可积系研究和组合计数方法.ppt
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高中数学第1章计数原理1.2排列与组合1.2.2第1课时组合与组合数公式课件新人教A版选修2_3
的两位数的方法．
A．①③
B．②④
C．①②
D．①②④
C [①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．]
2．若C2n＝28，则n＝( A．9 C．7
) B．8 D．6
B [C2n＝n×n2－1＝28，解得n＝8.]
3．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相 等，则车票票价的种数是________．
思考2：如何理解组合与组合数这两个概念？
[提示] 同“排列”与“排列数”是两个不同的概念一样， “组合”与“组合数”也是两个不同的概念，“组合”是指“从n个 不同元素中取m(m≤n)个元素合成一组”，它不是一个数，而是具 体的一件事；“组合数”是指“从n个不同元素中取出m(m≤n)个元 素的所有不同组合的个数”，它是一个数．例如，从3个不同元素 a，b，c中每次取出两个元素的组合为ab，ac，bc，其中每一种都叫 一个组合，这些组合共有3个，则组合数为3.
1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借 助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直 观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐 步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交 换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层 及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
[解] (1)原式＝140××39××28××17－73× ×62× ×51·(3×2×1)＝210－210＝0.
n≥5－n， n＋1≥9－n， (2)由9－n≥0， 5－n≥0， n∈N*，
得n＝4或5.
当n＝4时，原式＝C14＋C55＝5， 当n＝5时，原式＝C05＋C46＝16.
组合与组合数ppt课件(自制)
组合数定义： 从n个不同的元素中取出m
（m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同
元素中取出m个元素的组合数.用符号 C m 表示。 n
判断下列各事件是排列还是组合问题，并用 相应的排列数和组合数表示。
(1)10个人相互各写一封信,共写多少封信?
(2)10个人规定相互通一次电话,共通了多少次 电话?
由乘法原理,有C
3 4
A33
种方法.
另解:由题意,从4个元素中取出3个,有A
3 4
种方
法.
C43A33 A43
C
3 4
A
3 4
A
3 3
阅读P27
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从 n个不同元素中取出m个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 n个不同元素中取出m个元素
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
82.成为一个成功者最重要的条件， 就是每 天精力 充沛的 努力工 作，不 虚掷光 阴。― ―[威廉 ·戴恩·飞利浦] 83.人生成功的秘诀是，当机会来到 时，立 刻抓住 它。― ―[班杰 明·戴 瑞斯李] 84.不停的专心工作，就会成功。― ―[查尔 斯·修 瓦夫]
（m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同
元素中取出m个元素的组合数.用符号 C m 表示。 n
判断下列各事件是排列还是组合问题，并用 相应的排列数和组合数表示。
(1)10个人相互各写一封信,共写多少封信?
(2)10个人规定相互通一次电话,共通了多少次 电话?
由乘法原理,有C
3 4
A33
种方法.
另解:由题意,从4个元素中取出3个,有A
3 4
种方
法.
