一次函数与实际问题
运用一次函数解决实际问题教案
一次函数是初中数学学习的一个主要内容，它在数学中是一个非常基础的知识点，但是在现实生活中却具有重要的应用价值。
一次函数的解法能够帮助我们解决许多实际问题，比如求解直线方程、计算速度、距离等。
如何将一次函数的知识点应用到实际问题中，是初中数学学习最为重要的一环，下面将介绍一些教学案例，帮助学生更好地理解和掌握一次函数的应用。
一、直线方程问题：在解决直线方程问题时，一次函数是非常有用的。
比如说，兔子在跑步时，经过起点时速度是20米每秒，然后随着时间推移速度逐渐增加，最后在10秒钟时超过终点，求兔子的速度公式。
首先我们可以使用速度等于距离除以时间的公式：v=d/t。
因为兔子是在一条直线上跑步，所以可以将问题转化为一个直线方程。
在这个例子中，兔子的起点坐标为(0,0)，速度为20米每秒，所以直线方程为y=20x。
这个方程描述的是兔子的速度随着时间而变化的过程。
二、距离问题：距离问题也是一次函数非常有效的应用场景。
比如，一个人从起点出发，以10米每秒的速度向前行走，每40秒钟会有一个休息的时间，休息时不计算时间消耗，请计算出这个人在3分钟内行走的距离。
在这个例子中，我们可以将这个问题转化为一个一次函数的形式。
人的速度为10米每秒，因此他每走1秒的距离就是10米，一段时间内走的距离就是这段时间内的秒数*10米，如果这段时间中有多段时间休息，那么可以将这段时间分成多个小段，然后求各小段内的距离总和即可。
因此，这个问题转化成一次函数的形式为f(x)=10x-40*floor(x/40)。
三、速度问题：速度问题也是一次函数的应用场景之一。
比如，在一辆汽车行驶的过程中，它的速度随时间而变化，如果我们知道汽车在某一时刻的速度，可以计算出汽车行驶的距离、时间和最终速度。
在解决速度问题时，我们需要使用以下公式：v=dx/dt，其中v表示速度，d表示距离，t 表示时间。
因为速度是在一条直线上变化的，所以我们可以使用一次函数来描述速度-时间的关系，将速度公式转化为直线方程。
一次函数的实际应用
一次函数的实际应用在我们的日常生活和学习中，数学知识无处不在，而一次函数作为数学中的重要概念，具有广泛的实际应用。
一次函数的表达式通常为 y ＝ kx ＋ b （其中 k 不为 0），它能够帮助我们解决许多与变量之间线性关系相关的问题。
先来说说行程问题。
假设小明以每小时 5 千米的速度匀速行走，行走的时间为 x 小时，行走的路程为 y 千米。
那么，路程 y 与时间 x 之间的关系就可以用一次函数来表示，即 y ＝ 5x 。
通过这个函数，我们可以很容易地算出小明在给定时间内行走的路程，或者根据路程计算出所需的时间。
再看购物中的打折问题。
商场在进行促销活动时，常常会有“满减”的优惠政策。
比如，购买商品总价达到 200 元，可享受 8 折优惠。
设购买商品的原价为 x 元，实际支付的金额为 y 元。
当x ≤ 200 时，y ＝x ；当 x ＞ 200 时，y ＝ 08x 。
这就是一个分段的一次函数，通过这个函数，我们能清晰地了解到购买商品时的价格变化规律，从而做出更明智的消费决策。
在成本与利润的计算中，一次函数也发挥着重要作用。
假设一家工厂生产某种产品，每件产品的成本为 10 元，售价为 x 元，销售量为 y 件。
总利润 z 等于销售收入减去成本，即 z ＝ y(x 10) 。
如果销售量 y 与售价 x 之间存在线性关系，比如 y ＝－2x ＋ 100 ，那么总利润 z 就可以表示为 z ＝（－2x ＋ 100)（x 10) ，这是一个二次函数，但其中包含了一次函数的成分。
通过对这个函数的分析，厂家可以确定最优的售价，以实现利润最大化。
水电费的计算也是一次函数的常见应用场景。
比如，某地区的水费收取标准为：每月用水量不超过 10 吨时，每吨水收费 2 元；超过 10 吨的部分，每吨水收费 3 元。
设每月用水量为 x 吨，水费为 y 元。
那么当x ≤ 10 时，y ＝ 2x ；当 x ＞ 10 时，y ＝ 2×10 ＋ 3(x 10) ，即 y ＝3x 10 。
一次函数生活中的实际应用题目
一次函数生活中的实际应用题目一次函数是数学中的一种函数类型，表示为 y = kx + b 的形式，其中 k 是函数的增减速度，b 是函数的零点。
一次函数在生活中有许多实际应用，以下是一些实际问题的例子:1. 温度计：一次函数可以用来描述温度的变化情况。
当温度上升或下降时，一次函数的斜率会发生变化，而常数 b 则表示温度变化的水平方向。
例如，在摄氏 0 度和 100 度之间，温度每增加 1 度，温度计上的指针会上升多少格，就可以用一次函数来描述。
2. 流量控制：一次函数在流量控制中被广泛应用，特别是在水管和发动机的设计之中。
当水流量为恒定值时，一次函数可以用来描述水流量和水压之间的关系。
例如，如果想控制水流量为一定值，可以通过调节水管中的阀门大小来控制水压，从而实现流量的控制。
3. 存款利率：一次函数可以用来描述存款利率的变化情况。
当利率上升或下降时，一次函数的斜率会发生变化，而常数 b 则表示利率变化的水平方向。
例如，如果利率上升 1%,银行的存款利率会相应上涨多少元，就可以用一次函数来描述。
4. 股票价格：一次函数可以用来描述股票价格的变化情况。
当股票价格上升或下降时，一次函数的斜率会发生变化，而常数 b 则表示股票价格变化的水平方向。
例如，如果股票价格上升 1%,投资者获得的回报率会相应上涨多少个百分点，就可以用一次函数来描述。
5. 植物生长：一次函数可以用来描述植物的生长情况。
当植物的生长速度加快或减缓时，一次函数的斜率会发生变化，而常数 b 则表示植物的生长速度保持不变的水平方向。
例如，如果想预测植物在未来几天内的生长速度，可以使用一次函数来计算。
一次函数实际应用题归纳
一次函数实际应用题归纳一次函数，听起来有点学术，但其实在生活中随处可见。
就像你和朋友约好一起去吃饭，路上那条长长的直线，车速一快，距离一缩，这就是一次函数的魅力呀！简单来说，一次函数就是一种线性关系。
说得直白点，就是“走得越快，离目的地越近”，这不就是咱们每天都在经历的事情吗？想象一下，你跟朋友去咖啡店，点了两杯拿铁，结果发现一杯要25块，另一杯也是25块。
那你们的总花费就是两杯乘以单价，哎呀，这不就是简单的数学嘛！我们常常说“钱没了就没了”，但这个公式却让我们轻松搞定了账单。
其实生活中的许多场景都能用一次函数来解释，比如说你每天上班的路程。
如果你骑自行车，骑得快一点，路上不堵车，那你很快就能到达公司，反之就得在车流中慢慢等。
再说说购物的事儿。
谁不喜欢逛街呢？你去超市买苹果，标价每斤10块，结果你一买就是三斤，嘿嘿，这个时候你就知道，三斤苹果的价格是30块。
这就是一次函数在你买买买的瞬间大显身手。
真是让人感慨万千，花钱的速度和回家的距离，都是成正比的嘛。
再聊聊你请朋友吃饭的故事。
大家一起聚餐，点了满桌的菜，最后结账的时候，常常是一人一半。
如果你们一共花了400块，那每个人就是200块。
简单吧？这就像是在学校学的数学题，虽然一开始可能会觉得复杂，但慢慢琢磨，就会觉得原来真没那么难。
就像“好事成双”，花钱的同时也收获了友情，这才是最重要的。
说到这里，我们不得不提一下交通。
你在高速公路上开车，车速越快，油耗越高。
一次函数在这里也同样适用。
你开了120公里的速度，油表一下子就掉得快，等到油箱见底，你就得停下来加油。
这种直线的关系，让你无时无刻不在感受到生活的规律。
朋友们总说，开车上路，别急，慢慢来，其实也是在告诉我们，有时候慢就是快，心态才最重要。
当然了，生活中还有许多有趣的例子。
比如说你做运动，越勤奋，越能瘦下来。
一次函数也告诉我们，努力和成果成正比。
每天跑步半小时，体重就能慢慢下降，这种感觉可比买到打折商品还要爽。
一次函数实际问题
一次函数实际问题一次函数，也叫做线性函数，是数学中最简单的函数之一。
它的一般形式为Y = aX + b，其中a和b是常数，X和Y分别表示自变量和因变量。
一次函数在实际问题中的应用非常广泛，下面我将为你列举几种常见的实际问题，并给出参考内容。
1.汽车租赁问题：假设一辆汽车的租金为每天100元，另外还需要支付一定的保证金。
我们可以用一次函数来表示汽车租赁费用与租用天数之间的关系。
设X表示租用天数，Y表示总费用（包括租金和保证金）。
则一次函数可以表示为Y = 100X + b。
其中，b表示保证金。
通常情况下，保证金是定值，不随租用天数的增加而变化。
2.收入问题：假设某公司的月薪为3,000元，每个月还有一定的奖金作为额外收入。
我们可以用一次函数来表示每个月的收入与奖金的关系。
设X表示奖金数额，Y表示总收入。
则一次函数可以表示为Y = 3000 + aX。
其中，3000为基本薪水，a为奖金的倍数。
3.物体运动问题：假设一个物体在相同的力作用下以恒定的速度匀速运动。
我们可以用一次函数来表示物体在不同时间点的位置。
设X表示时间，Y表示距离。
则一次函数可以表示为Y = aX + b。
其中，a为速度，b为起始位置。
4.销售问题：假设某商品的售价为每个100元，销量与售价存在一定的线性关系。
我们可以用一次函数来表示销售额与售价之间的关系。
设X表示售价，Y表示销售额。
则一次函数可以表示为Y = aX。
其中，a表示每个商品的销量。
5.水果购买问题：假设某水果店卖橙子的价格为每斤5元，我们可以用一次函数来表示购买橙子的费用与购买重量之间的关系。
设X表示购买重量（单位：斤），Y表示总费用。
则一次函数可以表示为Y = 5X。
以上只是一些常见的实际问题，一次函数还可以应用于更多领域，如金融、生产等等。
在实际问题中，我们可以通过确定函数的参数来解决具体的计算和分析问题。
一次函数的简洁性和直观性，使它成为了数学中最基础、最常用的函数之一。
一次函数与实际问题
一次函数与实际问题1.某商店通过调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的单价y元与调整前的单价x元满足一次函数关系如表,已知这n个玩具调整后的单价都大于2元.1求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围；2某个玩具调整前单价是108元,顾客购买这个玩具省了多少钱 3这n个玩具调整前、后的平均单价分别为x,y,猜想y与x的关系式,并写出推导过程2.某玩具厂生产一种玩具,本着控制固定成本,降价促销的原则,使生产的玩具能够全部售出．据市场调查,若按每个玩具280元销售时,每月可销售300个．若销售单价每降低1元,每月可多售出2个．据统计,每个玩具的固定成本Q元与月产销量y个满足如下关系：1写出月产销量y个与销售单价x 元之间的函数关系式；2求每个玩具的固定成本Q元与月产销量y个之间的函数关系式；3若每个玩具的固定成本为30元,则它占销售单价的几分之几 4若该厂这种玩具的月产销量不超过400个,则每个玩具的固定成本至少为多少元销售单价最低为多少元3.某商店用调低价格的方式促销n个不同的玩具,调整后的单价y元与调整前的单价x元满足一次函数关系,如表：已知这n个玩具调整后的单价都大于2元．1求y与x的函数关系式,并确定x的取值范围；2某个玩具调整前单价是120元,顾客购买这个玩具省了多少钱4.为增强公民的节水意识,合理利用水资源,某市自1月1日起对市区民用水价格进行调整,实行阶梯式水价,调整后的收费价格如下表所示：1若小亮家1月份的用水量是7m3,直接写出小亮家1月份的电费；2若调价后每月支出的水费为y元,每月的用水量为xm3,求y与x之间的函数关系式并注明自变量的取值范围；3若小亮家2、3月份共用水16m33月份用水量高于2月份,共缴费26元,问小亮家2、3月份的用水量各是多少5.小明到服装店参加社会实践活动,服装店经理让小明帮助解决以下问题,服装店准备购进甲乙两种服装,甲种每件进价80元,售价120元；乙种每件进价60元,售价90元.