数学选修4-5不等式选讲提高训练C组
不等式选讲(选修4-5)典型题及答案
不等式选讲 选修4-51．已知函数（其中）.（1）当时，求不等式的解集；（2）若关于的不等式恒成立，求的取值范围.2．设函数()241f x x =-+. (1)画出函数()y f x =的图象；(2)若不等式()f x a x ≤的解集非空，求a 的取值范围.3．已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －3|. (1)求不等式f (x )≤6的解集；(2)若关于x 的不等式f (x )<|a －1|的解集不是空集，求实数a 的取值范围． 4．已知函数()2123f x x x =++-，（Ⅰ）若关于x 的不等式()13f x a >-恒成立，求实数a 的取值范围；（Ⅱ）若关于t 的一次二次方程()20t f m -=有实根，求实数m 的取值范围． 5．选修4—5:不等式选讲已知函数ƒ(x)=|2x -a|+ |x -1|.（Ⅰ）当a=3时,求不等式ƒ(x)≥2的解集；(Ⅱ)若ƒ(x)≥5-x 对V.r6 R 恒成立,求实数a 的取值范围. 6．已知函数()()12f x x x m m R =-++∈ （1）若m=2时，解不等式()3f x ≤;（2）若关于x 的不等式()[]230,1f x x x ≤-∈在上有解，求实数m 的取值范围。
7．已知m ，n ∈R ＋，f (x )＝|x ＋m |＋|2x －n |. (1)当m ＝n ＝1时，求f (x )的最小值； (2)若f (x )的最小值为2，求证122m n +≥.8．选修4-5：不等式选讲已知函数()11f x m x x =---+.（1）当5m =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点，求实数m 的取值范围.9．已知函数()312f x x x =-+-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）设实数,a b 满足222a b m +=，证明： 2a b +≤10．设函数()2f x x a a =++.（1）若不等式()1f x ≤的解集为{|24}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式()24f x k k ≥--恒成立，求实数k 的取值范围. 11．(导学号：05856266)[选修4－5：不等式选讲] 设函数f (x )＝|2x －1|－|x ＋2|. (Ⅰ)解不等式f (x )>0；(Ⅱ)若∃x 0∈R，使得f ()0x ＋2m 2<4m ，求实数m 的取值范围． 12．设函数()3f x x =+， ()21g x x =-. （1）解不等式()()f x g x <；（2）若()()24f x g x a x +>+对任意的实数x 恒成立，求a 的取值范围. 13．已知函数()2321f x x x =+-- (1)求不等式()2f x <的解集；(2)若存在x R ∈，使得()32f x a >-成立，求实数a 的取值范围. 14．选修4-5 不等式选讲已知函数f (x )＝|x －1|－2|x ＋1|的最大值为m . (1)求m ；(2)若a ，b ，c ∈(0，＋∞)，a 2＋2b 2＋c 2＝2m ，求ab ＋bc 的最大值． 15．设函数()2f x x x a =-+-. (Ⅰ)若2a =-，解不等式；(Ⅱ)如果当x R ∈时， ()3f x a ≥-，求a 的取值范围．参考答案1．(1)；(2).【解析】试题分析：（1）方法一：分类讨论去掉绝对值，转化为一般的不等式，即可求解不等式的解集；方法二：去掉绝对值，得到分段函数，画出函数的图象，结合图象即可求解不等式的解集.（2）不等式即关于的不等式恒成立，利用绝对值不等式，得，进而求解实数的取值范围.试题解析：（1）当时，函数，则不等式为，①当时，原不等式为，解得：；②当时，原不等式为，解得：.此时不等式无解；③当时，原不等式为，解得：，原不等式的解集为.方法二：当时，函数，画出函数的图象，如图：结合图象可得原不等式的解集为.（2）不等式即为，即关于的不等式恒成立.而，所以， 解得或，解得或.所以的取值范围是.2．（1）见解析（2）()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭【解析】试题分析：（1）先讨论x 的范围，将函数f x （）写成分段函数，然后根据分段函数分段画出函数的图象即可；（II ）根据函数y f x =（）与函数y ax =的图象可知先寻找满足f x a x ≤（）的零界情况，从而求出a 的范围．试题解析： (1)由于()25,2{23,2x x f x x x -+<=-≥，则()y fx =的图象如图所示：(2)由函数()y f x =与函数y ax =的图象可知，当且仅当12a ≥或2a <-时，函数()y f x =与函数y ax =的图象有交点，故不等式()f x a x ≤的解集非空时， a 的取值范围是()1,2,2⎡⎫-∞-⋃+∞⎪⎢⎣⎭.3．（1）{|12}x x -≤≤；（2）()(),35,-∞-⋃+∞ 【解析】试题分析：(1)由题意结合不等式的性质零点分段可得不等式的解集为{}|12x x -≤≤.(2)由绝对值三角不等式的性质可得()4f x ≥，结合集合关系可得关于实数a 的不等式14,a ->求解绝对值不等式可得实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.试题解析：(1)原不等式等价于()()3{221236x x x >++-≤或()()13{2221236x x x -≤≤+--≤或()()1{ 221236x x x <--+--≤，解得322x <≤或1322x -≤≤或112x -≤<-.∴原不等式的解集为{}|12x x -≤≤. (2)()()()212321234fx x x x x =++-≥+--=，14,3a a ∴->∴<-或5a >，∴实数a 的取值范围为()(),35,-∞-⋃+∞.点睛：绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．4．（Ⅰ）51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）35{|}22m m -≤≤． 【解析】试题分析：(1)由题意结合绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为4，据此可得134a -<，则实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；(2)方程的判别式()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，零点分段可得实数m 的取值范围是35{|}22m m -≤≤．试题解析： （Ⅰ）因为()2123f x x x =++-≥()()21234x x +--=，所以134a-<，即513a -<<，所以实数a 的取值范围为51,3⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）()32421230m m ∆=-++-≥，即21238m m ++-≤，所以不等式等价于()()3{221238m mm >++-≤或13{2221238m m m -≤≤+-+≤或()()1{221238m m m <--+--≤，所以3522m <≤，或1322m -≤≤，或3122m -≤<-，所以实数m 的取值范围是35{|}22mm -≤≤．5．(Ⅰ){x|x≤32或x≥2}.(Ⅱ)[6，+∞).【解析】试题分析：(Ⅰ) 3a =时，即求解2312x x -+-≥，分33,1,122x x x ≥<<≤三种情况，分别去掉绝对值得不等式的解集即可；(Ⅱ)根据题设条件得251x a x x -≥---恒成立，令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，再根据再根据数形结合可求得a 的范围.试题解析：(Ⅰ)当3a =时,即求不等式2312x x -+-≥的解集. 33,1,122x x x ≥<<≤①当32x ≥时， 2312x x -+-≥，解得2x ≥；②当312x <<时， 3212x x -+-≥，解得0x ≤，此时无解；③当1x ≤时, 3212x x -+-≥，解得23x ≤.综上，原不等式的解集为2{ 3x x ≤或}2x ≥.(Ⅱ)由题设得不等式251x a x x -≥---对x R ∀∈恒成立.令()62,151{ 4,1x x g x x x x -≥=---=<，作出函数()g x 和2y x a =-的图象(如图所示),则只需满足32a ≥，即6a ≥.故所求实数a 的取值范围是[)6,+∞.点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． 6．（1）4{|0}3x x -≤≤；（2）32m -≤≤. 【解析】试题分析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，根据分类讨论解不等式即可．（2）由题意可得当[]0,1x ∈时， 22x m x +≤-有解，即[]2230,1x m x x --≤≤-∈在上有解，故只需（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-，由此可得结论． 试题解析：（1）当2m =时，不等式为1223x x -++≤，若1x ≤-，则原不等式可化为412233x x x -+--≤≥-，解得，所以413x -≤≤-；若11x -<<，则原不等式可化为12230x x x -++≤≤，解得，所以10x -<≤； 若1x ≥，则原不等式可化为212233x x x -++≤≤，解得，所以x ∈Φ．综上不等式的解集为4{|0}3x x -≤≤．（2）当[]0,1x ∈时，由()23f x x ≤-，得1232x x m x -++≤- 即22x m x +≤-故222223x x m x x m x -≤+≤---≤≤-，解得， 又由题意知（()m in m ax 2)23x m x --≤≤-， 所以32m -≤≤．故实数m 的取值范围为[]3,2-． 7．(1)32. (2)见解析.【解析】试题分析：（1）代入m ＝n ＝1，却掉绝对值，得到分段函数，判定分段函数的单调性，确定函数的最小值；（2）由题意得，函数的最小值为2，得22n m += ，利用基本不等式求解最值，即可证明.试题解析：(1)∵f (x )＝∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数，∴当x ＝时，f (x )取最小值.(2)∵f (x )＝，∴f (x )在(－∞，)是减函数，在(，＋∞)是增函数， ∴当x ＝时，f (x )取最小值f ()＝m ＋.∵m ，n ∈R，∴＋＝ (＋)(m ＋) ＝ (2＋＋)≥2点晴:本题主要考查了绝含有绝对值的函数的最小值问题及分段函数的图象与性质、基本不等式的应用，属于中档试题，着重考查了分类讨论思想与转化与化归思想的应用，本题的解答中，根据绝对值的概念合理去掉绝对值号，转化为分段函数，利用分段函数的图象与性质，确定函数的最小值，构造基本不等式的条件，利用基本不等式是解答问题的关键. 【答案】(1) 3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭(2) 4m ≥ 【解析】试题分析：（1）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（2）由二次函数y=x 2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f （x ）在x=﹣1处取得最大值m ﹣2，故有m ﹣2≥2，由此求得m 的范围． 试题解析：（1）当5m =时， ()()()()521{311 521x x f x x x x +<-=-≤≤->，由()2f x >得不等式的解集为3322x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭. （2）由二次函数()222312y x x x =++=++， 知函数在1x =-取得最小值2，因为()()()()21{211 21m x x f x m x m x x +<-=--≤≤->，在1x =-处取得最大值2m -，所以要是二次函数223y x x =++与函数()y f x =的图象恒有公共点. 只需22m -≥，即4m ≥. 9．（1）53；（2）见解析【解析】试题分析： ()1写出分段函数，求得()f x 在1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭上单调递增，在1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，即可求出m 的值； ()2计算()22a b +，利用基本不等式即可得出结论。
高中数学选修4-5《不等式选讲》练习题(含详解)
数学选修4-5 不等式选讲[基础训练A 组]一、选择题1．下列各式中，最小值等于2的是（ ）A ．x y y x +B ．4522++x x C ．1tan tan θθ+ D ．22x x -+2．若,x y R ∈且满足32x y +=,则3271x y ++的最小值是（ )A ．B ．1+C ．6D ．7 3．设0,0,1x y x y A x y +>>=++， 11x y B x y=+++，则,A B 的大小关系是( ）A ．AB = B ．A B <C ．A B ≤D ．A B >4．若,,x y a R +∈,且y x a y x +≤+恒成立，则a 的最小值是（ )A ．2B ．1 D ．125．函数46y x x =-+-的最小值为（ )A ．2B ．4 D ．6 6．不等式3529x ≤-<的解集为（ )A ．[2,1)[4,7)-B ．(2,1](4,7]-C ．(2,1][4,7)--D ．(2,1][4,7)-二、填空题1．若0a b >>，则1()a b a b +-的最小值是_____________。
2．若0,0,0a b m n >>>>,则b a , a b , m a m b ++， nb n a ++按由小到大的顺序排列为 3．已知,0x y >，且221x y +=，则x y +的最大值等于_____________.4．设1010101111112212221A =++++++-,则A 与1的大小关系是_____________。
5．函数212()3(0)f x x x x =+>的最小值为_____________.三、解答题1．已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2．解不等式7340x x +--+>3．求证:221a b ab a b +≥++-4．证明：1)1...<+<数学选修4—5 不等式选讲[综合训练B 组]一、选择题1．设,a b c n N >>∈，且ca n cb b a -≥-+-11恒成立,则n 的最大值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 2． 若(,1)x ∈-∞,则函数22222x x y x -+=-有（ ）A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值1-D ．最小值1-3．设P =，Q =R =，则,,P Q R 的大小顺序是（ )A ．P Q R >>B ．P R Q >>C ．Q P R >>D ．Q R P >>4．设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b -=-，则a b +的取值范围是（ ）A ．(1,)+∞B ．4(1,)3C ．4[1,]3D ．(0,1)5．设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)M a b c=---，则必有( )A ．108M ≤<B ．118M ≤< C ．18M ≤< D ．8M ≥6．若,a b R +∈，且,a b M≠=, N =，则M 与N 的大小关系是 A ．M N > B ．M N < C ．M N ≥ D ．M N ≤二、填空题1．设0x >，则函数133y x x =--的最大值是__________。
高中数学选修4-5不等式选讲训练题组含答案
高中数学选修4-5不等式选讲训练题组含答案新课程高中数学训练题组》是一套根据最新课程标准编写的资料，参考了内部资料并结合了教学实践和辅导经验。
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目录：数学选修4-5不等式选讲基础训练A组]数学选修4-5不等式选讲综合训练B组]数学选修4-5不等式选讲提高训练C组]以下是数学选修4-5不等式选讲的基础训练A组选择题：1.下列各式中，最小值等于2的是（）A。
1xyx2+5B。
x-x+2C。
tanθ+x2+4yD。
2+2tanθ2.若x,y∈R且满足x+3y=2，则3+27+1的最小值是（）A。
339B。
1+22C。
6D。
73.设x>0,y>0,A=xy/(x+y)+1/(1+x)+1/(1+y)，B=1+x+y/(1+x)(1+y)，则A,B的大小关系是（）A。
A=BB。
A<BC。
A≤BD。
A>B4.若x,y,a∈R+，且x+y≤ax+y恒成立，则a的最小值是（）A。
1/2B。
2C。
1D。
2/2以上选择题没有明显的格式错误和问题段落，因此不需要修改。
）一、选择题5.函数y=x-4+x^-6的最小值为（）。
A。
2B。
2C。
4D。
66.不等式3≤5-2x<9的解集为（）。
A。
[-2,1)∪[4,7)B。
(-2,1](4,7]C。
(-2,-1][4,7)D。
(-2,1][4,7)解析：此题考查对不等式解集的理解和求解能力。
二、填空题1.若a>b>0，则a+1/b(a-b)的最小值是__________。
选修4-5 不等式选讲
