高二数学：第一章7线性回归方程学案北师大版
高中数学《线性回归方程》教案
线性回归方程教学目标:（1）了解非确定性关系中两个变量的统计方法； （2）掌握散点图的画法及在统计中的作用； （3）掌握回归直线方程的实际应用。
教学重点: 线性回归方程的求解。
教学难点: 回归直线方程在现实生活与生产中的应用。
教学过程: 一、复习练习1．下例说法不正确的是（ B ）A.在线性回归分析中，x 和y 都是变量；B.变量之间的关系若是非确定关系,那么x 不能由y 唯一确定;C.由两个变量所对应的散点图,可判断变量之间有无相关关系;D.相关关系是一种非确定性关系.2．已知回归方程81.05.0ˆ-=x y,则x =25时, y 的估计值为__11.69____. 3．三点)24,11(),20,7(),10,3(的线性回归方程是 （ D ） A x y 75.175.1ˆ-= B x y 75.575.1ˆ+=C x y 75.575.1ˆ-=D x y 75.175.1ˆ+=4．我们考虑两个表示变量x 与y 之间的关系的模型，δ为误差项，模型如下： 模型１:x y 46+=：；模型２：e x y ++=46． （１）如果1,3==e x ，分别求两个模型中y 的值； （２）分别说明以上两个模型是确定性模型还是随机模型． 解 (1)模型１：y=6+4x=6+4×3=18; 模型２：y=6+4x+e=6+4×3+1=19.(2)模型１中相同的x 值一定得到相同的y 值.所以是确定性模型；模型２中相同的x 值，因 δ不同，且δ为误差项是随机的，所以模型2是随机性模型。
二、典例分析例1、一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间．为此进行了10次试验，测得数据如下：零件个数x （个） 10 20 30 40 50 607080 90 100加工时间y （分）62 68 75 81 89 95 102 108 115 122请判断y 与x 是否具有线性相关关系，如果y 与x 具有线性相关关系，求线性回归方程．解：在直角坐标系中画出数据的散点图，直观判断散点在一条直线附近，故具有线性相关关系．由测得的数据表可知：1010102211155,91.7,38500,87777,55950i i i i i i i x y x y x y ========∑∑∑1011022211055950105591.70.66838500105510i ii i i x y x yb x x==--⨯⨯∴==≈-⨯-∑∑91.70.6685554.96a y bx =-=-⨯≈因此，所求线性回归方程为0.66854.96y bx a x =+=+ 例2、已知10只狗的血球体积及红血球数的测量值如下：x45 42 46 48 42 35 58 40 39 50y6.53 6.30 9.527.50 6.99 5.90 9.49 6.20 6.598.72x (血球体积,ml )，y （红血球数，百万）（1）画出上表的散点图；（2）求出回归直线方程并画出图形．解：1(45424648423558403950)44.5010x =+++++++++=1(6.53 6.309.527.50 6.99 5.909.49 6.20 6.558.72)10y =+++++++++=7.37设回归直线方程为y bx a =+则10110221100.17510i ii ii x y x yb xx==-==-∑∑ a y bx =-= -0.418所以所求回归直线的方程为0.1750.148y x =-例3、以下是收集到的新房屋销售价格y 与房屋的大小x 的数据：房屋大小x （2m ） 80 105 110 115] 135 销售价格y （万元）18.42221.624.829.2（１）画出数据的散点图；（２）用最小二乘法估计求线性回归方程，并在散点图中加上回归直线；（３）计算此时(,)Q a b 和(2,0.2)Q 的值，并作比较． 解：（1）(2)55115,545,109,116,23.2,i i i i n x x y y =======∑∑5521160952,12952ii i i i xx y ====∑∑25129525451160.1962,23.20.1962109 1.8166560952545b a ⨯-⨯=≈=-⨯≈⨯-所以,线性回归方程为0.1962 1.8166y x =+ (3) (1.8166,0.1962) 5.171,(2,0.2)7.0Q Q ≈≈由此可知,求得的 1.8166,0.9162a b ==是函数Q(a,b)取最小值的a ,b 值.三、课堂练习1.为了考察两个变量x 和y 之间的线性相关性,甲乙两位同学各自独立做了10次和15次实验,并且利用线性回归直线分别为1l ,2l ,已知两人获得的实验数据中,变量x 和y 的数据平均值都相等,且分别为s,t 那么下例说话正确的是( )A ．直线1l 和2l 一定有公共点(s,t)B ．直线1l 和2l 相交,但交点不一定是(s,t)销售价格y（万元）05101520253035050100150销售价格y（万元）C ．必有1l // 2lD ．1l 和2l 与必定重合2．已知关于某设备的使用年限x 与所支出的维修费用y （万元），有如下统计资料： 使用年限x 2 3 4 5 6 维修费用y2．23．85．56．57．0设y 对x 程线性相关关系．试求：（1）线性回归方程ˆy bx a =+的回归系数a,b ； （2）估计使用年限为10年时，维修费用多少？四、回顾小结：求线性回归方程的步骤：(1)x y (2)x y x y (3)i i i i 计算平均数、，计算与的积，求，计算，，∑∑∑x y ii 22(4)将上述有关结果代入公式，求b ，a 写出回归直线方程． 五、课外作业： 课本第82页第9题．。
高中数学第一章统计案例1回归分析教案含解析北师大版选修1_2
1回归分析回归分析1．线性回归方程设样本点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，线性回归方程为y ＝a ＋bx . 则l xx ＝∑i ＝1n(x i －x －)2＝∑i ＝1nx 2i －n x 2，l xy ＝∑i ＝1n (x i －x －)(y i －y －)＝∑i ＝1nx i y i －n x － y －，l yy ＝∑i ＝1n (y i －y －)2＝∑i ＝1ny 2i －n y －2，b ＝l xy l xx＝∑i ＝1nx i －x－y i －y－∑i ＝1nx i －x－2＝∑i ＝1nx i y i －n x － y－∑i ＝1nx 2i －n x －2，a ＝y －－b x －.2．相关系数计算r ＝l xyl xx l yy＝∑i ＝1nx i －xy i －y∑i ＝1nx i －x2∑i ＝1ny i －y2＝∑i＝1nx iy i －n x y∑i＝1nx2i－n x2∑i＝1ny2i－n y2性质范围r∈[－1,1]线性相关程度(1)|r|越大，线性相关程度越高；(2)|r|越接近于0，线性相关程度越低；(3)当r＞0时，两个变量正相关；(4)当r＜0时，两个变量负相关；(5)当r＝0时，两个变量线性不相关1．回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．2．回归直线y＝a＋bx过点(x，y)，其中x＝1n∑i＝1nx i，y＝1n∑i＝1ny i.3．相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强；相关系数越接近于0，相关性越弱．线性回归方程[例1] )有如下的统计资料：使用年限x/年2345 6维修费用y/万元 2.2 3.8 5.5 6.57.0若y对x(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据最小二乘法求出线性回归方程；(3)预测使用年限为10年时，维修费用是多少．[思路点拨] 先利用散点图分析设备使用年限与所支出的维修费用是否线性相关，若相关再利用线性回归模型求解．[精解详析] (1)作出散点图如图所示．(2)由表知，x ＝2＋3＋4＋5＋65＝4，y ＝2.2＋3.8＋5.5＋6.5＋75＝5，∑i ＝15x i y i ＝2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7＝112.3，∑i ＝15x 2i ＝22＋32＋42＋52＋62＝90， 所以b ＝∑i ＝15x i y i －n x y∑i ＝15x 2i －n x 2＝112.3－5×4×590－5×42＝1.23， a ＝y －b x ＝5－1.23×4＝0.08.所以线性回归方程为y ＝1.23x ＋0.08.(3)根据(2)中的线性回归方程，可预测使用年限为10年时，维修费用约为y ＝1.23×10＋0.08＝12.38万元．[一点通] 求回归直线方程的基本步骤：1．