数字信号处理 时域离散随机信号处理 第6章
数字信号处理-时域离散随机信号处理课件：时域离散随机信号的分析
数字信号处理——时域离散随机信号处理
x1(tn
t
图 1.1.1 n部接收机的输出噪声
数字信号处理——时域离散随机信号处理
x1(n) x2(n) xn(n)
数字信号处理——时域离散随机信号处理
一般均方值和方差都是n的函数, 但对于平稳随机序列, 它 们与n无关, 是常数。如果随机变量Xn代表电压或电流，其均方 值表示在n时刻消耗在1 Ω电阻上的集合平均功率，方差则表示 消耗在1Ω电阻上的交变功率的集合平均。有时将σx称为标准方 差。
数字信号处理——时域离散随机信号处理
3. 随机序列的相关函数和协方差函数
我们知道, 在随机序列不同时刻的状态之间，存在着关联 性， 或者说不同时刻的状态之间互相有影响，包括随机序列 本身或者不同随机序列之间。 这一特性常用自相关函数和互 相关函数进行描述。
自相关函数定义为
rxx
(n,
m)
E[
X
* n
X
m
]
xn*
xm
pX
n
,
X
m
数字信号处理——时域离散随机信号处理
时域离散随机信号的分析
1.1 引言 1.2 时域离散随机信号的统计描述 1.3 随机序列数字特征的估计 1.4 平稳随机序列通过线性系统 1.5 时间序列信号模型
数字信号处理——时域离散随机信号处理
1.1 引 言
信号有确定性信号和随机信号之分。 所谓确定性信号，就 是信号的幅度随时间的变化有一定的规律性， 可以用一个明确 的数学关系进行描述，是可以再现的。 而随机信号随时间的变 化没有明确的变化规律，在任何时间的信号大小不能预测， 因 此不可能用一明确的数学关系进行描述，但是这类信号存在着 一定的统计分布规律，它可以用概率密度函数、概率分布函数、 数字特征等进行描述。
数字信号处理第六、七章教案
教案（第23次课2学时）一、授课题目第六章无限脉冲响应数字滤波器的设计§6.4 用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器§6.5 数字高通滤波器的设计二、教学目的和要求掌握用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器；掌握利用低通滤波器设计数字高通滤波器的方法。
三、教学重点和难点用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器；利用低通滤波器设计数字高通滤波器。
四、教学过程（包含教学内容、教学方法、辅助手段、板书、学时分配等）复习：本章主要介绍无限脉冲响应数字滤波器的设计。
无限脉冲响应数字滤波器的特点是单位脉冲响应是无限长的，这主要是由于它的系统函数中含有反馈，即差分方程中含y(n-i)项。
对于无限脉冲响应数字滤波器我们主要是利用技术已经非常成熟的模拟滤波器的设计进行的，由于我们这本书主要是讨论具有单调下降的幅频特性的滤波器的设计，所以我们介绍了具有单调下降特性的巴特沃斯模拟滤波器的设计。
掌握了它之后，利用模拟滤波器进行设计，只要找出频率以及系统函数之间的关系，就可以设计出需要的数字滤波器。
由于它是借助模拟滤波器进行的，所以他保留了一些典型模拟滤波器优良的幅度特性，但涉及种植考虑复读特性，没考虑相位特性，所设计的滤波器一般是某种确定的非线性相位特性。
我们一般用到的是脉冲响应不变法和双线性变换法来设计无限脉冲响应数字滤波器。
上节课中我们介绍了双线性变换法设计数字滤波器。
设计时我们只需要先利用频率之间的关系将我们要设计的数字滤波器的技术指标转换为对应的模拟滤波器的技术指标，之后利用我们之前讲的模拟滤波器的设计，求出模拟滤波器的系统函数，然后利用系统函数之间的关系得到数字滤波器的系统函数。
脉冲响应不变法进行设计时，模拟滤波器的系统函数Ha （s ）与数字滤波器的系统函数H(z)之间的关系是 若∑=-=N i ii s s A s H 1a )(，则对应的数字滤波器的系统函数为 ∑=--=N i T s i z A z H i 11e1)(，即H a(s )的极点si 映射到z 平面的极点为T s i e ，系数A i 不变。
数字信号处理ppt课件
三.自相关函数与 自协方差函数的性质
24
性质1 :相关函数与协方差函数的关系
Cxx m rxx m mx 2
Cxy m rxy m m*xmy
当 mx 0
Cxx m rxx m Cxy m rxy m
25
性质2：均方值、方差与相关函数和协方差函数
rxx
0
E
xn
2
Cxx 0 rxx 0 mx 2
五、功率谱密度
44
维纳——辛钦定理
1． 复频域
rxx
(m)
1
2
j
c Sxx (z)zm1dz,
Sxx
(z)
m
rxx
(m)z
m
C (Rx , Rx )
45
2. 频域
{ rxx(m)
1
2
Pxx (e j )e jm d
2
Pxx (e j ) rxx (m)e jm
m
46
3．性质