C43A33 A43
C
3 4
A
3 4
A
3 3
阅读P27
组合数公式
排列与组合是有区别的，但它们又有联系．
一般地，求从 n个不同元素中取出m个元素的排
列数，可以分为以下2步：
第1步，先求出从这 n个不同元素中取出m个元素
79.有两种东西，我们对它们的思考 愈是深 沉和持 久，它 们所唤 起的那 种愈来 愈大的 惊奇和 敬畏就 会充溢 我们的 心灵， 这就是 繁星密 布的苍 穹和我 心中的 道德律 。 ――[康德]
80.我们的生活似乎在代替我们过日 子，生 活本身 具有的 奇异冲 力，把 我们带 得晕头 转向； 到最后 ，我们 会感觉 对生命 一点选 择也没 有，丝 毫无法 作主。 ――[索 甲仁波 切] 81.如果你是个作家，这是比当百万 富豪更 好的事 ，因为 这一份 神圣的 工作。[哈兰·爱里森]
82.成为一个成功者最重要的条件， 就是每 天精力 充沛的 努力工 作，不 虚掷光 阴。― ―[威廉 ·戴恩·飞利浦] 83.人生成功的秘诀是，当机会来到 时，立 刻抓住 它。― ―[班杰 明·戴 瑞斯李] 84.不停的专心工作，就会成功。― ―[查尔 斯·修 瓦夫]
《组合(一)》课件
《组合(一)》ppt课件
目录
CONTENTS
• 组合数学简介 • 组合计数原理 • 组合数的计算方法 • 组合数的性质与定理 • 组合数在概率论中的应用 • 总结与展望
01 组合数学简介
CHAPTER
组合数学的定义
总结词
组合数学是一门研究组合问题的 数学分支。
详细描述
组合数学主要研究的是在一定条 件下，从n个不同元素中选取k个 元素（0≤k≤n）的所有可能组合 的数量和性质。
组合数具有一些重要的性质，如递归性质、对称性质和组 合恒等式等。这些性质在概率论中有广泛的应用。
概率论中的排列与组合问题
排列与组合问题的求解方法
在概率论中，排列与组合问题通常采用组合数学中的方法进行求解，如递推关系、容斥原 理、生成函数等。
排列与组合问题的应用
排列与组合问题在概率论中有广泛的应用，如概率计算、随机过程、统计学等领域。
排列与组合的关系
排列
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），按照一定的顺序排成一 列，叫做从n个元素中取出m个元素的 一个排列。
组合
关系
排列与组合的区别在于是否考虑顺序 。排列考虑顺序，组合不考虑顺序。
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），不考虑顺序，叫做从n个 元素中取出m个元素的一个组合。
通过本章的学习，学生可以掌握组合数学的基本知识和方法，为后续的学习打下的基本概念和 原理，掌握其应用方法和技巧。
多做练习题，加深对组合数学的 理解和掌握，提高解题能力。
积极探索组合数学在实际生活中 的应用，培养数学思维和解决问
题的能力。
未来展望
随着科技的发展和社会的进步 ，组合数学的应用越来越广泛 ，涉及到计算机科学、信息论 、统计学等领域。
目录
CONTENTS
• 组合数学简介 • 组合计数原理 • 组合数的计算方法 • 组合数的性质与定理 • 组合数在概率论中的应用 • 总结与展望
01 组合数学简介
CHAPTER
组合数学的定义
总结词
组合数学是一门研究组合问题的 数学分支。
详细描述
组合数学主要研究的是在一定条 件下，从n个不同元素中选取k个 元素（0≤k≤n）的所有可能组合 的数量和性质。
组合数具有一些重要的性质，如递归性质、对称性质和组 合恒等式等。这些性质在概率论中有广泛的应用。
概率论中的排列与组合问题
排列与组合问题的求解方法
在概率论中，排列与组合问题通常采用组合数学中的方法进行求解，如递推关系、容斥原 理、生成函数等。
排列与组合问题的应用
排列与组合问题在概率论中有广泛的应用，如概率计算、随机过程、统计学等领域。
排列与组合的关系
排列
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），按照一定的顺序排成一 列，叫做从n个元素中取出m个元素的 一个排列。
组合
关系
排列与组合的区别在于是否考虑顺序 。排列考虑顺序，组合不考虑顺序。
从n个不同元素中取出m个元素（ 0<m≤n），不考虑顺序，叫做从n个 元素中取出m个元素的一个组合。
通过本章的学习，学生可以掌握组合数学的基本知识和方法，为后续的学习打下的基本概念和 原理，掌握其应用方法和技巧。
