广东省14市2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编：立体几何

广东省14市2016届高三上学期期末考试数学文试题分类汇编立体几何一、选择题1、（潮州市2016届高三上学期期末）右图是一个几何体的正视图和侧视图，其俯视图是面积为82的矩形，则该几何体的体积是A、8B、42C、16D、16 32、（东莞市2016届高三上学期期末）已知一个几何体的三视图如图所示，图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积为（A）103（B）4（C）6（D）103、（佛山市2016届高三教学质量检测（一）（期末））某一简单几何体的三视图如图2所示,该几何体的外接球的表面积是( )A. 13πB. 16πC. 25πD. 27π4、（广州市2016届高三1月模拟考试）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图与侧视图都是斜边长为2的直角三角形，俯视图是半径为1的四分之一圆周和两条半径，则这个几何体的表面积为（A）312π（B）36π（C）34π（D）33π22322正视图侧视图俯视图图25、（惠州市2016届高三第三次调研）某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半个圆弧，则该几何体的表面积为（ ） （A ）π42616++ （B ）π32616++ （C ）π42610++ （D ）π32610++6、（揭阳市2016届高三上学期期末学业水平考试）已知棱长为2的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1 D 1在一半球底面上，且A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则此半球的体积为(A) 46π (B) 26π (C) 163π (D) 86π7、（茂名市2016届高三第一次高考模拟）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 、43 B 、23 C 、13D 、2 8、（清远市2016届高三上学期期末）一个几何体的三视图如图所示，正视图为直角三角形、侧视图为等边三角形，俯视图为直角梯形，则该几何体的体积等于（ ） A ．3 B ．23 C ． 33 D ．439、（汕头市2016届高三上学期期末）某几何体的三视图如图2所示，则该几何体的外接球表面积为（ ）正视图俯视图侧视图2232311A．43πB．12πC．24πD．48π10、（汕尾市2016届高三上学期调研）一个几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为( )11、（韶关市2016届高三上学期调研）如图，圆柱内有一个直三棱柱，三棱柱的底面在圆柱底面内，12，圆柱的底面直径与母线长相且底面是正三角形. 如果三棱柱的体积为3等，则圆柱的侧面积为12A．π14B．π16C．π18D．π12、（湛江市2016年普通高考测试（一））一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的表面积为A 、64＋8πB 、48＋12πC 、48＋8πD 、48＋12π13、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和俯视图如图2所示，则此几何体的表面积是 （A ）24π （B ）2482ππ+ （C ）2442ππ+ （D ）32π14、（珠海市2016届高三上学期期末）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积是 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．12侧视图正视图 俯视图2222第11题图1、A2、C3、C4、A5、C6、A7、B8、A9、B 10、A 11、C 12、A 13、C 14、B二、填空题1、（潮州市2016届高三上学期期末）已知一个长方体的长、宽、高分别是5，4，3，则该长方体的外接球的表面积等于＿＿2、（东莞市2016届高三上学期期末）如图，等腰直角三角形ABC ，｜AB ｜＝2，AC L ，三角形ABC 绕直线L 旋转一周，得到的几何体的体积为3、（惠州市2016届高三第三次调研）已知三棱锥S ABC -所在顶点都在球O 的球面上，且SC ⊥平面ABC ，若1SC AB AC ===，120BAC ∠=︒，则球O 的表面积为 ．