函数的图象3
二次函数的图象和性质(3)
二次函数的图象和性质（3）一、学习目标：1、经历探索二次函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2 (a≠0)的图象作法和性质的过程。
2、能够理解函数y＝ax2＋k(a≠0)及y＝a(x+m)2 (a≠0)与y＝ax2的图象的关系，理解a,m,k 对二次函数图象的影响。
3、能正确说出函数y＝ax2＋k, y＝a(x+m)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。
二、学习重点：二次函数y＝ax2＋k, y＝a(x－m)2的图象的性质三、学习难点：与y＝ax2的关系的理解及应用。
四、教学过程：1、情境创设。
(1)提出问题，展示反映函数关系式y＝ax2＋k中，变量x、y的数量变化规律的表格，画二次函数y＝ax2＋k的图象。
(2)提出问题，展示函数关系式y＝a(x＋m)2中变量x、y的数量变化规律的表格，从而画出二次函数y＝a(x＋m)2的图象2、探索活动(1)操作：填表、描点，画出函数y＝x2＋1的图象，(2)观察：函数y＝x2＋1的图象与函数y＝x2的图象的位置关系(3)思考：从表格中的数值看，相同自变量所对应的两个函数的函数值有何关系？从点的位置看，两个函数的图象的位置有何关系？(4)归纳结论结论如下：(1)函数y＝ax2(a≠0)和函数y＝ax2＋c(a≠0)的图象形状相同，只是位置不同，把y＝ax2的图象沿y轴向上(当c>0)或向下(c<0)平移|c|个单位就得到y＝ax2＋c的图象。
(2)抛物线y＝ax2＋c(a≠0)的性质①抛物线y＝ax2＋c(a≠0)的对称轴是y轴，顶点坐标是(0,c)②当a>0时，抛物线开口向上，并向上无限伸展当a＜0时，抛物线开口向下，并向下无限伸展③当a＞0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小；在对称轴的右则，y随x的增大而增大，这时，当x=0时，y有最小值c当a＜0时，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右则，y随x的增大而减小，这时，当x=0时，y有最大值c3、例题精析例：在同一直角坐标系内，画出下列函数的图象，并归纳出相关结论(1)y＝12(x+1)2(2) y＝12(x－2)2解：列表：画图评注：(1)抛物线y=a(x+m)2(a≠0)与抛物线y＝ax2(a≠0)的形状一样，只是位置不同，因此抛物线y=a(x+m)2可通过平移抛物线y＝ax2(a≠0)得到。
初中高中数学七大函数的性质 图像
初中高中数学七大函数的性质图像1.一次函数(包括正比例函数)最简单最常见的函数，在平面直角坐标系上的图象为直线。
定义域（下面没有说明的话，都是在无特殊要求情况下的定义域）：R值域：R奇偶性：无周期性：无平面直角坐标系解析式(下简称解析式):①ax+by+c=0[一般式]②y=kx+b[斜截式]（k为直线斜率，b为直线纵截距，正比例函数b=0）③y-y1=k(x-x1)[点斜式]（k为直线斜率,(x1,y1)为该直线所过的一个点）④（y-y1）/(y2-y1)=(x-x1)/(x2-x1)[两点式]（（x1,y1）与（x2,y2）为直线上的两点）⑤x/a-y/b=0[截距式]（a、b分别为直线在x、y轴上的截距）解析式表达局限性：①所需条件较多（3个）；②、③不能表达没有斜率的直线（平行于x轴的直线）；④参数较多，计算过于烦琐；⑤不能表达平行于坐标轴的直线和过圆点的直线。
倾斜角：x轴到直线的角（直线与x轴正方向所成的角）称为直线的倾斜角。
设一直线的倾斜角为a，则该直线的斜率k=tg(a)。
2.二次函数：题目中常见的函数，在平面直角坐标系上的图象是一条对称轴与y轴平行的抛物线。
定义域：R值域：（对应解析式，且只讨论a大于0的情况，a小于0的情况请读者自行推断）①[(4ac-b^2)/4a，正无穷）；②[t，正无穷）奇偶性：偶函数周期性：无解析式：①y=ax^2+bx+c[一般式]⑴a≠0⑵a＞0，则抛物线开口朝上；a＜0，则抛物线开口朝下；⑶极值点：（-b/2a，(4ac-b^2)/4a）；⑷Δ=b^2-4ac,Δ＞0，图象与x轴交于两点：（[-b+√Δ]/2a，0）和（[-b+√Δ]/2a，0）；Δ＝0，图象与x轴交于一点：（-b/2a，0）；Δ＜0，图象与x轴无交点；②y=a(x-h)^2+t[配方式]此时，对应极值点为（h，t），其中h=-b/2a，t=(4ac-b^2)/4a）；3.反比例函数在平面直角坐标系上的图象为双曲线。
3. 指数函数图像
当0 x 1 时，y 0 ;当x 1 时，y 0 , 故选B
4.翻折变化：
1 y f x 去掉y 轴左边图，保 留y 轴右 边图 y f x 将y 轴右边的图像翻折到左边去
① f x ex f x = e x
② f x = e x f x 2 = e x-2
指数函数的图象
知识点
1.当 当0a
1 a
时， 底数a 越大，图象在x 1 时，底数a 越小，图象在x
0
时越接近y 轴，在x 0 0 时越接近x 轴，在x
时越接近x 轴 0 时越接近y 轴
2.平移变换：左加右减
1 f x 向左平移a 个单位 f x a 2 f x 向上平移 a个单位 f x a 3 f x 向右平 移 a个单位 f x a 4 f x 向下平移a个单位 f x a
解析：① 有界性：由函数的定义域得x 0 , A错； 当x 0 时，y 0 ,B错;
② 指数爆炸，当x , y 0 ,D错
例7 函数y x3 x 2 x 的图象大致是
解析：① 奇偶性：f x x3 x 2 x f x ,故函数为奇函数，C错； ② 有界性：令y 0 ,则 x3 x 2 x 0
D. a b 1 d c
例2 已知1 n m 0 ,则指数函数① y mx ,
② y nx 的图象为
例3 已知函数y ax b a 0且 a 1 的图象经过
第二、三、四象限，则有
A. 0 a 1 ,b 1
高考第一轮复习数学三角函数的图象与性质三
9.已知P1,cosx,Qcosx,1,x∈－ , .