选修4－5 不等式选讲第一节绝对值不等式1.绝对值三角不等式定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立.❶定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |，当且仅当(a －b )(b －c )≥0时，等号成立. 2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值不等式|x |＜a 与|x |＞a 的解法：(2)|ax ＋b |≤c (c ＞0)和|①|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c ； ②|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c .(3)|x －a |＋|x －b |≥c (c ＞0)和|x －a |＋|x －b |≤c (c ＞0)型不等式的解法 ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；❷③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.(1)等号成立的条件在解题时经常用到，特别是用定理求函数的最大(小)值时，应特别注意. (2)定理1还可以变形为|a －b |≤|a |＋|b |，等号成立的充要条件是ab ≤0. 分区间讨论时，要注意以下两点： (1)不要把分成的区间的端点遗漏.(2)原不等式的解集是若干个不等式解集的并集，而不是交集.[熟记常用结论]常用绝对值不等式的性质(1)|||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |；(2)|a ＋b ＋c |≤|a |＋|b |＋|c |.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)若|x |＞c 的解集为R ，则c ≤0.( ) (2)不等式|x －1|＋|x ＋2|＜2的解集为∅.( )(3)对|a ＋b |≥|a |－|b |当且仅当a ＞b ＞0时等号成立.( ) (4)对|a |－|b |≤|a －b |当且仅当|a |≥|b |时等号成立.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× 二、选填题1.设a ，b 为满足ab ＜0的实数，那么( ) A.|a ＋b |＞|a －b | B.|a ＋b |＜|a －b | C.|a －b |＜||a |－|b ||D.|a －b |＜|a |＋|b |解析：选B ∵ab ＜0，∴|a －b |＝|a |＋|b |＞|a ＋b |. 2.不等式3≤|5－2x |＜9的解集为( ) A.[－2,1)∪[4,7) B.(－2,1]∪(4,7] C.(－2，－1]∪[4,7)D .(－2,1]∪[4,7)解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧|2x －5|＜9，|2x －5|≥3，即⎩⎪⎨⎪⎧－9＜2x －5＜9，2x －5≥3或2x －5≤－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2＜x ＜7，x ≥4或x ≤1，不等式的解集为(－2,1]∪[4,7).3.不等式|2x －a |＜b 的解集为{x |－1＜x ＜4}，则a ＋b 的值为( ) A.－2 B.2 C.8D.－8解析：选C ∵|2x －a |＜b 的解集为{x |－1＜x ＜4}， ∴b ＞0，由|2x －a |＜b ，得－b ＜2x －a ＜b ，即a －b 2＜x ＜a ＋b2. ∴a ＋b 2＝4，∴a ＋b ＝8，故选C.4.不等式|x ＋1|－|x －2|≥1的解集是________. 解析：令f (x )＝|x ＋1|－|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3，x ≤－1，2x －1，－1＜x ＜2，3，x ≥2.当－1＜x ＜2时，由2x －1≥1，解得1≤x ＜2.又当x ≥2时，f (x )＝3＞1恒成立.所以不等式的解集是{}x |x ≥1. 答案：{}x |x ≥15.函数y ＝|x －4|＋|x ＋4|的最小值为________. 解析：因为|x －4|＋|x ＋4|≥|(x －4)－(x ＋4)|＝8， 所以所求函数的最小值为8. 答案：8考点一 绝对值不等式的解法 [师生共研过关][典例精析](2018·洛阳第一次统考)已知函数f (x )＝13|x －a |(a ∈R ).(1)当a ＝2时，解不等式⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≥1； (2)设不等式⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 的解集为M ，若⎣⎡⎦⎤13，12⊆M ，求实数a 的取值范围. [解] (1)当a ＝2时，原不等式可化为|3x －1|＋|x －2|≥3. ①当x ≤13时，原不等式可化为－3x ＋1＋2－x ≥3，解得x ≤0，所以x ≤0；②当13＜x ＜2时，原不等式可化为3x －1＋2－x ≥3，解得x ≥1，所以1≤x ＜2；③当x ≥2时，原不等式可化为3x －1＋x －2≥3， 解得x ≥32，所以x ≥2.综上所述，当a ＝2时，原不等式的解集为{x |x ≤0或x ≥1}. (2)不等式⎪⎪⎪⎪x －13＋f (x )≤x 可化为|3x －1|＋|x －a |≤3x ， 依题意知不等式|3x －1|＋|x －a |≤3x 在⎣⎡⎦⎤13，12上恒成立，所以3x －1＋|x －a |≤3x ，即|x －a |≤1，即a －1≤x ≤a ＋1，所以⎩⎨⎧a －1≤13，a ＋1≥12，解得－12≤a ≤43，故所求实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，43. [解题技法]解绝对值不等式的常用方法[过关训练]已知函数f (x )＝|x ＋1|－|2x －3|. (1)画出y ＝f (x )的图象； (2)求不等式|f (x )|＞1的解集.解：(1)由题意得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －4，x ≤－1，3x －2，－1＜x ≤32，－x ＋4，x ＞32.故y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由f (x )的表达式及图象可知， 当f (x )＝1时，可得x ＝1或x ＝3； 当f (x )＝－1时，可得x ＝13或x ＝5，故f (x )＞1的解集为{x |1＜x ＜3}；f (x )＜－1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜13或x ＞5. 所以|f (x )|＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜13或1＜x ＜3或x ＞5. 考点二 绝对值不等式性质的应用[师生共研过关][典例精析](2019·银川模拟)设函数f (x )＝x 2－x －15，且|x －a |＜1. (1)解不等式|f (x )|＞5.(2)求证：|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1). [解] (1)因为|x 2－x －15|＞5，所以x 2－x －15＜－5或x 2－x －15＞5， 即x 2－x －10＜0或x 2－x －20＞0， 解得1－412＜x ＜1＋412或x ＜－4或x ＞5， 所以不等式|f (x )|＞5的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－4或1－412＜x ＜1＋412或x ＞5. (2)证明：因为|x －a |＜1，所以|f (x )－f (a )|＝|(x 2－x －15)－(a 2－a －15)| ＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|＜1·|x ＋a －1| ＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|＜1＋|2a －1|≤1＋|2a |＋1 ＝2(|a |＋1)，即|f (x )－f (a )|＜2(|a |＋1).[解题技法]绝对值不等式性质的应用利用不等式|a ＋b |≤|a |＋|b |(a ，b ∈R )和|a －b |≤|a －c |＋|c －b |(a ，b ∈R )，通过确定适当的a ，b ，利用整体思想或使函数、不等式中不含变量，可以求最值或证明不等式.[过关训练]若对于实数x ，y 有|1－x |≤2，|y ＋1|≤1，求|2x ＋3y ＋1|的最大值. 解：因为|2x ＋3y ＋1|＝|2(x －1)＋3(y ＋1)| ≤2|x －1|＋3|y ＋1|≤7， 所以|2x ＋3y ＋1|的最大值为7.考点三 含绝对值不等式的综合问题 [师生共研过关][例1] (2018·辽宁五校联合体模拟)已知函数f (x )＝|x －a |＋|2x －a |(a ∈R ). (1)若f (1)＜11，求a 的取值范围；(2)若∀a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立，求x 的取值范围. [解] (1)f (1)＝|1－a |＋|2－a |＝⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ，a ≤1，1，1＜a ＜2，2a －3，a ≥2，当a ≤1时，3－2a ＜11，解得a ＞－4，∴－4＜a ≤1； 当1＜a ＜2时，1＜11恒成立；当a ≥2时，2a －3＜11，解得a ＜7，∴2≤a ＜7. 综上，a 的取值范围是(－4,7).(2)∵∀a ∈R ，f (x )≥x 2－x －3恒成立， 又f (x )＝|x －a |＋|2x －a |≥|x －a －(2x －a )|＝|x |， ∴|x |≥x 2－x －3，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥x 2－x －3，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧－x ≥x 2－x －3，x ＜0，解得0≤x ≤3或－3≤x ＜0， ∴x 的取值范围是[－3，3].[例2] (2019·南昌模拟)设函数f (x )＝|2x ＋3|＋|x －1|. (1)解不等式f (x )＞4；(2)若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1＞f (x )成立，求实数a 的取值范围. [解](1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x ＜－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x ＞1，∴f (x )＞4⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ＜－32，－3x －2＞4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4＞4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，3x ＋2＞4⇔x ＜－2或0＜x ≤1或x ＞1. 综上，不等式f (x )＞4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞).(2)存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1 使不等式a ＋1＞f (x )成立⇔a ＋1＞f (x )min ，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1. 由(1)得，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1时，f (x )＝x ＋4，f (x )min ＝52， ∴a ＋1＞52，∴a ＞32，∴实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫32，＋∞.[解题技法]1.含绝对值不等式的恒成立问题的常见类型及其解法(1)分离参数法：运用“f (x )≤a ⇔f (x )max ≤a ，f (x )≥a ⇔f (x )min ≥a ”可解决恒成立问题中的参数范围问题. 求最值的3种方法：①利用基本不等式和不等式的相关性质解决；②将函数解析式用分段函数形式表示，作出函数图象，求得最值； ③利用性质“||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |”求最值.(2)更换主元法：求解含参不等式恒成立问题，若直接从主元入手非常困难或不可能解决时，可转换思维角度，将主元与参数互换，常可得到简捷的解法.(3)数形结合法：在研究曲线交点的恒成立问题时，若能数形结合，揭示问题所蕴含的几何背景，发挥形象思维与抽象思维各自的优势，可更直观解决问题. 2.不等式能成立问题(1)在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＞A 成立，等价于在区间D 上f (x )max ＞A ； (2)在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )＜B 成立，等价于在区间D 上f (x )min ＜B . 3.不等式恰成立问题(1)不等式f (x )＞A 在区间D 上恰成立，等价于不等式f (x )＞A 的解集为D ； (2)不等式f (x )＜B 在区间D 上恰成立，等价于不等式f (x )＜B 的解集为D .[过关训练]1.(2018·惠州第一次调研)已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|，g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |. (1)解不等式f (x )＞9；(2)若∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，求实数a 的取值范围. 解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≥12，2－x ，－1＜x ＜12，－3x ，x ≤－1.f (x )＞9等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥12，3x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧－1＜x ＜12，2－x ＞9或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－1，－3x ＞9，解得x ＞3或x ＜－3，所以原不等式的解集为{x |x ＞3或x ＜－3}.(2)∀x 1∈R ，∃x 2∈R ，使得f (x 1)＝g (x 2)，等价于f (x )min ≥g (x )min . 因为g (x )＝|x －a |＋|x ＋a |≥2|a |， 由(1)知f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫12＝32， 所以2|a |≤32，解得－34≤a ≤34，所以实数a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－34，34. 2.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋4，g (x )＝|x ＋1|＋|x －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥g (x )的解集；(2)若不等式f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，求a 的取值范围. 解：(1)当a ＝1时，不等式f (x )≥g (x )等价于x 2－x ＋|x ＋1|＋|x －1|－4≤0. ①当x ＜－1时，①式化为x 2－3x －4≤0，无解；当－1≤x ≤1时，①式化为x 2－x －2≤0，从而－1≤x ≤1； 当x ＞1时，①式化为x 2＋x －4≤0， 从而1＜x ≤－1＋172.所以f (x )≥g (x )的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤－1＋172.(2)当x ∈[－1,1]时，g (x )＝2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[－1,1]，等价于当x ∈[－1,1]时，f (x )≥2.又f (x )在[－1,1]的最小值必为f (－1)与f (1)之一，所以f (－1)≥2且f (1)≥2，得－1≤a ≤1. 所以a 的取值范围为[－1,1].[课时跟踪检测] 1.(2019·沈阳模拟)已知函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若函数f (x )的值域为[2，＋∞)，求实数a 的值； (2)若f (2－a )≥f (2)，求实数a 的取值范围.解：(1)∵|x －1|＋|x －a |≥|(x －1)－(x －a )|＝|a －1|，∴|a －1|＝2，解得a ＝3或a ＝－1. (2)由f (2－a )≥f (2)，得3|a －1|－|a －2|≥1，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ≤1，3(1－a )－(2－a )≥1或⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ≤2，3(a －1)－(2－a )≥1 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞2，3(a －1)－(a －2)≥1，解得a ≤0或32≤a ≤2或a ＞2，综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 2.已知f (x )＝|2x ＋3|－|2x －1|. (1)求不等式f (x )＜2的解集；(2)若存在x ∈R ，使得f (x )＞|3a －2|成立，求实数a 的取值范围. 解：(1)不等式f (x )＜2等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－(2x ＋3)＋(2x －1)＜2或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤12，(2x ＋3)＋(2x －1)＜2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞12，(2x ＋3)－(2x －1)＜2， 解得x ＜－32 或－32≤x ＜0，∴不等式f (x )＜2的解集是(－∞，0).(2)∵f (x )≤|(2x ＋3)－(2x －1)|＝4，∴f (x )max ＝4，∴|3a －2|＜4，解得－23＜a ＜2，∴实数a 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－23，2. 3.(2018·成都模拟)已知函数f (x )＝|x －2|＋k |x ＋1|，k ∈R .