第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
「9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分」
§9.５ 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分对于某些三重积分，由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
一、利用柱面坐标计算三重积分１、柱面坐标设M x y z (,,)为空间的一点,该点在xoy 面上的投影为P ,P 点的极坐标为r ,θ,则r z ,,θ三个数称作点M 的柱面坐标。
规定r z ,,θ的取值范围是0≤<+∞r ，02≤≤θπ，-∞<<+∞z柱面坐标系的三组坐标面分别为r =常数,即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数,即过z 轴的半平面;z =常数,即与xoy 面平行的平面。
点M 的直角坐标与柱面坐标之间有关系式x r y r z z ===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪cos sin θθ (1) ２、三重积分f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰在柱面坐标系中的计算公式用三组坐标面r=常数，θ=常数,z =常数,将Ω分割成许多小区域,除了含Ω的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
考察由r z ,,θ各取得微小增量dr d dz ,,θ所成的柱体,该柱体是底面积为rdrd θ,高为dz 的柱体,其体积为dv rdrd dz =θ这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到（１)式有f x y z dv f r r z rdrd dz (,,)(cos ,sin ,)ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=θθθ(２)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。
(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量z r ,,θ的三次积分,其积分限要由z r ,,θ在Ω中的变化情况来确定。
3、用柱面坐标r z ,,θ表示积分区域Ω的方法(1)、找出Ω在xoy 面上的投影区域D xy , 并用极坐标变量r ,θ表示之;(2)、在D xy 内任取一点(,)r θ, 过此点作平行于z 轴的直线穿过区域, 此直线与Ω边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成r ,θ的函数)即为z 的变化范围。
利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
z
rd
dr
r
dz
o
f ( x, y, z)dxdydz
y
d
x
f (r cos ,r sin , z)rdrddz.
例1 计算I zdxdydz，其中 是球面
x2 y2 z2 4与抛物面 x2 y2 3z
所围的立体.
x r cos
解
由
y
r
sin
,
z z
x2 y2 z2， 与平面z a (a 0) 所围的立体.
解: 采用球面坐标
za r a , cos
x2 y2 z2 ,
4
: 0 r a , 0 , 0 2,
cos
4
I ( x2 y2 )dxdydz
2
d
4 d
a
cos r 4 sin 3dr
0
球 面； 圆锥面； 半平面．
如图，
z
设点 M 在 xoy 面上的投影为P，
r
• M(x, y,z)
点 P 在 x 轴上的投影为 A，
z
则 OA x, AP y, PM z.
o
x
A
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
如图，
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
2
2
d dr
0
0
2
r2 2
r
r 2dz
25 6
,
原式I 45 25 336 . 36
二、利用球面坐标计算三重积分
利用柱面坐标计算三重积分x^2+y^2dv
利用柱面坐标计算三重积分 x^2 + y^2 dv在数学中，三重积分是一种计算多变量函数在三维空间内某个区域上的积分的方法。
本文将探讨如何利用柱面坐标系统来计算三重积分x2+y2。
首先，让我们回顾一下柱面坐标。
在三维空间中，柱面坐标由极径r、极角$\\theta$ 和高度z来描述一个点的位置。
其中，$x = r\\cos(\\theta)$，$y =r\\sin(\\theta)$，z保持不变。
假设我们需要计算的三重积分为：$$ \\iiint_D x^2 + y^2 \\, dV $$其中D为一个柱面和平面z=0所围成的区域。
我们可以通过柱面坐标来简化这个积分。