实平稳随机信号 rxx m rxx m
rxx m E x x n1 n1m
x1x2 p x1 , x2 ; m dx1dx2
18
自协方差函数
Cxx (m) E (xn1 mx )*(xn2 mx ) E (xn1 mx )*(xn1m mx )
rxx m mx 2
19
对于均值为零的随机过程 rxx m Cxx m
①偶函数
Pxx e j Pxx e j
②实函数
Pxx e j Pxx e j
③极点互为倒数出现
Sxx
z
Sxx
1 z
47
④功率谱在单位圆上的积分等于平均功率
E
x2
数字信号处理第三版 教材第六章习题解答
6.2 教材第六章习题解答1. 设计一个巴特沃斯低通滤波器，要求通带截止频率6p f kHz =，通带最大衰减3p a dB =，阻带截止频率12s f kHz =，阻带最小衰减3s a dB =。
求出滤波器归一化传输函数()a H p 以及实际的()a H s 。
解：（1）求阶数N 。
lg lg sp spk N λ=-0.10.30.1 2.51011010.0562101101p s asp a k --==≈--332121022610s sp p πλπΩ⨯⨯===Ω⨯⨯将sp k 和sp λ值代入N 的计算公式得lg 0.05624.15lg 2N =-=所以取N=5（实际应用中，根据具体要求，也可能取N=4，指标稍微差一点，但阶数低一阶，使系统实现电路得到简化。
） （2）求归一化系统函数()a H p ，由阶数N=5直接查表得到5阶巴特沃斯归一化低通滤波器系统函数()a H p 为54321() 3.2361 5.2361 5.2361 3.23611a H p p p p p p =+++++或 221()(0.6181)( 1.6181)(1)a H p p p p p p =+++++ 当然，也可以按（6.12）式计算出极点:121()22,0,1,2,3,4k j Nk p ek π++==按（6.11）式写出()a H p 表达式41()()a k k H p p p ==-代入k p 值并进行分母展开得到与查表相同的结果。
（3）去归一化（即LP-LP 频率变换），由归一化系统函数()a H p 得到实际滤波器系统函数()a H s 。
由于本题中3p a dB =，即32610/c p rad s πΩ=Ω=⨯⨯，因此()()a a cH s H p s p ==Ω5542332453.2361 5.2361 5.2361 3.2361c c c cc cs s ss s Ω=+Ω+Ω+Ω+Ω+Ω对分母因式形式，则有()()a a cH s H p s p ==Ω52222(0.6180)( 1.6180)()c c c c cc s s s s s Ω=+Ω-Ω+Ω-Ω+Ω如上结果中，c Ω的值未代入相乘，这样使读者能清楚地看到去归一化后，3dB 截止频率对归一化系统函数的改变作用。
数字信号处理试题库——填空题
第一章 散离时间信号与系统1、正弦序列x(n)= sin(30n π/120)的周期N=___8_______。
2、数字频率ω=0.25π，若采样率fs=2kHz ，其对应的模拟频率f =___250_______Hz 。
3、序列x(n)的能量定义为___∑+∞∞-=|)(|n x E 2_______。
4、线性系统实际上包含了__ 齐次性_____和___可加性____两个性质。
5、求z 反变换通常有围线积分法、部分分式法_______和___留数法____等方法。
6、对于一个因果稳定的系统，其Z 变换的收敛域为__整个z 平面________。
7、输入x(n)=cos(ω0n)中仅包含频率为ω0的信号，输出y(n)=x(n)cos(4πn)中包含的频率为_4/πω±_________。
8、一个线性时不变离散时间系统的单位脉冲响应为nh(n)=0.5u(-n)，则该系统的因果及稳定性分别为_非因果_________和____不稳定______。
9、已知因果序列x(n)的Z 变换为X(z)=e/z ，则x(0)= _____0_____。
10、离散系统的单位阶跃响应][)(][n u n s n21-=，则描述该系统的差分方程为_y(n)+1/2y(n-1)_= x(n) __。
11、设描述某系统的差分方程为()()2(1)+5(2)y n =x n x n x n +--，则该系统的单位抽样响应为___)2(5)1(2)(-+-+n n n δδδ_______，频率响应为 _1+2e-jw__+5e -2jw_______。
12、已知系统的单位抽样响应为h(n)，则系统稳定的充要条件是 _∑+∞∞-∞<)(n h _________。
13、一个线性时不变因果系统的系统函数为11111)(-----=az z a Z H ，若系统稳定则a 的取值范围为___1<a _______ 。
第6章信号处理简介