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数x ＝3，y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能为( )A．y＝0.4x＋2.3 B．y＝2x－2.4C．y＝－2x＋9.5 D．y＝－0.3x＋4.4解析：选A 依题意知，相应的回归直线的斜率应为正，排除C，D.且直线必过点(3,3.5)代入A，B得A正确．2．调查了某地若干户家庭的年收入x(单位：万元)和年饮食支出y(单位：万元)，调查显示年收入x与年饮食支出y具有线性相关关系，并由调查数据得到y对x的线性回归方程：y＝0.254x＋0.321.由线性回归方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加________万元．解析：以x＋1代x，得y＝0.254(x＋1)＋0.321，与y＝0.254x＋0.321相减可得，年饮食支出平均增加0.254万元．答案：0.2543．某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，得下表数据x 681012y 235 6(1)(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程y＝bx＋a；(3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．解：(1)散点图如图：(2)∑i＝1nx i y i＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x＝6＋8＋10＋124＝9，y＝2＋3＋5＋64＝4，∑i＝1nx2i＝62＋82＋102＋122＝344.b＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7，a＝y－b^x＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为y＝0.7x－2.3.(3)由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，y＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4.相关系数[例2] 关于两个变量x和y的7组数据如下表所示：x 21232527293235y 711212466115325试判断x与y之间是否有线性相关关系．[思路点拨] 首先求出r的值，再判断相关关系．[精解详析] x－＝17×(21＋23＋25＋27＋29＋32＋35)≈27.4，y－＝17×(7＋11＋21＋24＋66＋115＋325)≈81.3，∑i＝17x2i＝212＋232＋252＋272＋292＋322＋352＝5 414，∑i＝17x i y i＝21×7＋23×11＋25×21＋27×24＋29×66＋32×115＋35×325＝18 542，∑i＝17y2i＝72＋112＋212＋242＋662＋1152＋3252＝124 393，∴r＝∑i＝17x i y i－7x－y－∑i＝17x2i－7x－2∑i＝17y2i－7y－2＝18 542－7×27.4×81.35 414－7×27.42×124 393－7×81.32≈0.837 5.由于r≈0.837 5与1比较接近，∴x与y具有线性相关关系．[一点通] 回归分析是定义在具有相关关系的两个变量的基础上的，对于相关关系不明确的两个变量，可先作散点图，由图粗略地分析它们是否具有相关关系，在此基础上，求其回归方程，并作回归分析．4．对四对变量y和x进行线性相关检验，已知n是观测值组数，r是相关系数，且已知：①n ＝7，r ＝0.953 3；②n ＝15，r ＝0.301 2； ③n ＝17，r ＝0.499 1；④n ＝3，r ＝0.995 0. 则变量y 和x 线性相关程度最高的两组是( ) A ．①和② B ．①和④ C ．②和④D ．③和④解析：选B 相关系数r 的绝对值越大，变量x ，y 的线性相关程度越高，故选B. 5．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数比较，正确的是( )A ．r 2<r 4<0<r 3<r 1B ．r 4<r 2<0<r 1<r 3C ．r 4<r 2<0<r 3<r 1D ．r 2<r 4<0<r 1<r 3解析：选A 观察散点图可知r 1>0，r 3>0，r 2<0，r 4<0，根据散点的分散程度反映出的相关性的强弱，可知r 2<r 4<0<r 3<r 1.6．在研究硝酸钠的可溶性程度时，在不同的温度(单位：℃)下观测它在水中的溶解度，得观测结果如下：温度x 0 10 20 50 70 溶解度y66.776.085.0112.3128.0解：∑5i ＝1x i ＝150，∑5i ＝1y i ＝468，∑5i ＝1x 2i ＝7 900，∑5i ＝1y 2i ＝46 445.18， x ＝30，y ＝93.6，∑5i ＝1x i y i ＝17 035， r ＝∑5i ＝1x i y i －5x y∑5i ＝1x 2i －5x 2∑5i ＝1y 2i －5y2＝17 035－5×30×93.67 900－5×302×46 445.18－5×93.62≈0.999 6.可线性化的回归分析问题[例3] 为了研究某种细菌随时间x变化繁殖个数y的变化，收集数据如下：时间x/天12345 6繁殖个数y 612254995190(1)作出这些数据的散点图；(2)求y与x之间的回归方程．[思路点拨] 作出数据的散点图，选择合适的函数模型转化为线性模型．[精解详析] (1)散点图如图所示：(2)由散点图看出样本点分布在一条指数函数y＝c1e c2x图像的周围，于是令z＝ln y，则x 12345 6z 1.79 2.48 3.22 3.89 4.55 5.25则有y＝e0.69x＋1.112.[一点通] 可线性化的回归方程的求解步骤：7．下列数据x，y符合哪一种函数模型( )x 12345678910y 2 2.693 3.38 3.6 3.84 4.08 4.2 4.3x B．y＝2e xA.y＝2＋3。
高中数学：1.1回归分析 学案 (北师大选修1-2)
1.1回归分析自学目标（1）通过实例引入线性回归模型，感受产生随机误差的原因；（2）通过对回归模型的合理性等问题的研究,渗透线性回归分析的思想和方法;(3）能求出简单实际问题的线性回归方程．重点,难点线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法．学习过程一．问题情境1．情境：对一作直线运动的质点的运动过程观测了8次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时的位置y的值．时刻x/s1*******位置观测值5.547.5210.0211.7315.6916.1216.9821.06y/cm根据《数学3(必修）》中的有关内容,解决这个问题的方法是：先作散点图，如下图所示:从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势,时间x与位置观测值y之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归的系数公式，1221()ni i i ni i x y nx y b x n x a y bx==⎧-⎪⎪=⎪⎨-⎪⎪=-⎪⎩∑∑ 可以得到线性回归方为 3.5361 2.1214y x =+，所以当9x =时，由线性回归方程可以估计其位置值为22.6287y =2．问题：在时刻9x =时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗? 二．学生活动思考，讨论:这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确地反映x 与y 之间的关系,y 的值不能由x 完全确定，它们之间是统计相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学1．线性回归模型的定义：我们将用于估计y 值的线性函数a bx +作为确定性函数；y 的实际值与估计值之间的误差记为ε，称之为随机误差；将y a bx ε=++称为线性回归模型．说明:(1）产生随机误差的主要原因有：①所用的确定性函数不恰当引起的误差； ②忽略了某些因素的影响； ③存在观测误差．（2)对于线性回归模型，我们应该考虑下面两个问题: ①模型是否合理(这个问题在下一节课解决）； ②在模型合理的情况下，如何估计a ，b ？ 2．探求线性回归系数的最佳估计值:对于问题②，设有n 对观测数据(,)iix y (1,2,3,,)i n =，根据线性回归模型，对于每一个ix ，对应的随机误差项()ii i y a bx ε=-+，我们希望总误差越小越好，即要使21ni i ε=∑越小越好．所以,只要求出使21(,)()ni i i Q y x αββα==--∑取得最小值时的α，β值作为a ，b 的估计值，记为a ,b ．注:这里的iε就是拟合直线上的点(),iix a bx +到点(),iiiP x y 的距离．用什么方法求a ，b ？回忆《数学3（必修）》“2．4线性回归方程”P71“热茶问题"中求a ，b 的方法：最小二乘法．利用最小二乘法可以得到a ,b 的计算公式为1122211()()()()nni i iii i nni ii i x x y y x ynx yb x x xn x a y bx====⎧---⎪⎪==⎪⎨--⎪⎪=-⎪⎩∑∑∑∑,［来源:Z ＃xx ＃k 。
