第十三课时函数y=Asin(ωx+φ)的图象
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函数y=Asin(ωx+φ)图像变换优质课课件
振动控制
在振动控制领域，函数y=asin(ωx+φ)可以用于设计振动控制器。通过调整控制器的参数， 可以实现振动的有效抑制或放大，提高机械设备的稳定性和可靠性。
振动信号处理
在振动信号处理中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于信号的调制和解调。通过对信号进行变换， 可以实现信号的增强、降噪和特征提取，为故障诊断和状态监测提供依据。
控制系统稳定性分析
利用函数y=asin(ωx+φ)可以分析控制系统的稳定性。通过分析系统的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性和动态性 能，为控制系统校正和优化提供指导。
控制系统校正与优化
在控制系统设计中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于控制系统校正与优化。通过调整控制器的参数，可以提 高系统的性能指标，如响应速度、超调和稳态误差等，使系统更好地适应实际应用需求。
ω<0的周期变换
无界周期
当ω<0时，函数y=asin(ωx+φ)的周 期是无界的，这意味着函数在x轴上的 移动是无限循环的。
波形变化
随着ω的减小，函数的波形会变得更加 平缓或尖锐，这取决于绝对值的大小。
04 振幅变换
A>1的振幅变换
总结词
当振幅系数A大于1时，函数y=asin(ωx+φ)的图像将呈现放大 的效果。
φ=0的相位变换
总结词
当相位φ等于0时，函数图像不发生平移。
详细描述
当相位φ的值等于0时，函数y=asin(ωx+φ)就变成了标准正弦函数y=asin(ωx)，图 像没有发生平移。这是因为此时函数的周期性没有改变，所以图像在x轴方向上没有 移动。
03 周期变换
ω>1的周期变换
周期缩短
在振动控制领域，函数y=asin(ωx+φ)可以用于设计振动控制器。通过调整控制器的参数， 可以实现振动的有效抑制或放大，提高机械设备的稳定性和可靠性。
振动信号处理
在振动信号处理中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于信号的调制和解调。通过对信号进行变换， 可以实现信号的增强、降噪和特征提取，为故障诊断和状态监测提供依据。
控制系统稳定性分析
利用函数y=asin(ωx+φ)可以分析控制系统的稳定性。通过分析系统的极点和零点分布，可以判断系统的稳定性和动态性 能，为控制系统校正和优化提供指导。
控制系统校正与优化
在控制系统设计中，函数y=asin(ωx+φ)可以用于控制系统校正与优化。通过调整控制器的参数，可以提 高系统的性能指标，如响应速度、超调和稳态误差等，使系统更好地适应实际应用需求。
ω<0的周期变换
无界周期
当ω<0时，函数y=asin(ωx+φ)的周 期是无界的，这意味着函数在x轴上的 移动是无限循环的。
波形变化
随着ω的减小，函数的波形会变得更加 平缓或尖锐，这取决于绝对值的大小。
04 振幅变换
A>1的振幅变换
总结词
当振幅系数A大于1时，函数y=asin(ωx+φ)的图像将呈现放大 的效果。
φ=0的相位变换
总结词
当相位φ等于0时，函数图像不发生平移。
详细描述
当相位φ的值等于0时，函数y=asin(ωx+φ)就变成了标准正弦函数y=asin(ωx)，图 像没有发生平移。这是因为此时函数的周期性没有改变，所以图像在x轴方向上没有 移动。
03 周期变换
ω>1的周期变换
周期缩短
三角函数Y=Asin(ωx+φ)课件
方法1： (按j , , A顺序变换 )
y
3
2 1
y=3sin(2x+ 3 )
y=sinx
o
3
6 -１
6 3
7 2 5 12 3 6
7 6
5 3
2
x
-2
-3
y=sin(x+ ) 3 y=sin(2x+ ) 3
（1）向左平移 3 函数 y=sinx
-2
2
5 6
x
1.y=sin(x+j )与y=sinx的图象关系 例2、试研究 y sin(x + ) 、y sin(x ) 3 6 y sin x 与 的图象关系
y
y sin (x +
3
)
1
o
yy y y y y y sin y y sin y sin y sin y sin y sin y sin x sin sin x sin x sin x sin x sin x sin x x x x x x x x
如下图在同一坐标系中作y=sin2x和y=sinx的图像
描点：
y=sin2x
2 y 1 O
2
y=sinx
2
3 x
1
2
对于函数y sin 1 x 2
2. 描点：
y y=sinx 1 2 O 1 3 y=sin 1 x 2 4
的图象间的变化关系。
y
2
1 y sin x 与 y sinx 函数 y sin2 x 、 2
象可以看作是把y=sinx的图象上所有点