1求向量 和 的夹角θ的余弦用x表示的函数fx；
2求θ的最值.
解：1∵ · =2cosx,
| |·| |=1+cos2x,
∴fx=cosθ= .
2cosθ= = ,
x∈－ , ,cosx∈ ,1.
∴2≤cosx+ ≤ , ≤fx≤1,即 ≤cosθ≤1.
解：定义域为R,又fx+f－x=lg1=0,
即f－x=－fx,∴fx为奇函数.
评述：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.
例2求下列函数的单调区间：
1y= sin － ；2y=－｜sinx+ ｜.
剖析：1要将原函数化为y=－ sin x－ 再求之.2可画出y=－|sinx+ |的图象.
3.判断y=－Asinωx+ ω＞0的单调区间,只需求y=Asinωx+ 的相反区间即可,一般常用数形结合.而求y=Asin－ωx+ －ω＜0单调区间时,则需要先将x的系数变为正的,再设法求之.读者考虑为什么
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教学点睛
本节是图象和性质的综合应用的内容,例题讲解要突出数形结合思想、化归转化思想、分类讨论等数学思想方法,并注意三角知识的载体作用,注意和其他知识间的关联.
解析：显然fx为偶函数,结论①错.
对于结论②,当x=1000π时,x＞2003,sin21000π=0,∴f1000π= － 1000π＜ ,因此结论②错.
又fx= － |x|+ =1－ cos2x－ |x|,－1≤cos2x≤1,
∴－ ≤1－ cos2x≤ .
故1－ cos2x－ |x|＜ ,即结论③错.
函数的图象训练题(3)
函数的图象（3）一．解答题（共30小题）1．小明骑单车上学，当他骑了一段路时，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的某书店，买到书后继续去学校．以下是他本次上学所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小明家到学校的路程是多少米？（2）在整个上学的途中哪个时间段小明骑车速度最快，最快的速度是多少米/分？（3）小明在书店停留了多少分钟？（4）本次上学途中，小明一共行驶了多少米？一共用了多少分钟？2．某机动车出发前油箱内有油42L，行驶若干小时后，在途中加油站加油若干升．油箱中余油量Q（L）与行驶时间t（h）之间的函数关系如图所示，根据如图回答问题：（1）机动车行驶几小时后加油？加了多少油？（2）试求加油前油箱余油量Q与行驶时间t之间的关系式；（3）如果加油站离目的地还有230km，车速为40km/h，要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由．3．如图所示，是反映了爷爷每天晚饭后从家中出发去散步的时间与距离之间的关系的一幅图．（1）如图反映了哪两个变量之间的关系？（2）爷爷从家里出发后20分钟到30分钟可能在做什么？（3）爷爷每天散步多长时间？（4）爷爷散步时最远离家多少米？（5）分别计算爷爷离开家后的20分钟内、30分钟内、45分钟内的平均速度．4．李大爷按每千克2.1元批发了一批蜜橘到镇上出售，为了方便，他带了一些零钱备用．他先按市场价售出一些后，又降低出售．售出蜜橘千克数x与他手中持有的钱数y元（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列问题：（1）李大爷自带的零钱是元；（2）降价前他每千克蜜橘出售的价格是元/千克；（3）卖了几天，南丰蜜橘卖相不好了，随后他按每千克下降1.5元将剩下的蜜橘售完，这时他手中的钱（含备用的钱）是450元，问他一共批发了多少千克的蜜橘？5．甲、乙两地相距210千米，一辆货车将货物由甲地运至乙地，卸载后返回甲地．若货车距乙地的距离y（千米）与时间t（时）的关系如图所示，根据所提供的信息，回答下列问题：（1）货车在乙地卸货停留了多长时间？（2）货车往返速度，哪个快？返回速度是多少？6．某地某天的温度变化情况如图所示，观察表格回答下列问题：（1）上午9时的温度是，12时的温度是；（2）这一天时的温度最高，最高温度是；这一天时的温度最低，最低温度是；（3）这一天的温差是，从最高温度到最低温度经过了；（4）在什么时间范围内温度在上升？；在什么时间范围内温度在下降？（5）图中A点表示的是什么？B点呢？（6）你能预测次日凌晨1时的温度吗？说说你的理由．．7．2016年全国中小学生“安全教育日”主题：“强化安全意识，提升安全素养”，小刚骑单车上学，当他骑了一段，想起要买某本书，于是又折回到刚经过的新华书店，买到书后继续去学校．以下是他本次所用的时间与路程的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）小刚家到学校的路程是米；小刚在书店停留了分钟；（2）本次上学途中，小刚一共行驶了米；一共用了分钟；（3）我们认为骑单车的速度超过300米/分就超过了安全限度．问：在整个上学的途中哪个时间段小刚骑车速度最快，速度在安全限度内吗？请给小刚提一条合理化建议．8．小明某天上午9时骑自行车离开家，15时回家，他描绘了离家的距离与时间的变化情况．（1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）10时和13时，他分别离家多远？（3）他到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（4）11时到12时他行驶了多少千米？（5）他由离家最远的地方返回时的平均速度是多少？9．已知某函数图象如图所示，请回答下列问题：（1）自变量x的取值范围是（2）函数值y的取值范围是；（3）当x=0时，y的对应值是；（4）当x为时，函数值最大；（5）当y随x增大而增大时，x的取值范围是；（6）当y随x的增大而减少时，x的取值范围是．10．周末，小明从家骑自行车去图书馆，当他骑了一段时间，想起要买只笔，于是折回到刚经过的文具店，买到笔后，继续骑行到达图书馆．他离家的距离s（m）与所有时间t（min）之间的关系如图所示．请根据图中提供的信息，回答下列问题：（1）小明家距离图书馆m，小明在文具店停留了min；（2）本次取图书馆的途中，小明一共骑行了多少米？