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
随机信号分类
随机信号可分为平稳的和非平稳的。如果随机 信号的特征参数不随时间变化，则称为平稳的，否
则为非平稳的。一个平稳随机信号，若一次长时间
测量的时间平均值等于它的统计平均值(或称集合平 均值)，则称这样的随机信号是各态历经的。通常把 工程上遇到的随机信号均认为是各态历经的。
X(k ) x(n)e j2πkn/N
n 0
N 1
(2.4.1)
1 N 1 x(n) X(k )e j2πkn/N N k 0
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
上述的离散傅里叶变换对将N个时域采样点x(n)与N 个频率采样点X((k)联系起来，建立了时域与频域的关 系，提供了通过计算机作傅里叶变换运算的一种数学 方法。利用计算机进行离散傅里叶变换可查阅相关文 献。
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
图2.4.3 采样频率不同时的频谱波形
机电工程学院 Sun Chuan 68215 第6章 信号处理简介
3. 量化及量化误差
(1) 量化 将采样信号的幅值经过四舍五入的方法离散化的 过程称为量化。 (2) 量化电平 若采样信号可能出现的最大值为A，令其分 为B个间隔，则每个间隔Δx=A/B，Δx称为量化电平，每个量 化电平对应一个二进制编码。 (3) 量化误差 当采样信号落在某一区间内，经过四舍五入 而变为离散值时，则产生量化误差，其最大值是±0.5Δx。 量化误差的大小取决于A/D转换器的位数，其位数越高， 量化电平越小，量化误差也越小。比如，若用8位的A/D转换 器，8位二进制数为28=256，则量化电平为所测信号最大幅值 的1/256，最大量化误差为所测信号最大幅值的±1/512。
数字信号处理课后习题答案(全)1-7章
x(n)=－δ(n+2)+δ(n－1)+2δ(n－3)
h(n)=2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2)
由于
x(n)*δ(n)=x(n)
1
x(n)*Aδ(n－k)=Ax(n－k)
2
故
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
y(n)=x(n)*h(n)
=x(n)*［2δ(n)+δ(n－1)+ δ(n－2) 1 2
（5） 系统是因果系统， 因为系统的输出不取决于x(n)的未来值。 如果
|x(n)|≤M, 则|y(n)|=|ex(n)|≤e|x(n)|≤eM，
7． 设线性时不变系统的单位脉冲响应h(n)和输入序列x(n)如题7图所示，
要求画出y(n)输出的波形。
解： 解法（一）采用列表法。
y(n)=x(n)*h(n)=
0≤m≤3
－4≤m≤n
非零区间如下:
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
根据非零区间， 将n分成四种情况求解： ① n<0时， y(n)=0
② 0≤n≤3时， y(n)= ③ 4≤n≤7时， y(n)= ④ n>7时， y(n)=0
1=n+1
n
1=8－m n0
3
mn4
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
第 1 章 时域离散信号和时域离散系统
(3) 这是一个延时器， 延时器是线性非时变系统， 下面证明。 令输入为
输出为
x(n－n1)
y′(n)=x(n－n1－n0) y(n－n1)=x(n－n1－n0)=y′(n) 故延时器是非时变系统。 由于
T［ax1(n)+bx2(n)］=ax1(n－n0)+bx2(n－n0) =aT［x1(n)］+bT［x2(n)］
数字信号处理 第六章
第六章数字滤波器结构6、1:级联得实现num = input('分子系数向量 = ');den = input('分母系数向量 = ');[z,p,k] = tf2zp(num,den);sos = zp2sos(z,p,k)Q6、1使用程序P6、1,生成如下有限冲激响应传输函数得一个级联实现:H1(z)=2+10z^(-1)+23z^(-2)+34z^(-3)+31z^(-4)+16 z^(-5)+4z^(-6)画出级联实现得框图。
H1(z)就是一个线性相位传输函数吗?答:运行结果:sos = zp2sos(z,p,k)Numerator coefficient vector = [2,10,23,34,31,16,4]Denominator coefficient vector = [1]sos =2、0000 6、0000 4、0000 1、0000 0 01、0000 1、00002、0000 1、0000 0 01、0000 1、0000 0、5000 1、0000 0 0级联框图:H1(z)不就是一个线性相位传输函数,因为系数不对称。
