高中数学人教A版选修4-1学案：第1讲1平行线等分线段定理

一平行线等分线段定理1．掌握平行线等分线段定理及其两个推论．(重点)2．能运用平行线等分线段定理及其两个推论进行简单的证明或计算．(难点)[基础·初探]教材整理1平行线等分线段定理阅读教材P2～P3定理以上部分，完成下列问题．1．文字语言如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等．2．图形语言如图1-1-1，l1∥l2∥l3，l分别交l1，l2，l3于A，B，C，l′分别交l1，l2，l3于A1，B1，C1，若AB＝BC，则A1B1＝B1C1.图1-1-1教材整理2平行线等分线段定理的推论阅读教材P4～P5“习题”以上部分，完成下列问题．1．推论1经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边．2．推论2经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰．在梯形ABCD中，M，N分别是腰AB与腰CD的中点，且AD＝2，BC＝4，则MN等于()【导学号：07370000】A．2.5B．3C．3.5 D．不确定【解析】由梯形中位线定理知选 B.【答案】 B[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：[小组合作型]，CE∥FB交AD的延长线于E.求证：AG＝2DE.图1-1-2【精彩点拨】AF＝FC， GF∥EC→AG＝GE→△BDG≌△CDE→AG＝2DE【自主解答】在△AEC中，∵AF＝FC，GF∥EC，∴AG＝GE.∵CE∥FB，∴∠GBD＝∠ECD，∠BGD＝∠E.又BD＝DC，∴△BDG≌△CDE.故DG＝DE，即GE＝2DE，因此AG＝2DE.1．如果已知条件中出现中点，往往运用三角形的中位线定理来解决问题．2．本例在证明DG＝DE时也可以过D作EC的平行线DH.因为BG∥DH∥CE且BD＝CD得DG＝DE，使用平行线等分线段定理来证明．[再练一题]1．如图1-1-3，已知AD是三角形ABC的中线，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F.求证：AF＝13AC.图1-1-3 【证明】过D作DH∥BF，交AC于H. ∵BD＝CD，DH∥BF，∴FH＝CH.同理AF＝FH.∴AF＝FH＝CH，∴AF＝13AC.60°，BC＝AB，E为AB的中点．求证：△ECD为等边三角形．图1-1-4【精彩点拨】过E作EF∥BC，先证明EC＝ED，再连接AC，证明∠BCE ＝30°，从而∠ECD＝60°.【自主解答】过E作EF∥BC交DC于F，连接AC，如图所示．∵AD∥BC，E为AB中点，∴F是DC中点．①又∵DC⊥BC，EF∥BC，∴EF⊥DC.②∴由①②知，EF是DC的垂直平分线，∴△ECD为等腰三角形．③∵BC＝AB，∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形．又∵E是AB中点，∴CE是∠ACB的平分线，∴∠BCE＝30°，∴∠ECD＝60°.④由③④知，△ECD为等边三角形．1．解答本题的关键是通过证明△ABC是等边三角形来证明∠BCE＝30°.2．有梯形且存在线段中点时，常过该点作平行线，构造平行线等分线段定理的推论2的基本图形，进而进行几何证明或计算．[再练一题]2．如图1-1-5，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝2AD，E，F分别是AB，CD的中点，EF交BD于G，交AC于H.求证：EG＝GH＝HF.【导学号：07370001】图1-1-5【证明】∵E，F分别是AB，CD的中点，AD∥BC.∴EF∥AD，EF∥BC.∴G，H分别是BD，AC的中点．∴EG綊12AD，FH綊12AD，∴EG＝FH.∵BC＝2AD，EH＝12BC，∴EH＝AD，又EG＝12AD，∴GH＝EH－EG＝AD－12AD＝12AD，∴EG＝GH，即EG＝GH＝HF.