利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分教学课件
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三重积分在柱面及球坐标系下的计算
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
柱面坐标系和球面坐标系求三重积分
z x2 y2所围 .
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
故可用球面坐标,
y
此 ,0 时 2 ,0 ,0R . x
4
2
I d
/4
d
R22sind
0
0
0
2 2 R5.
5
练习 试用三种坐标系算 分三 别重 计积分
I zdv,其中(V): x2 y2 z2 2z. (V)
解法1 直角坐标(切 系片法 )
x
则 (V )f(c o,s si,n z)d d dz ,
]d d
[ z2(,)f(co ,ssin,z)dz
( ) z1(,)
例1 计算三重积I分 (Vz)dv,
其中(V)由z R2 x2 y2与 z 0所围.
解 (V )向 xo 面 y 投 (x)y 为 影 :0 圆 R , 02 x
I d d
zdz
0
0 1 1 2
x
2012 12d
4 . 3
•1
xy
解法3 球面坐标系计算zdv (V) x2y2z22z
z
2
球面 : 为 2co,s其中
02 ,0,02co .s
2
o
y
I 2d /2d 2coscos2sxind
0
0
0
2/24co5ssind 4 .
0
3
z
h•
此,时 2zh.
I [ h 2dz ]dd ( xy ) 2
•
o•
x
y
( xy )
2d h(3h5)d
0
0
1 h3.
6
思考：本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2 球面坐标系下三重积分的计算
「9.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分」
§9.５ 利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分对于某些三重积分，由于积分区域和被积函数的特点,往往要利用柱面坐标和球面坐标来计算。
一、利用柱面坐标计算三重积分１、柱面坐标设M x y z (,,)为空间的一点,该点在xoy 面上的投影为P ,P 点的极坐标为r ,θ,则r z ,,θ三个数称作点M 的柱面坐标。
规定r z ,,θ的取值范围是0≤<+∞r ，02≤≤θπ，-∞<<+∞z柱面坐标系的三组坐标面分别为r =常数,即以z 轴为轴的圆柱面； θ=常数,即过z 轴的半平面;z =常数,即与xoy 面平行的平面。
点M 的直角坐标与柱面坐标之间有关系式x r y r z z ===⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪cos sin θθ (1) ２、三重积分f x y z dv (,,)Ω⎰⎰⎰在柱面坐标系中的计算公式用三组坐标面r=常数，θ=常数,z =常数,将Ω分割成许多小区域,除了含Ω的边界点的一些不规则小区域外,这种小闭区域都是柱体。
考察由r z ,,θ各取得微小增量dr d dz ,,θ所成的柱体,该柱体是底面积为rdrd θ,高为dz 的柱体,其体积为dv rdrd dz =θ这便是柱面坐标系下的体积元素, 并注意到（１)式有f x y z dv f r r z rdrd dz (,,)(cos ,sin ,)ΩΩ⎰⎰⎰⎰⎰⎰=θθθ(２)(2)式就是三重积分由直角坐标变量变换成柱面坐标变量的计算公式。
(2)式右端的三重积分计算,也可化为关于积分变量z r ,,θ的三次积分,其积分限要由z r ,,θ在Ω中的变化情况来确定。
3、用柱面坐标r z ,,θ表示积分区域Ω的方法(1)、找出Ω在xoy 面上的投影区域D xy , 并用极坐标变量r ,θ表示之;(2)、在D xy 内任取一点(,)r θ, 过此点作平行于z 轴的直线穿过区域, 此直线与Ω边界曲面的两交点之竖坐标( 将此竖坐标表示成r ,θ的函数)即为z 的变化范围。
D10_4三重积分计算(柱面坐标与球面坐标)
2 2
R
2
y z )d xd yd z
0 4 sin d
4
2
0
d
R
0
4 d
x
o
y
1 R 5 (2 2 ) 5
dV 2 sin d d d
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例 10. 设由锥面
所围成 , 计算 提示 :
和球面
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2. 柱面坐标系下体积元素
用三组基本坐标面
z
r d
常数 z 常数
分割立体，体积元素（小长方体）
z
dr
r
x
dz
d V r d r d d z
则，三重积分可表为
o
d d r
r
y
f x, y, z dV f r cos , r sin , z rdrd dz
M ( x, y , z )
o x
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y
r
P ( x , y ,0 )
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结束
注：（1）直角坐标与柱面坐标关系
x r cos y r sin zz
（ 2 ）基本坐标面
z
z
M ( x, y , z )