首先，将x和y换成柱面坐标表示：$x = r\\cos(\\theta)$，$y = r\\sin(\\theta)$。
然后，计算体积元素dV。
在柱面坐标下，体积元素dV可表示为：$dV = r\\, dr\\, d\\theta\\, dz$。
将x和y用柱面坐标表示，将dV替换为 $r\\, dr\\, d\\theta\\, dz$，我们可以将原积分转换为柱面坐标下的积分形式：$$ \\iiint_D (r^2\\cos^2(\\theta) + r^2\\sin^2(\\theta)) \\, r\\, dr\\,d\\theta\\, dz $$即$$ \\iiint_D r^3\\, dr\\, d\\theta\\, dz $$接下来，我们可以按照柱面坐标系下的积分计算方法进行计算：$$ \\int_0^{2\\pi} \\int_0^R \\int_0^H r^3\\, dr\\, dz\\, d\\theta $$，其中R代表柱面的半径，H代表柱面的高度。
继续计算得到$$ \\int_0^{2\\pi} \\int_0^R \\left. \\frac{1}{4}r^4 \\right|_0^H dz\\,d\\theta \\\\ = \\int_0^{2\\pi} \\int_0^R \\frac{1}{4}H^4 dz\\, d\\theta \\\\ =\\int_0^{2\\pi} \\frac{1}{4}H^4R d\\theta \\\\ = \\frac{1}{4}H^4R\\int_0^{2\\pi} d\\theta \\\\ = 2\\pi \\cdot \\frac{1}{4}H^4R \\\\ =\\frac{1}{2}\\pi H^4R $$因此，利用柱面坐标计算三重积分 $\\iiint_D x^2 + y^2 \\, dV$ 的结果为$\\frac{1}{2}\\pi H^4R$。
极坐标与球面坐标计算三重积分
方向转到有向线段
的角．
OP
这样的三个数r、围为
x
0 r<，0 j <，0q 2．
r j
O
q x
M(x, y, z)
y
y
P
坐标面rr0，jj 0，q q 0的意义： z
j O
q
x
ry
点的直角坐标与球面坐标的关系：
x r sin j cosq ,
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标．
三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标．
这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<．
z z
M(x, y, z)
O
2
dq
a
dj
2a cosj r 2 sin jdr
0
0
0
jr
2
a
s in jdj
2a cosj r 2 dr
0
0
a
16a3 a cos3 j sinjdj 30
O
y
4a3 (1 cos4 a) ．
x
3
例3 求均匀半球体的重心．
z
解 取半球体的对称轴为 z 轴， 原点取在球心上，又设球半径为a．
坐标面rr0，q q 0，zz0的意义：
x
z
z0
rr0 O
r0 q0
zz0
q q 0 y
直角坐标与柱面坐标的关系：
z
x r cosq ,
y
r
sin
q
,
z z.
(简)3-5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
0 ≤ r ≤ a,
0 ≤ θ ≤ 2π ,
2π a a
I = ∫∫∫ ( x + y )dxdydz = ∫ dθ ∫ rdr ∫ r 2dz
Ω
0
0
r
a4 a5 π 5 3 = 2π ∫ r (a − r )dr = 2π[a ⋅ − ] = a . 0 10 4 5
a
例 4 求曲面x2 + y2 + z2 ≤ 2a2 与z ≥ x2 + y2 所围 成的立体体积.
解 积分域关于三个坐标面都对称， 积分域关于三个坐标面都对称， 奇函数, 被积函数是 z 的奇函数
z ln( x 2 + y 2 + z 2 + 1) ∫∫∫ x 2 + y 2 + z 2 + 1 dxdydz = 0. Ω
例6
计算 ∫∫∫ ( x + y + z ) dxdydz 其中Ω 是由抛物
2
2
面 z = x + y 和球面 x + y + z = 2 所围成的空 间闭区域.
2 2 2
Ω 2
解
Q ( x + y + z)
2 2 2
2
= x + y + z + 2( xy + yz + zx )
的奇函数, 其中 xy + yz 是关于 y 的奇函数
面对称, 且 Ω 关于 zox 面对称 ∴
所围成的立体如图， 所围成的立体如图，
所围成立体的投影区域如图， 所围成立体的投影区域如图，
D1 : x 2 + y 2 = 16,
0 ≤ θ ≤ 2 π 0 ≤ r ≤ 4 , Ω1 : 2 r ≤ z ≤ 8 2
柱面坐标和球面坐标计算定积分
设 M ( x, y, z) 为空间内一点，并设点M 在
xoy 面上的投影 P 的极坐标为r,，则这样的三 个数 r, , z 就叫点 M 的柱面坐标．
z
规定： 0 r ,
0 2,
z .
