初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第13讲 怎样求最值

第十三讲 怎样求最值
在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点： 1．运用配方法求最值；
2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值；
4．利用基本不等式或不等分析法求最值．
注：数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思 想，所谓最优，就是我们所期望的目标量能达到最大或最小．
一次函数、反比例函数并无最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处取-得．即： 对于c bx ax y ++=2（0≠a ）
(1)若a>0，则当a b
x 2-=时，a b ac y 442-=最小值；
(2)若a<0，则当a
b
x 2-=时， a b ac y 442-=最大值．
【例题求解】
【例1】 设a 、b 为实数，那么b a b ab a 222--++的最小值是 ．
思路点拨 将原式整理成关于a 的二次多项式从配方法入手；亦可引入参数设t b a b ab a =--++222，将等式整理成关于a 的二次方程0)2()1(22=--+-+t b b a b a ，利用
判别式求最小值．
【例2】若3
2
211-=
+=
-z y x ，则222z y x ++可取得的最小值为( ) A ．3 B ．
1459 C ．2
9
D ．6 思路点拨 设k z y x =-=+=-3
2211，则2
22z y x ++可用只含k 的代数式表示，通过配方求最小值．
【例3】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实根，当m 为何值时，2221x x +有最小值，并求这个最小值．
思路点拨 由韦达定理知2221x x +是关于m 的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小
值，就要看自变量m 的取值范围，从判别式入手．
注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形： (1)当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值；
(2)当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得．
【例4】 甲、乙两个蔬菜基地，分别向A 、B 、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A 提供45吨，向B 提供75吨，向C 提供40吨．甲基地可安排60吨，乙基地可安排100吨．甲、乙与A 、B 、C 的距离千米数如表，设运费为1元／(千米·吨)．问如何安排使总运费最低?求出最小的总运费值．
思路点拨 设乙基地向A 提供x 吨，向B 提供y 吨，这样总运费就可用含x ，y 的代数式表示；因为1000≤+≤y x 0，450≤≤x ，所以问题转化为在约束条件下求多元函数的最值．
【例5】 某单位花50万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第x 天应付的养护与维修费为[500)1(4
1
+-x ]元．
(1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗y (元)表示为使用天数x (天)的函数； (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废，问该设备投入使用多少天应当报废?
思路点拨 在解本题时可能要用到以下数学知识点：对于确定的正常数a 、b 以及在正实数范围内取值的变量x ，一定有
b a xb ax b x x a 2
2=≥+，即当且仅当b x x a =时，b
x
x a +有最小值b
a 2．
注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有：
(1)02≥a ； (2)ab b a 222≥+；（3）若0>a ，0>b ，则ab b a 2≥+； (4)若0>a ，0>b ，0>x ，则
b
a
b x x a 2
≥+． 以上各式等号当且仅当b a = (或b
x
x a =)时成立．
学历训练
1．当x 变化时，分式12
15
632
2++++x x x x 的最小值为 ．
2．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗子的长、宽各为 、 米．
3．已知实数a 、b 、c 满足0=++c b a ，6222=++c b a ，则a 的最大值为 ．
4．已知x 、y 、z 为三个非负实数，且满足523=++z y x ，2=-+z y x ，若z y x s -+=2，则s 的最大值与最小值的和为( ) A ．
21 B ．8
5
C ．1
D ．36
5．已知四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，若S △AOB =4，S △COD =9，则四边形
ABCD 的面积S 四边形ABCD 的最小值为( )
A ．2l
B ．25
C ．26
D ．36 6．正实数x 、y 满足1=xy ，那么4
4
411y x +的最小值为( )
A ．
21 B ．8
5
C ．1
D ．45
E ．2
7．启明公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件．为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是x (万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y 倍，且10
7
107102++-=x x y ，如果把利润看作是销
售总额减去成本费和广告费：
(1)试写出年利润S (万元)与广告费x (万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元? (2)把(1)中的最大利润留出3万元作广告，其余的资金投资新项目，现有6个项目可供选择，各项目每股投资金额和预计年收益如下表：
种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目．
8．某市20位下岗职工在近郊承包50亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表：
请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20位职工都有工作，且使农作物预计总产值最多．
9．如图，有长为24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度a 为l0m)，围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为xm ，面积为sm 2．
(1)求s 与x 的函数关系式；
(2)如果要围成面积为45m 2的花圃，AB 的长是多少米?
(3)能围成面积比45m 2更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．
10．设1x 、2x 是关于x 的一元二次方程22=++a ax x 的两个实数根，则)2)(2(1221x x x x --的最大值为 ．
11．若抛物线1)1(2----=k x k x y 与x 轴的交点为A 、B ，顶点为C ，则△ABC 的面积最小值为
12．已知实数a 、b 满足122=++b ab a ，且22b a ab t --=，则t 的最大值为 ，最小值为 ．
13．如图，B 船在A 船的西偏北45°处，两船相距102km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度2倍，那么A 、B 两船的最近距离为 km ．
14．销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150
m
，为了使该商品的销售金额最大，那么m 的值应该确定为 ．
15．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出；当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每 月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元．
(1)当每辆车的月租金定为3600元时，能租出 辆车(直接填写答案)； (2)
x 的代数式填空：
16．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是p (万元)和q (万元)，它们与投入资金x (万元)的关系有经验公式x p 51=
，x q 5
3=． 今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入
分别应为多少?能获得多大的利润? 链接
17．如图，城市A 位于一条铁路线上，而附近的一小镇B 需从A 市购进大量生活、生产用品，如果铁路运费是公路运费的一半．问该如何从B 修筑一条公路到铁路边，使从A 到B 的运费最低?
18．设1x ，2x ，…n x 是整数，并满足： （1）21≤≤-i x ，n i ,2,1=； （2）1921=+++n x x x ； （3）9922221=+++n x x x ．
求33231n x x x +++ 的最大值和最小值．
参考答案。