(1)当k ＝1时，若不等式f (x )＜4的解集为{x |x 1＜x ＜x 2}，求x 1＋x 2的值； (2)当x ∈R 时，若关于x 的不等式f (x )≥k 恒成立，求k 的最大值. 解：(1)由题意，得|x －2|＋|x ＋1|＜4.当x ＞2时，原不等式可化为2x ＜5，∴2＜x ＜52；当x ＜－1时，原不等式可化为－2x ＜3，∴－32＜x ＜－1；当－1≤x ≤2时，原不等式可化为3＜4，∴－1≤x ≤2. 综上，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32＜x ＜52，即x 1＝－32，x 2＝52.∴x 1＋x 2＝1.(2)由题意，得|x －2|＋k |x ＋1|≥k 在x ∈R 上恒成立， 则当x ＝2时，不等式3k ≥k 成立，∴k ≥0. ①当x ≤－2或x ≥0时，∵|x ＋1|≥1，∴不等式|x －2|＋k |x ＋1|≥k 恒成立. ②当－2＜x ≤－1时，原不等式可化为2－x －kx －k ≥k ， 可得k ≤2－x x ＋2＝－1＋4x ＋2，∴k ≤3.③当－1＜x ＜0时，原不等式可化为2－x ＋kx ＋k ≥k ，可得k ≤1－2x ， ∴k ＜3.综上，可得0≤k ≤3，即k 的最大值为3. 4.(2018·全国卷Ⅰ)已知f (x )＝|x ＋1|－|ax －1|. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f (x )＞x 成立，求a 的取值范围. 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝|x ＋1|－|x －1|， 即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞12.(2)当x ∈(0,1)时|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立， 等价于当x ∈(0,1)时|ax －1|＜1成立.若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1，不满足题意； 若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0＜x ＜2a ，所以2a ≥1，故0＜a ≤2.综上，a 的取值范围为(0,2].5.(2018·甘肃第二次诊断检测)设函数f (x )＝|x －3|，g (x )＝|x －2|. (1)解不等式f (x )＋g (x )＜2；(2)对于实数x ，y ，若f (x )≤1，g (y )≤1，证明：|x －2y ＋1|≤3. 解：(1)解不等式|x －3|＋|x －2|＜2.①当x ＜2时，原不等式可化为3－x ＋2－x ＜2，可得x ＞32，所以32＜x ＜2.②当2≤x ≤3时，原不等式可化为3－x ＋x －2＜2，可得1＜2，所以2≤x ≤3. ③当x ＞3时，原不等式可化为x －3＋x －2＜2，可得x ＜72，所以3＜x ＜72.综上，不等式f (x )＋g (x )＜2的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |32＜x ＜72.(2)证明：|x －2y ＋1|＝|(x －3)－2(y －2)|≤|x －3|＋2|y －2|≤1＋2＝3，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝4，y ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3时等号成立. 6.设函数f (x )＝5－|x ＋a |－|x －2|.(1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集； (2)若f (x )≤1，求a 的取值范围.解：(1)当a ＝1时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋4，x ＜－1，2，－1≤x ≤2，－2x ＋6，x ＞2.当x ＜－1时，由2x ＋4≥0，解得－2≤x ＜－1； 当－1≤x ≤2时，显然满足题意；当x ＞2时，由－2x ＋6≥0，解得2＜x ≤3， 故f (x )≥0的解集为{x |－2≤x ≤3}. (2)f (x )≤1等价于|x ＋a |＋|x －2|≥4.而|x ＋a |＋|x －2|≥|a ＋2|，且当x ＝2时等号成立. 故f (x )≤1等价于|a ＋2|≥4. 由|a ＋2|≥4可得a ≤－6或a ≥2.所以a 的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞).7.(2018·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. (1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值. 解：(1)f (x )＝ ⎩⎪⎨⎪⎧－3x ，x ＜－12，x ＋2，－12≤x ＜1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示.(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5. 8.设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋8m ＋|x －2m |(m ＞0). (1)求证：f (x )≥8恒成立；(2)求使得不等式f (1)＞10成立的实数m 的取值范围. 解：(1)证明：由绝对值三角不等式的性质及m ＞0， 得f (x )＝⎪⎪⎪⎪x ＋8m ＋|x －2m |≥⎪⎪⎪⎪x ＋8m －(x －2m ) ＝⎪⎪⎪⎪8m ＋2m ＝8m＋2m ≥2 8m ·2m ＝8， 当且仅当8m ＝2m ，即m ＝2时取等号. 所以f (x )≥8恒成立.(2)f (1)＝⎪⎪⎪⎪1＋8m ＋|1－2m |(m ＞0)， 当 1－2m ＜0，即m ＞12时，f (1)＝1＋8m －(1－2m )＝8m ＋2m ，由f (1)＞10，得8m ＋2m ＞10，化简得m 2－5m ＋4＞0， 解得m ＜1或m ＞4， 所以12＜m ＜1或m ＞4；当1－2m ≥0，即0＜m ≤12时，f (1)＝1＋8m ＋(1－2m )＝2＋8m －2m .由f (1)＞10，得2＋8m －2m ＞10，此式在0＜m ≤12时恒成立.综上，当f (1)＞10时，实数m 的取值范围是(0,1)∪(4，＋∞).第二节不等式的证明1.基本不等式定理1：如果a ，b ∈R ，那么a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立. 定理2：如果a ，b ＞0，那么a ＋b2≥ab ，当且仅当a ＝b 时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均. 定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立. 2.比较法(1)作差法的依据是：a －b ＞0⇔a ＞b .(2)作商法：若B ＞0，欲证A ≥B ，只需证AB ≥1. 3.综合法与分析法(1)综合法：一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立.(2)分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义，公理或已证明的定理，性质等)，从而得出要证的命题成立.[小题查验基础]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论.( )(2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论.( ) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 二、选填题1.已知a ，b ∈R ＋，a ＋b ＝2，则1a ＋1b 的最小值为( ) A.1 B.2 C.4D.8解析：选B ∵a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2，∴(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2 b a ·ab＝4， ∴1a ＋1b ≥4a ＋b ＝2，即1a ＋1b 的最小值为2(当且仅当a ＝b ＝1时，“＝”成立).故选B.2.若a ＞b ＞1，x ＝a ＋1a ，y ＝b ＋1b ，则x 与y 的大小关系是( )A.x ＞yB.x ＜yC.x ≥yD.x ≤y解析：选A x －y ＝a ＋1a －⎝⎛⎭⎫b ＋1b ＝a －b ＋b －a ab ＝(a －b )(ab －1)ab . 由a ＞b ＞1得ab ＞1，a －b ＞0， 所以(a －b )(ab －1)ab＞0，即x －y ＞0，所以x ＞y .3.若a ，b ，m ∈R ＋，且a ＞b ，则下列不等式一定成立的是( ) A.b ＋m a ＋m ≥b a B.b ＋m a ＋m ＞b a C.b ＋m a ＋m ≤b aD.b ＋m a ＋m ＜b a解析：选B ∵a ，b ，m ∈R ＋，且a ＞b ， ∴b ＋m a ＋m －b a ＝m (a －b )a (a ＋m )＞0， 即b ＋m a ＋m ＞b a，故选B. 4.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是________. 解析：∵s －t ＝b 2－2b ＋1＝(b －1)2≥0，∴s ≥t . 答案：s ≥t5.已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1c 的最小值为________.解析：由a ＋b ＋c ＝1， 得1a ＋1b ＋1c＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立.故1a ＋1b ＋1c 的最小值为9. 答案：9考点一 比较法证明不等式 [师生共研过关][典例精析]设a ，b 是非负实数，求证：a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2). [证明] ∵a ，b 是非负实数，∴a 3＋b 3－ab (a 2＋b 2)＝a 2a (a －b )＋b 2b (b －a ) ＝(a －b )[(a )5－(b )5].当a ≥b 时，a ≥ b ，从而(a )5≥(b )5， 得(a －b )[(a )5－(b )5]≥0；当a ＜b 时，a ＜ b ，从而(a )5＜(b )5， 得(a －b )[(a )5－(b )5]＞0. 故a 3＋b 3≥ab (a 2＋b 2).[解题技法]作差比较法证明不等式的步骤(1)作差；(2)变形；(3)判断差的符号；(4)下结论.其中“变形”是关键，通常将差变形成因式连乘的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断差的正负.作商比较法也有类似的步骤，但注意其比较的是两个正数的大小，且第(3)步要判断商与1的大小.[过关训练]已知a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证：a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2. 证明：(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝(a ＋b )(a －b )2. 因为a ，b 都是正数， 所以a ＋b ＞0. 又因为a ≠b ， 所以(a －b )2＞0. 于是(a ＋b )(a －b )2＞0， 即(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＞0， 所以a 3＋b 3＞a 2b ＋ab 2.考点二 综合法证明不等式[师生共研过关][典例精析]已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8； (2)⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. [证明] (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0，∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2⎝⎛⎭⎫a ＋b a ＋a ＋b b ＝2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ·ab＋4＝8， 当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立，∴1a ＋1b ＋1ab ≥8.(2)∵⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab ＋1， 由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8. ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. [解题技法]1.综合法证明不等式的方法(1)综合法证明不等式，要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键；(2)在用综合法证明不等式时，不等式的性质和基本不等式是最常用的.在运用这些性质时，要注意性质成立的前提条件.2.综合法证明时常用的不等式 (1)a 2≥0. (2)|a |≥0.(3)a 2＋b 2≥2ab ，它的变形形式有a 2＋b 2≥2|ab |；a 2＋b 2≥－2ab ；(a ＋b )2≥4ab ；a 2＋b 2≥12(a ＋b )2；a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22. (4)a ＋b2≥ab ，它的变形形式有a ＋1a ≥2(a ＞0)；ab ＋b a ≥2(ab ＞0)； a b ＋ba≤－2(ab ＜0). (5)(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2.[过关训练]已知实数a ，b ，c 满足a ＞0，b ＞0，c ＞0，且abc ＝1.求证： (1)(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8； (2)a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c .证明：(1)1＋a ≥2a ，1＋b ≥2b ，1＋c ≥2c ， 三式相乘得(1＋a )(1＋b )(1＋c )≥8abc ＝8. (2)1a ＋1b ＋1c ＝ab ＋bc ＋ac ，ab ＋bc ≥2ab 2c ＝2b ， ab ＋ac ≥2a 2bc ＝2a ， bc ＋ac ≥2abc 2＝2c ， 当且仅当a ＝b ＝c ＝1时取等号， 三式相加化简得a ＋b ＋c ≤1a ＋1b ＋1c .考点三 分析法证明不等式 [师生共研过关][典例精析]已知函数f (x )＝|x ＋1|.(1)求不等式f (x )＜|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，求证：f (ab )＞f (a )－f (－b ). [解] (1)由题意，|x ＋1|＜|2x ＋1|－1， ①当x ≤－1时，不等式可化为－x －1＜－2x －2， 解得x ＜－1； ②当－1＜x ＜－12时，不等式可化为x ＋1＜－2x －2， 此时不等式无解；③当x ≥－12时，不等式可化为x ＋1＜2x ，解得x ＞1.综上，M ＝{x |x ＜－1或x ＞1}.(2)证明：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1|≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )＞f (a )－f (－b )， 只需证|ab ＋1|＞|a ＋b |， 即证|ab ＋1|2＞|a ＋b |2，即证a 2b 2＋2ab ＋1＞a 2＋2ab ＋b 2， 即证a 2b 2－a 2－b 2＋1＞0， 即证(a 2－1)(b 2－1)＞0.因为a ，b ∈M ，所以a 2＞1，b 2＞1，所以(a 2－1)(b 2－1)＞0成立，所以原不等式成立.[解题技法]1.分析法的应用条件当所证明的不等式不能使用比较法，且和重要不等式(a 2＋b 2≥2ab )、基本不等式⎝⎛⎭⎫ab ≤a ＋b2，a ＞0，b ＞0没有直接联系，较难发现条件和结论之间的关系时，可用分析法来寻找证明途径，使用分析法证明的关键是推理的每一步必须可逆.2.用分析法证“若A 则B ”为了证明命题B 为真，只需证明命题B 1为真，从而有… 只需证明命题B 2为真，从而有… ……只需证明命题A 为真，而已知A 为真，故B 必真.[过关训练]已知a ＞0，b ＞0,2c ＞a ＋b ，求证：c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab . 证明：要证c －c 2－ab ＜a ＜c ＋c 2－ab ， 只需证－c 2－ab ＜a －c ＜c 2－ab ， 即证|a －c |＜c 2－ab ， 即证(a －c )2＜c 2－ab ， 即证a 2－2ac ＜－ab .因为a ＞0，所以只要证a －2c ＜－b ， 即证a ＋b ＜2c .由已知条件知，上式显然成立，所以原不等式成立.[课时跟踪检测] 1.(2017·全国卷Ⅱ)已知a ＞0，b ＞0，a 3＋b 3＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5＋b 5)≥4； (2)a ＋b ≤2.证明：(1)(a ＋b )(a 5＋b 5)＝a 6＋ab 5＋a 5b ＋b 6 ＝(a 3＋b 3)2－2a 3b 3＋ab (a 4＋b 4) ＝4＋ab (a 2－b 2)2≥4.(2)因为(a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3 ＝2＋3ab (a ＋b )≤2＋3(a ＋b )24(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )34，所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2. 2.设a ，b 为正实数，且1a ＋1b ＝2 2. (1)求a 2＋b 2的最小值；(2)若(a －b )2≥4(ab )3，求ab 的值. 解：(1)由22＝1a ＋1b ≥2 1ab ，得ab ≥12， 当a ＝b ＝22时取等号. 故a 2＋b 2≥2ab ≥1，当a ＝b ＝22时取等号.