计划购进两种服装共100件,其中甲种服装不少于65件;①若购进这100件服装的费用不得超过7500,则甲种服装最多购进多少件②在①的条件下,该服装店对甲种服装以每件优惠a0＜a＜20元的价格进行优惠促销活动,乙种服装价格不变,那么该服装店应如何调整进货方案才能获得最大利润6.某地制定了一个帮扶A、B两贫困村的计划．现决定从某地运送152箱鱼苗到A、B两村养殖,若用大小货车共15辆,则恰好能一次性运完这批鱼苗,已知这两种大小货车的载货能力分别为12箱/辆和8箱/辆,其运往A、B两村的运费如表;1求这15辆车中大小货车各多少辆 2现安排其中10辆货车前往A村,其余货车前往B村,设前往A村的大货车为x辆,前往A、B两村总费用为y元,试求出y与x的函数解析式；3在2的条件下,若运往A村的鱼苗不少于100箱,请你写出使总费用最少的货车调配方案,并求出最少费用7.城市改造中,有一部分楼盘要对外销售. 某楼盘共23层,销售价格如下：第八层楼房售价为4000元／米2,从第八层起每上升一层,每平方米的售价提高50元；反之,楼层每下降一层,每平方米的售价降低30元,已知该楼盘每套楼房面积均为120米2.若购买者一次性付清所有房款,开发商有两种优惠方案：方案一：降价8%,另外每套楼房赠送a元装修基金；方案二：降价10%,没有其他赠送.1请写出售价y元／米2与楼层x1≤x≤23,x取整数之间的函数关系式；2老王要购买第十六层的一套楼房,若他一次性付清购房款,请帮他计算哪种优惠方案更加合算.8.已知某水果的进价为8元/千克,下面是小华和小星在活动结束后的对话．小华：“如果以10元/千克的价格销售,那么每天可售出300千克．”小雨：“如果以13元/千克的价格销售,那么每天可售出150千克．”小星：“通过调查验证,我发现每天的销售量y千克与销售单价x元之间存在一次函数关系．”1求y千克与 x元x＞0之间的函数关系式；2一段时间后,发现这种水果每天的销售量均不低于250千克,则此时该超市销售这种水果每天获取的利润w元最大是多少 3为响应政府号召,该超市决定在暑假期间每销售1千克这种水果就捐赠a元利润a≤2.5给希望工程．公司通过销售记录发现,当销售单价不超过13元时,每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x 元的增大而增大,求a的取值范围一次函数与实际问题答案1.分析：1设y=kx+b,根据题意列方程组即可得到结论,再根据已知条件得到不等式于是得到x的取值范围是x＞；2将x=108代入y=x﹣1即可得到结论；3由1得y1=x1﹣1,y2=x2﹣2,…y n=x n﹣1,根据求平均数的公式即可得到结论．解：1设y=kx+b,由题意得x=6,y=4,x=72,y=59,∴,解得,∴y与x的函数关系式为y=x﹣1,∵这n个玩具调整后的单价都大于2元,∴x﹣1＞2,解得x＞,∴x的取值范围是x＞；2将x=108代入y=x﹣1得y=×108﹣1=89,108﹣89=19,答：顾客购买这个玩具省了19元；3=﹣1,推导过程：由1得y1=x1﹣1,y2=x2﹣1,…y n=x n﹣1,∴=y1+y2+…+y n=x1﹣1+x2﹣1+…+x n﹣1=x1+x2+…+x n﹣n=×﹣1=﹣1．2.分析：1设y=kx+b,把280,300,279,302代入解方程组即可．2观察函数表可知两个变量的乘积为定值,所以固定成本Q元与月产销量y个之间存在反比例函数关系,不妨设Q=,由此即可解决问题．3求出销售价即可解决问题．4根据条件分别列出不等式即可解决问题．解；1由于销售单价每降低1元,每月可多售出2个,所以月产销量y个与销售单价x 元之间存在一次函数关系,不妨设y=kx+b,则280,300,279,302满足函数关系式,得解得,产销量y个与销售单价x 元之间的函数关系式为y=﹣2x+860．2观察函数表可知两个变量的乘积为定值,所以固定成本Q元与月产销量y个之间存在反比例函数关系,不妨设Q=,将Q=60,y=160代入得到m=9600,此时Q=．3当Q=30时,y=320,由1可知y=﹣2x+860,所以x=270,即销售单价为270元,由于=,∴成本占销售价的．4若y≤400,则Q≥,即Q≥24,固定成本至少是24元,400≥﹣2x+860,解得x≥230,即销售单价最低为230元3.解：1设y=kx+b,由题意得x=12,y=9,x=48,y=39,∴解得,∴y与x的函数关系式为y=x﹣1,∵这n个玩具调整后的单价都大于2元,∴x﹣1＞2,解得x＞,∴x的取值范围是x＞；2将x=120代入y=x﹣1得y=×120﹣1=99,120﹣99=21,答：顾客购买这个玩具省了21元；4.解：1小亮家1月份的电费=5×1+7﹣5×2=9元；2当0＜x≤5时,y=x；当5＜x≤8时,y=1×5+2x﹣5=5+2x﹣10=2x﹣5；当x＞8时,y=1×5+2×8﹣5+4x﹣8=5+6+4x﹣32=4x﹣21；∴y=．2设2月份用水am3,3月份用水16﹣am3,∵3月份用水高于2月份用水量,∴16﹣a＞a,∴a＜8,当0＜x≤5时,16﹣a＞11,根据题意得：a+416﹣a﹣21=26,解得：a=＞5,舍去；当5＜x≤8时,8≤16﹣a＜11,根据题意得：2a﹣5+416﹣a﹣21=26,解得：a=6,∴a=6,16﹣a=10．∴该用户2月份用水6m3,3月份用水10m35.分析：1设购进甲种服装x件,根据题意列出关于x的一元一次不等式,解不等式得出结论；2找出利润w关于购进甲种服装x之间的关系式,分a的情况讨论．解：1设购进甲种服装x件,由题意可知：80x+60100﹣x≤7500,解得：x≤75．答：甲种服装最多购进75件．2设总利润为w元,因为甲种服装不少于65件,所以65≤x≤75,w=120﹣80﹣ax+90﹣60100﹣x=10﹣ax+3000,方案1：当0＜a＜10时,10﹣a＞0,w随x的增大而增大,所以当x=75时,w有最大值,则购进甲种服装75件,乙种服装25件；方案2：当a=10时,所有方案获利相同,所以按哪种方案进货都可以；方案3：当10＜a＜20时,10﹣a＜0,w随x的增大而减少,所以当x=65时,w有最大值,则购进甲种服装65件,乙种服装35件．6.分析：1设大货车用x辆,小货车用y辆,根据大、小两种货车共15辆,运输152箱鱼苗,列方程组求解；2设前往A村的大货车为x辆,则前往B村的大货车为8﹣x辆,前往A村的小货车为10﹣x辆,前往B村的小货车为7﹣10﹣x辆,根据表格所给运费,求出y与x的函数关系式；3结合已知条件,求x的取值范围,由2的函数关系式求使总运费最少的货车调配方案．解：1设大货车用x辆,小货车用y辆,根据题意得：解得：．∴大货车用8辆,小货车用7辆．2y=800x+9008﹣x+40010﹣x+6007﹣10﹣x=100x+9400．3≤x≤8,且x为整数．3由题意得：12x+810﹣x≥100,解得：x≥5,又∵3≤x≤8,∴5≤x≤8且为整数,∵y=100x+9400,k=100＞0,y随x的增大而增大,∴当x=5时,y最小,最小值为y=100×5+9400=9900元．答：使总运费最少的调配方案是：5辆大货车、5辆小货车前往A村；3辆大货车、2辆小货车前往B村．最少运费为9900元．7.分析：1根据题意分别求出当1≤x≤8时,每平方米的售价应为4000﹣8﹣x×30元,当9≤x≤23时,每平方米的售价应为4000+x﹣8×50元；2根据购买方案一、二求出实交房款的关系式,然后分情况讨论即可确定那种方案合算．解：1当1≤x≤8时,每平方米的售价应为：y=4000﹣8﹣x×30=30x+3760 元/平方米当9≤x≤23时,每平方米的售价应为：y=4000+x﹣8×50=50x+3600元/平方米．∴y=2第十六层楼房的每平方米的价格为：50×16+3600=4400元/平方米,按照方案一所交房款为：W1=4400×120×1﹣8%﹣a=485760﹣a元,按照方案二所交房款为：W2=4400×120×1﹣10%=475200元,当W1＞W2时,即485760﹣a＞475200,解得：0＜a＜10560,当W1=W2时,即485760﹣a=475200,解得：a=10560,当W1＜W2时,即485760﹣a＜475200,解得：a＞10560,∴当0＜a＜10560时,方案二合算；当a＞10560时,方案一合算．当a=10560时,方案一与方案二一样8.解：1设y千克与 x元x＞0之间的函数关系式为y=kx+b,则有,解得：,∴y千克与 x元x＞0之间的函数关系式为y=﹣50x+800．2由已知得：﹣50x+800≥250,解得：x≤11．w=x﹣8y=x﹣8﹣50x+800=﹣50x2+1200x﹣6400=﹣50x﹣122+800,∵﹣50＜0,∴在x≤12上,w随x的增大而增大,∴当x=11时,w最大,最大值为750．答：当售价为11元/千克时,该超市销售这种水果每天获取的利润w最大,最大值为750元．3设扣除捐赠后的日销售利润为s元,则s=x﹣8﹣a﹣50x+800=﹣50x2+1200+50ax﹣6400﹣800a,∵当销售单价不超过13元时,每天扣除捐赠后的日销售利润随销售单价x 元的增大而增大,∴﹣≥13,解得：a≥2,∵a≤2.5,∴a的取值范围为2≤a≤2.5。
利用一次函数解决实际问题精选
1.(2017四川省南充市)小明从家到图书馆看报然后返回，他离家的距离y与离家的时间x之间的对应关系如图所示，如果小明在图书馆看报30分钟，那么他离家50分钟时离家的距离为k m．答案：0.3考点FH：一次函数的应用．分析根据题意和函数图象可以求得小明从图书馆回家的速度以及对应的时间，从而可以求得他离家50分钟时离家的距离或者根据题意求出相应的函数解析式，求出当x=50时，对应的y的值即可解答本题．解答解：方法一：由题意可得，小明从图书馆回家用的时间是：55﹣（10+30）=15分钟，则小明回家的速度为：0.9÷15=0.06km/min，故他离家50分钟时离家的距离为：0.9﹣0.06×[50﹣（10+30）]=0.3km，故答案为：0.3；方法二：设小明从图书馆回家对应的函数解析式为y=kx+b，则该函数过点（40，0.9），（55，0），，解得，，即小明从图书馆回家对应的函数解析式为y=﹣0.06x+3.3，当x=50时，y=﹣0.06×50+3.3=0.3，故答案为：0.3．2.4利用一次函数解决实际问题填空题基础知识2017-10-122.(2017浙江省绍兴市)某市规定了每月用水18立方米以内（含18立方米）和用水18立方米以上两种不同的收费标准.该市的用户每月应交水费y(元)是用水量x（立方米）的函数，其图象如图所示.(1)若某月用水量为18立方米，则应交水费多少元？(2)求当x>18时，y关于x的函数表达式.若小敏家某月交水费81元，则这个月用水量为多少立方米？答案：答案（1）解：观察折线图可得当横坐标为18时的点的纵坐标为45，即应交水费为45元.（2）解：设当x>18时，y关于x的函数表达式为y=kx+b，将（18,45）和（28,75）代入可得?解得，则当x>18时，y关于x的函数表达式为y=3x-9,当y=81时，3x-9=81，解得x=30.答：这个月用水量为30立方米.考点一次函数的应用解析分析（1）从图中即可得到横坐标为18时的点的纵坐标；（2）运用待定系数法，设y=kx+b，代入两个点的坐标求出k和b，并将y=81时代入求出x的值即可.2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-10-123.(2017青海省西宁市)】．（10分）（2017?西宁,27,10分）首条贯通丝绸之路经济带的高铁线﹣﹣宝兰客专进入全线拉通试验阶段，宝兰客专的通车对加快西北地区与“一带一路”沿线国家和地区的经贸合作、人文交流具有十分重要的意义，试运行期间，一列动车从西安开往西宁，一列普通列车从西宁开往西安，两车同时出发，设普通列车行驶的时间为x（小时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示y与x之间的函数关系，根据图象进行一下探究：信息读取（1）西宁到西安两地相距1000 千米，两车出发后 3 小时相遇；（2）普通列车到达终点共需12 小时，普通列车的速度是千米/小时．