[探究共研型]探究1【提示】证明：过B2作CD∥A1A3，分别交l1，l3于C，D，则可得到▱A1A2B2C和▱A2A3DB2.∴A1A2＝CB2，A2A3＝B2D.∵A1A2＝A2A3，∴CB2＝B2D.又∵∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴△B1B2C≌△B3B2D，∴B1B2＝B2B3.探究2平行线等分线段定理的逆命题成立吗？【提示】平行线等分线段定理的逆命题是：如果一组直线截另一组直线成相等的线段，那么这组直线平行，这个命题是错误的．(如图所示)如图1-1-6，已知AC⊥AB，DB⊥AB，O是CD的中点，求证：OA ＝O B.图1-1-6【精彩点拨】由于线段OA和OB有共同端点，则转化为证明△OAB是等腰三角形即可．【自主解答】过O作AB的垂线，垂足为E，如图所示．又∵AC⊥AB，DB⊥AB，∴OE∥AC∥D B.又∵O为CD的中点，∴E为AB的中点，又OE⊥AB，∴△OAB是等腰三角形，∴OA＝OB.1．本题中由AC⊥AB，DB⊥AB知AC∥DB，联想到作OE⊥AB，再根据平行线等分线段定理证明点E是AB的中点．2．平行线等分线段定理应在有线段的中点时应用，在没有线段的中点时构造线段的中点来应用．[再练一题]3．如图1-1-7，已知▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，过点A，B，C，D，O分别作直线a的垂线，垂足分别为A′，B′，C′，D′，O′.求证：A′D′＝B′C′.图1-1-7【证明】∵▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，∴OA＝OC，OB＝OD.∵AA′⊥a，OO′⊥a，CC′⊥a，∴AA′∥OO′∥CC′，∴O′A′＝O′C′，同理O′D′＝O′B′，∴A′D′＝B′C′.[构建·体系]1．如图1-1-8所示，DE是△ABC的中位线，F是BC上任一点，AF交DE 于G，则有()图1-1-8A．AG>GFB．AG＝GFC．AG<GFD．AG与GF的大小不确定【解析】∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，AD＝DB，∴AG＝GF.【答案】 B2．如图1-1-9，已知l1∥l2∥l3，那么下列结论中错误的是()图1-1-9A ．由AB ＝BC 可得FG ＝GH B ．由AB ＝BC 可得OB ＝OG C ．由CE ＝2CD 可得CA ＝2BC D ．由GH ＝12FH 可得CD ＝DE【解析】 由平行线等分线段定理知，A ，C ，D 均正确． 【答案】 B3．如图1-1-10，AB ∥CD ∥EF ，AF ，BE 交于点O ，若AO ＝OD ＝DF ，BE ＝10 cm ，则BO 的长是( )图1-1-10A ．3 cm B.103 cm C ．5 cmD ．10 cm【解析】 由平行线等分线段定理知，BO ＝103 cm. 【答案】 B4．如图1-1-11所示，AF ＝FD ＝BD ，FG ∥DE ∥BC ，若EP ＝1，则BC ＝________.【导学号：07370002】图1-1-11【解析】 由平行线等分线段定理知AG ＝GE ＝EC ，则EP 是△CFG 的中位线，故FG ＝2，又FG 是△ADE 的中位线，∴DE ＝4，DP ＝3，又DP 是△FBC的中位线，∴BC＝6.【答案】 65．如图1-1-12，已知以梯形ABCD的对角线AC及腰AD为邻边作▱ACED，DC的延长线交BE于F.求证：EF＝BF.图1-1-12【证明】连接AE交DC于O，∵四边形ACED是平行四边形，∴O是AE的中点(平行四边形的对角线互相平分)．∵四边形ABCD是梯形，∴DC∥A B.在△EAB中，OF∥AB，O是AE的中点，∴F是EB的中点，∴EF＝BF.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(一)(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1-1-13，已知l1∥l2∥l3，AB，CD相交于l2上一点O，且AO＝OB，则下列结论中错误的是()图1-1-13A．