4、（揭阳市2016届高三上学期期末学业水平考试）如图2，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是一正方体被截去一部分后所得几何体的三视图，则被截去部分的几何体的表面积为 ．5、（汕尾市2016届高三上学期调研）若正方体的棱长为2，则该正方体外接球的表面积为6、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的体积为 .1、π502、3、【答案】5π【解析】记底面三角形ABC 的外接圆为⊙O ′，半径为r,则22sin120BCr ==︒，所以记球的半径为R ，因为SC ⊥平面ABC ，则()2222145R r SC =+=+=，所以球O 的表面积为2254452S R πππ⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭4、54183+5、12π6、86π三、解答题1、（潮州市2016届高三上学期期末）如图，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 是矩形，侧面PAB 是正三角形，AB ＝2，BC ＝2，PC ＝6，E ，H 分别为PA 、AB 中点。

（I ）求证：PH ⊥平面ABCD ； （II ）求三棱锥P －EHD 的体积。

2、（东莞市2016届高三上学期期末）如图，四棱锥P －ABCD 中，底面四边形ABCD 是正方形，PA ＝AB ＝1，PA ⊥平面ABCD ，E 为棱PB 上一点，PD ∥平面ACE ，过E 作PC 的垂线，垂足为F 。

（I ）求证：PC ⊥平面AEF ； （II ）求三棱锥P －AEF 的体积。

图3B 1C 1A 1DC BA3、（佛山市2016届高三教学质量检测（一）（期末））如图4,三棱柱111ABC A B C -中,侧面11AAC C⊥侧面11ABB A ,12AC AA AB ==,1160AAC∠=︒, 1AB AA ⊥,H 为棱1CC 的中点,D 为1BB 的中点.(Ⅰ) 求证:1A D ⊥平面1AB H ；(Ⅱ) 若2AB =,求三棱柱111ABC A B C -的体积.4、（广州市2016届高三1月模拟考试）在直三棱柱111ABC A B C -中，13AB AC AA ===，2BC =，D 是BC 的中点，F 是1C C 上一点．（Ⅰ）当2CF =时，证明：1B F ⊥平面ADF ； （Ⅱ）若D B FD 1⊥，求三棱锥1B ADF -的体积．5、（惠州市2016届高三第三次调研）如图，已知等腰梯形ABCD 中，1//,2,2A D B C A BA DBC E ===是BC 的中点，A EB D M = ,将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆．（Ⅰ）求证：CD ⊥平面1B DM ；（Ⅱ）若101=C B ，求棱锥1B CDE -的体积6、（揭阳市2016届高三上学期期末学业水平考试）如图4，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，底面△ABC 是边长为2的等边三角形，D 为AB 中点．(Ⅰ)求证：BC 1∥平面A 1CD ；(Ⅱ)若四边形CB B 1C 1是正方形，且15,A D =求多面体11CAC BD 的体积.ABCA 1B 1C 1DH图4A BCDFA 1B 1C 1ABDC EMAM1B DE C图47、（茂名市2016届高三第一次高考模拟） 如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB ＝AD ＝2，CD ＝4，四边菜ADE 1F 1是正方形，且平面ADE 1F 1⊥平面ABCD ，M 是E 1C 的中点。

（1）证明：BM ∥平面ADE 1F 1； （2）求三棱锥D －BME 1的体积。

8、（清远市2016届高三上学期期末）如图，直三棱柱111ABC A BC -中，AC =CB ，D ，E 分别是AB ，1BB 的中点。