答案：】．考点FH：一次函数的应用．分析（1）由x=0时y=1000及x=3时y=0的实际意义可得答案；（2）根据x=12时的实际意义可得，由速度=可得答案；（3）设动车的速度为x千米/小时，根据“动车3小时行驶的路程+普通列出3小时行驶的路程=1000”列方程求解可得；（4）先求出t小时普通列车行驶的路程，继而可得答案．解答解：（1）由x=0时，y=1000知，西宁到西安两地相距1000千米，由x=3时，y=0知，两车出发后3小时相遇，故答案为：1000，3；（2）由图象知x=t时，动车到达西宁，∴x=12时，普通列车到达西安，即普通列车到达终点共需12小时，普通列车的速度是=千米/小时，故答案为：12，；（3）设动车的速度为x千米/小时，根据题意，得：3x+3×=1000，解得：x=250，答：动车的速度为250千米/小时；（4）∵t==4（小时）， ∴4×=（千米）， ∴1000﹣=（千米）， ∴此时普通列车还需行驶千米到达西安． 点评本题主要考查一次函数的应用，根据题意弄懂函数图象中各拐点坐标的实际意义及行程问题中蕴含的相等关系是解题的关键．2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-10-124.(2017河北省)如图，直角坐标系xOy 中，(0,5)A ，直线5x =-与x 轴交于点D ，直线33988y x =--与x 轴及直线5x =-分别交于点C ，E ．点B ，E 关于x 轴对称，连接AB ．(1)求点C ，E 的坐标及直线AB 的解析式；(2)设面积的和CDE ABDO S S S ∆=+，求S 的值；(3)在求(2)中S 时，嘉琪有个想法：“将CDE ∆沿x 轴翻折到CDB ∆的位置，而CDB ∆与四边形ABDO 拼接后可看成AOC ∆，这样求S 便转化为直接求AOC ∆的面积不更快捷吗？”但大家经反复验算，发现AOC S S ∆≠，请通过计算解释他的想法错在哪里．答案：答案(1)C(-13，0)，E(-5，-3)，255y x =+；(2)32；(3)见解析. 解析(2)∵CD=8，DE=DB=3，OA=OD=5，∴183122CDES=⨯⨯=V,()1355202ABDOS=⨯+⨯=四边形,即S=32.(3)当x=-13时，255y x=+=-0.2≠0.∴点C不在直线AB上，即A，B，C三点不共线.∴他的想法错在将△CDB与四边形ABDO拼接后看成了△AOC.考点：待定系数法，多边形的面积，一次函数的性质.2.4利用一次函数解决实际问题复合题基础知识2017-10-115.(2017新疆建设兵团)10分）某周日上午8：00小宇从家出发，乘车1小时到达某活动中心参加实践活动．11：00时他在活动中心接到爸爸的电话，因急事要求他在12：00前回到家，他即刻按照来活动中心时的路线，以5千米/小时的平均速度快步返回．同时，爸爸从家沿同一路线开车接他，在距家20千米处接上了小宇，立即保持原来的车速原路返回．设小宇离家x（小时）后，到达离家y（千米）的地方，图中折线OABCD 表示y与x之间的函数关系．（1）活动中心与小宇家相距千米，小宇在活动中心活动时间为小时，他从活动中心返家时，步行用了小时；（2）求线段BC所表示的y（千米）与x（小时）之间的函数关系式（不必写出x所表示的范围）；（3）根据上述情况（不考虑其他因素），请判断小宇是否能在12：00前回到家，并说明理由．答案：考点FH：一次函数的应用．分析（1）根据点A、B坐标结合时间=路程÷速度，即可得出结论；（2）根据离家距离=22﹣速度×时间，即可得出y与x之间的函数关系式；（3）由小宇步行的时间等于爸爸开车接到小宇的时间结合往返时间相同，即可求出小宇从活动中心返家所用时间，将其与1比较后即可得出结论．解答解：（1）∵点A 的坐标为（1，22），点B 的坐标为（3，22），∴活动中心与小宇家相距22千米，小宇在活动中心活动时间为3﹣1=2小时．（22﹣20）÷5=0.4（小时）．故答案为：22；2；0.4．（2）根据题意得：y=22﹣5（x ﹣3）=﹣5x+37．（3）小宇从活动中心返家所用时间为：0.4+0.4=0.8（小时），∵0.8＜1，∴所用小宇12：00前能到家．2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-196.(2017天津市)用4A 纸复印文件，在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元.在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元.设在同一家复印店一次复印文件的页数为x （x 为非负整数）.（1）根据题意，填写下表：（2）设在甲复印店复印收费1y 元，在乙复印店复印收费2y 元，分别写出21y y ，关于x 的函数关系式；（3）当70 x 时，顾客在哪家复印店复印花费少？请说明理由.答案：答案（1）1，3，1.2，3.3.（2）1y =0.1x （x ≥0）；当0≤x ≤20时，2y =0.12x ，当x>20时，2y =0.12×20+0.09（x-20），即2y =0.09x+0.6.(3)当x>70时，顾客在乙复印店复印花费少，理由见解析. 解析试题分析：(1)根据在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元和在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元计算填空即可；（2）根据在甲复印店不管一次复印多少页，每页收费0.1元和在乙复印店复印同样的文件，一次复印页数不超过20时，每页收费0.12元；一次复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元，直接写出函数关系式即可；（3）当x>70时，有1y =0.1x ，2y =0.09x+0.6，计算出1y -2y 的结果，利用一次函数的性质解决即可.（3）顾客在乙复印店复印花费少.当x>70时，有1y =0.1x ，2y =0.09x+0.6∴1y -2y ==0.1x-（0.09x+0.6）=0.01x-0.6记y==0.01x-0.6由0.01>0，y 随x 的增大而增大，又x=70时，有y=0.1.∴x>70时，有y>0.1，即y>0∴1y >2y∴当x>70时，顾客在乙复印店复印花费少.2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-197.(2017四川省达州市)甲、乙两动点分别从线段AB 的两端点同时出发，甲从点A 出发，向终点B 运动，乙从点B 出发，向终点A 运动．已知线段AB 长为90cm ，甲的速度为2.5cm/s ．设运动时间为x （s ），甲、乙两点之间的距离为y （cm ），y 与x 的函数图象如图所示，则图中线段DE 所表示的函数关系式为 y=4.5x ﹣90（20≤x ≤36） ．（并写出自变量取值范围）答案：y=4.5x ﹣90（20≤x ≤36） ．分析图中线段DE 所表示的函数关系式，实际上表示甲乙两人相遇后的路程之和与时间的关系．解答解：观察图象可知，乙的速度==2cm/s ，相遇时间==20， ∴图中线段DE 所表示的函数关系式：y=（2.5+2）（x ﹣20）=4.5x ﹣90（20≤x ≤36）．故答案为y=4.5x ﹣90（20≤x ≤36）．点评本题考查一次函数的应用、路程、速度、时间的关系等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题，属于中考填空题中的压轴题．2.4利用一次函数解决实际问题填空题基础知识2017-9-198.(2017上海市)】．甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案．甲公司方案：每月的养护费用y （元）与绿化面积x （平方米）是一次函数关系，如图所示．乙公司方案：绿化面积不超过1000平方米时，每月收取费用5500元；绿化面积超过1000平方米时，每月在收取5500元的基础上，超过部分每平方米收取4元．（1）求如图所示的y 与x 的函数解析式：（不要求写出定义域）；（2）如果某学校目前的绿化面积是1200平方米，试通过计算说明：选择哪家公司的服务，每月的绿化养护费用较少．答案：】．分析（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）绿化面积是1200平方米时，求出两家的费用即可判断；解答解：（1）设y=kx+b ，则有， 解得， ∴y=5x+400．（2）绿化面积是1200平方米时，甲公司的费用为6400元，乙公司的费用为5500+4×200=6300元， ∵6300＜6400∴选择乙公司的服务，每月的绿化养护费用较少．点评本题主要考查一次函数的应用．此题属于图象信息识别和方案选择问题．正确识图是解好题目的关键．2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-199.(2017山东省烟台市)数学兴趣小组研究某型号冷柜温度的变化情况，发现该冷柜的工作过程是：当温度达到设定温度C 020-时，制冷停止，此后冷柜中的温度开始逐渐上升，当上升到C 04-时，制冷开始，温度开始逐渐下降，当冷柜自动制冷至C 020-时，制冷再次停止，……，按照以上方式循环进行. 同学们记录了44min 内15个时间点冷柜中的温度)(0C y 随时间(min)x 的变化情况，制成下表：（1）通过分析发现，冷柜中的温度y 是时间x 的函数. ①当204<≤x 时，写出一个符合表中数据的函数解析式；②当2420<≤x 时，写出一个符合表中数据的函数解析式；（2）a 的值为；（3）如图，在直角坐标系中，已描出了上表中部分数据对应的点，请描出剩余对应的点，并画出444≤≤x 时温度y 随时间x 变化的函数图象.答案：答案（1）①y=﹣80x．②y=﹣4x+76．（2）-12；（3）作图见解析.（3）描点、连线，画出函数图象即可．试题解析：（1）①∵4×（﹣20）=﹣80，8×（﹣10）=﹣80，10×（﹣8）=﹣80，16×（﹣5）=﹣80，20×（﹣4）=﹣80，∴当4≤x ＜20时，y=﹣80x ．（2）观察表格，可知该冷柜的工作周期为20分钟，∴当x=42时，与x=22时，y 值相同，∴a=﹣12．（3）描点、连线，画出函数图象，如图所示．考点：一次函数的应用．2.4利用一次函数解决实际问题应用题基础知识2017-9-1910.(2017山东省德州市)公式KP L L +=0表示当重力为P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度.0L 表示弹簧的初始长度,用厘米(cm)表示，K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧的长度，用厘米(cm)表示。
一次函数的应用实际问题的建模与解决
一次函数的应用实际问题的建模与解决一次函数的应用：实际问题的建模与解决一次函数是数学中的基础概念之一，也是最常见的函数形式之一。
它的应用范围广泛，可以用于解决各种实际问题。
本文将以一次函数的应用为主题，探讨如何将实际问题进行建模，并通过求解一次函数来解决这些问题。
1. 引言一次函数，也称为线性函数，是由一个常数和一个一次多项式构成的函数。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax + b，其中a和b是常数，且a ≠ 0。
由于其简单的形式和易于理解的特性，一次函数常常被用来描述直线的性质和趋势。
2. 一次函数的应用实例一：物体的运动轨迹想象一个物体在匀速直线运动的过程中，我们可以用一次函数来描述其位置与时间的关系。