高一函数y=Asin(ωx+φ)的图象课件 (用)
2
3 2 2
sin2x 0 y 1 o -1
4 2
1
0 -1
0
1 x 2 1 sin x 2
0
2
3 2 2
0
1
0 -1
0
3 4
3 2
x
2
5 2
3
7 2
4
y=2sinx
---周期变换
1 y=sin x 2
结论：一般地，函数y=sinωx（ω＞0且ω≠1）的图象可以看 作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时 ）
3、要得到函数 y = cos3x 的图象，只需将函数 y = cos (3x－π/ 6) 的图象（ A. 向左平移π/6个单位 C. 向左平移π/18个单位 B. 向右平移π/6个单位 D. 向右平移π/18个单位
C）
4、函数 y = 3sin( x/ 2 + π/3) 的图象可由函数 y = 3 sin x 经（
2
3 2 2
(1) y=2sinx 1 (2) y= sinx 2
y 2 1
1
sinx 0 2sinx 0
1 sin x 0 2
3 2 2
1 2
1 2
0 -1 0 -2 0
1 2
0 0 0
y=2sinx
2
o1 -1 2 -2
2
x
2
1 y= sinx 2
---振幅变换
结论：一般地，函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看 作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时 ）
例5 作函数 y = 3sin(2 x )的简图 + 3
3 2 2
sin2x 0 y 1 o -1
4 2
1
0 -1
0
1 x 2 1 sin x 2
0
2
3 2 2
0
1
0 -1
0
3 4
3 2
x
2
5 2
3
7 2
4
y=2sinx
---周期变换
1 y=sin x 2
结论：一般地，函数y=sinωx（ω＞0且ω≠1）的图象可以看 作是把y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短（当ω＞1时 ）
3、要得到函数 y = cos3x 的图象，只需将函数 y = cos (3x－π/ 6) 的图象（ A. 向左平移π/6个单位 C. 向左平移π/18个单位 B. 向右平移π/6个单位 D. 向右平移π/18个单位
C）
4、函数 y = 3sin( x/ 2 + π/3) 的图象可由函数 y = 3 sin x 经（
2
3 2 2
(1) y=2sinx 1 (2) y= sinx 2
y 2 1
1
sinx 0 2sinx 0
1 sin x 0 2
3 2 2
1 2
1 2
0 -1 0 -2 0
1 2
0 0 0
y=2sinx
2
o1 -1 2 -2
2
x
2
1 y= sinx 2
---振幅变换
结论：一般地，函数y=Asinx（A＞0且A≠1）的图象可以看 作是把y=sinx的图象上所有点的纵坐标伸长（当A＞1时 ）
例5 作函数 y = 3sin(2 x )的简图 + 3
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 课件
_(_k∈__Z__)__得到
探究点一 “五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的
图象
利用“五点法”作出函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)在一
个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这
四个步骤．请完成下面的填空.
ωx＋φ 0
π 2
3
π
2π
2π
x －ωφ －ωφ＋2πω －ωφ＋ωπ －ωφ＋23ωπ －ωφ＋2ωπ
探究点二 由函数 y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象求三角函数的 解析式
(1)在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是关键， 一般地可将所给一段图象左、右扩展找离原点最近且穿过 x 轴上升的即为“第一零点”(x1,0)．从左到右依次为第二、 三、四、五点，分别有 ωx2＋φ＝π2，ωx3＋φ＝π，ωx4＋φ ＝32π，ωx5＋φ＝2π.
y
0
A
0
－A
0
所以，描点时的五个关键点的坐标依次是__－__ωφ_，__0__， _－__ω_φ_＋__2_πω_，__A__ ，__－__ωφ__＋__ωπ_，__0__，__－__ω_φ_＋__23_ωπ_，__－__A___， _－ __ω_φ_＋__2ω_π_，__0___. 若设 T＝2ωπ，则这五个关键点的横坐标依次为_－__ωφ_，_－ __ω_φ_＋__T4__， _－__ωφ_＋__T2___，_－__ωφ_＋__34_T__，_－__ωφ_＋__T___.