（1）证明：//1BC 平面CD A 1； （2）求证：CD ⊥平面ABB 1A 1；（3）设12,22AA AC CB AB ＝＝＝＝，求E 到截面DC A 1的距离d.9、（汕头市2016届高三上学期期末）如图4，在直三棱柱111C C AB -A B 中，底面C ∆AB 为等腰直角三角形，C 90∠AB = ，4AB =，16AA =，点M 是1BB 中点．（I ）求证：平面1C A M ⊥平面11C C AA ； （II ）求点A 到平面1C A M 的距离．GFEDCBA10、（汕尾市2016届高三上学期调研）如图，在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAB 为正三角形，侧面PAB ⊥底面ABCD ，E 为PD 的中点，AB ⊥AD ， BC ∥AD ，且AB=BC=12AD=2. (1)求证CE ∥平面PAB ；(2)求四棱锥P —ABCD 的体积.11、（韶关市2016届高三上学期调研）如图，四边形ABCD 是矩形，1,2AB AD ==,E 是AD 的中点，BE 与AC 交于点F , GF ⊥平面ABCD . （Ⅰ）求证：AF ⊥面BEG ；(Ⅱ) 若AF FG =,求点E 到平面ABG 距离.12、（湛江市2016年普通高考测试（一））如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱AA 1⊥平面ABC ，AB 1⊥平面A 1CD ，AC ⊥BC ，D 为AB 中点。

（I ）证明：CD ⊥平面AA 1B 1B ；（II ）若AA 1＝1，AC ＝2，求三棱锥C 1－A 1DC 的体积。

EH PADCBF13、（肇庆市2016届高三第二次统测（期末））如图3，正方形ABCD 的边长为22，E 、F 分别是DC 和BC 的中点，H 是正方形的对角线AC 与EF 的交点，N 是正方形两对角线的交点，现沿EF 将CEF ∆折起到PEF ∆的位置，使得PH AH ⊥，连结PA ，PB ，PD （如图4）．（Ⅰ）求证：BD ⊥AP ； （Ⅱ）求三棱锥A BDP -的高.14、（珠海市2016届高三上学期期末）如图，四棱锥P ABCD -底面ABCD 为平行四边形，且AC BD O = ，PA PC =，PB BD ⊥，平面PBD ⊥平面PAC (I)求证PB ⊥面ABCD(II)若PAC ∆为正三角形，60BAD ∠=︒，且四棱锥P ABCD -的体积为66，求侧面PCD ∆的面积.参考答案：1、（Ⅰ）证明：∵PAB ∆是正三角形且H 是AB 的中点，∴PH AB ⊥．……………………..………………1分∵在PBC ∆中，2PB AB ==，2BC =，6PC =，∴222PC PB BC =+．∴BC PB ⊥．…………………………….…..……3分 又BC BA ⊥，且PB BA B = ， PB 、BA ⊂平面PAB ，∴BC ⊥平面PAB ，…………………………………4分又PH ⊂平面PAB ，∴BC PH ⊥．………………………………………5分又AB BC B = ，AB 、BC ⊂平面ABCD ， ∴PH ⊥平面ABCD ．…………………………..………6分 （Ⅱ）解法一：O DAPBC第19题图E H PADCB由（Ⅰ）可知PH 是三棱锥P AHD -的高． 在Rt PAH ∆中，2PA AB ==，112AH AB ==． ∴22413PH PA AH =-=-=．………………7分又11212222AHD S AH AD ∆=⋅⋅=⨯⨯=， ∴112633326P AHD AHD V S PH -∆=⋅⋅=⨯⨯=．………………9分 过点E 作//EF PA ，交AB 于点F ，又点E 是PA 的中点， 所以EF ⊥平面AHD ，且1322EF PH ==． ∴11236332212E AHD AHD V S EF -∆=⋅=⨯⨯=．………………11分 ∴三棱锥P EHD -的体积为66661212P EHD P AHD E AHD V V V ---=-=-=．……12分 解法二：在Rt PAH ∆中，2PA AB ==，112AH AB ==． 所以22413PH PA AH =-=-=．…………………………7分又E 是PA 的中点， 所以11111313222224PEH PAH S S AH PH ∆∆==⨯⋅⋅=⨯⨯⨯=…9分 由（Ⅰ）可知BC ⊥平面PAB 且2BC =． 