Q6、2使用程序P6、1,生成如下有限冲激响应传输函数得一个级联实现:H2(z)=6+31z^(-1)+74z^(-2)+102z^(-3)+74z^(-4)+31 z^(-5)+6z^(-6)画出级联实现得框图。
H2(z)就是一个线性相位传输函数吗?只用4个乘法器生成H2(z)得一级联实现。
显示新得级联结构得框图。
Numerator coefficient vector = [6,31,74,102,74,31,6]Denominator coefficient vector = [1]sos =6、0000 15、0000 6、0000 1、0000 0 01、00002、00003、0000 1、0000 0 01、0000 0、6667 0、3333 1、0000 0 0级联框图:H2(z)就是一个线性相位传输函数。
数字信号处理 第6章
H ( z ) h( n) z n
n 0
N 1
(6.1.2)
(6.1.1)式中的H(z)称为N阶IIR数字滤波器系统函数; (6.1.2) 式中的H(z)称为N－1阶FIR数字滤波器系统函数。这两种 数字滤波器的设计方法有很大区别，因此下面分成两章分 别进行学习。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
s 20 lg
| H (e j0 ) |
j s
dB
(6.1.4b)
p 20 lg | H (e
j p
) | dB
(6.1.5)
s 20 lg | H (e js ) | dB
(6.1.6)
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
当幅度下降到 2 / 2 时，标记ω=ωc，此时 p 3dB，称 ωc为3 dB通带截止频率。ωp、ωc和ωs统称为边界频率， 它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他 类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改 成
拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)按某种方法转
换成数字滤波器的系统函数H(z)。这是因为模拟滤波器的 设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善
的图表和曲线供查阅； 另外，还有一些典型的优良滤波
器类型可供我们使用。直接法直接在频域或者时域中设计 数字滤波器，由于要解联立方程，设计时需要计算机辅助 设计。FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗 函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。
第6章 无限脉冲响应数字滤波器的设计
图6.1.3所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表
示为
p 20 lg
| H (e j0 ) | | H (e
数字信号处理 程佩青第六章ppt课件
极点：D ( z ) 的根 零点：D ( z 1 ) 的根
zprej r1
zo
1ej r
r 1
▪ 全通系统的应用
1）任一因果稳定系统H(z)都可以表示成全通系统 Hap(z)和最小相位系统Hmin(z)的级联 H (z) H m in (z)H a p (z)
令 ： H ( z ) H 1 ( z ) ( z 1 z 0 ) ( z 1 z 0 * )
▪ 设计思想： s 平面 z 平面
模拟系统 H a(s) H(z)数字系统
▪ H(z) 的频率响应要能模仿 Ha(s) 的频率响应，
即 s 平面的虚轴映射到 z 平面的单位圆
▪ 因果稳定的 Ha(s) 映射到因果稳定的 H(z) ，
即 s 平面的左半平面 Re[s] < 0 映射到 z 平面的单位圆内 |z| < 1
▪ fsTT 2 s混 迭
▪ 当滤波器的设计指标以数字域频率 c 给定时，不能通
过提高抽样频率来改善混迭现象
fsT T T, T
T
c
c
T
3、模拟滤波器的数字化方法
H a ( s ) h a ( t ) h a ( n T ) h ( n ) H ( z )
Ha(s)
N k1
s
一、数字滤波器的基本概念
1、数字滤波器的分类
经典滤波器： 选频滤波器
现代滤波器：
维纳滤波器 卡尔曼滤波器 自适应滤波器等
按功能分：低通、高通、带通、带阻、全通滤波器
按实现的网络结构或单位抽样响应分：
IIR滤波器（N阶）
M
bk z k
H (z)
k0 N
1 a k z k
数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)第6章.