假设物体的初位置为x0，速度为v，则物体在时间t之后的位置可以表示为x = vt + x0。
这里，x表示位置，t表示时间。
通过使用一次函数描述物体的运动，我们可以方便地计算任意时间点物体的位置。
3. 一次函数的应用实例二：成本与收益的关系在经济学中，我们经常需要研究不同决策对成本和收益的影响。
假设某项决策的成本为c，而收益为r，则可以用一次函数来表示成本与收益之间的关系。
具体而言，我们可以用一次函数C(x) = cx + b来描述成本与某个变量x之间的关系，用一次函数R(x) = rx + a来描述收益与变量x之间的关系。
通过求解这两个一次函数的交点，我们可以找到使得成本和收益相等的最优解。
4. 一次函数的应用实例三：人口增长模型在人口学中，我们经常关注不同地区的人口增长情况。
一次函数可以用来建模人口增长的过程。
假设某地区的初始人口为P0，年增长率为r，则经过t年后的人口可以表示为P(t) = P0 + rt。
通过求解一次函数，我们可以预测不同年份的人口数量，帮助政府和决策者制定相应的政策和计划。
5. 一次函数的解决方法对于一次函数，我们可以使用多种方法来求解。
其中一种常用的方法是求解一次方程，即将函数表达式设置为0，然后解出未知数的值。
一次函数实际问题
一次函数实际问题
一次函数是数学领域的一个重要概念，其广泛应用于实际问题中。
在本篇文章中，我们将探讨一次函数在现实中的应用。
最外层的太阳需要穿越我们的大气层才能够直接照射到地球上。
然而，大气层会对太阳的光线进行散射和吸收。
因此，虽然太阳的温度非常高，但它在地球表面上的亮度实际上会因为这些散射和吸收而下降。
这就是我们所说的“日光强度”。
日光强度可以用一个一次函数来表示。
具体来说，可以使用以下公式：
I = kt + b
其中，I代表日光强度，k代表日光强度每小时的衰减率，t代表时间，b代表当天初日光强度。
这个公式的意义相当简单。
我们考虑整天的时间，从早晨第一道阳光落到地面开始到日落结束，日光强度会一直下降。
每小时下降的速度由k决定。
b则是当天早晨的日光强度，即t=0时的值。
利用这个公式可以帮助我们预测日光强度，从而更好地安排各种户外活动。
为了更好地了解该公式的应用，我们可以考虑一些具体的例子。
例如，如果我们想预测一个小时后日光强度的变化情况，我们可以将t 设为1，然后根据公式计算I。
此外，这个公式还可以帮助我们解决一些实际问题。
例如，在农业生产中，可以利用日光强度的变化来调整作物的生长时间。
当然，只是基于日光强度是远远不够的，还需要考虑水分、气温、土壤肥力等多个因素。
总之，在现实生活中，日光强度的一次函数广泛应用于各种领域。
例如，天文学、地理学、气象学、农业等。
通过这个公式，我们可以更好地了解太阳辐射的规律，从而更好地掌握环境变化的趋势，做好相应的准备。
实际问题与一次函数
y O x （千克）5 10 10 20 30 40506015 20（元）（25题图）实际问题与一次函数类型一：分段函数例1（2008年遵义市）小强利用星期日参加了一次社会实践活动，他从果农处以每千克3元的价格购进若干千克草莓到市场上销售，在销售了10千克时，收入50元，余下的他每千克降价1元出售，全部售完，两次共收入70元．已知在降价前销售收入y （元）与销售重量x （千克）之间成正比例关系．请你根据以上信息解答下列问题： （1）求降价前销售收入y （元）与售出草莓重量x （千克）之间的函数关系式；并画出其函数图象；（2）小强共批发购进多少千克草莓？小强决定将这次卖草莓赚的钱全部捐给汶川地震灾区，那么小强的捐款为多少元？例2（2008襄樊市）我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一月用水10吨以内（包括10吨）的用户，每吨收水费a 元；一月用水超过10吨的用户，10吨水仍按每吨a 元收费，超过10吨的部分，按每吨b 元（b a >）收费．设一户居民月用水x 吨，应收水费y 元，y 与x 之间的函数关系如图13所示． （1）求a 的值；某户居民上月用水8吨，应收水费多少元？ （2）求b 的值，并写出当10x >时，y 与x 之间的函数关系式； （3）已知居民甲上月比居民乙多用水4吨，两家共收水费46元，求他们上月分别用水多少吨？练习1（2008年南京市）一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为(h)x ，两车之间的距离．．．．．．．为(km)y ，图中的折线表示y 与x 之间的函数关系． 根据图象进行以下探究： 信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为 km ； （2）请解释图中点B 的实际意义；ABCDOy /km90012 x /h4图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（5）若第二列快车也从甲地出发驶往乙地，速度与第一列快车相同．在第一列快车与慢车相遇30分钟后，第二列快车与慢车相遇．求第二列快车比第一列快车晚出发多少小时？2.（2008年泰州市）2008年5月12日14时28分四川汶川发生里氏8.0级强力地震．某市接到上级通知，立即派出甲、乙两个抗震救灾小组乘车沿同一路线赶赴距出发点480千米的灾区．乙组由于要携带一些救灾物资，比甲组迟出发1.25小时（从甲组出发时开始计时）．图中的折线、线段分别表示甲、乙两组的所走路程y甲（千米）、y乙（千米）与时间x（小时）之间的函数关系对应的图像．请根据图像所提供的信息，解决下列问题：（1）由于汽车发生故障，甲组在途中停留了小时；（2分）（2）甲组的汽车排除故障后，立即提速赶往灾区．请问甲组的汽车在排除故障时，距出发点的路程是多少千米？（6分）（3）为了保证及时联络，甲、乙两组在第一次相遇时约定此后两车之间的路程不超过25千米，请通过计算说明，按图像所表示的走法是否符合约定．（4分）3.（2008年桂林市）2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离Ｓ（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是（）类型二：方案设计例1．(2008年宁波市)如图，某电信公司提供了A B ，两种方案的移动通讯费用y （元）与通话时间x （元）之间的关系，则以下说法错误．．的是（ ） A ．若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜20元 B ．若通话时间超过200分，则B 方案比A 方案便宜12元 C ．若通讯费用为60元，则B 方案比A 方案的通话时间多 D ．若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分例2．（2008年龙岩市）（13分）汶川地震发生后，全国人民抗震救灾，众志成城. 某地政府急灾民之所需，立即组织12辆汽车，将A 、B 、C 三种救灾物资共82吨一次性运往灾区，假设甲、乙、丙三种车型分别运载A 、B 、C 三种物资. 根据下表提供的信息解答下列问题：车 型 甲 乙 丙 汽车运载量（吨/辆）5810（1）设装运A 、B 品种物资的车辆数分别为x 、y ，试用含x 的代数式表示y ； （2）据（1）中的表达式，试求A 、B 、C 三种物资各几吨.练习（2007重庆）我市某镇组织20辆汽车装运完A 、B 、C 三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆汽车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙，且必须装满．根据下表提供的信息，解答以下问题：脐 橙 品 种 A B C 每辆汽车运载量（吨）654每吨脐橙获得（百元） 12 16 10（1）设装运A 种脐橙的车辆数为x ，装运B 种脐橙的车辆数为y ，求y 与x 之间的函数关系式； （2）如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4辆，那么车辆的安排方案有几种？并写出每种安排方案； （3）若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出最大利润的值．例3光华农机租赁公司共有50台联合收割机，其中甲型20台，乙型30台.现将这50台联合收割机派往A 、B 两地区收割小麦，其中30台派往A 地区，20台派往B 地区． 两地区与该农机租赁公司商定的每天的租赁价格见下表：每台甲型收割机的租金 每台乙型收割机的租金A 地区 1800元 1600元B 地区1600元1200元（1）设派往A 地区x 台乙型联合收割机，租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金为y(元)，求y 与x 间的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）若使农机租赁公司这50台联合收割机一天获得的租金总额不低于79600元，说 明有多少种分派方案，并将各种方案设计出来；7050 30120 170 200 250x （分）y （元）A 方案B 方案（第12题）（3）如果要使这50台联合收割机每天获得的租金最高，请你为光华农机租赁公司提供一种最佳方案练习．A市和B市分别库存某种机器12台和6台，现决定支援给C市10台和D市8台．•已知从A 市调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B市调运一台机器到C市和D市的运费分别为300元和500元．（1）设B市运往C市机器x台，•求总运费W（元）关于x的函数关系式．（2）若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？（3）求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？例4（2007哈尔滨）青青商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价15元，售价20元；乙种商品每件进价35元，售价45元．（1）若该商场同时购进甲、乙两种商品共100件恰好用去2700元，求能购进甲、乙两种商品各多少件？（2）该商场为使甲、乙两种商品共100件的总利润（利润＝售价 进价）不少于750元，且不超过760元，请你帮助该商场设计相应的进货方案；（3）在“五·一”黄金周期间，该商场对甲、乙两种商品进行如下优惠促销活动：打折前一次性购物总金额优惠措施不超过300元不优惠超过300元且不超过400元售价打九折超过400元售价打八折按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款200元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款324元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？（通过计算得出答案）练习（2007湖南怀化）2007年我市某县筹备20周年县庆，园林部门决定利用现有的3490盆甲种花，两种园艺造型共50个摆放在迎宾大道两侧，已知搭配一个A种造卉和2950盆乙种花卉搭配A B型需甲种花卉80盆，乙种花卉40盆，搭配一个B种造型需甲种花卉50盆，乙种花卉90盆．（1）某校九年级（1）班课外活动小组承接了这个园艺造型搭配方案的设计，问符合题意的搭配方案有几种？请你帮助设计出来．（2）若搭配一个A种造型的成本是800元，搭配一个B种造型的成本是960元，试说明（1）中哪种方案成本最低？最低成本是多少元？例5.甲、乙两同学开展“投球进筐”比赛，双方约定：①比赛分6局进行，每局在指定区域内将球投向筐中，只要投进一次后该局便结束；②若一次未进可再投第二次，以此类推，但每局最多只能投8次，若8次投球都未进，该局也结束；③计分规则如下：a. 得分为正数或0；b. 若8次都未投进，该局得分为0；c. 投球次数越多，得分越低；d. 6局比赛的总得分高者获胜．（1）设某局比赛第n(n＝1，2，3，4，5，6，7，8)次将球投进，请你按上述约定，用公式、表格或语言叙述等方式，为甲、乙两位同学制定一个把n换算为得分M的计分方案；（2）若两人6局比赛的投球情况如下(其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数，“×”表示该局比赛8次投球都未进)：第一局第二局第三局第四局第五局第六局甲 5 × 4 8 1 3乙8 2 4 2 6 ×根据上述表格内容和你设计的方案，判断这场比赛谁赢。