又//AD BC 且AD BC =，所以AD ⊥平面PAB 且2AD =．………………10分 所以1136233412P EHD D PEH PEH V V S AD --∆==⋅⋅=⨯⨯=………………12分 2、GMHDC 1B 1A 1CBA3、【解析】(Ⅰ)连结1AC ,因为1ACC ∆为正三角形,H 为棱1CC 的中点,所以1AH CC ⊥,从而1AH AA ⊥,又面11AAC C ⊥面11ABB A , 面11AAC C 面11ABB A 1AA=,AH ⊂面11AAC C , 所以AH ⊥面11ABB A ,又1A D ⊂面11ABB A ,所以AH ⊥1A D …①,……2分 设2AB a =,由12AC AA AB ==,所以12AC AA a ==,1DB a =,11111112DB A B B A AA ==,又111190DB A B A A ∠=∠=︒,所以1111A DB AB A ∆∆ , 所以1111B AA B A D ∠=∠,又11190B A D AA D ∠+∠=︒, 所以11190B AA AA D ∠+∠=︒,设11AB A D O = ,则11A D AB ⊥…②,…………………5分由①②及1AB AH A = ,可得1A D ⊥平面1AB H .…………………6分(Ⅱ)方法一:取1AA 中点M ,连结1C M ,则1//C M AH ,所以1C M ⊥面11ABB A .…………7分 所以11111111623333C AB A AB A V S C M -∆=⋅=⨯⨯=,…………………10分 所以三棱柱111ABC A B C -的体积为11136C AB A V -=.…………………12分 方法二:取11AC 中点G ,连结AG ,因为11AAC ∆为正三角形,所以11AG AC ⊥, 因为面11AAC C ⊥面11ABB A ,面11AAC C 面11ABB A 1AA =,11A B ⊂面11ABB A ,111A B AA ⊥,所以11A B ⊥面11AAC C ,又AG ⊂面11AAC C ,所以11A B AG ⊥,又11111AC A B A = ,所以AG ⊥平面111A B C ,所以AG 为三棱柱111ABC A B C -的高,……9分 经计算3AG =,11111111122222A B C S A B AC ∆=⋅=⨯⨯=,………………11分所以三棱柱111ABC A B C -的体积111236A B C V S AG ∆=⋅=⨯=.………………12分4、5、【解析】（I ） 连接DE ，由题意可知四边形ABED 和AECD 是平行四边形， 又AB=AD ，所以ABED 是菱形 （2分）故BM AE ⊥，.DM AE ⊥ 即AE M B ⊥1，.DM AE ⊥ （4分）D 1B 1C 1A 1DCBAEHB 1C 1A 1DCBA又因为M M B DM =⋂1，MD 、⊂M B 1平面MD B 1，所以⊥AE 平面MD B 1．（5分） 由题可得AE ∥CD ，所以1CD B DM ⊥平面 （6分） （Ⅱ） 连接CM ，由（Ⅰ）得AB=AE=BE=2 ，所以1B AE ∆为等边三角形 ，31=∴M B （7分）又722=+=CD DM CM ，101=C B 21221C B CM M B =+∴，即1B M MC ⊥ （9分）又AE M B ⊥1，MC AE M ⋂=，⊥∴M B 1平面CDE （10分）3322121=⨯⨯=⋅=∆DM AE S CDE （11分） 111133133B CDE CDE V S B M -∆∴=⋅=⨯⨯= （12分）6、（I)证法1：连结AC 1，设AC 1与A 1C 相交于点E ，连接DE ，则E 为AC 1中点，--------2分 ∵D 为AB 的中点，∴DE ∥BC 1，-----4分 ∵BC 1Ë平面A 1CD ，DE Ì平面A 1CD ，------------5分 ∴BC 1∥平面A 1CD . -----------------------------6分 【证法2：取11A B 中点1D ，连结1BD 和11C D ，-----1分 ∵BD 平行且等于11A D ∴四边形BD 11A D 为平行四边形 ∴11//A D BD -----------------------------------2分 ∵1A D ⊂平面1ACD ，1BD ⊄平面1ACD ∴1//BD 平面1ACD ,------------------------------3分 同理可得11//C D 平面1ACD ------------------------4分 ∵1111BD C D D = ∴平面1ACD //平面11BD C 又∵1BC ⊂平面11BD C∴BC 1∥平面A 1CD. -------------------------------6分】 (Ⅱ) 222115AD +A A =A D = 1,A A A D \^-------------------------------------7分又111,//B B BC B B A A ^ 1A A BC \^，又AD BC B = 1A A \^面ABC -------------------------------------------9分 （法一）∴所求多面体的体积V =1111111ABC A B C A ACD B A B C V V V ----------------------------10分111111133ABC ACD A B C AA S AA S BB S ∆∆∆=⨯-⋅⨯-⋅⨯ 112ABC AA S ∆=⋅⨯2113223222=⋅⋅⋅⋅= 即所求多面体11CAC BD 的体积为3.----------------12分【（法二）过点1A 作111A H B C ⊥于H ，∵平面11BB C C ⊥平面111A B C 且平面11BB C C 平面111A B C 11B C =∴1A H ⊥平面11BB C C ,------10分∴所求多面体的体积V =1111A ACD A ACC V V --+1111133BCD BCC S AA S A H ∆∆=⋅+⋅ 113114243332432=⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=.------------------------------------------12分】 7、8、【证明】：（1）连接AC 1交A 1C 于点F ，则F 为AC 1的中点， ………………1分 又D 是AB 的中点，连接DF ，则BC 1∥DF . ………………2分DF ⊂平面A 1CD ，1BC ⊄平面A 1CD ………………3分 ∴BC 1∥平面A 1CD ………………4分（2） ABC -A 1B 1C 1是直三棱柱，∴AA 1⊥平面ABC,……5分 CD ⊂平面ABC ，∴AA 1⊥CD ， ………………6分 由已知AC =CB ，D 为AB 的中点，∴CD ⊥AB ，…………7分又AA 1∩AB =A ，于是CD ⊥平面ABB 1A 1， ………………8分 (3)由AA 1=AC =CB =2，AB=22得∠ACB =90°，CD =2，A 1D =6，DE =3，A 1E =3， 故A 1D 2+DE 2=A 1E 2，DE ⊥A 1D ，………………9分∴123621311=⨯⨯⨯⨯=-DEA C V ………………10分又C D ⊥A 1D,∴△A 1DC 为直角三角形，……………………11分 ∴11D EA C D CA E V V --= ∴1331=⋅⨯d ， ∴ 3=d ……………12分法2：∵ CD ⊥平面ABB 1A 1 ,且CD ⊂平面A 1DC.∴ 平面A 1CD ⊥平面ABB 1A 1 . ……………………………………………………10 ∵ 平面A 1CD ∩平面ABB 1A 1=DA 1且ED ⊥DA 1∴ED ⊥平面A 1CD ，∴ED 为E 到平面A 1CD 的距离………………………………11 在Rt △DBE 中，ED=322=+BE DB ………………………………………12 9、解：（Ⅰ）记1AC 与C A 1的交点为E .连结ME .直三棱柱111C B A ABC -,点M 是1BB 中点,2211435MA MA MC MC ∴====+=……2分因为点E 是1AC 、C A 1的中点，所以1AC ME ⊥ ， C A ME 1⊥， ……4分 又11AC AC E = 从而ME ⊥平面11AAC C .