方法二 由图象知 A＝ 3，
以 M3π，0为第一个零点，P56π，0为第二个零点．
列方程组ωω··π356＋ π＋φφ＝＝0π
ω＝2 ，解之得φ＝－23π.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
令 X＝
x
, 则 x 3 X , 列表： 6 6
描点画图
函数（其中A＞0, >0）的图象如何由y=sinx 得到？
①先画出函数y=sinx的图象;
②再把正弦曲线向左(右)平移|j|个单位长度,得到函数 y=sin(x+j)的图象;
③然后使曲线上各点的横坐标变为原来1/倍,得到函 数y=sin(x+j)的图象; ④最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍,这时的 曲线就是函数y=Asin(x+j)的图象.
做简谐运动的物体往复运动一次所需要的时间 频率
f 1 T
2
做简谐运动的物体在单位时间内往复运动的次数
相位 x+j 初相 x=0时的相位j
例2 下图是某简谐运动的图象.试根据图象回答下列问题:
(1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各是多少? (2)从O点算起,到曲线上的哪一点,表示完成了一 次往复运动?如从A算起呢? (3)写出这个简谐运动的函数表达式.
y=Asin(x+j)的值域是 [-A,A] 最大值是 A 最小值是 -A
例1
画出函数
1 y 2 sin x 的简图 . 6 3
解: 先把正弦曲线上所有点向右平行移动 个单位长度 6
得到y sin x 的图象 6
再把后者所有点的横坐标伸长到原来的 3 倍(纵坐 标不变), 得到y sin 1 x 的图象
一般地,函数y=sin(x+j),(j≠0)的图象, 可以看作是把y=sinx的图象上所有的点 向左(当j>0时)或向右(当j<0时)平行移动 |j|个单位而得到的。
函数y=Asin(ωx φ)的图象
函数 y=sinx (>0且0) 的图象可以看作 是把 y=sinx 的图象上所有点的横坐标缩短 (当>1时)或伸长(当0< <1时)到原来的1/ 倍(纵坐标不变)而得到的.
所有的点横坐标缩短(>1)
y=sinx
或伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:T 2
探究： A 对函数图象的影响
D.纵坐标伸长到原来的2倍,横坐标不变.
作正弦型函数y=Asin(x+) 的图象的方法： （1）用“五点法”作图 （2）利用变换关系作图
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 平移伸缩变化欣赏
想一想?
问题:把y=sin2x的图象经过怎样的变换就得到
y=sin(2x+ 3
)的图象?
)的图象
(横坐标不变)
y=3sin(
1 2
x
-
4
)的图象
练习2. 为了得到y=3sin(2x+π/5)的图象,只需将函数
y=3sin(x+π/5)的图象上各点的 ( B)而得到.
A.横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变. B.横坐标缩短到原来的1/2倍,纵坐标不变. C.纵坐标伸长到原来的1/2倍,横坐标不变.
函数y=Asin(ωx+φ)的图象
(1)y=sinx与y=sin(x+)的图象关系; (2)y=sinx与y=sinx的图象关系; (3)y=sinx与y=Asinx的图象关系; (4)y=sinx与y=Asin(x+)的图象关系.
***复习回顾***
y sin x, x [0,2 ]的图象
关键点: (0,0),( ,1),( ,0),( 3 ,1),(2 ,0)
【课件】函数y=Asin(wx φ)的图象 课件高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
到函数 = ( + )的图像；然后把图像上个点的横坐标变为原来的倍
（纵坐标不变），得到函数 = ( + )的图像；最后把曲线上各点的
纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数
探索“”
= ( + )的图像。
操作步骤
探索“”
试一试
一般地
从解析式上看，函数 = 就是函数 = ( + )在 = ， = ， =
时的特殊情形。
那么我们是否可以通过研究三个参数， ， 对函数 = ( + )的影响来确
定这两个函数图像之间的关系？
导入：筒车模型
试一试
y=sin(x+)
的图象
y=sinx
1.（2021全国乙理）把函数y=f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，再
把所得曲线向右平移 个单位长度，得到函数 = ( − ) 图象，则
f(x)=(
C
)
7
B、 = sin(2 − 12 )
D、 = sin(2 + 12)
A、 = sin(2 − 12 )
7
探索“”
C、 = sin(2 + 12)
试一试
一般地
2.要得到函数 = 3sin(2 + 4 )的图像，只需将函数 = 3sin(2)的图像（ C ）
A、向左平移个单位长度
B、向右平移个单位长度
探索“”
C、向左平移个单位长度
D、向右平移个单位长度
小结：本节课通过研究三个参数，，对函数
2
y=sinx 与y=sin(x+)
函数y=Asin(ωx+φ)的图像及性质ppt课件
(1)求 f(x)的最小正周期及解析式； (2)设 g(x)＝f(x)－cos 2x，求函数 g(x)在区间0，π2上的最大值 和最小值．
ppt课件.