则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯(Gabor)变换:
GT
x
(t
,
Ω)
(x( )e jΩ
)g
(
t)d
（6.2.4）
第六章 小波分析的基本原理及其应用
不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换，由于使用了一个可 移动的时间窗函数，使其具有了一定的时间分辨率。但是，它 们还存在一些自身的问题，其中最主要的就是时间分辨率与频 率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理, 我们不可能 知道在任何一个时刻存在何种频率分量，最多我们可以了解在 某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间，我们可以准确地 确定某一个时间点，但是频率则是另外的一个概念，它指的是 在一个时间段内，某一个量的变化次数，这从频率的定义中就 可以看得到。
(a) (b) (c)
图 6.2.1 不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里叶变换结果
第六章 小波分析的基本原理及其应用 6.2.2 连续小波变换
1. 连续小波变换的定义
设x(t)是平方可积函数，记作 x(t) L2 (R) ，ψ(t)是基小波
或“母小波函数”，则
WTx (a, )
1 a
x(t)
*
第六章 小波分析的基本原理及其应用
6.2 连续小波变换
6.2.1 从短时傅里叶变换到小波变换
由第五章时频分析部分的介绍可知，短时傅里叶变换通过
引入一个滑动的窗函数w(t)，然后对窗函数内的信号与窗函数
的乘积进行傅里叶变换，再让窗函数沿时间轴移动， 就可得 到信号频谱随时间变化的规律。
这样， 信号x(t)对于给定的窗口函数w(t)的短时傅里叶变换:
a＝ 0.001 1
ga(t)
ga(t)
数字信号处理第六章 习题答案
( )
H ( e jω ) = Ha ( jΩ)
又由 Ω =
ω
T
，则有
5 2 π ΩT + 3, − 2 ΩT + 5 , = π 3 0 2π π − ≤Ω≤ − 3T 3T π 2π ≤ Ω≤ 3T 3T 其他Ω
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
ω=ΩT
Ha ( jΩ) = H ( e jω )
各极点满足下式ຫໍສະໝຸດ 1 1+ ( s Ωc )
4
sk = Ωce
π 2k −1 j + π 2 4
k = 12，4 ，3 ，
则 k = 1,2时，所得的 sk 即为 Ha ( s) 的极点
s1 = Ωce s2 = Ωce
3 j π 4
3 2 3 2 =− +j 2 2 3 2 3 2 =− −j 2 2
2
=
1−1.1683z−1 + 0.4241z−2
0.064(1+ 2z−1 + z−2 )
5．试导出二阶巴特沃思低通滤波器的系统函数。 设 Ωc = 3rad s 解：由幅度平方函数： H ( jΩ) =
2
1 1+ ( Ω Ωc )
4
令 Ω2 = −s2，则有
Ha ( s) Ha ( −s) =
∴H ( z ) = Ha ( s) s=1−z−1
1+ z−1
=
1 1− z 1− z 1+ z−1 + 1+ z−1 +1
−1 2 −1
(1+ z ) =
3 + z−2
−1 2
数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)
3.2 自适应横向滤波器
R xd 称为X j与 d j 的互相关矩阵，是一个N维列向量；
• 是对称矩阵,即 R T = R xx xx
E[e 2 ] = E[d 2 ] − 2R T W + WT R xx W j j xd
= E[d 2 ] − 2 E[d j XTj ]W + WT E[ X j XTj ]W j
x1 j x2 j x2 j x2 j M xNj x2 j
... x1 j xNj ⎤ ... x2 j xNj ⎥ ⎥ ... M ⎥ ⎥ ... xNj xNj ⎥ ⎦
3.2 自适应横向滤波器
E[e 2 ] = E[d 2 ] − 2R T W + WT R xx W j j xd
3.2 自适应横向滤波器
Rxx 是输入信号的N×N自相关矩阵，特点如下：
VT R xx V = VT E[ XXT ]V = E[V T XXT V ] = E[( XT V ) 2 ] ≥ 0
