九年级下册数学课件(华师版)实践与探索
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华师版初中数学九年级下册第27章二次函数 27.3实践与探索4ppt华师大版
做一做
2、利用函数的图象求方程2x2－x－3＝0的解.
y x2
做一做
2、利用函数的图象求方程2x2－x－3＝0的解.
y x2
y 1x3 22
做一做
3、利用函数的图象求下列方程组的解：
（1） y
1 2
x
3 2
,
y x2 ;
（2） yy
3x 1, x2 x.
y x2 y 1x3 22
（1）
做一做
6、已知函数y=x2+kx-3的图象的顶点为C，并 与x轴相交于两点A、B，且AB=4。 (1)求实数k的值。 (2)若P为抛物线上的一个动点（除点C外）， 求使S△ABP=S△ABC成立的点P的坐标。
小结
在学习二次函数之时，要善于运用 图象，领会和运用数形结合的思想 方法。
寄语
生活是数学的源泉，探索是数学 的生命线.
5、已知抛物线
y a的x顶2点坐b标x为 c
（4，-1），与y轴交于点C（0，3）,O是原点.
（1）求这条抛物线的解析式;
（2）设此抛物线与x轴的交点为A、B，且点A在点B的左侧，问y轴上是否存在 点P， 使以O、B、P为顶点的三角形与⊿AOC相似?若存在，请求出点P的坐标； 若不存在，请说明理由.
作业
（1）x2＋x－1＝0（精确到0.1）； （2）2x2－3x－2＝0．
y x2
y x 1
（1）
做一做
1、利用图a，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理．
（1）x2＋x－1＝0（精确到0.1）； （2）2x2－3x－2＝0．
y x2
图a
做一做
1、利用图a，运用小刘的方法求下列方程的解，并检验小刘的方法是否合理．
九年级数学下册26.3实践与探索课件1(新版)华东师大版
由(2)(3)的讨论及现在的销 售情况,你知道应该如何定
价能使利润最大了吗?
答:综合以上两种情况，定价为65元时可 获得最大利润为6250元.
牛刀小试
某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价
30元销售,那么半个月内可以售出400件.根据销售经 验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高 1元,销售量相应减少20件.售价提高多少元时,才能在 半个月内获得最大利润?
解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元.则 y=(x+30-20)(400-20x)
=-20x2+200x+4000 =-20(x-5)2+4500 ∴当x=5时，y最大 =4500 答：当售价提高5元时，半月内可获最大利润4500元
创新学习
某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙 子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种 树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会 减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会 少结5个橙子.
2.(09中考)某超市经销一种销售成本为每 件40元的商品．据市场调查分析，如果按每 件50元销售，一周能售出500件；若销售单价 每涨1元，每周销量就减少10件．设销售单价 为x元(x≥50)，一周的销售量为y件．
4. 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 直线x=-4 ， 顶点坐标是 (-4 ，-1) 。当x=-4 时，函数有最 大 值 -1 。
5.二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 直线x=2 ，顶 点坐标是 (2 ，1) .当x= 2 时，函数有最 小 值，
是1 。
在日常生活中存在着许许多多的与数学知识有关的 实际问题。如繁华的商业城中很多人在买卖东西。
华东师大版九年级下册数学课件26.3实践与探索 (共19张PPT)
3、函数y=ax2+bx+c图像与x轴交点的横坐标就是 方程ax2+bx+c=0的解的近似值。
y x2 6x 9
y x2 2x 2
做一做 1.
求一元二次方程 x2 2x 1 0 的根的近似值（精确到0.1） 分析，一元二次方程 x2 2x 1 0 的根就是：抛物线 y x2 2x 1
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上 找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解得：x1 -3 x2 2
所以,函数y x2 x 6的图象与 x 轴的交
点坐标为（-3，0）和（2，0）.
观察二次函数 y x2 6x 9的图象和二次 函数 y x2 2x 2 的图象,分别说出一元二次
方程 x2 6x 9 0 和 x2 2x 2 0的根的情况.