（3）若小明从文具店出来后，仍然按照原来的速度骑行，求小明从家到图书馆用了多长时间．11．陈杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学离家距离与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）陈杰家到学校的距离是米？陈杰在书店停留了分钟？本次上学途中，陈杰一共行驶了米？（3）在整个上学的途中哪个时间段陈杰骑车速度最快？最快的速度是多少米？（4）如果陈杰不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟？本次上学比往常多用多少分钟？12．如图所示，A，B两地相距50千米，甲于某日下午1时骑自行车从A地出发驶往B地，乙也于同日下午骑摩托车按同路从A地出发驶往B地，如图所示，图中的折线OPQ和线段MN分别表示甲、乙所行驶的路程S与该日下午时间t之间的关系．根据图象回答下列问题：（1）甲和乙出发的时间相差小时？（2）（填写“甲”或“乙”）更早到达B城？（3）乙出发大约小时就追上甲？（4）描述一下甲的运动情况；（5）请你根据图象上的数据，求出甲骑自行车在全程的平均速度．13．甲、乙两人从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离s（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的关系的图象如图所示，且甲停止一段时间后再次行走的速度是原来的一半，回答下列问题：（1）求乙的速度？（2）甲中途停止了多长时间？（3）两人相遇时，离B地的路程是多少千米？14．某农民带了若干千克土豆进城出售，为了方便，他带了一些零用钱备用，他先按市场价卖出一些后，又降价卖，卖出土豆千克数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系如图所示．结合图象回答下列问题：（1）该农民自带的零钱是多少？（2）降价前土豆的单价是多少？（3）降价后他按每千克0.4元将剩余下的土豆售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆？15．如图是甲、乙两人同一地点出发后，路程随时间变化的图象．（1）此变化过程中，是自变量，是因变量．（2）甲的速度乙的速度．（大于、等于、小于）（3）6时表示；（4）路程为150km，甲行驶了小时，乙行驶了小时．（5）9时甲在乙的（前面、后面、相同位置）（6）乙比甲先走了3小时，对吗？．16．如图反映的是小刚从家里跑步去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后走回家，其中x表示时间，y表示小刚离家的距离．根据图象回答下列问题：（1）体育场离小刚家千米，小刚在体育场锻炼了分钟．（2）体育场离文具店千米，小刚在文具店停留了分钟．（3）小刚从家跑步到体育场、从体育场走到文具店、从文具店散步回家的速度分别是多少？17．如图反映的是小华从家里跑步去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后走回家，其中x表示时间，y表示小华离家的距离．根据图象回答下列问题：（1）小华在体育场锻炼了分钟；（2）体育场离文具店千米；（3）小华从家跑步到体育场、从文具店散步回家的速度分别是多少千米/分钟？18．小华某天上午9时骑自行车离开家，17时回家，他有意描绘了离家的距离与时间的变化情况，如图所示．（1）图象表示了哪两个变量的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？（2）10时和11时，他分别离家多远？（3）他最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（4）11时到13时他行驶了多少千米？19．一天之中，海水的水深是不同的，如图是某港口从0时到12时的水深情况，结合图象回答下列问题：（1）如图描述了哪两个变量之间的关系？其中自变量是什么？因变量是什么？（2）大约什么时刻港口的水最深？深度约是多少？（3）图中A点表示的是什么？（4）在什么时间范围内，水深在增加？什么时间范围内，水深在减少？20．清明小长假的第二天上午8时，小张自驾小汽车从家出发，带全家人去离家200千米的一个4A级景区游玩，小张驾驶的小汽车离家的距离y（千米）与时间t（时）之间的关系如图所示，请结合图象解决下列问题：（1）小张全家在景区游玩了小时．（2）小张在去景区的路上加油并休息后，平均速度达到100千米/小时，问他加油及休息共用了多少小时？（3）小张全家什么时间回到家中？21．如图是某地区春季某天的气温随时间的变化图象．请根据图象回答：（1）何时气温最低？最低气温为多少？（2）当天的最高气温是多少？这一天的最大温差是多少？（3）这天晚上的天气预报说，将有一股冷空气袭击该地区，第二天气温将下降10℃～12℃．请你估计第二天该地区的最高气温不会高于多少，最低气温不会低于多少，第二天的最小温差是多少．22．小明同学骑自行车去郊外春游，如图表示他离家的距离y（千米）与所用的时间x（小时）之间关系的函数图象．（1）根据图象回答：小明到达离家最远的地方需小时，（2）小明出发两个半小时离家千米．（3）小明出发小时离家12千米．23．星期天，玲玲骑自行车到郊外游玩，她离家的距离与时间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题．（1）玲玲到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？（2）她何时开始第一次休息？休息了多长时间？（3）她骑车速度最快是在什么时候？车速多少？（4）玲玲全程骑车的平均速度是多少？24．小凡与小光从学校出发到距学校5千米的图书馆看书，途中小凡从路边超市买了一些学习用品，如图反应了他们俩人离开学校的路程s（千米）与时间t（分钟）的关系，请根据图象提供的信息回答问题：（1）l1和l2哪一条是描述小凡的运动过程，说说你的理由；（2）小凡和小光谁先出发，先出发了多少分钟？（3）小凡与小光谁先到达图书馆，先到了多少分钟？