圆柱面
常数
z 常数
半平面
平面
o y ( x, y,0) x r
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3. 柱面坐标下三次积分（投影法）
投影到xoy面
z1 r , z z2 r , ： r1 r r2
R
2
y z )d xd yd z
0 4 sin d
4
2
0
d
R
0
4 d
x
o
y
1 R 5 (2 2 ) 5
dV 2 sin d d d
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例 10. 设由锥面
所围成 , 计算 提示 :
和球面
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2. 柱面坐标系下体积元素
用三组基本坐标面
z
r d
常数 z 常数
分割立体，体积元素（小长方体）
z
dr
r
x
dz
d V r d r d d z
则，三重积分可表为
o
d d r
r
y
f x, y, z dV f r cos , r sin , z rdrd dz
M ( x, y , z )
o x
机动 目录
y
r
P ( x , y ,0 )
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结束
注：（1）直角坐标与柱面坐标关系
x r cos y r sin zz
（ 2 ）基本坐标面
z
z
M ( x, y , z )
圆柱面
常数
z 常数
半平面
平面
o y ( x, y,0) x r
机动
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结束
3. 柱面坐标下三次积分（投影法）
投影到xoy面
z1 r , z z2 r , ： r1 r r2
2.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
规定: 规定: 0 ≤ r < +∞ ,
0 ≤ θ ≤ 2 π,
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面; 圆柱面; 半平面; 半平面; 平 面.
z
θ 为常数
z 为常数
M ( x, y , z )
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为 x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
o
θ
r
P (r ,θ )
y
x
讨论下列柱坐标系下的曲面方程表示的曲面
Answer : (a ) r = 5 x 2 + y 2 = 55
(b) (c )
Question: In rectangular coordinates the volume element dV is given by dV=dxdydz, dV=dxdydz,
D1 2
8
2π
0
45 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 3 2
4 8
I 2 = ∫∫ rdrdθ ∫r 2 fdz = ∫
D2 2
2
2π
0
25 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I = π π = 336π . 3 6
球面坐标与直角坐标的关系为
x = ρ sin cosθ, y = ρ sin sin θ, z = ρ cos.
A
x
ρ M ( x , y, z )
0 ≤ θ ≤ 2 π,
z
M ( x,
∞ < z < +∞ .
o
θ
y, z )
r
P (r ,θ )
y
x
如图, 如图,三坐标面分别为
r 为常数
圆柱面; 圆柱面; 半平面; 半平面; 平 面.
z
θ 为常数
z 为常数
M ( x, y , z )
z
柱面坐标与直角坐 标的关系为 x = r cosθ , y = r sinθ , z = z.
o
θ
r
P (r ,θ )
y
x
讨论下列柱坐标系下的曲面方程表示的曲面
Answer : (a ) r = 5 x 2 + y 2 = 55
(b) (c )
Question: In rectangular coordinates the volume element dV is given by dV=dxdydz, dV=dxdydz,
D1 2
8
2π
0
45 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 3 2
4 8
I 2 = ∫∫ rdrdθ ∫r 2 fdz = ∫
D2 2
2
2π
0
25 dθ ∫ dr ∫r 2 r r 2dz = π , 0 2 6
2 2
45 25 原式 I = π π = 336π . 3 6
球面坐标与直角坐标的关系为
x = ρ sin cosθ, y = ρ sin sin θ, z = ρ cos.
A
x
ρ M ( x , y, z )
三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算 ppt课件
zz2(,)
(2)求区域Ω在xoy面的投影Dρθ . (3)定出z的上限和下限.
在Dρθ内作平行于z 轴的直线,
o
穿入区域时, Ω的边界曲面F(ρ,θ,z)=0确定
的z=z1(ρ,θ)为z的下限.
x
穿出区域时, Ω的边界曲面G(ρ,θ,z)=0确定
的z=z2(ρ,θ)为z的下限.
(4)将二重积分化为极坐标系下的累次积分.