确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1).用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象； (2).观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点 的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点, 其横坐标一个是-3,另一个在2与3之 间,分别约为3和2.5(可将单位长再十 等分,借助计算器确定其近似值). (3).确定方程2x2+x-15=0的解;
解：设二次函数 y x2 2x 1
作出函数图象 y x2 2x 1 的图象可以发现 抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个 在2与3之间
通过观察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横 坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数
y x2 6x 9
y x2 2x 2
做一做 1.
求一元二次方程 x2 2x 1 0 的根的近似值（精确到0.1） 分析，一元二次方程 x2 2x 1 0 的根就是：抛物线 y x2 2x 1
与x轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上 找出它与x轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫作图象法.
解得：x1 -3 x2 2
所以,函数y x2 x 6的图象与 x 轴的交
点坐标为（-3，0）和（2，0）.
观察二次函数 y x2 6x 9的图象和二次 函数 y x2 2x 2 的图象,分别说出一元二次
方程 x2 6x 9 0 和 x2 2x 2 0的根的情况.
确定方程x2-2x-1-=0的近似根为:x1≈-0.4,x2≈2.4.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程2x2+x-15=0的近似根.
(1).用描点法作二次函数y=2x2+x-15的图象； (2).观察估计二次函数y=2x2+x-15的图象与x轴的交点 的横坐标； 由图象可知,图象与x轴有两个交点, 其横坐标一个是-3,另一个在2与3之 间,分别约为3和2.5(可将单位长再十 等分,借助计算器确定其近似值). (3).确定方程2x2+x-15=0的解;
解：设二次函数 y x2 2x 1
作出函数图象 y x2 2x 1 的图象可以发现 抛物线与x轴一个交点在-1与0之间,另一个 在2与3之间
通过观察或测量，可得到抛物线与x轴交点的横 坐标在约为-0.4或2.4。即一元二次方程的实数
华师大版九年级数学下册26.3： 实践与探索 课件(共18张PPT)
离是__2_4_m.
【解析】∵y＝60t－32t2＝－32(t－20)2＋600，∴当 t＝20 时，滑行到最大距离 600 m 时停止；当 t＝16 时，y＝576，所以最后 4 s 滑行 24 m.
26.3.1 实践与探索
华师版 九年级下
学习目标：
1，会结合二次函数的图象分析问题、解决问题。 2，在运用中体会二次函数的实际意义。
新知导入
亲爱的同学们，上节课我们学习了二 次函数的表达式，请同学们回忆一下 用待定系数法求二次函数的表达式， 二次函数解析式的几种表达式？
新知讲解
生活中，我们常会遇到 与二次函数及其图象有 关的问题，请与同伴共 同研究，尝试解决下面 的问题。
新知讲解
问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂 直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端 A处安装一个喷头向外 喷水，柱子在水面以上部分的高度为0.8m，水流在各个方向 上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示。
新知讲解
根ym据与设水计平图距纸离已x知m，之所间示的的函平数面关直系角式坐是标y系中，x水2流喷2出x的高45度
解：当y
0时， x 2 2x
5 4
0
y
即（x - 1）2 2.25
A
Ｂ
解得x1 2.5,x2 0.5 0(舍去)
O
x
答：水池的半径至少为 2.5 米。 注意自变量的实际意义
中考链接
一名男生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关 系式是 y＝－112x2＋23x＋53 铅球运行路线如图. (1)求铅球推出的水平距离； (2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m.
作业布置
你的努力是一个自变 量···
【解析】∵y＝60t－32t2＝－32(t－20)2＋600，∴当 t＝20 时，滑行到最大距离 600 m 时停止；当 t＝16 时，y＝576，所以最后 4 s 滑行 24 m.