（4）小凡与小光从学校到图书馆的平均速度各是多少千米/小时？（不包括中间停留的时间）25．端午节至，甲、乙两队举行了一年一度的赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程S（米）与时间t（分钟）之间的函数关系图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：（1）这次龙舟赛的全程是米，队先到达终点；（2）求乙与甲相遇时乙的速度；（3）求出在乙队与甲相遇之前，他们何时相距100米？26．某天早晨，王老师从家出发步行前往学校，途中在路边一小吃店用早餐，如图是王老师从家到学校这一过程中的所有路程s（米）与时间t（分）之间的关系．（1）他家与学校的距离为米，从家出发到学校，王老师共用了分钟；（2）王老师从家出发分钟后开始用早餐，花了分钟；（3）王老师用早餐前步行的速度是米/分，用完早餐以后的速度是米/分．27．如图表示一辆汽车在行驶途中的速度v（千米/时）随时间t（分）的变化示意图：（1）从点A到点B、点E到点F、点G到点H分别表明汽车在什么状态？（2）分段描述汽车在第0分种到第28分钟的行驶情况；（3）汽车在点A的速度是多少？在点C呢？28．如图所示，图象反映的是：张阳从家里跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后走回家，其中x表示时间，y表示张阳离家的距离．根据图象回答下列问题：（1）体育场离张阳家千米；（2）体育场离文具店千米；张阳在文具店逗留了分钟；（3）请计算：张阳从文具店到家的平均速度为每小时多少千米？29．某周末的一天，小明全家上午8时自驾小汽车从家里出发，到距离180千米的某旅游景点游玩．该校汽车离家的距离s（千米）与时间t（时）的关系可以用图中的折线表示．根据图象提供的有关信息，解答下列问题：（1）小明全家在旅游景点游玩了小时．（2）返程途中小汽车的速度是每小时千米，小明全家到家时的时间是时．（3）若出发时汽车油箱中存油15升，该汽车的油箱总容量为40升，汽车每行驶1千米耗油升．汽车行驶时油箱中的余油量不能少于5升，小明家最迟应在时加油．（加油所用时间忽略不计）30．陈杰骑自行车去上学，当他以往常的速度骑了一段路时，忽然想起要买某本书，于是又折回到刚经过的一家书店，买到书后继续赶去学校．以下是他本次上学所用的路程与时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：（1）陈杰家到学校的距离是多少米？书店到学校的距离是多少米？（2）陈杰在书店停留了多少分钟？本次上学途中，陈杰一共行驶了多少米？（3）在整个上学的途中哪个时间段陈杰骑车速度最快？最快的速度是多少米？（4）如果陈杰不买书，以往常的速度去学校，需要多少分钟？本次上学比往常多用多少分钟？2017年01月22日枫行天下的初中数学组卷2参考答案一．解答题（共30小题）1．；2．；3．；4．50；3.5；5．；6．27℃；31℃；15；37℃；3；23℃；14℃；12；3时到15时；0时到3时；A点表示的是21时的温度是31℃，B点表示的是0时的温度是26℃；根据图形的变化趋势；7．1500；4；2700；14；8．；9．-4≤x≤3；-2≤y≤4；3；1；-2≤x≤1；-4≤x≤-2和1≤x≤3；10．1600；4；11．1500；4；2700；12．1；乙；；13．；14．；15．t；s；小于；乙追赶上了甲；9；4；后面；不对；16．2.5；15；1；20；17．15；1；18．；19．；20．4.5；21．；22．3；22.5；小时或小时；23．；24．；25．1000；乙；26．1000；25；10；10；50；100；27．；28．2.5；1；20；29．4；60；17；9；30．；。
19.1.3 函数的图象(3)
（1）由记录表推出这5小时中水位高度y（单位：米）随时 间t（单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象； （2）据估计按这种上涨规律还会持续上涨2小时，预测再 过2小时水位高度将达到多少米？ 解： （2）y=0.05×7+10 =10.35 由此题可以看出，函数的 由函数图象也能 估出这个值！ 不同表示法之间可以转化！
通过前面的学习，函数的方法有几种？
用列表格、写式子和画图象的方法表示一些函数。 用表格表示函数的方法叫做列表法；
用式子表示函数的方法叫做解析法， 这个式子称为函数的解析式； 用图象表示函数的方法叫做图象法。
函数的三种表示方法：列表法、解的水位在最近5小时内持续上涨，下表记 录了这5小时的水位高度：
5
s 240 20t
0≤t≤12
80 6
用列表法与解析法表示n边形的内角的m（单位：度） 是边数n的函数。
用解析法与图象法表示等边三角形的周长 l 是边长a的函数。
解：（1）从图象中观察得知：自变量
X的取值范围是：0≤x≤5 （2）从图象中观察得知： 当 x = 3 时，y 有最小值，最小值 y = 2.5 （3）从图象中观察得知：y 随着 x 的增大而增大。
（1）由记录表推出这5小时中水位高度y（单位：米）随时 间t（单位：时）变化的函数解析式，并画出函数图象； （2）据估计按这种上涨规律还会持续上涨2小时，预测再 过2小时水位高度将达到多少米？ 解： （1）y=0.05t+10 （0≤t≤5）
10.25
5 5
一水库的水位在最近5小时内持续上涨，下表记 录了这5小时的水位高度：
浙教版-数学-九年级上册-1.2二次函数的图象(3)同步练习含答案