R xd = E[d j X j ] = E[d j X 1 j , d j X 2 j ...d j X Nj ]T ⎡ x1 j x1 j x1 j x2 j ... x1 j xNj ⎤ ⎢x x x2 j x2 j ... x2 j xNj ⎥ 2 j 1j T ⎥ R xx = E[ X j X j ] = E ⎢ ⎢ M M M ⎥ ... ⎢ ⎥ ⎢ xNj x1 j xNj x2 j ... xNj xNj ⎥ ⎣ ⎦
h( n)
y ( n) −
+ e( n ) = d ( n ) − h ( m) x ( n − m) ∑
m=0
+∞
rxd (k ) = ∑ hopt (m)rxx (k − m) k = 0,1, 2,... ⇒ Rxd = Rxxhopt ⇒ hopt = R−1Rxd xx
数字信号处理_刘顺兰 第6章 完整版习题解答
H（） 1 2 cos
( )
该系统的振幅、相位图如下。
3 2 1 0
|H(ej )|
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
/pi
4 2
()
0 -2 -4 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2
/pi
6.3
一数字滤波器的脉冲响应为 h( n) ，当 n 0 ， n N 时， h( n) 0 ，且 h( n) 为实数，
j j
e j , c c , H d (e ) 0 , c , c
j
则
hd (n)
1 H d (e j )e jn d 2 1 c j jn e e d 2 c sin[ c (n )] (n )
0, , 2 偶对称，故 H d (e jw ) 可扩展为： e j ( ) , c c H d (e ) 0 , 0 c , c 2
n 0
2
j n
1 e j 3 sin(3 / 2) e j j 1 e sin( / 2)
或
H (e j ) e j n 1 e j e j 2 e j (e j 1 e j ) e j (1 2 cos )
( )
H ( z ) 1 z 4 H (e j ) 1 e j 4 2 sin 2e
故系统的振幅 H (e
j j 2 j
《数字信号处理教程》(第三版)第六章
Ha(s)的表示式为 H a ( s )
(s s )
k 0 k
N 1
N c
设N=3，极点有6个，它们分别为
s0 c e s1 c s2 c e s3 c e s4 c s5 c e
2 j 3
2 j 3 1 j 3
1 j 3
3、数字滤波器的技术要求
我们通常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假 设数字滤波器的传输函数H(e jω)用下式表示：
H(e
j
) H(e
j
)e
j ( )
幅频特性|H(ej)|： 信号通过滤波器后的各频率成分衰减情况。 相频特性()： 各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。
, k 0,1, , N 1
1 H a ( p) b0 b1 p bN 1 p N 1 p N
(3) 将Ha(p)去归一化。将p=s/Ωc代入Ha(p)，得到实际的滤波器 传输函数Ha(s)。
H a ( s ) H a ( p) p
s
c
例： 已知通带截止频率fp=5kHz，通带最大衰减p=2dB，阻带 截止频率fs=12kHz，阻带最小衰减s=30dB，按照以上技术指 标设计巴特沃斯低通滤波器。 解： (1) 确定阶数N：
2
1 p 1 c
2N
p 20lg H a (e
j p
) p 10lg H a (e
2N
பைடு நூலகம்
j p
2
)
p 1 c
10
p 10
将=s代入幅度平方函数中:
H a ( j s )
数字信号处理-时域离散信号与系统[医学精品课件]
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x[n]={…,0.000,0.101,0.111,0.101,0.000,0.101,0,111
,0.101}
数字信号
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1.2.3 常用的时域离散信号
单位脉冲序列
(n)
1 0
n0 n0
单位脉冲序列也称为单位采样序列。特点是仅在n=0处 取值为1，其他均为零。
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单位阶跃序列
u(n)
1.1 引 言
信号：模拟信号、时域离散信号、数字信号 数字信号处理：用数值计算的方法对数字信号进行处理 信号处理系统：模拟系统、时域离散系统、数字系统 （处理对象分别对应上面的三种信号）以及数字和模 拟的混合系统。实际使用的系统是模拟系统、数字系 统和数模混合系统。
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1.2 模拟信号、时域离散信号和数字信号