2020/12/2
20
三重积分在柱坐标和球坐标系下的计算
一、三重积分在柱坐标系下的计算 二、三重积分在球坐标系下的计算
2020/12/2
21
二、三重积分在球坐标系下的计算
（一）球坐标系 （二）球坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
2020/12/2
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二、三重积分在球坐标系下的计算
2020/12/2
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一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
2020/12/2
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➢柱坐标系 平面极坐标系添加oz轴得到的空间坐标系
➢柱坐标
设 M (x,y,z) R 3, x , y
,
x, y, z
, , z
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一、三重积分在柱坐标系下的计算
（一）柱坐标系 （二）柱坐标系的适用条件 （三）三重积分计算公式 （四）化为累次积分的方法
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10
一般地 在 f (x, y, z)dv中 若
➢Ω在xoy面的投影为圆或圆的一部分 ➢f(x,y,z)中含有 x 2 y 2或 a r c t a n y 的项
3.5 利用柱面坐标和球面坐标的计算三重积分
三重积分的计算关键在于选取适当的坐标系, 确定单积 分的积分上下限. 通常是球形域或球与圆锥面围成时用球坐标, 是圆柱形或投影域为圆时用柱坐标.
ex6.设f ( u)具有连续的导数, 且f (0) 0, 求 1 lim 4 t 0 t
x2 y2 z2 t 2
f (
r2 则 {( r , , z ) | z 4 r 2 , 0 r 3,0 2 } 3 z I zrdrddz z 4 r2
0 d 0 dr r 2
3
2
3
4 r 2
r zdz
13 . 4
r2 z 3 x
y
2
x
02 d 0
2 cos
8 2 a2 8 3 2 r dr 0 zdz 02 cos d a . 9 2 3
a
二. 在球面坐标下计算三重积分
1. 球面坐标及坐标面
设 M ( x , y, z ) 为空间内一点，则点M 可用 三个有次序的数 ，， 来确定，其中 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按 逆时针方向转到有向线 OP 的角，这里 P 为 段 点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 ，，
x sin cos y sin sin z cos
z
x
M ( x, y, z )
z
o
A
y
y
x
P
3. 球面坐标下的三次积分
球面坐标系中的体积元素为
d
z
d
sin
ex6.设f ( u)具有连续的导数, 且f (0) 0, 求 1 lim 4 t 0 t
x2 y2 z2 t 2
f (
r2 则 {( r , , z ) | z 4 r 2 , 0 r 3,0 2 } 3 z I zrdrddz z 4 r2
0 d 0 dr r 2
3
2
3
4 r 2
r zdz
13 . 4
r2 z 3 x
y
2
x
02 d 0
2 cos
8 2 a2 8 3 2 r dr 0 zdz 02 cos d a . 9 2 3
a
二. 在球面坐标下计算三重积分
1. 球面坐标及坐标面
设 M ( x , y, z ) 为空间内一点，则点M 可用 三个有次序的数 ，， 来确定，其中 为原 点 O 与点 M 间的距离， 为有向线段 OM与 z 轴正向所夹的角， 为从正 z 轴来看自 x 轴按 逆时针方向转到有向线 OP 的角，这里 P 为 段 点 M 在 xoy 面上的投影，这样的三 个数 ，，
x sin cos y sin sin z cos
z
x
M ( x, y, z )
z
o
A
y
y
x
P
3. 球面坐标下的三次积分
球面坐标系中的体积元素为
d
z
d
sin
三重积分的计算法—球面坐标.ppt.ppt
r
o x
y
x
P(x,y,0)
④球面坐标下的体积元素
dv r sin drd d
2
4
为了把三重积分 中的变量从直角坐 标变换为球面坐标， 用三组坐标平面r = 常数， =常数， =常数把积分区域 分成许多小闭区域。
z
d
rsin
dr
rsin d
r
rd
d
o x
2 0
I r sin dr d d rsin
4 4 R 。 2 sin d r dr 0 15
2 0 3 R 4
9
2 0
R 2
2
2
x
0
2 2 2 2 2 2 ( 2 ) x y z dv , : x y z z 解 : 0 r c o s , 0 , 0 2 2
3．发展
(1)原因：
①甲午战争以后列强激烈争夺在华铁路的 ②修路成为中国人 (2)成果：1909年 权收归国有。 4．制约因素 政潮迭起，军阀混战，社会经济凋敝，铁路建设始终未入 修筑权 。
救亡图存 的强烈愿望。
京张铁路 建成通车；民国以后，各条商路修筑
正轨。
二、水运与航空
1．水运
(1)1872年,
1．李鸿章1872年在上海创办轮船招商局，“前10年盈和，成
为长江上重要商局，招商局和英商太古、怡和三家呈鼎立
之势”。这说明该企业的创办 A．打破了外商对中国航运业的垄断 B．阻止了外国对中国的经济侵略 C．标志着中国近代化的起步 ( )
D．使李鸿章转变为民族资本家
解析：李鸿章是地主阶级的代表，并未转化为民族资本家； 洋务运动标志着中国近代化的开端，但不是具体以某个企业 的创办为标志；洋务运动中民用企业的创办在一定程度上抵
3.5利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分
z dxdydz z r dr d dz
0 d 0 dr r 2 r z dz
0 d 0
2 2
2
2
4
z r 2 2 dr r
2 4
2 2 1 0 d 0 (16r r 5 )dr 2
2 2 1 1 0 8r r 6 d 2 6 0 2
0 2 , : 0 , 4 0 R.