高中数学线性回归概念教案
高中数学线性回归概念教案1. 理解线性回归的基本概念和原理2. 掌握线性回归的计算方法和应用技巧3. 能够通过实例理解线性回归在实际问题中的应用教学重点：1. 线性回归的定义和特点2. 最小二乘法求解线性回归方程3. 线性回归在实际问题中的应用教学难点：1. 线性回归的计算方法和应用技巧2. 如何通过实例理解线性回归在实际问题中的应用教学准备：1. 教学课件2. 实例数据3. 计算工具、软件教学内容：一、线性回归的定义和特点1. 线性回归是一种用于分析变量之间线性关系的统计方法2. 线性回归模型可以表示为y = β0 + β1x1 + β2x2 + ... + βnxn + ε3. 线性回归的基本假设包括线性关系、正态分布、独立性等二、最小二乘法求解线性回归方程1. 最小二乘法是一种常见的求解线性回归方程的方法2. 最小二乘法的核心思想是使残差平方和最小化来求解回归系数3. 求解线性回归方程的步骤包括建立模型、计算回归系数、评估模型等三、线性回归在实际问题中的应用1. 线性回归可以用于预测和控制变量之间的关系2. 实际问题中的线性回归应用包括销售预测、市场分析等3. 通过实例数据进行线性回归分析，可以更好地理解线性回归的应用技巧和方法教学步骤：1. 引入线性回归的基本概念和原理，并进行概念讲解2. 通过实例数据演示最小二乘法求解线性回归方程的方法3. 分组讨论，学生分析实际问题中的线性回归应用4. 带领学生进行实例数据分析和线性回归计算5. 总结课程内容，答疑解惑教学评估：1. 学生课堂表现2. 课后作业完成情况3. 学生对线性回归应用的理解和运用能力教学反思：1. 教学内容是否贴近实际应用2. 学生对线性回归的理解程度和应用能力3. 教学方法和手段是否合理有效。
高二数学第一章导学案北师大版选修1-2
1.3可线性化的回归分析讲练学案一、学习目标：会将非线性回归模型经过变换转化为线性回归模型，进而进行回归分析. 二、自主探究导引：1. 非线性回归模型幂函数曲线by ax =经过变换 ， ， ，得到线性函数 .2. 非线性回归模型指数曲线bx y ae =经过变换 ， ，得到线性函数 .3. 非线性回归模型倒指数曲线b x y ae =经过变换 ， ， ，得到线性函数 .4. 非线性回归模型对数曲线ln y a b x =+经过变换 ， ，得到线性函数 . 三、知识点讲练：例1.将指数函数2210xy =•化为线性函数，并作图。
例2.变式训练：某种书每册成本费y （元）与印刷册书x （千册）有关，经统计得到数据如下：检验每册的成本费y 与印刷册数的导数x之间是否具有线性相关关系？如有，求出y 对x 的回归方程。
学生自主学习课本，巩固理解本节课内容四、课堂小结：五、课堂练习： 1.有下列说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，贴近这些样本店的数学方法； ②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示； ③通过回归方程y bx a =+及其回归系数b ，可以估计和观测变量的取值和变化趋势； ④因为由任何一组观测值都可以求得一个回归直线方程，所以没必要进行相关性检验。
其中正确命题的个数是 （ ） Ａ.１ Ｂ.２ Ｃ.３ Ｄ.４２.已知一个回归方程为 1.545y x =+，{}1,7,5,13,19i x ∈，则y ＝ 。
3. 已知x 与y 之间的一组数据：则y 与x 的线性回归方程为y bx a =+必过 （ ） Ａ.点(2,2) Ｂ. 点(1.5,0) Ｃ. 点（1，2） Ｄ. 点（1.5，4）4.通过相关系数来描述两个变量相关关系的强弱时，相关系数的绝对值越大，用线性回归模型拟合样本数据效果就越好，如果相关系数[]0.75,1r ∈，则两个变量 （ ） Ａ.负相关很强 Ｂ. 相关性一般 Ｃ. 负相关很强 Ｄ. 两边量之间几乎没有关系5.在彩色显像中，有经验知：形成燃料光学密度y 与析出银光的光学密度x 由公式(0)b xy Ae b =<表示.现测得试验数据如下：六、学后反思:。
高中数学线性回归教案
高中数学线性回归教案教学目标：
1. 了解线性回归的基本概念和原理；
2. 学会使用最小二乘法进行线性回归分析；
3. 掌握线性回归模型的建立和应用。
教学重点：
1. 理解线性回归的意义；
2. 学会求解线性回归模型中的系数；
3. 掌握线性回归模型的应用。
教学难点：
1. 学会使用最小二乘法求解线性回归系数；
2. 理解线性回归模型的推导过程。
教学准备：
1. 教师准备PPT讲解线性回归的基本概念和原理；
2. 课堂上需要使用电脑进行实例演示；
3. 学生需要准备笔记本记录重要知识点。
教学过程：
1. 引入：通过实例引入线性回归的概念；
2. 讲解线性回归模型的建立和求解过程；
3. 使用最小二乘法进行线性回归模型的求解；
4. 通过实例演示线性回归模型的应用；
5. 总结线性回归的主要知识点。
教学延伸：
1. 学生可以通过实际数据进行线性回归分析；
2. 学生可以进一步了解多元线性回归和非线性回归。
课堂反馈：
1. 学生通过实例演示线性回归的能力；
2. 学生通过习题练习线性回归的应用。
教学资源：
1. 电脑和投影仪；
2. 练习题目和实例数据。
教学评价：
1. 通过课堂表现评价学生对线性回归的掌握情况；
2. 通过作业评价学生对线性回归的应用能力。
北师大版高中数学导学案《回归分析》
§1.1回归分析一、学习目标1、理解两个变量间的函数关系与相关关系的区别；（重点）2、通过对案例的探究，会对两个随机变量进行线性回归分析；（重点）3、理解相关系数的含义，户计算两个随机变量的线性相关系数，会通过线性相关系数判断它们之间的线性相关程度；（重点）4、通过对数据之间的散点图的观察，能够对两个随机变量进行可线性化的回归分析。
（难点）二、自主学习（预习教材，找出疑惑之处）复习：1.相关关系概念： . 2.回归分析的相关概念：回归分析是处理两个变量之间的一种统计方法．若两个变量之间具有线性相关关系，则称相应的回归分析为．3. 回归直线方程 其中=∧b，=∧a，恒过定点新课：4.平均值的符号表示：假设样本点为()(),,,,2211y x y x …()n n y x , ，在统计上，用x 表示一组数据,,21x x …n x 的平均值，即x = = ，用y 表示一组数据,,21y y …n y 的平均值，即y = = 。
5. 参数a ，b 的求法：==xxxy l l b =。
=a 。
6.相关系数的计算：假设两个随机变量的数据分别为()(),,,,2211y x y x …()n n y x , ，则变量间线性相关系数==yyxx xy l l l r= 。
7.相关系数的性质：① r 的取值范围： ；② |r|值越大，误差Q 越小，变量之间的线性相关程度越 ； ③ |r|值越接近0，误差Q 越大，变量之间的线性相关程度越 ； ④ 相关性的分类： ， ， 。
8.可线性化的回归分析：Ⅰ 幂函数曲线如何做变化？变换公式？变换后的线性函数为什么？ Ⅱ 指数曲线，倒指数曲线，对数曲线呢？三、典例分析例1 从某大学中随机选取8名女大学生，其身高和体重数据如下表所示：生的体重.提示：第一步：作散点图第二步：求回归方程 第三步：代值计算探究一 如何理解回归直线方程中的系数b ∧，a ∧？探究二 身高为172cm 的女大学生的体重一定是60.316kg 吗？例2 为分析学生初中升高中的数学成绩对高一数学学习的成绩，在高一年级随机抽取10（1） 画出散点图；（2）对变量x 与y 进行相关性检验，如果x 与y 之间具有线性相关关系求出回归直线方程；（3）若某学生入学的数学成绩为80分，试估计他在高一期末考试中的数学成绩。
北师大版高中数学选修回归分析教案