多做练习题，加深对组合数学的 理解和掌握，提高解题能力。
积极探索组合数学在实际生活中 的应用，培养数学思维和解决问
题的能力。
未来展望
随着科技的发展和社会的进步 ，组合数学的应用越来越广泛 ，涉及到计算机科学、信息论 、统计学等领域。
《组合与组合数公式》课件
进阶练习题
题目4
在7个不同元素中取出5个 元素有多少种不同的取法 ？
题目5
从8个人中选出3个人来组 成一个小组，其中某个人 必须被选中，有多少种不 同的选法？
题目6
从10个不同的元素中取出 4个元素的组合数是多少？
答案解析
题目1答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的 选法。
组合数的性质在计算中的应用
利用组合数的性质简化计算
通过组合数的性质，可以将复杂的组合数计算转化为简单的计算，例如利用性质 公式和递推公式简化计算。
解决实际问题
组合数在现实生活中有着广泛的应用，例如在概率论、统计学、计算机科学等领 域中都有涉及。通过掌握组合数的性质，可以更好地解决实际问题。
03
组合数公式的推导
题目2答案
$C_{5}^{3} = frac{5!}{3!2!} = 10$种不同的组 合数。
题目3答案
$C_{4}^{2} = frac{4!}{2!2!} = 6$种不同的取法 。
题目4答案
$C_{7}^{5} = frac{7!}{5!2!} = 21$种不同的取法。
题目5答案
$C_{8}^{3} - C_{7}^{2} = 56 - 21 = 35$种不同 的选法。
组合数的性质
总结词
组合数具有一些重要的性质，包括组合数的 对称性、组合数的递推关系、组合数的性质 等。
详细描述
组合数具有对称性，即C(n, m) = C(n, nm)，这意味着从n个不同元素中取出m个元 素和从n个不同元素中取出n-m个元素的方 式数量是相等的。此外，组合数还具有递推 关系，即C(n, m) = C(n-1, m-1) + C(n-1,
《组合与组合数公式》课件
3
详细解答
我们将逐步解答例题并给出详细的推导过程和计算方法。
组合公式的拓展
排列组合
排列组合是组合数学的一个重要 拓展，它涉及考虑元素的顺序的 排列方式。
分而治之
组合数学可以与分治算法结合， 解决具有组合性质的问题。
组合优化
组合数学在网络优化和组合优化 问题中发挥着重要作用。
总结与收尾
பைடு நூலகம்
1 重要性
组合与组合数公式对现实 世界和数学领域具有重要 意义。
《组合与组合数公式》 PPT课件
在这个PPT课件中，我们将深入探讨组合与组合数公式的概念、应用和推导过 程。让我们一起探索这个有趣而有用的数学领域！
什么是组合
组合的基本概念
组合是从一组元素中选择特定数 量的元素，不考虑顺序的排列。
组合的应用
组合数学在化学、信息论、概率 统计等领域有着广泛的应用。
组合的例题讲解
让我们通过一些有趣的情境和实 际问题来深入了解组合的运用。
组合公式的推导
阶乘公式
阶乘是组合数公式推导的基础，它表示从1到n的所有正整数的乘积。
组合数公式的推导
通过数学归纳法和排列组合的原理，我们可以推导出组合数公式。
二项式定理
二项式定理描述了如何将一个二项式（两个项的和或差的表达式）扩展为幂次多项式。
组合公式的应用
概率与统计
组合数公式在概率和统计中用于计算事件的可能性和样本空间的大小。
计算组合数
我们可以使用组合数公式快速计算出给定条件下的组合数量。
密码学
组合数学在密码学中被用于设计和分析密码系统的安全性。
组合公式的例题讲解
1
问题提出
我们将通过一个实际问题引入本节的例题讲解。
可积系研究和组合计数方法
如果上面的守恒量I被表示成Bernoulli数的一些线性组合,并不出人意料;但不 多不少恰好等于一个Faulhaber多项式的值实在让人惊讶. 2005年 Grosset 和 Veselov受上述结果的启发在文 Bernoulli Numbers and Solitons，J. Nonlinear Math. Phys. V12 (2005), 469–474 中证明了Bernoulli数 和KdV方程单孤子解的关系式
从上面的推导可以得出结论, 由递推式
算得的列 乃是KdV方程族的
无穷多个守恒密度. 而且其导数 给出KdV方程族
右边的表示式.
为了更好地了解Faulhaber多项式和KdV方程的关系,我们来推导 或 的一般 表达式. 换言之下面的任务就是求解下面的微分差分方程的明显表达式.
