2017-2018学年高中数学(北师大版)5：课时跟踪检测(八)等比数列的前n项和含答案

课时跟踪检测（八）等比数列的前n项和
层级一学业水平达标1．数列｛1＋2n－1｝的前n项和为( )
A．1＋2n B．2＋2n
C．n＋2n－1 D．n＋2＋2n
解析:选C 由题意得a n＝1＋2n－1，所以S n＝n＋1－2n
1－2
＝n＋2n
－1.
2．在等比数列｛a n｝中，公比q＝－2，S5＝22，则a1的值等于( ）
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选D ∵S5＝22，q＝－2，∴错误!＝22，
∴a1＝2。

3．已知等比数列｛a n｝的前n项和为S n,且S3＝2，S6－S3＝4，则S9－S6＝（)
A．8 B．4
C．2 D．1
解析：选A (S6－S3）2＝S3(S9－S6），∴S9－S6＝8。

4．已知数列｛a n}的前n项和S n＝a n－1（a是不为零且a≠1的常数），则数列{a n｝（）
A．一定是等差数列
B．一定是等比数列
C．或者是等差数列,或者是等比数列
D．既非等差数列，也非等比数列
解析：选B 当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（a－1)·a n－1;当n＝1时，a1＝a－1,∴a n＝（a－1）·a n－1，n∈N＋。

∴错误!＝a，即数列｛a n}一定是等比数列．
5．设等比数列{a n}的前n项和为S n，已知错误!＝3，则2a2－a4的值是（)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A 设｛a n}的首项为a1,公比为q（q≠1)，
∴错误!＝3×错误!,∴q2＝2，
∴2a2－a4＝2a2－a2q2＝2a2－2a2＝0,故选A.
6．等比数列1，2，4,…，从第5项到第10项的和是________．
解析:可知首项a1＝1，公比q＝2。

∴从第5项到第10项的和为
S10－S4＝错误!－错误!＝错误!－错误!＝1 008。

答案：1 008
7．一个等比数列,它的前4项和为前2项和的2倍，则此数列的公比为__________．
解析:当q＝1时,S4＝2S2满足题意;
当q≠1时,错误!＝错误!，∴1＋q2＝2。

∴q＝1(舍去），或q＝－1.
答案：－1或1
8．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n(n∈N＋)等于________．
解析:记第n天植树的棵数为a n，则数列｛a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，
解S n＝错误!＝2n＋1－2≥100，得n≥6.
答案：6
9．已知等差数列{a n｝，a2＝9，a5＝21.
(1）求｛a n｝的通项公式;
（2）令b n ＝2a n ，求数列｛b n ｝的前n 项和S n .
解：(1）设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，
依题意得方程组错误!
解得a 1＝5，d ＝4,
∴数列{a n }的通项公式a n ＝4n ＋1.
（2)由a n ＝4n ＋1得，b n ＝24n ＋1，∴{b n }是首项为b 1＝25， 公比为q ＝24的等比数列，于是得数列{b n ｝的前n 项和 S n ＝错误!＝错误!.
10．设数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，a 1＝1，且数列｛S n }是以2为公比的等比数列．
(1)求数列｛a n ｝的通项公式;
(2）求a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1。

解：（1)因为S 1＝a 1＝1，且数列{S n }是以2为公比的等比数列，所以S n ＝2n －1，
又当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝2n －1－2n －2＝2n －2。

所以a n ＝错误!
（2)a 3,a 5，…，a 2n ＋1是以2为首项，以4为公比的等比数列，
所以a 3＋a 5＋…＋a 2n ＋1＝21－4n
1－4＝错误!。

所以a1＋a3＋…＋a2n＋1＝1＋错误!＝错误!。

层级二应试能力达标
1．已知等比数列的前n项和S n＝4n＋a，则a的值等于（）A．－4 B．－1
C．0 D．1
解析：选B a1＝S1＝4＋a，a2＝S2－S1＝42＋a－4－a＝12，a3＝S3－S2＝43＋a－42－a＝48，
由已知得a错误!＝a1a3，
∴144＝48（4＋a），∴a＝－1.
2．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1,那么前10项和等于（)
A．31 B．33
C．35 D．37
解析：选B 根据等比数列性质得S10－S5
S5＝q5，∴错误!＝25，∴
S10＝33.
3．在各项为正数的等比数列{a n}中，若a5－a4＝576，a2－a1＝9，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5的值是（)
A．1 061 B．1 023
C．1 024 D．268
解析：选B 由a4(q－1）＝576，a1（q－1)＝9,
∴错误!＝q3＝64，∴q＝4，∴a1＝3，
∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝错误!＝1 023。

4．已知{a n｝是等比数列，a2＝2，a5＝错误!，则a1a2＋a2a3＋…＋a n a n＋1＝( )
A．16(1－4－n) B．16(1－2－n)
C。

错误!(1－4－n) D.错误!（1－2－n）
解析：选C ∵错误!＝q3＝错误!，∴q＝错误!。

∴a n·a n＋1＝4·错误!n－1·4·错误!n＝25－2n,
故a1a2＋a2a3＋a3a4＋…＋a n a n＋1＝23＋21＋2－1＋2－3＋…＋25－2n＝n）．
错误!＝错误!(1－4－
5．设等比数列｛a n}的前n项和为S n,若a1＝1，S6＝4S3，则a4＝________。

解析:若q＝1时,S3＝3a1，S6＝6a1，显然S6≠4S3，故q≠1，
∴错误!＝4·错误!，∴1＋q3＝4,∴q3＝3。

∴a4＝a1q3＝3.
答案：3
6．(安徽高考)已知数列错误!是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9,a 2a 3＝8，则数列错误!的前n 项和等于________．
解析：设等比数列的公比为q ,则有错误!
解得错误!或错误!
又错误!为递增数列，∴错误!∴S n ＝错误!＝2n －1。

答案:2n －1
7．已知数列｛a n } 的前n 项和S n ＝错误!，n ∈N ＋.
(1）求数列{a n ｝ 的通项公式;
(2）设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝错误!－错误!＝n .
当n ＝1时，符合上式．
故数列｛a n ｝的通项公式为a n ＝n 。

（2)由(1）知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1）n n .记数列{b n ｝的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝（21＋22＋…＋22n ）＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．
记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则
A ＝21－22n
1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2）＋(－3＋4）＋…＋[－
（2n －1)＋2n ]＝n 。

故数列｛b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.
8．已知{a n｝是各项均为正数的等比数列，{b n}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3,a5－3b2＝7.
（1)求｛a n}和{b n}的通项公式;
(2）设c n＝a n b n，n∈N＋，求数列{c n}的前n项和．
解：（1)设数列{a n}的公比为q，数列{b n｝的公差为d，
由题意知q>0。

由已知,有错误!
消去d，整理得q4－2q2－8＝0，
解得q2＝4.
又因为q>0，所以q＝2，所以d＝2。

所以数列｛a n}的通项公式为a n＝2n－1，n∈N＋；
数列｛b n}的通项公式为b n＝2n－1，n∈N＋.
（2)由（1)有c n＝（2n－1)·2n－1,
设{c n}的前n项和为S n，
则S n＝1×20＋3×21＋5×22＋…＋（2n－3)×2n－2＋(2n－1)×2n －1，
2S n＝1×21＋3×22＋5×23＋…＋（2n－3）×2n－1＋(2n－1）×2n，上述两式相减，得
－S n＝1＋22＋23＋…＋2n－（2n－1）×2n＝2n＋1－3－（2n－1）×2n＝－(2n－3）×2n－3，。