• M(x, y,z)
or
•
y
P(r, )
x
如图，三坐标面分别为
r 为常数
三个有次序的数r，， 来确定，其中r 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按
逆时针方向转到有向线段 OP 的角，这里 P 为
点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三个数 r，， 就叫做点 M 的球面坐标．
规定： 0 r , 0 , 0 2.
y
r
sin
sin
,
z r cos .
如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
dv r2 sindrdd ,
f ( x, y, z)dxdydz
dr
d r sin
r
o
d
x
r sind rd
d
y
f (r sin cos ,r sin sin ,r cos )r2 sindrdd .
例 3 计算 I ( x2 y2 )dxdydz，其中 是锥面
1 8
I1 rdrd r2 fdz
D1
2
2
d
0
2
4
dr
0
8
r2
r
r
2dz
2
45 3
,
2
I2 rdrd r2 fdz
D2
2
3.5 利用柱面坐标和球面坐标的计算三重积分
ex6.设f ( u)具有连续的导数, 且f (0) 0, 求 1 lim 4 t 0 t
x2 y2 z2 t 2
f (
r2 则 {( r , , z ) | z 4 r 2 , 0 r 3,0 2 } 3 z I zrdrddz z 4 r2
0 d 0 dr r 2
3
2
3
4 r 2
r zdz
13 . 4
r2 z 3 x
y
2
x
02 d 0
2 cos
8 2 a2 8 3 2 r dr 0 zdz 02 cos d a . 9 2 3
a
二. 在球面坐标下计算三重积分
1. 球面坐标及坐标面
设 M ( x , y, z ) 为空间内一点，则点M 可用 三个有次序的数 ，， 来确定，其中 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按 逆时针方向转到有向线 OP 的角，这里 P 为 段 点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 ，，
x sin cos y sin sin z cos
z
x
M ( x, y, z )
z
o
A
y
y
x
P
3. 球面坐标下的三次积分
球面坐标系中的体积元素为
d
z
d
sin
利用柱面坐标计算三重积分
z
j r
zdv
dvΒιβλιοθήκη zdvO
dv
a 2 0 2
．
q
x
a y
dv 2 dj dq
2
0
0
2a 3 , r sin jdr 3
a
1 a4 , zdv 2 dj dq r cos j r 2 sin jdr 2 0 0 0 2 4 3a 3a 因此`z ．重心为(0，0， )． 8 8
§9．5 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
一、利用柱面坐标计算三重积分
柱面坐标、 柱面坐标系的坐标面 直角坐标与柱面坐标的关系、柱面坐标系中的体积元素
柱面坐标系中的三重积分
二、利用球面坐标计算三重积分
球面坐标、球面坐标系的坐标面 直角坐标与球面坐标的关系、球面坐标系中的体积元素 球面坐标系中的三重积分
，r sin q ，z) rdrdqdz．
例1 例1 利用柱面坐标计算三重积分 zdxdydz，其中是由曲
面 zx2y2 与平面 z4 所围成的闭区域．
z 4 zx2y2 或 zr2
解 闭区域可表示为：
r 2z4，0r2，0q2． 于是
zdxdydz zrdrdqdz
2 r sin jdrdjdq dq sin j dj r 4 dr a 2 M , 0 0 0 5
4 3
2
3
a
4 3 其中 M a 为球体的质量． 3
一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，则点M与数 r、q 、z相对应， 其中P(r, q )为点M在xOy面上的投影的极坐标． 三个数 r、q 、z 叫做点M 的柱面坐标． z 这里规定r、q 、z的变化范围为： 0 r<， 0 q 2 ， < z<． O x r y P(r, q ) y z
五节利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分-精品文档
解法（二） 采用柱面坐标
x y z z r ,
2 2 2
2 2 2 D :x y a ,
:r z a ,0 r a , 0 2 ,
I (x y ) dxdydz
2 2
d rdr rdz
a a 2 0 0 r
2 2 2 2 2
x y z 4 与 x y 3 z 所围的立体 .
x r cos 解 由 y r sin , zz
知交线为
r 2 z 2 4 z 1 , r 3 , 2 r 3z
把闭区域 投影到 xoy 面上，如图所 ，
dr
rsin d rd
r sin
dv rsin drd d ,
2
r
d
o
f( x ,y ,z ) dxdydz
y
d
2 f ( r sin cos , r sin sin , r cos ) r sin drd d .