或在方程两边施以算子
KdV方程族守恒密度的一般表示式 上面我们推导出KdV方程实际上是KdV方程族中的一员。它们共有一组无穷多个守 恒密度。若将这组守恒密度规范化，将其最高阶导数项的系数取作1，则KdV 方程族可以写成
2000年Avramidi 和 Rainer:在文 A new explicit expression for the Korteweg-De Vries hierarchy, Math. Nachr. (219 (2000) 45{64), 中给出了一个G的一个很复杂 的所谓一般表达式
守恒密度G[u]的构造 Avramidi 和 Rainer还考察了微分多项式 G 的构造。他们提到G中次数最高而 阶数最低的项为
这里我们假设u(x,t)在x等于正负无穷时迅速递减至零。
KdV方程守恒量和Faulhaber多项式 上面的 成为守恒量是因为
使得
是所谓的守恒密度,也即存在 , 事实上我们有
从上面的推导可以得出结论, 由递推式
算得的列 乃是KdV方程族的
无穷多个守恒密度. 而且其导数 给出KdV方程族
右边的表示式.
为了更好地了解Faulhaber多项式和KdV方程的关系,我们来推导 或 的一般 表达式. 换言之下面的任务就是求解下面的微分差分方程的明显表达式.
或在方程两边施以算子
KdV方程族守恒密度的一般表示式 上面我们推导出KdV方程实际上是KdV方程族中的一员。它们共有一组无穷多个守 恒密度。若将这组守恒密度规范化，将其最高阶导数项的系数取作1，则KdV 方程族可以写成
2000年Avramidi 和 Rainer:在文 A new explicit expression for the Korteweg-De Vries hierarchy, Math. Nachr. (219 (2000) 45{64), 中给出了一个G的一个很复杂 的所谓一般表达式
守恒密度G[u]的构造 Avramidi 和 Rainer还考察了微分多项式 G 的构造。他们提到G中次数最高而 阶数最低的项为
这里我们假设u(x,t)在x等于正负无穷时迅速递减至零。
KdV方程守恒量和Faulhaber多项式 上面的 成为守恒量是因为
使得
是所谓的守恒密度,也即存在 , 事实上我们有
《计数原理》课件
探讨抽屉原理及其在计 数问题中的实际应用。
错排问题与公式推 导
讲解错排问题的概念， 并推导出错排公式。
具体应用
可重集排列组合问题
讨论可重集的排列组合问题，例如将不同颜色的积木 排列成不同的形状。
球与盒子问题
考虑将球放在盒子中的不同方式，包括球的数量和盒 子的数量。
字母重排列问题
通过重新排列字母来创建不同的单词或短语，并讨论
钞票找零问题
解决找零时的计数问题，包括使用不同面额的钞票和
拓展应用
1
Fibonacci数列及其应用
介绍Fibonacci数列的定义和它在自然界和科学中的应用。
2
卡特兰数与其特殊应用
探讨卡特兰数及其在计数问题中的特殊应用，如括号匹配问题。
总结与展望
重要性
总结计数原理在实际问题中的重要性和应用。
新方法探究
《计数原理》PPT课件
计数原理是一门关于计数和组合的数学学科，它在计算机科学、密码学和信 息论等领域中有着广泛的应用。
引言
定义与作用Байду номын сангаас
介绍计数原理的定义和它在问题求解中的作用。
应用场景
简述计数原理在实际生活和科学研究中的应用场景。
基本概念
1
排列组合
介绍排列组合的定义和它们之间的区别。
2
排列、重排列、循环排列
讲解排列、重排列和循环排列的概念及其应用。
3
组合、二项式系数、帕斯卡三角形
探讨组合、二项式系数和帕斯卡三角形在计数原理中的重要性。
基本定理与公式
乘法原理与加法原 理
解释乘法原理和加法原 理，并探讨它们在计数 问题中的应用。
容斥原理与推广
介绍容斥原理以及它在 解决重叠计数问题中的 应用。
错排问题与公式推 导
讲解错排问题的概念， 并推导出错排公式。
具体应用
可重集排列组合问题
讨论可重集的排列组合问题，例如将不同颜色的积木 排列成不同的形状。
球与盒子问题
考虑将球放在盒子中的不同方式，包括球的数量和盒 子的数量。
字母重排列问题
通过重新排列字母来创建不同的单词或短语，并讨论
钞票找零问题
解决找零时的计数问题，包括使用不同面额的钞票和
拓展应用
1
Fibonacci数列及其应用
介绍Fibonacci数列的定义和它在自然界和科学中的应用。
2
卡特兰数与其特殊应用
探讨卡特兰数及其在计数问题中的特殊应用，如括号匹配问题。
总结与展望
重要性
总结计数原理在实际问题中的重要性和应用。
新方法探究
《计数原理》PPT课件
计数原理是一门关于计数和组合的数学学科，它在计算机科学、密码学和信 息论等领域中有着广泛的应用。
引言
定义与作用Байду номын сангаас
介绍计数原理的定义和它在问题求解中的作用。
应用场景
简述计数原理在实际生活和科学研究中的应用场景。
基本概念
1
排列组合
介绍排列组合的定义和它们之间的区别。
2
排列、重排列、循环排列
讲解排列、重排列和循环排列的概念及其应用。
3
组合、二项式系数、帕斯卡三角形
探讨组合、二项式系数和帕斯卡三角形在计数原理中的重要性。
基本定理与公式
乘法原理与加法原 理
解释乘法原理和加法原 理，并探讨它们在计数 问题中的应用。
容斥原理与推广
介绍容斥原理以及它在 解决重叠计数问题中的 应用。
计数原理与排列组合课堂PPT
（2）若某些元素不相邻，常用插空法，即先将普通 元素全排列，然后再从排就的每两个元素之间及两端选出 若干个空挡插入这些特殊元素。
(3)前后排问题，直排法.
授课：XX
10