21
解：(1)由图可得 A＝1，T2＝23π－π6＝π2，所以 T＝π.所以 ω＝2.
当 x＝π6时，f(x)＝1，可得 sin 2×π6＋φ＝1，因为|φ|<π2，所以
φ＝π6.所以 f(x)的解析式为 f(x)＝sin 2x＋π6.
(2)g(x)＝f(x)－cos 2x＝sin 2x＋π6－cos 2x
＝sin 2xcosπ6＋cos 2xsinπ6－cos 2x
＝ 23sin 2x－12cos 2x＝sin 2x－π6.
因为 0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤56π.
Байду номын сангаас
由余弦定理得 cos ∠PRQ＝RP2＋2RRPQ·R2－Q PQ2 ＝A2＋92＋A·A29－＋9A＋2 4A2＝－12，
解得 A2＝3.
又 A＞0，所以 A＝ 3.
ppt课件.
26
此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！
10
(2)描点：描出点(－π3，0)、(23π，2)、(53π，0)、 (83π，－2)、(113π，0)． (3)连线：用平滑的曲线将这五个点连接起来，最后 将其向两端伸展，得到图像如图所示．
ppt课件.
11
【误区警示】 (1)列表时是先令相位角 ωx＋φ 分别 为 0、π2、π、32π、2π，从而得到 x 相应的值，而不 是令 x 为这五个值；(2)在连线时必须用光滑曲线连 接，而不是折线．
ppt课件.
25
解：(1)由题意得，T＝2ππ＝6.因为 P(1，A)在 y＝Asin π3x＋φ的图象 上，所以 sin π3＋φ＝31.又因为 0＜φ＜π2，所以 φ＝π6.
ppt课件.
21
解：(1)由图可得 A＝1，T2＝23π－π6＝π2，所以 T＝π.所以 ω＝2.
当 x＝π6时，f(x)＝1，可得 sin 2×π6＋φ＝1，因为|φ|<π2，所以
φ＝π6.所以 f(x)的解析式为 f(x)＝sin 2x＋π6.
(2)g(x)＝f(x)－cos 2x＝sin 2x＋π6－cos 2x
＝sin 2xcosπ6＋cos 2xsinπ6－cos 2x
＝ 23sin 2x－12cos 2x＝sin 2x－π6.
因为 0≤x≤π2，所以－π6≤2x－π6≤56π.
Байду номын сангаас
由余弦定理得 cos ∠PRQ＝RP2＋2RRPQ·R2－Q PQ2 ＝A2＋92＋A·A29－＋9A＋2 4A2＝－12，
解得 A2＝3.
又 A＞0，所以 A＝ 3.
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(2)描点：描出点(－π3，0)、(23π，2)、(53π，0)、 (83π，－2)、(113π，0)． (3)连线：用平滑的曲线将这五个点连接起来，最后 将其向两端伸展，得到图像如图所示．
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11
【误区警示】 (1)列表时是先令相位角 ωx＋φ 分别 为 0、π2、π、32π、2π，从而得到 x 相应的值，而不 是令 x 为这五个值；(2)在连线时必须用光滑曲线连 接，而不是折线．
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解：(1)由题意得，T＝2ππ＝6.因为 P(1，A)在 y＝Asin π3x＋φ的图象 上，所以 sin π3＋φ＝31.又因为 0＜φ＜π2，所以 φ＝π6.
函数y=Asin(ωx φ)的图象 课件
4
3
3
π
4
π
D.关于直线 x= 对称
3
π
π
f(x)的解析式→由 ωx+ =kπ+ (k∈Z)
3
2
π
ωx+ =kπ(k∈Z)
3
得对称中心→选出正确选项
B.关于直线 x= 对称
2π
解析:由 T= =π,解得 ω=2,
则 f(x)=sin 2 +
π
3
π
2
π
3
,
令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得 x=
∈Z.