],
z
R
即
o
x
y
( x 2 y 2 z 2 ) dv
2 2 sin dd d
x sin cos , y sin sin , z cos .
0 0 0
1
d
0
2
0
cos sin d dv 2 sin ddd 5 0
5 2
1
x sin cos , y sin sin , z cos .
2 1 0 d 0 cos2 sin d 5 2 1 0 d 0 cos2 d (cos ) 5
2 r r dr d dz.
2 2 ( x y ) dv
0 d 0 dr
2 H 3
2
H
H 3 r r
dz
0 d 0 r z
H
x r cos , y r sin , z z. dv r dr d dz ,
规定：
z
0 , 0 ,
0 2 .
08-柱面坐标系下的三重积分计算PPT
z = z.
2、柱面坐标下的计算公式
一_
jffcMBTilMM IF JUT L; - _
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
dv = pdpd^dz,
JJJ f (旳 y，z
)dxdydz Q
。 =m f( Q pcos
, psin^, z )pdpdgz ・
3■例题
例1计算I = 0Jzdxdydz ,其中Q是球面
数p,(p, z就叫点M的柱面坐标.
规定：0 < p V +8,
0 < 伊 < In,
z
M ( x, y, z )
—8 V z V +8.
」y
(P P (P，P)
x
如图，三组坐标面分别为
P为常数F
员柱面;
(P为常数F半平面； 七为
常数=>平面.
柱面坐标与直角坐标的 关系为
,பைடு நூலகம்x = pcos9，
< y = psin^,
Q
x2 + y2 + z2 = 4 与抛物面 x2 + y2 = 3
z
所 的立体.
3■例题 L■J—
x =rcos。
丿 解由 y = rsin。, 知交线为
七-七
22
r+ z = 4
乓
n z = 1, r =】3,
r= 3z
把闭区域Q投影到xoy面上，如图,
Q : r2 < z <y 4 一 r2,
3 0<r<
0 <0< 2 丸.
- 13
兀
r
zdz
柱面坐标与直角坐标的关系为如图柱面坐标系中的体积元素为dvpdpddzjjj例1计算i0jzdxdydz其中q是球面rsin
2、柱面坐标下的计算公式
一_
jffcMBTilMM IF JUT L; - _
如图，柱面坐标系中的 体积元素为
dv = pdpd^dz,
JJJ f (旳 y，z
)dxdydz Q
。 =m f( Q pcos
, psin^, z )pdpdgz ・
3■例题
例1计算I = 0Jzdxdydz ,其中Q是球面
数p,(p, z就叫点M的柱面坐标.
规定：0 < p V +8,
0 < 伊 < In,
z
M ( x, y, z )
—8 V z V +8.
」y
(P P (P，P)
x
如图，三组坐标面分别为
P为常数F
员柱面;
(P为常数F半平面； 七为
常数=>平面.
柱面坐标与直角坐标的 关系为
,பைடு நூலகம்x = pcos9，
< y = psin^,
Q
x2 + y2 + z2 = 4 与抛物面 x2 + y2 = 3
z
所 的立体.