1.2 二次函数的图象(三)1．抛物线y ＝2x 2－5x ＋6的对称轴是(A )A. 直线x ＝54B. 直线x ＝52C. 直线x ＝－54D. 直线x ＝－522．将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －m )2＋k 的形式，结果为(D )A. y ＝(x ＋1)2＋4B. y ＝(x ＋1)2＋2C. y ＝(x －1)2＋4D. y ＝(x －1)2＋23．二次函数y ＝－2x 2＋4x －9的图象的最高点的纵坐标是(B ) A. 7 B. －7 C. 9 D. －94．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是(C )(第4题)A. a ＞0B. c ＜0C. x ＝3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根D. ab c>05．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ，b ，c 为常数且a ≠0)的图象如图所示，则一次函数y ＝ax＋b 与反比例函数y ＝cx的图象可能是(C )（第5题）6．已知抛物线y ＝ax 2＋x ＋2经过点(－1，0)． (1)求a 的值，并写出这条抛物线的顶点坐标．(2)若点P (t ，t )在抛物线上，则点P 叫做抛物线上的不动点，求出这个抛物线上所有不动点的坐标．【解】 (1)把点(－1，0)的坐标代入y ＝ax 2＋x ＋2中，得a ＝－1.∴此抛物线的函数表达式为y ＝－x 2＋x ＋2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋94，其顶点坐标是⎝⎛⎭⎫12，94. (2)把点P (t ，t )的坐标代入y ＝－x 2＋x ＋2中， 得t ＝－t 2＋t ＋2，解得t 1＝2，t 2＝－ 2.∴此抛物线上的不动点有两个，即点P 1(2，2)，P 2(－2，－2)．7．在平面直角坐标系中，把一条抛物线先向上平移3个单位，然后绕原点旋转180°得到抛物线y ＝x 2＋5x ＋6，则原抛物线的函数表达式是(A )A. y ＝－⎝⎛⎭⎫x －522－114 B. y ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋522－ 114 C. y ＝－⎝⎛⎭⎫x －522－14 D. y ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋522＋14 【解】用倒推法做．∵y ＝x 2＋5x ＋6＝⎝⎛⎭⎫x ＋522－14，∴它的顶点坐标为⎝⎛⎭⎫－52，－14.把该抛物线绕原点旋转180°，顶点坐标变为⎝⎛⎭⎫52，14，且开口向下，函数表达式变为y ＝－⎝⎛⎭⎫x －522＋14.再把它向下平移3个单位，得到y ＝－⎝⎛⎭⎫x －522－114. 8．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1和3，则下列结论正确的是(D )(第8题)A. 2a －b ＝0B. a ＋b ＋c ＞0C. 3a －c ＝0D. 当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形【解】 ∵抛物线与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1，3，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，即－b2a＝1，∴2a ＋b ＝0，故A 错误．当x ＝1时，y ＜0，即a ＋b ＋c ＜0，故B 错误． ∵点A 的坐标为(－1，0)，∴a －b ＋c ＝0. 又∵b ＝－2a ，∴a ＋2a ＋c ＝0， 即3a ＋c ＝0，故C 错误．∵当a ＝12时，b ＝－1，c ＝－32，∴抛物线的函数表达式为y ＝12x 2－x －32.把x ＝1代入，得y ＝12－1－32＝－2，∴点D 的坐标为(1，－2)．设对称轴x ＝1与x 轴的交点为E ，如解图，(第8题解)则AE ＝2，BE ＝2，DE ＝2，∴△ADE 和△BDE 都是等腰直角三角形， ∴∠DAE ＝∠DBE ＝45°，∴△ABD 是等腰直角三角形，故D 正确．9．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象经过点A (2，4)，B (6，0)． (1)求a ，b 的值．(2)若C 是该二次函数图象上A ，B 两点之间的一动点，横坐标为x (2＜x ＜6)，请写出四边形OACB 的面积S 关于点C 的横坐标x 的函数表达式，并求S 的最大值．(第9题)【解】 (1)将点A (2，4)，B (6，0)的坐标分别代入y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝4，36a ＋6b ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝3.(2)如解图，过点A 作x 轴的垂线，垂足为D (2，0)，过点C 作CE ⊥AD ，CF ⊥x 轴，垂足分别为E ，F ，连结AC ，BC ，C D.(第9题解)则S △OAD ＝12OD ·AD ＝12×2×4＝4，S △ACD ＝12AD ·CE ＝12×4×(x －2)＝2x －4，S△BCD＝12BD·CF＝12×(6－2)×⎝⎛⎭⎫－12x2＋3x＝－x2＋6x，∴S＝S△OAD＋S△ACD＋S△BCD＝4＋2x－4－x2＋6x＝－x2＋8x，∴S关于x的函数表达式为S＝－x2＋8x(2＜x＜6)．∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16，∴当x＝4时，四边形OACB的面积S有最大值，最大值为16.10．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1，0)，C(0，3)两点，与x轴交于点B.(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的函数表达式．(2)在抛物线的对称轴直线x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标．(3)设P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．(第10题)【解】(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧－b2a＝－1，a＋b＋c＝0，c＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a＝－1，b＝－2，c＝3.