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
z
rd
dr
r
dv rdrd dz ,
dz
o
f( x ,y ,z ) dxdydz
y
d
x
f ( r cos , r sin , z ) rdrd dz .
例1 计算 I zdxdydz ,其中 是球面
I I I 1 2
1 2
2 2 2 2 ( x y ) dxdydz ( x y ) dxdyd ,
5 4 I rdrd r fdz rdz , d dr r 1 D 3 2
§7.3[2]利用柱面坐标和球坐标计算三重积分
![§7.3[2]利用柱面坐标和球坐标计算三重积分](https://img.taocdn.com/s3/m/ab56616c1eb91a37f1115c11.png)
o
x
y
V = ∫∫∫ dv = ∫∫∫ r 2 sindrddθ
= ∫0 dθ ∫0 d ∫0
4
2π
π
2a 2
r sindr
x = r sin cosθ , y = r sin sinθ , z = r cos.
4 = π ( 2 1)a3. 3
dv = r 2 sindrddθ
�
: x2 + y2 + z2 ≤ 1.
o
y
x
0 ≤ θ ≤ 2π , : 0 ≤ ≤ π , 0 ≤ r ≤ 1.
z
∫∫∫
z2dv =
r 2 cos2 r 2 sin dr d dθ ∫∫∫
o
y
= ∫0 dθ ∫
= ∫0 dθ ∫
2π
2π
x 1 4 2 d 0 r cos sin dr 0 5 1 r π 2 cos sin d 0 5 0
一,利用柱面坐标计算三重积分
xoy 面上的极坐标 + z 坐标
0 ≤ r < +∞,
z
0 ≤ θ ≤ 2π ,
∞ < z < +∞.
M( x, y, z)
y
o r θ
x
P(r,θ )
如图, 如图,三坐标面分别为
z
r 为常数
圆柱面; 圆柱面; 半平面; 半平面; 平 面.
x
z
θ 为常数
z 为常数
z
x
r
为常数
θ 为常数
o
θ
y
球面坐标与直角坐标的关系为
z
x = r sin cosθ , y = r sin sinθ , z = r cos.
齐民友高数下册上课第10章05柱面坐标与求面坐标系中三重积分的计算(1)
第5节 柱面坐标与球面坐标系下三重积分的计算5.1 利用柱面坐标计算三重积分我们不按课本上的讲法，换一种讲法。
用柱面坐标计算三重积分的步骤： （1）把三重积分写成二套一：将往xOy 平面投影得xy D，设的小z 边界1(,)zz x y 大z 边界2(,)zz x y ，则21(,)(,)(,,)d (,,)xyz x y z x y D f x y z vdxdyf xy z dz（2）用极坐标计算外层的二重积分： 设12(,)|()(),xyD则212211(,)(,)()(cos ,sin )()(cos ,sin )(,,)d (,,) (cos ,sin ,)xyz x y z x y D z z f x y z vdxdyf x y z dzd df zdz注意：用极坐标计算外层二重积分时，总是先对后对积分；用坐标关系cos x ，sin y 代入被积函数和里层定积分的上下限，z不动，并且外层面积元素多一个因子，即dxdyd d ，或说体积元素dxdydzd d dz ．当然，当投影区域xy D 的边界有圆弧或被积函数有22x y 时用柱面坐标计算简单。
离 散数 学【例5.1】 计算三重积分22()d xy v ，其中是由曲线220y z x绕z轴旋转一周而成的曲面与平面2z所围成的区域．解 旋转面的方程为：222x yz ．如图5.1所示，将积分区域投影到xOy 面，得投影区域为：22(,)|4xyD x y x y ．的小z 边界222x y z 大z 边界2z 。
积分区域为：222212(,,)|()2,4x y z x y zx y ，所以2222222222222100222220246()d () 1 d(2)d 211162()2123xy x y D xy vdxdy x y dz d ddz图5.1我们看到，上面计算方法中，用,,z 作坐标（变量）。
设空间有一点(,,)M x y z ．并设M 在xOy 面上的投影点P 的极坐标为,，则这样三个数,,z 就叫做点M 的柱面坐标．一般地,,z 的取值范围为： 0，02，z ．容易看出，所谓柱面坐标，就是：z 不变还是z ，而,x y 换成极坐标。
高等数学随堂讲解三重积分在柱坐标与球坐标系下计算