AC＝BD B．AE＝EDC．OC＝OD D．OD＝OB【解析】由l1∥l2∥l3知AE＝ED，OC＝OD，由△AOC≌△BOD知AC＝BD，但OD与OB不能确定其大小关系．故选D.【答案】 D2．如图1-1-14，已知AE⊥EC，CE平分∠ACB，DE∥BC，则DE等于()【导学号：07370003】图1-1-14A．BC－ACB．AC－BFC.12(AB－AC)D.12(BC－AC)【解析】由已知得CE是线段AF的垂直平分线．∴AC ＝FC ，AE ＝EF . ∵DE ∥BC ，∴DE 是△ABF 的中位线， ∴DE ＝12BF ＝12(BC －AC )． 【答案】 D3．如图1-1-15所示，过梯形ABCD 的腰AD 的中点E 的直线EF 平行于底边，交BC 于F ，若AE 的长是BF 的长的23，则FC 是ED 的( )图1-1-15A.23倍 B.32倍 C ．1倍D.12倍【解析】 ∵AB ∥EF ∥DC ，且AE ＝DE ， ∴BF ＝FC .又∵AE ＝23BF ， ∴FC ＝32ED . 【答案】 B4．如图1-1-16，在梯形ABCD 中，E 为AD 的中点，EF ∥AB ，EF ＝30 cm ，AC 交EF 于G ，若FG －EG ＝10 cm ，则AB ＝( )图1-1-16A ．30 cmB ．40 cmC ．50 cmD ．60 cm【解析】 由平行线等分线段定理及推论知，点G ，F 分别是线段AC ，BC 的中点，则EG ＝12DC ，FG ＝12AB ，∴⎩⎪⎨⎪⎧AB ＋DC ＝60，12AB －12DC ＝10，⎩⎨⎧AB ＋DC ＝60，AB －DC ＝20， 解得⎩⎨⎧AB ＝40，DC ＝20.【答案】 B5.如图1-1-17，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 为BC 中点，且AE ∥DC ，AE 交BD 于点F ，过点F 的直线交AD 的延长线于点M ，交CB 的延长线于点N ，则FM 与FN 的关系为( )图1-1-17A ．FM >FNB ．FM <FNC ．FM ＝FND ．不能确定【解析】 ∵AD ∥BC ，AE ∥DC ， ∴四边形AECD 是平行四边形. ∴AD ＝EC ＝12BC ， 即BE ＝EC ＝AD . ∴△ADF ≌△EBF ， ∴AF ＝FE ， ∴△AFM ≌△EFN ， ∴FM ＝FN . 【答案】 C 二、填空题6．如图1-1-18所示，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝2，BC ＝6，E ，F 分别为对角线BD ，AC 的中点，则EF ＝____.图1-1-18【解析】 如图所示，过E 作GE ∥BC 交BA 于G .∵E 是DB 的中点，∴G 是AB 的中点，又F 是AC 的中点， ∴GF ∥BC ，∴G ，E ，F 三点共线， ∴GE ＝12AD ＝1，GF ＝12BC ＝3，∴EF ＝GF －GE ＝3－1＝2. 【答案】 27．如图1-1-19，已知在△ABC 中，AD ∶DC ＝1∶1，E 为BD 的中点，AE 延长线交BC 于F ，则BF 与FC 的比值为__________．【导学号：07370004】图1-1-19【解析】 过D 作DG 平行于BC ，交AF 于点G ，再根据平行线等分线段定理即可解决．【答案】 128．如图1-1-20，在△ABC 中，E 是AB 的中点，EF ∥BD ，EG ∥AC ，CD ＝12AD ，若EG ＝5 cm ，则AC ＝________；若BD ＝20 cm ，则EF ＝________.图1-1-20【解析】 ∵E 为AB 的中点，EF ∥BD ，∴F 为AD 的中点．∵E 为AB 的中点，EG ∥AC ，∴G 为BD 的中点，若EG ＝5 cm ，则AD ＝10 cm ，又CD ＝12AD ＝5 cm ，∴AC ＝15 cm.