因为ME ⊂平面1A MC ，所以平面1A MC ⊥平面11AAC C . ……6分（Ⅱ）过点Ａ作1AH AC ⊥于点H ， 由（Ⅰ）平面1A MC ⊥平面11AAC C ，平面1A MC 平面111AAC C AC =， 而AH ⊥平面11AAC C ……2分∴AH 即为点A 到平面1A MC 的距离． ……3分在1A AC ∆中，190A AC ∠=︒，11642,68AA AC AC ===，1164224343468AA AC AH AC ⋅⨯∴===即点A 到平面1A MC 的距离为243434……6分 10、11、证法1：∵四边形ABCD 为矩形，∴AEF ∆∽CBF ∆， ∴21===BC AE BF EF CF AF ……………1分 又∵矩形ABCD 中，2,1==AD AB ，∴3,22==AC AE 在BEA Rt ∆中，2622=+=AE AB BE ∴3331==AC AF ，3632==BE BD ……………2分 在ABF ∆中，222221)36()33(AB BF AF ==+=+ ∴90=∠AFB ，即BE AC ⊥ ……………4分∵⊥GF 平面ABCD ，⊂AC 平面ABCD ∴GF AC ⊥ ……………5分 又∵F GF BE = ，⊂GF BE ,平面BCE ∴⊥AF 平面BEG ……………6分 证法2：（坐标法）证明1-=⋅BE AC K K ，得BE AC ⊥，往下同证法1．（2）在AGF Rt ∆中，22GF AF AG +=36)33()33(22=+= 在BGF Rt ∆中，22GF BF BG +=1)33()36(22=+= ………… ……………8分 在ABG ∆中，36=AG ，1==AB BG ∴2)66(13621-⨯⨯=∆ABG S 656303621=⨯⨯=………………………………10分 设点E 到平面ABG 的距离为d ，则GF S d S ABF ABG ⋅=⋅∆∆3131， ………………………………11分 ∴ABG ABFS GF S d ∆⋅=1030653312221=⨯⨯⨯= ………………………………12分12、13、（Ⅰ）证明： ∵E 、F 分别是CD 和BC 的中点，∴EF //BD . （1分） 又∵AC BD ⊥，∴AC EF ⊥，故折起后有PH EF ⊥. （2分） 又PH AH⊥，所以PH ⊥平面ABFED ． （3分）又∵BD ⊂平面ABFED ，∴PH BD ⊥， （4分） ∵AH PH H = ，,AH PH ⊂平面APH ，∴BD ⊥平面APH ， （5分） 又AP ⊂平面APH ，∴BD ⊥AP （6分） （Ⅱ）解：∵正方形ABCD 的边长为22，∴4AC BD ==，2,1AN NH PH ===，PE PF = （7分） ∴PBD ∆是等腰三角形，连结PN ，则PN BD ⊥，222PN NH PH =+=∴PBD ∆的面积11422222PBD S BD PN ∆=⋅=⨯⨯= （8分） 设三棱锥A BDP -的高为h ，则三棱锥A BDP -的体积为12233A BDP PBD hV S h -∆=⋅= （9分）由（Ⅰ）可知PH 是三棱锥P ABD -的高，∴三棱锥P ABD -的体积：11111422221332323P ABD ABD V S PH AB AD PH -∆=⋅=⨯⋅⋅=⨯⨯⨯⨯= （11分）∵A BDP P ABD V V --=，即22433h =，解得2h =，即三棱锥A BDP -的高为2. （12分） 14、(I)证明：由于四边形ABCD 为平行四边形，所以O 为AC 的中点；连接PO PA PC =∴AC PO ⊥ ———1分 平面PBD ⊥平面PAC ，又 平面PBD 平面=PAC PO ，AC ∈平面PAC ∴AC ⊥面PBD ∴AC ⊥PB —————4分又 PB BD ⊥，且AC BD O = ，AC BD ABCD ∈、面∴PB ⊥面ABCD —————6分(II)解：由(I)知AC ⊥面PBD ，所以AC ⊥BD ，可知底面ABCD 为菱形; 设AB BC a ==，又因为60BAD ∠=︒，所以BD a =，3AC a =因为PAC ∆为正三角形，所以3PC a = —————7分由(I)知PB BC ⊥，从而PBC ∆为直角三角形，2PB a ∴= —————8分21116323326P ABCD ABCD V S PB a a -=== 解得：1a = ———9分 所以3PC =、1CD =、2PB = 223PD PB BD ∴=+= —————10分取CD 的中点E ，连接PE ，可知PE CD ⊥22112PE PC CE =-=11124PCD S CD PE == —12分 OD APB C Ｅ。