一次函数解决实际问题
一次函数解决实际问题我们知道，在一般情况下，一次函数y＝k＋b（k、b为实数，且k≠0）的自变量取值范围是全体实数，函数在平面直角坐标系中的图像是一条直线．但是，在实际问题中，自变量的取值常常受到一定的限制，导致函数的图像发生变化，由直线变为其它图形．一、图像变成射线例1甲、乙两地相距20千米，汽车从甲地出发到乙地去，到达乙地后继续以每小时60千米的速度向前行驶，求汽车行驶t小时后与甲地距离S（千米）之间的函数关系式，并画出函数的图像．解由题意得，S＝60t＋20，其中t≥0．当t＝0时，S＝20；当t＝1时，S＝80．以A（0，20）为端点，作射线AB，使它经过点B（1，80）（如图1），则射线AB为所求函数的图像．【评注】当自变量≥a（或≤a，a为实数）时，函数y＝k＋b的图像是一条射线．特别地，当自变量＞a（或＜a）时，函数y＝k＋b的图像不包括射线的端点，此时，射线的端点画成空心圆圈．二、图像变成线段例2柴油机开始工作时，油箱中有油60升，工作时每小时耗油5升，求油箱的余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，并画出该函数的图像．解由题意得，Q＝－5t＋60，其中0≤t≤12．当t＝0时，Q＝60；当t＝12时，Q＝0．以点A（0，60）、B（12，0）为端点作线段AB（如图2），则线段AB为所求函数的图像．【评注】当自变量取值满足1≤≤2（1＜2）时，函数y＝k＋b的图像是一条线段．特别地，当1＜＜2时，函数y＝k＋b的图像不包括线段的端点，此时，线段的端点画成空心圆圈．三、图像变成离散的点例3小敏带3元钱去文具店买圆珠笔，已知每支圆珠笔的售价为0。
25元，试写出所剩钱数y（元）与购买的圆珠笔的支数（支）之间的函数关系式，并作出函数图像．解由题意得，y＝3－0。
25，其中0≤t≤12，且为整数．显然，y与之间的对应关系可用下表表示：在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值所对应的点（如图3），则这些离散的点组成的图形就是所求作的函数图像。
一次函数在实际问题中的应用
一次函数在实际问题中的应用一次函数，也称为线性函数，是数学中的基础函数之一，其形式为y = kx + b，其中k和b为常数。
一次函数在实际问题中的应用广泛，它可以用来描述和解决各种与线性关系相关的情境和难题。
本文将通过几个实际问题的案例，来说明一次函数在实际问题中的应用。
案例一：速度和时间的关系在我们日常生活中，经常会遇到需要计算速度和时间关系的问题。
例如，一个汽车以等速度行驶，假设它的初始位置是0，每小时行驶60公里，我们可以用一次函数来表示汽车的位置与时间的关系。
设汽车行驶的时间为x小时，它的位置为y公里。
根据题目中给出的条件，我们可得一次函数的表达式为y = 60x。
这是一个典型的一次函数，其斜率k为60，常数b为0。
通过这个一次函数，我们可以计算出汽车在任意时间点的位置，从而回答与汽车行驶距离相关的问题。
案例二：成本和产量的关系在工业生产中，成本和产量之间通常存在着一定的线性关系。
假设某公司生产商品的成本与产量成正比，我们可以利用一次函数来描述这种关系。
设产量为x单位，成本为y单位。
根据题目给出的条件，可知产量和成本之间的关系是y = kx + b，其中k为单位产量对应的成本，b为固定成本。
通过这个一次函数，我们可以计算出不同产量对应的成本，进而进行成本和效益的分析。
案例三：温度和时间的关系在自然科学中，温度和时间之间的关系是一个常见的一次函数应用问题。
假设某地区的温度以一定的速率逐渐升高，我们可以用一次函数来描述温度和时间之间的关系。
设时间为x小时，温度为y摄氏度。
根据题目中给出的条件，我们可以得到一次函数的表达式y = kx + b，其中k为温度随时间变化的速率，b为初始温度。
利用这个一次函数，我们可以预测未来某个时间点的温度，或者计算过去某个时间点的温度。
综上所述，一次函数在实际问题中的应用十分广泛，它可以用来描述和解决与线性关系相关的问题。
通过建立一次函数模型，我们可以数学地表示和分析诸如速度、成本、温度等实际情境，从而得出有用的结论和决策。
(完整版)利用一次函数解决实际问题(含答案)
利用一次函数解决实际问题在利用一次函数解决实际问题时，会经常遇到这样的问题，在有的题目中，不论自变量x怎样变化，y和x的关系始终保持一次函数关系，而有的题目中，当自变量x发生变化时，随着x的取值范围不同，y和x的函数关系也不同，它们之间或者不再是一次函数，或者虽然还是一次函数，但函数的解析式发生了变化.这种变化反映在函数图像上时的主要特征，就是由一条直线变成几条线段或射线，我们把这类函数归类为分段函数.请同学们注意，这类函数在自变量的整个取值范围内不是一次函数，但把它适当分为几段后，每段内一般来说还仍然是一次函数。
因此，解这类分段函数的基本思路是：首先按照实际问题的意义，把x 的取值范围适当分为几段，然后，根据每段中的函数关系分别求解.请同学们完成下面的习题：1.商店在经营某种海产品中发现，其日销量y(kg)和销售单价x（元）/千克之间的函数关系如图所示.①写出y与之间的函数关系式并注明x的取值范围；②当单价为32元/千克时，日销售量是多少千克？③当日销售量为80千克时，单价是多少？第1题第2题2.(南京)某城市为鼓励居民节约用水，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的水费，月用水量不超过20cm3时，按2元/立方米计费；月用水量超过20cm3时，超过的部分按2.6元/立方米计费.设每户家庭的月用水量为x cm3时，应交水费y元，①试求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数关系式.②小明家第二季度交纳水费的情况如下：月份四月五月六月交纳金额（元）30 34 42.6小明家这个季度共用水多少立方米？3.自2008年3月1日起，我国征收个人所得税的起点由1600元提高到2000元，即月收入超过2000元的部分为全月应纳税所得额.全月应纳税所得额的划分和相应的税率如下表所示.设某人的月工资收入为x（元），月缴纳个人所得税为y（元），①试求出y与x间的函数关系式并注明x的取值范围.②如果某人月工资为3000元，问此人依法缴纳个人所得税后，他的实际收入是多少元？4.如图所示，在矩形ABCD中，AB=6 cm AD=10cm,动点M从点B出发，以每秒1cm 的速度沿BA-AD-DC运动，当M运动到点C时，点M停止运动.设点M的运动时间为t(s)，△BMC的面积为S（cm2）.①点M分别到达点A、点D、点C时，点M的运动时间；②求S与t之间的函数关系式，并注明t的取值范围；③当t=6s时，求△BMC的面积；④当△BMC的面积是20cm2时，求点M的运动时间.B C M第4题5.甲乙两位同学骑自行车同时从A 地出发行驶到B 地，他们离出发点的距离s(千米)和行驶时间t(小时)之间的函数图像如图所示.根据图中提供的信息，①分别求出甲在停留前后s 与t 的函数关系式； ②求出乙的行驶过程中s 与t 的函数关系式；③比较甲在停留前后的速度和乙的速度，三个速度中 的速度最大， 的速度最小；④甲在停留之前超过乙的最大距离；⑤经过多长时间乙追上甲？乙追上甲时，他们距离出发地点多少千米？⑥甲停留以后又出发时，乙超过甲多少千米？ ⑦乙在到达目的地后，甲距目的地还有多少千米？⑧假设甲乙到达目的地后均不停留，分别按原来的速度继续前进，问甲能否追上乙？若能追上，从两人开始出发时计时，经过几小时甲追上乙；若不能追上，请说明理由.6.(2008·济南)济南市某储运部紧急调拨一批物资，调进物资共用4小时，调进物资2小时后开始调出 物资（调进物资与调出物资的速度均保持不变）.储运部库存物资s(吨)与时间（小时）之间的函数关系如图所示，这批物资从开始调进到全部调出需要的时间是（ ）小时.A.4B.4.4C.4.8D.5（小时）第5题第6题参考答案1.①20≤x≤30时，y=-5x+200;30≤x≤35时y=-10x+350;，②30；③24.2. ①0≤x≤20时，y=-2x;x＞20时，y=2.6x+-1.2②15+17+21=533. 2000≤x＜2500时，y=0.05x-100，y=0.1x-225 4500≤x＜7500时，y=0.15x-4504. ①6s;16s;22;②0≤t＜6时，s=5t;6≤t＜16时，s=30;16≤t＜22时，s=110-5t③20;④4s或18s5.①0≤t≤0.25时,s=18t; 1≤t≤2时,s=13.5t-9②s=12t.③甲在停留前的速度最大；乙的速度最小.④1.5千米.⑤0.375小时，4.5千米.⑥7.5千米.⑦6.75千米.⑧能追上，6小时.6. B。
一次函数的实际应用(经典)
一次函数的应用用一次函数解决实际生活问题：常见类型：（1）求一次函数的解析式；（2）利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如最大（小）值问题等.一次函数解决实际问题的步骤：(1)认真分析实际问题中变量之间的关系；(2)若具有一次函数关系，则建立一次函数的关系式；(3)利用一次函数的有关知识解题探究类型之一利用一个一次函数的方案选择例1：某商店欲购进甲、乙两种商品，已知甲的进价是乙的进价的一半，购进3件甲商品和1件乙商品恰好用200元.甲、乙两种商品的售价每件分别为80元、130元，该商店决定用不少于6 710元且不超过6 810元购进这两种商品共100件.(1)求这两种商品的进价；(2)该商店有几种进货方案？哪种进货方案可获得最大利润，最大利润是多少？类似性问题1.某中学计划购买A型和B型课桌凳共200套．经招标，购买一套A型课桌凳比购买一套B型课桌凳少用40元，且购买4套A型和5套B型课桌凳共需1820元．（1）求购买一套A型课桌凳和一套B型课桌凳各需多少元？（2）学校根据实际情况，要求购买这两种课桌凳的总费用不能超过40880元，并且购买A型课桌凳的数量不能超过B型课桌凳的23，求该校本次购买A型和B 型课桌凳共有几种方案？哪种方案的总费用最低？2.建设环境优美、文明和谐的新农村，某村村委会决定在村道两旁种植A，B两种树木，需要购买这两种树苗1000棵．A，B两种树苗的相关信息如下表：设购买A种树苗x棵，绿化村道的总费用为y元．解答下列问题：（1）写出y（元）与x（棵）之间的函数关系式；（2）若这批树苗种植后成活了925棵，则绿化村道的总费用需要多少元？（3）若绿化村道的总费用不超过31000元，则最多可购买B种树苗多少棵？探究类型之二利用两个一次函数的方案选择例3 川省第十二届运动会将于2014年8月18日在我市隆重开幕，根据大会组委会安排，某校接受了开幕式大型团体操表演任务.为此，学校需要采购一批演出服装，A、B两家制衣公司都愿成为这批服装的供应商.经了解：两家公司生产的这款演出服装的质量和单价都相同，即男装每套120元，女装每套100元.经洽谈协商：A公司给出的优惠条件是全部服装按单价打七折，但校方需承担2200元的运费；B公司的优惠条件是男女装均按每套100元打八折，公司承担运费.