26.3.1 实践与探索
华师版 九年级下
学习目标：
1，会结合二次函数的图象分析问题、解决问题。 2，在运用中体会二次函数的实际意义。
新知导入
亲爱的同学们，上节课我们学习了二 次函数的表达式，请同学们回忆一下 用待定系数法求二次函数的表达式， 二次函数解析式的几种表达式？
新知讲解
生活中，我们常会遇到 与二次函数及其图象有 关的问题，请与同伴共 同研究，尝试解决下面 的问题。
新知讲解
问题1：某公园要建造一个圆形的喷水池，在水池中央垂 直于水面竖一根柱子，在柱子的顶端 A处安装一个喷头向外 喷水，柱子在水面以上部分的高度为0.8m，水流在各个方向 上沿形状相同的抛物线路径落下，如图所示。
新知讲解
根ym据与设水计平图距纸离已x知m，之所间示的的函平数面关直系角式坐是标y系中，x水2流喷2出x的高45度
解：当y
0时， x 2 2x
5 4
0
y
即（x - 1）2 2.25
A
Ｂ
解得x1 2.5,x2 0.5 0(舍去)
O
x
答：水池的半径至少为 2.5 米。 注意自变量的实际意义
中考链接
一名男生推铅球，铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关 系式是 y＝－112x2＋23x＋53 铅球运行路线如图. (1)求铅球推出的水平距离； (2)通过计算说明铅球行进高度能否达到4 m.
作业布置
你的努力是一个自变 量···
华东师大版九年级数学下册课件：27.3实践与探索(二次
5
当X=1时，y有最大值，最大值为 9
5
∴
喷出的水流距水平面的最大高度为
9 5
（2）如果不计其他因素，为使水不溅落在水池外，那么
水池的半径至少为多少时？才能使喷出的水流都落在水池
内？
A
y x2 2x 4 5
y
A
O 图①
O 图②
x
思考：求水池的半径，实际上就是要求什么？
问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图,现测得，当 水面宽AB=1.6米，涵洞顶点与水面的距离为2.4米，这时， 离开水面1.5米处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1米。
解: (2) ∵ DE⊥AC，DF⊥BC
A
∴ DE∥BC
∴ △ADE∽△ABC
∴
DE AE BC AC
即： x 8 y
48
∴ y=8-2x （0<x<4）
D
E
BF
C
（1）如图，已知在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=8， 点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别 为点E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y。 (1) 用含y的代数式表示AE； (2) 求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围； (3) 设四边形DECF的面积为S，求出S的最大值。
x
将B点坐标代入抛物线，得：
E FD
∴ –2.4=a×0.82 ∴ a 15
4
∴ 抛物线的解析式为 y 15 x2
4
由题意，得：CF=1.5
A
C
B
设D(m,-1.5)
将D(m,-1.5)代入抛物线
y
15 x2 4
，得：
初三下数学课件(华东师大)-实践与探索
【解】图象如图． (1)图象与x轴的交点坐标为(－1，0)、(3 ，0)，与y轴的交点坐标为(0，－3)． (2)当x＝－1或x＝3时，y＝0，x的取值与 方程x2－2x－3＝0的解相同． (3)当x＜－1或x＞3时，y＞0；当－1＜x ＜3时，y＜0.
Байду номын сангаас
【探究】 (1)如何求抛物线与两轴交点的坐标． (2)抛物线与x轴的交点坐标与相应一元二次方程的解有什么关系？ (3)如何通过观察图象获得相应一元二次不等式的解集． 【归纳】二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的根．
●探究2：抛物线与x轴的位置关系 【活动2】已知二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴 上，则a＝________． 【答案】a＝2 【探究】二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上， 那么a－1＞0，且抛物线与x轴有唯一公共点，方程(a－1)x2＋2ax＋3a－2 ＝0有两个相等实数根，因此可令△＝0求a的值．
一、课前预习 阅读课本第28页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入 1．给出三个二次函数：(1)y＝x2－3x＋2；(2)y＝x2－x＋1 ；(3)y＝x2－2x＋1. 它们的图象分别为：
观 察 图 象 与 x 轴 的 交 点 个 数 ， 分 别 是 ________ 个 、 ________个、________个．你知道图象与x轴的交点个数 与什么有关吗？
2．能否利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象寻找方程ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)，不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)或ax2＋bx ＋c＜0(a≠0)的解？
三、新知探究 ●探究1：二次函数与一元二次方程的关系 【活动1】画出函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答下列问题． (1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？ (2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有什么关系？ (3)x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0?
