柱面坐标系和球面坐标系求三重积分

1、球面坐标 、
球面坐标系下三重积分的计算 z
•
在球面坐标系中, 空间点P ( x, y, z )用 ( ρ ,θ , ϕ )表示. 其中r = ρ sin ϕ ∴ x = r cos θ = ρ sin ϕ cos θ , y = r sin θ = ρ sin ϕ sin θ .
P
o x
θ
ϕ ρ z
(V )
z
2
•
x 2 + y 2 + ( z − 1) 2 = 1
xoy面上投影为(σ xy ) : x 2 + y 2 ≤ 1;
则z的范围 :
1− 1− ρ2 ≤ z ≤ 1+ 1− ρ2.
1
o x
• •
y
σ xy
∴ I = ∫ dθ ∫ dρ
0 0
2π
1
∫
1+ 1− ρ 2
2
1− 1− ρ
zρdz
(V )
z
ϕ
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
分析 (V )为由半球面与xoy面所围, 故可用球面坐标,
θ
y
x
此时,0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
π
2
R
,0 ≤ ρ ≤ R.
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /2
0
dϕ ∫ ρcosϕ ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2、体积元素 、
当用三族坐标面来划分 (V ) : ρ = ρ , ρ = ρ + dρ ;
z
z = z , z = z + dz;
则体积元素
θ = θ , θ = θ + dθ ;
dv dz
o x
dθ
y
dρ
dv = ρdθdρdz
(V )
∴ ∫∫∫
f ( x, y , z )dv = ∫∫∫(V ) f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) ρdρdθdz.
∫∫∫
(V )
f ( x, y, z )dv = ∫∫∫
(V )
f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) ρdρdθdz.
3、化为累次积分 、
z 2 ( ρ ,θ )
设区域(V ) : 在xoy面投影域为(σ ) :
（投影域用极坐标表示 ）
z
• •
z1 ( ρ ,θ )
z1 ( ρ ,θ ) ≤ z ≤ z 2 ( ρ ,θ ).
3、化为累次积分 、
z ρ = ρ 2 (θ , ϕ )
• •
ρ = ρ1 (θ , ϕ )
(1)用x = ρ sin ϕ cos θ , y = ρ sin ϕ sin θ , z = ρ cos ϕ
化被积函数为球坐标系 下形式ρ = ρ (θ , ϕ );
(2)任取θ、ϕ作一射线交 (V )于两点， x
y
∴ I = ∫ dθ ∫
0
2π
π /2
0
dϕ
5
∫
2 cosϕ
x
= 2π ∫
π /2
0
4π . 4 cos ϕ sin ϕdϕ = 3
0
y
o
则∫∫∫
(V )
•σ
f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) ρdρdθdz
z 2 ( ρ ,θ )
1
( ρ ,θ )
x
= ∫∫ [ ∫z ( ρ ,θ ) (σ )
f ( ρ cosθ , ρ sin θ , z ) ρdz
]dρdθ
例1 计算三重积分I = ∫∫∫ zdv,
(V )
0
1 4 = πR . 4
例4 计算三重积分I = ∫∫∫(V ) ( x + y + z )dv,
2 2 2
z
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = x 2 + y 2 所围.
分析 (V )为由半球面与锥面所围,
ϕ
故可用球面坐标,
此时,0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
z = ρ cos ϕ
P′
r
•
y
其中0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ θ ≤ 2π , 0 ≤ ϕ ≤ π .
当ρ = 常数： 中心在原点的球面；
当θ = 常数：过z轴的半平面；
当ϕ = 常数：顶点在原点，中心轴为z轴的圆锥面；
2、体积元素 、
z
dθ
当用三族坐标面去划分 (V ) : ρ = ρ , ρ = ρ + dρ ; ρ sin ϕ
1
= 2π ∫ ρ ⋅ 2 1 − ρ 2 dρ
1
4π = . 3
0
解法3 解法 球面坐标系计算
∫∫∫ zdv
(V )
z
2
x2 + y2 + z2 = 2z
球面为 : ρ = 2 cos ϕ , 其中
0 ≤ θ ≤ 2π ,0 ≤ ϕ ≤
ϕ
o
π
2
,0 ≤ ρ ≤ 2 cos ϕ .
