广东清新县第一中学2012届高考数学冲刺模拟试题(4) 理

2012届清新县第一中学高考冲刺模拟试题数学（理科）（四）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每个小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知等比数列{}n a 的公比为正数，且237424,2a a a a ⋅==,，则1a =( )A. 1 C. 2 2.设随机变量ξ服从标准正态分布(0,1)N ，在某项测量中，已知(|| 1.96)0.950P ξ<=，则ξ在(, 1.96)-∞-内取值的概率为( )A ．0.025B ．0.050C ．0.950D ．0.9753．已知3sin()45x π-=，则sin 2x 的值为( ) A ．1925 B ．1625 C ．1425 D ．7254．已知(2,1),10,||a a b a b =⋅=+=则||b = ( )A B C ．5 D ．255．设数列{}n a 是等差数列，1780,0a a a <⋅<.若数列{}n a 的前n 项和n S 取得最小值，则n的值为( )A ．4B ．7C ．8D ．156．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是( )A ．383cmB ．343cmC ．323cmD ．313cm7．若8280128(1)(1)(1)(1),x a a x a x a x -=+++++++ 则6a =( )A ．112B ．28C ．28-D ．112-8.随机写出两个小于1的正数x 与y ，它们与数1一起形成一个三元数组()1,,y x .这样的三元数组正好是一个钝角三角形的三边的概率是( )A ．12B ．4πC ．224π- D ．24π-二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9～13）9. 计算121(lg lg 25)1004--÷=_______．10．抛物线2y ax =上一点(,3)M m 到焦点距离为5，则a = .11．如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH 内”， B 表示事件“豆子落在扇形OHE （阴影部分）内”，则（1）()P A =___________, （2）(|)P B A =__________．12．已知,,a b R a b ∈<，且50ab =，则|2|a b +的最小值为 ． 13．对任意实数,a b ，函数1(,)(||)2F a b a b a b =+--，如果函数2()23f x x x =-++， ()1g x x =+，那么函数()((),())G x F f x g x =的最大值等于 .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. （几何证明选讲选做题）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是圆周上一点（异于,A B ），过C 作圆O 的切线l ，过A 作直线l 的垂线AD ，垂足为D ，AD 交半圆于点E .已知2CB =，则CE = . 15. （坐标系与参数方程选做题）若直线340x y m ++=与圆1cos2sin x y θθ=+⎧⎨=-+⎩（θ为参数）没有公共点，则实数m 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和步骤. 16.（本小题满分12分）已知{}n a ，{}n b 都是各项为正的数列，对任意的自然数n ，都有12,,+n n n a b a 成等差数列，2112,,++n n n b a b 成等比数列. （I ）证明{}n b 是等差数列；（Ⅱ）对任意的自然数()q p q p >,，2222pq p q p b b b ≥++-.17.（本小题满分13分）甲袋中有3个白球和4个黑球，乙袋中有5个白球和4个黑球，现在从甲、乙两袋中各 取出2个球.（I ）求取得的4个球均是白球的概率; （Ⅱ）求取得白球个数的数学期望.18.（本小题满分13分）如图，已知三棱锥O ABC -的侧棱OAOB OC ，，两两垂直，且1OA =，2OB OC ==，E 是OC 的中点． （I ）求O 点到面ABC 的距离；（Ⅱ）求异面直线BE 与AC 所成的余弦值； （III ）求二面角E AB C --的正弦值．19.（本小题满分14分）已知函数()⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈++--=2,0,22sin 32cos πx b a x a x a x f .问是否存在实数a ,b ，使得函数()x f 的值城为[]15-，.20.（本小题满分14分）已知动点P 到定直线2x =-的距离与到定点F (1,0)的距离的差为1.