一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
➢柱坐标系 平面极坐标系添加oz轴得到的空间坐标系
➢柱坐标 设 M (x, y, z) R3,
➢直角坐标与柱坐标的关系
x cos
点M的柱坐标
z
y sin
zz
z M (x, y, z)
规定
在柱坐标系下
常数 常数
圆柱面 半平面
o
y
x (x, y,0)
z 常数
平面
一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
➢球坐标系下三重积分计算公式
f (x, y, z)dv f (r sin cos , r sin sin , r cos )r 2 sin drdd
二、三重积分在球坐标系下的计算
（一）球坐标系 （二）球坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
二、三重积分在球坐标系下的计算
三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算
一、三重积分在柱坐标系下的计算 二、三重积分在球坐标系下的计算
三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算
一、三重积分在柱坐标系下的计算 二、三重积分在球坐标系下的计算
一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
（一）球坐标系 （二）球坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
利用柱坐标计算三重积分
f (x, y, z) d v
ab DZ f (x, y, z) d x d ydz
记作
bd
a
z
DZ
f (x, y, z)dxd y
z
d
z Dz
c
y
x
面密度≈
f (x, y, z) d z
2. 利用柱坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3,将x, y用极坐标 , 代替, 则（, , z)
一、利用空间区域的对称性或被积函数的奇偶性计算三重积
分
（1）若空间闭区域关于平面 对称xo, y即
(x, y, z) V , (x, y, z) V , 则当 f (x, y, z) f (x, y, z)
即被积函数关于z 为奇函数时,
f (x, y, z)dxdydz 0
V
当 f (x, y, z) f (x, y, z) 即被积函数关于z为偶函数时，
由 z 1 (x2 y2 ), z 1, z 4围成. 2
解: I x2 d x d y d z 5 xy2 sin x2 y2 d x d y d z
利用对称性
关于 为x 奇函数
z
1 2
( x2
y2
)d xd
yd
z
1
4
dz
( x2 y2 )d xd y
21
Dz
1
4
区域D上的二重积分，完成”后二“这一步。
f (x, y, z)dv
d xd y z2 (x,y) f (x, y, z) d z
D
z1 ( x, y )
方法2. 截面法 (“先二后一”)
:
(x, y
c
3.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
z dxdydz z r dr d dz
0 d 0 dr r 2 r z dz
0 d 0
2 2
2
2
4
z r 2 2 dr r
2 4
2 2 1 0 d 0 (16r r 5 )dr 2
2 2 1 1 0 8r r 6 d 2 6 0 2
0 2 , : 0 , 4 0 R.
],
z
R
即
o
x
y
( x 2 y 2 z 2 ) dv
2 2 sin dd d
x sin cos , y sin sin , z cos .
0 0 0
1
d
0
2
0
cos sin d dv 2 sin ddd 5 0
5 2
1
x sin cos , y sin sin , z cos .
2 1 0 d 0 cos2 sin d 5 2 1 0 d 0 cos2 d (cos ) 5
2 r r dr d dz.
2 2 ( x y ) dv
0 d 0 dr
2 H 3
2
H
H 3 r r
dz
0 d 0 r z
H
x r cos , y r sin , z z. dv r dr d dz ,
规定：
z
0 , 0 ,
0 2 .
