利用柱面坐标和球面坐标计算三重积分教学课件

x 2 y 2 z 2 2 (x y z z)x
其 中 x y 是 y 关 于 z y 的 奇 函 数 ,
且 关 于 z面 o 对 称 x , (x yy)d z v0 , 上页 下页 返回
三、小结
三重积分换元法
柱面坐标
球面坐标
（1） 柱面坐标的体积元素
dxd rydd d rzd z
z
规定： 0r ,
•M(x,y,z)
02,
o
z .
x
ry • P(r,)
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如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数
z 为常数
圆柱面； 半平面； 平 面．
柱面坐标与直角坐 标的关系为
x r cos ,
y
r
sin
,
z z .
z
•M(x,y,z)
z
o
r•P(r,)
y
x
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解 1 采 用 球 面 坐 标 za r a , cos
x2y2z2 ,
4
:0 ra,0 ,0 2 , c os 4
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例 4求 曲 面 x 2 y 2 z 2 2 a 2 与 z x 2 y 2 所 围 成 的 立 体 体 积 .
解 由 锥 面 和 球 面 围 成 ， 采 用 球 面 坐 标 ，
解 积分域关于三个坐标面都对称，
被积函数是 z的奇函数,
zlx n2x 2 ( y2y 2 z2z 21 1)dxdy0.dz
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例 6 计 算 (x yz)2dxd其 y中 d 是 z由 抛 物
面 zx2y2和 球 面 x2y2z22所 围 成 的 空 间 闭 区 域 .
解 (xyz)2
2
D2 : x2y24, 2 :
D1 D2
0 2
0 r 2
r
2
z
. 2
2
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二、利用球面坐标计算三重积分
设M(x,y,z)为空间内一点M， 可则 用点
三个有次 r， ， 序 来 的确 数定r为 ，原
点 O 与M 点 间的 距 为离 有， O 向 与 M 线 z
轴正向所夹 为的 从 z轴 角 正来 ，x看 轴自 按
逆时针方向转到段有 O向 P的线 角，这P为 里
点M在xoy面上的投影，这 个样 数 r， 的， 三
就叫做点 M的球面坐标．
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规定： 0r , 0, 0 2 .
如图，三坐标面分别为
r 为常数
为常数 为常数
球 面； 圆锥面； 半平面．
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如图，
z
设点M在xoy面上的投P影 ，为 r•M(x,y,z)
积函数 f（x, y, z）是关z于 的奇函数，则三重积分
为零，若被 f（ x积 ,y,z） 函是 数关 z的于 偶函数，
积分为 在xo平 y 面上方的半的 个三 闭重 区积 域分
两倍。
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例５ 利用对称性简化计算
zlnx(2y2z21)
x2y2z21 dxdydz 其中积分区域{(x,y,z)| x2y2z2 1}.
第五节 利用柱面坐标和球面坐标 计算三重积分
▪ 一、利用柱面坐标计算三重积分 ▪ 二、利用球面坐标计算三重积分 ▪ 三、小结 思考题
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一、利用柱面坐标计算三重积分
设M(x, y, z)为空间内一点，并 M在 设点
xo面 y 上的 P的 投极 影坐 r,， 标则 为这 个数 r,,z就叫M 点的柱面坐标．
点P在x轴上的投A影 ，为
z
o
则 O x A ,A y P ,P M z . Ax
xy
•
P
y
球面坐标与直角坐标的关系为
x r sin cos ,
y
r
sin
sin
,
z r cos .
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如图，
z
球面坐标系中的体积元素为
d vr2sin d rd d,
dr
d
rsin
r
rsin d
rd
d
o
y
f(x,y,z)dxdydz
d
x
f ( r si c n , o r ss i sn i ,r c no ) r 2 ss i d n d r .d
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例 3计 算 I ( x 2 y 2 )dx， d 其 中 y d 是 锥 z面
x 2 y 2 z2 ， 与 平 面 z a(a 0 )所 围 的 立 体 .
（2） 球面坐标的体积元素
dxd r2 y sd id n z rd d
（3） 对称性简化运算
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思考题
若 为 R3中关x面 于 y 对称的有界 f(x,闭 y,z)为 区域 上的连续 ,则函数
z 当 f(x ,y ,z)关 _于 _ 为 __ 奇 ,f 函 (x ,y ,z)d 数 v 0 ;时 z
z z
知交线为
r2 z2 4
r2 3z
z1, r3,
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把闭 区 投域 影 x到 o面 y 上，如图， : r 2 z 4 r 2， 3 0 r 3, 0 2.
I02d03drr324r2rzdz143 .
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例２ 计算I (x2 y2)dxdyd，z其中
是曲线 y2 2z，x0 绕oz轴旋转一周而成 的曲面与两平面z2,z 8所围的立体. 解 由y2 2z 绕oz 轴旋转得，
x0
旋 转 面 方 程 为 x2y22z,
所围成的立体如图，
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所围成立体的投影区域如图，
D1 : x2y2 16,
0 2
0 r 4
1 :
源自文库
r
2
z
, 8
如图，柱面坐标系 中的体积元素为
d vrdd r,d z
z
rd
dr
r
dz
o
f(x,y,z)dxdydz
y
d
x
f(rco ,rs sin ,z)rdd r.d z
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例1 计算Izdxd， yd其中 z 是球面
x2y2z24与抛物面x2y23z
所围的立体.
x rcos 解 由y rsin ,
当f(x,y,z)关于 ___为 _ 偶函,数时
2 f(x,y,z)dv___f(x,y,z)dv
1
其 中 1为 在 x面 y 上方.的部分
由 x 2 y 2 z2 2 a 2
r 2a,
z x2y2 , 4
:0 r 2 a , 0 , 0 2 , 4
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补充：利用对称性化简三重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标面的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于三个坐标轴 的 奇偶性．
一般地，当积 D关分 于 x区 o平 y域 面对称，