ＡＯ ＥＣＢ（I ）求动点P 的轨迹方程；（II ）若O 为原点，A B 、是动点P 的轨迹上的两点，且AOB ∆的面积S △AOB ＝tan m AOB ∠ ，试求m 的最小值；（III ）求证：在（2）的条件下，直线AB 恒过一定点. 并求出此定点的坐标.21.（本小题满分14分）已知c b a 、、是实数，函数()c bx ax x f ++=2，()b ax x g +=，当11≤≤-x 时，()1≤x f .（I ）证明1≤c ；（II ）证明当11≤≤-x 时，()2≤x g ；（III ）设0>a ，当11≤≤-x 时，()x g 的最大值为2，求()x f .2012届清新县第一中学高考冲刺模拟试题数学（理科）（四）一、选择题 8.依题意，有1>+y x . (1)如果要形成钝角三角形，A ∠一定是钝角知A cos 一定是负值，由此得到(),,1x y 是钝角三角形的条件.而A xy y x cos 21222-+= 因此ABC ∆是钝角三角形的条件是122<+y x. (2)因此，我们得到三元数组()1,,y x 为钝角三角形的条件是：⎩⎨⎧<+>+1122y x y x . 其形成的区域是：满足不等式(1)的点()y x ,都在我们的单位正方形的对角线AB 上方(如图1.3)； 而满足不等式(2)的点都在单位圆之内.因此，同时BC1满足(1)与(2)的点集合则正如图中所表示的，是介于 四分之一圆周与对角线之间的阴影区域.这样，()1,,y x 构成钝角三角形的概率是：14AOBABC AOBS S S ∆=-弓形圆22111211142424πππ-=⋅-⨯⨯=-=.二、填空题三、解答题 16．答案：解（I ）：因为212n n n b a a +=+，21221++⋅=n n n b b a ，又0,0>>n n b a ， 所以1121221++++⋅=⇒⋅=n n n n n n b b a b b a ， 从而2≥n 时，n n n b b a ⋅=-1，所以()22111112222n n n n n n n n n n n b a a b b b b b b b b n +-+-+=+⇒=⋅+⋅⇒=+≥所以{}n b 是等差数列.解（II ）：因为{}n b 是等差数列，所以2p q p q p b b b -++=；所以()222222p q p q pq p q pb b b b b -+-+++≥=.17．答案：设从甲袋中取出i 个白球的事件为i A ，从乙袋中取出i 个白球的事件为i B ，其中i =0，1，2，则()27243C C C A P i i i -=，()29245C C C B P ii i -=.解（I ）：()()2925227232C C B P C C A P ==，，所以，()()()12651857127232222=⋅=⋅=⋅C C B P A P B A P . 解（II ）：ξ的分布列为：6312641263126212611260=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE18．答案： 方法一：解（I ）：取BC 的中点D ,连AD 、OD,OB OC OD BC =⊥则、,AD BC⊥ .,BC OAD O OH AD H ∴⊥⊥面过点作于则OH ⊥面ABC ,OH 的长就是所要求的距离.BC OD ===OA OB ⊥ 、OA OC ⊥，,.OA OBC OA OD ∴⊥⊥面则AD ==OAD 中，有3OA OD OH AD ⋅=== （另解：由112,363ABC V S OH OA OB OC OH ∆=⋅=⋅⋅==知 解（II ）：取OA 的中点M ，连EM 、BM ，则EM ∥,ACBEM ∠是异面直线BE 与AC 所成的角.求得217,5,25212222=+==-===OB OM BM OE OB BE AC EM252cos 222=⋅⋅-+=∠ME BE BM ME BE BEM 故所求的余弦值是25 证明（III ）：连结CH 并延长交AB 于F ,连结OF 、EF .,.,,,OC OAB OC AB OH ABC CF AB EF AB ⊥∴⊥⊥∴⊥⊥ 面又面则EFC ∠就是所求二面角的平面角.作EG CF ⊥于G ,则126EG OH == 在直角三角形OAB 中,OA OB OF AB ⋅== 在直角三角形OEF 中,EF ===30766sin arcsin .(arccos )31818EG EFG EFG EF ∠===∠=或表示为1830 方法二:解（I ）：以O 为原点,OB 、OC 、OA 分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系. 