3■例题 L■J—
x =rcos。
丿 解由 y = rsin。, 知交线为
七-七
22
r+ z = 4
乓
n z = 1, r =】3,
r= 3z
把闭区域Q投影到xoy面上，如图,
Q : r2 < z <y 4 一 r2,
3 0<r<
0 <0< 2 丸.
- 13
兀
r
zdz
柱面坐标与直角坐标的关系为如图柱面坐标系中的体积元素为dvpdpddzjjj例1计算i0jzdxdydz其中q是球面rsin
二利用柱面坐标计算三重积分-PPT文档资料
2019/2/24 4
是 I zdxdydz 例 1 计 算 ， 其 中 球 面
x y z 4 x y 3 z 与 抛 物 面
所 围 的 立 体 .
解 球面与抛物面交线为
r 2 z 2 4 2 r 3z
z 1 , r 3 ,
2
2
2
2
2
2019/2/24
zr drd dz
2
d r dr zdz
2 0 0 r
2 1 r 2 r2( )dr 0 2 1
2
1
1
2 . 15
2019/2/24
8
三 球面坐标系
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，则点 M 可用三个有次序的数 r ， ， 来确 定，其中 r 为原点 O 与点 M 间的距离，
14
2 2 2 2 2 2 z x y x y z 2 a 例 4 求 曲 面 与 所 围 成 的 立 体 体 积 .
解
由 锥 面 和 球 面 围 成 ， 采 用 球 面 坐 标 ，
由 x y z 2 a
2 2 2 2
r 2 a ,
z x y , 4 : 0 r 2 a ,0 ,0 2 , 4
球面坐标与直角坐标的关系为
x
P
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
2019/2/24 11
四 利用球面坐标计算三重积分 z
球面坐标系中的体积元素为
dv rsin drd d ,
2
d
dr
rsin d rd
是 I zdxdydz 例 1 计 算 ， 其 中 球 面
x y z 4 x y 3 z 与 抛 物 面
所 围 的 立 体 .
解 球面与抛物面交线为
r 2 z 2 4 2 r 3z
z 1 , r 3 ,
2
2
2
2
2
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zr drd dz
2
d r dr zdz
2 0 0 r
2 1 r 2 r2( )dr 0 2 1
2
1
1
2 . 15
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三 球面坐标系
设 M ( x , y , z ) 为空间内一点，则点 M 可用三个有次序的数 r ， ， 来确 定，其中 r 为原点 O 与点 M 间的距离，
14
2 2 2 2 2 2 z x y x y z 2 a 例 4 求 曲 面 与 所 围 成 的 立 体 体 积 .
解
由 锥 面 和 球 面 围 成 ， 采 用 球 面 坐 标 ，
由 x y z 2 a
2 2 2 2
r 2 a ,
z x y , 4 : 0 r 2 a ,0 ,0 2 , 4
球面坐标与直角坐标的关系为
x
P
x r sin cos , y r sin sin , z r cos .
2019/2/24 11
四 利用球面坐标计算三重积分 z
球面坐标系中的体积元素为
dv rsin drd d ,
2
d
dr
rsin d rd
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由 x 2 y 2 z2 2 a 2
r 2a,
z x2y2 , 4
:0 r 2 a , 0 , 0 2 , 4
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补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积 D关分 于 x区 o平 y域 面对称，
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
d vrdd r,d z
z
rd
dr
r
dz
o
f(x,y,z)dxdydz
y
d
x
f(rco ,rs sin ,z)rdd r.d z
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例1 计算Izdxd， yd其中 z 是球面
x2y2z24与抛物面x2y23z
所围的立体.
x rcos 解 由y rsin ,
是曲线 y2 2z，x0 绕oz轴旋转一周而成 的曲面与两平面z2,z 8所围的立体. 解 由y2 2z 绕oz 轴旋转得，
x0
旋 转 面 方 程 为 x2y22z,
所围成的立体如图，
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所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
当f(x,y,z)关于 ___为 _ 偶函,数时
2 f(x,y,z)dv___f(x,y,z)dv
1
其 中 1为 在 x面 y 上方.的部分
解 1 采 用 球 面 坐 标 za r a , cos
x2y2z2 ,
4
:0 ra,0 ,0 2 , c os 4
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例 4求 曲 面 x 2 y 2 z 2 2 a 2 与 z x 2 y 2 所 围 成 的 立 体 体 积 .
