第1章 时域离散随机信号的分析

2 x
rxx ( m ) cov xx (m )
2 mx
m 0 自相关函数和自协方差函数曲线图
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
1.2.4 平稳随机序列的功率密度谱(PSD:Power Spetral Density)
平稳随机序列：非周期函数，能量无限，傅里叶变换不存在。
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
平稳序列的各态历经性：如果平稳随机序列满足下面两式，称
其具有各态历经性：
<x(n)>=mx=E［ X(n)］ (1.2.48)
<x*(n)x(n+m)>=rxx(m)=E［X*(n)X(n+m)］
(1.2.49)
各态历经性实际意义：用时间平均代替集合平均， 这给研究平
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学时分配：总学时：48
第一章 时域离散随机信号的分析：6学时 第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波： 第三章 自适应数字滤波器： 8学时 8学时
第四章 功率谱估计：
小波分析： 其它内容：
8学时
6学时 6学时
基础：
信号与系统，数字信号处理， 数理统计与随机过程。
稳随机序列带来很大的方便。而且实际中遇到的平稳随机序列，
一般都是各态历经性的。
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
1.2.6 1. 正态(高斯)随机序列 正态随机序列x(n)的N维联合概率密度函数：
其中
特点：正态随机序列仅决定于均值矢量M和协方差矩阵varX。
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
2.
平稳白噪声序列的定义： (1) 两两不相关 (2) 功率谱为常数 cov(xn, xm)=σ2δmn Pxx(ejω)=σ2=常数 (1.2.54)
正态(高斯)白噪声序列：白噪声序列服从正态分布。 注意：正态和白色是两个不同的概念，前者是指信号取值服从
1.
随机变量Xn的概率分布函数：
(1.2.1)
2. 概率一维密度函数
(1.2.2)
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
对于随机序列，不同 n 的随机变量之间并不是独立的， 为了更加完整地描述随机序列， 需要用二维及多维统计特性。 (1.2.3) (1.2.4)
说明 ：为简单起见，常用小写字母 x(n)或xn表示随机序列, 只
要概念清楚，容易分清楚。
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1.1 引 言
随机序列举例：n部接收机输出噪声的时域离散化
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
§1.2 时域离散随机信号的统计描述 1.2.1
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
3. 随机序列的相关函数和协方差函数 相同或不同随机序列在不同时刻的状态之间，存在着关联
性， 这种关联性可以用自相关函数和互相关函数进行描述。
自相关函数定义
*表示复数共轭
(1.2.11)
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现代数字信号处理
教材：
•丁玉美，数字信号处理—时域离散随机
信号处理 ，西电出版社，2002 •自编讲义
参考书：
•张贤达，现代信号处理，清华出版社，2002 •姚天任，现代数字信号处理，华中科大出版社，1999 •胡广书，现代信号处理教程，清华出版社，2004
•皇甫堪，现代数字信号处理，电子工业出版社，2003
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
f x
=1 =5
2 2
2
方差描述随 机变量相对 于均值的偏 离程度
= 10
x
m1 = 50
均值相同方差不同的高斯分布
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数学期望是随 机过程所有样 本函数的统计 平均函数。
说明：由于实际中无法得到概率分布函数， 数字特征比较容
易进行测量和计算, 因此也可以用数字特征描述随机序列。
常用的数字特征有数学期望、 方差和相关函数。
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
1.2.2
1. 数学期望(统计平均值) (1.2.7) 说明：E表示求统计平均值。 一般情况：数学期望是n的函数。 平稳随机序列：数学期望是常数，与n无关。
由于 (1.2.34)
如果z1是其极点，1/z*1也是极点。如果z1在单位圆内， z 1 必须 在单位圆外，收敛域一定包含单位圆，即：
1

*
0≤Ra≤1
互相关函数及其Z变换：
(1.2.35)
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
由于Pxx(z)的收敛域包含单位圆意味着rxx(m)的傅里叶变换存 在。令z=exp(jω) 有 (1.2.37) (1.2.38)
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
高斯—马尔可夫过程：具有指数型自相关函数的平稳高斯过程。
例如：
高斯 —马尔可夫的特点 ：是一种常见的随机信号，适合于大多
数物理过程，具有较好的精确性，数学描述简单。因为当
m→∞时， 自相关函数趋近于0，所以均值为0，过程的自相关 函数特性完全描述了过程的特性。
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
自协方差函数定义 (1.2.12) 容易证明 特殊情况：mXn= mXm=0 (1.2.13)
自协方差函数=自相关函数
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
互相关函数的定义 联合概率密度
互协方差函数定义
特殊情况：mXn=mYm =0 cov(Xn, Ym)=rxy(n, m)
自相关函数及其 Z变换：由性质(4)知当mx=0, rxx(m)是收敛序列， Z变换存在，而且维纳－欣钦定理保证自相关函数的Z变换就是 平稳序列的功率谱。 (1.2.32) 反变换
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(1.2.33)
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
Pxx(z)的收敛域：Biblioteka 15:44:455
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1.1 引 言
随机信号的计算机处理 ：计算机只能处理随机数字信号。如
果忽略计算机有限字长效应，随机数字信号近似为随机序列。
因此，我们针对时域离散随机信号(随机序列)展开讨论。 符号说明： X(t)－>连续随机信号 xi(t)－> X(t)的第i个样本函数 X(n)－>随机序列或随机变量 xi(n)－> X(n)的第i个样本函数
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
两个平稳且联合平稳复序列的数字特征： (1.2.22) 复平稳序列的两个重要性质: (1.2.23) (1.2.24) 两随机序列相互正交：对于所有m ，rxy(m)=0 两随机序列互不相关：对于所有m， rxy(m)=mxmy, covxy (m)=0
正态分布， 后者指信号不同时刻取值的独立性。
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
3. 谐波过程
(1.2.55)
其中Ai和ωi是常数，θi是服从均匀分布的独立随机变量： (1.2.56)
可以证明：谐波过程是平稳的。
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
1.2.5 随机序列的各态历经性
集合平均或统计平均：求大量样本在同一时刻的平均, 实际中无
法实现。
时间平均：仅对一条样本在时间上求平均，实际中容易实现。
时间平均值的计算：
(1.2.46)
时间自相关函数的计算：
(1.2.47)
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第一章 时域离散随机信号的分析
1.1 引言 1.2 时域离散随机信号的统计描述 1.3 随机序列数字特征的估计 1.4 平稳随机序列通过线性系统 1.5 时间序列信号模型
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1.1 引 言
§1.1 引 言 信号有确定性信号和随机信号之分。
确定性信号：信号幅度随时间变化有一定规律性， 可以用一个
明确的数学关系描述，是可以再现的。
随机信号：随时间变化没有明确的规律，任何时间信号的大小
不能预测， 不能用明确的数学关系进行描述。但存在着一定的 统计规律，可以用概率密度函数、概率分布函数、数字特征描 述。
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1.2 时域离散随机信号的统计描述
1.2.3
平稳随机序列：N维概率分布函数或N维概率密度函数与时间n
的起始位置无关。又称为狭义(严)平稳随机序列。