则有(0,0,1)A 、(2,0,0)B 、(0,2,0)C 、(0,1,0).E设平面ABC 的法向量为1(,,),n x y z =则由11:20;n AB n AB x z ⊥⋅=-=知 由11:20.n AC n AC y z ⊥⋅=-=知取1(1,1,2)n = ，则点O 到面ABC 的距离为11n OA d n ⋅===解（II ）：(2,0)(0,1,0)(2,1,0),(02,1).E B A C =-=-=-证明（III ）：设平面EAB 的法向量为(,,),n x y z = 则由n AB ⊥ 知:20;n AB x z ⋅=-=由n EB ⊥ 知:20.n EB x y ⋅=-= 取(1,2,2).n =由(1)知平面ABC 的法向量为1(1,1,2).n =则cos <1,n n>11n n n n ⋅====. 结合图形可知,二面角E AB C --的正弦值是1830.19．答案：解：()b a x a b a x a x a x f ++⎪⎭⎫⎝⎛+-=++--=262sin 222sin 32cos π， 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πx ，所以72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+1,2162sin πx ， 于是最大值和最小值只能在162sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πx 或2162sin -=⎪⎭⎫ ⎝⎛+πx 时取得，所以根据题意有 ⎪⎩⎪⎨⎧=++⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅--=++⋅-122125212b a a b a a 或⎪⎩⎪⎨⎧-=++⎪⎭⎫⎝⎛-⋅-=++⋅-522121212b a a b a a 解得⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a所以存在实数a ,b 且⎩⎨⎧-==52b a 或⎩⎨⎧=-=12b a 满足题意.20．答案：解（I ）：依题意知动点P 到定点F (1,0)的距离与到定直线1x =-的距离相等，由抛物线的定义可知动点P 的轨迹方程是24y x =.解（II ）：设221212(,),(,)44y y A y B y∵1sin 2AOBS OA OB AOB ∆=∠， 又tan AOB S m AOB ∆=∠∴1sin 2OA OB AOB ∠=tan m AOB ∠ ∴11cos 22m OA OB AOB OA OB =∠=∙ 2212121()216y y y y =+2121(8)232y y =+- ∴min 2m =-，此时128y y =-证明（III ）：∵当2212y y ≠时，直线AB 的方程为212112212()444y y y y y x y y --=--即 211124()4y y y x y y -=-+，1212124y y y x y y y y =+++ ∵128y y =-，∴直线AB 的方程为124(2)y x y y =-+，即直线AB 恒过定点（2，0）21．答案：解（I ）：由条件当11≤≤-x 时，()1≤x f ，取0=x 得()10≤=f c ，即1≤c . 解（II ）：当0>a 时，()b ax x g +=在[]1,1-上是增函数，所以()()()11g x g g ≤≤-， 因为当11≤≤-x 时，()1≤x f ，所以()c b a f ++=1，即()c f b a -=+1，而1≤c ，所以()()()2111≤+≤-=+=c f c f b a g ， 又因为()c f b a --=-1，即()()c f b a --=+--1，或()c f b a +--=+-1，所以()()()()2111-≥+--≥+--=+-=-c f c f b a g ，故()2≤x g .当0>a 时，()b ax x g +=在[]1,1-上是减函数， 所以()()()11g x g g ≥≥-，因为当11≤≤-x 时，()1≤x f ，1≤c ，所以()()()2111≤+-≤+--=+-=-c f c f b a g ，()()()()2111-≥+--≥-=+=c f c f b a g ，由此即得()2≤x g .当0=a 时，因为()f x bx c =+，()b x g =；因为()c b f +=1，所以()c f b -=1，因为11≤≤-x ， 所以()()()211≤+≤-=c f c f x g ， 综上得()2≤x g .证明（III ）：因为0>a ，()x g 在[]1,1-上是增函数，当1=x 时，()max (1)2g x g ==， 即()()()2011=-=+=f f b a g ，或2=+b a . 因为()()1212101-≤-≤-=≤-f f ， 所以()10-==f c ，因为当11≤≤-x 时，()()01f x f =-≥，即()()0f x f ≥， 因而0=x 为()x f 的对称轴，即02=-ab，所以0=b . 由2=+b a 得2=a ， 所以()122-=x x f .。