确定此函数解析式.
> 0,|| ≤
π
2
图象的一段,试
分析:可由最高点、最低点确定 A,再由周期确定 ω,然后由图象
的平移变换或由图象过已知点确定 φ.
解:该函数的周期
2π
1
13π π
T=
− =4π,
3
3
∴ω= = 2.
又∵函数的最大值为 3,故 A=3.
∴y=3sin
1
2
+ .
2
π
3
1 π
(1)定义域为 R.
(2)值域为[-|A|,|A|].
2π
| |
(3)周期为 T= .
(4)当 φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;
π
当 φ= +kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
2
(5)对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思
π
π
3
3
π
4
π
D.关于直线 x= 对称
3
π
π
f(x)的解析式→由 ωx+ =kπ+ (k∈Z)
3
2
π
ωx+ =kπ(k∈Z)
3
得对称中心→选出正确选项
B.关于直线 x= 对称
2π
解析:由 T= =π,解得 ω=2,
则 f(x)=sin 2 +
π
3
π
2
π
3
,
令 2x+ =kπ+ ,k∈Z,得 x=
∈Z.
确定此函数解析式.
> 0,|| ≤
π
2
图象的一段,试
分析:可由最高点、最低点确定 A,再由周期确定 ω,然后由图象
的平移变换或由图象过已知点确定 φ.
解:该函数的周期
2π
1
13π π
T=
− =4π,
3
3
∴ω= = 2.
又∵函数的最大值为 3,故 A=3.
∴y=3sin
1
2
+ .
2
π
3
1 π
(1)定义域为 R.
(2)值域为[-|A|,|A|].
2π
| |
(3)周期为 T= .
(4)当 φ=kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;
π
当 φ= +kπ(k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数.
2
(5)对于函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的单调区间的确定,其基本思
π
π
高中数学《函数y=Asin(ωx+φ)的图象》课件
26
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
【跟踪训练 2】 函数 y＝sin5x－π2的图象向右平移π4个 单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12， 所得图象的函数解析式为__y_＝__s_in__1_0_x_－__74_π_ _．
27
课前自主预习
课堂互动探究
36
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
解析 解法一(代值验证法)： 把－π3，0代入选项，可排除 B，D；再将23π，3代入， 可排除 A．故 C 正确． 解法二(逐一定参法)： 设 f(x)＝Asin(ωx＋φ)． 由图知，振幅 A＝3，又 T＝423π－－π3＝4π， ∴ω＝2Tπ＝12.
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
(2)先伸缩后平移
3．函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)中，A，ω，φ 的
物理意义
(1)简谐运动的___□1_2__振__幅______就是_____□1__3_A_．_____
(2)简谐运动的周期 T＝____□ 1_4__2ω_π______.
解 解法一(先伸缩后平移)：
24
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
25
课前自主预习
课堂互动探究
课堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修4
拓展提升 三角函数图象变换的两种方法及两个注意
(1)两种方法：方法一是先平移，后伸缩；方法二是先 伸缩，后平移．
(2)两个注意： ①两种变换中平移的单位长度不同，分别是 |φ|和ωφ ， 但平移方向是一致的． ②虽然两种平移的单位长度不同，但平移时平移的对象 已有变化，所以得到的结果是一致的．
1.5函数y=Asin(ωx φ)的图像13
课堂练习：教材P55练习
已知函数y 3sin(x )的图象为C
（2）为了得到函数y
5 3sin(2
x
)的图象，只要把C上
5
所有的点（ B ）
(A)横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变
(B)横坐标缩短到原来的 1 倍，纵坐标不变 2
(C)纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变
(D)纵坐标缩短到原来的 1 倍，横坐标不变 2
5
探究二: y=sin(x+π/3)与y=sin(2x+π/3)
x
2 7 5
36 3
6
3
X x
3
0
2
3
2
2
y sin(x )
3
0
1
0 -1 0
x
7 5
6 12 3 12 6
X 2x 3
0
2
3
2
2
y sin(2x )
探究三: y=sin(2x+π/3)与y=3sin(2x+π/3)
x
7 5
6 12 3 12 6
X 2x
3
02
3
2
2
y sin(2x )
3
0
1
0 -1 0
x
7 5
6 12 3
12
6
X 2x
3
0
2
3
2
2
y 3sin(2x ) 3
3
0
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
点要分清是第几个零点．
π B．向右平移 个单位 4 π D．向右平移 个单位 8
π π 解析：y＝sin－2x＋4＝sin－2x－8，只需将
y＝sin(－2x)
π π 的图象向右平移8个单位，即可得到 y＝sin－2x＋4的图象．
答案：D
6.