变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排 法？
排在甲、乙2人中间，有 种排法，这时把已排好的5人视
为一整体，与最后剩下的2人再排，又有 种排法，这样
总共有
＝720种不同排法．
授课：XX
12
(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有 种排法；由 于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法；最后
把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的
素的一个组合。
区别
与顺序有关
与顺序无关
判定 公式
看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
C A n m n (n 1 )n (2 ) (n m 1 )
n!
(nm)!
授课：XX
m n(n 1)n(2) (nm 1)
n n!
m !
nHale Waihona Puke !m!34。解排列组合问题基本思路
排 有序 排列 分类或分步 直接法
列 组
不易解
合
间接法
问
题
无序 组合 分类或分步
不易解 直接法
授课：XX
4
题型2 可重复元素排列问题 【例2】五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一
项，报名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比
赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少 种？
解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．
(3)前后排问题，直排法.
授课：XX
10
变式4 4个男同学，3个女同学站成一排． (1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？ (2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排 法？
排在甲、乙2人中间，有 种排法，这时把已排好的5人视
为一整体，与最后剩下的2人再排，又有 种排法，这样
总共有
＝720种不同排法．
授课：XX
12
(4)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有 种排法；由 于甲、乙要相邻，故再把甲、乙排好，有 种排法；最后
把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的
素的一个组合。
区别
与顺序有关
与顺序无关
判定 公式
看取出的两个元素互换位置是否为同一种方 法，若不是，则是排列问题；若是，则是组合。
C A n m n (n 1 )n (2 ) (n m 1 )
n!
(nm)!
授课：XX
m n(n 1)n(2) (nm 1)
n n!
m !
nHale Waihona Puke !m!34。解排列组合问题基本思路
排 有序 排列 分类或分步 直接法
列 组
不易解
合
间接法
问
题
无序 组合 分类或分步
不易解 直接法
授课：XX
4
题型2 可重复元素排列问题 【例2】五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一
项，报名方法的种数为多 少？五名学生争夺四项比
赛的冠军(冠军不并列)，获得冠军的可能性有多少 种？
解答：报名的方法种数为4×4×4×4×4＝45(种)．
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也是同一方程的守恒量。所以我们需要弄清楚究竟什么样的守恒量才引出
Faulhaber多项式？
下面我们来回顾一下导出KdV方程无穷多个守恒密度的两种算法。
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10
Miura方法 假设u(x,t)是KdV方程的解
令
可得
பைடு நூலகம்
2019-
由此可见若w满足方程
则u满足KdV方程. 将w按 展开
则各个 均为守恒密度
2019-
谢谢观赏
上面提到的三种表达式都十分的复杂。为了导出KdV方程族的一个简洁些的 表达式，也许从Hirota的双线性方法入手会更有效。
19
Hirota导数和他的双线性方法
Hirata发现很多有孤子解的偏微分方程可以经由应变量的代换化为所谓的双线 性方程。由这些双线性方程入手他成功地找到了N-孤子解。有关他的方法的详 2019细陈述可见 广田良吾：孤子理论中的直接方法。王红艳，李春霞，赵俊霄，虞国富译，胡 星标校。清华大学出版社 2008
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或在方程两边施以算子
16
KdV方程族守恒密度的一般表示式
上面我们推导出KdV方程实际上是KdV方程族中的一员。它们共有一组无穷多个守
恒密度。若将这组守恒密度规范化，将其最高阶导数项的系数取作1，则KdV 方程族可以写成
2019-
2000年Avramidi 和 Rainer:在文 A new explicit expression for the
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3
何谓可积系?为何要研究可积系?