极坐标与球面坐标计算三重积分
3 a
2π
π
4 其中 M = πa 3 ρ 为球体的质量． 3
0
2πa 3 , r 2 sin ϕdr = 3
a
1 a4 zdv = ∫ 2 dϕ ∫ dθ ∫ r cos ϕ ⋅ r 2 sin ϕdr = ⋅ 2π ⋅ , ∫∫∫ 0 0 0 2 4 Ω 3a 3a 因此z= ．重心为(0，0， )． 8 8
2π
π
例4 求均匀球体对于过球心的一条轴l 的转动惯量． 解 取球心为坐标原点，z轴与轴l重合，又设球的半径为a， z 则球体所占空间闭区域Ω可用不等式 x2+y2+z2≤a 2 来表示． 所求转动惯量为
θ =θ 0
y
θ0
直角坐标与柱面坐标的关系：
z z M(x, y, z)
x = r cos θ , y = r sin θ , z = z.
柱面坐标系中的体积元素： dv =rdrdθdz． 柱面坐标系中的三重积分： x
Ω
O x
θ
r
y P(r, θ )
y
∫∫∫ f (x，y，z)dxdydz = ∫∫∫ f (r cos θ
V= ∫∫∫ dxdydz = ∫∫∫ r2 sinϕ drdϕdθ
Ω Ω
= ∫ dθ ∫ dϕ ∫
0 0
2π
α
2 a cos ϕ
0
r 2 sin ϕdr
= 2π ∫ sin ϕdϕ ∫
0
α
2 a cos ϕ
ϕ r α O x y
0
r 2 dr
16πa 3 α = cos 3 ϕ sin ϕdϕ 3 ∫0 4πa 3 = (1 − cos 4 a) ． 3
球坐标和柱坐标下的三重积分计算方法、步骤与典型例题
球坐标和柱坐标下的三重积分计算方法、步骤与典型例题1、柱坐标及与直角坐标之间的关系三重积分的柱坐标其实就是直角坐标与极坐标的一个融合，直观地讲，就是将其中的两个变量用所在的坐标面的极坐标变量来描述，比如，当xOy面上的坐标分量用极坐标描述，z不变的柱坐标与直角坐标之间的关系为其中θ的取值由点在xOy面上的投影点所在的象限确定。
关系图如图1所示。
各坐标变量等于0时对应的坐标面图形分别为：θ=0：zOx面包含z轴和x正半轴的半平面；ρ=0：z轴z=0：xOy面，即极坐标面各坐标变量取常值时对应的曲面则分别为：θ=θ0：由xOy面上的θ=θ0对应的射线和z轴确定的半平面；ρ=ρ0：中心轴为z轴，与z轴的距离为ρ0的圆柱面；z=z0：与xOy面，即极坐标面平行的平面。
具体形状与点的位置关系如图2所示。
2、三重积分的柱坐标计算方法与步骤适用的三重积分类型：被积函数中有两个变量的平方项和或者两个变量的商，如x2+y2,y2+z2, z2+x2,x/y,y/z,z/x,y/x,z/y,x/z等结构；或者积分区域由母线平行于坐标轴的半平面、圆柱面，平行于坐标面的平面围成的时候，这样的三重积分可以考虑柱坐标计算方法，即三重积分开始计算的二重积分或者后面计算的二重积分适用于二重积分的极坐标计算方法时，则考虑柱坐标计算方法。
适用的计算思想：其实三重积分的柱坐标计算方法就是三重积分直角坐标系中“先二后一”或“先一后二”计算方法中，那个二重积分采用了极坐标方法来计算而已。
如果在计算过程中将三重积分中的所有那两个变量全部用极坐标变量来描述，那就是柱坐标计算方法；否则称为直角坐标方法。
虽然说在求解过程中基本上没有产生新的方法，不过能够更好地适用于三重积分的计算区域为简单类型，其投影区域为极坐标系中的简单类型的三重积分。
所以能够使用“先一后二”（投影法）计算的三重积分可以考虑使用柱坐标。
具体的计算步骤：第一步：根据积分区域特征与被积函数表达式，选择确定用极坐标描述的两个变量（如x,y变量）；第二步：借助柱坐标与直角坐标的关系，将围成积分区域的边界曲面方程描述为柱坐标方程，并将被积函数表达式描述为柱坐标描述形式。
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z
其中(V )由z R 2 x 2 y 2 与 z 0所围.