Байду номын сангаас
【探究】 (1)如何求抛物线与两轴交点的坐标． (2)抛物线与x轴的交点坐标与相应一元二次方程的解有什么关系？ (3)如何通过观察图象获得相应一元二次不等式的解集． 【归纳】二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0的根．
●探究2：抛物线与x轴的位置关系 【活动2】已知二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴 上，则a＝________． 【答案】a＝2 【探究】二次函数y＝(a－1)x2＋2ax＋3a－2的图象的最低点在x轴上， 那么a－1＞0，且抛物线与x轴有唯一公共点，方程(a－1)x2＋2ax＋3a－2 ＝0有两个相等实数根，因此可令△＝0求a的值．
一、课前预习 阅读课本第28页内容，了解本节主要内容．
二、情景导入 1．给出三个二次函数：(1)y＝x2－3x＋2；(2)y＝x2－x＋1 ；(3)y＝x2－2x＋1. 它们的图象分别为：
观 察 图 象 与 x 轴 的 交 点 个 数 ， 分 别 是 ________ 个 、 ________个、________个．你知道图象与x轴的交点个数 与什么有关吗？
2．能否利用二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象寻找方程ax2 ＋bx＋c＝0(a≠0)，不等式ax2＋bx＋c＞0(a≠0)或ax2＋bx ＋c＜0(a≠0)的解？
三、新知探究 ●探究1：二次函数与一元二次方程的关系 【活动1】画出函数y＝x2－2x－3的图象，根据图象回答下列问题． (1)图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？ (2)当x取何值时，y＝0？这里x的取值与方程x2－2x－3＝0有什么关系？ (3)x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0?
初中数学华东师大九年级下册二次函数二次函数实践与探索(华师版)PPT
y=- x²+2.4
4
Ｂ(0.8,0)
x
离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？
根据已知条件，要求涵洞ED的宽度，只要求出FD的长度即可，即 在如下所示的平面直角坐标系中，求出点D的横坐标.
15
y=- x²+2.4
4
Ｅ
y
(0,2.4)
F Ｄ (?,1.5)
点题 分析
(-0.8,0)A
O
x
最小半径
线段OB的长度 (B点的横坐标)
令y = 0,即-(x-1)²+2.25 =0
则x的值为 x1=2.5 x2=-0.5 (不合题意,舍去)
∴最小半径为2.5m.
注意自变量的
实际意义
问题2 E AＡ
D ＢB
涵洞的截面边缘是抛物线，如图，现 测得当水面宽一个AB＝1.6m时，涵洞 顶点与水面的距离为2.4m，这时，离 开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是 否会超过1m？
当x=3时,S 取最大值9m2
此时最大费用是9000 元。
• ③8000元
建立直角找坐点标坐系标找（找点坐标）
求解析式 解决问题
把实际问题转化为点坐标
布置作业
习题26.3 1题、2题
∴最大高度为2.25m.
实际问题与函 数知识的对应
（2）如果不计其他因素，水池的半径至少为多少时，才能使喷出
的水流都落在水池内？
y
A
B
O
x
析题分意：
水池为圆形，O点在中央， 喷水的落点到圆心的距离相等。
水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
y y=-x²+2x+1.25
4
Ｂ(0.8,0)
x
离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否会超过1m？
根据已知条件，要求涵洞ED的宽度，只要求出FD的长度即可，即 在如下所示的平面直角坐标系中，求出点D的横坐标.
15
y=- x²+2.4
4
Ｅ
y
(0,2.4)
F Ｄ (?,1.5)
点题 分析
(-0.8,0)A
O
x
最小半径
线段OB的长度 (B点的横坐标)
令y = 0,即-(x-1)²+2.25 =0
则x的值为 x1=2.5 x2=-0.5 (不合题意,舍去)
∴最小半径为2.5m.
