第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

第五节 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分

内容分布图示
★ 利用柱面坐标计算三重积分
★ 例1 ★ 例2 ★ 例3
★ 利用球面坐标计算三重积分
★ 例4 ★ 例5 ★ 例6
★ 空间立体的质心与转动惯量
★ 例7 ★ 例8 ★ 例9
★ 空间立体对质点的引力 ★ 例10
★ 内容小结 ★ 课堂练习
★ 习题9-5 ★ 返回


内容要点：
一、 利用柱面坐标计算三重积分
点的直角坐标与柱面坐标之间的关系为
(5.1)
柱面坐标系中的三族坐标面分别为
常数：一族以轴为中心轴的圆柱面；
常数：一族过轴的半平面；
常数：一族与面平行的平面.
柱面坐标系中的体积微元: ，
为了把上式右端的三重积分化为累次积分，平行于轴的直线与区域的边界最多只有两个交点. 设在面上的投影为，区域用，表示. 区域关于面的投影柱面将的边界曲面分为上、下两部分，设上曲面方程为，下曲面方程为，，，于是

二、利用球面坐标计算三重积分
点的直角坐标与柱面坐标之间的关系为
(5.3)
球面坐标系中的三族坐标面分别为
常数：一族以原点为球心的球面；
常数：一族以原点为顶点，轴为对称轴的圆锥面；
常数：一族过轴的半平面.
球面坐标系中的体积微元: ，
三、三重积分的应用
空间立体的重心
, .
其中，为该物体的质量.
空间立体的转动惯量
.
空间立体对质点的引力
.

例题选讲：
利用柱面坐标计算三重积分
例1（讲义例1） 立体是圆柱面内部, 平面下方, 抛物面上方部分(见图9-5-3), 其上任一点的密度与它到z轴之距离成正比(比例系数为K), 求的质量m.
例2（讲义例2）计算 其中是由球面与抛物面所围成(在抛物面内的那一部分)的立体区域.
例3 计算 其中是曲线绕轴旋转一周而成的曲面与平面所围的立体.
利用球面坐标计算三重积分
例4 （讲义例3）计算其中是锥面与平面所围的立体（图9-5-7）.
例5（讲义例4） 计算球体在锥面上方部分的体积（图9-5-8）.
例6 计算, 其中是由抛物面和球面所围成的空间闭区域.
三重积分的应用
例7（讲义例5）已知均匀半球体的半径为a, 在该半球体的底圆的一旁, 拼接一个半径与球的半径相等, 材料相同的均匀圆柱体, 使圆柱体的底圆与半球的底圆相重合,

为了使拼接后的整个立体重心恰是球心, 问圆柱的高应为多少?
例8 求密度为的均匀球体对于过球心的一条轴的转动惯量.
例9（讲义例6） 求高为h, 半顶角为密度为 (常数)的正圆锥体绕对称轴旋转的转动惯量.
例10（讲义例7）设半径为的匀质球(其密度为常数)占有空间区域 求它对位于处的单位质量的质点的引力.
课堂练习
1.计算由曲面所围立体的体积.
2．求均匀半球体的重心.