xoy面所围, 分析 (V )为由半球面与 故可用球面坐标 ,
此时,0 2 ,0
y
x
2
R
,0 R.
I d
0
2
/2
0
d cos 2sin d
y
( xy )
x
此时 0 z R 2 2 .
I
2 0
( xy )
[
R
R2 2
0
zdz ]dd
d
0
1 2 1 4 2 ( R ) d R . 2 4
思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分 I ( x y )dv,
4
y
,0 R.
x
I d
0
2
/4
0
d
R
0
2 2sin d
2 2 5 R . 5
练习 试用三种坐标系分别计 算三重积分
z
2
z
I zdv, 其中(V ) : x 2 y 2 z 2 2 z.
(V )
解法1 直角坐标系 (切片法)
0
4 . 4 cos sin d 3
2 cos
0
cos 2 sin d
x
3、化为累次积分
z 2 ,
1 ,
(1)用x sin cos , y sin sin , z cos
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二、利用球面坐标计算三重积分
点的直角坐标与柱面坐标之间的关系为
(5.3)
球面坐标系中的三族坐标面分别为
常数：一族以原点为球心的球面；
常数：一族以原点为顶点，轴为对称轴的圆锥面；
例2（讲义例2）计算 其中是由球面与抛物面所围成(在抛物面内的那一部分)的立体区域.
例3 计算 其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围的立体.
利用球面坐标计算三重积分
例4 （讲义例3）计算其中是锥面与平面所围的立体（图9-5-7）.
例5（讲义例4） 计算球体在锥面上方部分的体积（图9-5-8）.
第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
内容分布图示
★ 利用柱面坐标计算三重积分
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 利用球面坐标计算三重积分
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 空间立体的质心与转动惯量
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 空间立体对质点的引力 ★ 例10
例6 计算, 其中是由抛物面和球面所围成的空间闭区域.
三重积分的应用
例7（讲义例5）已知均匀半球体的半径为a, 在该半球体的底圆的一旁, 拼接一个半径与球的半径相等, 材料相同的均匀圆柱体, 使圆柱体的底圆与半球的底圆相重合, 为了使拼接后的整个立体重心恰是球心, 问圆柱的高应为多少?
例8 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴的转动惯量.
例9（讲义例6） 求高为h, 半顶角为密度为 (常数)的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯量.
例10（讲义例7）设半径为的匀质球(其密度为常数)占有空间区域 求它对位于处的单位质量的质点的引力.
课堂练习
1.计算由曲面所围立体的体积.
常数：一族过轴的半平面；
常数：一族与面平行的平面.
柱面坐标系中的体积微元: ，
为了把上式右端的三重积分化为累次积分，平行于轴的直线与区域的边界最多只有两个交点. 设在面上的投影为，区域用，表示. 区域关于面的投影柱面将的边界曲面分为上、下两部分，设上曲面方程为，下曲面方程为，，，于是
常数：一族过轴的半平面.
球面坐标系中的体积微元: ，
三、三重积分的应用
空间立体的重心
, .
其中，为该物体的质量.
空间立体的转动惯量
.
空间立体对质点的引力
.
例题选讲：
利用柱面坐标计算三重积分
例1（讲义例1） 立体是圆柱面内部, 平面下方, 抛物面上方部分(见图9-5-3), 其上任一点的密度与它到z轴之距离成正比(比例系数为K), 求的质量m.
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内容要点：
一、 利用柱面坐标计算三重积分
点的直角坐标与柱面坐标之间的关系为
(5.1)
柱面坐标系中的；