所以a 2＋b 2的最小值是1.(2)由(a －b )2≥4(ab )3，得⎝⎛⎭⎫1a －1b 2≥4ab ， 即⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－4ab ≥4ab ，从而ab ＋1ab ≤2. 又ab ＋1ab ≥2，当且仅当ab ＝1时取等号.所以ab ＝1.3.已知函数f (x )＝k －|x －3|，k ∈R ，且f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1]. (1)求k 的值；(2)若a ，b ，c 是正实数，且1ka ＋12kb ＋13kc ＝1，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x )＝k －|x －3|， 所以f (x ＋3)≥0等价于|x |≤k ，由|x |≤k 有解，得k ≥0，且解集为[－k ，k ]. 因为f (x ＋3)≥0的解集为[－1,1]，所以k ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，因为a ，b ，c 是正实数，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝⎛⎭⎫1a ＋12b ＋13c ＝3＋a 2b ＋a 3c ＋2b a ＋2b 3c ＋3c a ＋3c 2b＝3＋⎝⎛⎭⎫a 2b ＋2b a ＋⎝⎛⎭⎫a 3c ＋3c a ＋⎝⎛⎭⎫2b 3c ＋3c 2b ≥3＋2a 2b ·2ba＋2 a 3c ·3c a＋2 2b 3c ·3c2b＝9. 当且仅当a ＝2b ＝3c 时，等号成立. 因此a ＋2b ＋3c ≥9.4.(2019·南宁联考)已知函数f (x )＝|x －1|. (1)求不等式f (x )≥3－2|x |的解集；(2)若函数g (x )＝f (x )＋|x ＋3|的最小值为m ，正数a ，b 满足a ＋b ＝m ，求证：a 2b ＋b 2a ≥4. 解：(1)当x ≥1时，原不等式可化为x －1≥3－2x ，解得x ≥43，∴x ≥43；当0＜x ＜1时，原不等式可化为1－x ≥3－2x ，解得x ≥2，无解； 当x ≤0时，原不等式可化为1－x ≥3＋2x ，解得x ≤－23，∴x ≤－23.∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥43或x ≤－23.(2)证明：∵g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|≥|(x －1)－(x ＋3)|＝4，∴m ＝4，即a ＋b ＝4.又a 2b ＋b ≥2a ，b 2a ＋a ≥2b ，当且仅当a ＝b 时等号成立， ∴两式相加得⎝⎛⎭⎫a 2b ＋b ＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ≥2a ＋2b ， ∴a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时等号成立.5.(2019·长春质量检测)(1)已知函数f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |(a ＞0)，若不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤－2或x ≥3}，求a 的值；(2)已知a ，b ，c 为正实数，且a ＋b ＋c ＝m ，求证：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥92m .解：(1)因为a ＞0，所以f (x )＝|x ＋1|＋|x －a |＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋a －1，x ＜－1，a ＋1，－1≤x ＜a ，2x －a ＋1，x ≥a .又不等式f (x )≥5的解集为{x |x ≤－2或x ≥3}， 解得a ＝2. (2)证明：1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a＝⎝⎛⎭⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a (a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )2m＝1＋b ＋c a ＋b ＋c ＋a a ＋b ＋1＋a ＋b b ＋c ＋c ＋a b ＋c ＋1＋a ＋b c ＋a ＋b ＋c c ＋a 2m＝3＋b ＋c a ＋b ＋a ＋b b ＋c ＋c ＋a b ＋c ＋b ＋c c ＋a ＋a ＋b c ＋a ＋c ＋a a ＋b 2m≥92m ⎝⎛⎭⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝m 3时，取等号. 6.设函数f (x )＝|x －2|＋2x －3，记f (x )≤－1的解集为M . (1)求M ；(2)当x ∈M 时，求证：x [f (x )]2－x 2f (x )≤0.解：(1)由已知，得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≤2，3x －5，x ＞2.当x ≤2时，由f (x )＝x －1≤－1， 解得x ≤0，此时x ≤0；当x ＞2时，由f (x )＝3x －5≤－1， 解得x ≤43，显然不成立.故f (x )≤－1的解集为M ＝{x |x ≤0}.(2)证明：当x ∈M 时，f (x )＝x －1，于是x [f (x )]2－x 2f (x )＝x (x －1)2－x 2(x －1)＝－x 2＋x ＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14. 令g (x )＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 则函数g (x )在(－∞，0]上是增函数，∴g (x )≤g (0)＝0. 故x [f (x )]2－x 2f (x )≤0. 7.已知函数f (x )＝|x －1|. (1)解不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8；(2)若|a |＜1，|b |＜1，a ≠0，求证：f (ab )|a |＞f ⎝⎛⎭⎫b a .解：(1)f (2x )＋f (x ＋4)＝|2x －1|＋|x ＋3| ＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x ＜－3，－x ＋4，－3≤x ＜12，3x ＋2，x ≥12，当x ＜－3时，由－3x －2≥8，解得x ≤－103； 当－3≤x ＜12时，－x ＋4≥8，无解；当x ≥12时，由3x ＋2≥8，解得x ≥2.所以不等式f (2x )＋f (x ＋4)≥8的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≤－103或x ≥2. (2)证明：f (ab )|a |＞f ⎝⎛⎭⎫b a 等价于f (ab )＞|a |f ⎝⎛⎭⎫b a ， 即|ab －1|＞|a －b |. 因为|a |＜1，|b |＜1， 所以|ab －1|2－|a －b |2＝(a 2b 2－2ab ＋1)－(a 2－2ab ＋b 2) ＝(a 2－1)(b 2－1)＞0， 所以|ab －1|＞|a －b |. 故所证不等式成立.8.设函数f (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|－m ，若∀x ∈R ，1m －4≥f (x )恒成立. (1)求实数m 的取值范围；(2)求证：log (m ＋1)(m ＋2)＞log (m ＋2)(m ＋3). 解：(1)∵∀x ∈R ，1m －4≥f (x )恒成立，2020一轮 • 数学系列二 ∴m ＋1m≥x －|x ＋2|－|x －3|＋4恒成立. 令g (x )＝x －|x ＋2|－|x －3|＋4＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3x ＋3，x ＜－2，x －1，－2≤x ≤3，－x ＋5，x ＞3，则函数g (x )在(－∞，3]上是增函数，在(3，＋∞)上是减函数，∴g (x )max ＝g (3)＝2，∴m ＋1m ≥g (x )max ＝2， 即m ＋1m －2≥0⇒m 2－2m ＋1m ＝(m －1)2m≥0，∴m ＞0. 综上，实数m 的取值范围是(0，＋∞).(2)证明：由m ＞0，知m ＋3＞m ＋2＞m ＋1＞1， 即lg(m ＋3)＞lg(m ＋2)＞lg(m ＋1)＞lg 1＝0. ∴要证log (m ＋1)(m ＋2)＞log (m ＋2)(m ＋3).只需证lg (m ＋2)lg (m ＋1)＞lg (m ＋3)lg (m ＋2)， 即证lg(m ＋1)·lg(m ＋3)＜lg 2(m ＋2).又lg(m ＋1)·lg(m ＋3)＜⎣⎡⎦⎤lg (m ＋1)＋lg (m ＋3)22＝[lg (m ＋1)(m ＋3)]24＜[lg (m 2＋4m ＋4)]24＝lg 2(m ＋2)， ∴log (m ＋1)(m ＋2)＞log (m ＋2)(m ＋3)成立.。
高中数学选修4-5不等式选讲导学案及课后作业加答案
第一节 不等式和绝对值不等式第一课时 不等式基本性质一、知识要点1．实数大小的比较（1）数轴上的点与实数一一对应，可以利用数轴上点的左右位置关系来规定实数的 ．在数轴上，右边的数总比左边的数 ．（2）如果a －b ＞0，则 ；如果a －b ＝0，则 ；如果a －b ＜0，则 . （3）比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的 ；比较两个代数式的大小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的 2．不等式的基本性质由两数大小关系的基本事实，可以得到不等式的一些基本性质： （1）如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .即 . （2）如果a ＞b ，b ＞c ，那么 .即a ＞b ，b ＞c ⇒ . （3）如果a ＞b ，那么a ＋c > .（4）如果a ＞b ，c >0，那么ac bc ；如果a >b ，c <0，那么ac bc . （5）如果a ＞b ，d c >，那么d b c a +>+ （6）如果0,0>>>>d c b a ，那么bd ac > （7）如果a >b >0，那么a n b n (n ∈N ，n ≥2)． （8）如果a >b >0n ∈N ，n ≥2)．3．对上述不等式的理解使用不等式的性质时，一定要清楚它们成立的前提条件，不可强化或弱化它们成立的条件，盲目套用，例如：（1）等式两边同乘以一个数仍为等式，但不等式两边同乘以同一个数c (或代数式)结果有三种：①c ＞0时得 不等式；②c ＝0时得 ；③c <0时得 不等式．（2）a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c >b ＋d ，即两个同向不等式可以相加，但不可以 ；而a >b >0，c >d >0⇒ac >bd ，即已知的两个不等式同向且两边为 时，可以相乘，但不可以 ．（3）性质(5)、(6)成立的条件是已知不等式两边均为 ，并且n ∈N ，n ≥2，否则结论不成立．而当n 取正奇数时可放宽条件，a >b ⇒a n >b n (n ＝2k ＋1，k ∈N)，a >b ⇒n a >nb (n ＝2k ＋1，k ∈N ＋)．二、考点例题考点一 实数大小的比较[例1] 已知x ，y 均为正数，设m ＝1x ＋1y ，n ＝4x ＋y，试比较m 和n 的大小．方法规律小结 比较两个数(式子)的大不，一般用作差法，其步骤是：作差—变形—判断差的符号—结论，其中“变形”是关键，常用的方法是分解因式、配方等跟踪训练 1．已知a ，b ∈R ，比较44b a +与33ab b a +的大小．2．在数轴的正半轴上，A 点对应的实数为6a 29＋a 4，B 点对应的实数为1，试判别A 点在B 点的左边，还是在B 点的右边？考点二 不等式的证明[例2] 已知a >b >0，c <d <0，e <0. 求证：e a －c >eb －d.方法规律小结 进行简单的不等式的证明，一定要建立在记准、记熟不等式性质的基础之上，如果不能直接由不等式的性质得到，可以先分析需要证明的不等式的结构，利用不等式的性质进行逆推，寻找使其成立的充分条件．跟踪训练 1．判断下列命题的真假，并简述理由． （1）若a >b ，c >d ，则ac >bd ； （2）若a >b >0，c >d >0，则a c >bd ；（3）若a >b ，c <d ，则a －c >b －d ；（4）若a >b ，则a n ＞b n ，n a >nb (n ∈N 且n ≥2)．2．已知a ，b ，x ，y 都是正数，且1a >1b ，x >y ，求证：x x ＋a >yy ＋b.考点三 利用不等式的性质求范围[例3] （1）已知：－π2≤α<β≤π2，求α－β的范围．（2）已知：－1≤a ＋b ≤1,1≤a －2b ≤3，求a ＋3b 的范围．方法规律小结 求代数式的取值范围是不等式性质应用的一个重要方面，严格依据不等式的性质和运算法则进行运算，是解答此类问题的基础，在使用不等式的性质中，如果是由两个变量的范围求其差的范围，一定不能直接作差，而要转化为同向不等式后作和．跟踪训练 1．“已知－π2≤α≤π2，－π2≤β≤π2”，求α＋β2，α－β2的取值范围．2．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范围．三、课后作业1．设R d c b a ∈,,,，且d c b a >>,，则下列结论正确的是 ( ) A ．d b c a +>+ B ．d b c a ->- C ．bd ac > D ．cb d a > 2．下列不等式成立的是 ( )A ．log 32<log 25<log 23B ．log 32<log 23<log 25C ．log 23<log 32<log 25D ．log 23<log 25<log 32 3．设R b a ∈,,若0>-b a ，则下列不等式正确的是( )A ．0>-a bB ．033<+b a C ．022<-b a D ．0>+b a 4．若11<<<-βα，则下列各式中恒成立的是 ( )A ．02<-<-βαB ．12-<-<-βαC ．01<-<-βαD ．11<-<-βα 5．设11.->>>b a ，则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．ba 11< B ．b a 11> C ．2b a > D ．b a 22>6．若0,0<<<<c d a b ，则下列不等式中必成立的是( ) A ．bd ac > B ．dbc a > C ．d b c a +>+ D ．a-c>b-d 7．已知3328,8460<<<<y x ，则y x -的取值范围是 . 8．已知c b a ,,为三角形的三边长，则2a 与ac ab +的大小关系是 . 9．若b a Rc b a >∈,,,，则下列不等式成立的是 (填上正确的序号). ①b a 11< ②22b a > ③1122+>+c b c a ④c b c a > 10．已知{}正实数∈b a ,且b a ≠,比较ba ab 22+与b a +的大小. 11．已知31<+<-b a 且42<-<b a ，求b a 32+的取值范围.12．实数z y x ,,满足122-=+-z y x x 且012=++y x ,试比较z y x ,,的大小.第二课时 基本不等式一、知识要点1．基本不等式的理解重要不等式a 2＋b 2≥2ab 和基本不等式a ＋b2≥ab ，成立的条件是不同的．前者成立的条件是 a 与b 都为实数，并且a 与b 都为实数是不等式成立的 ；而后者成立的条件是a 与b 都为正实数，并且a 与b 都为正实数是不等式成立的 ，如a ＝0，b ≥0仍然能使a ＋b2≥ab 成立．两个不等式中等号成立的充要条件都是2．由基本不等式可推出以下几种常见的变形形式（1）a 2＋b 2≥2)(2b a +；（2）ab ≤a 2＋b 22；（3）ab ≤(a ＋b 2)2；（4）(a ＋b 2)2≤a 2＋b 22；（5）(a ＋b )2≥4ab .二、考点例题[例1] 已知a 、b 、c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9.方法规律小结 用基本不等式证明不等式时，应首先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式进行证明．跟踪训练 1．已知a 、b 、c 是不全相等的正数，求证：abc b a c a c b c b a 6)()()(222222>+++++2．已知a ，b ，c >0，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a≥a ＋b ＋c .考点二 利用基本不等式求最值 [例2] （1）求当x >0时，f (x )＝2xx 2＋1的值域． （2）设0<x <32，求函数y ＝4x (3－2x )的最大值；（3）已知x >0，y >0，且1x ＋9y＝1，求x ＋y 的最小值方法规律小结 在应用基本不等式求最值时， 分以下三步进行：（1）首先看式子能否出现和(或积)的定值，若不具备，需对式子变形，凑出需要的定值；（2）其次，看所用的两项是否同正，若不满足，通过分类解决，同负时，可提取(－1)变为同正； （3）利用已知条件对取等号的情况进行验证．若满足，则可取最值，若不满足，则可通过函数单调性或导数解决．跟踪训练 1．若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是 ( )A ．245B ．285C ．5D ．62．已知x >0，y >0且5x ＋7y ＝20，求xy 的最大值． 3．若正数a 、b 满足ab ＝a ＋b ＋3，（1）求ab 的取值范围；（2）求a ＋b 的取值范围．考点三 利用基本不等式解决实际问题[例3] 某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完 （1）将2012年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数．（2）该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？方法规律小结 利用不等式解决实际应用问题时，首先要仔细阅读题目，弄清要解决的实际问题，确定是求什么量的最值；其次，分析题目中给出的条件，建立y 的函数表达式y ＝f (x )(x 一般为题目中最后所要求的量)；最后，利用不等式的有关知识解题．求解过程中要注意实际问题对变量x 的范围制约．跟踪训练 1．