另外根据大会组委会要求，参加演出的女生人数应是男生人数的2倍少100人，如果设参加演出的男生有x人.(1)分别写出学校购买A、B两公司服装所付的总费用y1(元)和y2(元)与参演男生人数x之间的函数关系式.(2)问：该学校购买哪家制衣公司的服装比较合算？请说明理由．探究类型之三利用一次函数与不等式的关系进行方案选择例4 某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种收费方式，除按印数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要．两种印刷方式的费用y（元）与印刷份数x（份）之间的关系如图所示.（1）填空：甲种收费的函数关系式是___________________,乙种收费的函数关系式是___________________．（2）该校某年级每次需印制100～450（含100和450）份学案，选择哪种印刷方式较合算？类似性问题1、某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用.该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价均为3元，目前两家超市同时在做促销活动：A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售；B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球.设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y A（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为y B（元）.请解答下列问题：（1）分别写出y A和y B与x之间的关系式.（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案.2、某工厂有甲种原料130 kg，乙种原料144 kg. 现用这两种原料生产出A，B 两种产品共30件. 已知生产每件A产品需甲种原料5 kg，乙种原料4 kg，且每件A产品可获利700元；生产每件B产品需甲种原料3 kg，乙种原料6 kg，且每件B产品可获利900元. 设生产A产品x件(产品件数为整数件)，根据以上信息解答下列问题：(1)生产A，B两种产品的方案有哪几种；(2)设生产这30件产品可获利y元，写出y关于x的函数解析式，写出(1)中利润最大的方案，并求出最大利润.探究类型之四利用一次函数与图像解决问题。
利用一次函数解实际问题
利用一次函数解实际问题在解实际问题时，一次函数是一种常用的数学工具。
一次函数的一般形式可以表示为y = ax + b，其中a和b是常数，x是变量。
通过解析一次函数的图像、斜率和截距，我们可以应用它来解决各种实际问题。
本篇文章将探讨一次函数在解实际问题中的应用。
1. 速度和距离的关系在物理学中，速度和距离之间存在着重要的关系。
假设一个物体以恒定速度v移动，我们可以使用一次函数来描述它的距离随时间的变化情况。
设物体在t秒时的距离为d，则有d = vt，其中v是速度。
这个方程恰好是一次函数的形式，其中斜率a等于速度v，截距b等于0。
通过解析这个一次函数，我们可以计算出物体在不同时间点的位置。
例如，假设一辆汽车以每小时60英里的速度匀速行驶。
我们可以利用一次函数来表示汽车行驶的距离和时间之间的关系。
设时间为x小时，则距离可以表示为d = 60x。
通过这个一次函数，我们可以计算出汽车在不同时间点的行驶距离，从而解决与汽车行驶距离相关的问题。
2. 成本和销售额的关系在经济学中，成本和销售额之间存在着紧密的联系。
假设某个公司生产一种商品，成本和销售额之间可以使用一次函数来描述。
设成本为C，销售额为R，可以表示为R = aC + b，其中a是单位成本，b是固定成本。
通过解析这个一次函数，我们可以计算出不同成本下的预期销售额。
这对于企业决策和盈亏分析非常重要。
例如，假设单位成本为10美元，固定成本为100美元。
我们可以使用一次函数R = 10C + 100表示销售额和成本之间的关系。
通过解析这个一次函数，我们可以计算出不同成本水平下的销售额，从而帮助企业做出合理的经营决策。
3. 温度和时间的关系在气象学中，温度和时间之间存在着一定的关系。
假设某地的温度每小时下降3摄氏度，我们可以使用一次函数来表示温度和时间之间的关系。
设时间为x小时，温度为T，可以表示为T = -3x + b，其中b是初始温度。
通过解析这个一次函数，我们可以计算出不同时间点的预期温度。
一次函数与实际问题(一)图像类(含解析)
一次函数与实际问题（一）一、单选题（共22题；共44分）1.（2020八下·和平期末）甲、乙两车从城出发匀速行驶至城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开城的距离与甲车行驶的时间之间的函数关系如图所示．下列说法错误的是（）A. ，两城相距千米B. 乙车比甲车晚出发小时，却早到小时C. 乙车出发后小时追上甲车D. 在一车追上另一车之前，当两车相距千米时，2.（2020八下·临江期末）某市体育馆将举办明星足球赛，为此体育馆推出两种团体购票方案（设购票张数为张，购票总价为元）．方案一：购票总价由图中的折线所表示的函数关系确定；方案二：提供8000元赞助后，每张票的票价为50元．则两种方案购票总价相同时，的值为（）A. 80B. 120C. 160D. 2003.（2020八下·温岭期末）为了节能减排，鼓励居民节约用电，某市出台了新的居民用电收费标准:①若每户居民每月用电量不超过100度，则按0.60元/度计算;②若每户居民每月用电量超过100度，则超过部分按0.8元度计算(未超过部分仍按0.60元/度计算).现假设某户居民某月用电量是x(单位:度)，电费为以(单位:元)，则y与x的函数关系用图象表示正确的是( )A. B. C. D.4.（2020八下·滨海期末）如图所示，小明家、食堂、图书馆在同一条直线上．小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家．图反映了这个过程中，小明离家的距离y（单位：km）与时间x（单位：min）之间对应关系．根据图象：下列说法错误的是（）A. 食堂离小明家0.6kmB. 小明在图书馆读报用了30minC. 食堂离图书馆0.2kmD. 小明从图书馆回家平均速度是0.02km/min5.（2020·西藏）如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比.弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（）A. 3B. 4C. 5D. 66.（2020八下·新蔡期末）甲、乙两个工程队分别同时开挖两段河渠，所挖河渠的长度y(m)与挖掘时间x(h)之间的关系如图所示.根据图象所提供的信息，下列说法正确的是( )A. 甲队开挖到30 m时，用了2 hB. 开挖6 h时，甲队比乙队多挖了60 mC. 乙队在0≤x≤6的时段，y与x之间的关系式为y＝5x＋20D. 当x为4 h时，甲、乙两队所挖河渠的长度相等7.（2021·武汉模拟）为增强居民节水意识，我市自来水公司采用以户为单位分段计费办法收费，即每月用水不超过10吨，每吨收费元；若超过10吨，则10吨水按每吨元收费，超过10吨的部分按每吨元收费，公司为居民绘制的水费（元）与当月用水量（吨）之间的函数图象如下，则下列结论错误的是（）A.B.C. 若小明家3月份用水14吨，则应缴水费23元D. 若小明家7月份缴水费30元，则该用户当月用水吨8.（2021九下·重庆开学考）甲乙两车分别从M，N两地同时出发，匀速相向而行，相遇时，甲比乙多行驶了90千米，相遇后，甲车的速度降为原速度的.设行驶时间为x（小时），两车之间的距离为y千米，图中的折线表示两车出发至甲车到达N地这一过程中y与x之间的函数关系.根据图象提供的信息，下列说法：① 两地相距450千米；②乙车速度为60千米/小时；③相遇后，甲车速度为60千米/小时；④点C的纵坐标为120，正确的是（）A. ①②③B. ①②C. ①③D. ①②③④9.（2021八上·下城期末）甲，乙两车分别从A，B两地同时出发，相向而行.乙车出发2h后休息，当两车相遇时，两车立即按原速度继续向目的地行驶.设甲车行驶的时间为x(h)，甲，乙两车到B地的距离分别为y1(km)，y2(km)，y1，y2关于x的函数图象如图.下列结论：①甲车的速度是km/h；②乙车休息了0.5h；③两车相距a km时，甲车行驶了h.正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③10.（2021八上·义乌月考）某水电站蓄水池有2个进水口，1个出水口，每个进水口进水量与时间x的关系为，出水口出水量与时间x的关系为，已知某天0点到6点，进行机组试运行，试机时至少打开1个水口，且水池的蓄水量V与时间的关系.如图所示：给出以下判断：①0到3点只进水不出水；②3点到4点，不进水只出水；③4点到6点不进水也不出水.则上述判断中一定正确的是（）A. ①B. ②C. ②③D. ①③11.（2020八上·金牛期末）A，B两地相距20 ，甲乙两人沿同一条路线从地到地，如图反映的是二人行进路程（）与行进时间（）之间的关系，有下列说法：①甲始终是匀速行进，乙的行进不是匀速的；②乙用了4个小时到达目的地；③乙比甲先出发1小时；④甲在出发4小时后被乙追上，在这些说法中，正确的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个12.（2020八上·未央月考）港口依次在同一条直线上，甲、乙两艘船同时分别从两港出发，匀速驶向港，甲、乙两船与港的距离（海里）与行驶时间（小时）之间的函数关系如图所示，则下列说法正确的有（）① 两港之间的距离为60海里②甲、乙两船在途中只相遇了一次③甲船平均速度比乙船平均速度快30海里/时④甲船到达港时，乙船还需要一个小时才到达港⑤点的坐标为A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个13.（2020八上·蜀山月考）李老师骑自行车上班，最初以某一速度行进，中途由于自行车发生故障，停下来修车耽误了8分钟，为了按时到校，李老师加快了速度，但仍保持匀速，结果准时到校．下面四个示意图可表示李老师上班过程中自行车行驶路程ym）与行驶时间x小时）的函数关系的是（）A. B.C. D.14.（2020八上·蜀山月考）一辆客车从霍山开往合肥，设客车出发t h后与合肥的距离为s km，则下列图象中能大致反映s与t之间函数关系的是（）A. B. C. D.15.（2020八上·重庆开学考）一水池放水，先用一台抽水机工作一段时间后停止，然后再调来一台同型号抽水机，两台抽水机同时工作直到抽干.设从开始工作时间为t，剩下的水量为s，下面能反映s与t之间关系的大致图像是( )A. B.C. D.16.（2020·黑龙江）李强同学去登山，先匀速登上山顶，原地休息一段时间后，又匀速下山，上山的速度小于下山的速度．在登山过程中，他行走的路程S随时间t的变化规律的大致图象是（）A. B.C. D.17.（2020八下·福绵期末）甲、乙两人以相同路线前往距离单位10km的培训中心参加学习.图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程S（km）随时间t（分）变化的函数图象.乙出发（）分钟后追上甲.A. 24B. 4C. 5D. 618.（2020八下·海沧期末）药品研究所开发一种抗菌素新药，经过多年的动物实验之后，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间的函数关系如图所示，下列说法正确的是（）A. 当，随增大而减小B. 当，随增大而增大C. 若点和点都在函数图象上，则D. 若血液中药物浓度达到6微克/毫升及以上浓度为有效治疗，则当为有效治疗时间19.（2021八上·苏州期末）在数轴上，点表示－2，点表示为数轴上两点，点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，点到达原点后，立即以原来的速度返回，当点回到点时，点与点同时停止运动．设点运动的时间为秒，点与点之间的距离为个单位长度，则下列图像中表示与的函数关系的是（）A. B.C. D.20.（2020八下·武城期末）如图①，正方形ABCD中，点P以恒定的速度从点A出发，沿AB-BC的路径运动，到点C停止。