注意自变量的
实际意义
问题2 E AＡ
D ＢB
涵洞的截面边缘是抛物线，如图，现 测得当水面宽一个AB＝1.6m时，涵洞 顶点与水面的距离为2.4m，这时，离 开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是 否会超过1m？
当x=3时,S 取最大值9m2
此时最大费用是9000 元。
• ③8000元
建立直角找坐点标坐系标找（找点坐标）
求解析式 解决问题
把实际问题转化为点坐标
布置作业
习题26.3 1题、2题
∴最大高度为2.25m.
实际问题与函 数知识的对应
（2）如果不计其他因素，水池的半径至少为多少时，才能使喷出
的水流都落在水池内？
y
A
B
O
x
析题分意：
水池为圆形，O点在中央， 喷水的落点到圆心的距离相等。
水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
y y=-x²+2x+1.25
华师版(课件)23.3实践与探索
Page 19
=
4ac 4a 2
c = a
如果方程x2+px+q=0的两根是 x1 ，x2，那么x1+x2= －P , x 1x 2 = q
Page 20
我能行1
例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积： 2 ② 2 x2 4 x 1 0 ① x 3x 1 0
解：① x1 x2 3 ② x1 x2 2 原方程可化为：
（5）已知两个数的和等于 6 ，积等于 2 求这两个数
Page 26
根与系数关系小结
对于一元二次方程 x 2 px q 0 的两根 x1、x
2
有 : x1 x2 p x1 x2 q
1、已知方程的一个根求另一个根及未知数 （也可以用根的定义求解） 2、求关于两根的代数式的值 如:两根的平方和、两根的倒数和等 3、以x1、x2 为根的一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0，
2
3、又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么 第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收 入翻一番？
(1 x)(1 2 x) 2
Page 10
试一试
1.某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到 7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
解：设平均每月增长的百分率为， 2 依题意，得 5000(1 x) 7200 即(1 x)2 1.44， 1 x 1.2 即 解得x1 0.2 x2 2.2 因为 x2 2.2 不合题意 所以只能取 x1 0.2 20%
16
9 3.5
4
0.5 18
1
32
1.5
42
=
4ac 4a 2
c = a
如果方程x2+px+q=0的两根是 x1 ，x2，那么x1+x2= －P , x 1x 2 = q
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我能行1
例1、不解方程，求方程两根的和与两根的积： 2 ② 2 x2 4 x 1 0 ① x 3x 1 0
解：① x1 x2 3 ② x1 x2 2 原方程可化为：
（5）已知两个数的和等于 6 ，积等于 2 求这两个数
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根与系数关系小结
对于一元二次方程 x 2 px q 0 的两根 x1、x
2
有 : x1 x2 p x1 x2 q
1、已知方程的一个根求另一个根及未知数 （也可以用根的定义求解） 2、求关于两根的代数式的值 如:两根的平方和、两根的倒数和等 3、以x1、x2 为根的一元二次方程 x2-(x1+x2)x+x1x2=0，
2
3、又若第二年的增长率为第一年的2倍，那么 第一年的增长率为多少时可以实现市财政净收 入翻一番？
(1 x)(1 2 x) 2
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试一试
1.某钢铁厂去年1月某种钢产量为5000吨，3月上升到 7200吨，这两个月平均每月增长的百分率是多少？
解：设平均每月增长的百分率为， 2 依题意，得 5000(1 x) 7200 即(1 x)2 1.44， 1 x 1.2 即 解得x1 0.2 x2 2.2 因为 x2 2.2 不合题意 所以只能取 x1 0.2 20%
16
9 3.5
4
0.5 18
1
32
1.5
42
2021年华师大版九年级数学下册第二十六章《二次函数实践与探索》公开课课件.ppt
实际问题与函数 知识的对应
水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？ y