若BD ＝20 cm ，则EF ＝12BD ＝10 cm.【答案】 15 cm 10 cm 三、解答题9．(2016·南京模拟)如图1-1-21，在梯形ABCD 中，CD ⊥BC ，AD ∥BC ，E 为腰CD 的中点，且AD ＝2 cm ，BC ＝8 cm ，AB ＝10 cm ，求BE 的长度．图1-1-21【解】 过E 点作直线EF 平行于BC ，交AB 于F ，作BG ⊥EF 于G (如图)，因为E 为腰CD 的中点，所以F 为AB 的中点，所以BF ＝12AB ＝5 cm ，又EF ＝AD ＋BC 2＝2＋82＝5(cm)， GF ＝BC －FE ＝8 cm －5 cm ＝3 cm ， 所以GB ＝BF 2－GF 2＝25－9＝4 cm ， EC ＝GB ＝4 cm ，所以BE ＝BC 2＋CE 2＝82＋42＝45(cm)．10．用一张矩形纸，你能折出一个等边三角形吗？如图1-1-22(1)，先把矩形纸ABCD 对折，设折痕为MN ；再把B 点叠在折痕线上，得到Rt △ABE ，沿着EB 线折叠，就能得到等边△EAF ，如图(2)．想一想，为什么？图1-1-22【解】利用平行线等分线段定理的推论2，∵N是梯形ADCE的腰CD的中点，NP∥AD，∴P为EA的中点．∵在Rt△ABE中，P A＝PB(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)，∴∠1＝∠3.又∵PB∥AD，∴∠3＝∠2，∴∠1＝∠2.又∵∠1与和它重合的角相等，∴∠1＝∠2＝30°.在Rt△AEB中，∠AEB＝60°，∠1＋∠2＝60°，∴△AEF是等边三角形．[能力提升]1．如图1-1-23，AD是△ABC的高，E为AB的中点，EF⊥BC于F，如果DC＝13BD，那么FC是BF的()图1-1-23A.53倍 B.43倍C.32倍 D.23倍【解析】∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD.又E为AB的中点，由推论1知F为BD的中点，即BF＝FD.又∵DC＝13BD，∴DC＝23BF.∴FC＝FD＋DC＝BF＋DC＝53BF.【答案】 A2．梯形的一腰长10 cm，该腰和底边所形成的角为30°，中位线长为12 cm，则此梯形的面积为( )A ．30 cm 2B ．40 cm 2C ．50 cm 2D ．60 cm 2【解析】 如图，过A 作AE ⊥BC ，在Rt △ABE 中，AE ＝AB sin 30°＝5 cm.又已知梯形的中位线长为12 cm ，∴AD ＋BC ＝2×12＝24(cm)． ∴梯形的面积S ＝12(AD ＋BC )·AE ＝12×5×24＝60(cm 2)． 【答案】 D3．如图1-1-24，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于D ，M 是AD 的中点，CM 交AB 于P ，DN ∥CP ，若AB ＝9 cm ，则AP ＝__________；若PM ＝1 cm ，则PC ＝__________.【导学号：07370005】图1-1-24【解析】 由AB ＝AC 和AD ⊥BC ，结合等腰三角形的性质，得D 是BC 的中点．再由DN ∥CP ，可得N 是BP 的中点．同理可得P 是AN 的中点，由此可得答案．【答案】 3 cm 4 cm4．如图1-1-25所示，AE ∥BF ∥CG ∥DH ，AB ＝12BC ＝CD ，AE ＝12，DH ＝16，AH 交BF 于点M ，求BM 与CG 的长．图1-1-25【解】 如图，取BC 的中点P ，作PQ ∥DH 交EH 于点Q ，则PQ 是梯形ADHE 的中位线．∵AE ∥BF ∥CG ∥DH ， AB ＝12BC ＝CD ， AE ＝12，DH ＝16， ∴AB AD ＝14，BM DH ＝AB AD ， ∴BM 16＝14， ∴BM ＝4.∵PQ 为梯形的中位线，∴PQ ＝12(AE ＋DH )＝12(12＋16)＝14. 同理，CG ＝12(PQ ＋DH )＝12(14＋16)＝15.。