一商店经销某种货物，根据销售情况，年进货量为5万件，分若干次等量进货(设每次进货x 件)，每进一次货运费50元，且在销售完该货物时，立即进货，现以年平均x2件货储存在仓库里，库存费以每件20元计算，要使一年的运费和库存费最省，每次进货量x 应是多少？ 2．围建一个面积为3602m 的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图所示，已知旧墙的维修费用为45元/m ，新墙的造价为180元/m ，设利用的旧墙的长度为x (单位：元)． （1）将y 表示为x 的函数；（2）试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用．三、课后作业1．设+∈R y x ,，且满足404=+y x ，则y x lg lg +的最大值为 ( ) A ．40 B ．10 C ．4 D ．22．设+∈R y x ,且5=+y x ，则yx33+的最小值为 ( ) A ．10 B ．6C ．4D ．183．等比数列{}n a 的各项均为正数，公比1≠q ，设7593,2a a Q a a P =+=，则P 与Q 的大小关系是 ( ) A ．Q P > B ．Q P < C ．Q P = D ．无法确定 4．已知0,0≥≥b a ，且2=+b a 则 ( ) A ．21≤ab B ．21≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a 5．已知在ABC ∆中，2,1==BC B ，则C 的最大值是 ( )A ．6π B ．2π C ．4π D ．3π 6．“1=a ”是“对任意正数12,≥+xax x ”的 ( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 7．若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 .8．已知0,0>>b a ，且12=+b a ，则2242b a ab S --=的最大值为 . 9．已知0,0>>y x 且满足6=+y x ，则使不等式m yx ≥+91恒成立的实数m 的取值范围为 . 10．已知y x b a ,,,都是正数,且1=+b a ，求证:xy ay bx by ax ≥++))((11．已知y x R y x b a ,,,,,+∈为变量，b a ,为常数,且y x ybx a b a +=+=+,1,10的最小值为18，求b a , 12．(能力挑战题)某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD ,公园由长方形休闲区1111D C B A 和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区1111D C B A 的面积为4000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示). （1）若设休闲区的长和宽的比x C B B A =1111,求公园ABCD 所占面积S 关于x 的函数解析式.（2）要使公园所占面积最小,休闲区1111D C B A 的长和宽应如何设计?第三课时 三个数的算术几何不等式一、知识要点1．定理3如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当时，等号成立，用文字语言可叙述为：三个正数的 不小于它们的 ．（1）不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 成立的条件是： ，而等号成立的条件是：当且仅当 .（2）定理3可变形为：①abc ≤(a ＋b ＋c 3)3；②a 3＋b 3＋c 3≥3abc .（3）三个及三个以上正数的算术－几何平均值不等式的应用条件与前面基本不等式的应用条件是一样的，即“一正，二定，三相等”． 2．定理3的推广对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即 ，当且仅当 时，等号成立．二、考点例题考点一 用平均不等式证明不等式[例1] 已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：b ＋c －a a ＋c ＋a －b b ＋a ＋b －cc≥3.方法规律小结 （1）不等式的证明方法较多，关键是从式子的结构入手进行分析．（2）运用三个正数的平均值不等式证明不等式时，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解题中，若两次用平均值不等式，则只有在“相等”条件相同时，才能取到等号．跟踪训练 1. 设a 、b 、c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＋1c ≥9.2．已知n a a a ,,,21⋅⋅⋅都是正数，且121=⋅⋅⋅n a a a ，求证：n a a a n 3)2()2)(2(21≥+⋅⋅⋅++考点二 用平均不等式求最值[例2] （1）求函数y ＝(x －1)2(3－2x )(1<x <32)的最大值．（2）求函数)1()1(42>-+=x x x y 的最小值．方法规律小结 （1）利用三个正数的算术－几何平均不等式定理求最值，可简记为“积定和最小，和定积最大”．（2）应用平均不等式定理，要注意三个条件“即一正二定三相等”同时具备时，方可取得最值，其中定值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等．跟踪训练 1．设x >0，则f (x )＝4－x －12x 2的最大值为 ( )A ．4－22 B ．4－ 2 C ．不存在 D ．522．已知x ，y +∈R 且42=y x ，试求x ＋y 的最小值及达到最小值时x 、y 的值．考点三 用平均不等式解应用题 [例3] 如图所示，在一张半径是2米的圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知道，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数，那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？方法规律小结 本题获解的关键是在获得了k E =·sin θcos2θ4后，对E 的表达式进行变形求得E 的最大值．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可求解．跟踪训练 1．已知长方体的表面积为定值S ，试问这个长方体的长、宽、高各是多少时，它的体积最大，求出这个最大值．三、课后作业1．设+∈R z y x ,,且6=++z y x ，则lgx+lgy+lgz 的取值范围是 ( ) A ．(∞-,lg6] B ．(∞-,3lg2] C ．[lg6,+∞) D ．[3lg2,+∞)2．若实数y x ,满足0>xy ，且22=y x ，则2x xy +的最小值是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．43．若c b a ,,为正数，且1=++c b a ，则cb a 111++的最小值为 ( ) A ．9 B ．8 C ．3 D ．314．已知632=++z y x ，则zyx842++的最小值为 ( ) A ．3B ．2C ．12D ．125．当510≤≤x 时，函数)51(2x x y -=的最大值为 ( ) A ．251 B ．31 C ．6754 D ．无最大值6．设+∈R c b a ,,，且1=++c b a ，若)11)(11)(11(---=cb a M ，则必有 ( )A ．810<≤MB ．181<≤M C ．81<≤M D ．8≥M7．若0,0>>y x 且42=xy ，则y x 2+的最小值为 . 8．若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均的运算,即2ba b a +=*,则两边均含有运算“*”和“+”,且对任意3个实数c b a ,,都能成立的一个等式可以是 .9．设正数c b a ,,满足1=++c b a ，则231,231,231+++c b a 的最小值为 . 10．求函数)250()25()(2<<-=x x x x f 的最大值.11．已知y x ,均为正数，且y x >求证：3221222+≥+-+y y xy x x12．如图(1)所示,将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形,再沿虚线折起,做成一个无盖的正六棱柱容器,如图(2)所示,求这个正六棱柱容器容积的最大值.第四课时 绝对值三角不等式一、知识要点绝对值三角不等式（1）定理1：如果a ，b 是实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当 时，等号成立． 几何解释：用向量a ，b 分别替换a ，b .①当a 与b 不共线时，有|a ＋b|<|a |＋|b |，其几何意义为： ．②若a ，b 共线，当a 与b 时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，当a 与b 时，|a ＋b |<|a |＋|b |. 由于定理1与三角形之间的这种联系，故称此不等式为绝对值三角不等式． ③定理1的推广：如果a ，b 是实数，则||a |－|b ||≤|a ±b |≤|a |＋|b |.（2）定理2：如果a ，b ，c 是实数，那么|a －c |≤|a －b |＋|b －c |.当且仅当 时，等号成立． 几何解释：在数轴上，a ，b ，c 所对应的点分别为A ，B ，C ， 当点B 在点A ，C 之间时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 当点B 不在点A ，C 之间时：①点B 在A 或C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |； ②点B 不在A ，C 上时，|a －c | |a －b |＋|b －c |. 应用：利用该定理可以确定绝对值函数的值域和最值．二、考点例题考点一 含绝对值不等式的判断与证明[例1] 已知|A －a |<s 3，|B －b |<s 3，|C －c |<s3.求证：|(A ＋B ＋C )－(a ＋b ＋c )|<s .方法规律小结 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值转化为常见的不等式证明，或利用绝对值三角不等式||a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明跟踪训练 1．设a 、b 是满足ab <0的实数，则下列不等式中正确的是 ( ) A ．|a ＋b |>|a －b | B ．|a ＋b |<|a －b | C ．|a －b |<||a |－|b || D ．|a －b |<|a |＋|b |2．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －a |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.考点二 绝对值不等式三角形的应用[例2] （1）求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．（2）设a ∈R ，函数)11()(2≤≤--+=x a x ax x f ．若|a |≤1，求|f (x )|的最大值．方法规律小结 （1）利用绝对值不等式求函数最值，要注意利用绝对值的性质进行转化，构造绝对值不等式的形式．（2）求最值时要注意等号成立的条件，它也是解题的关键．跟踪训练 1．若a ，b ∈R ，且|a |≤3，|b |≤2则|a ＋b |的最大值是________，最小值是________2．求函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的最小值．3．若对任意实数，不等式|x ＋1|－|x －2|>a 恒成立，求a 的取值范围．三、课后作业1．已知实数b a ,满足0<ab ，下列不等式成立的是 ( )A ．b a b a ->+B ．b a b a -<+C ．b a b a -<-D ．b a b a +<- 2．设1,1<<b a ，则b a b a -++与2的大小关系是 ( )A ．2>-++b a b aB ．2<-++b a b aC ．2=-++b a b aD ．不能比较大小 3．若关于x 的不等式a x x <++-32的解集为∅,则实数a 的取值范围为( ) A ．(∞-,1] B ．(∞-,1) C ．(∞-,5] D ．(∞-,5)4．不等式a a x x 3132-≥-++对任意实数x 恒成立,则实数a 的取值范围为 ( ) A ．[1-,4] B ．(∞-,1-]∪[4,+∞) C ．(∞-,2-]∪[5,+∞) D ．[2-,5] 5．若不等式a x x ≥-+622对于一切实数x 均成立,则实数a 的最大值是 ( ) A ．7 B ．9 C ．5 D ．116．对于实数y x ,，若12,11≤-≤-y x ，则12+-y x 的最大值为 ( ) A ．5 B ．4 C ．8 D ．77．已知13)(+=x x f ，若当b x <-1时，有),0(,,4)(+∞∈<-b a a x f ，则b a ,满足的关系为 . 8．若N n x ∈<,5，则下列不等式:①1lg 51lg+<+n n n n x ②1lg 51lg +<+n nn n x ③1lg 51lg+<+n n n n x ④1lg 51lg +<+n nn n x 其中能够成立的有 .(填序号) 9．若关于x 的不等式21-++≥x x a 存在实数解,则实数a 的取值范围是 .10．已知函数41)(,23)(++-=--=x x g x x f ，若函数1)()(+≥-m x g x f 的解集为R ，求m 的取值范围.11．已知函数1,13)(2<-+-=a x x x x f .求证:)1)((2)()(+<-a f a f x f .12．两个加油站B A ,位于某城市东akm 和bkm 处(b a <),一卡车从该城市出发,由于某种原因,它需要往返B A ,两加油站,问它行驶在什么情况下到两加油站的路程之和是一样的?第五课时 绝对值不等式的解法一、知识要点1．|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c (c >0)型不等式的解法只需将ax ＋b 看成一个整体，即化成|x |≤a ，|x |≥a (a >0)型不等式求解．|ax ＋b |≤c (c >0)型不等式的解法：先化为 ，再由不等式的性质求出原不等式的解集． 不等式|ax ＋b |≥c (c >0)的解法：先化为 或 ，再进一步利用不等式性质求出原不等式的解集 2．|x －a |＋|x －b |≥c 和|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法①利用绝对值不等式的 求解，体现数形结合思想，理解绝对值的几何意义，给绝对值不等式以准确的几何解释是解题关键．②以绝对值的 为分界点，将数轴分为几个区间，利用“零点分段法”求解，体现分类讨论的思想．确定各个绝对值符号内多项式的正、负性，进而去掉绝对值符号是解题关键．③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现函数与方程的思想，正确求出函数的零点并画出函数图像(有时需要考查函数的增减性)是解题关键．二、考点例题考点一 c b ax ≤+和)0(>≥+c c b ax 型不等式的解法[例1] 解下列不等式： （1）|5x －2|≥8；（2）2≤|x －2|≤4.方法规律小结 |ax ＋b |≥c 和|ax ＋b |≤c 型不等式的解法：①当c >0时，|ax ＋b |≥c ⇔ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，|ax ＋b |≤c ⇔－c ≤ax ＋b ≤c . ②当c ＝0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |<c 的解集为∅. ③当c <0时，|ax ＋b |≥c 的解集为R ，|ax ＋b |≤c 的解集为∅. 跟踪训练 1．解下列不等式：（1）|3－2x |<9；（2）|x －2x －2|>2x －3x －4；（3）|2x －3x －4|>x ＋1（4）213+<-x x （5）x x ->-213 （6） |2||1|x x -<+ （7）4|23|7x <-≤ （8）01222<---x x x2．已知{23}A x x a =-<，{B x x =≤10}，且A B ⊂≠，求实数a 的范围.考点二 c b x a x ≤-+-和c b x a x ≥-+-型不等式的解法[例2] 解不等式|x －3|－|x ＋1|<1.方法规律小结 |x －a |＋|x －b |≥c 、|x －a |＋|x －b |≤c (c >0)型不等式的三种解法：分区间(分类)讨论法、图像法和几何法．分区间讨论的方法具有普遍性，但较麻烦；几何法和图像法直观，但只适用于数据较简单的情况 跟踪训练1．解不等式|x －2|－|x ＋7|≤3 2．解不等式|2x －1|＋|3x ＋2|≥8. 3．解不等式512≥-+-x x 考点三 含绝对值不等式恒成立的问题 [例3] 已知不等式|x ＋2|－|x ＋3|>m .（1）若不等式有解； （2）若不等式解集为R ；（3）若不等式解集为∅，分别求出m 的范围．方法规律小结 问题(1)是存在性问题，只要求存在满足条件的x 即可；不等式解集为R 或为空集时，不等式为绝对不等式或矛盾不等式，属于恒成立问题，恒成立问题f (x )<a 恒成立⇔a x f <max )(，f (x )>a 恒成立⇔a x f >min )(跟踪训练 1．把本例中的“>”改成“<”，即|x ＋2|－|x ＋3|<m 时，分别求出m 的范围．2．把本例中的“－”改成“＋”，即|x ＋2|＋|x ＋3|>m 时，分别求出m 的范围．3．不等式 31++-x x >a ，对一切实数x 都成立，则实数a 的取值范围是 4．已知关于x 的不等式|x +2|+|x -3|<a 的解集是非空集合，则实数a 的取值范围是_________.课堂练习1．.1122>-x 2．01314<--x 3．423+≤-x x . 4．x x -≥+21. 5．1422<--x x 6．212+>-x x . 7．42≥-+x x8．.631≥++-x x 9．21<++x x 10．.24>--x x 11．已知不等式a x ≤-2)0(>a 的解集为{}c x R x <<-∈1|，求c a 2+的值12．解关于x 的不等式2||x a a -<（a R ∈）13．解关于x 的不等式：① 解关于x 的不等式31<-mx ；② a x <-+132)(R a ∈三、课后作业1．