A
三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，
或向右（ 0） 平移 | | 个单位
或伸长（0 1 ） 1 为原来的 倍
或缩短（0 A 1 ）
为原来的A倍
2. A、 、 对函数 y A sin(x ) 图象的影响?
讲授新课
例1. 下图是某简谐运动的图象.试根据图 象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各 是多少？ (2)从O点算起, 到曲线上的哪一点, 表示 完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)写出这个简谐运动的函数表达式.
进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的，要特别注意相位 变换，周期变换的顺序，顺序不同，其结果也不同．
复习回顾
1. 如何由y sin x的图象得到函数 y A sin(x )图象 ?
) y sin x 横坐标向左( 0 y) sin(x ) 横坐标缩短( 1) y sin(x )纵坐标伸长( A 1y A sin(x )
2. 振幅变换： 3. 周期变换： 4. 平移变换：
Y=SinX 横坐标不变 Y=SinX Y=ASinX 纵坐标变为原来的A倍
Y=SinX
纵坐标不变 Y=SinωX 横坐标变为原来的1/ω倍 左移(ψ>0)或 右移(ψ<0) │ψ│
Y=Sin(X+ψ),
π B．向右平移 个单位 4 π D．向右平移 个单位 8
π π 解析：y＝sin－2x＋4＝sin－2x－8，只需将
y＝sin(－2x)
π π 的图象向右平移8个单位，即可得到 y＝sin－2x＋4的图象．
答案：D
6.
A
三角函数图象进行平移变换时注意提取 x 的系数，
或向右（ 0） 平移 | | 个单位
或伸长（0 1 ） 1 为原来的 倍
或缩短（0 A 1 ）
为原来的A倍
2. A、 、 对函数 y A sin(x ) 图象的影响?
讲授新课
例1. 下图是某简谐运动的图象.试根据图 象回答下列问题: (1)这个简谐运动的振幅、周期与频率各 是多少？ (2)从O点算起, 到曲线上的哪一点, 表示 完成了一次往复运动？如从A点算起呢？ (3)写出这个简谐运动的函数表达式.
进行周期变换时，需要将 x 的系数变为原来的，要特别注意相位 变换，周期变换的顺序，顺序不同，其结果也不同．
复习回顾
1. 如何由y sin x的图象得到函数 y A sin(x )图象 ?
) y sin x 横坐标向左( 0 y) sin(x ) 横坐标缩短( 1) y sin(x )纵坐标伸长( A 1y A sin(x )
2. 振幅变换： 3. 周期变换： 4. 平移变换：
Y=SinX 横坐标不变 Y=SinX Y=ASinX 纵坐标变为原来的A倍
Y=SinX
纵坐标不变 Y=SinωX 横坐标变为原来的1/ω倍 左移(ψ>0)或 右移(ψ<0) │ψ│
Y=Sin(X+ψ),
函数y=Asin(ωx+φ)的图象ppt课件
探究新知识
探究二 探索参数A(A>0)对函数 y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响
新课引入
探究新知识
探究二 探索参数A(A>0)对函数 y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响
函数 y=Asinx(A>0且A1) 的图象可以看作是把y=sinx的图象上 所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0< A<1时)到原来的A倍
y=sinx 或向右( <0)平移 y=sin(x+)
| | 个单位
左加右减
注意：这里平移的对象都是相对于x平移！
新课引入
探究新知识
探究二 探索参数ω(ω>0)对函数 y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
新课引入
探究新知识
探究二 探索参数ω(ω>0)对函数 y＝sin(ωx＋φ)图象的影响
新课引入
有多个参数的函数，你认为应该按怎样的思路进行研究？ ●答案：类比对二次函数y=a(x－h)²+k图象的研究过程，用的是“控制变量
法”．
具体的研究过程是：先给两个参数赋特值，依次探究第三个参数变化对函数图
象的影响，再综合考虑三个参数的情况．
新课引入
探究新知识
●问题3 :首先从研究参数φ对函数y=sin(x＋φ)的影响开始，即探究函数 y=sinx与y=sin(x＋φ)之间图象的关系.对与单一参数的问题我们怎么研 究呢？
所有点的横坐标缩短(>1)
y=sinx
或伸长(0< <1) 1/倍 纵坐标不变
y=sinx
决定函数的周期:
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探究新知识
探究二 探索参数A(A>0)对函数 y＝Asin(ωx＋φ) 图象的影响
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 课件
正解：由图可知，A＝3，T2＝52π－π＝32π， 所以 T＝3π＝2ωπ，得到 ω＝23. 于是 y＝3sin23x＋φ.因为点(π，0)是“五点法”的第三点，所 以23π＋φ＝π，得到 φ＝3π，故 y＝3sin23x＋3π.