何谓可积系?这是个大题目,可以讲上几天.我们只能笼统的讲,所谓可积系是
指一组微分或差分方程,它具有足够多的互相对合的初次积分.
2019-
对于经典的可积系曹策问教授有精湛的综述文 曹策问: 经典可积系统, 孤立子理论与应用，谷超豪等著 浙江科技出版社 (1990), pp.176-215
18
为了导出KdV方程族的表达式也许从Hirota的双线性方法入手会更有效。
KdV方程族守恒密度的l另一表示式
Polterovich：From Agmon-Kannai expansion to Korteweg-de Vries
hierarchy (1999) part of Ph.D thesis
KdV方程的无穷多个守恒律的推导
2019-
Fairlie 和 Veselov从当Schrödinger算
具有离散谱
这一结果导出上面提到的关系式的. 我觉得他们的证明
并不令人信服. 在他们的文中并没有提到各个守恒量的递推关系，更没有守
恒量的明显表达式。事实上当I[u]和J[u]是KdV方程的守恒量时，其线性组合
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数方法在可积系研究中的应用，和我在这两个领域里 的工作相关。下面是我阅读有关文献的一个读书报告。 因为所读有限，遗漏之处请予指正。我谨在此感谢胡 星标提供的文献资料。
2
2019-
如所周知，可积系研究涉及到数学物理许多方向：微分方程，微分几何， 代数几何，李代数，复分析， 群论，力学，规范场理论等等。可积系出 现在众多领域这一事实表明可积系研究的价值和它的潜在的美。数学理论 中的内在美一直是推动其进展的强大动力。
如果上面的守恒量I被表示成Bernoulli数的一些线性组合,并不出人意料;但不
多不少恰好等于一个Faulhaber多项式的值实在让人惊讶.
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2005年 Grosset 和 Veselov受上述结果的启发在文 Bernoulli Numbers and Solitons，J. Nonlinear Math. Phys. V12 (2005), 469–474 中证明 了Bernoulli数和KdV方程单孤子解的关系式
易知
特别有
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例:因6=2+4=2+2+2,所以我们有
此式与 Sawada-Kotera方程相关
22
KdV方程守恒量和Faulhaber多项式
上面的 在
成为守恒量是因为 使得
是所谓的守恒密度,也即存 , 事实上我们有
2019-
2001年Fairlie 和 Veselov发现了KdV方程的守恒量和Faulhaber 多项式之间 有一个出人意料的关系 Bernoulli polynomials and solitons, Physica D 152–153 (2001) 47–50
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这是一个非线性的递推式,它包含w的二次项. 其奇数序号的项都是全导数, 所 以都是平凡的守恒密度.只有偶数序号的项才给出非平凡的守恒密度. 这样为 了计算下一个守恒密度需叠代两次.
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KdV方程族和递推式
KdV方程实际上是所谓的KdV方程族中的一员。方程族成员间存在着一个微
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分递推关系。下面我们使用所谓的零曲率方程方法来导出KdV方程的无穷多
Hirata导数定义为
对于KdV方程 Hirata的双线性行式。
写成通常行式便是
引入变换
便可谢将谢之观赏写成
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复合函数高阶导数的 di Bruno 公式 如所周知，对复合函数
我们有下面的求导公式
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这一公式看似简单,实际上用它来计算复合函数的高阶导数却很繁杂.次之 di Bruno公式给出了复合函数高阶导数的一般表达式.