∴抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋3.∵抛物线的对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过点A(1，0)，∴点B(－3，0)．把点B(－3，0)，C(0，3)的坐标分别代入y＝mx＋n，得⎩⎪⎨⎪⎧－3m＋n＝0，n＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧m＝1，n＝3.∴直线BC的函数表达式为y＝x＋3.(第10题解)(2)∵点A与点B关于直线x＝－1对称，∴直线BC与对称轴x＝－1的交点就是使MA ＋MC的值最小的点M.把x＝－1代入y＝x＋3，得y＝2，∴点M (－1，2)．(3)如解图，设点P (－1，t )． ∵点B (－3，0)，C (0，3)，∴BC 2＝18，PB 2＝(－1＋3)2＋t 2＝4＋t 2，PC 2＝(－1)2＋(t －3)2＝t 2－6t ＋10.①若点B 为直角顶点，则BC 2＋PB 2＝PC 2，即18＋4＋t 2＝t 2－6t ＋10，解得t ＝－2. ②若点C 为直角顶点，则BC 2＋PC 2＝PB 2，即18＋t 2－6t ＋10＝4＋t 2，解得t ＝4. ③若点P 为直角顶点，则PB 2＋PC 2＝BC 2，即4＋t 2＋t 2－6t ＋10＝18，解得t 1＝3＋172，t 2＝3－172.综上所述，点P 的坐标为(－1，－2)或(－1，4)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1， 3＋172 或⎝ ⎛⎭⎪⎫－1， 3－172.。
函数图像
S = x2(x>0)
1、列表：
x s
0 0 0.5 0.25 1 1 1.5 2 2.5 3 …
2、描点：
s
5
2.25
4 6.25
9 …
4
用平滑曲线去
3、连线：
3
用空心圈表示 不在曲线的点
连接画出的点
2 1 -1 0 -1 1 2 3 4 5x
-5
-4 -3
-2
归纳 函数的图象的意义：
一般地，对于一个函数，如果把自变量 与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和 纵坐标，那么坐标平面内由这些点组 成的图形就是这个函数的图象。
x/分
巩固练习：
1、画出下列函数的图象 （1）y = -2x -1 （ 2） y =
3 x
（3）y = x²+2
2、选择：
（1）你一定知道“乌鸦喝水”的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些 水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石 子放入瓶中（如图1），瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌 鸦喝到了水.但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度， 乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了 水，哇哇地飞走了.如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的 高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是（ ）.
x/分
应用举例
问题3：菜地离玉米地多远？小明从菜地走 到玉米地用了多少时间？
y/千米
解：由纵坐标看出，菜地离玉米地0.9千米，由横坐标看出， 小明从菜地到玉米地用了12分钟。
2
C A B
D
1.1
O
0 15 25 37 55
E
80
x/分
应用举例
一次函数的图象3
作业布置：
内：P156EX 4
外：课课练及补充习题。
y 0 x y 0 x2
3
y 0 x 0
y x
x3
A
B
C
D
仔细观察
y
4
y=2x+4
y=2x y=2x-2
1
3
2 1
-3
-2
-1 0 -1 -2
x
观察上述三个一次函数中常数k、b的值及三条直线 的位置关系,你有什么发现?
.
三条直线y=2x,y=2x-2,y=2x+4是互相平行的。
两条直线的位置关系：
过关练习
1.若正比例函数的图象经过（－l，5）那么这 y=-5x 个函数的表达式为__________，y的值随x 的减小而________. 增大 2.已知点（2，－1）是方程y=kx＋1的一个 解，则一次函数y=kx＋1的图象不经过第 （ C ）象限. A、一 B、二 C、三 D、四
过关练习
平面内两条直线的位置关系:平行或相交.
若两条直线为
k1 k2 ,b1 b2 当__________________时,两直线平行,当
k1 k2 _________时,两直线相交.
到的。
y1 k1 x b1和y2 k2 x b2
②直线y=kx+b是由直线y=kx向上或下平移│b│个单位得
A.第一、二、三象限. B.第一、二、四象限. C.第一、三、四象限. D.第二、三、四象限.
相信自己，你准行！
一次函数y=kx+b中，kb＜0,且y随x的增 大而减小，则它的图象大致为（D ）
y
0 x
y
0 x2
3
三角函数图像变换3(xin)
)的图像， 只须将 y sin 2x的图像（ 4
B、向右平移 8 个单位 D、向右平移 4 个单位
A
）
例4、 关于函数f ( x ) 4 sin( 2x )( x R ), 有下列命题： 3
①由f ( x1 ) f ( x 2 ) 0可得，x 1 x 2必是的整数倍； ② y f ( x )的表达式可改写为y 4 cos( 2x ); 6 ③ y f ( x )的图像关于( ,0 )对称; 6 ④ y f ( x )的图像关于直线x 对称； 6 其中正确的例题是：— — — — — —.
1、将函数y cos x的图象上每一个点的 横 坐标不变，
2 2 缩短到原来的 倍 ，可得到函数y cos x的图象. 纵 坐标 3 3
2 2、将函数y sin x图象上每一个点的横 坐标不变， 5 5 纵 坐标 伸长到原来的2 倍 ，可得到函数y sin x的图象.