纠错心得：在由图象求解析式时，一定要抓住题中所给的点是 “五点法”的第几点，这样，不仅可以避免解题时出错，而且会使 解题简便快捷．
－ωφ，0 ， －ωφ＋2πω，A ， －ωφ＋ωπ ，0 ， －ωφ＋23ωπ ，－A ， －ωφ ＋2ωπ，0.它们在图象上的位置依次是：第一个零点(也叫上起 始点)、最高点、第二个零点(也叫下起始点)、最低点、第三个零点 (也叫终点)．
2．用“五点法”作函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0 )的图象，
ω→φ→A 的具体操作过程如下：
典例剖析 知识点 1 作 y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象 【例 1】请用“五点法”作出函数 y＝2sin3x＋π4－1 在长度为 1 个周期的闭区间上的简图．
思路点拨：按列表、描点、连线的步骤作图．
解：列表
x
－34π
3π 4
9π 4
15π 21π 44
的图象；最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的__A__倍，这时的曲
线就是函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象．
5．在函数 y＝Asin(ωx＋φ)(其中 A＞0，ω＞0 )中，A 就是这个
简谐运动的_振__幅 ___，它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距
离；周期
2π T＝___ω___；频率
f＝T1＝__2_ωπ___，它是单位时间内往复运
对称轴与对称中心等 【例 3】 (1)求函数 y＝3sinπ3－2x的单调递增区间； (2)求函数 y＝2sin3x＋π4的对称轴和对称中心．
函数y=Asin(ωx+φ)的图象 课件
显然要使y＝a＋1与图象有两个交点， 只须－2<a＋1<0或a＋1＝2． 即－3<a<－1或a＝1． ∴a的取值范围是{a|－3<a－1或a＝1}．
规律方法 1.正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数 y＝Asin(ωx＋φ)和余弦型函数 y＝Acos(ωx＋φ) 不一定具备奇偶性．对于函数 y＝Asin(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k ∈Z)时为奇函数，当 φ＝kπ＋π2(k∈Z)时为偶函数；对于函数 y＝Acos(ωx＋φ)，当 φ＝kπ(k∈Z)时为偶函数，当 φ＝kπ＋π2(k ∈Z)时为奇函数．
考查 方向
题型三 三角函数性质的综合应用
方向 1 三角函数的奇偶性
【例 3-1】 将函数 y＝sin(2x＋φ)的图象沿 x 轴向左平移π8个单 位长度后，得到一个偶函数的图象，则 φ 的一个可能取值为
() A．34π
B．π4
C．0
D．－π4
解析 将函数 y＝sin(2x＋φ)的图象向左平移π8个单位后，得 到 y＝sin(2x＋φ＋π4)的图象，因为它是偶函数，所以 φ＋π4＝ π2＋kπ，k∈Z，即 φ＝π4＋kπ，k∈Z，当 k＝0 时，φ＝π4．
方法一：如果从图象直接确定A和ω，再选取“第一个零点”(即五点作图法中的第一个)的数据代 入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一个点是“第一零点”)求得φ.