实际问题中应用一次函数
实际问题中应用一次函数在实际问题中，应用一次函数一次函数是指具有形如y = kx + b的函数，其中k和b是常数。
一次函数在实际问题中有着广泛的应用，能够帮助我们描述和解决各种与线性关系相关的问题。
本文将讨论实际问题中应用一次函数的一些例子。
例子一：货币兑换问题假设我们需要将某一种货币A兑换成货币B。
已知兑换率为k，即1单位的A可以兑换成k单位的B。
如果我们有x单位的货币A，那么兑换成货币B后的数量y可以通过一次函数来表示：y = kx这个函数的斜率k代表着货币A兑换成货币B的比例关系。
通过这个一次函数，我们可以方便地计算出任意数量的货币A可以兑换成多少货币B。
例子二：速度与距离问题假设一个物体以常数速度v匀速运动，我们想要知道它在t秒内所经过的距离。
根据速度与距离之间的线性关系，我们可以使用一次函数来描述这个问题。
设物体在t秒内所经过的距离为d，则根据物体匀速运动的特性，我们有：d = vt + b其中b是物体在时刻t = 0时的起始位置。
这个一次函数可以帮助我们计算出在不同的时间内物体所行走的距离，从而更好地理解匀速运动的特性。
例子三：物体的增长问题在某些情况下，物体的增长与时间的关系可以由一次函数来描述。
举个例子，假设我们在观察某种细菌的增长情况。
已知在t小时后，细菌的数量为N个。
如果我们假设细菌的增长服从指数增长规律，那么可以使用一次函数来近似描述这个关系。
假设细菌在t小时后的数量为N(t)，则可以表示为：N(t) = kt + b其中k代表细菌的增长速率，b代表初始时刻细菌的数量。
通过这个一次函数，我们可以估计出不同时间点上细菌的数量，从而更好地了解细菌的生长趋势。
结论一次函数在实际问题中的应用非常广泛，可以帮助我们描述和解决与线性关系相关的各种问题。
无论是货币兑换问题、速度与距离问题还是物体的增长问题，一次函数都能提供简洁而有效的描述和计算方法。
通过学习和应用一次函数，我们可以更好地理解和解决实际问题中的各种线性关系。
利用一次函数解决实际问题
利用一次函数解决实际问题2023年了，随着科学技术的不断发展，我们的生活变得越来越便捷。
在这个充满竞争的世界里，数学技能成为越来越重要的一项能力。
而对于一个需要经常解决实际问题的人来说，一次函数就是一个非常重要的数学工具。
一次函数是一种常见的数学函数，通常可以写成形如 y = ax + b 的形式。
其中，a 和 b 都是常数，而 x 是变量。
在实际问题中，我们可以使用一次函数来描述各种关系，从而解决一些实际问题。
举一个简单的例子，假设你是一名投资者，你想研究某家公司的股票价格变化情况。
通过观察历史数据，你发现公司的股票价格与该公司的收益有很强的相关性。
于是你可以使用一次函数来描述这种关系，从而预测未来的股票价格。
在这种情况下，我们可以将公司的收益作为 x 轴，股票价格作为y 轴。
然后我们可以通过拟合数据点来确定这个函数的系数。
具体地，我们可以找到一个最合适的 a 和 b，使得函数 y = ax + b 最好地描述了这种关系。
除了投资领域之外，在其他领域中也可以使用一次函数来解决实际问题。
比如，在营销领域中，我们可以使用一次函数来描述销售额与广告投入之间的关系。
在工程领域中，我们可以使用一次函数来描述材料的强度与温度之间的关系。
总之，一次函数是一个非常重要的数学工具，可以帮助我们解决各种实际问题。
当我们遇到实际问题时，如果我们能够正确地使用一次函数来描述各种关系，那么我们就能够更好地预测未来，以及更好地解决各种实际问题。
在未来的世界中，数学技能将会变得更加重要，而对于一次函数的掌握将会成为我们成功的必要条件之一。
一次函数应用——实际背景问题
一次函数应用——实际背景问题1．某科研小组获取了声音在空气中传播的速度v与空气温度t关系的一些数据如表：温度t（℃）﹣20﹣100102030声速v（m/s）318324330336342348（1）根据表中提供的信息，可推测速度v是温度t的一次函数，请你写出其函数表达式；（2）当空气温度为25℃，声音10秒可以传播多少米？2．某市为了节约用水，采用分段收费标准．设居民每月应交水费y（元），用水量x（立方米）．用水量x（立方米）应交水费y（元）不超过12立方米每立方米3.5元超过12立方米超过的部分每立方米4.5元（1）若某户居民某月用水10立方米，应交水费元；若用水15立方米，应交水费元．（2）求每月应交水费y（元）与用水量x（立方米）之间的函数关系式；（3）若某户居民某月交水费78元，则该户居民用水多少立方米？3．一根长度为30cm的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg时，弹簧长度增加2cm，完成下列问题：①当挂物体重3kg时，弹簧总长度为cm；②在正常的弹性限度内，如果用x表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是多少厘米？③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40cm，那么它挂的物体质量是多少千克？4．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算用户的电费，每月用电量不超过210度时，按0.55元/度计费；每月用电量超过210度时，其中的210度仍按0.55元/度计费，超过的部分按0.6元/度计费，设用户每月用电量为x度，应交电费y元．（1）求当x＞210时，y与x的函数关系式；（2）小林家12月份交纳电费145.5元，小林家这个月用电多少度？5．某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的电费．月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时，其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费．设每户家庭月用电量为x度时，应交电费为y元．（1）当月用电量不超过200时，y与x的函数关系式为，当月用电量超过200度时，y与x的函数关系式为．（2）小新家十月份用电量为160度，求本月应交电费多少元？（3）小明家十月份交纳电费117元，求本月用电多少度？6．我国是世界上严重缺水的国家之一，为了增强居民节约用水意识，某市准备实行新的水费收费标准：每户每月用水量不超过10吨的部分，按每吨3元收费，超过10吨的部分，按每吨5元收费，设某户月用水量为x吨，应交水费为y元．（1）求出应交水费y（元）与用水量x（吨）（x＞10）之间的函数关系式；（2）已知居民甲上个月比居民乙多用4吨水，居民甲、乙共交水费100元，求他们上月分别用水多少吨？7．某电信公司手机通讯有两种收费方式：（A）计时制：0.5元/min；（B）包月制：月租12元，另外通话费按0.2元/min．（1）写出两种方式每月应缴费用y（元）与通话时间x（min）之间的关系式．（2）某手机用户平均每个月通话时间为60min，他采用哪种方式较合算？为什么？（3）如果该用户本月预缴了100元的话费，按包月制算，该用户本月可通话多长时间？8．某地区的电力资源缺乏，未能得到较好的开发．该地区一家供电公司为了居民能节约用电，采用分段计费的方法来计算电费．月用电量x（度）与相应电费y（元）之间的函数图象如图所示．（1）月用电量为50度时，应交电费元．（2）当x≥100时，每度电的费用是元；月用电量为150度时，应交电费元．（3）当x≤100时，求y与x之间的函数关系式．9．某自来水公司为了鼓励市民节约用水，采取分段收费标准．居民每月应交水费y（元）是用水量x（吨）的函数其图象如图所示．（1）求y与x的函数解析式；（2）若某用户居民该月用水3.5吨，问应交水费多少元？若该月交水费9元，则用水多少吨？10．某农户种植一种经济作物，总用水量y（m3）与种植时间x （天）之间的函数关系如图所示．（1）分别求当0≤x≤10和x＞10时，y与x之间的函数关系式；（2）第25天的总用水量为多少m3？11．一辆客车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，两车同时出发，如图表示两车行驶时间x（小时）与到甲地的距离y（千米）的函数图象，已知其中一个函数的表达式为y＝60x．（1）求另一个函数表达式．（2）求两车相遇的时间．12．甲、乙两人从学校出发，沿相同的线路跑向公园，甲先跑一段路程后，乙开始出发，当乙超过甲150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后，乙和甲一起以甲原来的速度继续跑向公园．如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程y（米）与甲出发的时间x（秒）之间函数关系的图象，根据题意填空：（1）在跑步的全过程中，甲共跑了米，甲的速度为米/秒；（2）图中b的值为；（3）乙最早出发时跑步的速度为米/秒，乙在途中等候甲的时间为秒；（4）乙出发秒后与甲第一次相遇．13．甲、乙两地相距300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地匀速开往乙地，轿车晚出发1h．货车和轿车各自与甲地的距离y （单位：km）与货车行驶的时间x（单位：小时）之间的关系如图所示．（1）求出图中的m和n的值；（2）分别求出轿车行驶过程中y1，货车行驶过程中y2关于x 的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（3）当轿车到达乙地时，求货车与乙地的距离．14．《龟兔赛跑》是一则耐人寻味的寓言故事，故事中塑造了一只骄傲的兔子和一只坚持不懈的小乌龟．图中的线段OD和折线OABC表示“龟兔赛跑时时间与路程”的关系，请你根据图中给出的信息，解决下列问题．（1）填空：折线OABC表示赛跑过程中（填“兔子”或“乌龟”）的时间与路程的关系，赛跑的全过程是米．（2）乌龟用了多少分钟追上了正在睡觉的兔子？（3）兔子醒来后，以300米/分钟的速度跑向终点，结果还是比乌龟晚到了1分钟，请问兔子在中间停下睡觉用了多少分钟？15．某通讯公司推出①，②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间x（分）与费用y（元）之间的函数关系如图所示．（1）有月租的收费方式是（填“①”或“②”），月租费是元．（2）分别写出①，②两种收费方式中y与自变量x之间的函数表达式：①；②．（3）当通讯时间是多少分钟时，两种收费方式的费用一样？（4）如果某用户一个月通讯时间是350分钟，请说明应该选择哪种收费方式更经济实惠．16．某物流公司的一辆货车A从乙地出发运送货物至甲地，1小时后，这家公司的一辆货车B从甲地出发送货至乙地．货车A、货车B距甲地的距离y（km）与时间x（h）之间的关系如图所示．（1）求货车B距甲地的距离y与时间x的关系式；（2）求货车B到乙地后，货车A还需多长时间到达甲地．17．“低碳生活，绿色出行”是一种环保健康的生活方式，小王从甲地匀速骑单车前往乙地，同时小李从乙地沿同一路线匀速骑单车前往甲地，两人之间的距离为y（km），y与骑车时间x（min）之间的函数关系如图中折线段AB﹣BC﹣CD所示．