析题分意：
A
Ｂ
O
x
水池为圆形，O点在中央， 喷水的落点到圆心的距离相等。
水池的半径至少为多少时，才能使喷出的水流都落在水池内？
（ 5 ≈2.236，结果保留两位小数） y
y=-x²+2x+0.8
A
舍去Ｃ
Ｂ
最小半径
求解析式 解决问题
把实际问题转化为点坐标
思考
某跳水运动员进行10m跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线为 下图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）， 最高处距水面， ,入水处距池边的距离为4m．在某次跳水时，要求
• 该运动员在距水面高度为5m或5m以上时，必须完成规定的翻腾动作，并调整 好入水姿势，否则就会出现失误． （1）求这条抛物线的解析式；
y
1.5m，能否通过？
Ｅ
Ｄ
Ａ
Ｂ
０
x
y=- 15x²+2.4 4
学生讨论
问题（３）小船宽为１m，高为
y
1.5m，能否通过？
Ｅ
Ｄ
Ａ
Ｂ
０
x
F(0.5,0)
当x＝0.5时 得 y=1.46
∵1.46<1.5
∴不能通过
Байду номын сангаас
难点： 这里的y值表示 的是涵洞的高
何时获得最大利润 某商店经营T恤衫，将进价为每件8元的商品按每 件10元出售时，每天可售出100件。他想采用提高 售价的方法来增加利润。经调查发现这种商品每提 价1元，每天的销量就会减少10件。 ①写出每天所得利润y(元)与售价x(元/件）之间的函 数关系式，并写出自变量的取值范围。 ②请你帮助分析，销售单价是多少元时，才能使一天 的赢利最大？
华师大版九年级数学下册第二十六章《实践与探索(4)》优课件1
(2)球的飞行高度能否达到20m? 若能,需要多少飞行时间?
(3)球的飞行高度能否达到20.5m? 若能,需要多少飞行时间?
已知二次函数 y=ax +2bx+c (a≠0)的函数值为m，求 自变量x的值，可以看作解一元二次方程 ax 2 +b2x+c=m(或 ax +bx+c-m=0) (a≠0).
若此抛物线与 x轴有两个交点,求k的取值范围.
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图
象与x轴交点情况是( C )
A 无交点
y
y=x2 -x+1
y=x2 -6x+9
. . y=x2 +x-2
01
x
如果抛物线 y=ax +2bx+c(a≠0)与x轴有公共点 (x0,o),那么x=x 0就是方程 ax +2 bx+c=0的一个根.
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
练习:根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
(3)球的飞行高度能否达到20.5m? 若能,需要多少飞行时间?
已知二次函数 y=ax +2bx+c (a≠0)的函数值为m，求 自变量x的值，可以看作解一元二次方程 ax 2 +b2x+c=m(或 ax +bx+c-m=0) (a≠0).
若此抛物线与 x轴有两个交点,求k的取值范围.
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A y=2x2 – 3
B y= - 2 x2 + 3
C y= - x2 – 3x D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图
象与x轴交点情况是( C )
A 无交点
y
y=x2 -x+1
y=x2 -6x+9
. . y=x2 +x-2
01
x
如果抛物线 y=ax +2bx+c(a≠0)与x轴有公共点 (x0,o),那么x=x 0就是方程 ax +2 bx+c=0的一个根.
归纳总结
二次函数y=ax2+bx+c 的图象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程ax2+bx+c=0 根的判别式Δ=b2-4ac
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我们，还在路上……
练习:根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
华东师大初中数学九下《实践与探索》PPT课件 (公开课获奖)2022年华师大版 (2)
分析
（1）最内磁道的周长为2πr mm，它上面的存储单元的个数
不超过2 r
0 .015
（2）由于磁盘上各磁道之间的宽度必须不小于，磁盘的外
圆不是磁道，各磁道分布在磁盘上内径为r外径为45的圆环
区域，所以这张磁盘最多有 条45磁 道r ．
0 .3
（3）当各磁道的存储单元数目与最内磁道相同时，磁盘每面存
如图，在△ABC中，AB＞AC，D为AC边上异于A、C 的一点，过D点作一直线与AB相交于点E，使所得 到的新三角形与原△ABC相似.