例 1
A. y 2sin(4 x ) 1 3
，初相为
3
，
（ A）
C. y 2sin(4 x ) 1 3
B. y 2sin(4 x ) 1 3
D. y 2sin(4 x ) 1 3
已知函数y 2 sin(2 x
3
)
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
3
周期是 : 相位是:
π
2x 3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时,y max _______ ； 12 _____
［k
R
函数的图象(3)三种表示方法【精品课件】
用平面直角坐标系中的 一个图象来表示的．
（1）指出其中的两个变量是 时间t ， 气温T . （2）其中自变量 时,间t 是气温T 的时间函t数.
函数的三种表示法：图象法、列表法、解析式法．
y=2x+2
m/kg l/cm
01
2
3 3.5
…
10 10.5 11 11.5 11.75 …
思考：这三种表示函数的方法各有什么优缺点？
2.列表法
定义：用表格来表示函数关系的方法叫做列表法.
思考
用列表法表示函数有 什么优缺点？
列表法一目了然，使用起来比较方便，但列 出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之 间的对应规律.
3.图象法
定义：用图象来表示函数关系的方法叫做图象法.
思考
用图象法表示函数有 什么优缺点？
图象法形象直观，但只能近似的表达两个变 量之间的函数关系.
解：由于水位在最近5小时内持续 上涨，对于时间t的每一个确定的值， 水位高度y 都有 唯一 的值与其对应， 所以，y 是 t 的函数. 函数解析式为： y=3+0.3t . 自变量的取值范围是： 0≤ t ≤5. 它表示在这 5 小时内，水位 匀速上升的速度为 0.3m/h ，这个函数可以近似地表示水位的 变化规律.
活动二：典型例题 例题 一水库的水位在最近5 h 内持续上涨，下表记录 了这5 h 内6 个时间点的水位高度，其中 t 表示时间，y 表示水位高度．
t/h 0 1 2 3 4 5 y/m 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 （1）在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点， 这些点是否在一条直线上？由此你发现水位变 化有什么规律？
活动四：谈谈收获 列表法：反映了函数与自变 量的数值对应关系
三角函数图像
2π T= =π 2
练习：若函数 f ( x ) = sin ω x (ω > 0 )的最小 练习： 正周期为 2，求 ω 值。
解：因为 所以 T = 2π ω = 2 2π
ω
= 2
= π
例6 : 求函数f ( x ) = sin( x +
π
6
)的单调递增区间。 的单调递增区间。
练习： 练习：求函数 f ( x ) = cos( x −
π
3
)的单调递减区间。 的单调递减区间。
例 7 : 求函数 f ( x ) = sin( 2 x +
π
4
)的对称轴。 的对称轴。
练习： 练习：求函数 f ( x ) = cos( 2 x −
π
6
)的对称中心。 的对称中心。
的最小正周期， 例8 : 求函数 f ( x ) = sin x + 3 cos x的最小正周期，最 大值和最小值。 大值和最小值。
π
8
的单调递增区间。（ （ 2）求函数 f ( x )的单调递增区间。（
05 年全国） 年全国）
思考？ 思考？
4 对称中心。 区间, 对称轴 , 对称中心。 求函数 f ( x ) = sin(
π
的最小正周期， − 2 x )的最小正周期，单调递 增
四 小结
1 化简方向：化为同名同角三角函数。 化简方向：化为同名同角三角函数。 2 运用整体思想解决问题。 运用整体思想解决问题。 3 对称轴与最值有关，对称中心与零点有关。 对称轴与最值有关，对称中心与零点有关。 4 注意解题的规范性。 注意解题的规范性。
正弦、 正弦、余弦函数的图象
y
-4π -3π
14.1.3函数的图象(3)
为了加强公民的节水意识，我市制定 了如下用水收费标准：每户每月的用水 不超过10吨时，水价为每吨1.2元；超过 10吨时，超过的部分按每吨1.8元收费。 现有某户居民5月份用水x吨（x>10）应 交水费y元，求y关于x的函数关系式。
(－3,0) 4.函数y=2x＋6与x轴的交点坐标是______与y轴交点坐标 (0,6) 是_______
某电视机厂要印制一批产品宣传资料，甲厂提 出：每份资料收1元印制费，所有资料另收1500 元的制版费；乙厂提出：每份资料收2.5元印制 费，不收制版费。
（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份） 之间的关系式 （2）在同一直角坐标系内作出它们的图象 （3）根据图象回答下列问题： ①印制800份宣传资料，选择哪家印刷厂比较合算？ ②电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传资料，选择 哪家印刷厂宣传资料能多一些？
14.1.3函数的图像（3）
制作人： 李长君 授课人： 李长君 授课时间：11月9日
桦甸五中电子教案
1.理解函数的三种表示方法。
2.学会实际问题转化为数学问题，
加深对函数三种表示方法的认识。
复习回顾
1.购买一些铅笔，单价为2元/枝，总价y随铅笔 枝数x变化，写出函数关系式，并画出函数图象。 2.一个三角形的底边长5cm，高h可以任意伸缩， 写出面积S随h变化的关系式，并指出其中的常 量与变量，自变量与函数，以及自变量的取值 范围。 ） A (1，－2) B (－1，－4) C (2，0) D (0 ，1) 2.已知点A(2，3)在函数y=ax2－x＋1的图象上,则a=( A ) A1 B－1 C2 D－2 3.已知函数y=ax2＋bx的图象经过M(2，0)和N(1，－6)两 6 点，则a=_____b=_______ －12
人教初中数学八下 19.1.2 函数的图象教案3 【经典教学设计合编】