（1）小王和小李出发min相遇；（2）在骑行过程中，若小李先到达甲地，①求小王和小李各自骑行的速度（速度单位km/时）；②计算出点C的坐标，并说明C的实际意义．18．小军到某景区游玩，他从景区入口处步行到达小憩屋，休息片刻后继续前行，此时观光车从景区入口处出发的沿相同路线先后到达观景点，如图，l1，l2分别表示小军与观光车所行的路程y（m）与时间x（min）之间的关系．根据图象解决下列问题：（1）观光车出发分钟追上小军；（2）求l2所在直线对应的函数表达式；（3）观光车比小军早几分钟到达观景点？请说明理由．19．我市某校开展了“阳光体育、强身健体”系列活动，小明同学积极参与，他每周末和哥哥一起赛跑．已知他们所跑的路程y（m）与时间x（s）之间的函数关系如图所示，哥哥先让小明跑12m，然后自己才开始跑．（1）反映小明所跑路程与时间之间关系的是（填写“l1”或“l2”），哥哥的速度是m/s；（2）何时哥哥在小明的前面？（3）何时两人相距6m？20．A，B两地相距12千米，甲骑自行车从A地出发前往B地，同时乙步行从B地出发前往A地，如图的折线OPQ和线段EF，分别表示甲、乙两人与A地的距离y甲、y乙与他们所行时间x （h）之间的函数关系，且OP与EF相交于点M．（1）求y乙与x的函数关系式以及两人相遇地点与A地的距离；（2）求线段OP对应的y甲与x的函数关系式；（3）求经过多少小时，甲、乙两人相距5千米．21．甲乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地，轿车比货车晚出发1.5小时，如图，线段OA表示货车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系．请根据图象解答下列问题：（1）货车的速度是km/h，B点坐标为；（2）在轿车行驶过程中，轿车行驶多长时间两车相遇？（3）直接写出：在行驶过程中，货车行驶多长时间，两车相距15千米？22．甲、乙两个探测气球分别从海拔高度5m和15m处同时出发，甲探测气球以1m/min的速度上升，乙探测气球以0.5m/min的速度上升，两个气球都上升了60min．如图是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔高度y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）的函数图象．（1）分别写出表示两个气球所在位置的海拔高度y（单位：m）关于上升时间x（单位：min）的函数关系．（2）当甲、乙两气球的海拔高度相差15米时，上升时间是多少？23．如图，一列快车从甲地匀速驶往乙地，一列慢车从乙地匀速驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为x（h），两车之间的距离为y（km），图中的折线表示y与x之间的函数关系．根据图象进行以下探究：信息读取（1）甲、乙两地之间的距离为km；（2）请解释图中点B的实际意义；图象理解（3）求慢车和快车的速度；（4）求线段BC所表示的y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．24．甲、乙两人相约周末登阳台山，甲、乙两人距地面的高度y （米）与登山时间x（分）之间的函数图象如图所示，且当乙提速后，乙的登山上升速度是甲登山上升速度的3倍，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙在A地时距地面的高度b为米；t的值为；甲在登山全程中，距离地面高度y（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为；（2）乙出发多长时间后，甲、乙两人第一次相遇？。
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• 8. （2011湖北孝感）健身运动已成为时尚，某公司计 划组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐赠给社区 健身中心.组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种 部件4个，组装一套B型健身器材需甲种部件3个和乙 种部件6个.公司现有甲种部件240个，乙种部件196个. • （1）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多 少种组装方案；（5分） • （2）组装一套A型健身器材需费用20元，组装一套B 型健身器材需费用18元.求总组装费用最少的组装方案， 最少组装费用是多少？(5分)
科的女子800米耐力测试中，某考点同时起跑的小莹
和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数图 象分别为线段OA和折线OBCD.下列说法正确的是( )
(A)小莹的速度随时间的增大而增大 (B)小梅的平均速度比小莹的平均速度大
(C)在起跑后180秒时，两人相遇
(D)在起跑后50秒时，小梅在小莹的前面
行程问题
速度×时间=路程
2．“5．12”汶川地震发生后，某天广安先后有两批自 愿者救援队分别乘客车和出租车沿相同路线从广安赶往 重灾区平武救援，下图表示其行驶过程中路程随时间的 变化图象． （1）根据图象，请分别写出客车和出租车行驶过程中 路程与时间之间的函数关系式（不写出自变量的取值范 围）； y(千米) （2）写出客车和出租车行 200 客车 驶的速度分别是多少？ 出租车 150 （3）试求出出租车出 发后多长时间赶上客车？ 100
• 8. （2011湖北孝感）健身运动已成为时尚，某公司计 划组装A、B两种型号的健身器材共40套，捐赠给社区 健身中心.组装一套A型健身器材需甲种部件7个和乙种 部件4个，组装一套B型健身器材需甲种部件3个和乙 种部件6个.公司现有甲种部件240个，乙种部件196个. • （1）公司在组装A、B两种型号的健身器材时，共有多 少种组装方案；（5分） • （2）组装一套A型健身器材需费用20元，组装一套B 型健身器材需费用18元.求总组装费用最少的组装方案， 最少组装费用是多少？(5分)
（1）求S2与t之间的函数关 y 96x 2400 系式： （2）小明从家出发，经过 多长时间在返回途中追上爸 爸？这时他们距离家还有多 远？ 20分钟和480米
s(m) A B
2400
E
C O 10 12 D F t(min)
8.(2011· 潍坊中考)在今年我市初中学业水平考试体育学
实际应用题
关注“图象信息”
例8、甲、乙两名运动员进行长跑训练，两人距 终点的路程y（米）与跑步时间x（分）之间 D 的函数图象如图所示，根据图象判断下列结 论错误的是（ ）.
A.他们在进行5000米的长跑训练. y B.在0＜x＜15的时内，速度较快 5000 的人是甲； 4000 C.当x=15时两人相距750米 D.在15＜x＜20的时段内两人速 3000 2000 度之差为100米/分．
• 7．（2011湖南益阳）某地为了鼓励居民节约用水，决 定实行两级收费制，即每月用水量不超过14吨（含14 吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨 时，超过部分每吨按市场调节价收费．小英家1月份用 水20吨，交水费29元；2月份用水18吨，交水费24 元． • （1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是 多少？ • （2）设每月用水量为吨，应交水费为y元，写出y与之 间的函数关系式； • （3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？
• 6. （2011山东潍坊）2011年秋冬北方严重干旱，凤凰 社区人畜饮用水紧张，每天需从社区外调运饮用水120 吨.有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到 社区供水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最 多可调出90吨.从两水厂运水到凤凰社区供水点的路程 和运费如下表： • （1）若某天调运水的总运费 为26700元，则从甲、乙两水 厂各调运了多少吨饮用水？ • （2）设从甲厂调运饮用水x 吨，总运费为W元，试写出W 关于与x的函数关系式，怎样 安排调运方案才能是每天的总 运费最省？
1000 O 5 10 15 20 x
甲
乙 A
• 2．（2012义乌市）周末，小明骑自行车从家里 出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地， 游玩一段时间后按原速前往乙地．小明离家1小 时20分钟后，妈妈驾车沿相同路线前往乙地， 如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间 x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小 明骑车速度的3倍．
（1）求小明骑车的速度和在甲 地游玩的时间； （2）小明从家出发多少小时后 被妈妈追上？此时离家多远？ （3）若妈妈比小明早10分钟到 达乙地，求从家到乙地的路 程．
商品销售问题
单价×数量=总价
• 1．（2012临沂）小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获 丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进 行跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单 位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如单位：天）的函数关系式如图2所示． （1）观察图象，直接写出日销 售量的最大值； （2）求小明家樱桃的日销售量y 与上市时间x的函数解析式； （3）试比较第10天与第12天的 销售金额哪天多？
工程问题
工效×时间=工作量
• 3．（2012•衢州）在社会主义新农村建设中，衢州某 乡镇决定对A、B两村之间的公路进行改造，并有甲工 程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向 修筑．已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施 工．乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下 的任务有甲工程队单独完成，直到公路修通．下图是 甲乙两个工程队修公路的长度y（米）与施工时间x （天）之间的函数图象， 请根据图象所提供的信息解答下列 问题： （1）乙工程队每天修公路多少米？ （2）分别求甲、乙工程队修公路 的长度y（米）与施工时间x（天） 之间的函数关系式． （3）若该项工程由甲、乙两工程 队一直合作施工，需几天完成？
50
O
1
2
3
4
5 x（小时）
变式训练
关注“数形结合思想， 待定系数法，方程思想”
（2011江苏泰州，25，10分）小明从家骑自行车出发，沿一条 直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸 以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明在邮 局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过t min时， 小明与家之间的距离为 S1 m ,小明爸爸与家之间的距离为S2 m,,图中折线OABD，线段EF分别是表示S1、S2与t之间函数 关系的图像．