解 由 锥 面 和 球 面 围 成 ， 采 用 球 面 坐 标 ，
（2） 球面坐标的体积元素
dxd r2 y sd id n z rd d
（3） 对称性简化运算
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思考题
若 为 R3中关x面 于 y 对称的有界 f(x,闭 y,z)为 区域 上的连续 ,则函数
z 当 f(x ,y ,z)关 _于 _ 为 __ 奇 ,f 函 (x ,y ,z)d 数 v 0 ;时 z
点P在x轴上的投A影 ，为
z
o
则 O x A ,A y P ,P M z . Ax
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
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如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
d vr2sin d rd d,
dr
d
rsin
r
rsin d
x 2 y 2 z 2 2 (x y z z)x
其 中 x y 是 y 关 于 z y 的 奇 函 数 ,
且 关 于 z面 o 对 称 x , (x yy)d z v0 , 上页 下页 返回
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标
球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxd rydd d rzd z
积函数 f（x, y, z）是关z于 的奇函数，则三重积分
为零，若被 f（ x积 ,y,z） 函是 数关 z的于 偶函数，
积分为 在xo平 y 面上方的半的 个三 闭重 区积 域分
两倍。
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例５ 利用对称性简化计算
zlnx(2y2z21)
x2y2z21 dxdydz 其中积分区域{(x,y,z)| x2y2z2 1}.
第五节 利用柱面坐标和球面坐标 计算三重积分
▪ 一、利用柱面坐标计算三重积分 ▪ 二、利用球面坐标计算三重积分 ▪ 三、小结 思考题
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一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，并 M在 设点
xo面 y 上的 P的 投极 影坐 r,， 标则 为这 个数 r,,z就叫M 点的柱面坐标．
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z1, r3,
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把闭 区 投域 影 x到 o面 y 上，如图， : r 2 z 4 r 2， 3 0 r 3, 0 2.
I02d03drr324r2rzdz143 .
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例２ 计算I (x2 y2)dxdyd，z其中
z
规定： 0r ,
•M(x,y,z)
02,
o
z .
x
ry • P(r,)
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如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐 标的关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z z .
z
•M(x,y,z)
z
o
r•P(r,)
y
x
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rd
d
o
y
f(x,y,z)dxdydz
d
x
f ( r si c n , o r ss i sn i ,r c no ) r 2 ss i d n d r .d 上页 Nhomakorabea页 返回
例 3计 算 I ( x 2 y 2 )dx， d 其 中 y d 是 锥 z面
x 2 y 2 z2 ， 与 平 面 z a(a 0 )所 围 的 立 体 .
逆时针方向转到段有 O向 P的线 角，这P为 里
点M在xoy面上的投影，这 个样 数 r， 的， 三
就叫做点 M的球面坐标．
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规定： 0r , 0, 0 2 .
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
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如图，
z
设点M在xoy面上的投P影 ，为 r•M(x,y,z)
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z的奇函数,
zlx n2x 2 ( y2y 2 z2z 21 1)dxdy0.dz
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例 6 计 算 (x yz)2dxd其 y中 d 是 z由 抛 物
面 zx2y2和 球 面 x2y2z22所 围 成 的 空 间 闭 区 域 .
解 (xyz)2
2
D2 : x2y24, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
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二、利用球面坐标计算三重积分
设M(x,y,z)为空间内一点M， 可则 用点
三个有次 r， ， 序 来 的确 数定r为 ，原
点 O 与M 点 间的 距 为离 有， O 向 与 M 线 z
轴正向所夹 为的 从 z轴 角 正来 ，x看 轴自 按
r 2a,
z x2y2 , 4
:0 r 2 a , 0 , 0 2 , 4
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补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积 D关分 于 x区 o平 y域 面对称，
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
d vrdd r,d z
z
rd
dr
r
dz
o
f(x,y,z)dxdydz
y
d
x
f(rco ,rs sin ,z)rdd r.d z
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例1 计算Izdxd， yd其中 z 是球面
x2y2z24与抛物面x2y23z
所围的立体.