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Gui-zhang Tu: The trace identity, a powerful tool for constructing the Hamiltonian structure of integrable systems. J.Math.Phys., v.30 (1989), pp.330-338
代入上面的驻定方程
上式左边与 有关.于是
相关,而右边与
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因此两边都只与
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比较
我们需要消去和h相关的一项。为此我们引入
易证明零曲率方程族
引出KdV方程族
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当n=2时便是KdV方程
Step3. KdV方程族的Hamilton结构
下面我们要论证上面导出的 乃是KdV方程族的守恒密度,也是这一方程族的 彼此对合的Hamilton量. 为此我们需要应用一个很有用的工具:迹恒等式
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Bernoulli数还可以用来写出自然数数列倒数的偶次幂的和
这和数论里有名的Riemann采他函数有关, 这里就不提了.
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有趣的是自然数数列的奇幂次和都可以用自然数数列的和表示出来:
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称作Faulhaber多项式
KdV方程的孤子解和无穷多个守恒量
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或 是可积系理论中最著名的方程.可以说可积系理论中所有新方法,新思 想都是从KdV方程入手发展起来的. 该方程的一个显式解是
个守恒密度,并说明由这无穷多个守恒密度之导数便可得到KdV方程族.
我们从经典的李代数 的所有矩阵组成。它的基是
出发。 乃由复数域 上所有迹为0
对此我们有
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然后我们考虑相应的所谓loop 李代数 有关loop代数在可积系研究中的应用的更详细的讨论见我的综述文：
屠规彰 Kac-Moody代数与可积系，孤立子理论与应用，谷超豪等著 浙江 科技出版社 (1990), pp.268-342
这一解的图形如一个单峰波形, 称作单孤子解. KdV方程还有双孤子及 多孤子解. 双孤子解代表的两个波峰对向运行时,两个峰重叠后会谢谢复观原赏 , 继续各自向前,犹如两个粒子.此乃孤子名字的由来. KdV方程有许多美 妙的性质. 其一是有无穷多个守恒量:
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这里我们假设u(x,t)在x等于正负无穷时迅速递减至零。
系； 2. Bell 多项式，di Bruno公式和KdV方程族的明显表达式及Hirota的双线性方
法的关系； 3. 计数反演公式和可积系理论中达布变换中的应用. 4. 一些可供进一步研究的问题。
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Bernoulli 数出现在很多数学领域。比如一些初等函数如tan(x) 的Tylor 展开式.
其中{,} 表示Poisson刮号:
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从上面的推导可以得出结论, 由递推式 程族的无穷多个守恒密度. 而且其导数 右边的表示式.
算得的列 乃是KdV方 给出KdV方程族
为了更好地了解Faulhaber多项式和KdV方程的关系,我们来推导 或 的 一般表达式. 换言之下面的任务就是求解下面的微分差分方程的明显表达式.
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Step1:求解驻定方程
将U,V的表达式代入驻定方程,易得 或即 经过简单的推导即可得 由此可得
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算子 在下面的推演中将起到重要作用. 它的形式共轭乃是所谓的遗传
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对称 (hereditary symmetry),在可积系的双Hamilton理论中有很多讨
论.
Step2. KdV方程族的导出 我们对上面驻定方程的解作进一步处理
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Bernoulli 数和Bernoulli多项式有很多有趣的公式,其详及下面将提到
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的Bell多项式 di Bruno公式，生成函数，反演公式等可见我的编著
屠规彰 组合计数方法及其应用，科学出版社，1981。
自然数数列的幂次和及Faulhaber多项式 Bernoulli数和Bernoulli多项式可以用来写出自然数数列的幂次和
上述等式乃对多位势
建立的，并已推广到离散可积系和
高维1+2的情形。很多作者利用这一等式成功地找到了一系列新的可积系的
Hamilton 结构。在今之情形,我们有
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于是迹恒等式给出
比较等式两边 于是
的系数即得
便可写成Hamilton形式:
令n=2 可定出常数 这样KdV方程族