回归分析教学目标：1．通过对典型案例的探究，进一步了解回归的基本思想，方法及初步应用．2．培养学生的应用意识和解决实际问题的能力．教学重点：线性回归模型的建立和线性回归系数的最佳估计值的探求方法． 教学难点：相关性检验及回归分析 教学过程：一．问题情景：对一作直线运动的质点的运动过程观测了８次，得到如下表所示的数据，试估计当x=９时根据《数学必修３》中有关内容，解决这个问题的方法是：先作散点图，如下图所示．从散点图中可以看出，样本点呈直线趋势，时间x 与位置预测值y 之间有着较好的线性关系．因此可以用线性回归方程来刻画它们之间的关系．根据线性回归系数公式，可以得到线性回归方为3.5361 2.1214y x =+，所以当x=9时，由线性回归方程可以估计其位置值为22.6287y =问题：在时刻x=９时，质点的运动位置一定是22.6287cm 吗？二．学生活动：由学生思考，讨论：这些点并不都在同一条直线上，上述直线并不能精确的反映x 与y 之间的关系，x 与y 之间具有的是相关关系，y 的实际值与估计值之间存在着误差． 三．建构数学1．线性回归模型：我们将y a bx ε=++称为线性回归模型．ε称为随机误差． 2．线性回归模型应考虑的问题：I 模型是否合理；II 在合理的情况下，如何求a,b 3．线性回归方程：4．相关系数r ：()()nniii ix x y y x y nx yr---==∑∑５．相关系数的性质：（１）r ≤１；（２）r 越接近１，x,y 的线性相关程度越强； （３）r 越接近于０，x,y 的线性相关程度越弱． ６．对相关系数进行显著性检验的步骤：（１）提出统计假设0H ：变量x,y 不具有线性相关关系；（２）如果以95%的把握作出推断，那么可以根据1-0.95=0.05与n-2在附录１中查出一个r 的临界值0.05r （其中1-0.95=0.05称为检验水平）； （３）计算样本相关系数r ； （４）作出统计推断：若0.05r r >，则否定0H ，表明有９５％的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系；若r ≤0.05r ，则没有理由拒绝原来的假设0H ，即就目前的数据而言，没有充分的理由认为y 与x 之间有线性相关关系． 四．数学应用例１．下表给出了我国从1949年至1999年人口数据资料，试根据表中数据估计我过2001年的人口数．线性回归方程为527.59114.453y x =+由于2004对应的x=55,代入线性回归方程可得1322.506y =（百万），即2004年的人口为13.23亿.对于例1,可按下面的过程进行检验：（１）作统计假设0H ：x 与y 不具有线性相关关系； （２）由0.05与n-2＝９在附录１中查得0.050.602r =；（３）根据公式得相关系数r=0.998 （４）因为0.9980.602r =>，即0.05r r >，所以有95%的把握认为x 与y 之间具有线性相关关系,线性回归方程为527.59114.453y x =+例２．下表是随机抽取的8对母女的身高数据,试根据这些数据探讨y 与x 之间的关系．解：所给数据的散点图如图所示：由图可以看出，这些点在一条直线附近，因为25.159=x ，161=y5.59)(88122=-∑=i ix x116)(88122=-∑=i iy y，80881=-∑=i i i y x y x ；所以963.01165.5980≈⨯=r ．由检验水平０.０５及n-2=6，在附录１中查得707.005.0=r ，因为0.963>0.707,所以可以认为x 与y 之间具有较强的线性相关关系.线性回归方程为x y 345.1191.53+-=.例3．下表是随机抽取的10个家庭的年可支配收入x 与年家庭消费y 的数据,试根据这些数解：所给数据的散点图如图所示, 该图表明,这些点在一条直线附近．相关系数r=0.9826．由检验水平0.05及n-2=8,在附录1中查得632.005.0=r ,因为0.9826>0.632,所以可以认为家庭消费支出与可支配收入之间有较强的线性相关关系;4845.0,53.380≈≈b a ,故线性回归方程为x y 4845.053.380+=五．课堂练习 1．某种产品表面进行腐蚀性刻线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 间相应的一组观察值，(3)试预测腐蚀时间分别为100s 及150s 时的腐蚀深度.r ≈0.9820; x y 3043.03461.5+=35.78 50.99r ≈0.991 x y 93.22578.0+=（３）求回归直线方程；（４）当播放天数为１１天时，估计累计人次为多少？ r ≈0.984 x y 9.468.30+=547人六．小结１．通过线性相关系数r 来研究两者之间是否有较强的线性相关关系及其步骤． ２．线性回归方程的求法；。
高中数学最新-线性回归方程教案 精品
2.3.2线性回归方程教学目标：1.在两个变量具有线性相关关系时，会在数点图中作出线性回归直线，会用线性回归进行预测。
2.知道最小二乘数的含义，知道最小二乘法的思想，能依据绘出的线性回归系数建立线性回归方程，了解（线性）相关系数的意义。
知识要点：阅读教材P 88—911.求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“ ”。
2.回归方程a x b y +=中其中b 为回归方程的 a 为回归方程的 。
3. 最小二乘法：求 的最小值而得到回归直线的方法，即使得 最小的方法。
4.利用线性回归直线方程所得出的预测值与真实值有偏差（即预报有随机性）的原因：① 回归方程中a b ,都是通过样本估计出来的，存在随机误差② 即使a b ,无误差，也不能保证(x,y)落在回归直线上，甚至不能百分之百保证落在直线附近5.回归直线方程的应用（了解）（1）描述两变量之间的依存关系，利用直线回归方程即可定量描述两个变量间依存的数量关系。
（2）利用回归方程进行预测，把预极因子（相当于自变量x ）代入回归方程对预极量（即相当于因变量y ）进行估计，即可得到个体y 值的容许区间。
（3）利用回归方程进行统计控制规定y 值的变化，通过控制x 的范围来实现统计控制的目标。
典型例题1.利用人体内的脂肪含量与年龄的关系的数据求回归方程，并比较回归值与真实值。
2.小卖部卖出的热饮杯数与气温对比的数据表如下：（1）画出散点图，（2）从散点图中发现规律，（3）求回归方程，（4）某天温度为C02，预测卖出的杯数。
当堂检测：在例2中：（1）气温C02时，一定能卖出预测的143杯数吗？为什么？（2）在回归方程中，求温度为C00时的值，并说明它为什么与实际卖出的杯数不符？。
北师大版高中数学选择性必修第一册 第七章 §1 一元线性回归
年份-2 015
-4
-2
0
2
4
需求量-257
-21
-11
0
19
29
对处理的数据,设 T=X-2 015,Z=Y-257,容易算得=0,=3.2.
^
(-4)×(-21)+(-2)×(-11)+0×0+2×19+4×29-5×0×3.2
=
260
= =6.5,
40
2
2
3:Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2.
请同学们分析比较三种模型的特点.
知识点拨
一、直线的拟合
1.如图是关于体重随身高的变化的规律,每个点对应的一对数据(xi,yi),称为
成对数据,这些点构成的图称为散点图.
2.从散点图上可以看出,如果变量之间存在着某种关系,这些点会有一个大
^ ^
线称作 Y 关于 X 的回归直线,a, b是这个线性回归方程的系数.
名师点析1.线性回归系数的求解公式还可以写成如下形式:
n
^
∑ (xi -x)(yi -y)
b = i=1 n
∑ (xi -x)2
^
^
, a = y − b x.
i=1
2.在回归分析中,利用线性回归方程求出的值不一定是真实值,很多时候只
(2)当X=200时,Y=0.72×200+6.24=150.24(微克/立方米).
所以可以预测此时PM2.5的浓度为150.24微克/立方米.
素养形成
方法优化——求线性回归方程的技巧
典例某地粮食需求量逐年上升,部分统计数据如下表:
《 一元线性回归方程》示范公开课教学课件【高中数学北师大】
变量与之间具有函数关系吗?
没有函数关系，我们得到的线性回归方程只是对其变化趋势的一种近似描述，并不是函数关系．
某小卖部6天卖出热茶的杯数Y(单位:杯)与当天气温X(单位:℃)之间存在近似的线性关系．数据如下表．
解 (1)先画出散点图，根据点的分布，得到两个变量很可能有近似的线性关系．
26
18
13
10
解 (1)画出散点图如图．
(2)再将10对数据分别记为，，，，代入，的表达式，，，可得到，．线性回归方程为Y=X．
(3)如果这座城市居民的年收入达到40亿元，即当X=40时，这种商品的销售额Y=X==42.037万元．
最小二乘法:对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重)，假设有n对观测值，，，，，拟合的直线是，令其满足最小．换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小．这个方法称为最小二乘法．
这条拟合直线的数学表达式是什么样的？
如何使所有的点到拟合直线的距离之和最小？
有没有较好的用成对数据的数学表达式表示拟合直线的方法呢?