问：你能画出符合条件的直线吗？
A
E
相似三角形的判定方法
E
D
B
C
1、平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成
的三角形与原三角形相似
2、有两角对应相等的两个三角形相似
A
40°
80°
B C
A′
40°
B′
60 °
C′
根据下列条件能否判定△ABC与△A′B′C′相似？ 为什么？
∠A=40°，AB=3 ，AC=6
∠A′=40°，A′B′=7 ，A′C′=14
A
3 40° 6
B C
A′
40°
7 14
B′
C′
根据下列条件能否判定△ABC与△A`B`C`相似？为 什么？
AB=4 ，BC=6 ，AC=8
经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰 好与⊿ABC相似？ A
A
Q Q
B
P
CB
P
C
如图，已知△PAC∽△QCB ， △PCQ是等边三角形 (1)若AP=1，BQ=4，求PQ的长. (2)求∠ACB的度数. (3)求证:AC2=AP·AB.
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)代入①得
20 =a(0 4)2 4, 解得 a 1 .
9
所以抛物线的解析式是
y
1
9 (x
4)2
4
.
当x=8时，则
y9
B
判断此球能否准 确投中的问题就 是判断代表篮圈 的点是否在抛物 线上；
C
y
1 (8 4)2 9
4
20 9
3,
A
20 米
4米
所以此球不能投中.
铅球运动过程中最高点离地面的距离为 2 米.
y
O
x
5.某公园草坪的防护栏是由100段形状相同的抛物线形组成的， 为了牢固起见，每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支 柱，防护栏的最高点距底部0.5m（如图），则这条防护栏需 要不锈钢支柱的总长度至少为（ C ）
A.50m
B.100m
C.160m
∵水面下降1m，即当y=-1时， x 6 ,
∴水面宽度增加了 2 6 4 米.
练一练
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱
顶距离水面 4 m．
如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解
析式；
C A
y O
h 20 m
解：设该拱桥形成的抛
物线的解析式为y=ax2.
分析：篮球运动的轨迹为抛物线，可以根据已知条件， 建立平面直角坐标系，将实际问题转化为数学问题.
y
20
4米
9米
4米
O
3米 8米 x
解：如图建立直角坐标系.则点A的坐标是（0，20 ），B点坐
9
标是（4，4），C点坐标是（8，3）.
因此可设抛物线的解析式是y=a(x-4)2+4 ①.
把点A(0,
20 9
①每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y元，填空：
单件利润（元）销售量（件） 每星期利润（元）
正常销售 涨价销售
20 20+x
300 300-10x
6000 y=(20+x)(300-10x)
建立函数关系式：y=(20+x)(300-10x), 即：y=-10x2+100x+6000.
②自变量x的取值范围如何确定？ 营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以， 故300-10x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤30.
练习
1.某种商品每件的进价为20元，调查表明：在某段时间内 若以每件x元（20 ≤x ≤30)出售，可卖出（300－20x）件， 使利润最大，则每件售价应定为 25 元.
2.进价为80元的某件定价100元时，每月可卖出2000件，价格每 上涨1元，销售量便减少5件，那么每月售出衬衣的总件数y(件） 与衬衣售价x（元）之间的函数关系式为 y=2000-5(x-100) . 每月利润w（元）与衬衣售价x（元）之间的函数关系式 为 w=[2000-5(x-100)](x-80) .(以上关系式只列式不化简）.
0,
20 9
2
（2）向前平移一点儿.
（4，4）
（７，３）
●
（8，3）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
探究
问题1 图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2m时，水面宽 4m . 水面下降 1m，水面宽度增加多少？
想一想
（1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
拱桥问题
运动中的抛 物线问题
转化的关键
建立恰当的 直角坐标系
① 能够将实际距离准确 的转化为点的坐标；
② 选择运算简便的方法.
小结
建立函数 关系式
总利润=单件利润×销售量 或总利润=总售价-总成本.
商品利 润最大 问题
确定自变量 取值范围
涨价:要保证销售量≥0； 降件：要保证单件利润≥0.
确定最大
数量关系
（1）销售额= 售价×销售量; （2）利润= 销售额-总成本=单件利润×销售量; （3）单件利润=售价-进价.