若11+>+x xx x ，则实数x 的取值范围是 ( ) A ．(1-,0) B ．[1-,0] C ．(∞-, 1-)∪(0,∞+) D ．(,∞-1-]∪[0,∞+ 2．若1>a ，则不等式1>+a x 的解集是 ( )A ．{}a x a x -<<-11B ．{}a x a x x ->-<11或 C ．∅ D ．R 3．已知集合{}{}312,0652>-=≤+-=x x B x x x A ，则B A 等于 ( ) A ．[]3,2 B ．[)3,2 C ．(]3,2 D ．)3,1(- 4．若规定bc ad dc b a -=，则不等式0111log2<x的解集为 ( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0, 2)D ．(0,1)∪(1,2)5．不等式a xax >-1的解集为M ，且M ∉2，则a 的取值范围为 ( ) A ．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41 B ．⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,41 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 D ．⎥⎦⎤ ⎝⎛21,0 6．已知)2(log ax y a -=在(0,1)上是增函数,则不等式3log 1log ->+x x a a 的解集为 ( ) A ．{}1-<x x B ．{}1<x x C ．{}11-≠<x x x 且 D ．{}1>x x7．设2,,>-∈b a R b a ，则关于实数x 的不等式2>-+-b x a x 的解集是 . 8．在实数范围内,不等式112≤--x |的解集为 .9．若关于x 的不等式0212<++-a x ax 的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 10．已知R a ∈，设关于x 的不等式4232+≥++-x x a x 的解集为A （1）若1=a ，求A（2）若R A =，求a 的取值范围.11．已知实数b a ,满足：关于x 的不等式164222--≤++x x b ax x 对一切R x ∈均成立. （1）请验证8,2-=-=b a 满足题意.（2）求出所有满足题意的实数b a ,，并说明理由.（3）若对一切2>x ，均有不等式15)2(2--+≥++m x m b ax x 成立,求实数m 的取值范围. 12．已知关于x 的不等式1+>ax a 的解集为{}0≤x x 的子集,求a 的取值范围.第二节 证明不等式的基本方法第一课时 比较法一、知识要点1．作差比较法（1）作差比较法的理论依据a －b >0⇔ ，a －b <0⇔ ，a －b ＝0⇔ . （2）作差比较法解题的一般步骤：①作差；②变形整理，③判定符号，④得出结论． 其中变形整理是解题的关键，变形整理的目的是为了能够直接判定 ，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等． 2．作商比较法（1）作商比较法的理论依据是不等式的基本性质：①b >0，若 ，则a >b ；若 则a <b ； ②b <0，若 则a <b ；若 则a >b .（2）作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 符号；②作商；③变形整理；④判定 ；⑤得出结论．二、考点例题考点一 作差比较法证明不等式[例1] 设△ABC 的三边长分别是a 、b 、c ，求证：2)()(4c b a ac bc ab ++>++方法规律小结 （1）作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．（2）变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．（3）因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论． 跟踪训练 1．求证：)1(222--≥+b a b a2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，求证：)(2))((11+++≤++n n nnb ab a b a考点二 作商比较法证明不等式 [例2] 设a >0，b >0，求证：2)(b a baab b a +≥方法规律小结 当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．跟踪训练 1．设0>>b a ，求证：b a ba ba b a +->+-2222.2．如果a ，b 都是正数，且a ≠b ，求证422466b a b a b a +>+考点三 比较法的实际应用[例3] 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？ 方法规律小结 应用不等式解决实际问题时， 关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决．也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．跟踪训练5．某人乘出租车从A 地到B 地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内．不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A 地到B 地选择哪一种方案比较合适？三、课后作业1．设m b a ,,都是正数,且b a <,则下列不等式中恒成立的是 ( )A ．1<++<m b m a b a B ．m b m a b a ++≥ C ．1≤++≤m b m a b a D ．bam b m a <++<12．“1>a ”是“11<a”的 ( )A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．设b a B b a A R b a +=+=∈+,,,，则B A ,的大小关系是 ( )A ．B A ≥ B ．B A ≤C ．B A >D ．B A <4．已知下列不等式：①x x 232>+;②322355b a b a b a +>+;③)1(222--≥+b a b a .其中正确的个数为 ( )A ．0B ．1C ．2D ．3 5．设0,0>>b a ，下列不等式中不正确的是 ( )A ．ab b a 222≥+ B ．2≥+b a a b C ．b a b a a b +≥+22D ．ba b a +≤+111 6．在等比数列{}n a 和等差数列{}n b 中，313311,0,0a a b a b a ≠>=>=则5a 与5b 的大小关系为 ( ) A ．55b a > B ．55b a < C ．55b a = D ．不确定 7．已知xc x b x a x -=+==<<11,1,2,10，则其中最大的是 . 8．若x 是正数，且23=-x x ，则x 与45的大小关系为 .9．设)0,0(2,2121>>+=+=b a ba Bb a A 则B A ,的大小关系为 .10．已知0,0>>b a ，求证：b a ab ba +≥+11．若n m b a ,,,都为正实数，且1=+n m 求证：b n a m nb ma +≥+12．已知函数b ax x x f ++=2)(，当q p ,满足1=+q p 时,证明：)()()(qy px f y qf x pf +≥+对于任意实数y x ,都成立的充要条件是10≤≤p .第二课时 综合法与分析法一、知识要点1．综合法（1）证明的特点：综合法又叫顺推证法或 法，是由 和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的 ，最后推出所要证明的结论成立． （2）证明的框图表示：用P 表示已知条件或已有的不等式，用Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为 P ⇒Q 1→Q 1⇒Q 2→Q 2⇒Q 3→……→Q n ⇒Q2．分析法（1）证明的特点：分析法又叫逆推证法或 法，是从要证明的不等式出发，逐步寻找使它成立的 条件．直到最后把要证明的不等式转化为判定一个已知或明显成立的不等式为止． （2）证明过程的框图表示：用Q 表示要证明的不等式，则分析法可用框图表示为Q ⇐P 1→P 1⇐P 2→P 1⇐P 3→……→得到一个明显成立的条件二、考点例题[例1] 已知x >0，y >0，且x ＋y ＝1，求证：(1＋1x )·(1＋1y)≥9.方法规律小结 综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间，不等式的左右两端之间的差异与联系．合理进行转换，恰当选择已知不等式，这是证明的关键跟踪训练 1．已知a ，b ，c ∈R ＋，证明不明式：a ＋b ＋c ≥ab ＋bc ＋ca ，当且仅当a ＝b ＝c 时取等号．2．已知a ，b ，c 都是实数，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13(a ＋b ＋c )2≥ab ＋bc ＋ca .考点二 用分析法证明不等式[例2] 已知x >0，y >0，求证31332122)()(y x y x +>+方法规律小结（1）当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．（2）分析法证明的关键是推理的每一步都必须可逆． 跟踪训练 1．求证：3＋7<2 52．a ，b ∈R ＋，且2c >a ＋b .求证：c －c 2－ab <a <c ＋c 2－ab .考点三 综合法和分析法的综合应用[例3] 设a >0，b >0，且a ＋b ＝1，求证：a ＋1＋b ＋1≤ 6.方法规律小结（1）通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式易于证明． （2）有些不等式的证明，需要一边分析一边综合，称之为分析综合法，或称“两头挤”法，如本例，这种方法充分表明了分析法与综合法之间互为前提，互相渗透，相互转化的辩证统一关系．跟踪训练1．已知a ，b ，c 都是正数，求证：2⎝⎛⎭⎫a ＋b 2－ab ≤3⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b ＋c 3－3abc . 三、课后作业。
选修4-5 不等式选讲
选修4-5 不等式选讲1．已知f (x )＝|1－x |－|x －5|，(1)解不等式f (x )<2；(2)若f (x )＋2m －1<0存在实数解，求实数m 的取值范围．解：(1)f (x )＝|1－x |－|x －5|＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，x >5，2x －6，1≤x ≤5，－4，x <1，∵f (x )<2，∴x <1或⎩⎪⎨⎪⎧2x －6<2，1≤x ≤5，∴x <1或1≤x <4，∴不等式的解集为(－∞，4)． (2)由(1)知f (x )min ＝－4，∵f (x )＋2m －1<0存在实数解，∴f (x )min ＋2m －1<0，即－4＋2m －1<0，∴m <52， ∴m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，52. 2．已知定义在R 上的函数f (x )＝|x －m |＋|x |，m ∈N *，存在实数x 使f (x )<2成立．(1)求实数m 的值；(2)若α≥1，β≥1，f (α)＋f (β)＝4，求证：4α＋1β≥3. 解：(1)因为|x －m |＋|x |≥|(x －m )－x |＝|m |，所以要使不等式|x －m |＋|x |<2有解，则|m |<2，解得－2<m <2.因为m ∈N *，所以m ＝1.(2)证明：因为α≥1，β≥1，所以f (α)＋f (β)＝2α－1＋2β－1＝4，即α＋β＝3，所以4α＋1β＝13⎝⎛⎭⎫4α＋1β(α＋β) ＝13⎝⎛⎭⎫5＋4βα＋αβ≥13⎝⎛⎭⎫5＋2 4βα·αβ＝3. 当且仅当4βα＝αβ，即α＝2，β＝1时等号成立， 故4α＋1β≥3. 3．设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|.(1)画出y ＝f (x )的图象；(2)当x ∈[0，＋∞)时，f (x )≤ax ＋b ，求a ＋b 的最小值．解：(1)f (x )＝⎩⎨⎧－3x ，x <－12，x ＋2，－12≤x <1，3x ，x ≥1.y ＝f (x )的图象如图所示．(2)由(1)知，y ＝f (x )的图象与y 轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a ≥3且b ≥2时，f (x )≤ax ＋b 在[0，＋∞)成立，因此a ＋b 的最小值为5.4．已知函数f (x )＝|x －4|＋|x －1|－kx －1.(1)若k ＝2，求不等式f (x )>0的解集；(2)若方程f (x )＝0有实数根，求k 的取值范围．解：(1)因为k ＝2，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x ＋4，x ≤1，－2x ＋2，1<x <4，－6，x ≥4，由f (x )>0，有 ⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，－4x ＋4>0，得x <1，或⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <4，－2x ＋2>0， 得x ∈∅，故不等式f (x )>0的解集为(－∞，1)．(2)由f (x )＝0，得|x －4|＋|x －1|－1＝kx ，令g (x )＝|x －4|＋|x －1|－1，则g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4－2x ，x ≤1，2，1<x <4，2x －6，x ≥4，作出g (x )的图象如图所示．直线y ＝kx 过原点，当此直线经过点B (4,2)时，k ＝12； 当此直线与直线AC 平行时，k ＝－2.由图可知，当k <－2或k ≥12时，g (x )的图象与直线y ＝kx 有公共点．从而f (x )＝0有实数根，所以k 的取值范围为(－∞，－2)∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞. 5．已知函数f (x )＝|2x －1|＋|x ＋1|.(1)解不等式f (x )≤3；(2)记函数g (x )＝f (x )＋|x ＋1|的值域为M ，若t ∈M ，证明：t 2＋1≥3t＋3t . 解：(1)依题意，得f (x )＝⎩⎨⎧ －3x ，x ≤－1，2－x ，－1<x <12，3x ，x ≥12，于是f (x )≤3⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－3x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <12，2－x ≤3或⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，3x ≤3， 解得－1≤x ≤1.故不等式f (x )≤3的解集为{x |－1≤x ≤1}．(2)证明：g (x )＝f (x )＋|x ＋1|＝|2x －1|＋|2x ＋2|≥|2x －1－2x －2|＝3，当且仅当(2x －1)(2x ＋2)≤0时取等号，∴M ＝[3，＋∞)．t 2＋1≥3t ＋3t 等价于t 2－3t ＋1－3t≥0， t 2－3t ＋1－3t ＝t 3－3t 2＋t －3t ＝(t －3)(t 2＋1)t. ∵t ∈M ，∴t －3≥0，t 2＋1>0，∴(t －3)(t 2＋1)t≥0， ∴t 2＋1≥3t＋3t . 6．已知正实数x, y 满足x ＋y ＝1.(1)解关于x 的不等式|x ＋2y |＋|x －y |≤52； (2)证明：⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1≥9. 解：(1)∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，∴|x ＋2y |＋|x －y |≤52⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，|2－x |＋|2x －1|≤52⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 0<x <1，|2x －1|≤12＋x ⇔⎩⎪⎨⎪⎧0<x <1，－⎝⎛⎭⎫12＋x ≤2x －1≤12＋x ，解得16≤x <1， ∴不等式的解集为⎣⎡⎭⎫16，1.(2)证明：∵x ＋y ＝1，且x >0，y >0，∴⎝⎛⎭⎫1x 2－1⎝⎛⎭⎫1y 2－1＝(x ＋y )2－x 2x 2·(x ＋y )2－y 2y 2 ＝2xy ＋y 2x 2·2xy ＋x 2y 2＝⎝⎛⎭⎫2y x ＋y 2x 2⎝⎛⎭⎫2x y ＋x 2y 2＝2x y ＋2y x ＋5≥22x y ·2y x＋5＝9， 当且仅当x ＝y ＝12时，等号成立． 7．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3.(1)若a ＋b ＝2，求f (a )＋f (b )的最小值；(2)若|x －a |<2，求证：|f (x )－f (a )|<4(|a |＋2)． 解：(1)f (a )＋f (b )＝a 2＋b 2－2(a ＋b )＋6＝(a ＋b )2－2ab ＋2＝6－2ab ，因为a ＋b ＝2，故f (a )＋f (b )＝6－2a (2－a )＝2a 2－4a ＋6，当a ＝1时，f (a )＋f (b )有最小值4.(2)证明：因为|x －a |<2，所以|f (x )－f (a )|＝|(x －a )·(x ＋a －2)|<2|(x －a )＋2a －2|≤2|x －a |＋4|a |＋4<4|a |＋8， 所以|f (x )－f (a )|<4(|a |＋2)．8．已知a ，b ，c 为非负实数，函数f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋b |＋c .(1)若a ＝2，b ＝6，c ＝1，求不等式f (x )>11的解集；(2)若函数f (x )的最小值为2，证明：1a ＋b ＋4b ＋c ＋9a ＋c≥9. 解：(1)当a ＝2，b ＝6，c ＝1时，不等式f (x )＝|2x －2|＋|2x ＋6|＋1>11，化简得|x －1|＋|x ＋3|>5.采用零点讨论法，设g (x )＝|x －1|＋|x ＋3|,当x ≥1时，由g (x )＝2x ＋2>5；得x >32； 当－3<x <1时，由g (x )＝4>5，得x ∈∅；当x ≤－3时，由g (x )＝－2x －2>5，得x <－72， 所以不等式f (x )>11的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx <－72或x >32. (2)证明：因为f (x )＝|2x －a |＋|2x ＋b |＋c ≥|a ＋b |＋c ＝a ＋b ＋c ，函数f (x )的最小值为2， 所以a ＋b ＋c ＝2.1a ＋b ＋4b ＋c ＋9a ＋c ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋4b ＋c ＋9a ＋c [(a ＋b )＋(b ＋c )＋(a ＋c )] ＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤14＋b ＋c a ＋b ＋4(a ＋b )b ＋c ＋a ＋c a ＋b ＋9(a ＋b )a ＋c ＋4(a ＋c )b ＋c ＋9(b ＋c )a ＋c ≥14(14＋4＋6＋12)＝9， 当且仅当a ＝23，b ＝0，c ＝43等式成立． 综上，1a ＋b ＋4b ＋c ＋9a ＋c ≥9.。
