
k 最小，故
min
3
33
2
113
6
2
z
-
==
--
.
故选：D.
【点睛】
本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键.
11．设x，y满足约束条件则的最大值与最小值的比值为（）A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
【分析】
作出不等式组所表示的可行域，平移直线，观察直线在轴上取得最大值和最小值时相应的最优解，再将最优解代入目标函数可得出最大值和最小值，于此可得出答案。

【详解】
如图，作出约束条件表示的可行域.
由图可知，当直线经过点时.z取得最大值；
当直线经过点时，z取得最小值.故，故选：A。

【点睛】
本题考查简单的线性规划问题，一般利用平移直线利用直线在坐标轴上的截距得出最优解，考查计算能力，属于中等题。

12．已知实数x ，y 满足20x y >>，且11
122x y x y
+=-+，则x y +的最小值为
（ ）.
A ．33
5+ B ．
423
5
+ C ．243
5
+ D 343
+ 【答案】B 【解析】 【分析】
令22x y m x y n
-=⎧⎨
+=⎩，用,m n 表示出x y +，根据题意知11
1m n +=，利用1的代换后根据基本
不等式即可得x y +的最小值. 【详解】
20,20,20x y x y x y >>∴->+>Q ，
令22x y m x y n -=⎧⎨+=⎩，解得25
25m n x n m
y +⎧
=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，则0,0m n >>，111m n +=，
223111555m n n m n m x y m n +-+⎛⎫
⎛⎫∴+=+⨯=⨯+ ⎪
⎪⎝⎭⎝⎭
131313(42)55n m n m
m n m n
⎛⎫=⨯+++≥⨯+⋅ ⎪⎝⎭ 423
5
+=当且仅当3n m
m n
=，即3m n =，即23(2)x y x y -=+ 即97333
x y +-=
=
. 故选：B . 【点睛】
本题主要考查的是利用基本不等式求最值的问题，换元后根据1的代换是解题的关键，考查学生的计算能力，是中档题.
13．定义在R 上的函数()f x 对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，且函数
(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，若s 满足不等式
()()222323f s s f s s -+--+„，则s 的取值范围是（ ）
A ．13,2⎡⎫--
⎪⎢⎣⎭
B ．[3,2]--
C ．[2,3)-
D ．[3,2]-
【答案】D 【解析】 【分析】
由已知可分析出()f x 在R 上为减函数且()y f x =关于原点对称，所以不等式等价于
()()222323f s s f s s -+-+-„，结合单调性可得222323s s s s -+≥-+-，从而可求
出s 的取值范围. 【详解】
解：因为对任意()1212,x x x x ≠都有
()()
1212
0f x f x x x -<-，所以()f x 在R 上为减函数；
又(1)=-y f x 的图象关于(1,0)成中心对称，所以()y f x =关于原点对称， 则(
)(
)(
)
2
2
2
232323f s s f s s f s s -+--+=-+-„，所以
222323s s s s -+≥-+-，
整理得260s s +-≤，解得32s -≤≤. 故选：D. 【点睛】
本题考查了函数的单调性，考查了函数的对称性，考查了一元二次不等式的求解.本题的关键是由已知得到函数的单调性和对称性，从而将不等式化简.
14．已知x ，y 满足约束条件02340x y x y y -≥⎧⎪
+≤⎨⎪≥⎩
，若z ax y =+的最大值为4，则a =（ ）
A ．2
B ．
12
C ．-2
D ．12
-
【答案】A 【解析】 【分析】
由约束条件可得到可行域，根据图象可知最优解为()2,0A ，代入可构造方程求得结果.
【详解】
由约束条件可知可行域如下图阴影部分所示：
当直线:l y ax z =-+经AOB V 区域时，当l 过点()2,0A 时，在y 轴上的截距最大， 即()2,0A 为最优解，42a ∴=，解得：2a =.
故选：A .
【点睛】
本题考查线性规划中的根据目标函数的最值求解参数值的问题，关键是能够通过约束条件准确得到可行域，根据数形结合的方式确定最优解.
15．已知点()2,1A ，O 是坐标原点，点(), P x y 的坐标满足：202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，设
z OP OA =⋅u u u r u u u r ，则z 的最大值是（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】C
【解析】
【分析】
画出约束条件的可行域，转化目标函数的解析式，利用目标函数的最大值，判断最优解，代入约束条件求解即可.
【详解】 解：由不等式组202300x y x y y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
可知它的可行域如下图：
Q ()2,1A ，(), P x y