1.2.1 时域离散信号和数字信号 1.2.2 时域离散信号的表示方法 1.2.3 常用的时域离散信号
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1.2.1 时域离散信号和数字信号
对幅度进行有限位的
时域离散信号 二进制编码、数量字化信号
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1.2.2 时域离散信号的表示方法
时域离散信号（序列）的来源 ①对模拟信号采样：
非线性系统不服从线性叠加原理
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时不变特性 如果系统对输入信号的运算关系T[·]在整个过程中 不随时间变化，则称该系统是时不变系统 即 如果 T[x(n)]=y(n)，
T[x(n-n0)]=y(n-n0)（n0为任意整数） 上式说明时不变系统的输出随出入信号移位而移位，
且波形保持不变。
如果运算关系T[·]在整个运算过程中随时间变化，则 为时变系统。
1 0
数字信号处理第6章答案 史林 赵树杰编著
第六章练习题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% 设计一个满足下列指标要求的模拟低通巴特沃斯滤波器，并求出其系统函数的极点。
通带截止频率 2.1p f kHZ =，阻带截止频率8s f kHZ =，通带最大衰减0.5p dB α=，阻带最小衰减30s dB α=。
解：巴特沃斯模拟低通滤波器的设计步骤为：（1）根据模拟滤波器的设计指标p α,p Ω和s α,s Ω，由(6.3.16)式确定滤波器的阶数N 。
（2）由(6.3.17)式确定滤波器的3dB 截止频率c Ω。
（3）按照(6.3.13)式，求出N 个极点(1,2,,)k p k N =L ，将极点k p 代入式得滤波器的系统函数()a H s 。
****************0.110.11(10)lg (10) 3.36832lg(/)p s a a p s N --⎡⎤⎢⎥⎣⎦==ΩΩ2p p f πΩ= 2s s f πΩ= 取4N =3dB 截止频率：cp ΩΩ== 212,1,2,,k N j Nk c p ek N π+-=Ω=L11()()n Nnkk H s s p==-C去归一化()()a n cs H s H =Ω %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%利用二阶模拟低通巴特沃斯滤波器，设计一个中心频率为020/rad s Ω=，通带3dB 带宽为4/B rad s =的模拟带通滤波器。
解: 根据滤波器的阶数N ，直接查表 6.3.1，得到归一化（1c Ω=）的极点(1,2,,)k p k N =L 和归一化的系统函数11()()n Nnkk H s s p==-∏2101211N NN a a s a s a s s--=+++++K 然后利用式，得到3dB 截止频率为c Ω的巴特沃斯模拟低通滤波器的系统函数()a H s 。
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6.2.2 连续小波变换
1. 连续小波变换的定义
设x(t)是平方可积函数，记作 x(t) L2 (R) ，ψ(t)是基小波
或“母小波函数”，则
WTx (a, )
1 a
x(t)
*
t
a
dt
x(t),
a
(t)
(6.2.5)
称之为x(t)的连续小波变换。显然，该变换与两个参数a和τ有 关，其中a>0 被称为尺度因子，而τ则反映小波函数在变换中 的位移。
GT
x
(t
,
Ω)
(x( )e jΩ
)g
(
t)d
（6.2.4）
不论是短时傅里叶变换还是戈伯变换，由于使用了一个可 移动的时间窗函数，使其具有了一定的时间分辨率。但是，它 们还存在一些自身的问题，其中最主要的就是时间分辨率与频 率分辨率之间的矛盾。根据海森堡的测不准原理, 我们不可能 知道在任何一个时刻存在何种频率分量，最多我们可以了解在 某一个时间段上存在的频谱分量。对于时间，我们可以准确地 确定某一个时间点，但是频率则是另外的一个概念，它指的是 在一个时间段内，某一个量的变化次数，这从频率的定义中就 可以看得到。
STFTx (t, Ω)
x(
)w* (
t )e- jΩτ d
（6.2.2）
给出了信号x(t)的时间和频率的二维分布。
对于（6.2.2）式定义的短时傅里叶变换， 如果取高斯 (Gauss)函数作为窗函数，即
w(t) g (t)
2
1
t2
e 4
α>0 （6.2.3）
则此时窗口傅里叶变换演变成了戈伯(Gabor)变换:
第六章 小波分析的基本原理及其应用