在成对数据生成的散点图中，可以利用所有的点到拟合直线的距离之和最小时对应的数学表达式来表示拟合直线．
对于给定的两个变量X和Y(如身高和体重)，假设有n对观测值，，，，，拟合的直线是，令其满足最小．换句话说，我们希望a，b的取值能使上式达到最小.(这种方法叫最小二乘法)
4
-1
杯数/杯
20
24
34
38
50
64
(1)试用最小二乘法求出Y关于X的线性回归方程;(2)如果某天的气温是-3 ℃，请预测这天可能会卖出热茶多少杯．
再将6对数据分别记为，，，代入，的表达式，，，可得到，.则线性回归方程为 Y=57.5571.648X．
2022-2023学年北师大版选择性必修第一册 7.1.2一元线性回归方程第一课时 课件(23张)
2.以下四个散点图中,两个变量的关系适合用直线拟合描述的是( B )
A.①②
B.①③
C.②③
D.③④
解析 ①③中的点分布在一条直线附近,适合直线拟合描述.
探究点2 一元线性回归方程
对于给定的两个变量x和y（如身高和体重），可以把其成对的观测
值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）表示为平面直角坐标系中的n
B．r∈(－∞，＋∞)，r 越大相关程度越大，反之，相关程度越小
C．r＝0.85 表示的两变量的相关程度大于 r＝0.80 表示的相关程度
D．以上说法都不对
解析：用相关系数 r 可以衡量两个变量之间的相关关系的强弱，r 的
绝对值越接近于 1，表示两个变量的线性相关性越强，r 的绝对值接
近于 0 时，表示两个变量之间几乎不存在相关关系．故选 AC.
法.
线性回归方程 ，相应的直线称作Y
1.直线方程___________称作Y关于X的
Y＝a＋bX
^
^
关于X的 回归直线 ，a，b 是这个 线性回归方程的系数 .
^
^
n
xiyi－n x y
^
^
^
2.计算b
，a公式：b＝
3.
i＝1
^
^
，a＝ y －b x .
n
2
2
x
－n
x
i
n
xi－x yi－y
一课一练 166页 第5题
§1
个点.
一元线性回归方程
现在希望找到一条直线Y = bx+a,使得对每一个xi(i=1,2, …,n），由这个
直线方程计算出来的值a+bi与实际观测值yi的差异尽可能小.为此,希望
2021学年高中数学第一章统计案例1.1回归分析学案北师大版选修1_2
1.1 回归分析学习目标 1.会建立线性回归模型分析两个变量间的相关关系.2.掌握建立线性回归模型的步骤．知识点 线性回归方程 思考 (1)什么叫回归分析？(2)回归分析中，利用线性回归方程求出的函数值一定是真实值吗？ 答案 (1)回归分析是对具有相关关系的两个变量进展统计分析的一种方法．(2)不一定是真实值，利用线性回归方程求的值，在很多时候是个预报值，例如，人的体重与身高存在一定的线性关系，但体重除了受身高的影响外，还受其他因素的影响，如饮食、是否喜欢运动等．梳理 (1)平均值的符号表示假设样本点为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，在统计上，用x 表示一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值，即x ＝x 1＋x 2＋…＋x n n ＝1n ∑i ＝1nx i ；用y 表示一组数据y 1，y 2，…，y n 的平均值，即y ＝y 1＋y 2＋…＋y n n ＝1n ∑i ＝1ny i .(2)参数a ，b 的求法b ＝l xy l xx＝i ＝1n (x i －x )(y i －y )i ＝1n(x i －x )2＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x2，a ＝y －b x .(3)样本点的中心(x ，y )，回归直线过样本点的中心．1．现实生活中的两个变量要么是函数关系，要么是相关关系．( ×)2．散点图能准确判定两个变量是否具有线性相关关系．( ×)3．回归直线不一定过样本中的点，但一定过样本点的中心．( √)类型一概念的理解和判断例1 有以下说法：①线性回归分析就是由样本点去寻找一条直线，使之贴近这些样本点的数学方法；②利用样本点的散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示；③通过回归方程y＝bx＋a可以估计观测变量的取值和变化趋势；④因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进展相关性检验．其中正确命题的个数是( )A．1B．2C．3D．4考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 C解析①反映的正是最小二乘法思想，正确；②反映的是画散点图的作用，正确；③反映的是回归方程y＝bx＋a的作用，正确；④不正确，在求回归方程之前必须进展相关性检验，以表达两变量的关系．跟踪训练1 以下变量关系是相关关系的是( )①学生的学习时间与学习成绩之间的关系；②某家庭的收入与支出之间的关系；③学生的身高与视力之间的关系；④球的体积与半径之间的关系．A．①②B．①③C．②③D．②④考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 A解析 对①，学习时间影响学生的学习成绩，但是学生学习的刻苦程度、学生的学习方法、教师的授课水平等其他因素也影响学生的成绩，因此学生的学习时间与学习成绩之间具有相关关系；对②，家庭收入影响支出，但支出除受收入影响外，还受其他因素影响，故它们是相关关系；对③，身高与视力之间互不影响，没有任何关系；对④，球的体积由半径决定，是一种确定性关系，故它们是函数关系． 类型二 回归分析命题角度1 求线性回归方程例2 某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力y 进展统计分析，得下表数据：x 6 8 10 12 y2356(1)请画出上表数据的散点图；(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (3)试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫相关公式：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y ∑i ＝1nx 2i－n x 2，a ＝y －b x 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程解 (1)如图：(2)∑i ＝14x i y i ＝6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158，x ＝6＋8＋10＋124＝9，y ＝2＋3＋5＋64＝4，∑i ＝14x 2i ＝62＋82＋102＋122＝344， b ＝158－4×9×4344－4×92＝1420＝0.7， a ＝y －b x ＝4－0.7×9＝－2.3，故线性回归方程为yx －2.3.(3)由(2)中线性回归方程可知，当x ＝9时，y ＝0.7×9－2.3＝4，预测记忆力为9的同学的判断力约为4.反思与感悟 (1)求线性回归方程的根本步骤①列出散点图，从直观上分析数据间是否存在线性相关关系．②计算：x ，y ，∑i ＝1nx 2i ，∑i ＝1ny 2i ，∑i ＝1nx i y i .③代入公式求出y ＝bx ＋a 中参数b ，a 的值． ④写出线性回归方程并对实际问题作出估计．(2)需特别注意的是，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归方程才有实际意义，否那么求出的回归方程毫无意义．跟踪训练2 某地区4～10岁女孩各自的平均身高数据如下：求y 对x 的线性回归方程．(保存两位小数) 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 制表x ＝7，y ＝8097，∑i ＝17x 2i ＝371，∑i ＝17x i y i ＝5798b ＝∑i ＝17x i y i －7x y∑i ＝17x 2i －7x 2＝5798－7×7×8097371－7×72≈4.82， a ＝y －b x ＝8097－4.82×7≈81.83. 所以线性回归方程为yx .命题角度2 线性回归分析与回归模型构建例3 某商场经营一批进价是30元/台的小商品，在市场试验中发现，此商品的销售单价x (x 取整数)(元)与日销售量y (台)之间有如下关系：x 35 40 45 50 y56412811(1)画出散点图，并判断y 与x 是否具有线性相关关系； (2)求日销售量y 对销售单价x 的线性回归方程；(3)设经营此商品的日销售利润为P 元，根据(2)写出P 关于x 的函数关系式，并预测当销售单价x 为多少元时，才能获得最大日销售利润． 考点 线性回归分析 题点 回归直线方程的应用解 (1)散点图如下图，从图中可以看出这些点大致分布在一条直线附近，因此两个变量线性相关．(2)因为x ＝14×(35＋40＋45＋50)＝42.5，y ＝14×(56＋41＋28＋11)＝34.