高中数学 不等式选讲C组测试题 新人教A版选修4-5
数学选修4-5 不等式选讲[提高训练C 组]一、选择题1．若log 2x y =-，则x y +的最小值是（ ）A ． 2233B ．3323C ．233 D ．3222．,,a b c R +∈，设a b c dS a b c b c d c d a d a b=+++++++++++，则下列判断中正确的是（ ） A ．01S << B ．12S << C ．23S << D ．34S << 3．若1x >，则函数21161xy x x x =+++的最小值为（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．非上述情况 4．设0b a >>，且P =211Q a b=+，M 2a b N +=，R =则它们的大小关系是（ ）A ．P Q M N R <<<<B ．Q P M N R <<<<C ．P M N Q R <<<<D ．P Q M R N <<<< 二、填空题 1．函数23(0)1xy x x x =<++的值域是 .2．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是 3．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca ++与1-的大小关系为 .4．若0a >，则1a a +的最大值为 . 5．若,,x y z 是正数，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为______。
三、解答题1． 设,,a b c R +∈，且a b c +=，求证：222333a b c +>2．已知a b c d >>>，求证：1119a b b c c a a d++≥----3．已知,,a b c R +∈，比较333a b c ++与222a b b c c a ++的大小。
选修4-5 不等式选讲
选修4-5不等式选讲题组1不等式的性质和绝对值不等式1.[2015 山东,5,5分]不等式|x-1|-|x-5|<2的解集是()A.(-∞,4)B.(-∞,1)C.(1,4)D.(1,5)2.[2015重庆,16,5分]若函数f(x)=|x+1|+2|x-a|的最小值为5,则实数a=.3.[2014重庆,16,5分]若不等式|2x-1|+|x+2|≥a2+a+2对任意实数x恒成立,则实数a的取值范围是.4.[2017全国卷Ⅰ,23,10分][文]已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.5.[2016全国卷Ⅰ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.(Ⅰ)在图1中画出y=f(x)的图象;(Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集.图16.[2015 新课标全国Ⅰ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.(Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.7.[2014新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设函数f(x)=|x+|+|x-a|(a>0).(Ⅰ)证明:f(x)≥2;(Ⅱ)若f(3)<5,求a的取值范围.题组2不等式的证明8.[2016全国卷Ⅱ,24,10分][文]已知函数f(x)=|x-|+|x+|,M为不等式f(x)<2的解集.(Ⅰ)求M;(Ⅱ)证明:当a,b∈M时,|a+b|<|1+ab|.9.[2015 新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a,b,c,d均为正数,且a+b=c+d,证明:(Ⅰ)若ab>cd,则+>+;(Ⅱ)+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.10.[2013新课标全国Ⅱ,24,10分][文]设a,b,c均为正数,且a+b+c=1.证明:(Ⅰ)ab+bc+ac≤;(Ⅱ)++≥1.A组基础题1.[2018广东七校联考,23]已知函数f(x)=|x-a|-|2x-1|.(1)当a=2时,求f(x)+3≥0的解集;(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,求a的取值范围.2.[2018湖北八校第一次联考,23]已知不等式|x|+|x-3|<x+6的解集为(m,n).(1)求m,n的值;(2)若x>0,y>0,nx+y+m=0,求证:x+y≥16xy.3.[2018广西桂林市、柳州市高三综合模拟,23]已知f(x)=|ax-1|,不等式f(x)≤3的解集是{x|-1≤x≤2}.(1)求a的值;(2)若)-)<k存在实数解,求实数k的取值范围.4.[2017郑州市高三第三次质量预测,23]已知函数f(x)=|x-5|-|x-2|.(1)若∃x∈R,使得f(x)≤m成立,求m的取值范围;(2)求不等式x2-8x+15+f(x)≤0的解集.B组提升题5.[2018湘东五校联考,23]已知函数f(x)=m-|x-1|-|x+1|.(1)当m=5时,求不等式f(x)>2的解集;(2)若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,求实数m的取值范围.6.[2018河南省中原名校高三第三次质量考评,23]已知函数f(x)=|x-m|+|x+2|(m∈R),g(x)=|2x-1|+3.(1)当m=1时,求不等式f(x)≤5的解集;(2)若对任意的x1∈R,都有x2∈R,使得f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.7.[2017长春市高三第四次质量监测,23](1)已知函数f(x)=|x+1|+|x-a|(a>0),若不等式f(x)≥5的解集为{x|x≤-2或x≥3},求a的值;(2)已知a,b,c为正实数,且a+b+c=m,求证:++≥.8.[2017长沙市5月模拟,23]已知函数f(x)=(x+1)2.(1)证明: f(x)+|f(x)-2|≥2;+[f(x)]2的最小值.(2)当x≠-1时,求y=)答案1.A 当x<1时,不等式可化为-(x-1)+(x-5)<2,即-4<2,显然成立,所以此时不等式的解集为(-∞,1);当1≤x ≤5时,不等式可化为x-1+(x-5)<2,即2x-6<2,解得x<4,又1≤x ≤5,所以此时不等式的解集为[1,4);当x>5时,不等式可化为(x-1)-(x-5)<2,即4<2,显然不成立,所以此时不等式无解.综上,不等式的解集为(-∞,4).故选A .2.-6或4 当a=-1时,f (x )=3|x+1|≥0,不满足题意;当a<-1时,f (x )= - - , ,- - , - , - , - ,f (x )min =f (a )=-3a-1+2a=5,解得a=-6;当a>-1时,f (x )= - - , - ,- ,- , - , ,f (x )min =f (a )=-a+1+2a=5,解得a=4.3.[-1, ] |2x-1|+|x+2|=|x- |+(|x- |+|x+2|)≥0+|(x- )-(x+2)|= ,当且仅当x= 时取等号,因此函数y=|2x-1|+|x+2|的最小值是 .所以a 2+ a+2≤ ,即2a 2+a-1≤0,解得-1≤a ≤ ,即实数a 的取值范围是[-1, ].4.(1)当a=1时,不等式f (x )≥g (x )等价于x 2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0 ①.当x<-1时,①式化为x 2-3x-4≤0,无解;当-1≤x ≤1时,①式化为x 2-x-2≤0,从而-1≤x ≤1;当x>1时,①式化为x 2+x-4≤0,从而1<x ≤- . 所以f (x )≥g (x )的解集为{x|-1≤x ≤- }.(2)当x ∈[-1,1]时,g (x )=2.所以f (x )≥g (x )的解集包含[-1,1],等价于当x ∈[-1,1]时f (x )≥2.又f (x )在[-1,1]的最小值必为f (-1)与f (1)之一,所以f (-1)≥2且 f 1)≥2,得-1≤a ≤1.所以a 的取值范围为[-1,1].5.(Ⅰ)由题意可得f (x )= - , - , - ,- ,- , ,y=f (x )的图象如图D 2所示.图D 2(Ⅱ)由f(x)的表达式及图象知,当f(x)=1时,可得x=1或x=3; 当f(x)=-1时,可得x=或x=5.故f(x)>1的解集为{x|1<x<3};f(x)<-1的解集为{x|x<或x>5}.所以|f(x)|>1的解集为{x|x<或1<x<3或x>5}.6.(Ⅰ)当a=1时, f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得<x<1;当x≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f(x)>1的解集为{x|<x<2}.(Ⅱ)由题设可得f(x)=--,-,-,-,-,所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A(-,0),B(2a+1,0),C(a,a+1),△ABC的面积为(a+1)2.由题设得(a+1)2>6,故a>2.所以a的取值范围为(2,+∞).7.(Ⅰ)由a>0,有f(x)=|x+|+|x-a|≥|x+-(x-a)|=+a≥2.所以f(x)≥2. (Ⅱ)f(3)=|3+|+|3-a|.当a>3时,f(3)=a+,由f(3)<5得3<a<.当0<a≤3时,f(3)=6-a+,由f(3)<5得<a≤3.综上,a的取值范围是(,).8.(Ⅰ)由题意可得f(x)=-,-, ,-, ,当x≤-时,由f(x)<2得-2x<2,解得x>-1,所以-1<x≤-; 当-<x<时,f(x)<2恒成立;当x≥时,由f(x)<2得2x<2,解得x<1,所以≤x<1.所以f(x)<2的解集M={x|-1<x<1}.(Ⅱ)由(Ⅰ)知,当a,b∈M时,-1<a<1,-1<b<1,从而(a+b)2-(1+ab)2=a2+b2-a2b2-1=(a2-1)(1-b2)<0.因此|a+b|<|1+ab|.9.(Ⅰ)因为(+)2=a+b+2,(+)2=c+d+2,由题设a+b=c+d,ab>cd得(+)2>(+)2.因此+>+.(Ⅱ)①若|a-b|<|c-d|,则(a-b)2<(c-d)2,即(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd.因为a+b=c+d,所以ab>cd.由(Ⅰ)得+>+.②若+>+,则(+)2>(+)2,即a+b+2>c+d+2.因为a+b=c+d,所以ab>cd.于是(a-b)2=(a+b)2-4ab<(c+d)2-4cd=(c-d)2.因此|a-b|<|c-d|.综上,+>+是|a-b|<|c-d|的充要条件.10.(Ⅰ)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca得a2+b2+c2≥ab+bc+ca.由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1.所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤.(Ⅱ)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,故+++(a+b+c)≥2 a+b+c),即++≥a+b+c.所以++≥1.A组基础题1.(1)当a=2时,由f(x)≥-3,可得|x-2|-|2x-1|≥-3,∴,---或,---或,---,解得-4≤x<或≤x<2或x=2.综上,当a=2时,不等式f(x)+3≥0的解集为{x|-4≤x≤2}.(2)当x∈[1,3]时,f(x)≤3恒成立,即|x-a|≤3+|2x-1|=2x+2.故-2x-2≤x-a≤2x+2,即-3x-2≤-a≤x+2, ∴-x-2≤a≤3x+2对x∈[1,3]恒成立.∴a∈[-3,5].2.(1)由|x|+|x-3|<x+6,得,-或,或,--,解得-1<x<9,所以m=-1,n=9.(2)由(1)知9x+y=1.因为x>0,y>0,所以(+)(9x+y)=10++≥10+2=16, 当且仅当=,即x=,y=时取等号,所以+≥16,即x+y≥16xy..3.(1)由|ax-1|≤3,得-3≤ax-1≤3,即-2≤ax≤4,当a>0时,-≤x≤,所以--,,解得a=2;当a<0时,≤x≤-,所以-,-无解.所以a=2.(2)因为)-)=-≥--) =,所以要使)-)<k存在实数解,只需k>,所以实数k的取值范围是(,+∞).4.(1)f(x)=|x-5|-|x-2|=,, -,, -,当2<x<5时,-3<7-2x<3,所以-3≤f(x)≤3.所以m的取值范围是[-3,+∞).(2)原不等式等价于-f(x)≥x2-8x+15,由(1)可知,当x≤2时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为空集; 当2<x<5时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x<5}; 当x≥5时,-f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.综上,原不等式的解集为{x|5-≤x≤6}.B组提升题5.(1)当m=5时,f(x)=-), -), -),由f(x)>2得不等式的解集为{x|-<x<}.(2)因为二次函数y=x2+2x+3=(x+1)2+2在x=-1处取得最小值2,f(x)=-),--),-)在x=-1处取得最大值m-2,所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f(x)的图象恒有公共点,只需m-2≥2,即m≥4,所以实数m的取值范围为[4,+∞).6.(1)当m=1时,f (x )=|x-1|+|x+2|,①当x ≤-2时,f (x )=-2x-1,由-2x-1≤5,解得x ≥-3,所以-3≤x ≤-2;②当-2<x<1时,f (x )=1-x+x+2=3≤5恒成立,所以-2<x<1;③当x ≥1时,f (x )=2x+1,由2x+1≤5,解得x ≤2,所以1≤x ≤2.综上所述,不等式f (x )≤5的解集为[-3,2].(2)若对任意的x 1∈R,都有x 2∈R,使得f (x 1)=g (x 2)成立,设A={y|y=f (x )},B={y|y=g (x )},则A ⊆B ,因为f (x )=|x-m|+|x+2|≥|(x-m )-(x+2)|=|m+2|,g (x )=|2x-1|+3≥3,所以|m+2|≥3,解得m ≥1或m ≤-5,因此,实数m 的取值范围为(-∞,-5]∪[1,+∞).7.(1)因为a>0,所以f (x )=|x+1|+|x-a|= - - , - ,,- , - ,又不等式f (x )≥5的解集为{x|x ≤-2或x ≥3},解得a=2.(2)+ + =) ) ==≥ (当且仅当a=b=c= 时,取等号).8.(1)∵f (x )= (x+1)2≥0, ∴f (x )+|f (x )-2|=|f (x )|+|2-f (x )|≥|f (x )+[2-f (x )]|=|2|=2.(2)当x ≠-1时,f (x )= (x+1)2>0, ∴y= )+[f (x )]2= )+ )+[f (x )]2≥3· )· )· ) = ,当且仅当 )= )=[f (x )]2时取等号,即x=-1± 时取等号.∴y= )+[f (x )]2的最小值为 .。
高中数学 复习课件： 选修4-5 不等式选讲
2
1．绝对值三角不等式 定理 1：如果 a，b 是实数，则|a＋b|≤__|a_|_＋__|b_|_，当且仅当__a_b_≥_0__时，等
号成立． 定理 2：如果 a，b，c 是实数，那么__|a_－__c_|_≤_|a_－__b_|_＋__|b_－__c_|__，当且仅当
___(a_－__b_)_(_b_－__c)_≥_0____时，等号成立．
成(2)在立区问间题D上中存的在实参数数x使范不等围式问f(x题)<B. 成立,等价于在区间D上f(x)min<B.
求最值的思路:①利用基本不等式和不等式的相关性
质解决;②将函数解析式用分段函数形式表示,作出函
数图象,求得最值;③利用性质“||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|”
求最值.
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1．基本不等式 定理 1：设 a，b∈R，则 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 定理 2：如果 a，b 为正数，则a＋2 b≥ ab，当且仅当 a＝b 时，等号成立． 定理 3：如果 a，b，c 为正数，则a＋3b＋c≥_3__a_b_c_，当且仅当 a＝b＝c 时， 等号成立． 定理 4：(一般形式的算术—几何平均不等式)如果 a1，a2，…，an 为 n 个正 数，则a1＋a2＋n …＋an≥n a1a2…an，当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
∅
∅
|x|>a
___{_x_|_x＞__a_或__x_＜__－__a_}__ {x∈R|x≠0}
R
(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法: ①|ax＋b|≤c⇔___－__c≤_a_x_＋_b_≤_c___； ②|ax＋b|≥c⇔___a_x_＋_b_≥_c或__a_x_＋_b_≤_－_c________.