x rcos 解 由y rsin ,
是曲线 y2 2z，x0 绕oz轴旋转一周而成 的曲面与两平面z2,z 8所围的立体. 解 由y2 2z 绕oz 轴旋转得，
x0
旋 转 面 方 程 为 x2y22z,
所围成的立体如图，
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所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
r
2
z
, 8
当f(x,y,z)关于 ___为 _ 偶函,数时
2 f(x,y,z)dv___f(x,y,z)dv
1
其 中 1为 在 x面 y 上方.的部分
解 1 采 用 球 面 坐 标 za r a , cos
x2y2z2 ,
4
:0 ra,0 ,0 2 , c os 4
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例 4求 曲 面 x 2 y 2 z 2 2 a 2 与 z x 2 y 2 所 围 成 的 立 体 体 积 .
解 由 锥 面 和 球 面 围 成 ， 采 用 球 面 坐 标 ，
（2） 球面坐标的体积元素
dxd r2 y sd id n z rd d
（3） 对称性简化运算
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思考题
若 为 R3中关x面 于 y 对称的有界 f(x,闭 y,z)为 区域 上的连续 ,则函数
z 当 f(x ,y ,z)关 _于 _ 为 __ 奇 ,f 函 (x ,y ,z)d 数 v 0 ;时 z
点P在x轴上的投A影 ，为
z
o
则 O x A ,A y P ,P M z . Ax
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
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如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
d vr2sin d rd d,
dr
d
rsin
r
rsin d
x 2 y 2 z 2 2 (x y z z)x
其 中 x y 是 y 关 于 z y 的 奇 函 数 ,
且 关 于 z面 o 对 称 x , (x yy)d z v0 , 上页 下页 返回
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标
球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxd rydd d rzd z
积函数 f（x, y, z）是关z于 的奇函数，则三重积分
为零，若被 f（ x积 ,y,z） 函是 数关 z的于 偶函数，
积分为 在xo平 y 面上方的半的 个三 闭重 区积 域分
两倍。
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例５ 利用对称性简化计算
zlnx(2y2z21)
x2y2z21 dxdydz 其中积分区域{(x,y,z)| x2y2z2 1}.
第五节 利用柱面坐标和球面坐标 计算三重积分
▪ 一、利用柱面坐标计算三重积分 ▪ 二、利用球面坐标计算三重积分 ▪ 三、小结 思考题
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一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，并 M在 设点
xo面 y 上的 P的 投极 影坐 r,， 标则 为这 个数 r,,z就叫M 点的柱面坐标．
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z1, r3,
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把闭 区 投域 影 x到 o面 y 上，如图， : r 2 z 4 r 2， 3 0 r 3, 0 2.
I02d03drr324r2rzdz143 .
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例２ 计算I (x2 y2)dxdyd，z其中
z
规定： 0r ,
•M(x,y,z)
02,
o
z .
x
ry • P(r,)
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如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐 标的关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z z .
z
•M(x,y,z)
z
o
r•P(r,)
y
x
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rd
d
o
y
f(x,y,z)dxdydz
d
x
f ( r si c n , o r ss i sn i ,r c no ) r 2 ss i d n d r .d 上页 Nhomakorabea页 返回
例 3计 算 I ( x 2 y 2 )dx， d 其 中 y d 是 锥 z面
x 2 y 2 z2 ， 与 平 面 z a(a 0 )所 围 的 立 体 .
逆时针方向转到段有 O向 P的线 角，这P为 里
点M在xoy面上的投影，这 个样 数 r， 的， 三
就叫做点 M的球面坐标．
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规定： 0r , 0, 0 2 .
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
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如图，
z
设点M在xoy面上的投P影 ，为 r•M(x,y,z)
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z的奇函数,
zlx n2x 2 ( y2y 2 z2z 21 1)dxdy0.dz
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例 6 计 算 (x yz)2dxd其 y中 d 是 z由 抛 物
面 zx2y2和 球 面 x2y2z22所 围 成 的 空 间 闭 区 域 .
解 (xyz)2
2
D2 : x2y24, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
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二、利用球面坐标计算三重积分
设M(x,y,z)为空间内一点M， 可则 用点
三个有次 r， ， 序 来 的确 数定r为 ，原
点 O 与M 点 间的 距 为离 有， O 向 与 M 线 z
轴正向所夹 为的 从 z轴 角 正来 ，x看 轴自 按