∑i ＝14x i y i ＝35×56＋40×41＋45×28＋50×11＝5410.∑i ＝14x 2i ＝352＋402＋452＋502＝7350. 所以b ＝∑i ＝14x i y i －4x y∑i ＝14x 2i －4x 2＝5410－4×42.5×342＝－370125≈－3. a ＝y －b x ＝34－(－3)×42.5＝161.5.所以线性回归方程为y ＝161.5－3x .(3)依题意，有P ＝(161.5－3x )(x －30)＝－3x 2x －4845 ＝－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 6)2＋－4845.所以当x ＝≈42时，P 有最大值，约为426元．即预测当销售单价为42元时，能获得最大日销售利润．反思与感悟 解答线性回归题目的关键是首先通过散点图来分析两变量间的关系是否线性相关，然后再利用求线性回归方程的公式求解线性回归方程，在此根底上，借助线性回归方程对实际问题进展分析．跟踪训练3 一台机器由于使用时间较长，生产的零件有一些会缺损，按不同转速生产出来的零件有缺损的统计数据如下表：(1)作出散点图；(2)如果y 与x 线性相关，求出线性回归方程；(3)假设在实际生产中，允许每小时的产品中有缺损的零件最多为10个，那么，机器的运转速度应控制在什么范围？ 考点 线性回归分析 题点 回归直线方程的应用解 (1)根据表中的数据画出散点图如图．(2)设线性回归方程为：y ＝bx ＋a ，并列表如下：i 1 2 3 4 x i 16 14 12 8 y i 11 9 8 5 x i y i1761269640x ＝12.5，y ＝8.25，∑i ＝14x 2i ＝660，∑i ＝14x i y i ＝438，所以b ＝≈0.73，a ＝8.25－0.73×12.5＝－0.875， 所以yx －0.875.x －0.875≤10，解得x <14.9≈15，故机器的运转速度应控制在15转/秒内.1．某商品销售量y (件)与销售价格x (元/件)负相关，那么其线性回归方程可能是( ) A ．y ＝－10x ＋200 B ．y ＝10x ＋200 C ．y ＝－10x －200 D ．y ＝10x －200考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 A解析 因为y 与x 负相关，所以排除B ，D ， 又因为C 项中x >0时，y <0不合题意，所以C 错．2．如图四个散点图中，适合用线性回归模型拟合其中两个变量的是( )A ．①②B．①③C．②③D．③④ 考点 回归分析题点 回归分析的概念和意义 答案 B解析 由图易知①③两个图中样本点在一条直线附近，因此适合用线性回归模型． 3．下表是x 和y 之间的一组数据，那么y 关于x 的回归直线必过点( )x 1 2 3 4 y1357A.(2,3) B ．(1.5,4) C ．(2.5,4) D ．(2.5,5)考点 线性回归方程 题点 样本点中心的应用 答案 C解析 回归直线必过样本点中心(x ，y )，即(2.5,4)．4．面对竞争日益剧烈的消费市场，众多商家不断扩大自己的销售市场，以降低生产本钱．某白酒酿造企业市场部对该企业9月份的产品销量x (单位：千箱)与单位本钱y (单位：元)的资料进展线性回归分析，结果如下：x ＝72，y ＝71，∑i ＝16x 2i ＝79，∑i ＝16x i y i ＝1481，那么销量每增加1000箱，单位本钱下降________元． 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用解析 由题意知，b ＝1481－6×72×7179－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫722≈－1.8182，a ＝71－(－1.8182)×72≈77.36，∴y 关与x 的线性回归方程为yx ＋77.36，即销量每增加1千箱，单位本钱下降1.8182元． 5．x ，y 之间的一组数据如下表：x 0 1 2 3 y1357(1)分别计算：x ，y ，x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4，x 21＋x 22＋x 23＋x 24； (2)变量x 与y 线性相关，求出线性回归方程． 考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程解 (1)x ＝0＋1＋2＋34＝1.5，y ＝1＋3＋5＋74＝4，x 1y 1＋x 2y 2＋x 3y 3＋x 4y 4＝0×1＋1×3＋2×5＋3×7＝34，x 21＋x 22＋x 23＋x 24＝02＋12＋22＋32＝14.(2)b ＝34－4×1.5×42＝2， a ＝y －b x ＝4－2×1.5＝1，故线性回归方程为y ＝2x ＋1.回归分析的步骤(1)确定研究对象，明确哪个变量是自变量，哪个变量是因变量．(2)画出确定好的因变量关于自变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性关系等)．(3)由经历确定回归方程的类型(如果呈线性关系，那么选用线性回归方程y ＝bx ＋a )． (4)按一定规那么估计回归方程中的参数．一、选择题1．对变量x，y由观测数据(x i，y i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v由观测数据(u i，v i)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 C解析由题图(1)可知，各点整体呈递减趋势，x与y负相关；由题图(2)可知，各点整体呈递增趋势，u与v正相关．2．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel 软件计算得yx－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的选项是( )A．年龄为37岁的人体内脂肪含量为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量约为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大局部人的体内脂肪含量约为20.90%D．年龄为37岁的人群中的大局部人的体内脂肪含量约为31.5%考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 C解析当x＝37时，y＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计，年龄为37岁的人群中的大局部人的体内脂肪含量约为20.90%.3．变量x和y满足关系yx＋1，变量y与z正相关，以下结论中正确的选项是( )A．x与y负相关，x与z负相关B．x与y正相关，x与z正相关C．x与y正相关，x与z负相关D．x与y负相关，x与z正相关考点回归分析题点回归分析的概念和意义答案 A解析由正相关和负相关的定义知A正确．4．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶囊生产产量(单位：万盒)的数据如下表所示：假设x，y线性相关，线性回归方程为yx＋a，估计该制药厂6月份生产甲胶囊产量约为( )考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 B解析回归直线一定过样本点中心．由数据可得x＝3，y＝6，代入回归方程，可得a＝y x ＝3.9，即线性回归方程为yxx＝6代入，可近似得y＝8.1，应选B.5．工人月工资y(单位：元)关于劳动生产率x(单位：千元)的回归方程为y＝650＋80x，以下说法中正确的个数是( )①劳动生产率为1000元时，工资约为730元；②劳动生产率提高1000元，那么工资提高80元；③劳动生产率提高1000元，那么工资提高730元；④当月工资为810元时，劳动生产率约为2000元．A．1B．2C．3D．4考点线性回归分析题点线性回归方程的应用答案 C解析 代入方程计算可判断①②④正确．6．某化工厂为预测某产品的回收率y ，而要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系，现取了8对观测值，计算得∑i ＝18x i ＝52，∑i ＝18y i ＝228，∑i ＝18x 2i ＝478，∑i ＝18x i y i ＝1849，那么y 与x 的线性回归方程是( ) A ．yx B ．yx C ．yxD ．yx考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 答案 A解析 由题中数据，得x ＝6.5，y ＝28.5，∴b ＝∑i ＝18x i y i －8x y∑i ＝18x 2i －8x 2＝＝367140≈2.62，a ＝y －b x ≈28.5－2.62×6.5＝11.47，∴y 对x 的线性回归方程是yx ＋11.47，应选A.7．