例3 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，
市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，
每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价
才能使利润最大？ 涨价销售
如果你是商场经理，如何定价才能使商场获得最大利润呢？
运动中的抛物线
美丽的喷泉及拱桥
运动中的抛物线问题
例1 在篮球赛中，姚小鸣跳起投篮，已知球出手时离地面高 20
9
米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米 时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距 离地面3米，他能把球投中吗？
x
D BLeabharlann ∵该抛物线过(10,-4),
∴-4=100a，a=-0.04
∴y=-0.04x2.
例2 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装 一个柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端A处的 喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为 使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离OA距离为1m处达到 距水面最大高度2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少 要多少m才能使喷出的水流不致落到池外？
问题2 如何建立直角坐标系？
y
解：如图建立直角坐 标系.
l
o
x
问题3 解决本题的关键是什么？ 解：建立合适的直角坐标系.
解：如图建立直角坐标系.
y
根据题意可设该拱桥形成
的抛物线的解析式为
y=ax2+2.
∵该抛物线过(2,0),
l
x
o
x
∴0=4a+2，a= 1 2
y 1 x2 2 2
2(18) 3
3
3
即定价57.5元时，最大利润是6050元.
由情(况1综),(你2合)知的可道讨知应论，该及应如现定何在价定的65价销元能售时， 才使能利使润利最润大最了大吗。 ?
知识要点
求解最大利润问题的一般步骤
（1）建立利润与价格之间的函数关系式： 运用“总利润=总售价-总成本”或“总利润=单件利润×销售量” （2）结合实际意义，确定自变量的取值范围； （3）在自变量的取值范围内确定最大利润： 可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出函数的简图， 利用简图和性质求出.
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可
以，故20-x ≥0，且x ≥0,因此自变量的取值范围是0 ≤x ≤20.
③涨价多少元时，利润最大，是多少？
即：y=-18x2+60x+6000，
当x 60 5 时, y 18 (5)2 60 5 6000 6050.
y
∵-1<0,对称轴x=10,
∴当x=10时，y值最大，最大值为25.
16
即销售单价定为10元时，销售利润最大，25元；
(2)由对称性知y=16时，x=7和13.
O 57
x
故销售单价在7 ≤x ≤13时，利润不低于16元.
转化
实际问题 （实物中的抛物线形问题） 回归
数学模型
（二次函数的图象和性质）
3.足球被从地面上踢起，它距地面的高度h(m)可用公式h= -4.9t2+19.6t来表示，其中t(s)表示足球被踢出后经过的时间，则 球在 4 s后落地.
4.如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度y(米）
关于水平距离x(米）的函数解析式为
y 1 x2 1 x 3 8 22
，那么
③涨价多少元时，利润最大，最大利润是多少？ y=-10x2+100x+6000， 当 x 100 5 时,y=-10×52+100×5+6000=6250.
2 (10)
即定价65元时，最大利润是6250元.
例4 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件， 市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元， 每星期可多卖出18件，已知商品的进价为每件40元，如何定价 才能使利润最大？
9
O 4米
3米 8米 x
若假设出手的角度和力度都不变,则如何才能使此球命中? （1）跳得高一点儿； （2）向前平移一点儿.
y
4米
3米
20 米
9
4米
O
8米
x
y （1）跳得高一点儿；
6
4
0,
20 9
2
（4，4）
（8，3）
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 x
y 6
4
D.200m
6. 某种商品每天的销售利润y（元）与销售单价x(元）之间满足
关系：y=ax2+bx-75.其图象如图.
（1）销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最
大利润是多少元？
（2）销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于
16元？
解：(1)由题中条件可求y=-x2+20x-75
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5m，才能使喷出的水流不致落到池外.
知识要点
求解运动中的抛物线问题及拱桥问题的一般步骤
1.首先要建立适当的平面直角坐标系； 2.根据建立好的坐标系求出该函数的解析式； 3.在实际问题中要注意自变量的取值范围内.
商品利润最大的问题
探究交流
某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，已知 商品的进价为每件40元，则每星期销售额是 18000 元，销 售利润 6000 元.