θ
ρ cos ϕ ⋅ ρ 2 sin ϕdρ
z
• •
其中(V )由z = R 2 − x 2 − y 2 与 z = 0所围.
解
(V )向xoy面投影(σ xy )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ R, 0 ≤ θ ≤ 2π
y
(σ xy )
x
此时0 ≤ z ≤ R 2 − ρ 2 .
∴ I = ∫∫(σ ) [ ∫0
xy
R2 −ρ 2
zρdz ]dρdθ
π
4
θ
y
,0 ≤ ρ ≤ R.
x
∴ I = ∫ dθ
0
2π
∫
π /4
0
dϕ
∫
R
0
ρ 2 ⋅ ρ 2sinϕ dρ
2− 2 5 = πR . 5
练习 试用三种坐标系分别计算三重积分
z
2
σz
I = ∫∫∫ zdv, 其中(V ) : x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 z.
(V )
解法1 解法 直角坐标系(切片法)
= ∫ dθ ∫
0
2π
R
0
1 2 1 4 2 ( R − ρ ) ρdρ = πR . 2 4
思考： 思考：是否可考虑用切片法来求解？
例2 计算三重积分I = ∫∫∫ ( x + y )dv,
2 2 (V )
z
其中(V )由z = x 2 + y 2 , z = h所围.
解 (V )在xoy面投影域(σ )为圆 : 0 ≤ ρ ≤ h , xy
0 ≤ θ ≤ 2π
h
•
此时, ρ 2 ≤ z ≤ h.
•
o
•
∴ I = ∫∫(σ ) [ ∫ρ ρ ρdz ]dρdθ
h 2
2
y
(σ xy )
xy
x
= ∫ dθ ∫ ( ρ h − ρ ) dρ
3 5 0 0
2π
h
1 3 = πh . 6
思考： 思考： 本题是否也可考虑用切片法来求解？
4-2-2
本讲主要内容
三重积分在柱面及球坐标系下的计算 三重积分在柱面及球坐标系下的计算 在柱面及球
（1）三重积分在柱坐标系下的计算； （2）三重积分在球坐标系下的计算； （3）举例 ；
作业： 作业：P215 2, 3, 4.
2011-9-30
4-2-1
柱面坐标系下三重积分的计算
对应空间点P ( x, y , z )可用( ρ ,θ , z )表示.
(σ z ) : x + y ≤ 2 z − z ; 0 ≤ z ≤ 2.
2 2 2
1
∴ I = ∫ ∫∫ zdσ dz 0 (σ z )
2
o x
y
= ∫ zσ z dz
0
2
= ∫ zπ ( 2 z − z )dz
2 0
2
4π = . 3
解法2 解法 柱面坐标系计算
∫∫∫ zdv
o
y
即得单积分：
(3)再对ϕ、θ作积分.
∴ ∫∫∫
(V )
f ( x, y , z )dv =
ϕ2
ρ 2 (θ ,ϕ )
1
∫θ
θ2
1
dθ ∫ dϕ ∫ρ (θ ,ϕ ) f ( ρ sin ϕ cosθ , ρ sin ϕ sin θ , ρ cos ϕ ) ρ 2 sin ϕdρ
ϕ1
例3 计算三重积分I = ∫∫∫ zdv,
dv
dρ
θ = θ , θ = θ + dθ ; ϕ = ϕ , ϕ = ϕ + dϕ
ϕ
o x

则体积元素dv : dv = ρ sin ϕdθ ⋅ ρdϕ ⋅ dρ
dϕ
ρ
y
dv = ρ sin ϕdθdρdϕ
2
∴ ∫∫∫
(V )
f ( x, y , z )dv
(V )
= ∫∫∫
f ( ρ sin ϕ cosθ , ρ sin ϕ sin θ , ρ cos ϕ ) ρ 2 sin ϕdρdθdϕ .
其中x, y与ρ ,θ之间关系为 :
1、柱面坐标 在直角坐标系中,当xoy面上点用极坐标表示时 、
z
x = ρ cos θ , y = ρ sin θ
,z = z
•
P
z
o
以z 当ρ = 常数： 轴为中心轴的圆柱面； x