为研究变量x 和y 的线性相关性，甲、乙二人分别作了研究，利用线性回归方法得到回归直线l 1和l 2，两人计算知x 一样，y 也一样，以下正确的选项是( ) A ．l 1与l 2一定重合 B ．l 1与l 2一定平行C ．l 1与l 2相交于点(x ，y )D ．无法判断l 1和l 2是否相交 考点 回归直线方程 题点 样本点中心的应用 答案 C解析 因为两个人在试验中发现对变量x 的观测数据的平均值都是x ，对变量y 的观测数据的平均值都是y ，所以两组数据的样本点中心都是(x ，y )，因为回归直线经过样本点的中心，所以l 1和l 2都过(x ，y )． 二、填空题8．某校小卖部为了了解奶茶销售量y (杯)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天卖出的奶茶杯数与当天的气温，得到下表中的数据，并根据该样本数据用最小二乘法建立了线性回归方程y ＝－2x ＋60，那么样本数据中污损的数据y 0应为________.考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 64解析 由表中数据易知x ＝10，代入y ＝－2x ＋60中， 得yy 0＋34＋38＋244＝40，得y 0＝64.9．调查某移动公司的三名推销员，其工作年限与年推销金额的数据如下表所示.由表中数据算出线性回归方程y ＝bx ＋a 中的b ＝726.假设该公司第四名推销员的工作年限为6年，那么估计他的年推销金额约为________万元． 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用 答案 3解析 x ＝6，y ＝3，由回归直线经过样本点中心可知，该推销员年推销金额约为3万元． 10．某人对一地区人均工资x (千元)与该地区人均消费y (千元)进展统计调查，发现y 与x 有相关关系，并得到线性回归方程yx ＋1.562.假设该地区的人均消费水平为7.675千元，那么估计该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为________．(准确到0.1%)题点 线性回归方程的应用 答案 82.9%解析 当y ＝7.675时，x ≈9.262，所以该地区的人均消费额占人均工资收入的百分比约为×100%≈82.9%.11．某数学教师身高为176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm,170cm 和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该教师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为________cm. 考点 线性回归分析 题点 线性回归方程的应用解析 记从爷爷起向下各代依次为1,2,3,4,5，用变量x 表示，其中5代表孙子．各代人的身高为变量y ，那么有计算知x ＝2.5，y b ＝3.3，a ＝y －b x ＝175.25－3.3×2.5＝167，∴线性回归方程为yx ＋167，当x ＝5时，y ＝3.3×5＋167＝183.5，故预测其孙子的身高为183.5cm. 三、解答题12．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∑i ＝110x i y i ＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ＝bx ＋a ； (2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)假设该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：b ＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ＝y －b x .题点 线性回归方程的应用解 (1)由题意，n ＝10，∑i ＝110x i ＝80，∑i ＝110y i ＝20，∴x ＝8010＝8，y ＝2010＝2.又∑i ＝110x 2i －10x 2＝720－10×82＝80，∑i ＝110x i y i －10x y ＝184－10×8×2＝24，由此得b ＝∑i ＝110x i y i －10x y∑i ＝110x 2i －10x 2＝2480＝0.3，a ＝y －b x ＝2－0.3×8＝－0.4， 故所求线性回归方程为yx －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3＞0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄约为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 13．随着我国经济的开展，居民的储蓄存款逐年增长．设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：(1)求y 关于t 的回归方程y ＝bt ＋a ；(2)用所求回归方程预测该地区2021年(t ＝10)的人民币储蓄存款．附：回归方程y ＝bt ＋a 中，b ＝∑i ＝1nt i y i －n t y∑i ＝1nt 2i －n t 2，a ＝y －b t .考点 线性回归方程 题点 求线性回归方程 解 (1)列表计算如下：此时n ＝5，t ＝1n ∑i ＝1n t i ＝155＝3，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝365＝7.2.又l tt ＝∑i ＝1nt 2i －n t 2＝55－5×32＝10，l ty ＝∑i ＝1nt i y i －n t y ＝120－5×3×7.2＝12，从而b ＝l ty l tt ＝1210＝1.2，a ＝y －b t ＝7.2－1.2×3＝3.6， 故所求回归方程为yt ＋3.6.(2)将t ＝10代入回归方程，可预测该地区2021年的人民币储蓄存款为y ＝1.2×10＋3.6＝15.6(千亿元)． 四、探究与拓展14．某工厂为了对新研发的一种产品进展合理定价，将该产品按事先拟定的价格进展试销，得到如下数据：(1)求线性回归方程y ＝bx ＋a ，其中b ＝－20，a ＝y －b x ；(2)预计在今后的销售中，销量与单价仍然服从(1)中的关系，且该产品的本钱是4元/件，为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定为多少元？(利润＝销售收入－本钱) 解 (1)x ＝8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋96＝8.5，y ＝16(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.∵b ＝－20，a ＝y －b x ，∴a ＝80＋20×8.5＝250， ∴线性回归方程为y ＝－20x ＋250. (2)设工厂获得的利润为L 元，那么L ＝x (－20x ＋250)－4(－20x ＋250)＝－20⎝⎛⎭⎪⎫x －3342＋361.25，∴该产品的单价应定为334元，才使工厂获得的利润最大．。
7.1一元线性回归课件-高二上学期数学北师大版选择性
变量间的相关关系
两个变量具有相关关系的事例在现实中大量存在. 例如: （1）子女身高y与父亲身高x之间的关系； （2）商品销售收入y与广告支出x之间的关系；
（3）空气污染指数y与汽车保有量x之间的关系；
（4）粮食亩产量y与施肥量x之间的关系.
变量间的相关关系
②④
练习
练习
练习
小结
1.知识清单： (1)相关关系. (2)散点图. (3)直线拟合. (4)最小二乘法. (5)线性回归方程. 2.注意事项：根据提供的样本数据，先画散点图判断两变量是否具 备线性相关关系.
那么,应当如何求出这条直线呢？
曲线拟合
常用的拟合方法——最小二乘法
最小二乘法
对于给定的两个变量x和y（如身高和体重），可以把其成 对的观测值（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）表示为平 面直角坐标系中的n个点.
现在希望找到一条直线Y = a +bX,使得对每一个xi(i=1,2, …,n），由这个直线方程计算出来的值a+bi与实际观测值yi的差 异尽可能小.为此,希望［y1-（a+b1）]2+［y2-（a+b2）]2+…+［yn（a+bn）]2达到最小.换句话说，我们希望a,b最小二乘法.
40
35
30
25
20
15
10
5
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
变量相关关系的分类（二）
一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而 且散点落在一一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.