一、情境引入问题仓库里现有1000t 粮食，每天运进80t ，x(天)后仓库里一共有粮食y （t ） 1、y 与x 之间的关系式?2、说明y 随x 的变化情况吗？3、还有什么方法可描述它们的变化情况呢？4、怎样用描点法画出它的图象呢？ 二、探究新知1、怎样画出y=x +0.5的图象问题：点(-2，-1.5)是否在函数图象上？ 2、生独立完成画出)0(6>=x xy 的图象的过程 问题 ：点(2，6)是否在函数图象上？3、总结出画函数图像的步骤及其具体操作过程第一步 列表 表中给出一些自变量的值及其对应函数值第二步 描点 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
第三步 连线 按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来4、观察 y=x +0.5与)0(6>=x xy 的图象，两个函数图象由左到右的变化规律是什么？ y 是如何随 x 的变化而变化的？三、课堂训练1、如图是古代计时器----“漏壶”的示意图在壶内盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶壁内画出刻度，人们根据壶中水面的位置计算时间。
用x 表示时间，y 表示壶底到水面的高度，下面的哪个图象适合表示一小段时间内y 与x 的函数关系？2、如图所示的曲线，哪个表示y 是x 的函数（ ）yx yxyxyxBADC一、情境引入问题仓库里现有1000t 粮食，每天运进80t ，x(天)后仓库里一共有粮食y （t ） 1、y 与x 之间的关系式?2、说明y 随x 的变化情况吗？3、还有什么方法可描述它们的变化情况呢？4、怎样用描点法画出它的图象呢？ 二、探究新知1、怎样画出y=x +0.5的图象问题：点(-2，-1.5)是否在函数图象上？ 2、生独立完成画出)0(6>=x xy 的图象的过程 问题 ：点(2，6)是否在函数图象上？3、总结出画函数图像的步骤及其具体操作过程第一步 列表 表中给出一些自变量的值及其对应函数值第二步 描点 在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。
函数的图象(3)课件 2022-2023学年人教版七年级数学下册
新知探究
用列表法表示函数有什么优缺点？ 列表法一目了然，使用起来比较方便，
但列出的对应值是有限的，不易看出自变 量与函数之间的对应规律.
新知探究 3.图象法表示函数
例1 已知边长为x的正方形面积为S
求（1）面积S与边长x的函数解析;
S 16
（2）画出该函数的函数图象。
用解析式法表示函数时需要注意什么？
1.函数解析式是一个等式； 2.是用含自变量的式子表示函数； 3.要确定自变量的取值范围.
新知探究 2.列表法表示函数
例1 已知边长为x的正方形面积为S 求（1）面积S与边长x的函数解析; （2）画出该函数的函数图象。 解：（2）列表
x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 S 0 0.25 1 2.25 4 6.25 9 12.25 16
新知练习
1．要确切表示某市某天的气温与时间的函数关系用( C )
A．列表法
B．解析式法
C．图象法
D．以上都可以
2．下面是用列表法表示的 n 边形内角和 m 与边数 n 之间的关系：
n 3 4 5 6 7…
m 180° 360° 540° 720° 900° …
用解析式法表示为 m＝180°(n－2)(n≥3) ．
次数x 10 20 30 40 50 60 70
费用y
课堂练习
（1）试写出小明家一个月内电话费 y 与打电话次数 x 之 间的有关数据，填入表格并写出函数解析式.
次数x 10 20 30 40 50 60 70 费用y 24 24 24 26 28 30 32
24 (x≤30) y=
0.2x+18 (x＞30)
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（１）y甲=x+1500
Y（元） y乙=2.5x
３０００ ２５００
y乙=2.5x
y甲=x+1500
２０００
１５００ １０００ ５００
１５００ ２５００ O500 １０００ ２０００ ３０００
（份）
1、作出函数y=3－2x的图象，根据图象回答以下 问题：
减少 ①y值随x值的增大而__________ （ 1.5,0）与y ②图象与x轴的交点坐标是 _______, 轴的交点坐标是__________. （0，3） 2 1 ＜1.5 时,y＞0. ③当x_________
1、表示函数有哪些方法？
列表法、图象法、解析法
2、这几种表示函数的方法各有什么优点？ 列表法直接给出了部分函数值；
解析法明显地表示对应规律；
图象法明显地表示变化趋势。
例1、在“泰利”台风来临时，某水库的水位在最 近的5小时持续上涨，下表记录了这五小时的水位 高度。 1 2 3 4 5 t/时 0 y/米 10 10.05 10.10 10.15 10.20 10.25
y
x 1 3
O
2、用解析法与图象法表示等边三角形的周长L是 边长a的函数。 解：L=3a (a＞0)
函数的图象如图所示：
x y
0.5 1.5
1 3
我的困惑是。。。。。
(1) 观察记录表中的 6 组数值，你认为这两个变量之 间有什么关系？ (2)请你写出水位高度y（米）随时间t（时）变化的 函数解析式. (3)请你画出这个函数的图象 (4)请你预测一下，再过2小时，水位高度将达到多少 米？
例2、某电视机厂要印制一批产品宣传资料.甲厂提 出：每份资料收1元印制费，所有资料另收1500元的 制版费；乙厂提出：每份资料收2.5元印制费，不收 制版费. 1.分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份） 之间的关系式. 2.在同一直角坐标系内作出它们的图象. 3.根据图象回答以下问题： （1）印制800份宣传资料，选择哪家印刷厂比较合 算？ （2）电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传资料， 选择哪家印刷厂宣传资料能多印一些？