∴2z OP OA x y =⋅=+u u u r u u u r ，可图知当目标函数图象经过点()1,2B 时，z 取最大值，
即24z x y =+=.
故选：C.
【点睛】
本题考查线性规划的应用，考查转化思想以及数形结合思想的应用，属于中档题.
16．已知离散型随机变量X 服从二项分布~(,)X B n p ，且()4E X =，()D X q =，则11p q
+的最小值为（ ） A ．2
B ．52
C ．94
D ．4 【答案】C
【解析】
【分析】
根据二项分布()~X B n p ，的性质可得()E X ，()D X ，化简即44p q +=，结合基本不等式即可得到
11p q
+的最小值. 【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布()X B n p :，，
所以有()4E X np ==， ()()1D X q np p ==-（，
所以44p q +=，即14
q p +=，（0p >，0q >） 所以11114q p p q p q ⎛⎫⎛⎫+=++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 5592144444q p q p p q p q ⎛⎫++≥⨯=+= ⎪⎝⎭
， 当且仅当423
q p ==时取得等号． 故选C ．
【点睛】
本题主要考查了二项分布的期望与方差，考查了基本不等式，属于中档题．
17．在ABC ∆中，222sin a b c C ++=，则ABC ∆的形状是 ( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．钝角三角形
D ．等边三角形
【答案】D
【解析】
【分析】 由余弦定理可知222
2cos a b c ab C +-=，与已知条件相加，得到cos 3C π⎛⎫- ⎪⎝⎭的表达式，利用基本不等式得到范围，结合其本身范围，得到cos 13C π⎛⎫-
= ⎪⎝⎭
，从而得到C 的大小，判断出ABC ∆的形状，得到答案.
【详解】
由余弦定理可知2222cos a b c ab C +-=，
222sin a b c C ++=
两式相加，得到()22cos 2cos 3a b ab C C ab C π⎛
⎫+=+=- ⎪⎝⎭
所以222cos 1322a b ab C ab ab π+⎛⎫-== ⎪⎝⎭
≥，当且仅当a b =时，等号成立， 而[]cos 1,13C π⎛
⎫-∈- ⎪⎝⎭
所以cos 13C π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭， 因为()0,C π∈，所以2,333C πππ⎛⎫-
∈- ⎪⎝⎭ 所以03
C π
-=，即3C π=，又a b =， 所以ABC ∆是等边三角形，
故选D 项.
【点睛】
本题考查余弦定理解三角形，基本不等式，余弦型函数的性质，判断三角形的形状，属于
中档题.
18．已知2(0,0)x y xy x y +=>>，则2x y +的最小值为（ ）
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7
【答案】B
【解析】
由已知等式得到211x y +=，利用()2122x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭
可配凑出符合基本不等式的形式，利用基本不等式求得最小值.
【详解】
由2x y xy +=得：211x y
+= (
)212222559x y x y x y x y y x ⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当22x y y x =，即x y =时取等号）
2x y ∴+的最小值为9
故选：B
【点睛】
本题考查利用基本不等式求解和的最小值的问题，关键是能够灵活对等于1的式子进行应用，配凑成符合基本不等式的形式.
19．若集合()(){}130M x x x =+-<，集合{}1N x x =<，则M N ⋂等于（ ） A ．()1,3
B ．(),1-∞-
C ．()1,1-
D ．()3,1- 【答案】C
【解析】
【分析】
解一元二次不等式求得M ，然后求两个集合的交集.
【详解】
由()()130x x +-<解得13x -<<，故()1,1M N ⋂=-，故选C.
【点睛】
本小题主要考查集合交集的概念以及运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
20．已知,x y 满足约束条件24030220x y x y x y -+≥⎧⎪+-≤⎨⎪+-≥⎩
则目标函数22x y z -=的最大值为（ ）.
A ．128
B ．64
C ．164
D ．1128
【答案】B
【解析】
【分析】
画出可行域,再求解2x y -的最大值即可.
不等式组表示的平面区域如下图阴影部分所示.设2x y μ=-,因为函数2x y =是增函数,所
以μ取最大值时,z 取最大值.易知2x y μ=-在A 点处取得最大值.联立220,30x y x y +-=⎧⎨+-=⎩
解得4,1.
x y =⎧⎨=-⎩即(4,1)A -.所以max 42(1)6μ=-⨯-=,所以6max 264z ==.
故选：B
【点睛】
本题考查线性规划,考查化归与转化思想以及数形结合思想.。