高二数学教案《线性回归》
高二数学教案《线性回归》【教案一】教学目标【知识和技能】1.能识别两个变量间关系是确定性关系还是相关关系。
2.会画散点图，并能利用散点图判断是否存在回归直线。
3.知道如何系统地处理数据。
掌握回归分析的一般步骤。
4.能运用E某cel表格处理数据，求解线性回归直线方程。
5.了解最小二乘法的思想，会根据给出的公式求线性回归方程。
6.培养收集数据、处理数据的能力；对具有相关关系的一组变量中应变量发展趋势的预测估计能力。
【过程和方法】1.使学生在经历较为系统的数据处理的全过程中学会如何处理数据。
2.提高学生运用所学知识与方法、运用现代化信息技术解决实际问题的能力。
【情感、态度和价值观】1.认识到线性回归知识在实际生活中的实践价值，感受生活离不开数学。
2.体验信息技术在数学探究中的优越性。
3.增强自主探究数学知识的态度。
4.发展学生的数学应用意识和创新意识。
5.培养学生的严谨、合作、创新的学习态度和科学精神。
【教学重点、难点】线性回归分析的基本思想；运用E某cel表格处理数据，求解回归直线方程。
【教学课型】多媒体课件，网络课型教学内容学生已经学习了初步的统计知识，如抽样方法，对样本进行特征量（均值、方差）分析；具备一定的比较、抽象、概括能力；具备基本计算机操作技能；对现实生活中的线性相关关系有一定的感性认识。
线性回归问题涉及的知识有：描点画散点图，一次函数、二次函数的知识，最小二乘法的思想及其算法问题，运用E某cel表格处理数据等。
教学资源教师围绕本课知识设计一个问题（如小卖部热珍珠奶茶的销售问题），这个问题必须应用所预期的学科知识才能解决，又与学生的先前经验密切相关。
教师准备四个教学课件：学生阅读（幻灯片）、教师讲解（幻灯片）、课堂练习（E某cel）、线性回归直线的探究（几何画板）。
每位同学带好课本和教师预期分发的一份学案。
学案主要包括设计的引入问题，教学过程中所遇到的主要问题，推导回归直线方程的公式的计算表格，运用E某cel表格处理数据的操作步骤，课堂练习以及作业，教学评价等。
高中数学北师大版选修12教案第1章运用线性回归思想做出预测
如何运用线性回归思想做出预测一、已知两个变量间呈线性相关关系如何做出预测当两个变量间呈线性相关关系时，两个变量间就能够够确信相应的线性回归直线方程。
而线性回归方程毕竟不同于确信的直线方程，由线性回归方程所取得值y 只能是一个估量值。
正是通过这种方式，对许多实际应用问题，咱们都能够先去论证两个变量间呈线性相关关系，然后取得相应的线性回归直线方程，最后，把x 代入线性回归方程取得估量值y 。
例一、关于某设备的利用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料： x2 3 4 5 6 y如由资料可知y 对x 呈线性相关关系. 试求：（1）线性回归方程；（2）估量利用年限为10年时，维修费用是多少？解：（1）550.75.65.58.32.2,4565432=++++==++++=y x ∑∑====515123.112,90i i i i i y x x()23.145905453.112552251251=⨯-⨯⨯-=--=∑∑==∧xx y x y x b i i i i i于是08.0423.15=⨯-=-=∧∧x b y a .因此线性回归方程为：.08.023.1+=+=∧x a bx y（2）当10=x 时，)(38.1208.01023.1万元=+⨯=∧y即估量利用10年是维修费用是万元.点评：已知y x 与呈线性相关关系，就不必进行相关性查验.不然，应先进行相关性查验，若两个变量不具有相关关系，或说，它们之间相关关系不显著，即便求出回归方程也是毫无心义的，而且用其估量和预测的量也是不可信的.二、不确信两个变量间是不是呈线性相关关系如何做出预测在没有确信两个变量间是不是呈线性相关关系时，就需要先论证两个变量间呈线性相关关系，这确实是相关性查验。
查验如下：（1）作统计假设：x 与y 不具有线性相关关系。
（2）依照小概率与2-n 在相关性查验的临界值表中查出r （相关系数）的一个临界值。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
线性回归方程
【目标引领】
1．学习目标：
了解非确定性关系中两个变量的统计方法；掌握散点图的画法及在统计中的作用，掌握 回归直线方程的求解方法。
2．学法指导：
①求回归直线方程，首先应注意到，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实标意义．否则，求出的回归直线方程毫无意义．因此，对一组数据作线性回归分析时，应先看其散点图是否成线性．
②求回归直线方程，关键在于正确地求出系数a 、b ，由于求a 、b 的计算量较大，计算时仔细谨慎、分层进行，避免因计算产生失误．
③回归直线方程在现实生活与生产中有广泛的应用．应用回归直线方程可以把非确定性问题转化成确定性问题，把“无序”变为“有序”，并对情况进行估测、补充．因此，学过回归直线方程以后，应增强学生应用回归直线方程解决相关实际问题的意识．
【教师在线】
1．解析视屏：
1．相关关系的概念
在实际问题中，变量之间的常见关系有两类：
一类是确定性函数关系，变量之间的关系可以用函数表示。
例如正方形的面积S 与其边长x 之间的函数关系2
x S =（确定关系）；
一类是相关关系，变量之间有一定的联系，但不能完全用函数来表达。
例如一块农田的水稻产量与施肥量的关系（非确定关系）
相关关系：自变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系。
相关关系与函数关系的异同点：
相同点：均是指两个变量的关系。
不同点：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。
2．求回归直线方程的思想方法
观察散点图的特征，发现各点大致分布在一条直线的附近，思考：类似图中的直线可画几条？
引导学生分析，最能代表变量x 与y 之间关系的直线的特征：即n 个偏差的平方和最小，其过程简要分析如下： 设所求的直线方程为ˆy
bx a =+，其中a 、b 是待定系数。
则ˆ(1,2,,)i i y
bx a i n =+=⋅⋅⋅⋅，于是得到各个偏差。
显见，偏差ˆˆi y
y -的符号有正负，若将它们相加会造成相互抵消，所以它们的和不能代表几个点与相应直线在整体上的接近程度，故采用n 个偏差的平方和
表示n 个点与相应直线在整体上的接近程度。
记21()n i i i Q y
bx a ==--∑。
上述式子展开后，是一个关于a ，b 的二次多项式，应用配方法，可求出使Q 为最小值时的a ，b 的值，即 其中11
11,n n
i i i i x x y y n n ====∑∑ 以上方法称为最小二乘法。
2．经典回放：
例1：下列各组变量哪个是函数关系，哪个是相关关系？
（1）电压U 与电流I
（2）圆面积S 与半径R
（3）自由落体运动中位移s 与时间t
（4）粮食产量与施肥量
（5）人的身高与体重
（6）广告费支出与商品销售额
分析：函数关系是一种确定关系；而相关关系是一种非确定关系；函数关系是自变量与因变量之间的关系，这种关系是两个非随机变量的关系；而相关关系是非随机变量与随机变量的关系。
解：前三小题中一个变量的变化可以确定另一个变量的变化，两者之间是函数关系。
对于粮食与施肥量，两者确实有非常密切的关系，实践证明，在一定的范围内，施肥量越多，粮食产量就越高，但是，施肥量并不能完全确定粮食产量，因为粮食产量还与其他因素的影响有关，如降雨量、田间管理水平等。
因此，粮食与施肥量之间不存在确定的函数关系。
人的身高与人的体重也密切相关，一般来说，一个人的身高越高，体重也越重，但同样身高的人，其体重不一定相同，身高和体重这两个变量之间并不是严格的函数关系。
广告费支出与商品销售额有密切的关系，但广告费的支出不能完全决定商品的销售额。
由此可见，后三小题各对变量之间的关系是相关关系。
点评：不要认为两个变量间除了函数关系，就是相关关系，事实是上，两个变量间可能毫无关系。
比如地球运行的速度与某个人的行走速度就可认为没有关系。
例2：已知10只狗的血球体积及红血球的测量值如下：
ｘ（血球体积，ｍｍ），ｙ（血红球数，百万）
(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形。
解：（１）见下图
（２）50.45)50394058354248464245(10
1x =+++++++++= 设回归直线为a bx y
ˆ+=，
则176.0x n x
y x n y x a n 1i 22i
n 1
i i i
=--=∑∑==，64.0-=-=x a y b
所以所求回归直线的方程为ˆ0.1760.64y
x =-，图形如下: 点评：对一组数据进行线性回归分析时，应先画出其散点图，看其是否呈直线形，再依系数a 、b 的计算公式，算出a 、b ．由于计算量较大，所以在计算时应借助技术手段，认真细致，谨防计算中产生错误．求线性回归方程的步骤：计算平均数y x ,；计算i i y x 与的积，求
∑i i y x ；计算∑2
i x ；将结果代入公式求ａ；用 x a y b -=求ｂ；写出回归方程。
【同步训练】
1 . 下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系（ ）
A ．角度和它的余弦值 B.正方形边长和面积
C ．正ｎ边形的边数和它的内角和 D.人的年龄和身高
2．某市纺织工人的月工资（元）依劳动生产率（千元）变化的回归方程为y=50+80x ，则下列
说法中正确的是 （ ）
A ．劳动生产率为1000元时，月工资为130元
B ．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为130元
C ．劳动生产率提高1000元时，月工资提高约为80元
D ．月工资为210元时，劳动生产率为2000元
3．设有一个回归方程为y=2-1.5x ，则变量x 每增加一个单位时，y 平均 （ ）
A ．增加1.5单位
B ．增加2单位
C ．减少1.5单位
D ．减少2单位
4．正常情况下，年龄在18岁到38岁的人们，体重y （kg ）依身高x （cm ）的回归方程为
y=0.72x-58.5。
张红红同学不胖不瘦，身高1米78，他的体重应在 kg 左右。
5.
(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线并且画出图形
【拓展尝新】
6．在某种产品表面进行腐蚀线试验，得到腐蚀深度y 与腐蚀时间x 之间对应的一组数据：
(1)画出散点图；
(2)试求腐蚀深度y 对时间t 的回归直线方程。
【解答】
1． D 2．C 3．C 4．69.66
5．解：(1)散点图（略）．
(2)表中的数据进行具体计算，列成以下表格。