《选修4-5--不等式选讲》知识点详解+例题+习题(含详细答案)
选修4－5 不等式选讲最新考纲:1.理解绝对值的几何意义,并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：(1)｜a+b｜≤|a|+｜b|(a，b∈R)．(２)|a-ｂ|≤|a－c|＋|c－b｜（ａ，ｂ∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式:|ax+ｂ|≤c,｜ａx+b|≥c,｜x－c|+｜x－b|≥a．3.了解柯西不等式的几种不同形式,理解它们的几何意义,并会证明.4.通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法．1．含有绝对值的不等式的解法（1)|f(x)｜＞a(a＞0)⇔f(x）>a或f（x）<-a；(2）|f(x)|<a(a>0)⇔－a<f(x）<a;(3)对形如｜x-ａ|+|x－b｜≤ｃ，|x-ａ｜＋|x-b|≥ｃ的不等式，可利用绝对值不等式的几何意义求解．2．含有绝对值的不等式的性质｜a|－|b｜≤|ａ±b｜≤|a|+|b｜.问题探究:不等式｜a|－｜b|≤|a±b|≤|ａ|＋｜ｂ|中，“＝”成立的条件分别是什么？提示：不等式|a｜-|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“=”成立的条件是ab≥0,左侧“=”成立的条件是ab≤０且｜a｜≥｜ｂ|；不等式|ａ|-|b|≤｜a-b|≤|a|＋|ｂ|,右侧“＝”成立的条件是ab≤０,左侧“=”成立的条件是ab≥0且|a｜≥|ｂ|.3．基本不等式定理１:设ａ,b∈R,则a２+ｂ2≥2ab．当且仅当ａ=b时,等号成立.定理2:如果a、b为正数，则错误!未定义书签。
≥错误!未定义书签。
,当且仅当ａ=b时，等号成立．定理3:如果a、b、ｃ为正数，则错误!未定义书签。
≥３，abc,当且仅当a =b =c 时，等号成立． 定理4:(一般形式的算术—几何平均值不等式)如果a 1、ａ2、…、a ｎ为n 个正数，则a １＋a 2+…＋a n ｎ≥错误!，当且仅当a 1=a 2=…=a ｎ时,等号成立. 4.柯西不等式(１)柯西不等式的代数形式:设ａ,b ,ｃ，ｄ为实数，则(a 2+b 2)·(c 2+ｄ2)≥(ac +bd )2,当且仅当ad =bc 时等号成立．(2)若ａi ，b ｉ(ｉ∈N *)为实数，则(错误!错误!）(错误!未定义书签。
选修4-5不等式选讲
根据课程标准，本专题介绍一些重 要的不等式和它们的证明、数学归纳法 和它的简单应用。
本专题的内容是在初中阶段掌握了 不等式的基本概念，学会了一元一次不 等式、一元一次不等式组的解法，多数 学生在学习高中必修课五个模块的基础 上展开的．作为一个选修专题，教科书 在内容的呈现上保持了相对的完整性．
第二部分讨论了有关绝对值不等式的性质及 绝对值不等式的解法．绝对值是与实数有关 的一个基本而重要的概念，讨论关于绝对值 的不等式具有重要的意义．
• 绝对值三角不等式是一个基本的结论，教 科书首先引导学生借助于实数在数轴上的 表示和绝对值的几何意义，探究归纳出绝 对值三角不等式，接着联系向量形式的三 角不等式，得到绝对值三角不等式的几何 解释，最后用代数方法给出证明．这样， 数形结合，引导学生多角度认识这个不等 式，逐步深化对它的理解．利用绝对值三 角不等式可以解决一种特殊形式的函数的 极值问题，教科书安排了一个这样的实际 问题。
• 课程标准对于本专题的几个教学内容都明 确的教学要求，如：对于解含有绝对值的 不等式，只要求能解几种特殊类型的不等 式，不要求学生会解各种类型的含有绝对 值的不等式。对于数学归纳法证明不等式 的要求也只要求会证明一些简单问题。只 要求通过一些简单问题了解证明不等式的 基本方法，会利用所学的不等式证明一些 简单不等式，等等。
数学归纳法证明一些简单问题。 7．会用数学归纳法证明贝努利不等式：
(1＋x)n ＞1＋nx（x＞-1,n为正整数）。
了解当n为实数时贝努利不等式也成立。
• 8．会用上述不等式证明一些简单问 题。能够利用平均值不等式、柯西 不等式求一些特定函数的极值。
• 9．通过一些简单问题了解证明不等 式的基本方法：比较法、综合法、 分析法、反证法、放缩法。
选修4-5 不等式选讲
1．( 201 2 年高考广 东卷 ) 不等 式 | x ＋2| －| x|≤ 1的解集 为 . 解析：利用零点分段讨论法解绝对值不等式． ①当x≤－2时，原不等式可化为－x－2＋x≤1，该不等式 恒成立．
1 1 ②当－2<x<0时，原不等式可化为x＋2＋x≤1， ∴2x≤－1，∴x≤－ ，∴－2<x≤－ . 2 2 ③当 x≥0 时，原不等式可化为 x＋2－x≤1，不成立．
选修4－5
不等式选讲
第一节
绝对值不等式
一、绝对值三角不等式 1．定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤ |a|＋|b| 当 ab≥0 时，等号成立． ，当且仅
|a－b|＋|b－c| 2．定理2：如果a，b，c是实数，则|a－ c|≤ (a－b)(b－c)≥0 ，当且仅当 时，等 号成立．
1 综上，原不等式的解集为xx≤－2 . 1 答案：xx≤－2
2．(2012年高考陕西卷)若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成 立，则实数a的取值范围是________． 解析：利用绝对值不等式的性质求解． ∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|， 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，
【思路导析】 (1)利用绝对值不等式的公式求解，注意 分类讨论思想的应用；(2)构造函数，转化为函数最值问 题． 【规范解答】 ………………1分 (1)由|ax＋1|≤3得－4≤ax≤2.
4 2 又f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}，所以当a≤0时，不合题意. 当 a>0 时，－a≤x≤a，得 a＝2. ………………………………………………5 分
可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.
人教版数学选修4-5《不等式选讲》基础训练及答案
数学选修4-5 不等式选讲[提高训练C 组]一、选择题1．若log 2x y =-，则x y +的最小值是（ ）A ． 2233B ．3323 C ．233 D ．3222．,,a b c R +∈，设a b c d S a b c b c d c d a d a b =+++++++++++， 则下列判断中正确的是（ ）A ．01S <<B ．12S <<C ．23S <<D ．34S <<3．若1x >，则函数21161x y x x x =+++的最小值为（ ） A ．16 B ．8C ．4D ．非上述情况4．设0b a >>，且P =211Q a b =+，M = 2a b N +=，R =， 则它们的大小关系是（ ）A ．P Q M N R <<<<B ．Q P M N R <<<<C ．P M N Q R <<<<D ．P Q M R N <<<<二、填空题1．函数23(0)1x y x x x =<++的值域是 . 2．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是3．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca ++与1-的大小关系为 .4．若0a >，则1a a +的最大值为 . 5．若,,x y z 是正数，且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为______。
三、解答题1． 设,,a b c R +∈，且a b c +=，求证：222333a b c +>2．已知a b c d >>>，求证：1119a b b c c a a d ++≥----3．已知,,a b c R +∈，比较333a b c ++与222a b b c c a ++的大小。
新课标测试题组：选修4-5 不等式选讲C组
数学选修4-5 不等式选讲［提高训练C 组］ 一、选择题 1．若log 2xy =-，则x y +的最小值是（ ）A ． 2233B ．3323C ．233D ．3222．,,a b c R +∈，设a b c dS a b c b c d c d a d a b=+++++++++++，则下列判断中正确的是（ ） A ．01S << B ．12S <<C ．23S <<D ．34S << 3．若1x >，则函数21161xy x xx =+++的最小值为( ）A ．16B ．8C ．4D ．非上述情况 4．设0b a >>，且P =211Q a b=+，M =2a b N +=，R =则它们的大小关系是（ )A ．P Q M N R <<<<B ．Q P M N R <<<<C ．P M N Q R <<<<D ．P Q M R N <<<< 二、填空题 1．函数23(0)1xy x x x =<++的值域是 。
2．若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是3．已知1,,1a b c -<<，比较ab bc ca++与1-的大小关系为 .4．若0a >，则1a a+的最大值为 。
5．若,,x y z 是正数,且满足()1xyz x y z ++=，则()()x y y z ++的最小值为______。
三、解答题1． 设,,a b c R +∈，且a b c +=，求证：222333ab c +>2．已知a b c d >>>，求证：1119a b b c c a a d++≥----3．已知,,a b c R +∈，比较333ab c ++与222a b b c c a ++的大小.4．求函数y =的最大值。
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数学选修4-5 不等式选讲[提高训练C 组]姓名 班级 得分一、选择题(每题5分共50分）1 若xlog y 2=-，则x y +的最小值是（ ）A 3322 B 3323C 233 D3222a ,b ,cR +∈，设a b c dS a b c b c d c d a d a b=+++++++++++，则下列判断中正确的是（ ）A 0S 1<<B 1S 2<<C 2S 3<<D 3S 4<<3 若x 1>，则函数2116xy x x x 1=+++的最小值为（ ） A 16 B 8 C 4 D 非上述情况4 设b a 0>>，且222P 11ab=+，2Q 11ab=+， M ab =， a bN 2+=，22a b R 2+=，则它们的大小关系是（ ）A P Q M N R <<<<B Q P M N R <<<<C P M N Q R <<<<D P Q M R N <<<<5 设,a b c n N >>∈，且ca n cb b a -≥-+-11恒成立，则n 的最大值是（ ）A 2 B 3 C 4 D 66 若(,1)x ∈-∞，则函数22222x x y x -+=-有（ ）A 最小值1B 最大值1C 最大值1-D 最小值1-7 设2P =，73Q =-，62R =-，则,,P Q R 的大小顺序是（ ）AP Q R>> BP R Q>>CQ P R>>D Q R P>>18 设不等的两个正数,a b 满足3322a b a b-=-，则a b +的取值范围是（ ） A(1,)+∞ B4(1,)3C 4[1,]3D(0,19 设,,a b c R +∈，且1a b c ++=，若111(1)(1)(1)Mabc=---，则必有（ ）A108M ≤<B118M ≤< C 18M≤< D8M ≥10 若,a b R +∈，且,a b a b Mba≠=+,N a b=+，则M 与N 的大小关系是A M N >B M N <C M N ≥D M N ≤二、填空题（每题4分共20 分）1 函数23x y (x 0)x x 1=<++的值域是2 若a,b,c R +∈，且a b c 1++=，则a b c ++的最大值是3 已知1a ,b ,-<<，比较a b bc ++与1-的大小关系为4 若a 0>，则2211a a a a+-+的最大值为 5 若x ,y,z 是正数，且满足x yz (x y z )1++=，则(x y )(y z )++的最小值为______三、解答题（1-5每题10分6-7每题15分共80分） 1 设a,b,c R +∈，且a b c +=，求证：222333a b c +>12 已知a b c d >>>，求证：1119a b b c c a a d++≥----3 求函数y 3x 546x =-+-的最大值4 已知x,y,z R ∈，且222x y z 8,x y z 24++=++=. 求证：444x 3,y 3,z 3333≤≤≤≤≤≤5.已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=试求a 的最值6已知c b a ,,均为正数，证明：36)111(2222≥+++++cbac b a ，并确定cb a ,,为何值时，等号成立。
7已知函数()||f x x a =-。
（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值； （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()(5)f x f x m ++≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
数学选修4-5 不等式选讲（参考答案）[提高训练C 组]一、选择题1 A 由x log y 2=-得21y x=，而3332221x x 1x x 113x y x 332222242xxx+=+=++≥⋅⋅==2 Babcda b c b c d c d a d a b+++++++++++a b c da b c d1a b c d b c d a c d a b d a b c a b cd+++>+++==+++++++++++++++ 即S 1>，a a a b c a c <+++，c c c d a a c <+++，b bb c d b d<+++，d dd a b d b <+++ 得a c c a 1a b cc d aa ca c +<+=++++++，b d d b 1b c dd a bd bb d+<+=++++++即a bcd2a b cb c d c d a d a b+++<++++++++，得S 2<，所以1S 2<<3 B2116x 116y x x 21681x x x 1x x=++=++≥=++4 A R 为平方平均数，它最大 二、填空题1 [3,0)- 23x 3y 1x x 1x 1x ==++++，1x 0,x 2,x<∴+≤- 得1x 11x++≤-1310303y 011x 1x 1x x -≤<⇒-≤<⇒-≤<++++2 3 2222(1a 1b 1c )(111)(a bc )3⋅+⋅+⋅≤++++= 3 > 构造单调函数f (x)(b c)x bc 1=+++，则f (1)(1b)(1c)0=++>，f (1)(1b)(1c)(1b)(1c)0-=-+-+=-->，即1x 1-<<，f (x )0>恒成立， 所以f (a)(b c)a bc 10=+++>，即ab bc ca 1++>-4 22- 设221a t(t 2)a +=≥，则2221a ta+=，即21a t 2a+=+再令22211y a a t 2t(t 2)aa=+-+=+-≥，'2t y 10t 2=-<+即t [2,)∈+∞时，y 是t 的减函数，得t 2=时，m ax y 22=-5 2 2(x y )(y z )x yy y z z x y (x y z )z x2y (x y z )z x2++=+++=+++≥++=三、解答题1 证明：a b a ,b,c R ,1c c+∈+=222333a b 01,01,a ,b ,c 0cc∴<<<<>2222333323a b ababa b()()1ccc c cc ++=+>+==， 222333abc ∴+>2 证明：a b c d,a b 0,b c 0,c d 0>>>∴->->->111111()(a d)()[(a b)(b c)(c d)]a bb cc aa bb cc a∴++-=++-+-+-------3311133(a b)(b c)(c d )9a bb cc a≥⋅⋅⨯---=---1119a bb cc aa d∴++≥----3 解：取两组数：a ,b,c 与222a ,b ,c ，显然333a b c ++是同序和，222a b b c c a ++是乱序和，所以333222a b c a b b c c a ++≥++ 4 解：函数的定义域为[5,6]，且y 0>y 3x 546x=⨯-+⨯-222234(x 5)(6x )5≤+⨯-+-= max y 5=5 证明：显然2222(x y)(x y )x y 8z,xy z 8z 202+-++=-==-+x ,y ∴是方程22t (8z)x z 8z 200--+-+=的两个实根， 由0≥ 得4z 43≤≤，同理可得4y 43≤≤，4x 43≤≤证明：利用柯西不等式()23131312222222222ab ca ab bc c ⎛⎫++=++ ⎪⎝⎭[]222333222a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥≤++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ()()2333a b ca b c =++++ ()1a b c ++=又因为 222a b c ab bc ca ++≥++ 在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：()()2223a b c a b c ++≤++()()()22223332223a b ca b cab c++≤++∙++故2223333a b ca b c ++++≥。