方法二：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要 认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
方法三：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，根据图象平移规律可以 确定相关的参数．
函数y＝Asin(ωx＋φ＋φ)，A>0，ω>0中参数的物理意义
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2π
5π 6
过
t=2x+
π
x
−
π
6
π
12
π
3
π
则 3sin(2x+
3
)
0
3
0
-3
0
3
t−
x=
3 = t −π 2 2 6
π
程
y=sin(2x+ π
3
y=sin(x+ π )
)
3
−
π −π
3
6
π
3
5π π 6
小结平移法过程（步骤） 作 y=sinx（长度为 2π的某 沿 x 轴平 移|φ | 得 y=sin(x+
ω
教
由上例和练习可以看出：在函数 y=sinωx, x∈R (ω>0 且
2π
ω≠1)中，ω决定了函数的周期 T＝
ω
，通常称周期的倒数 f＝
1 ω ＝ 为频率。 T 2π
学
例二．画出函数 y=3sin(2x+ 解：周 2x+ 期 T=π （ 五 点法） ，设
3
π
)
3
x∈R 的图象。
π
π
0
2
π
3π 2 7π 12
1 x 2
x∈R 的图象（简
令 t=2x 则 x=
t 2
π
列表：
教
t=2x 0
2
π
3π 2 3π 4
2π π
π
x sin2 0 1 0
4
π
2
0
-1
0
学
x 作图： y=sin 1 x
2
过
π
y=sin2x 函数 y=sin
x 2
−
π
2π
4π
y=sinx ∴在[0, 4π]上作图
周期 T=4π
程
列表
x 2 3π 2
t=
0
π
2
π
2π
x
0
π 2π
3π
4π
sin
x 2
0
1
0
-1
0
2
练习：函数 y＝sin
2 x 的图像与函数 y＝sinx 的图像有什么关 3
系？ 引导, 观察启发 与 y=sinx 的图象作比较，结论： 1．函数 y=sinωx, x∈R (ω>0 且ω≠1)的图象，可看作把正弦
1
曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的 倍（纵坐标不变） 2．若ω<0 则可用诱导公式将符号“提出”再作图。
重 点
难 点
教 具 教 法
课 型 学 法
课时安排
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1
一） 、创设情境，揭示课题 上一节课，我们已过 y＝sinx 和 y＝Asinx 的图像，y＝ sinx 和 y＝sin（x＋φ）的图像间的关系，请与 y＝Asin(ωx ＋φ)比较一下，还有什么样的我们没作过？ 、探究新知 （二） 探究新知 、 例一．画出函数 y=sin2x 图） 。 解：∵函数 y=sin2x 周期 T=π ∴在[0, π]上作图 从而 sint=sin2x x∈R；y=sin
−
横坐标 伸长或缩 得 y=sinω 沿 x 轴平 移|
教
横坐标伸 长或缩
ϕ | ω
学 过 程
得 y=sin(=sin( ω 纵坐标伸 长或缩
得 y=Asin( ω x+ φ ) 的 图 象，先在一个周期闭区间
两种方法殊途同归 、练习： （三） 练习：教材 P52 练习 1、2、3 、练习 、归纳整理， （四） 归纳整理，整体认识 、归纳整理 （1）请学生回顾本节课所学过的知识内容有哪些？所涉及到 主要数学思想方法有那些？ （2）在本节课的学习过程中，还有那些不太明白的地方，请 向老师提出。 、布置作业: （五） 布置作业:教材 P55 习题 2（1）(2)3 、布置作业
教 后 反 思
备课组长签字： 备课组长签字： 年 月 日
4
富县高级中学集体备课教案
年级： 年级： 高一 课 题 三 维 目 标 科目： 科目： 数学 授课人： 授课人： 第十三课 时
函数 y=Asin(ωx+φ)的图象
1、知识与技能： （1）熟练掌握五点作图法的实质； （2）理解表达式 y＝ Asin(ωx＋φ)，掌握 A、φ、ωx＋φ的含义； （3）理解振幅变换和周期变换 的规律，会对函数 y＝sinx 进行振幅和周期的变换； （4）会利用平移、伸缩变 换方法，作函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图像； （5）能利用相位变换画出函数的图 像。 2、过程与方法：通过学生自己动手画图像，使他们知道列表、描点、连线是 作图的基本要求；通过在同一个坐标平面内对比相关的几个函数图像，发现规 律，总结提练，加以应用； 3、情感态度与价值观：通过本节的学习，渗透数形结合的思想；树立运动变 化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；通过学生的亲身实践，引发学生 学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形 的对称美、运动美，培养学生对美的追求。 y＝sinx 和 y＝sinωx 的图像， y＝sinx 和 y＝Asin(ωx＋ 中 刘勇 心 φ)的图像间的变换 发 相位变换画函数图像，用图像变换的方法画 y＝Asin(ωx＋ 言 人 φ)的图像 1H