6.1 引言 6.2 连续小波变换 6.3 离散小波变换 6.4 小波分析的应用
6.1 引 言
小波分析是当前数学分析和信号处理领域中迅速发展起来 的一套新理论、新方法，至今才仅有十余年的历史。 与传统 的傅里叶(Fourier)变换、加窗傅里叶变换相比，小波变换是 一个时间和尺度上的局域变换， 因而能有效地从信号中提取 信息， 通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多尺度 分析（Multiscale Analysis），从而解决傅里叶变换不能解 决的许多问题。 因此小波变换被誉为“数学显微镜”。
小波分析的应用是与小波分析的理论研究紧密地结合在 一起的。在许多学科领域，如：信号分析、图像处理、 量子 力学、 军事电子对抗与武器的智能化， 计算机分类与识别、 数据压缩、医学成像与诊断，地震勘探数据处理、边缘检测、 音乐与语音人工合成、大型机械的故障诊断、大气与海洋波的 分析、分形力学、流体湍流以及天体力学等方面， 都已获得 了广泛的应用。其具体的应用实例包括：数学方面的数值分析、 构造快速数值方法、 曲线曲面构造、微分方程求解、控制论 等，信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、 传递等，图像处 理方面的图像压缩、分类、识别与诊断、去污等，医学成像方 面的缩短B超、CT、核磁共振成像的时间以及提高分辨率， 等 等。
6.2 连续小波变换
6.2.1 从短时傅里叶变换到小波变换
由第五章时频分析部分的介绍可知，短时傅里叶变换通过
引入一个滑动的窗函数w(t)，然后对窗函数内的信号与窗函数
的乘积进行傅里叶变换，再让窗函数沿时间轴移动， 就可得 到信号频谱随时间变化的规律。
这样， 信号x(t)对于给定的窗口函数w(t)的短时傅里叶变换:
之所以命名为小波变换, 主要是基于以下两方面的原 因： 其一，小波的“小”是指它的基函数的支撑区域是有 限的，“波”是指基函数是振荡的; 母小波则是指所有在变 换中用到的窗函数都是由它推导而来，或者说母小波是其它 窗函数的原型；其二，变换的概念与短时傅里叶变换是一样 的， 但是并不像在STFT中得到关于信号的频率参数，而是 得到尺度参数， 它被定义为频率的倒数。
现如今，信号处理已经成为当代科学技术的重要组成部 分。众所周知，信号处理的目的是准确的分析、正确的诊断、 编码压缩和量化、快速传递或存储、 精确的重构或恢复。 而小波分析的许多应用都可以归结为信号处理的问题。目前， 对于平稳的时不变信号，处理的理想工具仍然是傅里叶分析。 但是在实际应用中所遇到的信号绝大多数是非平稳的，小波 分析为分析这种非平稳信号提供了有效的处理工具。
小波变换的概念是由法国从事石油信号处理的工程师 J.Morlet在1974年首先提出的，并且通过物理的直观和信号处 理 的 实 际 需 要 经 验 地 建 立 了 反 演 公 式 。 早 在 20 世 纪 70 年 代 ， A.Calderon表示定理的发现、 Hardy空间的原子分解和无条件 基的深入研究都为小波变换的诞生做了理论上的准备， 而且 J.O.Stromberg还 构 造了历史上非常类似于 现在的小波基； 1986年，著名数学家Y.Meyer偶然构造出一个真正的小波基， 并与S. Mallat合作建立了构造小波基与多尺度分析。 之后， 小波分析才蓬勃发展起来，其中，比利时女数学家 I.Daubechies撰写的《小波十讲》(Ten Lectures on Wavelets)对 小波的普及起了重要的推动作用。
ga(t)
0.5
0.5
AMPLITUDE
0 0
150
100 50
50
1
40
ga(t)
30
0
0.5
20
250 200 150 100
FREQUENCY
50
10
TIME
0 0
0 0
(c)
t 0
500 1000 0 a＝ 0.0001
t 500 1000
(d )
t
500
1000
(a) (b) (c)
图 6.2.1 不同窗宽下分段正弦信号的短时傅里叶变换结果
对这样的定义方式作如下说明：
（1） 基小波函数可能为复函数，例如Morlet小波的表达
式为
(t) et2 /T e j0t
(6.2.6)
它是在高斯包络下的负指数函数。
（2） 尺度因子的作用是将基小波作伸缩变换，在不同 的尺度因子下，小波的持续时间随a的加大而增宽。
AMPLITUDE
AMPLITUDE
10 5 0 250
200 150 100
50
FREQUENCY 0 0
50 40
30
20
10
TIME
150 100
50
0
200 150Hale Waihona Puke 100 50FREQUENCY
50 40 30
20 10 TIME 00
(a)
(b)
a＝ 0.01 1
a＝ 0.001 1
ga(t)